Вопросы обнаружения сигнала в условиях априорной неопределенности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ВОПРОСЫ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛА В УСЛОВИЯХ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ

01,01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1997

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном институт точной механики и оптики (техническом университете)

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

доктор технических наук, профессор В.Г.Дегтярёв доктор физико-математических науи М.С.Ермаков

кандидат физико-математических не доцент Н-Н.Амосова С.Петербургское отделение математ* ческого института им. Стеклова РА1

Защита состоится " ^ " 1997 г. в " часов на заседант

диссертационного совета К 063.57.29 по защите диссертаций на соискани< учёной степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственно» университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, СтЛЗетергоф, Библиотечная пл., д.2, математико-механическйй факультет СПбГУ, ауд.3536.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М Горького СПбГУ по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан " ^ " лм^ууис^ 19д7г

Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-матем.наук, доцент

О.И.Рейнов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ Задача обнаружения сигнала в условиях априорной неопределённости в рассматриваемой постановке сводится к построению асимптотически минимаксных тестов и к исследованию асимптотики эффективности этих тестов для задачи проверки простой гипотезы о сигнале в гауссовском белом шуме при непараметрической (бесконечномерной) альтернативе. Эта задача является одной из классических задач непараметрической статистики.

Для непараметрических задач проверки гипотез асимптотически минимаксный подход является одним из наиболее естественных, при этом возникает минимаксный критерий качества тестов. Асимптотически минимаксный подход для непараметрических задач оценивания развивался с начала 60-х годов и связан с работами Н.Н.Ченцова, Р.Фарелла, И.А.Ибрагимова, Р.З.Хасьминского, М.С.Пинскера, Д.Л.Донохо, И.М.Джонстона и многих других. С начала 80-х годов началось систематическое изучение непараметрических задач проверки гипотез в минимаксном варианте в работах Ю.И.Ингстера, М.С.Ермакова; в 90-х годах в работах О.В. Лепского, В.Ф. Спокойного.

Первые результаты об условиях различимости для рассматриваемой в работе задачи получены Ингстером в 1982 году. В работах Ингстера 1982, 1986 годов изучались условия различимости в задаче обнаружения сигнала для шаров Соболева 5'° с удалённым -шаром. Первые результаты, касающиеся точной асимптотики вероятностей ошибок для г2-эллипсоидов общего вида с удалённым ¿2-шаром, были получены Ермаковым в 1990 году. Аналогичные результаты для /р-эллипсоидов с удалённым ¡р-шаром были получены Ингстером в 1990-1993 годах. Диссертационная работа посвящена изучению неоднородного случая рф Ц-

Начиная с 90-х годов в математической статистике всё больший интерес вызывают неоднородные задачи. Это связано, в частности, с работами Донохо и Джонстона, которые рассматривали задачи оценивания для классов Бесова и функций потерь типа £р-норм при у ф Ц- В задачах проверю! гипотез условия различимости для шаров Соболева - или Бесова с удалённым £р-шаром изучались Лепским и Спокойным в 1995-1996 годах. Однако систематических результатов, касающихся точной асимптотики вероятностей ошибок в неоднородных минимаксных задачах проверки гипотез, до работ диссертанта не была

В этой связи изучение точной асимптотики вероятностей ошибок в минимаксной задаче обнаружения сигнала для неоднородного случая представляется важным и актуальным.

В работе исследуется точная асимптотика минимаксных вероятностей ошибок в задаче проверки простой гипотезы Щ в = 0 о сигнале, наблюдаемом в гауссовском белом шуме интенсивности е —♦ 0, против непараметрической альтернативы Л- : з £ 5,, где множество соответствует -эллипсоиду, 0 < д < оо, с длинами полуосей а"1 \ 0 и с удалённым ¿Р-шаром, 0 < р < оо, радиуса р£ при фиксированном ортонормальном базисе в ¿г(0,1).

Эта задача сводится к проверке гипотезы Нц ■ V — 0 о среднем бесконечномерного гауссовского вектора против альтернативы Я\ : т> £ V-, где Ъ -- (ь>1,..., ь\ ...)

является, вектором координат сигнала е 1 s(t) в фиксированном базисе, а множество Vs имеет при q < оо вид; Vs = {0, J^ S {Ps/s)p, Y. al М* S a при

q — ос вид: К = {»;, £ Mp > {Pe/s)p, зцр{<ф;|} < (e)-1}. ' i i Минимаксная вероятность ошибок определяется следующим образом: ¡3e(V£,a) = iiif{sijp{ii„(l - %!))}}, где нижняя грань берётся по множеству тестов ф

* vev,

уровня значимости а : Едф < а, « 6 (0,1).

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью работы является получение точной асимптотики минимаксных вероятностей ошибок II рода (3e(V£,a) для задачи обнаружения сигнала при непараметрических альтермативах, соответствующих /„-эллипсоидам с удалённым ¿р-шаром, и изучение зависимости этой асимптотитики от скорости убывания длин полуосей эллипсоида а^1 и радиуса удаляемого шара ре.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В работах Ингстера для определённого класса задач была разработана методика сведения задач проверки гипотез к специальным экстремальным задачам, состоящим в нахождении экстремума функционала:

U==iuf{||7f||2, ^ГбП,}, (1)

оо

где ||7г||2 = J2 / /(ет " 1)тг;(б2«)?г;(</г;), а множество Пе для рассматриваемых аль-i=12ïi л,

тернатив имеет при q < 00 вид:

= 7г = (7г1,...,7гь...), ^(д!) = 1, £ejvf>(pt/sy, ^°че«мч <е~4}, ■

i г

а при q = 00 вид:

П. = {îr, . Зг = (7гь ...,щ„..), «-.-([-(«че)-1, (oie)"1]) = 1, К > ШеУ},

i

и показано, что при выполнении определённых условий, если существует такая экстремальная мера 7г*, что щ = ¡¡-тг* то выполнено соотношение:

/9е(%,в) = Ф(Га-«е) + о(1), (2)

где Ф - функция распределения стандартного нормального закона, величина Та -(1 — а)-квантиль, а ие - решение соответствующей экстремальной задачи.

В работе решается и асимптотически изучается соответствующая множеству Ve экстремальная задача для неоднородного случая q ф р и последовательностей полуосей достаточно общего вида, включающего случай по порядку степенных последовательностей а : а = (ai,... ,Oj,...), щ — г~с- с,; > 0, с, х 1 при i —> 00, t > 0.

В работе показывается, что исходная экстремальная задача "расщепляется" на "одномерные задачи" для вероятностных мер на Ri, которые при q < оо имеют вид:

à(Xi,fi) = iaf{|j(rj||2, 7Tj G Щ,„}, ГГЛ,„ = {^(Д,) = 1, E^vf = Af, E„\vf < *?}, (3)

а при q = ос имеют вид:

é(\i) = infilMI2, тг; S Щ 4}, Пх i = {^((-(«це)-1, (0,-е)-1]) = 1, Ещ = А?}, и справедливо соотношение, которое мы приведём для случая q < оо:

ОО ОО 00

= inf{^ ¿(А„ «,,■), Y, A* > (л/е)*, ayt < е-'}. (4)

i—i i=i »=1

При ç = оо справедливо аналогичное соотношение.

Затем решаются "одномерные задачи" (3), показывается, что существует единственный набор решений "одномерных задач", который является решением (4), и проверяется выполнение условий, при которых справедливо соотношение (2).

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации получены следующие результаты.

I. Исследованы "одномерные задачи" и показано, что, если множество, по которому ищется инфимум, не пусто, то точные нижние грани в этих задачах достигаются, и оптимальными мерами являются меры: щ — (1 — hj)60 + /¡.,(6 ^ + ¿>ь,)/2, где Ьь - мера, сосредоточенная в точке Ь, О < h, < 1.

П. Показано, что в исследуемой задаче при q > р и достаточно медленном убывании полуосей эллипсоида нет различимости.

III Показано, что для рассматриваемых последовательностей полуосей эллипсоида при наличии различимости возможны 3 вида асимптотики величины Ие(Ре), и описаны эти виды.

IV. В терминах критических радиусов р* указаны условия различимости в рассматриваемой задаче, а именно, Д.-(а) —> О рс/р' ~> оо и ре{а) —> 1 — а <=»

р«/Р: 0.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Задачи обнаружения сигнала в условиях априорной неопределённости широко распространены в различных приложениях (например, в задачах радио-, гидро- и звуколокации). Поэтому результаты работы, где получена точная и порядковая асимптотика минимаксной эффективности для широкого класса непараметрических альтернатив могут найти широкое применение, а решение одномерных задач представляет самостоятельный математический интерес, так как подобные задачи возникают при решении многочисленных задач математической статистики.

АПРОБАЦИЯ. Результаты работы докладывались на общегородском семинаре по теории вероятностей и математической статистике ПОМИ РАН, в институте Вейерштрасса, Берлин, представлялись на IV Всемирный конгресс общества им, Бернулли (тезисы напечатаны).

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 2 работы автора и одна совместная работа, список приведён в конце автореферата.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, пяти глав(и приложения (рисунков). Список литературы содержит 24 наименования. Общий объём работы 108 машинописных страниц.

о

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обсуждается постановка задачи, приводится краткий исторический обзор, описываются методы исследования, в частности, формулируются условия, при которых из работ Ингстера (1993, 1996) следует выполнение соотношения (2) для рассматриваемой в работе задачи, описываются основные результаты и приводится обзор содержания работы.

В главе I приводится методика решения экстремальных задач. В §1.1 приводится точная постановка задачи. В §1.2 изучается случай медленно растущих последовательностей а = (а 1,... ,а,,...) при д > р.

Вводится величина ¿(р,д):

и доказывается, что справедлива

ТЕОРЕМА 1.1. ^

Пусть величины а,- —» +со, строго возрастая, д > р, ряд арасходится.

Тогда при достаточно малых е выполнено: иг = щ(р,р,д,)=Ои ДД«) = 1 — а.

В §1.3 доказывается, что возможно "расщепление" исходной экстремальной задачи на "одномерные задачи", и решаются соответсвующие одномерные задачи. Обозначается через /Зр корень уравнения и2 — р1а.пк(и2/2} = 0 и доказывается, что справедлива

ТЕОРЕМА 1.2.

Точная нижняя грань в невырожденных экстремальных задачах

достигается на мерах тг' = ( 1 — к )80 + Л ( 6Ь + 6_ь )/ 2. где величины ?1б[0, 1]иЬ>0 имеют следующий вид

1а. Если оо > д > р, р < 2, и > X > О, то И, = 1, Ь ■■= X. 16. Если оо > 5 > р, р < 2, А > и > 0, то Т1\и = 0. Па. Если оо > д > р > 2, и > X > О, то

при р < 4, д < оо,

при р < 4, д = оо,

при р > 4, д < оо,

при р > 4, д = оо.

Ф (А, 4>) - Ш { (¡7г||2, 7г 6 Пл., }, Пл., Ф 0

или

ф (А) = М { ||тг|12, * € Пх 4 }, Пх 4 ф е

116. Если оо > <7 > р > 2, А > > 0, то П а,1/ = 0-Ша. Если 0 < д < р < 2, Х > и > 0, то

Ъ. = ( и / А )и/(Р-9)1 ь = ( Ар / И )1/(Р-?).

Шб. Если 0 < д < р < 2, и > X > О, то Л = 1, Ь = А. 1Уа. Если 0 < q < р, р > 2, А > у > О, то

, _ Г ( Л / при Ар < I/®

\ о /л )и/(р-ч) при л" > и /зр '

Г ?? при Хр < I/«

| ( Ар / г/9 при Ар > ич Др? '

1Уб. Если 0 < д < р, р > 2, I/ > А > 0, то . .

^ = ( ( А / )» при А <

{ 1 при X > ¡Зр'

_ Г при X < (Зр ~ | А при А > /39 '

Уа. Если д = оо, р < 2, 0 < А < 1 /( е сц), то Л = 1, 6 = А. Уб. Если д = оо, р < 2, А > 1 Д е а;), то П д ; = 0-У1а. Если д = оо, р > 2, 0 < А < 1 / ( е сц ), то

при X > ¡Зр ( А / /?„ )* при А < /Эр < 1 / ( г <ч ) , ( А е Ог )р при 1 / ( е а, ) < /Зр

{А, при А > Зр

/Зр, при А < (Зр < 1 / ( 5 <ц } .

1 /( е а,- ) при 1 / ( е 1Ц ) < Рр

У1б. Если д = оо, р > 2, А > 1 / ( е ^ ), то ПЛ = .0-

VII. Если в условиях пунктов а) и или А равны пулю, то ж* — 6о

При этом н условиях 16, Пб, Уб, У1б положим

Ф ( X, V ) = ф ( X) — оо,

аче

ф( X, V ) — 2 /г 6-;пЬ2(Ь2/2), ф ( А ) = 2 /ь2 ыаЬ2(Ь2/2)

В §1.4 доказывается, что, если в экстремальной задаче (1) при д < оо точная жняя грань достигается на мере 7г* — (7г£,... ,7г,*,...), то для этой экстремальной

ОС ОО

ры выполнены соотношения: Кг; М* = А£, Е^\и\ч — и?, £ X, —(ре/е)р, =

¡=1 ¿=1

В §1.5 вводятся новые переменные: ж, = Af, уг — и', в пространстве пар числовых последовательностей Z+ — {z = (х,у). Zi = (а;,,;/,): > 0,у; > 0}

со ОС

рассматривается выпуклое множество />£А — {(ж, у), = (ре/е)р, £аЪг --

' ' i=l i=l

ЭО

е~?} и доказывается, что функция f(x,y) — J] !',)> где ф(х{,у{) = ф(Х{,и{),

г=1

является выпуклой функцией аргумента г = (ж, у), а функция Ф(х{,у{) = ■¿'(г;) является выпуклой функцией аргумента г,- При этом исходная экстремальная задача сводится к задаче нахождения точной нижней грани выпуклой функции по выпуклому множеству:

«?(р.) = toft/СЮ, ^е /Л.,Л (5)

и, обозначая Пг = {тг, ¡¡тг|) < оо, EVj\u\f = а;, ЕЯ1\и\ч < у,}, заключаем, что при q < оо справедливо следующее

СЛЕДСТВИЕ 1.4. Если существует точка z* € Dsp, такая, что —- f{z*), то существует такая последовательность мер п* е IIj*, что Цтг*!]2 = "Кр)> точка я* лежит на границе множества D£:P и единственна.

При q- oo экстремальная задача аналогично сводится к задаче нахождения

оо

инфимума выпуклой функции f(x) = по выпуклому множеству 1)*р =

2=1

оо

{ж, х, — (pe/g)p, 0 < Xj < (ajs)~p} и справедливо аналогичное ¿=1

СЛЕДСТВИЕ 1.5. Если существует точка z* 6 D?"p, такая, что = /(г*), то эта точка лежит на границе множества DfJ, и она единственна.

В главе 2 при помощи метода множителей Лагранжа экстремальная задача сводится к системам уравнений (при i ф j системы независимы). Затем показывается, что при всех р, q и при всяком г системы имеют единственное решение, зависящее от р,д,<н и "множителей Лагранжа" А и В. Это решение находится по порядку равномерно по г (т.е. с точностью до множителей, отделённых от нуля и от бесконечности общими положительными постоянными; в работе указаны уравнения, корнями которых являются эти множители).

При этом равномерно по i определяются величины h*,b' и решения одномерных задач ф(\,и{) как функции от А и В. Исследуются свойства функций х'(А,В) = h*[A,B) ■ (Ь*(А,В)У и у'(А, В) = h'(A,B) ■ (Ь'(А, В))4, показывается, что ж* и у* непрерывны как функции двух аргументов на Щ и возрастают по А. Доказаны теоремы

ТЕОРЕМА 2.1. При р < q < оо, р <2 координаты z* точки z* определяются выражениями

, _ Г a A*/<4-ri при г < тпе, , _ , ,)ф

* \ Ci (А/В а^уКч-р) при i > mE, Vl ~~ l i; '

где коэффициенты а при всех г принадлежат промежутку [со, 1], со — сс(р,д)> 0. Номер те определяется из неравенства

В < < 4п(Ар)(-*"']/(4-р> < В <+1.

где ^ = эшЬ(х1)г/р/(х1)2/р; г{ —» 1 при « —» оо.

ТЕОРЕМА 2.2. При остальных р и д < оо имеем

1). Если д > р > 2, р < 4, то величины Щ и Ц определяются выражениями

«.* _ / й при « < «> . * _ / А (ЦУ~4 при г < т,

' ~ 1 с, (АЦВа^))1'^ ггри г > п, ~ \ 1 при г > т,

где постоянные а я сЦ равномерно по г отделены от 0 и от оо. Номера пит, т> п определяются по порядку при е —» 0 из условий

А „ А 1

«Ï ~ -,

В' '

2). Если q > р > 4, то величины h* и Ь* определяются выражениями

l»_ i Q при » < п, ,, , ,

- \а (А/{Ва1)У^ при i > п, ^-«¿(М -

где постоянные q и fi, равномерно по » отделены от 0 и от оо. Номер п определяются из условий а'+1 > (Л/В) cq > а|, величина со > 0 будет указана в дальнейшем.

3). Если q<p-, р > 2, то величины h* и Ь* определяются выражениями

Ь» . /с« &

Ь* - 1 С, (Bal

где постоянные с,- и ¡L, равномерно по i отделены от 0 и от оо. Номер п определяются из условий > (А/В) со > в®, величина > 0 будет указана в дальнейшем.

4). Если q < р. р < 2, то величины h\ и 6* определяются выражениями

,, _ Г с, при г < т, ,» _ / 1 при г <т,

_ I с, (ВаЦА)^ при i > m, '' ~ I rf;.4(6?)P-2/sinh(b')2 при i > m,

где постоянные q и dt равномерно по i отделены от 0 и от оо. Номер т определяются из условия а%,= со (А/В) А^'^4'^ + о(1), при е —» 0 величина со > 0 будет указана в дальнейшем.

5). Если q < р, р = 2, то величины Л* и Ь" определяются выражениями

(с А1'2 при i <т, .

c,-(Ba?M)J при т. < i < п, ft? = | ^ A/sinh(b.)2 при I > ^ с, (ВаЦ-i1)2-ч при i > п,

где постоянные Сх и равномерно по < отделены от 0 и от оо. Номера пит определяются из условий а|в х ~М2/В, а^аА/В при е —> 0 .

ТЕОРЕМА 2.4. При д — со координаты г* — ж* = Ь*(Ь')Р точки г* определяются при достаточно малых е следующим образом:

1. Если р < 2, то

= Г при I < п,

' \ (£а<)~р при I > п,

где постоянная с(Л) —> при А 0, а номер п определяется из условий

этЬ(еа,) (га„)2_р < рА/2 < 81х&{гапП)-2/(еаГ1+1)2-'',

то есть Оп х е-^-'/О»-?) при е —» 0.

2. Если р > 2, то величины Ь* имеют вид:

ь, = | /Зр при а; < 1/(еДД

1/(еаг) при щ > 1/(е/Зр),

а величины /I* определяются одним из выражений:

а) если 2 < р < 4, то

Г /1^/(4 5;пЬ2(/?р72)) при в,- < 1/(ФР),

К == "ч Л/(4е"а[81аЬ2(1/(2е2^))) При а* > 1/(е/Зр), А < Ло, 11 при <ц > 1/(е/Зр), Л > Ло,

где Л = 8шЬ2(е-2а^72).

б) если р > 4, то

Г (л/4)й£ БЫсЧ^т при а, < 1/(гД,),

1 " \ {A|A){saiy^'siъЬr\e-2a~^i/2) при а, > 1/(е&).

В главах 3 и 4 доказывается существование постоянных А и В (т.е. доказывается, что инфимум в экстремальных задачах достигается) при различных 0<р<оо, 0 < д < оо для последовательностей полуосей эллипсоида "не слишком" отличающихся от степенных (при всех р ид изучен случай: а, = с, г*, с, х 1 при г —> оо, t > 0). Находится порядок величин А, В и Ие(Ре) относительно е и ре. Доказьшается существование и определяется по порядку вид критических семейств р*. В главе 3 рассматривается случай я > р, в главе 4 случай д < р.

Введём условия на последовательность а = (аь..., а„...), определяющую полуоси эллипсоида V«. Обозначим

!РЧ/(Я~Р) при р < <? < оо, 0 < р <2,

2«(р-2)/(д-р) прир<?<ос, р > 2,

р при д = с», 0 < р < 2,

2(р — 2) при д = оо, р> 2.

Рассмотрим последовательность Ь = ... ,ЬЛ,...). Ъч — ¡п. Будем говорить, что последовательность а удовлетворяет условию А, если последовательность Ь„ строго возрастает и существует такое с е (0,1), что выполнено условие

О < !1ш(Ь[сп;/Ьп) < Ит(Ьгт}/Ь„) < 1 при п —» оо,

где [сп] - целая часть числа сп.

Будем говорить, что а - последовательность типа t■ £ > О, если выполнены условия

о« = с,1 • гс4, где с^ х 1 при га —* оо.

Показывается, что при р < q, р < 2 справедлива теорема 3.1, утверждающая, что величины А и В существуют, и описывающая их асимптотику. На базе теоремы 3.1 определяются критические радиусы р*, а именно, справедливы

СЛЕДСТВИЕ 3.1. Пусть q > р, р < 2, последовательность а удовлетворяет условию А. Тогда при г —> 0 существуют такие семейство р* и экстремальное семейство мер что гг;(р') = ¡¡тг*|1г х 1. При этом:

-если р, д х р*, то существует такое семейство мер 5ге>1, что и^(ргд) = ||тггд|["' ж 1 (т.е. критическое семейство р* определено только по порядку), -если \impefifpl — +ос, то Нти*(р£12) = +ос, -если Итред/р* = 0, то = 0.

СЛЕДСТВИЕ 3.2. Пусть последовательность а является последовательностью типа t Тогда при £ > {ц — р)/рд величина имеет вид

при £ —» 0.

При этом р* X

е(4£и+4р-4?)/(4<и+4^и) при £ (). Если 4 < (д-р)/ря = <сг, то величина = 0 при достаточно малых е.

Аналогично, при 2 < р < д < оо доказывается теорема 3.2 о существовании и виде величин А и В, из которой, как и ранее, возникают

СЛЕДСТВИЕ 3.3. Пусть <1 > р > 2, последовательность а удовлетворяет условию А Тогда:

1). Существует такое семейство р = р*, что м?(р') х 1 при е —> 0. При этом существует экстремальное семейство мер пе = тг", и величина и: (р*) имеет при е - > 0 вид:

«м = к«2 ~ (ЙА)^К -1.

где семейство п1(р*,е) определяется из соотношения

<• ~ при е 0.

2). Для всякого такого семейства ре,\, что р£д ж р* при е —» О, существует экстремальное семейство мер 7Г£>1, и при е —» 0 выполнено соотношение

^(Лд) = ¡¡тггД||2 ж (ргд/е)27пгд Ж 1,

где пед ж п* при с. - > 0.

3). Для всякого такого семейства что величина ре,2/р1 не ограничена сверху, величина иЦр^) не ограничена сверху.

4). Для всякого такого семейства ре<3, что величина р£,з/р' ограничена сверху, но не отделена от нуля, величина и'(ре,з) ограничена сверху и не отделена от нуля.

СЛЕДСТВИЕ 3.4. Пусть 4 < р < д, последовательность а является последовательностью типа I, с 0 . Тогда при t > (д - р)/(2д(р - 2)) величина и2(р) имеет вид

и р1 ж е(2и*+р-«)/(2р*+р) . При * < {д-р)/(2д(р - 2)) величина иЦр) - 0.

Для последовательности а типа < отсюда получаем, что, если t > (5—р)/(2<?(р— 2)), то последовательность а удовлетворяет условию А, и справедливы теорема 3.2 и следствия 3.3, 3.4. Если t < (д — р)/{2д(р — 2)), то справедлива аналогичная теорема 3.4, из которой имеем

СЛЕДСТВИЕ 3.5. Пусть д > р > 2, р < 4 последовательность 5 является последовательностью типа £ и е —* 0. Тогда:

-если (<2 - р)/рд < г < (д - р)/(2д(р - 2)), то (р*) = е4('гч+1>-«)/(К«гМ-9));

-если { = (д -р)/(2д(р - 2)), то р', ~ [еЧпе^-ШМч-Щ.

СЛЕДСТВИЕ 3.6. В условиях следствия 3.5 существует такое экстремальное семейство мер ж*е, что и2(р*) = и выполнено'.

-если ре ж р*, то существует такое семейство мер что и2(ре) = ||тг£|2 ж 1;

-если отношение р£/р* не ограничено сверху, то величина и~(ре) не ограничена сверху,

-если отношение р./р' не отделено от нуля, то величина и\(ра) не отделена от нуля.

При д — ос показывается, что справедлива теорема 3.6 о существовании и виде величины А, из которой вытекает------

СЛЕДСТВИЕ 3.7. Пусть выполнены условия теоремы 3.5. Тогда при всех р существует такое критическое семейство р* и такие экстремальные семейства мер тг£, что при е —> 0 выполнено щ(рс) — ж 1 для всех семейств р. ж р*. Если отношение р./р* не ограничено сверху, то величина и?(р6) не ограничена сверху, если отношение р, /р* не отделено от нуля, то величина щ(рЕ) не отделена от нуля.

В случае, когда последовательность а является последовательностью типа Ь семейство р* имеет вид:

а). При р < 2, если < > 1/р, то р1 = е^-ЧЛ1''' -'>); если I <1/р, то при достаточно малых е величина и2(ре) = 0.

б). При 2 < р < 4, если I > 1/(2р-4), то />* = еС2'*-1)/'-^; если 1/(2р—4) > г > 1/р, то /)* = если 4 = 1Д2р _ 4), то (г'ЧпгГ1)1/2''; если г < 1/р, то при достаточно малых г величина и2(р£) = 0.

в). При р > 4, если t > 1/(2р - 4), то р* = если * < 1/(2р - 4), то при достаточно малых е имеем и2(р5) = 0.

В главе 4 для случая ц <р доказывается аналогичная теорема 4.2, из которой возникают

СЛЕДСТВИЕ 4.2. При 0 < q < р < ос существуют такие критические семейства р*е и экстремальные семейства мер 5Т*, что «;'(Р*) — ||2 = 1. Эти семейства имеют при е —» 0 вид: -если р > 2, то Р1 х -если р < 2, то

при 4 > (р - д)/(4д - 2р<?) имеем р! х г

при * < (р - ?)/(4д - 2рд) имеем р' х е(2и<+^?)/(2р?г+?)) при 4 = (р - д)/(4д - 2р<?) имеем р* х (еМпе-1)^^2^.

СЛЕДСТВИЕ 4.3. При 0 < д < р < оо:

-если рг х р*, то и2,(ре) х 1 и существуют такие экстремальные семейства семейства мер 7г*, что и2(р£) = (¡тг* ¡¡2,

-если отношение рЕ/р* не ограничено сверху, то величина и2(ре) не ограничена сверху,

—если отношение ре/р* не отделено от нуля, то величина и2(ре) не отделена от нуля.

В главе 5 проверяется выполнение свойств решений экстремальных задач, при выполнении которых справедливо соотношение (2).

В результате получаем, что для изучаемых последовательностей а величина це(рг) может иметь один из 4-х возможных асимптотических видов. Приведём их для случая а^ = СпТ1~1, с„ х 1, £ > 0 :

/ - тип : и\(ре) х (р^/еУр^-д^Р- ч).

II-гип: а2(р£) х (ре/е)**ЪеЧК Ь - тип : «¿(д.) х (р./е^б^Ь-^г/лГгг1/').'

Ф-тип : и2(рг) = 0

Рисунки 1 и 2 изображают разбиение плоскости (р, д) на множества, где величина ие(ре) принимает один из вышеперечисленных видов.

О < t < 1/4

t> 1/4

При фиксированном t = i0 множества пар (p,g), для которых и*(р£) имеет вид фиксированного типа, разделяются на плоскости (р,д) графиками гипербол h - «1 = р/(1 - ip) И ¿2 : qz = р/(1 - 2f(p- 2)) с асимптотами р = 1/i и р = 2 + (2i)~ в полуплоскости д > О, соответственно, которые совпадают при t — 1/4. При t > 1/4 гиперболы в 2?J не пересекаются, при i < 1/4 имеется точка пересечения. Величина иЦрь) имеет в асимптотике (при £ -> 0) L-тип для пар (р. <]) на самой гиперболе h при р ф 2. В точке гиперболы с координатами (2,2) величина и*(р€) не имеет логарифмического множителя, типы I и II совпадают. Величина гЛ(ре) имеет 1-тип при р/( 1 - tp) >д> р/( 1 - 2i(p - 2)), П-тип при q < р/( 1 - 2 t(p - 2)). Наконец, имеет Ф-тип (нет различимости) при ? > max(p/(l - tq),pj( 1 - 2t(p - 2))) и в точках гиперболы ¡i при р < 4.

При р-д = 2 результаты получены Ермаковым (1990), в общем случае при p — q результаты получены Ингстером (1990).

По теме диссертации автором опубликовано 3 научных работы.

1. И. А. Суслика, Минимаксное обнаружение сигнала для lq-эллипсоидов

с удалённым 1т-шаром.—Зал. научн. семин. ПОМИ, 207 (1993), 127-137. —В кн.: Исследования по математической статистике, X.

2. И. А. Суслила, Экстремальные задачи, возникающие при минимаксном

обнаружении сигнала для lq-эппипсшдов с удалённым I,.-шаром .—Зап. научн. семин. ПОМИ, 228 (1996), 312-332.— В кн.: Вероятность и статистика, I.

3. Yu. I. Ingster and I. A. Suslina, (1996) The exact asymptotics in minimax

nonparametric hypotheses testing—Abstracts 4-th World Congress of the Bernoulli Society, p.246, Vienna, Austria.

Hi

Печать выполнена в Центре распределенных издательских систем ИТМО. Тел: (812) 238-85-38. Лицензия ПЛД №69-182 от 29.11.96. Подписано в печать 14.02.97. Тираж 100 экз. Заказ №27.