Интегральное представление и особые множества субгармонических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

6 од

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. В. И. РОМАНОВСКОГО

На правах рукописи

ЯРМЕТОВ Жуманазар Рузимович

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ И ОСОБЫЕ МНОЖЕСТВА СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Специальность 01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ТАШКЕНТ —1994

Официальные оппоненты:

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Ташкентского Государственного университета.

Научный руководитель— член-корреспондеиг АН Республики Узбекистан, доктор физ.-мат. наук, профессор А. САДУЛЛАЕВ

доктор физ.-мат. наук, профессор Ш. ЯРМУХАМЕДОВ

кандидат физ.-мат. наук М. М. БЕРДИКУЛОВ

Ведущая организация: Башкирский Государственный

Университет

Защита диссертации состоится 1994 г.

в - /У часов на заседании специализированного совета Д 015-17.21 в Институте математики им. В.И.Романовского АН Республики Узбекистан по адресу: 700143, г. Ташкент-!43, ул. В. Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. В.И.Романовского АН Республики Узбекистан.

Автореферат разослан «_

_1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физ.-мат. наук

Ш.АДАШИМОВ

■ - в -

Общая мрактсрмстмса работы

Актуальность тема. В дхссевташи рассматривается особые множества, субгармоничесюсс функция, пбдалаирос допоянителъ-ныии условиям гладшяж. .

Одним из "важных разделов теории функция является

» • ^

аналитическое продолжение,. ' описание структуры особого множества для тех иди иных классов функций. Для класса аналитических функюл одного и ишгта . кхятлешшх переменных имеется достаточно полное изложение методов ж принципов их аналитического продтвткия. Оскавные иа них связаны с именами тахкхавгоров как Хартогс. .181, Риаерт-Штейн ПЗЗ , Витуикин Ш. Даджешсо 121 и др. Принцкпами аналитического продолжения подробно можно стаюмкгъся например. в книгах Б.ВЛабата 181 и ЕЛ.Чирхи (71.

С' аналитическими функщиши теаю ¿вязаны субгармонические и ляврису бгарисшгчеаяе функции.' Основы иэучешш особых множеств таких функции дана в работах Брело. 191,; Лелоаа 1101, и др. Особые множества классов итаничешшх субгармонических функция характеризуется логарифмической Сныгонов-скояпри п г 3) ешсоспок того» ' над сверху субгармоническая вне В функция субгармонически продолжалась на к, необходимо и достаточда.чтобы ехкость Сар(В) множества X внш нулевая.

Диссертация . жгптаггпя иссяедаванир;особмх множеств : субгармонических функция ю хласса ЬЦу . .Для ¿наиггичес-ххх функция вопрос изучая достаточно хшлноСС1|Д?2).Дяя гармонических функция, «туязгра: осойнх ююжесгв списана в работах Л.Карлесоиа С51 {сяучай 0< « з о ж ДЛЛяешсо

13,4КслучаЯ1 < а £ 25. Иетоды изучения особых множеств и принципы продолжения гармонических функция существенно мспадьзуютсвсйство аналитичности гармонических функций.

Как известно, класс субгармонических функция является более широтам и не . обладает свойством аналитичностя.В этом аспекте рассматриваемое в диссертации продолаение субгармонических функция является весьма актуальной задачей.

• Паль исследования. Доказательство интегрального представления субгармонических функция удовлетворявших условии Липшща порядка «, 1 £ а £ г, с особых множеством и характеризовать устранимые особенности субгармонических функция.

Методика , исследования. Используются методы теории распределения. к теории мер, методы комплексной теории шленциала и теории функция.

Научная новизна. * йжазана интегральное представление гладких субгармонических фушодй с оайым множеством н получен метрические свойства, устранимых особенностей субгармонических функций из класса Ыра , о < а ¿ 2,

Практическая и теоритичесзсая ценность. Полученные ре-' зультатн носят теоретический характер. Они могут быть . применены в теория функция комплексных переменных, теории потенциала и причтении спец. курсов.

Апробация раДоты.-Результаты диссертации докладывались на семинарах по комплекошмуанализу при кафедре математического анализа ТажГУ, при кафедре теории функция УрГЗ ям. Аль-Хорезми ¿1931-1933 ггЛ я на республиканская конференции "Кшплексныя анализ и его хфилгаЕНХя" ( г. Зргенч, октябрь 1233 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах Ш-161. Работа (14] опубликована совместно : профессором А. Садуллаевым.

Структура я объем диссертации. .^Диссертация состоит из введения, четырех глав и изложена на 85 страницах. Библиография содержит ЗВ наименования. '

Основное содержание работы .

Во введении дан краткий исторический обзор, вспомога-гельные утверждения и сформулирован основной результат диссертации: пусть В замкнутое множество в области Э с гакое, что Хаусдорфова (п-2-к») мера - О < а з 2,

равна нули. Тогда любая субгармоническая в П\В функция из класса : Ь1раШ субгармонически продолжается в И.

Кроме того, изучена и необходимость условия : пусть В замкнутое множество Сбез ограничения общности его можно считать компактом а хаусдорфова мера которого положитедь-йа\ нп-2-к» (В) > Тогда иа \В существует регулярная боре-яевасая мера у, гл. такая мера, что у (В) > о и и(В(а,г)) л г0-240 - для • всех шаров В<а,г). Потенциал такой керы ,

г Ш-уКИу) . где

Х(х) =

(1/2я)1П1Х1 , ПРЯ П .=» 2

тн-г^х}0"2 , при пь з, Смц-площадь единичной сферы в I?3 ) обладает следухшхи'

свойствами:

а) и''(х) € lip,,«»11) ддянецеашх « к

и "(к) Е з^в-о^) для в * 1; 2

О и и(х) гаршвкна а п"^ Ссх. [51

Следовательно; для неделух а функция - и м(х) принадлежит классу .Xlpa(R^) , является субгармонической Сгарнонйчеасоя) г R°VK , но субгармонически не продолжается на все R21, что показывает необходимость условия Нп-г+а1^ * 0 В основной результате. В случаях, когда

а = о шм а = 1, такое обратное утверждение не шеег шло Сек. [51. 1123), т. е. условие Н^^СВ) - Q для

ш а = 1 не является необходюшж условней. Однако при <* = 2 как дшеазаг Ягуеи Хуан D (111, условие Ип-г+вО^ = о все, se . является необходшши и достаточный условней устранена иноиесте В. ■ • • Таюц-образом, при О < «. s г , а» 1. инохество В ■ устранило для лвбоя субгармонической в Ю\В ~ функции из класса. Lipaj[D) тогда и только тогдадогда. H^^iB) = 0. -

В первой главе. щиведвн..ряд свойств обойденных « суб-ггщткчеаах фуюаш.хеабхашаиядя дальнеяиих результатов. Здесь обсуядается сдедутая теореха Брело :

ТЕОРЕМА (Брело). Пусть -В заихнутое ххояеетво в области В с r11 с ньютоновою» [логарифмической при • п - 2J екхостьв сар(е) ». о. Тогда любая субгармоническая в вчв, ограниченная сверху в С функция и(х) субгармонически продолжается в В.

Стаетата.что условий этой теремы является и необходимым.

В работе ЛЛСарлесона El доказан» что компактное подмножество в области D с устраняй для хласса всех гармонических в Б\В функцнйиз класса Ира(В), о < а < 1, тогда и только тогда, когда - Н^^Ш) » О. . .

Вэ второй главе- доказывается аналог этой теоремы для хласса субгармонических функций (теорема 1). Доказательство йШ1 результата для гармонических функций основано на интегральной Формуле Грина и существенно использует гладкость гармонических функций с нулевым операторах Лапласа. Так как субгармонические функции, вообщеговоря,не являются дважды гладкими, то об операторе Лапласа Au в обычном смысле речи идти не можете Поэтому в доказательстве основного результата мы воспользуемся аппроксимацией субгармонических функций и кроме интегральных формул используем.такжемегоды комплексной теории патешиала. свояства сжодима^ . ! ; : В главе: Ш расаштдоаЕггсяссобые множества субгармо-ничеогах функций из класса Ира , 1 < а 's г. Оаювнрй ре. зультат этой- главы Стеорема 2), описывает осой» множества-субгармонических фушшия класса blpe в случае i < а s 2,-. Доказывается, что. особые-' множества ■ S c В характеризуются

условием Hjj^^CS) > о. ■ . Как yse.отмечалось выпй,*етод доказательство основно-' го-результате в случае 1 < <* s 2 судествеяно : отличается от . метода, доказательства для. а s i я осшвывается ка следуя-■-. сей теорейе об интегральном . гредставлеййи,. предсгавлявдей' '.; также самостоятельньш яйврес. 7у(

теорема 1 Пустьфункэдя г1сх)прюшдаежеткшссу sbdAS) n ИраГО)«. г»5 !. < «• < 2, а В - замкнутое .в области

- в -

Вей11 множество такое, что Н^^СВ) < « . Тогда для лхйси компактной часта се В с гладкой границей функци и(2> представляется в виде:

и(1) ■« У<х> - | К(1-у№(у) + ^ЛЦгЖСХ-уХНц^»), ■ в \в £

х « Б^ЧВ. Здесь -и (х»-гармоническая в функция зависят

только от ^ = ли.^ ассоциированная с и(х) мера, Л (у) измеримая и ограниченная функция.

К сожаления, в случае, когда - . « = 2 в згомпредставле-яии появляется дополннтелышл член, и доказателство теорема 3 не проходит: Тех не менее имеетместо следухвдэе '

предложение . Пусть функция и(х) ? принадлежит клао аЬШЧВ) Пир^№)» где I замкнутое 'мкбаестзо в. области Н е 1?п н нд(в) < » . -Тогда для любой хвмпактной части 1) с I с гладкой границей , вЪ^ функция и(х) представляатся в виде

• : в •■'•:.."-.■'; . " п. • в I

* 1 { к(х-у)} x * 3>^\11

Здесь V(у)-, элемент объема в 1?п, «(х), и м те ж,

что в теореке 3 : и (1 = 1,а ^ измеримые. и

ограниченные фунхцин : -

5 СцМц, (1 « 1.11 ) , С Сд - шютанта зависшая только от п и и ).

Кахщ вэдбли для" « У'1'Хаусдорфсш. ^

носгы» охарактеризует устранимые особенности -субгармонически:

- s - -

функций из класса Ирд. Однако адфазсхике больвой интересе представляет сучая « = Бойтаенно возникает вопрос: как характеризуется устранимы? особенности субгармонических функция из класса С1 или Ыр, ? -

В четвертая гдаве дтсазнвдется следувдая теорема, которая относится именно х этому вопросу. ■

теорема ч. Пусть ? замкнутое в области D с R11 ннокество» Шшнество В устранимо ."ддягабояфунхции и(х) из класса fih(D\B) П О1.®) с модудемиепрерывности

s с *(б), el « uñ),

где »(й)-неотреадтельная и неубстватщая при & >, О функция, если для р(г) = i11"1«(г) мера = О. ■ : . ,

; Теорема . Í доказывается при походи следующего результата, которая имеет такие еамостоятельныя интерес.

т е о р е м а 5. .. Йгвяв»-. зймсяукв- в -'об^асяг -Я с .ir1 яноавство : < ». и .;11ус^ и(1) , Т1ринадаезет. классу

виолв) л с1ш .¿• еддаги непрерывности :" ; '.

S О W(6). (i = lvñ>, ,

. где с-константа, и(г)-неотрицательная, неубываадаяпри <5 > о функция л р(г) = г®~1в(г). Тогда даяшобоя компактная части гг с О. с кадкой граннцва «Dj. функция tí(x) представляется в вида: -

. ucr)v(r) - I ift-j№d) + J чуж(х-у)а^(у), где v (z)-rapsaaríecK2m a 2t .фушщкя, завхсявдя гоиыео-ат

- ю -

u(x) , м =.ли-ассацюфаванная с Шх> мера» л (у) измеримая и сщшиченная функция.

Для гармонических функций эти результаты получены в рабе тах.Дэлженко 13,43.

Бозникает вощюс о точности теоремы '4: Басколько р-мера охарактеризует структуру особенностей, гладких субгармонических функций ?

Следующая теорема,-доказанная в работе Ш относится к этой обратной, задаче: Пусть ч(г) - неубыахщая при г г о функция такая, что

1 J

о •'-••.. п

и К- множество положительной ■ p-nepii в R^ : > О

(р(г)= г11"1 wir». Тогда существует-отличная от постоянной

функция и(х) со свойствами: .

1) и(х> « с1 «Л и является гармонической bV.rdsb и не является субгармонической на всем пространстве • R11;

2) для модуля ..непрерывности этой функции л справедливо

неравенство <0 < 6 < i):

w(r)

—f— Gr < «О

г SU _ ч fr *(Г) г Vir) 1

• п £ с f J -Т- + -рг«* b

■ ^ О 6

i = 1»п ).. СС-константаЭ. Заметим, что величины

£ ' 1

fr *Сг) г я(г) V

*(б> = с .4 J г-у— от f б J —V- аг j

0 "i . ' ■ . б и *(<5), вообде говоря,, не эквивалентны. Нетрудно.. показать.

• - 11 г '

что для и(<5) »ба обе величины эквивалентны, «(«} =■ 1/1х?{б/г) они неэквивалентны :

а для

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору А. Садуллаеву за постановку задач, постоянное внимание, поддержку и большую помощь в работе.

литература

1. Витутсин АТ. Пример множества положительной длины, но нулевоя емкости.//Док. АН СССР, 1959, 127, Я 2. . 246-243. '

2. Долженко ЕЛ. О стирании особенностей аналитических ФУШЩИЙ.//У1Ш, Т-28, ВНЛ.4Ш2Э.1953 г. 135-141.

3. Долженко ЕЛ1. О представлении непрерывных гармонических функция з виде потенциалов ¿//Изв. АН СССР, серлатам.. Т-28, Я 5 С12Б4), 1113-1130.

4. Дзлженко Е.П. Об особых "точках непрерывныхгармони-чических функций.//Изв. АЙ- СССР. серлатем., Т-23,

Я 5 0954). 1251-1270.

5. Карлесрн Л. Избранные проблемы ■ теории. исключительных множеств. И.:'"Иир", 1971 г., 12Б с..

6. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. И.: "ШгрМШЗ г. 304 с.

7. Чирка ЕЛ.- Комплексные аналитические множества, и.: "Наука". 1385 г. 272 с.

8. Набат ВЛ. Введение в .комплексный анализ. Часть 1:П. 3-е изд. и.: "Наука", 1385 г.

-129. Brelot В. Etude des fonctions sôustoroaiquea au : Tolslsagp d'un polnt.//4ct.aclens. et 1M.» Во..134, Бегают, 1934, 133-153, 10-Ielong p, ВазепЫеа aleullera laprqpreadea fonctions

р1ад1ттяМушхп1древ.//J. de natb.. 19Э7, 7-36, ' . p^63-aœ. "

U.Sguyen aian Цу. HeocjvaMe sets ol anelytlc functlona eatlBjying a Llpscbitu ccodltltm.//Ark,liath.. 17 (1?T9), p.19-27.

12,Hguyen Ш Uj. к теяотвЫе set for LlpscMtb barrao-nie fimctlcm3.//*lct.llaUuJ.. 7-37 (1990), p.45-51.

13,ВвтвП H, Steln S. Ubeг Ole «esentilcbea Slxigulaarl-tsiten analytlBcfcer fengen. //Ma.tb.im., 1963, 126. p.263-306.

deaplUTlBUia«ariwnlc.//C.H.Ai^.Sc.Par^,t.28;, 1975. Осэюао^^хьтати .лксгаргаш опубликованы в оде-дувдях работах: .

14,Садуллаев А., Яркатоз Х.Р. Особые юшааства субгар-хонических фунхций кз класса ИРв • .

//дрк- ¿H Pf3;i »12.1393 г„ е., 8-ю.. • . 15Лриетав ХР. Уйтранюше особенности субгархсничесхих фгахциа из хяаеса с1. // Двппнирпвяуп.в ЦБЙТИ РФ. 1994 г. Ш стр.

15Лрюгов ХР. Оссбыеинааествагладких субгармонических функций. " Тез. док. науч. конф.УрГУ.- Ургенч, ■ 1994 г. с. 54.

-13. Субгармоник функнияларни интеграл куринишда тасвирлаш ва уларнинг махсус т^пламлари.'

Ушбу диссертация да махсуслик тупламига зга бУлган субгар-юник функшшларни интеграл хуряншда ифодалаш.ва силлик суб-'армоник фунвдияларнинг чеклантирилиши мумкин б^лган иахсус ^пламларининг метрик хоссалари урганилган.

Биринчи бобда умумлашган ва субгармоник фунзадшларнинг ¡аьзи хоссалари келтирилгал.

Диссертациянинг асосия катижаси куяидагича: В ту план ) с Rn сохага нисбатан ёпик, булиб . Хаусдорф (n-2+a) улчози in-2+d. О < a s z, долга тент булсми. У холда Ира(В) син-

зига кзрашли ва DY8 да субгармоник будган ихтиёрня функция

\

i да субгармоник б?лади. ...

Бу натижа иккинчи (0<«1) ваучинчи (1<«<2) бобларда сботлакгал .Учкнчи бобда иуаидаги интеграл куриниа хакидаги еореиа хам исботланган .

ТЕОРЕМА 3. В туплам B c Rn сохага нисбатан ёпик бУлиб, п_2+а (Е) < "бУЛСИН (1<а<2) ВЭ U(X) функция аЬ(Л)ПЫра(Б) инфига «эралли б^лскн. У, ¿<олда чегараси силлик болтан. D со-ага. компакт тегиши D, сохада'и(х) з^йидагича ифодаланади: Cx)=v(x) - j К(х-у№ у) - J í.<y)K(x-y)cWn_2+<J(y), xe D^VB.

Е,\В' В

Г ерда "(х) D, да гармоник функция,А<у) чегараланган i Улчовли функция.

Охирги туртинчи бобда . с1 синфга карашли болтан суСтаршие функцяяларнинг чеклантщшлиши мумкин болтан, махсуслик-1ри Урганилган,

- 14 -

Integral presentation and singular sets of suh&armjnlc functions.

In this work problems onthe Integral presentation su harmonic functions from slngularset andstructure of rea "vable sets for class of the smooths suhharnonlc function are studied. :'■,{.'.

3b the first, chapteraaone ; properties of generaH fmctlcm and stfhteraanlc functions Is given.

In tils ircirtc the following nalii result la proved : 1 S Is a close set In a domainD c R^suchttoat 0<a s 2. then any sufchannonlcfunction In 3J\B iron llpa (D) Is suhhsrmanlcal continued la D.

St№ sain result Is proved ln t^e second (0<asl) and 1 the third Xi<a£Z) chapter. In the third chapter the iollo wlng thecran also la proved :

THEOBBf 3. let the u(x> function Is from the ShCD\B)f|[ilpa (S), »hero 0<a<2 and B Is fadose set - In Del?31 domain such that H^^B) < ®.Iben far any conpa part i)tcc D with . ^ aaooth houndary u(x) funtlon 1 presented :

u(x) = '»(*) - J K{x-y)dfjO) + j My^tx-JJ^n^+ati).

D^NB ' B •

X m S^VB. Hare v (x) - hanaonlc • In function, u,A(y) measurable and bounded function. .

. In the: final fourth chapter -the structure of xegmahl sets for class, of . the oaooth subharnoiiic functions -1 ¡stalled. . * ' //