Асимптотически минимаксные задачи проверки гипотез при непараметрических альтернативах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ



-^ЖСГ-ПЕТЕЕБУРГЖЁ! ГОСУДАРСТЗШШ! УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ИНШГЕР Юрий Измайловпч

Щ 519.22

ЛС1СЖ ОТИЧЕСКИ ЮК5.ШСНЫЕ ЗАДАЧИ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ ПРИ НЕПЛРЛМЕТИНЕСШ АЛЬТЕРНАТАМ

(01.01.05 - Теория .- ороятностей и математическая статистика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург

1993

Работа выполнена в Центральном научно-исследовательской институте "Гранит"

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физико-математических наук

М.В.БУРНАШЕВ

член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук,

профессор И.А. ИБРАГИМОВ

доктор физико-математических наук, профессор Д.М. ЧИБИСОВ

ВДДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Институт математики СО РАН

Защита состоится »6 ОйТА/рсА 1993 г. в ..<//.. часов на заседании специализированного совета Д 063.57.29 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб.р.Фонтанки, д.27, ПСИИ, к.301.

С диссертацией можно'ознакомиться в научной библиотеке ш.М.Горького С1ШУ (Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9).

Автореферат разослан » % » 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета,

кандидат физ.-матем.паук, доцент С.;.:. Аианьевскш!

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Задача построения асимптотически минимаксны* тестов проверки гипотез и исследование асимптотики минимаксной эффективности занимает видное место среди задач математической статистики.. Это связано с тем, что для сложных многомерных гипотез или альтернатив, как правило, не существует равномерно наиболее мощных тестов, так что для выбора "наилучшего" теста требуется критерий качества. В непараметрическом случае одним из наиболее естественных критериев качества тестов является минимаксный.

Общая теория минимаксных процедур была заложена А.Вальдом в конце тридцатых годов, однако за редкими исключениями общие метода не давали возможности конструктивного нахождения решений в конкрэ™-них задачах. Дальнейшее развитие минимаксный подход получал з асимптотическом варианте в параметрических задачах в 40-х: - 70-;: годах, что связано с работами А.Вальда, Л.Ле Кама, С;Р. Рао, Я. Гаека, Ч. Стейна, Г. Рубина, H.A. Ибрагимова, Р.З.Хасьминского, Д.М. Чибпсова, Дяс.Русаса, A.A. Боровкова и др.

В непараметрических задачах асимптотически минимаксный подход развивался, в основном, в рамках теории оценивания и связан с работами H.H. Ченцова, Р. Фарелла, Т. Мейера, H.A. Ибрагимова, Р.З. Хасьминского, М.С. Ппнскера, С.Ф. Щроймовича и др. Это потребовало разработки новой техники, связанной с использованием методов теории приближения функций, теории информации и других смежных областей математики, и выявило ряд принципиальных особенностей непараметрических задач оценивания: в первую очередь, сущебтвенное отличие от классической асимптотики минимаксного риска оценивания, ее зависимость от геометрических свойств множества оцениваемых параметров.

Вместе с тем до начала 80-х годов, несмотря на существенное развитие асимптотической теория минимаксного непараметрического • оценивания, аналогичные задачи проверки гипотез оказались практически вне поля зрения статистиков. Хотя шло интенсивное изучение различных непараметрических тестов в различных задачах проверки гипотез (изучение их мощности, состоятельности-для семейств простых альтернатив или параметрических подсемейств), их свойства оптимальности с минимаксной точки зрения практически не изучались, также как, за редкими исключениями, не изучалась проблема построения оптимальных тестов с минимаксной точки зрения.

В этой связи и учитывая многочисленные параллели между задача-,\(И оценивания и проверки гипотез, развитие асимптотически минимакс-.'о-'о подхода для непараметрических задач проверки гипотез стало весСч>'л актуальным.

'¿отя естественные минимаксные постановки задачи, аналогичные осматриваемой в работе, рассматривались еще Манном и А.Вальдом '19"2}( Ч.Стейном (1956), их систематическое изучение било начато :;ороы в начале 80-х годов. Со второй половины 80-х годов исследо-з этом направлении велись также М.С. Ермаковым.

В работе рассматривается следующая постановка задачи. Имеется* семейство статистических экспериментов (Э£С/>£<£ ')Р1 & ) , где

£ ->С0 - асимптотический параметр, Р£/в - вероятностная мера на из-■/■зрямом пространстве © - множество параметров, которое'

предполагается бесконечномерным (в этом смысле понимается непарамет-рячность). Мы ограничиваемся случаем проверки простой гипотезы И с'- 90 € © и рассматриваем семейства альтернатив вида

®£ - ® 4 » гДе - заданное семейство окрестностей

точки &е я @ . Минимаксные свойства теста с^.: [Х^^-^^Р, ^ ^)

характеризуются величиной $ ^ вероятности ошибок первого

рода и максимальной вероятностью ошибок второго рода ) =

•= »>(лр {(=£ )'• или суммой этих величин ^

(у^ ) ^¿(^г)» а минимаксная различимость гипотез характеризуется минимаксным риском = минимаксными вероятностями ошибок (ы.) = ¿и. 5- [ ае^ 1).

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Цель работы состоит:

а) в изучении асимптотики вероятностей ошибок ^? (Ы) и минимаксного риска в зависимости от свойств множества (9 параиет-ров и удаляемых окрестностей нулевой гипотезы, в частности, определение условий минимаксной различимости ( У£ О ) и неразличимости £-*■£<>;

б) в построении асимптотически минимаксных семейств тестов и (для которых ие )¿.pCto(í)^£ £+

или в частности, при -г & - построение

состоятельных в минимаксном смысле семейств тестов , для которых:

в) в изучении и сопоставлении минимаксных свойств различных классов тестов;

г) в сопоставлений минимаксных непараметрических задач проверки гипотез с конечнопараметрическими задачами, а также с не-лараметрическими задачами оценивания.

В диссертационной работе эти задачи изучаются для двух важнейших семейств статистических экспериментов:

- наблюдений неизвестного сигнала (? - Ь & Ь % (0,1} в гаус-совском белом шуме интенсивности £ О ; (9 = £

- = О (задача обнаружения сигнала);

- наблюдений независимой однородной выборки длины £ =• Ы-+ о°

с неизвестной плотностью распределения 9-^6 на заданном вероятностном пространстве 1/} ]? ) (задача проверки гипотезы о равномерности плотности распределения: =

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. Исследование асимптотики минимаксных вероятностей ошибок и риска, изучение условий различимости и неразличимости, построение асимптотически минимаксных и состоятельных семейств тестов требует разработки методов построения асимптотических нижних и верхних границ величин (<*) и ^ , Методы построения нижних границ основаны на исследовании асимптотики отношения правдоподобия в байесовских задачах проверки гипотез для нескольких классов семейств априорных мер на множествах параметров. В результате мы приходим к более простым экстремальным задачам на рассматриваемых классах априорных мер или параметров, их характеризующих. Методы построения верхних границ основаны на изучении асимптотики минимаксных свойств нескольких классов семейств тестов (возникающих при анализе байесовских задач проверки гипотез и некоторых ■ других). При этом мы приходим к экстремальным задачам, в определенном смысле двойственным к задачам, возникающим при построении нижних границ, что, по существу, определяет асимптотическую минимаксность тестов. Непараметрический характер задачи оказывается даже полезным, поскольку появляется возможность использования дополнительной "асимптотики по размерности" (конечномерные аналоги многих из рассматриваемых задач не поддаются эффективному решению). .

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации развит асимптотический вариант байесовского подхода и разработаны методы исследования минимаксных свойств нескольких классов семейств тестов в задачах обнаружения' сигнала и проверки гипотезы о равномерности плотности распределения. На этой основе получена серия нижних и верхних асимптотических границ минимаксных вероятностей ошибок и риска в рассматриваемых задачах. Эти границы описываются в терминах геометрических"

свойств альтернатив (в частности, таких, как внутренние радиусы и поперечники Колмогорова) и решений специальных экстремальных задач. Следующие результаты основаны на применении разработанных методов к конкретным задачам проверки гипотез.

1. Получены асимптотически точные' условия минимаксной различимости и неразличимости для классов гладких альтернатив (типа шара в пространстве Никольского) с удаленны,1 шаром в Ьр -метрике,

и при выполнении условий различимости построены состоятельные в минимаксном смысле тесты. При этом показано существенное различие мевду минимаксными непараметрическиш задачами оценивания и проверки гипотез, проявляющееся, в частности, в том, что тесты, основанные на минимаксных по порядку оценках сигнала или плотности распределения не обеспечивают состоятельности при. минимально возможном порядке радиуса удаляемой окрестности, требуемом для минимаксной различимости, в классах гладких альтернатив.

2. Получена точная асимптотика минимаксных вероятностей ошибок к риска для классов альтернатив, имеющих вид 1р -эллипсоидов облиго вида с удаленным Рр -шаром, о < р ^ оо , и построены астЕ-ГСОТИчески минимаксные тесты в этой задаче. Отметим, что при

2 •< р < со в качестве асимптотически минимаксных возникают

тестов, ранее в статистике, насколько известно автору, ¿ручавшиеся. Также, насколько известно автору, при р} 2?<х> ана-"•'¿этшк результатов нет в настоящее время и в теории непарачетрижского оценивания.

3. В задаче обнаружения сигнала с альтернативами, полученными удалением £р -эллипсоида из гильбертова пространства сигналов, 'оказано существование точной границы мевду случаем, когда имеют уесто классические условия различимости, и случаем, когда гипотеза и альтернатива неразличимы в минимаксном смысле. Дано описание этой границы в зависимости от р , о < р - оо , и последовательности длин полуосей эллипсоида.

Для случая р - 2 результаты п.п.2 и 3 получены ранее М.С. Ермаковым*'.

'Ермаков• М.С. Теория верояти.и ее примен., 1990, т.35, В 4, с.704-715; Записки научн.семинаров ШЛИ, 1988, т.166, с.44-53.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. С точки зрения приложений рассматриваемые задачи относятся к классу задач синтеза алгоритмов обнаружения и классификации в условиях непараметрической априорной неопределенности; при этом весьма важно им&ть алгоритмы (тесты), обеспечивающие, по крайней мере, приближенно (асимптотически) минимально зоз-мотшй гарантированный уровень вероятностей ошибок или риска дня заданного множества альтернатив. Именно такие оценки и семейства тестов строятся в диссертации для широкого класса непараметрических альтернатив. При этом изучены и сопоставлены минимаксные свойства ряда классических семейств тестов (таких нак тесты типа Колмог-.-уСУ?;, омега-квадрат, хи-квадрат); установлены минимаксные свойства новых классов тестов для различных классов альтернатив.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на Первал Всемирном конгрессе общества им.Бернулли (Ташкент, 1986), на 1У я У международных Вильнюсских конференциях по теории вероятностей и математической статистике (1985, 1989), на У1 Советско-Японском симпозиуме по теории вероятностей и математической статистике (Киеву 1991), на международном семестре по-теории 'вероятностей и'математической статистике, посвященном памяти А.Н.Колмогорова (С.Петербург, 1993), на Всесоюзной конференции по теории 1/. -статистик (Киев, 1988), на семинаре по асимптотическим методам в статистике в МГУ, на семинаре по методам математической статистики ИЛИИ АН СССР, на семинаре теории вероятности и математической статистике в институте математики СО АН СССР и (многократно) на общегородском семинаре по теории вероятностей и математической статистике ЛСМИ АН СССР - ПОМИ.РАН . .........

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 25 работ•автора, список основных 20 работ приводится в конце автореферата.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, пяти глав и приложения. Список литературы содержит 137 наименований. Общий объем работы - 339 машинописных страниц.

СОДЕРНАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсувдается постановка задачи, приводится краткий исторический обзор, описываются основные результаты работы и методы исследования.

В главе I формулируются и обсувдашся' основные результаты работы для конкретных задач проверки гипотез. В § 1.1 им предшествуют формулировки и схемы доказательств общих результатов теории статистических решений применительно к минимаксным задачам проверки гипотез

в неасимптотическом варианте.

В § 1.2 приводятся результаты, касающиеся неразличимости в за-""'чг" обнаружения сигнала и цроверки гипотезы о равномерности плот-чос"-' распределения на интервале (0,1) для окрестностей в виде ша-р.-г* ? -метрике, 1 $р 6 оо , при отсутствии существенных огра-множества альтернатив. В этом же параграфе формулируется ? гор га 1.2.1, описывающая влияние на различимость формы удаляемой окрестности в задаче обнаружения сигнала для класса окрестностей , ямекхкх вид £р -эллипсоида 1Лр в, у ) . Здесь и ниже под эл-"яггсоцдом Ир (а, Т ) » где а -(л^-^й ) -положительная пос-лэдогятельность, ) ~ ортонорлальная система в

Ь2(0,1) шш и2 ("ЭС,И, Р), понимается множество функций у из соот-вействушцего. пространства, удовлетворяющих условию ^ 1

при О < р соо или ^Р 6 1 при р сх>.

Из теоремы 1.2.1 вытекает наличие грани между случаем, когда имеют место классические условия различимости ( О тогда и только

тогда, когда /£ и случаем, когда ^г = при всех £>о

и 1/>£ > О . Эта грань описывается в терминах функционалов (ё ) и 5 » Ь>0 » характеризующих форму окрестности в зависи-

мости от последовательности 8 и величины р , О ^р ~ оо . Здесь, как и во всех последующих результатах,, существенно различаются три случая: /=¿2 ,2</><<^°и р = с& . Функционалы и

вид -Ч/М-р)

2-л ь■ г,

Е > г<р<оо,

с

у (8, к)- %

Именно, справедливо '

СЛЕДСТВИЕ 1.2.3.

1) Пусть р < о° £ О . Тогда -г О' в том и только

в том случае, если ) < оо и Р£ /£ -г оо ; если л = , то у^ - 1 при всех £ >0 и ^¿>0. ^

2) Пусть р- ост , <с-> О . Тогда О в том и только в том случае, если /£ —* с*3 и найдется такое И >0 , что

оо ; если » (Л,к)=со для всех ¿г > , то - 4 при всех 1>0 я у>е>0 . и

В § 1.3 формулируются и обсуздаются условия различимости и

неразличимости и строятся состоятельные семейства тестов для множеств ¿Г = ¡~<(с11)('г) , Ь ) в задаче обнаружения сигнала и Т-Ь^П

П <те)л(Н в задаче проверки гипотезы о равномер-

ности плотности распределения на единичном, кубе ^ = (0,1) при окрестностях и Уд, в виде шаров в Ьр -норме, > р при 2, р при р > 2 »в зависимости от величин 2 ,р , К и семейств или радиусов шаров; Ь £ -множество плотностей из Ь1(Х,1^}Р). Здесь ИдС'г^р^Ь? - множество функций, заданных на области дс типа шара в пространстве Никольского Т -гладких функций в Ьр -метрике, 1 ё р $ оо , 'х >а , ¡^ >0 , состоящее из-функций, ограниченных постоянной Л вЬр -норме и при , £ ^ О -целое,^€ (0,11 , имеющих все частные производные порядка £ , которые, кроме того, удовлетворяют условию Липшица г Ьр -норме с показателем 2 II постоянной Ь ; Св, [ $: )1$-9<,НР « В }.

Условия различимости формулируются в терминах семейств величин чЯ* и » которые мы называем критическими радиусами. Они имеют вид в зависимости от величины р :

4-1/С4Ш) Е при 1 б р £ 2,

гг/Сгы-р'1)

£ ПРИ 2 < р < СО;

) ПРИ Р = со

в задаче обнаружения сигнала, и

Л л

N при 1

( -¿К ^ при р - £ТОу

где ^ = ^ / К , в задаче проверки гипотезы о равномерности плотности распределения на ¡губе & = (О*

Справедлива следующая теорема, которую мы приведем в несколько

сокращенной форме.

ТЕОРЕМА 1.3.1. Пусть ' Н(0}1)СЬ (¿>е) , где

- шар в ^(0,1) радиуса^ , а, , если р £ 2 и ср-р при р > 2 5 1->о .

1) Пусть р<оо . тогда ^ 1 прии ¿>2? ^ при - ОС,?*). Пусть .р -со , Тогда найдется такое , что ^-¿щш ¿ёт^/^* < Х^.

2) Пусть . Тогда цри^/^3* . при найдется такое Х2><? » что ^ с? при />

Аналогичный результат для задачи проверки гипотезы о равномерности плотности распределения на кубе д =, (о,1}кс. к содержится в теореме 1.3.2 при дополнительном ограничении: 2.'гр> К , если Р > 2 . Отметим вид состоятельных последовательностей тестов при выполнении условий различимости. Они основаны на последовательности разбиений куба на уг.,- кубиков ...... <Г, , соответст-

' ^ «ч-1Л

вующих равномерному разбиению каждого ребра куба на упы

интервалов,и статистиках типа

при

- ] 2 1%/1Р при 2. ^Р^)

при р - № ,

^ отклонение эмпирической меры кубика ¿Гд/^' от

зг"» лебеговой меры при гипотезе Н¿> , - число элементов выбор-•Л- ставших в , с-пы.

Эти результаты позволяют увидеть ряд принципиальных особеннос-проверки гипотез при непараметрических альтернативах как гг сргт^;;яю с . .параметрическими задачами проверки гипотезы, так и нопараметричесюми задачами оценивания. В классических условиях различимости, имеющих место в параметрическом случае, аналогичные крят.^гские радиусы имеют вид = £ и - . В рассмат-

риваемом же случае они существенно отличаются от классических и ояеисят как от порядка, гладкости 1 альтернатив и размерности К , ?ак и от величины р при р > 2 .

В задаче цроверки гипотезы о равномерности плотности распределения состоятельные последовательности тестов при основаны

на статистиках хи-квадрат, число элементов разбиения X Л/ в которых растет с ростом объема выборки. При этом оказывается, что для достаточно "нерегулярных" альтернатив - при 4 £ <. К , число элементов разбиения пы "'Оказывается существенно больше объема выборки: м /Ы <?° при У-* оо . это противоречит традиционным рекомендациям о выборе числа элементов разбиения для тестов хи-квадрат, однако именно такие тесты.обеспечивают состоятельность при минимально возможном порядке радиуса ^ удаляемой окрестности нулевой гипотезы в ¿|р '~ ко'рме для £ ^ р ^ 2.

Отметим также, что порядок критических радиусов и ^р^

отличается от порядка величин сГ £ и минимаксного риска в за-

даче оценившим сигнала или плотности распределения из аналогичных функциональных множеств для функций потерь вида Ь р -нормы уклонения оценки от значения параметра. Эти величины при К= 4 .

2£рссо имеют ввд ^«ЛГ^1*^;

при этом тесты, основанные на статистике Ьр -нормы уклонения минимаксных по порядку оценок параметров от значения, соответствующего гипотезе Нр , по крайней мере, при р - 2 обеспечивают состоятельность для существенно более узкого класса альтернатив по сравнению с оптимально возможным. Такие'эффекты отсутствуют в ре-' гулярных конечнопараметрических задачах. Это показывает существен-' ное различие непараметрических задач оценивания и проверки гипотез. Оно связано с существенно разни,и требованиями к выбору размерностей проекционных подпространств (или ширины сглаживающих ядер при использовании ядерных оценок) в задачах минимаксного'оценивания и проверки гипотез.

Кроме того в § 1.3 показываются существенные преимущества тестов типа хи-квадрат по сравнению с классическими тестами типа тестов Колмогорова и омега-квадрат Мизеса-Смирнова для класса гладких альтернатив с удаленным Ь2 -шаром в минимаксных задачах проверки гипотезы о равномерности плотности распределения на интервале (0,1). ' '"

В § 1.4 формулируются и обсуядаются асимптотически точные результаты для задачи обнаружения сигнала в случав, когда Я = Ыр (а}^ - эллипсоид, У~£ г ТАр^А,^)- шар в ¿^ , О < р £ оо ,

а = с<пУ..)- невозрастающая последовательность, и^О при

п оо} 3 = ) - ортонормальная система в Ь2(0,1),

^ ? 0 при £ О .

При О с р - 2. нижние и верхние границы величини

описываются в теореме 1.4.1 в терминах'решений семейства экстремальных задач

где - множество последовательностей и , удовлетворяющих

условиям

Я^Ъ^Ю* (2)

I

Существование, свойства и примеры решений этой экстремальной задачи обсувдается в § 1.4. Пусть ¡7г = ( последователь-

ность, на которой достигается нижняя грань в (I),. Из теоремы 1.4.1 вытекает

СЛЕДСТВИЕ 1.4.1. При О « р ¿к 2 , £ О

д(Л) = 9(Ты-= 2<Р(~Аъ*г) +*{*) (3)

и .при > О асимптотически минимаксными являются семейства

тестов %{1(е>Ти} и % ~ & {Щ >/\£ /г } ' снованные на статистиках вида ^^¿(хД -1) , где нормирован-

ные эмпирические коэффициенты Фурье системы ^ :

е-1 \

о

Здесь и ниже ('У - функция распределения стандартного нормального закона, есть £ - ы -квантиль нормального распределения, т.е. 9(7^)= 1 -оС. г

т1о:1 1 < р <-оо положим кр = £ ■ ¿>0} и

пусть -6р >О - Значение, на котором достигается нижняя грань. Рассмотрим семейство экстремальных задач

Л^г <4)

где - множество последовательностей а , удовлетворяющих

условиям

(5)

1 1\ Пусть с^ £ = Ср£) " последовательность, на которой дос-

тигается нижняя грань в (4). Она имеет конечное число ненулевых элементов Яе ОО при £ —г О.

Введем дополнительные условия на последовательность а

А1. Для некоторого Сё (0,1) справедливо соотношение

А2. Для некоторого С е (0,1) справедливо соотношение

«Л /я £с'/а > г К

Условия АХ и А2 означают, по существу, степенной характер убывания последовательности сГ.

Для случая 2.¿.р^-оо нижние и верхние границы величин и ^ описываются в теореме 1.4.2, из которой вытекает

СЛЕДСТВИЕ 1.4.3. Пусть 2,<-р<оо , выполнены условия А1 и А2, £ О . Тогда справедливы равенства (3) и при > О,

£ ~ о{уг^г ) асимптотически минимаксными являются семейства тестов иУ и & вида

Здесь

у.и (X) - Ьтср (- иг/1 (их.) - 1.

Статистики ¿/£ вида (6), насколько известно автору, в'задачах проверки гипотез ранее не встречались. Природа их появления, а также природа экстремальной задачи (4), (5), обсуждается в § 2.3.

Для случая р - со положим

ПЕ " ~......"

= упах {К ■ ак } , ~ Щ^П^- . (?)

Пусть величина Т^ а определяется из условий

= ir*.

ТЕОРЕМА 1.4.3. Пусть р = <?о , £ о . Тогда

+ fe^vcR^ + 'U) (8)

и асимптотически минимаксными являются семейства тестов -

_ jj- Г

- 11 f ma< lxt ; I > Tn x Ъ % для некоторого се-

1 l-ZL-é ~г>1 г' Ь > £

"sficisa ! величины и R.ç определены в (7).

с.сшетим, что при р = оо асимптотика (8) минимаксных вероят-г'..о->:а?._ ошибок Jb£ (ос) достаточно нетрадиционна: зависимость от Л ¿иимптосически линейна, а - нижняя грань по ¿х е (0,1) величин X (рс), достигается на некотором семействе ot£ ¿7, Z О .

В задаче проверки гипотезы о равномерности плотности распределения при р <о° результаты аналогичны и формулируются в терминах •,епегий Аы) jэкстренных задач,

аналогичных (I), (2) и (4), (5) с заменой £ на Л/ при некоторых дополнительных ограничениях в § 1.5.

Эти ограничения (условия'В и С) связаны со свойствами пространства ( X , У. ) и системы ^ . Если ( % , ÎA ) есть ( Д. , ¿3 ), А - компакт в ^и ft -борелевская «s' -алгебра, то условие 8 имеет вид: функции удовлетворяют условию Липшица по-

рядка Ы & (0,1"] с постоянной I, = К сГ) для любого S'y О

при К оо . это условие представляется слабо ограничительным и выполнено, в частности, для стандартной тригонометрической системы в U2 (0,1). Условия С имеют вид

я. ^>up iy;^ <оо. п t=i

I

C2. Eg l^i < сто' для достаточно большого H (Н=60).

сз. nyilt09<<*- ..

I

Требуются также условия на скорость убывания последовательности # , зависящие от параметра Y > О

АЗ. ап-о(п"^) при п-*сх>.

Для случая О <-р ^ 2 нижние и верхние границы величин и описываются в теореме 1.5.1, из которой вытекает"

СЛЕДСТВИЕ 1.5.1. Пусть О < р 2 » выполнены условия А1, С1, С2, одно из условий В или АЗ при ^ =. 1- , а также АЗ при

# - ^ - р'1 , Д/ . Тогда справедливо равенство

где (\ ы определяется аналогично (I), (2), и если Дду >С7 , то асимптотически минимаксными являются последовательности =. (У _

и - Уы^ц/г тестов ^ у - "и С1/ > т "I на основе -статистик

второго порядка 1

с ядрами К^ вида

При 2 р < <5° низшие и верхние границы величин в .(ы.) -л у., описываются в теореме. 1.5.2, из которой вытекает

СЛЕДСТВИЕ 1.5.3. Пусть Z<p<c& , выполнены условия АХ, А2,

АЗ при ^ >{ - (2. рУ^ и СЗ. Тогда при справедливо ра-

венство (9), и если ¿Суп ^ - ) то асимптотичес-

ки минимаксными являются последовательности тестов ^ и

^ /у/2 ШДа

Здесь У1// -число ненулевых элементов в последовательности

являющейся решением экстремальной задачи, аналогичной (4)

| _ ^ " "а*/ ; ' ?= ^ '

ы

(10)

а , есть последовательность 1А -статистик., порожденных ядрами

I

^ £ - ¿

где и I^ оО - такие последовательности, что

г/ =

Отметим, что статистики вида (10) в задачах проверки гипотез, насколько известно автору, ранее не встречались.

Для случая ¡--оо автор располагает лишь более грубыми результатами. Пусть ~ т&К [К: ¡/л/}-

ТЕОРЕМА 1.5.3. Пусть р = > М-тоо.

1)Пусть выполнено условие СЗ и елрА^ =о(пТогда

при А/ —* со. V_,

2) Пусть выполнены условия А1, А2, СЗ и РуТN - у2. -в^п^^ье. Тогда у^ -г О и состоятельными являются последовательности тостов

ввда }■

СЛЕДСТВИЕ 1.5.5. Пусть выполнены условия А1, А2, СЗ. Тогда при ЗГгк ^ <í и при •

где >а/ ^ А !/}//€*

■ Главы 2-5 работы посвящены методам исследования минимаксных непараметрических"задач проверки"гипотез, на основе которых приводится доказательство результатов, сформулированных в главе I, и некоторых других. Эти методы представляют, по мнению автора, самостоятельный интерес.

"Глава 2 посвящена построению нижних границ минимаксных вероятностей-ошибок ^ £ (оО и минимаксного риска в задаче обнаружения сигнала, а глава 3 - построению аналогичных границ в задаче проверки гипотезы о равномерности распределения. Б основе построения

лежат неравенства ^ ^^ , ^ '

Здесь - произвольное семейство априорных вероятностных мер на множестве параметров, удовлетворяющих условию Т^е (®е , где ©£ - подмножество, соответствующее альтернативе Н± . Если

) -* I при £ -г £ о I то используется асимптотический вариант этих неравенств: ^ Уе

. Здесь /^е, и минимальные значения вероят-

ности ошибок и риска в задаче проверки простой гипотезы, соответствующей мере . против простой байесовской альтернативы, соответствующей смеси мер Р- - ~ (с! д) по априорной вероят-

„ £■> 'I Г С, в К.

ностной мере -'с £ .

Задача построения оценок снизу разлагается на два этапа:

1) Выбор классов семейств априорных вероятностных мер{7П^, для которых возможна эффективная оценка асимптотики величин (3 ^ (&)

У ¿у»£

и ¿¡£,7<£ при £ —г?о или, по крайней мере, получение условий, при которых Ш Хе,5Г£>°-

2) Выбор в классах конкретного, семейства мер , удовлетворяющего условию

Л* (6>е) - 1 (или, по крайней мере,%Г<5^)"*"1 при £ ) и асимптотически максимизирующего величины^£_>тте

или в этих классах (точная оценка) или такого, для которого

выполнены соотношения: ^ \ , ¿ш¥ У О , £ Е0

(грубая оценка). ' /Л£

Для грубой оценки асимптотики ^ ^ используется следующий

прием. В силу равенства ^ г: ¿- ^ ^ (р£}ед>р£, П£) « гДе

УЛ."? (•, ■ ) - расстояние по вариации, и неравенства \/йЧ[Р}&)<1)(р В)-

С Чг( '

— Ср ( ^р нетрудно показать (лемма 1.2.1), что

при сГ^-гШи = где =

~ а (Рс а /- )- квадратичная мера близости менду мерами Рс &

и Р. Для смесей мер она существенно легче поддаются оценке, чем расстояние по вариации.

Точная оценка асимптотики ^е.л^ и требует исследо-

вания асимптотики статистики отношения правдоподобия ^¿¡л^ =

^ ^ Рг, 7Ге / ^ 9о • В частности, если статистика

¡Л, 'у -"г

допускает представление ' £ 1

где А £ ] - некоторый функционал на кдассс семейств мер,

<5~£О по Р£ ^-распределению, а статистика t асимптотически

нормальна по Р1/да -распределешш с параметрами (0,1), то имеют место соотношения:

и задача максимизации величин £ % (<*■) и асимптотически

сводится к задаче мннимизацш функционалов классу -рк^}

при ограничениях 5Т? (©£) = 1 или ^ ) 1 ПРИ В 202. Если рассмотреть класс семейств мер^ЗТ^, сосредоточенных и равномерных на сферах в конечномерных подпространствах Ь 2 (0,1), или на сферах в конечномерных экспонентных семействах в ¿Д , реализация этой схемы анализа приводит к оценкам снизу в терминах -внутренних радиусов множеств В или / для альтернатив или^ , получающихся удалением из ^ или шаров в /.12 -норме. Однако результаты, которые могут быть получены на основе использования этого класса семейств мер {Т^г] , также как и класса семейств гаус-совских мер на конечномерных подпространствах, использовавшегося в работах М.С. Ермакова, перекрываются-результатами, которые можно получить на основе класса семейств мер, который мы назовем бернул-лиевским.

В. задаче обнаружения сигнала это класс семейств мер следующего вида (§ 2.2). Пусть К* £ -целочисленное, семейство, "^-(у ¡> уУг

- семейство ортонормальных наборов в ¿^(ОД)» = М£ 'п )

- семейство наборов неотрицательных величин. Рассмотрим сигналы

^ = е а ъ^т^нг). ™

С=1

Бернуллиезскими мерами будем называть меры, соответствующие случайным сигналам (12), если ^- набор независимых бернул-

лиевских случайных величин, принимающих значения ¿1с вероятностями 1/2. Для такого семейства мер асимптотика квадратичной меры

близости <Г£ 5J- характеризуется асимптотикой функционала

А * = /1ег№) = I , (13)

откуда получаются условия неразличимости: ^ jï£~* i ПРИ ftp"* О

и-Л**^^ >0при fl(~0(l). Отсюда выводятся утверждения теорем I.2.I при О <~ р "S: Z и 1.3.1 при 1 £= р é 2 в части оценок снизу.

При дополнительных ограничениях показывается справедливость представления (II), где функционал /] £ имеет вид (13), а семейство статистик t £ — 1/ £ имеет вид

! ' О

и асимптотически нормально по 0 -распределению. Отсюда вытекают сценки снизу теоремы I.4.I.

' Второй класс семейства мер jjT^J- , который рассматривается в § 2.3, носит довольно специальный характер. Пусть Jç = (T^jvv - семейство ортонорглалышх наборов в Ь2(0,1), U£ - семейство положительных величин, ~ (р^i>—)Pç ) " семейство наборов величин

р£ ¿е [0,i ) . Меры ТГ^ соответствуют случайным сигналам вида (12)

при = - и£ , где ) ~ набоР неза-

висимых случайных величин , принимающих значение 0 с вероятностью и значеккя - I с вероятностями pf/t- / Z i 5 •

Лдя этого класса мер асимптотика квадратичной меры близости

<§~с определяется функционалом

> Е 2

на основе анализа и максимизации которого при условии

устанавливаются оценки снизу теорем 1.3.I и I.2.I при 2 <■ р < оо. При U 2 % I и некоторых ограничениях на семейство р£ имеет место представление (II), где функционал Я £ имеет вид (14), а статистика t'c - h Е имеет вид Lif - £р( ■ (х{ { ) . где

u ^^ ~ Функции вида (G), и статистика Ь^ асимптотически

нормальна по Р^ 0 -распределению'. В условиях теоремы 1.4.2 отсюда выводятся оценки снизу теоремы.

Причиной появления этого класса мер в условиях теорег.ш 1.4.2 является его экстремальное свойство, которое формулируется в теореме 2.3.1. Рассмотрит.! множество Ол вероятностных мер на множестве бесконечных последовательностей, имеющих ограниченные конечномерные носители. Рассмотрим также формальные суммы

(•"> = ргис./а^р, к£1г(й)=

с

I-т

и функционалы на Л.

*'<Я-Е™Н> «5)

а также подмножество мер £ = е ■ Си)} íJ.

Для меры ТТ^ вида Тс£ иЕ,р£,^£ обозначим через Гс меру на пространстве , соответствующую случайному вектору )

(очевидно 71 * можно рассматривать как элемент ); при этом значения функционалов ("ГГС}. и Я 2 ( Т[ £) вида (14) и (15) совпадают.

Тогда при слабых дополнительных ограничениях мерам ТГ£ с параметрами, определяемыми через решение экстремальной задачи (4), (5), соответствуют меры УГ ^ , на которых достигается нижняя грань в

экстремальной задаче: А^ ~ { Я СП) Я & ^ £

Третий класс семейств .мер 1с £ изучается в § 2.4. Пусть

У 2 - Г Т^-п ) ~ семейство ортонормальных наборов из

цг( 0,1), 'ис-С ) и рг семейства

наборов положительных величин, причем 53 Р • "= £ . Мера ТГ^ сосре-' ¿ >с

доточена на множестве ^ из сигналов ¿- £ <-1 егс Т? с и сопоставляет каждому из них вероятность р^ е-, с - Х-,.,.,

.Меры такого "реперного" тппа в минимаксных непараметрических

задачах проверки гипотез впервые использовались , по-видимому, х)

М.В. Бурнашевым . Для этого класса семейств мер на основе анализа квадратичной меры близости i5~£ также устанавливаются условия неразличимости, из которых выводятся оценки снизу теоремы 1.3.I при р •= оо.

Однако в отличии от двух лредццуцих классов семейств мер, эти условия оказываются слишком грубыми. Более точный анализ, который приводится в теореме 2.4.1, показывает, что при К -*■ о° и надлежащем выборе набора jog вероятностей (при сохраненш носителя

^ п меры Tt£ ) при определенных ограничениях на наборы ц£ отношение правдоподобия — titРс ^ /с1Ре „ оказывается асимптотически

постоянным по Рг 0 -распределению и равным 'PCRеJ , где семейство/^

определяется из соотношения ~ ) X 1 • Отсюда

вытекают соотношения 1

AiTttMr9(K£W-«y°W> Ye.fi^WRel'-'M

и из них вытекают оценки снизу теорем 1.2.1 и 1.4.3 при j>-cO-

В главе 3 аналогичные результаты получены для задачи проверки гипотезы о равномерности плотности распределения.

Классы последовательностей мер определяются аналогично

соответствующим классам в главе 2 с тем отличием, что носители их

— V 9

сдвигаются на функцию н: 1 , множитель В заменяется на А/ , и ортонормальные наборы J^ должны лежать в (%} Р) > Если

при этом Titf ()t при N оо t то можно получить аналогичные условия неразличимости. Отсвда выводятся утверждения, касающиеся неразличимости в теоремах 1.3.2 и 1.5.3.

Для бернуллиевских мер в § 3.2 при некоторых дополнительных ограничениях устанавливается асимптотическое представление, аналогичное (II) при Е~А/~*оо , где tfj-TJ^/ есть последовательность 7/. -статистик второго порядка, порожденная последовательностью

х)

' Бурнашев Г.'.В. Теория вероятн. и ее примен., 1979, т.24, с.106-118.

ядер вида

-1

с

к/*,у; - л'м1 7L

а также устанавливается асимптотическая нормальность статистик lit/ по PN -распределению. Отсюда выводятся оценки снизу теоремы 1.5.1 Для второго класса мер в § 3.3 устанавливается представление,

аналогичное (II), в котором t^-L^-fZ/V ZКЧ^ы >

с

где Z,, • - статистики вода, аналогичного (10), а также асимпто-

' ,U I nV

тическая нормальность последовательности статистик ¿jw по f

распределению. Для этого используется мартингальное представление статистик Ltf и центральная предельная теорема для мартингалов. Отсюда выводятся оценки снизу теоремы 1.5.2.

Главы 4 и 5 посвящены построению состоятельных и асимптотически минимаксных семейств тестов. В основе построения лежит изучение минимаксных свойств семейств тестов, основанных на статистиках, возникающих в качестве главного члена разложения логарифма отношения правдоподобия для классов мер, рассмотренных в главах 2 и 3, а также на некоторых других семействах статистик. На этой основе устанавливаются утверждения теорем главы I в части состоятельности и асимптотической минимаксности семейств тестов, а также некоторые другие результаты, в частности, оценки сверху в терминах поперечников Колмогорова множеств S* сигналов или плотностей распреде-' ления при удалении из них шаровых окрестностей Л/^ или V^ в норме.

Схема методов исследования.описывается в § 4.1 и состоит в следующем. Пусть имеется класс семейств {£ | статистик на (JC , Ц^), удовлетворяющих условиям f

Рассмотрим функционалы

К Ч>, У' 11 ,кс <*t ) ^

Тогда если выполнены условия

Tg -^00 , T£/k£(t£)

то семейство тестов т - ~>Т£ } является состоятельным,

а если выполнено условие

Е-£0) (17)

ВЬ®г '

и для любого семейства £ О £ }, для которого |г £ , -

семейство статистик , асимптотически нормально

с параметрами (0,1) по $ - распределению, то

<* С% г.1 - ^ >£г<Ч>*,тл)- <Р<Т*Ьг «« 2»

Таким образом, для выбора в классах семейства статистик с асимптотически наилучшими минимаксными свойствами мы приходим к экстремальной задаче

к£и£) к^&^г), (К)

причем выполнение условий (16), (17) и условие асимптотической нормальности требуется проверить лишь для семейства статистик, по которым асимптотически достигается верхняя грань в (18). В ряде случаев с помощью теорем о минимаксе в (18) можно поменять местами верхнюю и нижнюю грань:

л^/э СпЬ к£(Р,Ь€)= (19)

Ь€ & д

и экстремальные задачи в правой части (19) часто оказываются фактически совпадающими с рассмотренными в главах 2 и 3, что и определяет свойства минимаксности соответствующих семейств тестов.

В главе 4 эта схема анализа реализуется для семейств тестов в задаче обнаружения сигнала, а в главе 5 - для последовательностей

тестов в задаче проверки гипотезы о равномерности плотности распределения.

В § 4.2 рассматривается класс семейств статистик вида

и = 2 И/ . (Хе2г±) и/ ■ > * , (20)

С <■

соответствующих семейству конечных или бесконечных ортонормальных набогюв — (у ,--■.> Функционал £ 2/е ) в этом

случае имеет вид; ' ^ ' ц 1 — 23" ИЛ ■ \/г ? ; здесь и низе

С - Е ~1( Тг / ) - нормированные коэффициенты Фурье сигнала 6 — ' -</2 по системе ^ .В частном случае при функционал

ку цмее,г вид И€ (Ч, (2 пе у1/2г2и >

где - линейная оболочка набора уе " (Углу' )> ~

оператор ортонормального проектирования 1л0,1) на подпространство и .

Для статистик (20) проверяются условия (16), (17) и устанавливается их асимптотическая нормальность. На этой основе формулируются условия минимаксной различимости и верхние границы ^¿С"^) в терминах поперечников Колмогорова множества 8 для семейств альтернатив , получающихся удалением из шаров в -норме. Здесь же приводится сопоставление минимаксных задач обнаружения и оцеиивания сигнала.

В § П2 приложения (теорема П2.1) доказано следующее свойство операторов проектирования функций (£ б Ил р, Ь ) для выпуклой

ограниченной области Л с У? ^на подпространство Ь ^ функций, постоянных на элементах (сГ.^. ¿V разбиения на п = № к

с* "К

подмножеств, удовлетворяющих условиям Л с ,

с{¿скт(5~- £ В/УУ1 , П , для некоторого 6>0, где Л -

мера Лебега, справедливо неравенство

^ИуЛ/^-^т-*, (21)

где и /5 О не зависят от и .

■ ' С использованием (21) устанавливаются утверждения теоремы 1.3.1 в части состоятельности тестов при I < р < 2 .На основе

анализа экстремальной задачи (18) для бесконечной системы ^ выводятся утверждения теоремы 1,2,1 при 0<-р ¿2 и теоремы 1.4.1 в части верхних границ.

В § 4.3 рассматриваются обобщения статистик 1Л £ вида

I ' . ' I '

где 2 ^ р < оо и С р У (Р , с!р > О - центрирующие и нормирующие постоянные. Для этого класса семейств статистик устанавливается соотношение (16) и строятся оценки И е (Ч, Х<Г) ^

I '

На их основе устанавливаются верхние границы теоремы 1.2.1 при

2 <]®*оо. При *е,£ = ЫрПг)Уг\

отсюда вытекает неравенство

к 1/ре>,х*) > 4ииР г'»/?'

откуда с использованием неравенства (21) выводятся утверждения теоремы 1.3.1 при 2<р<оо в части состоятельности тестов.

В § 4.4. рассматривается класс семейств тестов вида у^ ,

где - семейство событий вида | ( ^ / - )

соответствующее семействам ортонормальных наборов и положительных величин \л/£ . Методика анализа этого класса тестов несколько отличается от описанной выше. Показано, что при выполнении условий:

теп и/г . О а ,] = ,

I ' ^ I

для любого (0,1) семейство наборов и/£ можно слегка "поправить",

изменив на семейство с > так» чтобы

выполнялись соотношения ' ' '

где )= А>"Р(1\/с //-кЛт ; ) .На этой основе уста-

назлпваются утверждения теорем 1.2.1, 1.3.1 при р = ОО и теоремы 1.4.3 в части верхних границ.

В § 4.5 изучается класс семейств статистик, соответствующих семействам конечных ортонормальных наборов у^,

где (х) - функции вида (6). В этом случае

Для этих семейств статистик и семейств альтернатив ^ ^ удовлетворяющих условию т»/ | \/с 1 ^ , где <57-9О

при ? . при дополнительном условии: к р . =

Г--С '

для некоторого о0 >0 , показывается, что выполнено условие (17) и условие асимптотической нормальности. Альтернативы вне $? легко"отсечь", используя результаты § 4.4, с помощью тестов вида

~ 'й £ тс*х }% I См. у1~с' \, так что для комбинированных I € г ££С6К£ ^

тестов - где У£/Г = £ > Г} ;>

мы приходим такие к экстремальной задаче (18) для функционалов (22). В условиях теоремы 1.4.2 при -(у^^... ) » где -

число ненулевых элементов в последовательности Ц,^ , определяемой из экстремальной задачи (4), (5), нетрудно ввдеть, что

С»* М^Л)»^1'** (23)

где 7Г*" - мера, соответствующая мере второго класса

с параметрами, определяемы!® решением экстремальной задачи (4),(5),

ДС?*,'*) - ¿= ^ . Учитывая, что Д ({с, ?Г) = 2 (К) и

используя теорему 2.3.1, мы■показываем, что нижняя грань в-(23) есть величина Д£ , откуда вытекают утверждения теоремы 1.4.2 в части верхних границ.

В главе 5 методы главы 4 переносятся на-задачу проверки гипотезы о равномерности плотности распределения. В § 5.1 изучается •

класс последовательностей К -статистик второго порядка, порожденных последовательностью ядер К*/ У ) , которым соответствуют симметричные операторы Гильберта-Шмидта К^ в 1*г В ) ,

2 II Кд/ II2 ^ í и выполнено услозис В -вырожденности: Ку 11 ~

Для этого класса статистик У.^ )= ,

Гт-

При ряде огршшчешш на последовательность ядер и множеств г^ устанавливаются соотношения (16), (17), а также условия асимптотической нормальности для "локальных" альтернатив: в к г ~~ норме. Учитывая, что статистика хи-квадрат для £ -равномерного разбиения Пы пространства отличается от IX -

статистики, соответствующей оператору проектирования на пространство функций, постоянных на элементах ■ разбиения, лишь неслучайными множителем и слагаемым, отсвда выводятся утверждения теоремы 1.3.2 в части состоятельности тестов при £ р 2,

Также показывается, что если альтернативы допускают аппроксимацию в Ц ^ -норме конечномерными подпространствами размерности кI^ - а(/\/2),10 о помощью тестов на основе Ц -статистик,

соответствующих операторам проектирования на эти подпространства, можно "отсечь" такие альтернативы из ^ , что || Ц ¿> ^

для некоторой последовательности О . Используя эти резуль-

таты, аналогично доказательству теоремы 1.4.1, устанавливаются верхние границы теоремы 1.5.1.

В § 5.2 исследуется класс последовательностей статистик , ¿¿р<оо | соответствующих последовательности Р -равномерных разбиений сГу ^ пространства %} <?(А/) . На ос-

нове оценок среднего и дисперсий статистик (приложение,§ПЗ)

показывается, что достаточным условием состоятельности соответствующих последовательностей тестов является выполнение условия

Ы* ПК, С*-й)И

где - подпространство функций, постоянных на элементах раз-

биения. На основе неравенства (21) отсюда выводятся утверждения теоремы 1.3.2 в части состоятельности тестов при 2. ^р < со.

Б § 5.3 рассматриваются последовательности тестов у/^ = ~ ^[М >/с бип^ т основе статистик Му вида, аналогичного (10),

и выводятся утверждения теоремы 1.3.2 при р и 1.5.3 в части

состоятельности тестов.

В § 5.4 изз'чаются тесты на основе статистик вида

и - Цр,. г • , 1гМ Лр 5- ^ {. , и устанавливаются верхние А/ ■ I г?)I А/1 С (Л / с

^ £

границы теоремы 1.5.2.

В приложение вынесены доказательства ряда утверждений, которые носят технический характер.

По теме диссертации автором- опубликовано 25 научных работ, в том числе:

1. Ингстер Ю.И. Асимптотически оптимальные тесты в трех вариантах задачи проверки сложных гипотез. - Теория вероятн.и ее примен,

1981, № 3, с.632-634.

2. Ингстер Ю.И. О минимаксном непараиетрическогл обнаружении сигнала в гауссовском белом шуме. - Проблемы передачи информ.,

1982, й 2, с.61-73.

3. Ингстер Ю.И. Об асимптотической эффективности тестов проверки простой гипотезы против сложной альтернативы. - Теория вероятн., и ее примен., 1982, й 3, с.587-592.

4. Ингстер Ю.И. О минимаксной различимости семейств-непараметричес-кпх гипотез. - Доклады ЛИ СССР, 1982, т.267, 3, с.536-540.

5. Ингстер Ю.И. Асимптотически оптимальные байесовы тесты проверки сложных гипотез. - Теория вероятн.и ее примен., 1983, т.28, )Ь 4, с.738-757.

6. Ингстер Ю.И. Асимптотически минимаксная проверка гипотезы о типе распределения независимой выборки. - Теория вероятн.и ее примен.,

1983, т.28, 4, 799-800.

7. Ингстер Ю.И. Асимптотически минимаксная проверка гипотез-о плотности распределения независимой выборки. - Записки научн.семин.

• ЛСНИ АН СССР, 1984, т.136, с.74-96.

8. Ингстер Ю.И. Асимптотически минимаксная проверка непараметрических гипотез о спектральной плотности. - Теория вероятн. и се

■ применен.; 1984, т.29, В 4, 809-810.

9. Ингстер Ю.И. Асимптотически оптимальные тесты проверки сложных конечнопараметрических гипотез. - Теория вероятн.и ее примен., 1985,15 2, с.289-308.

10. Ингстер Ю.И. Асимптотически минимаксная проверка гипотезы независимости. - Заплскп научн.семпн.ЛСШ АН СССР, т.153, с.60-72, 1986.

11. Ингстер Ю.Н. Минимаксная проверка гипотез о плотности распреде-лекпя в метриках Lp . - Теория вероятн.и ее примен., 1986, т.31, ■Is 2, с. 334-389.

12. Ингстер Ю.И. Лспштотическн минимаксная проверка гипотези независимости и других сложных гипотез. - Теория вероятн. и ее применен., 1986, т.31, Js 3, с.633-634.

13. Ингстер Ю.Н. О сравнении минимаксных свойств тестов Колмогорова, Сйг и . - Теория вероятн. и ее примен., IS87, т.32, J& 2, с.400-404.

14. Ингстер Ю.И. Минимаксная проверка простой гипотезы против слабо непараыетрического множества альтернатив,- Теория вероятн. и

' ее примен., 1988, т.33, \Ь 3, с.592-596.

15. Ингстер Ю.И. Минимаксное обнаружение сигналов в метриках ¿р . -■ Записки научн.семин. ЛШИ АН СССР, 1990, т.184, с.152-168.

16. Ингстер Ю.И. Минимаксная проверка гипотез при иепараметрической альтернативе. - Шестой Советско-Японскш! симпозиум по теории вероятностей и математической статистике. Тезисы докладов,с.68, Киев, 1991.

17. Ингстер Ю.И. Минимаксная проверка гипотезы независимости для э ллнп соидов в {р. - Записки научн.семин.СПбСШ РАН, 1993, т.207, с.77-97.

18. Ingster Yu. I. flsymptotica 1 ly minimax testing of noriparametric hypotheses. - Probability Theory arid Mathematical Statist. Proc. of the Fourth Intern. Vilnius Conf. , Vilnius, 19£5, v. 1,

p. 553 - 573. VNU Science Press BV, 1987.

19. Ingster Yu. I. Adaptive minima* tests for nonparametriс hypotheses testing. — Probability Theory and Mathematical Statistics. proc. of the. Fifth Intern. Vilnius Conf., v. 1,

p. 539 - 549, VSP/Mokslas.

20. Ingster Yu. I. flsyrnptot ical ly minima* hypotheses testing for nonparanetric alternatives. I. - Mathematical methods of statistics, 1993, v.£, N ¿, p. 85-114.