Проверка непараметрических гипотез в некоторых задачах теории надежности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Введение

Глава I. Точные распределения статистик некоторых ранговых критериев.

§ I. Постановка задачи и распределение некоторых случайных величин.

§ 2. Точные распределения статистик ранговых критериев типа Колмогорова-Смирнова.

§ 3. Локально наиболее мощный критерий для одного класса альтернатив

§ 4, Мощность некоторых ранговых критериев.

Глава 2. Оценки для предельного распределения статистики двухвыборочного критерия Смирнова.

§ I. Слабая сходимость одного эмпирического процесса.

§ 2. Некоторый оценки для асимптотического распределения статистики двухвыборочного критерия Смирнова.

Глава 3. Точные распределения статистик ранговых критериев в задачах испытаний с переменной нагрузкой

§ I. Распределение рангов в испытаниях с переменной нагрузкой.

§ 2. Точные распределения статистики критерия типа

Колмогорова- Смирнова.

§ 3. Точные распределения статистики одного локально наиболее мощного рангового критерия.

При решении многих задач теории надежности применяются методы непараметрической статистики /1,2/, К ним, в частности, относятся классическая задача о двух выборках, не параметрическое оценивание линии регрессии, проверка независимости случайных величин и другие» Задача о двух выборках, состоящая в проверке принадлежности выборок к одной генеральной совокупности, подробно освещалась в ряде монографий, среди которых наиболее известными являются /3,4/. В последнее время, в связи с развитием ряда направлений в теории надежности /5/, появилась необходимость в проверке гипотез о том, что функции распределения совокупностей, откуда извлечены выборки, связаны определенной функциональной зависимостью. Рассмотрению некоторых из таких задач и посвящена данная диссертация.

В первой главе приведены методы, позволяющие вычислять точные распределения статистик некоторых критериев, предназначенных для проверки следующей гипотезы.

Цусть (х^ Х^) и (- дае независимые выборки, причем ¿Г(сс)} -у. ^(г(х)} ¡¿(Ъс), непрерывны.

Необходимо проверить гипотезу п*) •[&*)]* где К £ 1 - произвольное фиксированное число.

Потребность в проверке таких гипотез возникает в том случае если, например, при проверке равенства функций распределения двух совокупностей из одной совокупности можно получить выборку лишь из величин Х- ШСЬХ (^ ^ » где -независимые наблюдения над данной совокупностью. В этом случае К- -2,

Пусть -ЬС^ Мф ¿с . ¿г - объединенный вариационный ряд полученных выборок. Обозначим

К' о, ае, Щсгуе< с^, с

В первом параграфе определены распределения С-^Нг+п,

•••; • В терминах и бу;пут записьюаться статистики ранговых критериев.

Во втором параграфе дяя цроверки Н, введены критерии типа критериев Колмогорова-Смирнова. Дяя нахождения точных распределений их статистик введена следующая модель случайного блуждания. Частица движется по двумерному массиву ячеек {

ЦЛ » выходя на первом шаге из аоо и передвигаясь на I-ом шаге из , . , в СЬЛ , заканчивая блуждание в ♦

Основной теоремой в первом параграфе является Теорема 1,1, позволяющая вычислять вероятности невыхода траектории блуждания из произвольного ТС к .

ТЕОРЕМА 1.1. Вероятность невыхода траектории случайного блуждания из Т цри условии // определяется выражением и171 ,

Р(Т)= ^ Г^ где величину можно получить повторным црименением соотйношения с начальными и граничными условиями

Здесь .

4- = 7%-м), ¿-**. а. Я-/ о, цёт.

В качестве следствий ТЕОРЕМЫ 1,1 получены выражения для вычисления функций распределения статистик

-ЬО<7С.г.ОО Л- -гхэглг^оо1 и / ) где ^^ (х), о-^ (х) - эмпирические функции распределения выборок Хт))

В этом же параграфе рассмотрены методы вычисления точных распределений Т^ь } Х)^ по цензурированным данным, ограниченным % -ой порядковой статистикой выборки . Кроме того, здесь же рассмотрено обобщение двухвыборочной процедуры на случай € выборок.

В третьем параграфе введен локально наиболее мощный 1фитерий для проверки Н0 против класса альтернативных гипотез н± ад = [^7?

Утверждение 1.1. Локально наиболее мощный критерий для проверки Н0 против //^ определяется статистикой шп* ь

Г = 7

Г»,н ¿-/-Р. (к-6

• I где критерическими являются как большие, так и малые значения

Получены выражения для вычисления точных распределений статистики для полных и цензурированиях данных. В частности, доказана

Лемма 1.4. Вероятности рщп = -Р/^м /Г^) удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению с начальными и граничными условиями

В четвертом параграфе кратко описаны методы вычисления мощности некоторых ранговых критериев, применяемых для проверки Н0 при К-± , в случае справедливости при к^ ф ± .

В качестве следствия ТЕОРЕМЫ I получены выражения для вычисления мощности стандартного критерия Смирнова. Для статистики оа

2 ти г

Од. и - оо

Ш/г и м- —

- критерия Смирнова получена Лемма 1.7. Распределение л при Н± определяется еле-дующим выражением

С к™ где величины (Н^) можно получить повторным применением соотношения

С, с)- [ ^ а - ¿(1»ЦЛ) * Тн (¿-±, с-(Щс начальными и граничными условиями

Ж0(О, Ч1С0 О - В остальных случаях,

ШЖ(О,¿-)г)±с £ М^п (/, т), где С - натуральное число.

Здесь же показано как вычисляются мощности линейных ранговых критериев со статистиками вида где ^ не зависят от Лг, /£.

Во второй главе рассматриваются оценки для предельного распределения статистики двухвыборочного 1фитерия Смирнова

В первом параграфе основной является

ТЕОРЕМА 2,1. Распределение процесса ЗС (£) при с*3,

УП,//1~=)слабо сходится к распределению непрерывного нормального случайного процесса с характеристиками

ЕХ^-о, Етха)*% к,-*-,

Во втором параграфе приведены некоторые оценки для вероятностей

Показано, что где

- винеровскии цроцесс. Относительно криволинейной границы ¡¡"(т) доказано

Утверждение 2.2. Граница ^(т) удовлетворяет следующим условиям:

3. ^(Ъ) - выпукла вниз,

4. - имеет единственный минимум в г„ =

Приближая кусочно-линейными непрерывными функциями, для

Л. получены верхняя р + и нижняя р + оценки х-<р(т)~ о~ Д То , ч х

-У5Г I i -J^ -1 г /

- PO

Здесь

СЮ Oo r (iif^^/ii-K.f^H)]

Для cL получена нижняя граница со г (гшТ?и.%г 1 п- ЛУ(лп&хР\ J

-I*' ft/S1' 2А+1

Третья глава посвящена нахождению точных распределений статистик некоторых ранговых критериев, применяемых в задачах форсированных испытаний.

Современное состояние теории форсированных испытаний изложено в /5,6/. Основной задачей при проведении подобных испытаний является определение функции между временем безотказной работы (Ld) изделия в нормальном режиме £о и временем безотказной работы ^ (¿j) в форсированном режиме .

Обзор различных математических моделей для основных видов функций fCf*^) 9 яримбнявмых при планировании и обработке резуль

- 10 татов ускоренных испытании, приведен в /7/.

Г.Д.Карташовым /5/ была указана возможность проверки гипотез о виде ¡?0 ~ в случае, когда распределение может меняться от партии к партии, то есть при нестабильном цроизводст-ве. С этой целью проводятся так называемые динамические испытания. В нормальном режиме £0 начинают испытываться /г, пар изделий. Каждая пара испытывается в 80 до тех пор, пока не откажет одно из изделий, после чего оставшееся годным изделие переключается в режим , где доводится до отказа. Цусть р ■ - время работы с -ой пары в £ - время работы с -ой пары , = + - "црогнозируемое" время работы в £0 изделия, переключенного в . При соблюдении некоторых условий, указанных в /5/, гипотеза эквивалентна статистической гипотезе где функции распределения случайных величин соответственно. В третьей главе рассмотрены два критерия проверки //0 . Цусть г ^(2) ^ " ' ^ " обьедаяеяный вариационный ряд выборок 9ц) • Обозначим о, 11(0 = 9е, е-иг, .

Оцределение 3.1. Вектор = называется допусти * мым, если а) состоит из Уь нулей и /г, единиц,

Здесь [х] - целая часть числа X

В первом параграфе определено расцределение допустимых векторов

Во втором параграфе, по аналогии со стандартными критериями Смирнова, да цроверки Н0 построен критерий со статистикой

Ь = шл -со * С ( 1

Л Л где ^ (х)) ¿ф (%) - эмпирические функции распределения выборок , ^ъ) соответственно.

Для нахождения распределения вводится модель случайного блуждания частицы: движение начинается из &00 и на I -ом шаге частица переходит из } в ^¿-^ , заканчивая блуждание в Сь^ц. Отличие от блуждания, введенного ранее, состоит в том, что (&£ . удовлетворяют условию: ^ ¿= . Основной в параграфе является

ТЕОРЕМ 3.1. Вероятность невыхода траектории случайного блуждания из произвольного {¿2/, определяется выражением л. /

Р(т) - ~Г где величину можно получить повторным применением соотношения &) % = ( Рщ- * (*-М <у, ' V* ' ^ с начальными и граничными условиями

Здесь r)\d} Ct¿>¡eTi

J [о, а^жт V

В качестве следствия теоремы 3,1 получены выражения для определения функции распределения статистики 7) для полных и цензурированных данных.

В третьем параграфе получен локально наиболее мощный ранговый 1фитерий для наиболее распространенной на практике ситуации С ^ и когда распределено по экспоненциальному закону. В качестве альтернативы рассматривается гипотеза

Утверждение 3.1. Не параметрический ранговый критерий со статистикой

С - ) fty

А, . fsj-j N

J=1 является локально наиболее мощным для проверки Н0 против Н± «

Получены выражения для вычисления точных распределений для полных и цензурированных данных. В частности, сцраведливо

Утверждение 3.2." Расцределение вероятностей статистики 3N может быть вычислено согласно выражению где величины (и) можно подучить повторным применением соотношения

• » = Ы-^А* (¿-Mff.

Ч/ I N-l-J! d J c,j-d I N'i-J)'1^j> с начальными и граничными условиями

В Приложении помещены таблицы точных распределений статистик некоторых критериев, рассмотренных в диссертации, для различных объемов выборок и /1 .

Работа выполнена на кафедре Высшей математики Московского Высшего Технического Училища имени Н.Э.Баумана.

Основные результаты опубликованы в статьях /'?/, /8/, /9/, /10/, /II/, /12/ и докладывались на научном семинаре кафедры "Высшая математика" МВТУ им. Н.Э.Баумана и на семинаре "Математические методы в технике" в МГУ им. М.В.Ломоносова.

- 77 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации рассмотрены методы проверки не параметрических гипотез, возникающих в некоторых задачах надежности. Основными результатами, полученными в диссертации, являются:

1. Предложен метод вычисления точных распределений статистик типа Колмогорова-Смирнова в случае справедливости гипотезы (1.2).

2. Получена статистика локально наиболее мощного рангового критерия для проверки (1.2) против (1.16) и указан способ вычисления её точных распределений.

3. Доказана теорема о слабой сходимости распределения статистики ( 2.1 ) к распределению непрерывного нормального случайного процесса Х(±) о

4. Даны верхние и нижние оценки для вероятности невыхода траекторий Х(Ь) за фиксированный уровень ^Х

5. Дан метод вычисления статистики критерия типа Колмогорова-Смирнова в задачах испытаний с переменной нагрузкой.

6. Получена статистика локально наиболее мощного критерия для цроверки гипотезы £го - против ^ = ^ ^ , С* Со в случае экспоненциального расцределения ^г и У* и указан метод получения её точных распределений для полных и цензуриро-ваняых данных.

7. Табулированы таблицы точных распределений для некоторых из рассмотренных в диссертации статистик ранговых здитериев.

Результаты, полученные в диссертации, использовались при разработке межотраслевого нормативно-технического документа "Методика планирования и обработки данных по результатам испытаний машин и оборудования в форсированных режимах" с экономическим эффектом 220 тыс. рублей в год.

1. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории яедежности. М. Наука, 1965, 524 с.

2. Холлендер М., Вулф Д. Непараметрические методы статистики. М. Финансы и статистика, 1983, 518 с.

3. Гаек Я., Шидак 3. Теория ранговых щштериев. М. Наука, 1971, 375 с*

4. Рсш SmP.fi., Ъяпра/иь/шЬис ш^ЛеЖ ш ушМ:-Ьаъосиг ала£у4й. /Ншг-УогА) Ш&у 8 Ч2±Р.

5. Карташов Г.Д. Основы теории форсированных испытаний. М, Знание, 1977, 52 с.6. И., 71.1 ТМЯосй ^ог1Шеу £ тч, чгър.

6. Тимонин В,И. Математические методы в теории ускоренных испытаний. Зарубежная радиоэлектроника, 1981, $ I, с. 51-57.

7. Тимонин В.И. Точные распределения статистик Смирнова для одного класса альтернатив для полных и цензурировании данных. Теория вероятн. и её примен., 1983, т. ШШ, № 4, с. 790-792.

8. Тимонин В.И. Об одной задаче проверки гипотез в теории форсированных испытаний. В сб.: Применение теории вероятностей и математической статистики. Вып. 4, Вильнюс, Инст. математ. и кибернет. АН Лит. ССР, 1981, с. 81-85.

9. Тимонин В.И. Об одном локально наиболее мощном ранговом критерии. Вероятностные процессы и их приложения, Межвузов, сбор., М., 1983, с. 74-80.

10. Тимонин В.И. 0 точных распределениях некоторых ранговых нрите-риев. Труды МВТУ, I 396, 1983, с. 25-33.

11. Шашу Ки, оШЫйсбеш ^ {&е т-шЫяисжъса£сш> Ысш-и, йм -ишрй, мшЛл&ш. й-ян.16. ¡ж&илииай рг Шириш /¿оРшдюъо^- Яен^с '¿ург М

12. ЫШСом. Пил. -¡Ш, к 9, У Г, р. $23- т.

13. С., &И, т^еимы^ с^ ТКашу'^ о11$иСи£сашо^ Ми ¿¿Ша^Рои, ^¿¿ши,у. ¿Г, Уз, 5М-5-92.18. ¡Ыалл Ш (кешт-- Жсш (УиЖ&иыо -рта££ ¿¿ш/Уя. Иш. ШаЛ. тЗ/ У.ЗЧ.У!, р.

14. Виллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М., Наука, 1977, 362 с.20. ^ кши>У&с а^рг^ФсА ~£о Ш -Зт-гг-1фоь- Ииоииш. &ил. МаМ. Ма£ч iвнe) уг^Уз^. т-т.

15. Болыпев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М., Наука, 1983, 416 с.

16. У, ^ге^аЛей^Ш ^ог ¿Ае {ом-И^сии ршУсш оси,££ Р&Ш^ рг&тш сшУ

17. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. Киев, Наукова думка, 1978, 584 с.

18. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения, т.2, М., Мир, 1967, 752 с.

19. Гнеденко Б,В. Бурс теории вероятностей. М., ГИФМЛ, 1961,408 с.

20. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М., Наука, 1979, 408 с.