Предельные теоремы для экстремальных и рекордных значений случайных процессов с различными типами зависимости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

? ; Ь 0-Д

зкшзский Государстпешшй Университет имени М.В.Лоишшсопа Механика-математический факультет

на нравах рукописи МАТЮШИНА СВЕТЛАНА НИКОЛАЕВНА

УДК 519-2

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ И РЕКОРДНЬБС ЗНАЧЕНИЙ САУЧАШШ ПРОЦЕССОВ С РАЗЛИЧНЫМИ ТИНАМИ

ЗАВИСИМОСТИ

01.01-05 - теория вероятностей и натематическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата Физико-математических наук

3 "

Москва 1994 г.

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и а х а н икс - н а т в и а т и ч е ск от о Ф ак у ль т е т аМо ск о в ск ог о гас у д а р стнвнного университета имени М. В.Ломоносова

Научный руководитель - доктор физико-математических на!

профессор В.И.Питербарг• Официальные оппоненты: доктор Физико-математических на!

профессор 8-Б-Невзоров, доктор Физико-математических на'. В-Д.Канаков -

Ведущая организация - Пермский государственный уншзерсг Защита диссертации состоится "¿¿" и ¿скс# 1994 г. в часов на заседании специализированного совета

Д.053.05.04 ПРИ Московской государственном университете имени М.В.Локоь по адресу." 1.19899, ГСП, Москва, Воробьевы Горы, МГУ, механика-иатенатмчвский факультет, аудитория

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке меха коматеиатическото Факультета МГУ ( Главное здание,14 эт Автореферат разослан " № " мчд^ 1994 г-4

Ученый секретарь специализированного совета Д.053-05.04 при'МГУ,профессор

Т-П Лукашенко

ОБЩАЯ. ){АРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТиАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ- Классическая теория экстремальных значвний| Фунданентальые основы которой были залашены в работах Б.В. Гнеденко, описывает асимптотические распределения для максимумов независимых одинакова распределенных случайных величин« В последнее время эта теория не только получила интенсивное развитие в работах Э- Гумбеля, Я. Га-лаибоша, С.Резника и других ведуцих ученых, но и нашла широкое применение в прикладных задачах. Для случайных явлений, в которых крайние члены вариационного ряда играют главную роль ( наводнения, засухи, загрязнение воздуха и т-д. ) теория экстремальных порядковых статистик в некоторых случаях дает точные, а в большинстве случаев приближенные вероятностные модели.

Наряду с разработкой и углублением классической теории экстемальных значений растет интерес к обобщению ее на область зависимых неодинаково распределенных случайных величин-

Понико анализа экстремальных значений случайного процесса с точки зрения крайних членов вариационного ряда в теории и ряде Физических приложений нередка используется подход,связанный с исследованием рекордных величин« События, заключающиеся в возникновении редких "пиковых" значений, на которые особенно'богата случайная среда ( случайное поле ), иногда могут оказывать существенное воздействие на развитие различных процессов. Кроме того, широкий интерес к теории рекордных величин обусловлен еще и тем, что строить статистические модели иногда приходится не на основе полных выборок, а опираясь на ряды наблюдений, со-

держацие линь рекордные значения.

Объектом исследования классической теории рекордов, также как и классической теории экстремальных порядковых статистик| являются независимые одинаково распределенные случайные величины. Среди фундаментальных работ, которые способствовали интесивному развитию математической теории рекордов выделяются работы А- Реньи, М. Таты, Р. Шоррока.

Два метода анализа экстремальных величин ( с точки зрения крайних членов вариационного ряда и рекордных значений )1 котоые дают теория экстремальных порядковых статистик и теория рекордов, тесно связаны между собой• Монографии Я. Галамёоыа, С. Резника, а также монография М. Аидбвттера, Х.ротсена, Г.Линдгрена, посвященные экстрека-льын статистикам| содержат главы, объектом исследования которых являются рекордные величины- В настоящее время достижения математической теории рекордов наиболее полно изложены в обзоре В.Б-Невзорова.

Задача о возможных предельных распределениях для максимума последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин была решена Б.В. Гнеденко- В монографии Я. Галамбоша содержится подробное описание класс возможных предельных невырожденных функций распределения для экстремумов последовательностей независимых одинаково распределены* случайных величин, в частности, для последа вательости независимых стандартных гауссовских случайных величин•

Однако, шфокий спектр физических приложений теории экстремальных значений обуславливает необходимость ее дальнейшего развития и обобщения на случай зависимых нео-

яинаково распределенных случайных величин.

В монографии М> Аидбеттера, Х-Ротсена, Г. Линдгрена, з которой изложено современное состояние теории экстремальных значений,обсуждается классический случай, а также содержится обобщение на случай зависимых случайных величин. Однако, материал книги не охватывает всего разнообразия проблем, связанных с экстремальными значениями* В частности, задача исследования изменения максимума последовательности случайных величин в зависимости от изменения их математического ожидания еще далека от полного решения. Рассмотрение последовательности гауссовских случайных величин с трендом ограничивается случаем, для которого условия, накладываемые на тренд, по сути не меняют ни метод доказательства, ни результаты предельной теоремы по сравнению с классическим случаем.

Анализ литературных источников показывает, что предельные законы для экстремальных и рекордных значений в "неклассическон" случае получены для ограниченного класса случайных величин- Так, выражениэ для предельных законов распределения зксренальных значений гауссовских случайных величин с изменяющимся математическим ожиданием получены с ограничениями на тренд, при которых практически теряется прикладная значимость результатов, а для рекордных значений марковских случайных процессов отсутствуют полностью.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ- Получить предельные теоремы для экстремальных значений гауссовских последовательностей о трендом и для рекордных моментов стационарных марковских процессов-

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертации использованы

асимптотические методы математического анализа, методы дифференциальных уравнении, теории гауссовских процессов, а такте методы теории марковских цепей и диффузионных про Цё&ьйи» Ды^ййё'г&лье'Рйо предельных теорем нроввдитш иито-дом моментов-

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе получены следующие новые ре зультати:

1- Доказаны предельные теоремы для максимума последовательности гауссовских случайных величин с трендом- Полученные результаты обобщены на случай гауссовских полей на целочисленных решетках-

2. Найдены общие рекурентные выражения для моиентных характеристик рекордных моментов стационарной марковской последовательности на2?+. Проанализированы конкретные пар метрические надели стационарной марковской последовательности на для разных типов сноса- Для них вычислена ас»: тотика математического ожидания и дисперсии рекордного мо мента-

3- Доказана предельная теорема для рекордных моментов-Найдено достаточное условие для стационарной марковской последовательности на 2Г+., при выполнении которого распре, ление нормированного рекордного момента стремится к экспо инициальному -

4. Найдены обцне рекурентные выражения для номентных характеристик рекордных моментов стационарных диффузионных процессов на с постоянным коэффициентом диффузии-

Проанализиованы конкретные параметрические модели для раз ных типов коэффициента сноса- Для них вычислена асимптоти' ка математического ожидания рекордного момента.

)• Доказана предельная теорема для рекордных моментов опи-:анных диффузионных процессов- Найдено достаточное усло-1ие, сформулированное в терминах коэффициента сноса, при исполнении которого распределение рекордного момента, нор-(ированного соответствузощим образом, стремится к экспоненциальному-

ПРАКТИЧЕСКАЯ И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит •еоретический характер • Проведенные исследования являются исладом в обобщения теории экстремальных значений и матэ-¡атической теории рекордов на случай зависимых неодинаково распределенных случайных последовательностей и стационарах процессов с непрерывным временным параметром. Получение результата мсгут быть использованы в статистическом ¡нализе в разных областях физических приложений, в частости, в радиофизике, гидрогеологии, почвоведении и других властях•

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались ка ¡епкиаре кафедры теории вероятностей и математической ста-'истики Санкт-Петербургского университета и на семинарах ;еханико-математического Факультета МГУ-

ПУБЛИКАЦИИ• Основные результаты диссертации опубликс-аны в двух работах, список которых приведен з конце авто-еферата-

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ• Диссертация состоит из введе-ия, трех глав, разделенных на параграфы, списка литерату-ы, содержащего 51 наименование- Общий объем диссертации 25 страниц.

-8-

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ-

Во введении дается краткий обзор литературы по теории экстремальных значений и теории рекордов, излагаются основные результаты диссертации и методы исследований-

Глава 1 посвящена исследовании максимальных значений гауссовских случайных величин и полей с трендом. Рассмотрен тренд, скорость возрастания которого0^£пп)пр1л П_-*со.

Анализ экстремальных значений проводится двумя способам] 1. рассматривается непосредственно последовательность, задающая тренд- Все условия теории формулируются в терминах зтой последовательности•

Пи с помощь» вокотонной перестройки осуществляется переход к последовательности монотонных ступенчатых Функций. Условия теорем Формулируются в терминах этих Функций.

Рассматривается схема серий независимых стандартных гауссовских случайных величин с трендом

В силу громоздкости формулировок теорем при анализе максимума такой последовательности 1 способом, приведем формулировки предельных теорем в терминах монотонных Функций- Результаты теорем, сформулированные в терминах исходных трендовых последовательностей, аналогичные. С помощью нонотонной перестройки строится последовательность ступенчатых неубывающих функций _|ип(1)) :

= 1су} <1>

где Л - лебегова мера на прямой,

о а£пл/£пгг при а^ ^ ?

оо, тС11ХЗ = для

Обозначим - iTlQx { X,, + ITL^ ]■ •

Пусть существует Elm Мл ~/Vf,

Рассматриваются такие схемы серий (^к ^ , для которых существует D^n ¿-Сл/-&га, С >0 , ^aVfnn'-^00 при (г^^и oi>0 такое, что

ов< i" Elm Мп - М ^

(2)

(3)

(4)

(5)

На Функции JUn (у) налагаются условия -i-i .(уИ^гт^),

ju (ij)e сКт1Гм-£, мл ,

Jtt'fM ) ■= - • -Ju(k;( М) = 0 , Ju ^ м) > D , где О^С- некоторое сколь угодно малое число;

I 1с1ба(и)! - ОСс ) при^-О

где ó^l-ií, к^-0.

Теорема 1_-2. Пусть Jlín(у) последовательность Функций из (1), P<<=¿n. ~Ó(V^irn. ) , ^aVfn п.00 при 00 такое, что выполняется условие (2) и пусть существует такое,

что для любого П>П.0/ Мп-М . Предположим, что для Функций JUníy) выполнено (3)^(4)^(5)- Тогда при а"?^ имеет место соотношение :

где Ca ^л/2 £ггп + N/Wn. + Тп. -

.Теорема 1-4. Пусть jUn(<-i) последовательность. Функции из (1), V2€n гг и имеет место условие (2), а также суМ и - А/1 7/ с? ,

evinió ~

LcjeciGtjC* r<si<-oc И о ^ fTTP qtuui си uod&LO h 7 И

г1Г

ложим, что функции ^р-п(И-) удовлетворяют условиям <3),(4) Тогда при 1-г-э-оо имеет место соотношение

■Ъ

■ .р [сЛ^-С^-Ь} —

■ -г.де = )-/2€гха + Ти.г

. лЩёы.

Все результаты предельных теорем будут также верны для последовательностей коррелированных стандартных гаусссвс-ких случайных величин с аналогичным трендом 1 ковариационная Функция которых удовлетворяет условию."

, , Рп < I , Ргг ^ О при гг

В §2 главы .1 рассмотрены гауссовские случайные поля на целочисленной рехсетке с аналогичным трендсм.

В главе 2 рассмотрены рекордные значения в стационарной марковской последовательности 7 заданной на неотрицательных целых числах.

Пусть Х0, стационарная марковская цепь на с переходными вероятностями Р* > х = 1 - рх т где рР<,£^,Л>0 при Х>0 Сро>0).

Обозначим % П.-рекордный момент последовательности выходящей из точки X.

В § 2 главы 2 рассмотрены конкретные параметрические модели для разных типов поведения сноса

М(х) = рх

при X 00 . Для них найдены асимптотики поведений математического ожидания и дисперсии рекордного момента, которые приведены в таблице 1 *

Таблица 1

пр. ^ Хо ! еп 1Л1М(*) ~ ""

при Х01 при

о1'*1

1-р. при п, <*>

Ы),

а) рх^-С*"^ с>о, 1 ;

М(х) о

ё) = З-СХ'^.о]; 0

при Х-«- с*5 при Х^-Х0 при СКхе-Хо при X -» с-э

в) Р* = Р при Х^о

при к>0

г) Рх при Х0

р>?0,с> О)

при0<Х«Уо

при Х^

д) 9< - е при Хо

р,>0,С >0;

0<рл,С|.хс 1

М(*; А при Х"?

при П. ~ С&с+2;С«-п-

при П"^1*' при IX —* ^

при при гг-^*3

еп мг^*) - £т ^

1-1 ^

при 1ч-р.

при ^

Б§3 главы 2 доказана следующая предельная теорема. Теорема 2-3- Для рекордных моментов стационарных марковских случайных последовательностей на2?+а) - д) при п.-*» с*0 имеет место следующее предельное соотношение :

для любого конечного X.

Даказательство проводится с помощью леммы, в которой сформулировано достаточное условие для стационарных марковских последовательностей на i для которых p^+C^~4 (0<РхгЦх< ^)при выполнении которого для рекордных момент имеет место соотношение (6).

В 3 главе описаны рекордные моменты стационарных диффузионных процессов с постоянным коэффициентом диффузии.

В § 1 главы 3 введены необходимые обозначения и получен рекурентное выражение для моментных характеристик рекорд-них моментов■

Пусть стационарный диффузионный процесс с фазовып

пространством С0;<=о) , ("t^O) и производящим оператором

где 0(х)-дифференцируемая Функция на С О* оо ) . Рекорд« -величины для непрерывного марковского процесса определят следующим образом:

CX0J- величина нулевого рекорда, DO + K- величина К-го рекорда.

Рекордные моменты определяются соответственно!

tr(0>=0,

<ZU)- m La [i: Xt«HX0J + i}„ <tfK>= mirv t-t: Х-ь=ЦУ0]4К}.

В § 2 главы 3 рассмотрены конкретные параметрические не дели для разных типов поведения коэффициента сноса- Для них вычислены асимптотики поведения математического ожидания рекордного момента>которые приведены в таблице 2-

Таблица 2.

а) СЦх)»-(-^ , 0^<1,С>0

а (х) о при

б) а и) = - гг , V >о)

в) а (х) = - с^, |Ь >о, с>0;

й ( у) т- 00 ПРИ У <*>

е^ мгПх)

с к.

при п--»»;

г^ мг(*>и)

IV В,

при И.-*«.

В § 3 главы 3 доказана предельная теорема для рекордных моментов -

Теорема 3-3- Для стационарных диффузионных процессов типа а) - в)^(|дзш:одящих из конечной точки X , распределение величины пр" 'т-""*5 стремится к экспоненциаль-

ному, т.е. , -и

при И-(7)

Доказательство теоремы З-З- проводится с помощью леммы, в которой сформулировано достаточное условие для стационарных диффузионных процессов о производящим оператором А 1 при выполнении которого предельным распределением величины тгзгн-« будет экспоненциальное.

Щх1 '

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору В.И- Питербаргу за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также доктору Физико-математических наук профессору С.Л. Молчанову за постановку интересных задач-

- 14 -

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Матюшина С-Н. Распре деление экстремаль них

значений для гауссовских последовательностей с трендом // Вестн- Моск. ун-та. Сер. 1. Матеи. Механ- 1990, 1, с.47-51

2. Матюшина С-Н. Рекордные значения в стационарных марковских последовательностях // Вестн. Моск. ун-та. Сер. Матеи-Механ-1994,1, с.