Асимптотические оценки снизу в Н1 мультипликаторов на сингулярных мерах и их приложениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

л

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

РОГИНСКАЯ Мария Мартыновна

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ СНИЗУ В Н1,в> МУЛЬТИПЛИКАТОРОВ НА СИНГУЛЯРНЫХ МЕРАХ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ (01.01.01- математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации насоискакне ученой степени кандидата физико-математических наук

Сан кт-11етербург

1997

Работа выполнена на кафедре математического анализа Санкт-Петербургского Государственного университета

Научный руководитель:

доктор ф.-м. наук C.B. Кнсляков

Официальные оппоненты:

доктор ф.-м. наук В.И. Васюнин

кандидат ф.-м. наук, доцент А.И. Плоткип

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский Электротехнический университет

Защита состоится 23 aiO^J^Sf^SL ГОда в на

заседании диссертационного совета К063.57.29 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском университете по адресу : 198904, Санкт-Петербург, Библиотечная пл.,д.2 матеиатико-механнческнй факультет СПбГУ, ауд352£.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского Государственного университета.

Автореферат разослан "20 " 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических

иаук. доцеит О.И. Рейнов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы.

Хорошо известно, что, если /х - мера на окружности Т, а ц, -её сингулярная часть, то для интеграла Коши

«МО =

т s.

справедлива асимптотическая формула

Дш^у • mes{< е Т : \Кц{1)\ > у} = ±\]pt\\. (*)

Этот результат, варианты которого были известны еще в прошлом веке, оказался весьма полезен в задачах свободной интерполяции.

Точное равенство (*) пе выполняется в многомерном случае даже для свертки с набором {Rj} ядер Рисса, которую можно рассматривать как многомерный аналог интеграла Коши.

Используя теорию сипгулярных интегральных операторов, разг работанную Кальдероном и Зигмундом в 50-х годах, можно доказать что, при замене интеграла Коши па сингулярный интегральный оператор с определенными условиями на ядро, выполнено неравенство

Л • mes{f £Т:(К* ji(t))* > А} < СЭДИ,

где /* - некасательная максимальная функция распределения /.

Вопрос о существовании аналогичной асимптотической оценки снизу до педавнего времени был изучен только для двух операторов: тождественного и системы операторов Рисса. Последний результат был получен Варопулосом в 1981 году и выглядит следующим образом:

lim Л • mes{t 6 Т : * > Л2} > с||дх,||

Л-f -foo

(имеются и виду пекасател!>пые граипчпые значения сверток Rj*

и)-

Таким образом, актуальна задача о по возможности полном описании наборов ядер, для которыхснраведливьшодобные нижние оценки, - особенно в связи с известной технологией приложения таких оценок к задачам свободной интерполяции.

В диссертации получена точная характеристика свертывате-лей К с однородным символом (частным случаем которых являются однородные сингулярные интегральные операторы Кальдерона-Зигмунда), для которых существует оценка

lim А • mes{< €Т:(К* fi{t)Y > Л} > ск|Ы1 (**)

(включая случай ядра со значениями в конечномерном пространстве). Эта оценка нарушается тогда п только тогда, когда в какой-то точке единичной сферы выполнено равенство R(£) =

= о-

Цель работы.

Найти необходимое и достаточное условие существования оценки (**) для мультипликаторов с однородным символом порядка 0 и исследовать варианты и приложения таких оценок.

Общая методика исследования.

Используется аппарат классического анализа, гармонического анализа, теории операторов и теории меры.

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность.

Работа посит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы в многомерном гармоническом анализе, теории меры и в задачах интерполяции.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались па семинаре ПОМИ-СПбГУ по линейному и комплексному анализу.

л

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1,2].

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения и двух глав, подразделенных на 8 параграфов. Библиография содержит 12 наименований. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Общее описание.

Диссертация посвящена асимптотическому поведению мультипликаторов с однородным порядка 0 символом па сингулярных мерах. В работе найдена точная характеристика (в терминах преобразования Фурье) существования оценки снизу для асимптотического роста некасательной максимальной функции образа сингулярной меры при действии мультипликатора с однородным порядка 0 символом (см.(**)).

Кроме того, в работе исследовано действие мультипликаторов с однородным порядка 0 символом на меры абсолютпо непрерывные относительно (о — 1)-мерной меры Лебега в гиперплоскости (в смысле асимптотического поведения некасательных граничных значений).

Рассматриваемые вопросы находят приложениев теории меры и теории свободной интерполяции на множествах нулевой меры.

В работе доказан многомерный апалог одномерной теоремы Рудина-Карлесона о продолжении функции, непрерывной на множестве меры ноль, до аналитической функции.

Кроме того, в работе доказан многомерный аналог одномерной теоремы братьев Риссов об абсолютной непрерывности мер с преобразованием Фурье, сосредоточенным на положительной полуоси.

ОБЗОР ДИССЕРТАЦИИ ПО ГЛАВАМ

Введение.

Введение содержит постановку задачи, краткий обзор полученных результатов, а также краткую историю вопроса.

Глава 1.

В этой главе рассматриваются различные следствия и приложения основного результата.

В параграфе 1.1 приведены основные определения и наименее известные результаты, используемые в ходе работы.

В параграфе 1.2 приведена формулировка основного результата:

Если операторы {Т,} имеют гладкие и однородные порядка О символы {ту}, то единая для всех конечных мер константа с > 0 такая, что

lira Л • mes{t 6 Т : £(<7/ % АШ? > А2} > с|Ы1

А-++00

будет существовать тогда и только тогда, когда ни в одной точке £ единичной сферы равенство n»j(f) = £) = 0 не выполнено при всех j.

В том же параграфе приведено ограничение основного результата па важный частный случай сингулярных интегральных операторов Кальдерона-Зигмунда с ядром однородным порядка — п, а также обсуждаются наиболее интересные факты, полученные в ходе доказательства основного результата:

Предложение 1. Если оператор Т имеет гладкий однородный порядка 0 символ т, то для всех конечных мер абсолютно непрерывных относительно меры Лебега в гиперплоскости L выполнено равенство

lim А • mes{t 6 Г : (Г * ß{t)) > А} = -|m(0 - т(-£)||И

А-»+оо 7Г

где £ вектор ортогональный гиперплоскости L.

Предложение 2. Если вещественные нечетные операторы {Tj} имеют гладкие однородные порядка 0 символы (например, операторы Рисса), то, чтобы выполнялась оценка

lim А • mes{l £ Т : £((2) * р(1.)У)2 > А2} > c||/i,||,

операторов должно быть не меньше чем п (п - размерность пространства на котором рассматриваются меры).

В параграфе 1.3 доказан следующий аналог теоремы Рудина-Карлесопа.

Теорема 1. Пусть II и V - открытые подмножества сферы 5"-1, V С и. Рассмотрим открытый конус К - объединение всех лучей, исходящих из нуля и пересекающих множество V. Обозначим через С* пространство тех функций / € СДШ*), для которых распределение / равно нулю на К.

Для компактного в 11" множества Е соотношение

С{Е)=У\е:Г£С?}

выполнено по крайней мерс в следующих случаях:

(a) множество Ц не содержит никакой пары диаметрально противоположных точек, а Е - множество лебеговой меры нуль;

(b) множество Е лежит в гиперплоскости Ь, а и не содержит по крайней мере одну из двух (противоположных) единичных нормалей к Ь.

В параграфе 1.4 приведен следующий аналог теоремы братьев Риссов.

Теорема 2. Пусть V - замкнутое подмножество единичной сферы 51"-1 такое, что V П (—V) = 0. Пусть К - конус в II", образованный лучами с вершиной в нуле, проходящими через множество V. Если преобразование Фурье конечной меры ц обращается о нуль па дополнении конуса К, то эта мера абсолютно непрерывна относительно меры Лебега о Я".

От предыдущих аналогов теоремы братьев Риссов этот результат отличается видом множества, на котором должно быть сосредоточено преобразование Фурье.

Глава 2.

В главе 2 приведены все основные доказательства диссертации.

В параграфе 2.1 доказана достаточность характеристического условия в случае, когда мультипликатор является вещественным оператором.

В параграфе 2.2 доказана достаточность характеристического условия в общем случае.

В параграфе 2.3 конструктивно доказана необходимость характеристического условия.

В параграфе 2.4 доказан результат, аналогичный основному, для мер, сосредоточенных на гиперплоскости. В этом случае характеристическим условием является отличие от тождественного нуля преобразования Фурье на прямой (с выколотым нулем), проходящей через 0 и ортогональной гиперплоскости.