Устойчивость разложений законов распределения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАШИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

За о ¿о^и-ил. ^ггихсммя

РЧ*» /ю ЩР^Щ (ОЪО/П Мо-тж&а.^ Сй^^ои^сг.

' " На правах рукописи

огкс^ищщзь ХСлльСооц Ь^^ска. р.с. У??, (? -7$ оп^г -¿ициш. г. Ха-рЬко&с*' С.о^.,30 >о¿^^¡туиХ оасз

, ^ЧИСТЯКОВ Геннадий Петрович

/У^иш^ШрЩр* <РТ(Ш АН Усср

ЗАКОНОВ РАС11РЕДОЖНИЯ

(01.01.05 - теория вероятностей и

математическая статистика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ленинград-1990

Работа выполнена в Физико-техническом институте низких температур АН УССР.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор A.A. Зингер,

доктор физико-математических наук, профессор И.А. Ибрагимов,

доктор физико-математических наук, профессор B.iii. Круглов

Ведущая организация - Математический институт им.

В.А. Стеклова All СССР

Зашита состоится " " _ 1990 г. в

_ часов на заседании Специализированного совета Д 0b3.b7.29

по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Ленинградском государственном университете.

Адрес совета: I9B9G4, Ленинград, Старый Петергоф,

Библиотечная пл., 2, математико-механический факультет ЛГУ.

Защита будет проводиться по адресу: I9I0II, Ленинград, наб. р. Фонтанки, д. 2?, 3 этаж, зал 311 (помещение ЛОШ).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. A.M. Горького ЛГУ (Ленинград, Университетская наб., 7/9).

Автореферат разослан " " _ 1990 г.

Ученый секретарь Специализированного совета доктор физ.-мат.наук, профессор

Ю.А. ДАВЫДОВ

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Настоящая работа посвящена оценкам устойчивости разложений безгранично делимых_законов распределения (б.д.з.р.) и проблеме описания класса 10 - з.р., не имеющих неразложимых компонент.

Направление теории вероятностей, тесно связанное с комплексным анализом - арифметика з.р., возникло в связи со следующим вопросом, относящимся к теории суммирования случайных величин. При выполнении условий линдеберга последовательность нормированных и центрированных сумм неограниченно возрастающего числа независимых случайных величин сходится по распределению к нормальной случайной величине, т.е. сумма большого числа независимых случайных величин, как правило, приближенно нормальна. Возникает вопрос, при каких условиях эта сумма будет в точности нормальна. Оказывается это имеет место лишь в том случае, когда каждое из слагаемых является нормальной случайной величиной. Ьтот результат, предугаданный П. Леви, был доказан в 1930 г. Г. Крамером и привел к созданию новой ветви теории вероятностей, занимающейся изучением разложений случайных величин на независимые слагаемые.

Пусть ff = { Р ] - полугруппа всех з.р. F на прямой Я 1 относительно операции свертки. З.р. Ff назовем компонентой з.р. Р , если найдется з.р. р такой, что

F1 * Рг = F .

В задачу арифметики з.р. входит возможно более точное списание класса компонент з.р. F • Заметим, что в полугруппе ^ з.р. Fi не восстанавливается однозначно по з.р. F1 и F Впервые это было отмечено Б.В. Гнеденко (1937). В настоящее время арифметика з.р. на действительной прямой представляет собой широко и глубоко развитую теорию. В эту теорию наиболее значительный вклад внесли Г. Крамер, А.Я. Хинчин, П. Леви, Д.А. Райков, Ю.В. Линник, И.В. Островский, Р. Кюппан. Ьй посвящены монографии: D.Dujîue. Arithnstique des lois do probabilitien. -l'arip: (îauthier-Villars , 1УЬ7, Ю.В. Линник. Разложения вероятностных законов.- Л.: ЛГУ, 1900, Ю.В. Линник, И.В. Островский. Разложения случайных величин и векторов. - ¡4.: Наука, 1972,

H.Cuppens. Decomposition of multivariate probability, - Nev; York: Academic Press , 1975, существенная часть монографий: Б. Рамачандран. Теория характеристических функций,- м.: Наука, 1975, Ь. Лукач. Характеристические функции,- М.: Наука, 1979, а также ряд обзоров, последний из которых И.В. Островского (Теория вероятн. и ее примен., 1986, т. 31, № I) отражает современное состояние этой теории.

Оффек"" устойчивости разложений з,р. был обнаружен еще в ЗС-е годы. Первым, кто обратил внимание на то, что приближенная нормальность з.р. f влечет приближенную нормальность tiro компонент, был П. леви (1937). Начиная с 50-х годов, возник значительный интерес к изучению эффекта устойчивости разложений з.р. В 1951 году Н.А. Сапогов дал первые оценки устойчивости разложений нормального з.р. Позднее Ю.В. Линник (1959) установил, что эффект устойчивости разложений з.р. имеет место в метрике Леви для любгх з.р. и высказал предположение,чтс идея устойчивости разложений з.р. и теоремы об описании компонент заданного з.р. должны лечь в основу неклассической теории суммирования независимых случайных величин. Ьти работы привели в дальнейшем к созданию направления теории вероятностей, занимающегося изучением эффекта устойчивости разложений з.р. Некоторые результаты этого направления вошли в указанные монографии Ю.В. Лин-ника и Ю.В. Линника, И.В. Островского, в монографию - Ii.Hi. Золотарев. Современная теория суммирования независимых случайных величин. - ;л.: Наука, I9Uo, в обзорную статью о. Лукача ( Adv.

Appl. Probaij., 1977, v.9, ... 2 ) , современное состояние этого направления отражено в обзорной статье Г.П. Чистякова [1]. Интерес к этому направлению стимулировался тем, что идеи, связан ные с использованием этого эффекта?сыграли важную роль в создан ной B.JJ. Золотаревым и развитой Ю.Ю. Шчиоом, B.AJ. Кругловым, В.И. Ротарем и рядом других авторов теории суммирования независимых случайных величин бкз условий предельной пренебрегаемости Кроме того, этот интерес был связан с потребностями нового нап равления теории вероятностей - задачами устойчивости и непрерывности стохастических моделей, возникшего в конце 60-х годов Наконец, в самой арифметике з.р. возник ряд проблем, не поддававшихся решению сложившимися методами исследования. К одной из таких проблем относится проблема Ю.В. Линника (1959) о принад-4

лежности классу Хс з.р. класса @ Ю.В. Линника с целыми характеристическими функциями (х.ф.). Как обнаружено автором диссертации, решение этой и некоторых других задач, относящихся к описанию класса 70 , может быть получено на основе изучения устойчивости разложений з.р.

Опишем эффект устойчивости разложений з.р. р . Пусть с11 > с12 - метрики в полугруппе & всех з.р. Рассмотрим последовательность композиций

Р- íJ=f;¿)- з.р., обладающую тем свойством, что при н-*оо гь

¿1 . (2)

си

Будем говорить, что последовательность з.р. { р.ь }Пш1 обладает устойчивостью по отношению к разложениям з.р. р (при выбранных метриках сС1, ), если при /г-* оо

8л = пьа^с СЦ ¿г ( £, рл ) О . (3)

/= 1, г £ £ /Неосновная задача устойчивости разложений з.р. состоит в получении оценок величины 8п через при п-*<х> . Как видно из самой постановку в некотором смысле задача об устойчивости разложений з.р, является более естественной,чем задачи самой арифметики з.р., ибо на практике сам з.р. Р известен лишь приближенно и величину можно рассматривать как меру точности, с которой известен з.р. Р

Сначала опишем результаты по арифметике з.р., которые предшествовали предлагаемой работе. Ьри этом в целях простоты будем говорить только об одномерных з.р. Выше уже было дано определение компоненты з.р. р .З.р. £ с единственной точкой роста а, е И1 назовем единичными или вырожденными.З.р.

Р называется неразложимым, если он не является единичным,и из равенства Р= Р1* Рг , где Р~ СУ-/, - з.р., следует,что либо р1 , либо рг - единичные з.р. оти з.р. в арифметике з.р. играют роль, аналогичную роли простых чисел в обычной арифметике. Возникает вопрос, можно ли любой з.р. представить в виде композиции его неразложимых компонент. Ситуация оказыва-

Ь

ется существенно более сложной, чем та, которая имеет место в обычной арифметике, поскольку существуют з.р., отличные от еди~ ничных, вовсе не имеющие неразложимых компонент. Так, по теореме Г. Крамера, все компоненты нормального з.р. являются нормальней з.р. и, следовательно, разложимы. По теореме Д.А. Райкова (1937) аналогичный факт имеет место для з.р. Пуассона. Теорема, аналогичная основной теореме арифметики натуральных чисел, в арифметике з.р. была получена А.Я. Хинчиным в 1937 году.

Теорема А.Я. Хинчина о факторизации. Всякий з.р. F , имеющий неразложимые компоненты, представляется в виде

F-F0+Ff* F¿*- > (4)

где Р0 - з.р., не имеющий неразложимых компонент, a FfJF¡í,,.., - неразложимые з.р. в конечном или счетном числе.

Как показал А.Я. Хинчин, представление (4), вообще говоря, не является единственным.

В связи с теоремой А.Я. Хинчина о факторизации возникает вопрос об описании класса з.р., не имеющих неразложимых компонент. Ьтот класс принято обозначать через J0 . Фундаментальную роль в проблеме описания класса I ' играет следующая теорема.

Вторая теорема А.Я. Хинчина. Класс Х0 является собственным подклассом класса б.д.з.р.

Поскольку все компоненты з.р. класса J тоже принадлежат классу То , то из второй теоремы А.Я. Хинчина следует, что класс J0 можно определить как класс б.д.з.р., имеющих только б.д. компоненты. Х.ф.б.д.з.р. F допускают представление

*tt5 F>= «*p{¿j>u <¡ce¿tJC- oLQf J ,

- eO

(5)

где pe Я1, Qf - неубывающая, ограниченная функция, Qpí~с*>)= о (функцию Qf называют спектральной функцией Jle-ви-Хинчина). Поэтому совокупность компонент любого з.р. F класса / допускает простое описание: она совпадает со множеством б.д.з.р. Н таких, что для любых OL^écH1, > выполняется Q н C¿) - Qн (a-) ¿ Q F (£) -QF(a.) . Описание класса X и вообще построение теории разложений б.д.з.р. было

одной из проблем, выдвинутых Г. Крамером в его известном докладе ( Ann. Math. Stat., 1947, v. 18, 2 ).

В силу теорем Г. Крамера и Д.А. Райкова нормальные з.р. и з.р. Пуассона принадлежат классу ¿а . Ряд важных результатов о принадлежности классу Т0 решетчатых б.д.з»р. получил 11. Леви (1937-193У).

После почти двадцатилетнего перерыва интерес к арифметике з.р. возобновился в конце ЬО-х годов в связи с появлением цикла работ Ю.В. Линника (см. Избранные труды. Теория вероятностей, 1961), открывшего новый подход, опирающийся на использование комплексного анализа, к ряду важных проблем. Основное внимание Ю.В. Линник уделял описанию класса I0 , т.е. выяснению условий, которым должна удовлетворять спектральная функция Леви-Хинчина Qр из представления х.ф.б.д.з.р. F (5), чтобы обеспечить принадлежность F классу Т . Ю.В. Линник ввел в рассмотрение класс £ одномерных б.д.з.р., пуассонов спектр которых лежит во множестве вида

со во

( ГП1 со U {/* ГП£ } /71 г-да »

ГД6 < О , УП1>0 , а все стношения J*m + /S4»J

( m = 0, +1, + 2,..., J = 1,2) являются натуральными числами, отличными от единицы. Значение этого класса з.р. в проблеме описания класса 20 проясняется следующей теоремой Ю.В. Линника.

Теорема Ю.В. Линника. Если одномерный з.р. с гауссовой компонентой принадлежит классу J0 , то он необходимо принадлежит классу £

Тогда же возник вопрос с достаточных условиях принадлежности з.р. класса классу Т . Сам Ю.В. Линник показал, что классу Тд принадлежат композиции з.р. Гаусса и Пуассона, з.р. класса С с ограниченным пуассоновым спектром и з.р. класса с очень быстрым убыванием хвостов л Qp i%)= ¿¡р (+»)- Qf (jc) QF (-•*) спектральной функции {¡^ при х-*+оо . Подводя итог своим исследованиям по арифметике з.р., Ю.В. Линник обратил внимание на важность нового подхода к изучению компонент з.р. с целыми х.ф. Он основан на следующем свойстве целых х.ф., которое Ю.В. Линник назвал свойством хребта:

!4>а-, Р)Ц Ср(СЭтЬ) абС) • Целые функции , удов-

летворяющие этому неравенству, называют целыми хребтовыми функциями (ц.хр.ф.). Хотя ц.хр.ф. впервые рассмотрел Дю^е (1951), значение и важность этого класса целых функций для арифметики з.р. по-настоящему выявилась в работах Ю.В. Линника.

Изучение компонент з.р. Ре 1С обычно проводится так. Сначала ищут описание всех разложений целых х.ф. <^'(1; Р) на множители, являющиеся ц.хр.ф., а затем отбирают среди этих разложений разложения на целые х.ф. Первый этап представляет собой решение задачи, формулируемой на языке целых функций, и именно в нем сосредоточены основные трудности. Второй этап часто оказывается излишним, так как разложения целых х.ф. на целые ср.ф. в'большинстве случаев оказываются на самом деле разложениями на целые х.ф.

"'Задача об описании разложений заданной целой х.ф. на множители, "являющиеся целыми хр.ф., эквивалентна следующей теоретико-функциональной задаче: описать совокупность целых функций ¿/^сО , удовлетворяющих условию

я арифметики з.р. наиболее важен случай, когда функция <р(^Р) не имеет нулей. В этом случае из (6) следует, что ^(■Ь) тоже не имеет нулей и, полагая ^ СЬ) - ¿л 0>а -,Р) , ^ СЬ)= ¿»г- Шг ;<С1 > = 1 оо , видим, что задача приобретает вид: дана целая функция (7i.fr), $(р)= О, ОтЬ), требуется описать мно-

жество целых функций (Ь) , , удовлетворяющих нера-

венству

С * Ц с с,?) - Ц (и,*)* /к ($(¿11 (7)

где (а, г») (и*Се") . В 1959 году Ю.В. Линник выска-

зал гипотезу, что любой з.р. Р из класса и такой, что

А ^л'л)-- 0(еХЛ'), ¥г>0, (В)

принадлежит классу Т0 • Поскольку тогда не было видно путей к доказательству или опровержению этой гипотезы в.монографии 19о0 года Ю.В. .линник высказал более слабую гипотезу, что з.р. .

Р из класса. £ принадлежит классу. / если _ .

ь

Это предположение Ю.В. Линника было доказано И.В. Островским (1963), который для этого существенно усовершенствовал метод Ю.В. Линника. Если Ю.В. Линник в своих исследованиях в основном спирался на изучение поведения функции и (иг при вещественных и, а- , используя тот факт, что функция ¡г> для некоторых специально выбранных значений переменной и допускает значительное понижение роста, то И.В. Островский первым стал рассматривать функцию & (ц,) как целую функцию комплексного переменного V при фиксированном значении и. . Используя тождество

4(0,#)- ¡¿(и, г» = ^ (Ш- (и+Ыу+Я, (-и+М С),

он пришел к необходимости рассмотрения линейных конечно-разностных операторов над функцией р (&) (¡Те С)

Из неравенства (7) следуют ограничения на поведение (Ьц,^ )(&) при специально выбранных значениях параметра и . Это позволило И.В. Островскому установить, что логарифмы х.ф. (Ь) компонент з.р. р й £ , для которых выполняется условие (9), удовлетворяют в комплексной плоскости С системе интегрально-разностных уравнений специального вида. Решая эти уравнения в классе целых функций ^ (6) таких, что Яе.%, (Ь) £(СЗм.Ъ') , И.В. Островский доказал гипотезу Ю.В. Линника при ограничении (9), а для решетчатых з.р. класса Ц> - при более слабом ограничении

& Сзс)* Осеоср с-гх./г'&х.-ъх)\х-*-юо, Уъ>0, (10)

где К - максимальный шаг з.р. Р .

При замене условия (9) более слабым логарифмы х.ф. компонент з.р. Р оказывались целыми функциями большего роста, для которых не удавалось доказать, что они удовлетворяют интегрально-разностным уравнениям. В дальнейшем А.Е. Фрынтов и Г.П. Чистяков (1979) доказали, гипотезу Ю.В. Линника при более слабом ограничении, чем (9), (10)

для чего потребовалось усовершенствовать метод И.В. Островского. Привлекая дополнительную информацию о поведении модулей х.ф. компонент з.р. Р на системе вертикальных прямых с некоторым фиксированным шагом, удалось и в этом случае доказать, что логарифмы х.ф. компонент з.р. р удовлетворяют специальным интегрально-разностным уравнениям. При этом, однако, снова существенно помогло ограничение на рост исследуемых х.ф. в комплексной плоскости. Преодолеть трудности, связанные с отсутствием ограничения на рост целых х.ф. в случае выполнения условия Ю.В. Лин-ника (8), не удавалось. Тем более оставались невыясненными условия принадлежности классу Г з.р. класса £ , для которых соотношение (Ь) выполняется не при любом, а лишь при некотором '¿>0 • В этом случае х.ф. <fCt%P) продолжаются аналитически в некоторую полосу, содержащую вещественную ось, и оказывается невозможным непосредственно применять аппарат теории целых функций к исследуемому вопросу. Ситуация осложнялась еще и тем, что, как показали A.A. Гольдберг и И.В. Островский (1967), среди з.р. класса £ , удовлетворяющих соотношению (8) при некотором г>0 » существуют з.р., не принадлежащие классу Тр. Проблеме описания класса J посвящено значительное число работ. Поскольку в одну из задач диссертации входит решение проблемы Ю.В. Линника и более общей - описание з.р. с х.ф., аналитическими в нуле, класса J среди з.р. класса С И.В. Линника, то ограничимся одномерными результатами, непосредственно связанными с этой проблемой.

Перейдем теперь к краткому описанию исследований по устойчивости разложений з.р. Будем-говорить, что з.р. Р при выбранных метриках d1 , ¿г в полугруппе гР обладает устойчивостью разложений, если для любых последовательноотей Рл = ' УДйвлетв0Ряющих условию (2), имеет место •

Для изучения эффекта устойчивости разложений з.р. важно указать наиболее естественные метрики cLf 3 ul. в полугруппе з.р.,

по отношению к которым этот эффект имеет место. Оказалось - и этот факт принадлежит, по существу, Ю.В. Линнику - что в случае J,1 ~ ¡¿£ = U , где L - метрика Леви, т.е.

1*СР„Рг)' ¿У I к : Р, (x-A^-i i Pf

эффект устойчивости разложений произвольных з.р. всегда имеет

место. Поэтому оценки устойчивости разложений з.р. в метрике Леви представляют особый интерес. В.М. Золотарев (19Ш) ввел удобную количественную характеристику устойчивости разложений з.р. F по отношению к метрикам df> dt

ßd d U>F)= ^P Cn-f

'' * F0£6ca,F) Q*KFo

где bCt,F)~ i F0 -з.р.: cLf cP0, F>* £ }, KFo , Up -

классы компонент соответственно з.р. F0jF . В терминах характеристики В.М. Золотарева эффект устойчивости выглядит следующим образом

а,/7;—о С£^о>.

Чаще всего рассматривается случай di = = d и тогда эту характеристику обозначают fi> ^ C&.F) • Как было показано В.М. Золотаревым (1968), в метрике d , реализующей слабую сходимость в , ß,^ ( £, F о Ci-rO) .

Первые оценки устойчивости разложений з.р., а именно нормального з.р., были, как уже отмечалось, получены H.A. Сапо-говым (I95I-I959). Оценки были получены в равномерной метрике df=dt=J> :)= ¡Fi C-x)-/lCx)j. Работы

,г « л 11 7 * „

H.A. Сапогова оказали сильное влияние на дальнейшие исследования, приведем их основной результат.

Теорема H.A. Сапогова. Пусть PJ (j'= ^2) - з.р., причем з.р. Р1 имеет нулевую медиану и пусть выполняется неравенство рсР1*Рг,Ф)<к£ С 0< s £ О , где ф - стандартный нормальный з.р. Тогда существует абсолютная постоянная с >0 , такая, что справедливы неравенства

PtFj cST/ cbtu/t»-1'* (J=f,i>,

где Фу £.х) = ф ( (x.-clj >/Sj ) . а параметры dy, Sy определяются формулами

__м м

i+1-гье , а. - sf* S «V/'.w-a?.

J -м ' J -M J -

Из этой теоремы следует, что если усеченные дисперсии компонент последовательностей композиций F^-fуд*£/г, ограничены снизу положительной постоянной, тс в случае сходимости в равномерной метрике к нормальному з.р. величина Sк из формулы (3) оценивается следующим образом

¿V = 0( (-in. f1/i). (12)

В то же время последовательность композиций, усеченная дисперсия одной из компонент которых стремится к нулю, не обязана быть устойчивой в равномерной метрике. С.Г. А1алошевский (I9&3), опираясь на свойства полиномов Лагерра, доказал неулучшаемость оценки (12).

Поскольку в метрике Леви устойчивость разложений з.р. всегда имеет место, особую ценность имеют оценки в теореме H.A. Сапогова величин L с fj, Ф; ) С J- 1,2.) . Впервые такие оценки были получены В.М. Золотаревым (19ЬВ-1971), С.Г. л!ало-шевским (1970). В.М. Золотарев, доказав ряд новых неравенств, дающих оценки расстояния между з.р. в метрике Леви через их х.ф., получил такую оценку

где С • CJ~1,i.) - положительные постоянные. Оценка сверху уточнялась В.В. Сенатовым (197ь) и развившим приемы работы В.В. Сенатова, И.С. Шигановым (1979, 19ВЬ). И.С. Шиганов получил лучшую на настоящее время оценку / Vd >0 , с Cd) - постоянная. Отметим, что сценки величин dcFj, <Pj) в отличных от L, р метриках, получены С.Г. Мало-шевским (1970) и И.С. Шигановым (1979, 19ЬЬ). Исследования устойчивости разложений многомерного нормального распределения в равномерной метрике было проведено H.A. Сапоговым (19Ь9). Его результаты были уточнены и доведены до.точной в смысле порядка оценки Л.Б. Голинским (I9B5). Оценки устойчивости разложений многомерных нормальных з.р. в метрике Леви были установлены Ю.Р. Габовичем (1976) и Л.Б. Голинским (1966).

З.р. Пуассона был вторым после нормального з.р., для которого были получены оценки устойчивости разложений. Обозначим Пд - стандартный з.р. Пуассона с параметром О . Первая

оценка устойчивости з.р. /7^ в равномерной метрике содержится в работе О.В. Шалаевского (1959). Затем эта оценка была уточнена и перенесена на случай расстояния Леви Ю.Ю. йачисом (1967). Он же (1976) получил и оценки снизу для характеристики В.М. Золотарева ) • Оценки Ю.Ю. Ма-чиса выглядят следующим образом

1/~>

, / СгьСп-О/О \<г ^ " (13)

' 7) «Л•

где С/ С ^- Ч) - положительные постоянные, зависящие лишь от X • Оценки устойчивости разложений многомерного з.р. Пуассона были получены Р.В. Янушкявичюсом (1977) и Л.Б. Голинским Цэаь).

Б. Рамачандран (1963) первым получил сценки устойчивости разложений биномиальных з.р. Его оценки были уточнены Ю.Ю. ма-чисом (1970), который нашел точные в смысле порядка оценки. О.Калленберг (1972) провел исследование устойчивости разложений з.р. с конечным носителем и получил двусторонние сценки такой устойчивости. Ряд работ Ю.Ю. Мачиса (1969, 1973, 1977) и Р.В. Янушнявичюса (1978) был посвящен исследованию устойчивости разложений неразложимых з.р. и единичного з.р.

Анализ вышеприведенных результатов показывает, что оценки устойчивости разложений широких классов б.д.з.р. отсутствовали. Не было выяснено, от каких свойств спектральной функции Леви-Хинчина р из (5) зависят точные в смысле порядка оценки устойчивости разложений этих з.р. Оставались нерешенными поставленный Ю.В. Линником еще в 1959 года вопрос о принадлежности классу 1С з.р. класса £ с целыми х.ф. и более общая проблема об условиях принадлежности классу Т з.р.класса/! с х.ф., аналитическими в нуле.отим обстоятельством определяется актуальность диссертации.

Цель работы. Цель работы состоит:

а) в получении точных в смысле порядка оценок устойчивости разложений в равномерной метрике и метрике Леви для широкого класса решетчатых б.д.з.р. (в частности, точных в смысле

порядка оценок устойчивости разложений з.р. Пуассона в равномерной метрике и метрике Леви);

б) в получении близких к точным в смысле порядка двусторонних оценок устойчивости разложений композиций з.р. Гаусса и Пуассона в метрике Леви и точных в смысле порядка оценок устойчивости разложений ртих з.р. в равномерной метрике;

в) в получении близких к точным в смысле порядка двусторонних оценок устойчивости разложений в метрике Леви для широкого класса б.д.з.р. с гауссовой компонентой;

г) в описании необходимых и достаточных условий принадлежности классу 10 з.р. с гауссовой компонентой и х.ф., аналитическими в нуле.

Общая методика выполнения исследований. Для решения задач получения количественных оценок устойчивости разложений з.р. из широких классов б д.з.р., рассматриваемых в диссертации, используется аппарат характеристических и хребтовых функций, элементы теории вероятностных метрик, теория аналитических функций и теория преобразования Фурье в комплексной плоскости. Разработан новый подход к проблеме описания класса 7С , основанный на использовании количественных оценок устойчивости разложений специальных семейств б.д.з.р. класса £' Ю.В. Линника со спектральными функциями Леви-Хинчина, сосредоточенными на полуоси. Разработаны специальные методы исследования аналитических х.ф. без нулей, модули которых мало отличаются на системах вертикальных отрезков, метод решения конечно-разностных уравнений в классе аналитических функций в круге, удовлетворяющих специальным неравенствам.

Научная новизна. В диссертации впервые получены точные в смысле порядка оценки устойчивости разложений в равномерной метрике и метрике ЛеЕИ решетчатых з.р. Р класса С Ю.В.Линника, удовлетворяющих условию (8). В частности, получены точные в смысле порядка оценки устойчивости разложений з.р. Пуассона в равномерной метрике и метрике Леви. Впервые найдены близкие к точным в смысле порядка двусторонние оценки устойчивости разложений в метрике Леви з.р. Р класса ¿' Ю.В. Линника с гауссовой компонентой, спектральными функциями Леви-Хинчина, не имеющими в некоторой окрестности нуля, за исключением точки нуль, точек роста и удовлетворяющими условию (8) (в этот класс з.р. вхо-

дят композиции з.р. Гаусса и конечного числа з.р. Пуассона из класса С? ). Ранее для б.д.з.р. точные в смысле порядка оценки были известны только для равномерной метрики и только для з.р. Гаусса (H.A. Сапогов, С.Г. Малошевский). Были известны также двусторонние, но не точные в смысле порядка оценки устойчивости разложений з.р. Гаусса в метрике Леви и некоторых других метриках (В.М. Золотарев, С.Г. Малошевский, В.В. Сенатов,И.С.Ши-ганов), з.р. Пуассона в равномерной метрике и метрике Леви (О.В. Шалаевский, Ю.Ю. Мачис). Впервые решена проблема Ю.В. Лин-ника о принадлежности классу ]0 з.р. класса fc , удовлетворяющих условию (8), найдены необходимые и достаточные условия принадлежности классу /0 з.р. класса t? , для которых условие (8> выполняется лишь для некоторого ?> о . Ранее было известно решение проблемы Ю.В. Линника при более жестких условиях на убывание (-ж.) при (Ю.В. Линник, И.В. Островский, Р. Кюппан, А.Е. Фрынтов, Г.П. Чистяков). Кроме того, ранее были приведены примеры з.р. F g £ % / (A.A. Гольдберг, И.В. Островский).

Теоретическая и практическая ценность. Получены точные в смысле порядка оценки устойчивости разложений в равномерной метрике и метрике Леви решетчатых з.р. класса /У , удовлетворяющих условию (8). Установлено, что характер этих оценок зависит от скорости роста производящих функций (п.ф.) з.р. F на положительной полуоси и от структуры спектра спектральной функции Леви-Хинчина б.д.з.р. f . Найдены близкие к точным в смысле порядка двусторонние оценки устойчивости разложений в метрике Леви з.р. F с гауссовой компонентой и удовлетворяющих условию (8) из широкого подкласса з.р. класса jC . Показано, что эти оценки зависят от скорости роста х.ф. (ß(t;F) з.р. F на мнимой оси и существенно отличаются от оценок, установленных для решетчатых з.р. класса Л" . На основе методов, применявшихся в диссертации для исследования количественной устойчивости разложений з.р. класса £ Ю.В. Линника, разработан новый подход к проблеме описания класса J0 . С помощью нового метода решена проблема Ю.В. Линника о принадлежности классу J0 з.р. Г класса £ , удовлетворяющих условию (8), навдены необходимые и достаточные условия принадлежности классу 10 з.р. F класса /?, для которых условие (8) выполняется лишь для некоторого ъ>о .

Результаты работы и разработанные в ней методы могут быть использованы для дальнейшего развития теории устойчивости разложений з.р., теории суммирования независимых случайных величин при отсутствии условия предельной пренебрегаемости, теории непрерывности и устойчивости стохастических моделей, арифметики з.р.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах МИАН СССР (рук. Ю.В. Прохоров, В.В.Сазонов), Харьковского госуниверситета (рук. И.В. Островский), Московского госуниверситета (рук. Б,В. Гнеденко), Киевского госуниверситета (рук. A.B. Скороход), Вильнюсского госуниверситета (рук. Й.П. К.,билюс), ЛОШ АН СССР (рук. И.А. Ибрагимов), на семинарах по проблемам непрерывности и устойчивости стохастических моделей (1975 г. - I9BÖ г.), международных Вильнюсских конференциях по теории вероятностей и математической статистике (1976 г., 1981 г., 1985 г.), конференциях по приложениям комплексного анализа (Черноголовка, Моск. обл, 1963 г., 1985 г., 1987 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I-II] .

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и пяти глав. Список литературы содержит 121 наименование. Сбщий объем работы - ЗОЬ машинописных страниц.

Краткое содержание работы.

В первой главе изучаются оценки устойчивости разложений з.р. Гаусса, Пуассона, композиции з.р. Гаусса и Пуассона.

Как легко следует из теоремы H.A. Сапогова в случае сходимости в равномерной метрике и метрике Леви _последовательно-сти композиций Ffr- F1fL* F1n¡ , где з.р. £*)= (-х+о), к з.р. Гаусса величина <Гд_ из (3) допускает оценку (12). В § I строится пример, доказывающий неулучшаемость &той оценки при специальном выборе компонент F1fv , Fih = F1n . Ьтот пример интересен тем, что во многих задачах теории вероятностей и математической статистики удобным, упрощающим исследование приемом, является переход к симметризованным случайным величинам. Ьтим приемом часто пользуются в задачах устойчивости и непрерывности стохастических моделей. При зтом важно знать, каковы будут потери в оценках при осуществлении такой симметризации. Что касается з.р. Гаусса, то в задачах, связанных с его характеризацией, при симметризации случайных величин возможны большие потери в

оценках. Ьто и доказывает построенный в § I пример. Его конструкция потребовала разработки нового общего метода построения примеров, доказывающих точность различных оценок устсйчивости разложений з.р.

В § 2 первой главы находится точная в смысле порядка оценка характеристики В.М. Золотарева уЗ^ ( Е, П^ ) устойчивости разложений з.р. Пд .

Теорема 1.2.1. Существуют такие, зависящие лишь от параметра Л постоянные Cj >0 (J=£'36) , что для всех в € СО, е-2 3 выполняется неравенство

С-«- - ^ & / (£ //. V С,--и> г'-

г еп. а/£) г Л 1е» с ст) ^

Сравнивая полученную оценку величины рЬ^ С £} П^) с оценками Ю.Ю. ¿1ачиса (13), видим, что истинный порядок убывания величины уЗ^ |) отличается как от оценки снизу этой ве-

личины в (13), так и от оценки сверху.

Обозначим через ЛСх, а, з.р. Пуассона с х.ф. вида

4>а ; Л) - есср

Правая часть вышеприведенной оценки величины (£г Пд ) слезет из такого результата, уточняющего соответствующие результаты О.В. Шалаевского и Ю.Ю. Мачиса.

Теорема 1.2.2. Пусть з.р. Pj £./=7,2) таковы, что гПд £ ££€£0>е"г,.1)с^/г)^>). Тогда существует постоянная с > о , зависящая лишь от параметра \ > о , для которой справедливы оценки

У п П , Л 1 Г 1 ч „ Utn.i1/i)

С'О л, Л/ - Н) а, ^ с

где /1/+1

а- I, 5 (МЫ,

о

а /V - целое число, определяемое неравенствами СЛ/-1)&и(А/-П < £ ¿п.и/ЬЪ £ А/и А/.

Для получения оценки снизу величины С£> ) потребовалось разработать общий метод получения оценок снизу устойчивости

IV

разложений решетчатых б.д.з.р. Ьтот метод опирается на комплексный анализ и существенно отличается от метода исследования Ю.Ю. Мачиса.

Характер оценок сильно меняется при изучении устойчивости разложений композиций з.р. Гаусса и Пуассона, т.е. з.р. Л с х.ф. вида

<PC£sA:>= еар СА>о,Г>о, аеЛ').

Через Ад обозначим композиции з.р. Гаусса и Пуассона с параметрами X >0 , , CL-0 .

Теорема 1.3 Л. Существуют постоянные Cj>0 С J- .зависящие лишь от параметров А, у , что для £ е Соле'&1 справедливы неравенства

С? ( ¿nitbCI/L-))4^ JiL С6,Ав-)4 Ct (14)

Как и для з.р. Гаусса ф , для композиций з.р. Гаусса и Пуассона величина JZ^ ( £, Л) О . В § 3 первой

главы находятся оценки сверху устойчивости разложений последовательностей Р^ (2) по отношению к разложениям з.р. Ла и указываются з.р. , на которых реализуется оценка сверху величин St, (3). '

Теорема 1.3.2. Пусть для з.р. Pj CJ=1ti-~) , F=Fj*Fz выполняется неравенство ¿СР,-Л0)££ (£е(0,е~г1У , причем медиана з.р. Pf равна О . Тогда справедливы оценки

LcFj ,Aj)4C С bJn. С fS£>y1/* (j= 4,

где С - постоянная, зависящая лишь от X и у , Лj -композиции з.р. Гаусса и Пуассона с параметрами Aj } )fj , ^J > определяемыми формулами

1j=inPj3M))>HPj,M)=m.iM(q)-nii!iMcFj)^ tFj, М), ^IM (.Pj">-A<-Pj>M), MUM* £nc</£).

В этих формулах через Жкм ( Pj ) обозначены усеченные моменты порядка к з.р. Fj U-UZ)

lb

м - м

Правая часть неравенства (14) следует из этой теоремы. Кроме того, из этой теоремы также следует результат Ю.В. Линни-ка о том, что композиции з.р. Гаусса и Пуассона принадлежат классу 10 . Доказательство теоремы 1.3.2 довольно сложное. Как и в работах H.A. Сапогова изучается поведение х.ф. усеченных з.р. Fj* сУ=/,2) , близких к з.р. Fy CJ=1,Z} . Исследование опирается на тонкий аппарат комплексного анализа и использует некоторые идеи И.В. Островского, первоначально примененные им при доказательстве теоремы Ю.В. Линника о разложении композиций з.р. Гаусса и Пуассона. Оценка близости з.р. Fj*,A.j через близость из х.ф. осуществляется с помощью неравенства В.М. Золотарева. В пользу применяемого аппарата исследования говорит тот факт, что если в теореме 1.3.2 з.р. Fj удовлетворяют дополнительно условию tfj с , то он дает

J>C Pjy-Ä-j )ic С ¿nih, С 1/С)У 1 CJ=1,2).

(Здесь и в дальнейшем через С обозначаем положительные постоянные не всегда одни и те же, зависящие лишь ст з.р., устойчивость разложений которого исследуем). Ьти оценки показывают,что в равномерной метрике оценки устойчивости разложений последовательностей FK = Рц* ^гл п0 отношению к разложениям композиций з.р. Гаусса и Пуассона имеют вид <ГЛ = ОСс^ьйъ С.1/£л ))~f) , если для компонент /у сЛ/,2) выполнено условие » с

В § 4 доказывается неулучшаемость этой оценки. В нем получена также оценка снизу величины J5 и (£, -А.) , сформулированная в теореме 1.3.2. Для получения оценок снизу устойчивости разложений з.р. Л. применяется разработанный нами § I, 2 общий метод, применение которого в рассматриваемой ситуации требует более тонкого аналитического аппарата, спирающегося на некоторые идеи Ю.В. Линника.

В первой главе дан ответ на вопросы, поставленные в монографии Ю.В. Линника, И.В. Островского, о точных или близких к точным в смысле порядка оценках устойчивости разложений з.р. Пуассона и композиции з.р. Гаусса и Пуассона. Показано, сколь разнятся оценки устойчивости разложений классических з.р. Гаусса, Пуас-

сона, композиции з.р. Гаусса и Пуассона, и на примере этих з.р. описана схема действия применяемого в последующих главах аналитического аппарата. При этом для рассматриваемых з.р. Р явно указываются з.р. К, р , на которых достигаются соответствующие оценки сверху величины (Е, Р) . Выяснению природы различия полученных оценок будут посвящены следующие две главы диссертации.

Во второй главе получены точные в смысле порядка оценки величины уЗ^ -Л - решетчатые з.р. из класса/б'

Ю.В. Линника, удовлетворяющие условию (8)'. Для получения точных или близких к точным в смысле порядка оценок величиныуЗ^ (£>Л~) нужно уметь как можно более точно описывать класс компонент з.р. Л . В нашем случае этот класс не был описан, поскольку

гипотеза Ю.В. Линника, которая позволила бы это сделать, не была доказана. Это вносит существенные трудности в исследование устойчивости разложений рассматриваемого класса з.р.

В § I приводятся и обсуждаются результаты главы 2. В 5 2,3 доказывается теорема об оценке сверху величиныуЗ^ (£,Л).

Хорошо известно, что х.ф. решетчатых з.р.у!^

имеют вид

(ра-,А)= еос.р [СрЬ + 21 Л(Ю(еС -1)], (15)

гдеуЗбД*, к>0 ( к. - максимальный шаг з.р. А. ), коэффициенты АсК)>0 С и ряд, составленный из них, сходится,

множество 5Ы)= ( К А С к) ? О ^ содержится во множестве вида У , . а числам,

CJ= 1,2 , п.* 1, ••• ) - натуральные, отличные от единицы. Не уменьшая общности, в дальнейшем считаем О , Л=/ . Условие (8) на з.р. _Л в силу теоремы И. Леви, Д.А. Райкова обеспечивает аналитическое продолжение производящей функции п.ф. з.р. Л Я(2;Л) в С** {о} . Рассмотрим следующую факторизацию з.р.

л = л1*лг,

в которой з.р. Jlj € £ 0 = У, 2) и их х.ф. имеют вид (15), где >=0, АСК)=0 (К>0) для з.р. Л1 и Мк) = 0 СК^О) для з.р. _/12 . Обозначим через Ж1 (г) п.ф.з.р.^(х)= 1-Л^-х+о) ,

через 5ГД (2) - п.ф.з.р. Л.г . Функции и аналитические

в открытой комплексной плоскости С , потому возможно определить величины ^ = 7у (Е) и=1>2^ из следующих уравнений

С У* = ^ С1/П СО*£*1, Лъг), (16)

где С±, - максимальный член степенного ряда

г

в точке г=£>0 . Функцииа>0) являются непрерывными неотрицательными неубывающими функциями, характеризующими рост п.ф. Яу СЬ) на положительной полуоси. Поэтому уравнения (16) имеют единственные решения = для каждого Ее (0,12,

причем при Е4 0 . Рост величин (£) к * оо при

£ 4 О зависит от роста функцийу^Г^/у) на положительной полуоси. Чем быстрее растут эти функции при , тем медленнее растут функции 7у С£) при ¿-г О . Обозначим через (\С.Д) множества П С-«), о) , 5 сА)/) (О^ + оо).

В главах 2, 3 будем считать О < £ £ £„ , где £а < 1 -достаточно малая постоянная, зависящая лишь от з.р. Л.

Теорема 2.1.1. Пусть невырожденный решетчатый з.р. А. £ С? удовлетворяет условию (8) и пусть Лс1)фО, Л(-1)ФО , если оба множества (.Л) Ф 0 • Тогда имеет место оценка

Л С£'Л) * с £ С£» ^ ( Ъ се» =

(IV)

где с1 - Ь , } С - постоянная, зависящая лишь от з.р. 71 , а параметры SKJ € [0,4/3] (.((,¿=1,1) определяются явным образом в терминах множеств 5у (Л > (•)= 1> 2 > •

Еа.и будет показано, что оценка (IV) величины уЗ^ С&,-Л-) имеет место и снизу, то из теоремы 2.1.1 вытекает, что для решетчатых з.р. А скорость убывания величины ^^ (£,Л) к нулю при £—»0 зависит от роста их х.ф. на мнимой оси. Чем быстрее растут эти функции по мнимой оси, тем медленнее стремятся к нулю величины уЗ^ ( £, 71) при £-+ О .

Теорема 2.1.1 следует из такого более сильного результа-

Теорема 2.1.2. Пусть Ру (J=f}ZУ - з.р. такие, что выполнено соотношение <¿1 ,Л С (¿=¿0) , где _/[ - з.р. из теоремы 2.1.1. Тогда найдутся б.д.з.р. е Лд О

такие, что имеет место оценка

¿¿С ) £ с А(Т1} Гг )

С - постоянная, зависящая лишь от з.р. -Л.

Замечание. Теорема 2.1.2 сохраняет силу и без ограничения А С1)Ф О , Х(-1)Ф0 , если оба множества (А) Ф 0 ♦ В этом случае величина ЛСТ^Т,) выписывается сложнее, поэтому чтобы избежать усложнения формулировок, остановимся на теореме 2.1.2 в приведенной формулировке.

Следствием этой теоремы и замечания является такой результат.

Теорема 2.1.3. Решетчатые з.р. Л. 6 Ц , удовлетворяющие условию (8), принадлежат классу 10 .

Теорема 2.1.3 доказывает гипотезу Ю.В. Линника для решетчатых з.р. и содержит в себе результаты И,В. Островского, А.Е. Фрынтова, Г.П. Чистякова, дающие решение задачи Ю.В. Линника для решетчатых з.р. при более жестких ограничениях (10), (II). Теорема 2.1.3 позволяет описать класс компонент з.р. Л , без чего невозможно дать хорошие оценки снизу величины у?^ Л) .

В 5 4, 5 второй главы получены оценки снизу величины уЗ^ С£}А) при следующих условиях регулярности поведения п.ф. 9Су СН) 2) . Пусть

Ь сг'=гш 6^> ь(г £ Сё>

и пусть выполняются соотношения

) >сУ11(Шг С/г/»/, Л/,2), (18)

где с > О - постоянная, зависящая лишь от з.р ..Л., -

центральный индекс степенного ряда ^(2) в точке /в/ . Условие (18) заведомо выполняется, когда функции (2) яв-

ляются целыми функциями конечного порядка или, что эквивалентно,

¿Ст

1К1~*00

Теорема 2.4.1. Пусть з.р. Л удовлетворяет условиям теоремы 2.1.1 и соотношению (18). Тогда для величины уЗ^ А ) неравенство (17) имеет место не только сверху, но и снизу, возможно с другой постоянной С>0 , зависящей лишь от з.р. А. • Для доказательства этой теоремы нужно было далеко развить метод получения оценок снизу устойчивости разложений решетчатых б.д.з.р., предложенный в § 2 первой главы.

В главе 3 получены оценки устойчивости разложений б.д.з.р. класса Ю.В. Линника £ с гауссовой компонентой. В § I приводятся и обсуждаются результаты этой главы.

По-прежнему считаем, что для рассматриваемых з.р. С выполняется условие (8) и дополнительно требуем, чтобы спектральная функция Леви-Хинчина удовлетворяла условию: у= <> 0)- (о) >0 ив некоторой окрестности нуля функция не имеет точек роста за исключением нуля. Определенный таким образом подкласс з.р. класса обозначим через &а • Пусть Л е /30 , рассмотрим ряды Дирихле

(19)

В силу условия (8) эти функции определены для каждого Í€ Я* и допускают аналитическое продолжение в С . Рассмотрим максимальные члены у* 2)урядов Дирихле (-/-£2) в точке £»0 . Функции 2)^ ) и'=1,2) являются непрерывными неотрицательными неубывающими, поэтому для £ £ (0а12 всегда существуют единственные решения 7/ = 7/(£) CJ=1,2.') уравнений

* С У1 а, Э/Ь и/О СУ=/,2) .

Положим ?= Т(£) = ГтгСп. { Г, , Гг , (С//£Х>У/Д i .

Теорема 3.1.1. Пусть з.р. Л € £0 , тогда имеет место

оценка

]Ьи (£,Л) 4С С

где с - постоянная, зависящая лишь от з.р. А. .

Потребуем от функций 5). (£) регулярности поведения,

аналогичного условию (18). А именно, пусть выполняются неравенства

J* С t, 2)JZ)>* с V1\ t, S)jCS)) (t>o, J> 1, z), (20)

где Vit, S)j - центральный индекс ряда Дирихле SlJ^'ct) в точке t >/ О , с - постоянная, зависящая лишь от з.р. Л . Эти ограничения на поведение функций S)j (i) не являются очень жесткими. Во всяком случае для з.р. Л е ¿0 ,для которых

они выполняются, а это широкий класс з.р., включающий, в частности, композиции з.р. Гаусса и конечного числа з.р. Пуассона.

Теорема 3.1.2. Пусть з.р. Л £ и выполнены условия

(20), тогда для некоторой постоянной о О , зависящей лишь от з.р. Л > справедлива оценка

ßd с^Л ) >, с ( Tcen-D'1 cd=L,f>).

Теоремы 3.1.I и 3.1.2 показывают, что оценки устойчивости разложений з.р. класса Д, Ю.В. Линника, как и для решетчатых з.р. класса ß , зависят от скорости роста х.ф. (f(t-,A) на мнимой оси. Однако характер оценок сильно меняется при переходе от з.р. класса к решетчатым з.р. класса /? .Здесь существенно сказывается специфика класса решетчатых з.р. Так у з.р. Пуассона и композиции з.р. Гаусса и Пуассона рост х.ф. на мнимой оси мало отличается, а оценки устойчивости разложений этих з.р. сильно разнятся.

Теорема"3.1 Л вытекает из следующего результата. Теорема 3.1.3. Пусть з.р. Fj (J= /,2) такие, что медиана з.р. Ff равна нулю и выполняется неравенство: L(Pi*Fl,Á}¿ й е (о< , Лй • Тогда найдутся б.д.з.р.х^/Г, iHti,

J «л#

для которых имеют место соотношения ■

LcPj,Jif>¿ с ( Г(е)+1Г1/*,

с - постоянная, зависящая лишь от з.р. JL

Из этой теоремы легко усматривается такое следствие. Теорема 3.1.4. З.р. Л £ принадлежит классу Тд Тем самым получаем полное описание класса компонент з.р.Лс/?0.

Кроме того, для з.р. класса доказана справедливость гипотезы Ю.В. Линника. Теорема 3.1.4 в классе з.р. £0 усиливает предшествующие результаты И.В. Островского и А.Е. Фрынтова, Г.Г;. Чистякова. И.В. Островский доказал гипотезу Ю.В. линника при ограничении (9) на спектральную функцию Леви-Хинчина ,

а А.Е. Фрыктов, Г.11. Чистяков доказали эту гипотезу при ограничении (II), что является более жестким условием на з.р. в классе t0 , чем ограничение (О).

Отметим, что метод доказательства теоремы 3.1.3 позволяет обобщить эту теорему на случай з.р, Ле С , удовлетворяющих условию (3). В этом случае в правых частях неравенств, оценивающих сверху величины Л-у появятся дополнительные слагаемые, стремящиеся к нулю при £ -» О и зависящие от поведения спектральных функций Леви-Хинчина в окрестности нуля. Пока не удалось показать существенность появления таких слагаемых в оценке величин LipJ>Aj)ъ общем случае. Поскольку в то же время объем исследования сильно возрастает, ограничимся рассмотрением случая Лб £ о • Доказательство теорем 3.1.1, 3.1.3 приводится в § 2,3 главы 3.

Для доказательства теоремы 3.1.2, которое приводится в § 4 главы 3, потребовалось перенести результаты § 4 первой главы на широкие классы функций, что было связано с развитием аналитического аппарата исследования. _

В четвертой главе дается полное описание з.р. класса 1 с гауссовой компонентой и таких, что

А 6Л С») = 0 (е~гл1 > , х — + со 7 3 г>0. (21)

Как уже отмечалось ранее, А.А. Гольдберг и И.В, Островский показали, что в этом случае существуют з.р. Л. й ¡¡1, не принадлежащие классу Iд . Сформулируем основной результат четвертой главы, предварительно заметив, что под 5 с С) будем всюду понимать спектр неубывающей функции £ , т.е. множество точек хбЯ1:

, V >0 .

Теорема 4.1.1. Пусть з.р. Л е В и выполнено условие (21). Для того, чтобы з.р. Л £ 10 необходимо и достаточно,чтобы не существовало подмножества {М^ Ь ) такого, что

? + да или У^ 4 - во при •},—*<» и-выполняются два усло-

2Ь

вия: _

I. 1Ст С ¿п/\>г..П/Мг1 ¿ + оо ,

г-*оо (22)

2. &т

(23)

В этой теореме не предполагается у з.р. А&И. наличие гауссовой компоненты. З.р. \10 , построенный А.А. Гольд-бергом и И.В. Островским, был единственным известным среди з.р. такого рода. Х.ф. этого з.р. дается формулой

09 у к к

«*/> { ¿1 е се*'-/)}.

/С=о

То, что этот о.р. сразу следует из теоремы 4.1.1, по-

скольку множество {2*3 удовлетворяет условиям (22), (23). Теорема 4.1.1 дает возможность строить широкий набор таких примеров. Чтобы сравнить теорему 4.1.1 с другими предшествующими результатами, отметим, что простым ее следствием является утвердительный ответ на вопрос Ю.В. Линника.

Теорема 4.1.2. Пусть з.р. Л. € С? и выполнено условие (8). Тогда з.р. Ле Iо .

Теорет 4.1.2 следует из теоремы 4.1.1, поскольку из соотношения (8) вытекает, что не существует бесконечных подмножеств спектра 5 С 6л ^ с предельной точкой на бесконечности, на которых выполняется условие (23).

Таким образом, теорема 4.1.1 содержит результаты Ю.В. Линника об описании з.р. класса & » принадлежащих классу I , результаты И.В. Островского, А.Е. Фрынтова,Г.П.Чистякова, которые доказывают гипотезу Ю.В. Линника при более жестких условиях (9)-(II) на поведение спектральной функции Леви-Хинчина .

Отметим еще ряд следствий из теоремы 4.1.1. Из этой теоремы и теоремы Ю.В. Линника о необходимых условиях принадлежности классу Т0 з.р. с гауссовой компонентой следует полное описание з.р. с гауссовой компонентой и х.ф., аналитическими в окрестности нуля, класса /в .

Теорема 4.1.3. Пусть б.д.з.р. А имеет гауссову компоненту и выполнено условие (21). Для того, чтобы з.р. А € 10 необходимо и достаточно, чтобы з.р. А й С и не существовало подмножества {с такого, что 1- + оо или 4 - аз при <{,-* со и выполняются условия (22), (23).

В качестве следствия теоремы 4.1.1 получаем такой результат, из которого вытекает полное описание з.р. А с гауссовой компонентой и ЗсСл^-^,*03^ Я1) класса Т0.

Теорема 4.1.4. Пусть з.р. А & С и ( ^ -£ С&, + со ) (_ В & Я1) • Для того, чтобы з.р. А £ 10 необходимо и достаточно, чтобы не существовало подмножества { Уу, } £ таког°. что выполняются усло-

вия (22)," (23).

Чтобы сформулировать следующее следствие теоремы 4.1.1, проведем такую факторизацию з .р. А € £: Л -А_л Рр ^ * Л + , где з.р. А + е. С , причем их спектральные функции Леви-Хин-чина равны

Сл. = [

(■*> , л й о

9

(<А (о) , ■*><>

а Ф^ у ~ нормальный з.р. с математическим ожиданием £ и дисперсией

Теорема 4.1.5. Пусть з.р. А £ к и выполнено условие (21). Для того, чтобы А й 10 , необходимо и достаточно, чтобы з.р. Л + € I о •

По поводу последней теоремы возникает вопрос: может быть она справедлива и без ограничения (21). Этот вопрос в-случае, когда у з.р. А € С имеется гауссова компонента, возник еще у Р. Кюппана (1969). Если бы это было так, то с учетом теоремы 4.1.4 было бы получено полное описание класса 10 для з.р. с гауссовой компонентой. Хотя на этом вопросе мы не останавливаемся, но отметим, что методы исследования з.р. класса /? , изложенные в диссертации, позволяют дать отрицательный ответ на этот вопрос Р. Кюппана.

Для доказательства теоремы 4.1.1 в сторону достаточно-

сти пришлось применить идеи, связанные с количественной оценкой устойчивости разложений специальных семейств з.р. класса £ Ю.В. Линника. Действительно, непосредственно применять методы теории целых функций к изучению разложений з.р. класса £ при выполнении условия (21) нельзя, поскольку это условие гарантирует аналитичность х.ф. Ч>Л) только в фиксированной полосе, содержащей вещественную ось. Поэтому нужно было сформулировать условия на з.р. Лй й , позволившие хорошо приближать з.р. А. з.р. ЛтбИ СТ? + оо) с х.ф. аналитическими в полосах ¡ЭтЦ* Т , которые можно исследовать с помощью специфических методов комплексного анализа, разработанных в предыдущих главах диссертации. Сформулированные условия на з.р. Л. € £ оказываются необходимыми для принадлежности классу I , что показывает естественность такого подхода в задаче описания класса 20 для з.р. с гауссовой компонентой.

В главе 5 доказываются вспомогательные теоретико-функциональные результаты, использующиеся в главах 2-4.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях:

1. Чистяков Г.П. Устойчивость разложений законов распределения // Теория вероятн. и ее примен. - 1986. - Т. 31, вып. 3. - С. 433-450.

2. Чистяков Г.П. Об устойчивости для теоремы Ю.В. Линника 1] Теория функций, функцион. анализ и их приложения. -1971. - Вып. 9 .- С. 118-133.

3. Чистяков Г.П. О точности оценок в теоремах об устойчивости разложений нормального распределения и распределения Пуассона // Теория функций, функцион. анализ и их приложения. - 1976. - Вып. 26. - С. 119-128.

4. Чистяков Г.П. Оценки устойчивости разложений композиции распределений Гаусса и Пуассона // Зап. научн. семинаров ЛОМИ. - 1979. - Т. 87. - С. 164-186.

5. Чистяков Г.П. Замечание к теореме Н.А. Сапогова об устойчивости разложений нормального распределения // Операторы в функциональных пространствах и вопросы теории функций: Сб. научн. тр. - Киев: Наук, думка, 1987. - С. 108-116.

6. Чистяков Г.П. Некоторые теоретико-функциональные результаты, возникающие из вопросов арифметики вероятностных распределений. - Харьков, 1986. - 21 с. - Препринт / АН УССР, ФТИНТ; 3-86.

V. Чистяков Г.П. Об устойчивости разложений решетчатых безгранично делимых функций распределения класса £J Ю.В. Линника // Проблемы устойчивости стохастических моделей. - М.: ВНШСИ, 1986.- С. 84-106.

8. Чистяков Г.П. Оценки устойчивости разложений безгранично делимых функций распределения с гауссовой компонентой класса £ Ю.В. Линника. I. // Проблемы устойчивости стохастических моделей.- М.: ВНИИСИ, 1987. - С. I3I-I4I.

9. Чистяков Г.П. Оценки устойчивости разложений безгранично делимых функций распределения с гауссовой компонентой класса £ Ю.В. Линника. 2 У/ Проблемы устойчивости стохастических моделей,- М.: ВНШСИ, 1988. - С. Í42-I6I.

10. Чистяков Г.П. О факторизации вероятностных распределений класса fc Ю.В. Линника. I JJ Теория функций, функцион. анализ и их приложения. - 1987. - Вып. 47. - С. 3-25.

11. Чистяков Г.П. О факторизации вероятностных распределений класса С Ю.В. Линника. 2 JJ Теория функций, функцион. анализ и их приложения. - 1987. - Вып. 48. - С. 3-26.