Множества неединственности и их устойчивость в весовых алгебрах голоморфных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ



Н а п р а к а х р у к о и и с и

Чередиикова Любовь Юрьевна

МНОЖЕСТВА НЕЕДИНСТВЕННОСТИ И ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ В ВЕСОВЫХ АЛГЕБРАХ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

03.03.03 - Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа - 2и05

|'<1/нлл |(ь'Ч1' тсчл на кафедре математики

БдШМфСМЛ О Щ{\ М|Н I Н('ЧП()| О рарНО! О УНИВСрСЛК 1,1

Научный руководи I о.и, доктор физико-математических

нау , профессор Хабибуллин Б Н

Официальные оппонекш доктор физико-математических

наук, профессор Кривошеев А С

доктор физ и ко- м атем атичес к и х наук, профессор Юлмухаметов Р С

Ведущая организация

Ростовский государственный университет

Защита состоится 9 декабря 20б5 г в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д 002 057 01 при Институте математики с ВЦ Уфимского научною центра РАН по адресу: 450077, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ УНЦ РАН

Автореферат разослан 2 ноября ?ОСО 1

N юный ач р(г 1ар'. дни ер I лчиопвог' < с>Н'-и> ,! (Н/ ' 057 О1 клпдн и : фи ; -■ 1.п нп\ ч

\ -

-ц ^ 3 & <о Ъ Ъ 3

Н ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование взаимосвязи между распределением пулей голоморфной функции в области П комплексной плоскости С и ростом модуля этой функции вблизи границы Ш представляет значительный интерес не только как внутренний вопрос теории распределения значений (в частности, нулей) голоморфных функций, но и как необходимый, а зачастую и решающий этап исследования таких вопросов теории функций комплексного переменного, как теории аппроксимации, интерполяции, аналитического продолжения, спектрального синтеза и т.д.

В качестве основной отправной точки исследования распределения нулей голоморфных функций из весовых классов в ограниченных областях П можно рассматривать классический результат Р. Неванлин-ны о законченном описании множества нулей для алгебры Н°° ограниченных голоморфных функций в единичном круге В — {г € С: \г\ < 1} комплексной плоскости С и аналогичные результаты для классов Неванлинны и Неваплинны-Джрбашяна. Они породили широкий круг подобных исследований для самых различных типов весовых алгебр или пространств голоморфных в В» функций, которые с незатухающей интенсивностью продолжаются и поныне. Не претендуя даже на минимально достаточный охват материалов по этой очень обширной и богат той результатами тематике, отметим здесь лить обзоры С. В. Шведен-ко (1985 г.), А.Б. Александрова (1985 г.), П. Колвела (1985 г.) X. Хе-денмальма (1998 г.) и наиболее близкие нам по типу рассматриваемых алгебр и пространств монографии А. Джрбагаяка и Ф. А. Шамояна (1988 г.), и X. Хеденмальма, Б. Коревблюма и К. Жу (2000 г.), результаты законченного характера Ф. А. Шамояна (1978, 1983 гг.), существенно развившего исследования М М. Джрбашяна, Ч Горовица (1995 г.) для алгебр функций умеренного "степенного" и быстрого роста в а также работы Б. Коренблюма (1975 г.), Е. Беллера и Ч. Горовица (1994 г.), К. Сейпа (1994-1995 гг.), X. Бруны и X. Массанеды (1995 г.), Д. Льюкинга (1996 г.) для алгебр и пространств функций медленного "логарифмического" роста в

Наше исследование сконцентрировано на выявлении условий, при которых последовательность точек в единичном круге © пли в ограниченной области О С С является подмножеством (подпоследовательностью) нулей для заданной алгебры голоморфных функций в Ю или в Г? выделяемой ограничением на рост вблизи границы этой области через поточечные оценки посредством системы субгармонических мажорант

( -ГЛА

^ - - .»-/¡м-

(весов). Следует отметить, что исследования подобного рода в случае нерадиальной системы весов в © или же для произвольных ограниченных областей П если и есть, то имеют эпизодический характер при весьма специальных жестких ограничениях на систему субгармонических мажорант Нередко подпоследовательность нулей для класса функций не является последовательностью нулей для этого класса. Особенно велика вероятность этого, если весовой класс определяется нерадиальными по существу весами. Все это актуализирует, наряду с изучением последовательностей ну чей, исследование и собственно подпоследовательностей нулей для весовых классов.

Цели работы. Исследованы следующие аспекты очерченной выше тематики:

• достаточные условия для множеств неединственности (подпоследовательностей нулей) в весовых алгебрах голоморфных в © функций, определяемых, вообще говоря, нерадиальной знакопеременной системой субгармонических функций-весов;

• модификация общей теоремы Хабибуллина Б. Н. о "гашении" роста субгармонической в области О функции путем сложения ее с логарифмом модуля ненулевой функции / £ Я(П), где Я(П) - пространство голоморфных в П функций;

• достаточные условия для множеств неединственности (подпоследовательностей нулей) Л = {Х„} в весовых алгебрах голоморфных в произвольной ограниченной области П функций;

» устойчивость множеств неединственности (подпоследовательностей нулей) Л в весовых алгебрах из предыдущего пункта при малых сдвигах точек Л„.

Методы исследования. В диссертации наряду со стандартной техникой теории функций комплексного переменного, теории субгармонических функций и функционального анализа используется модификация неконструктивною метода выметания Б. Н. Хабибуллина, основанного на аппарате мер и функций Йенсена и позволяющего вкупе с Ь2-методом Л Хёрмандерэ устанавливать, в частности, необходимые или достаточные условия для множеств неединственности в весовых пространствах голоморфных функций, не прибегая к каким-либо явным представлениям этих функций. Привлекались также геометрические методы на плоскости.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем'

1) установлены достаточные условия для множеств неединственности в весовых алгебрах голоморфных в !0> функций, определяемых, вообще говоря, нерадиальной знакопереметс/ft системой субгармонических функций-весов, частью новые даже для положительных и радиальных систем весов, которые только и рассматривались ранее другими исследователями,

2) доказана новая модификация теоремы Хабибуллина Б. Н о "гашении" роста субгармонической в области Я функции ч, в отличие от которой для некоторой функции / е //(Я), / "Ф 0, сумма и + log j/j мажорируется не точной верхней гранью некоторой функции М по малым кругам в Я, а ее усреднениями по малым окружностям, что может оказаться принципиальным улучшением, к примеру, в случае гармоничности М на определенных подобластях; из Я;

3) введено новое понятие "энтропии линейной связности" подмножества в области, которое исследовано в увязке с основными объектами теории потенциала — гармонической мерой, функцией Грина, выметанием, а также с оценками систем субгармонических функций-весов;

4) получены достаточные условия для множеств неединственности (подпоследовательностей нулей) Л = {Л„} в весовых алгебрах голоморфных в ограниченной области Я функций в терминах разбиения Я на малые подмножества, энтропии линейной связности этих подмножеств и мажорирования числа точек последовательности Л на этих подмножествах мерами Рисса субгармонических функций-весов, определяющих алгебру:

5) даны новые условия устойчивости множеств неединственности А = {Хп} для весовых алгебр предыдущего пункта в терминах величины сдвига точек Л, которые достаточно поогты и наглядны

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический харакш) и могут быть использованы в различных областях математики (теория ф)нкпий теория операторов дифференциальные уравнения, теория аппроксимации и др.), где трс-бл югея информация о взаимосвязи распре целения нулей голоморфных

в области функций и их возможным минимальным ростом вблизи границы области определения Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях, проводимых в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН, С.-Петербургском отделении Математического института РАН, Ростовском государственном университете. Казанском государственном университете и Институте математики и механики при КГУ. Башкирском государственном университете, Брянском государственном педагогическом университете, а также в других ведущих российских и зарубежных (Украина, США. Испания, Норвегия, Израиль, Швеция. Китай и пр.) научных центрах.

Аппробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы"(Уфа, 2000 г.), на научной конференции по научно-техническим программам Минобразования РФ (Уфа, 2000 г), 1-1\' Региональных школах-конференциях для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (Уфа. 2001-2004 гг.), VI летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы"(Казань, 2003 г.), 12-ой Саратовской зимней школе-конференции "Современные проблемы теории функций и их приложения"(Саратов, 2004 г.), на научно-исследовательских семинарах кафедры математики Башкирского государственного аграрного университета (руководитель Б. Н. Хабибул-лин), кафедры высшей алгебры и геометрии Башкирского государственного университета (руководитель Б.Н Хабибуллин), на Общегородском научном семинаре по теории функций и функциональному анализу в Башкирском государственном университете (руководители: ч т.-корр. РАН В. В. Напалков, проф И.Ф. Красичков-Терновский).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ. Список их е конце автореферата. Четыре публикации [1], [2], [6], [8] в соавторстве с научным руководителем Б.Н. Хабибуллиным - тезисы докладов ни конференциях, которые носят лишь анонсирующий характер В диссертацию из этих 4 работ вошли только те результаты, которые получены автором

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из семи ра-полок (первый -- введение) разбитых па подразделы, и одной иллюстрации со 1ерж аж Гг два чертежа Объем диссертации 88 страниц. Библиография наименование

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИЙ

1. Во введении (раздел ]) излагается история вопроса, приводятся основные определения, понятия и соглашения, формулируется основной результат о достаточных условиях для множеств неединственности для весовых алгебр голоморфных функций к единичном круге В' (Теорема 1.1) и более наглядное следствие 1.1 из него, а затем (для большей прозрачности на примере только выпуклой области Q) даются анало гичные условия для весовых алгебр готоморфных в П функций (Теорема 1.2), а также условия устойчивости множеств неединственности для таких алгебр (Теорема 1 4).

Приведем сначала некоторые из основных определений, обозначений и соглашений, используемых в течение всей диссертации.

Всюду положительность числа, функции, меры и т л понимаем как ^ 0; аналогичное соглашение £ 0 предлагается и для отрицательности Если функция или отображение / на множестве А тождественно равна некоторому значению Ь, то пишем "/ = b на А"; в противном случае — "/ ^ b на А". Функция f: I —> Ж, 7 С В, возрастающая, если для любых Xi,X2 € / неравенство хх < х2 влечет за собой нестрогое неравенство f(x 1) < /(;гг). и убывающая, если —/ — возрастающая.

Последовательности точ^к Л - {A,J на области О С С всегда предполагаются не имеющими предельных точек в О.

Пусть / - голоморфная в области Q функция. Последовательность нулей Zero/ функцьи f ф 0 определяется как последовательность, в которой каждая точка A f Q повторяется равно столько раз, какова кратность нудя функции / в этой точке Л Последовательность Л в £1 называем подпоследовательностью нулей функции / (в записи /(А) = 0), если последовательность Zero, включает в себя последовательность Л с учетом кратности, т е. чисао повторений каждой точки А 6 Й в Zerof не меньше числа повторений гой же точки Л в последовательности А.

Пусть Я — некоторый класс юломорфных функций в Q, а А - последовательность в Q. Если существует функция / € Я. для которой ■Zero/ — А, то А — последовательность нулгй для Н Если существует функция / ^ 0 из Я, для которой /(А) - Г), то А подпоследовательность нулей для Я. Каждая последовательность нулей А для Я является подпоследовательностью нулей для Я. Есии Я — линейное пространство над С или над полем вещественных чисел R. то подпо следовательнос1ь пулей для Я называем 'якже последовательностью неединственности дпя Я; а гротш-люм <".ч, чае ^ ~ пае 1едователъ-

>-t I

ностъ единственности для Н

Через //(О) обозначаем зинейние иросфаж'тво над полем С всех юлпморфных ь области f> с. С функций / Через SH(U) обозначаем класс всех субгармонических функпий в области Q С С. включая в HGiO и функцию и = - ос на S2: SH^.Q) подкласс всех положительных функций из SH(U)

Пусть У - семейство функций из SII(Q). не содержащее функцию = — оо. которое далее называем системой весов на Г>, а функции из У — весовыми, или весами

Рассматривается следующий тип весовых алгебр. Если система весов 7 на Q обладай: свойством

(А) для любых pi.p-z G У и для любых постоянных С;,С2 > 0 найдутся функция р^ € CP и постоянные С\, С'г > 0 такие, что тзх{схру(г),С2Р'Лг)} ^ Cip?(*) + Сг, Vz е

то класс голоморфных в Q функций /, удовлетворяющих оценке logj/(z)( < AfPf(z) + Bf, Vz £ Q. где Af > 0 к Bf > 0 — постоянные, a, Pj - некоторая функция из 3\ образует алгебру, которую обозначаем далее через Aj>(0). Отмстим, что если все функции из класса 3* положительны, то выполнение условия (А) достаточно проверить при cj = С2 - 1. Если р € SH+{fl) и система весов У имеет вид

{ср\ с <= К, 0 < с < +оо}, С1)

го условие (А) выполнено авгомагически и алгебру Лт>(Г2J обозначаем как

В диссертации даю гея достаточные условия, при которых последовательность А из Q является подпоследовательностью нулей именно для классов (алгебр) вида Ау{£1) или, менее общо, A£°(i7) в случаях, когда ft — 35 - единичный круг или Q - ограниченная область. Для последнего случая резулылты несколько менее общие, поскольку приходится учитывать уже геометрию самой области Q. В частности, в отличие от случая круча, рассматриваются только положительные системы весов У.

Во всех известных нам описаниях (подпоследовательностей нулей для различных всемвых к 1ассов типа Л<_р(В>) система весов 7 пред-/xo-'aia'ja'jf. состоящей из но южигелышх радиальных функций, тс. зависящие голько oi ¡г1, : £ Э В наших исследованиях требования положи j f чъности н радиальности весов для крута снимаются Основные ixjyit.id.jbi ' iaib.j новы уже для ал)ебр /IJf(O)) даже только с рать 1ми,1\ш n;c:tv:i достаточно обшп о вида и хорошо стыкуются с

известными описаниями последовательностей пулей дая таких алгебр с более или менее конкретным весом р. Сравнительный аначиз последнего дан в заключительном подразделе 7.3.

Каждой последовательности Л в области Я можно сопоставить функцию Л(г), обозначающую чисто ч очек последовательности Л, совпадающих с г. Такая функция А: ги Л (г), г е. (Л, называется также дивизором последовательности А. В таком контексте для нас часто будет удобно использование и обозначения

А(В)^"£А(г), В СП, (2)

г€В

отождествляя Л с целочисленной мерой, обозначаемой тем же символом Л.

Для функции р € 6'Я (О), р ^ —оо, положительную меру ир — — Др (здесь Д - оператор Лапласа, а равенство мыслится в смысле теории обобщенных функций) называем мерой Рисса функции р в П.

Для подмножества £> С С через Д дО, &ат£> и сопу П обозначаем соответственно замыкание, границу, диаметр и выпуклую оболочку множества О в С. Если в — компакт в П в индуцированной с. <С топологии, то Б предкомпактно в В и обозначаем это как 5 <§ О. Для 2 6 С и 5, р С С через сЦ81;(,г, О) и (1181(5,Б) обозначаем евклидово расстояние соответственно от точки г£Си множества 5 до множества £>.

2. Для функции В: [0,1) —¥ [0,1) и числа ,3 6 [0,3) полагаем Л^(^) =' м г пл г,

К——в~)' а ~ тах{а,0}. Во втором разделе доказывается

Теорема 1.1 (неединственности для круга). Пусть У - система непрерывных субгармонических функций в удовлетворяющих условию (А), -- убывающая строго положительная непрерывная функция на [0,1) такая, что для некоторого числа ¡3

(Ч/3(1-{) при/3 <1, при 0=1,

Если для системы, У выполнены два условия■

(К) для любой функции р 6 У найдутся функция р\ 6 У и постоянные С], С2 > 0 такие, что при некотором ¿о < 3

1 Ги

~ ] р{г + Нр{Ш°) дВ Сич{г) I- Сг, ¿о ^ N < 1 ;

(8) дм любой фупьции р1 £ У а постоянной С > 0 найдутся функция Р2 £ 7 и постоянные С^С'г > 0 такие, что при некотором < 1 & каждой точке г, \г\ ^ Ьо, для некоторого о из интервала (0,1 — \г\) выполнена опенка

&цр Р1(0 -г С1оё - < С\р2и) + С2| ¿о < \г\ < 1,

для некоторой системы {Du}, к - 1,2, .., непересекающихся борелев-ckuv множеств

Ишsup ^^ < 1, 1 > 4 = sup{NI : е А} -> 1, (3)

t-+00 Щвк)

а последовательность Л С (JA D^ для некоторого веса р € 7 удовлетворяет условию

hm sup < зо , где vv мера Рисса функции р. (4)

k~>ou VpWk)

то Л - последовательность неединственности для алгебры А?(В).

Несколько ослабляя теорему неединственности, два условия (R) и (S) в следующем следствии удается объединить в одно.

Следствие 1.1 (неединственности для круга). Пусть функция R(t) такая же, как в теореме неединственности. Если система 7 непрерывных субгармонических положительных функций удовлетворяет условию

(RS) для любой функции р € 7 найдутся функция Е 7 и постоянные С\,С-> > 0 такие, что при некотором io < 1 справедливо неравенств',

sup р{С) + log -~-/ГТг < С)ру (z) + С2. h < N < 1 •

и при этом для нгкоторой системы {Dk}, к — 1,2, . , непересекающихся борсл' всь'ьх множеств выполнено соотношение (3),. а для последовательность, Л с. ¡JA Ü); - условие (4). то А - последовательность неединственности для алгебры Л^(!П>).

3. Для формулировки основного результата третьего раздела (Теорема 3.2) нам потребуются некоторые понятия, берущие начало в теории равномерных алгебр, и их развитие. Они носят общий характер, но определяются здесь только для конуса SH{Я).

Определение 3.1. Положительная борелевская вероятностная мера ¡л с компактным носителем в Я Э О называется мерой Йенсена в Я (для точки 0 € О), если для любой функции u € SH(Q) выполнено неравенство u(0) < JQ и dp.

Класс всех мер Йенсена в Я обозначаем через Jo (Я).

Частный случай меры Йенсена — сужение т(г> на круг D(r) =г {г € С: \z\ < г) d Я меры Лебега т на С, нормированное условием т(ТЦр{г)) — 1 Более широкий (но не исчерпывающий) класс примеров мер Йенсена — гармонические меры и>р{ 0, •) для области Di Я, О € D, в точке 0.

Определение 3.2. Пусть р € Jo (Я). Потенциалом меры ß называем функцию

Vß(0 = f log \г - С| dp(z) - log |C! = / log 1 - J dp(z), С Ф 0-J n Ja s

В основе нашего дальнейшего исследования последовательностей неединственности - следующая общая теорема 3.2, которая является вариацией первых более ранних результатов Б. Н. Хабибуллина (1991 2001 гг.) и даех в терминах мер Йенсена достаточные условия возможности "погасить" рост субгармонической функции ив Я путем сложения ее с функцией вида log|ft.j, где h € Н(Я), h ^ 0. Некоторое уточнение этих утверждений для одномерного случая достигается в основном за счег равномерной оценки решения 9-задачи, полученной О. В. Епифановым (1992 г.). Важное отличие от отмеченных выше результатов Б. Н. Хабибуллина в том, что в правой части заключительной оценки Теоремы 3.2 вместо точной верхней грани функции М по некоторым кругам переменного радиуса стоит усреднение этой функции по кругам и окружностям. Это может оказаться принципиальным улучшением в случае, когда функция М гармоническая на некоторых открытых подмножествах из Я

Теорема 3.2. Пусть Хи — мера Ригса функции а € SH(Я), и(0) -ф —ос, 0 € Я, а М: Я —> [—оо,+оо] - школьно интегрируемая по мере

И

Лебега т функция. Если Оли, некоторой постоянной С € К неравенство

[ f Mdfi + C

Jsi\{ 0} J a

выполнено для всех абсо потно непрерывных относительно меры Лебега гп мер Йснсена /.< в Q с потенциалами V/t, то для любой непрерывной функции г: Q К, удовлетворяющей условию 0 < r(z) < dist(^, ¿Ю), V; 6 О, найдется голоморфная в Q функция h, для которой k(Q) ф 0 и при всех z € Q выполнена оценка

u(z) + \og\h(z)\^ inf / f M(z + w + tel$)dm(rHw)de

i><t«iM(z,m \2v J0 JD{r) + iog(l + l ft)).

4. Четвертый раздел носит вспомогательный, но не второстепенный характер. Он посвящен исследованию некоторых геометрических понятий в увязке с основными объектами теории потенциала — расстоянием Харнака, гармонической мерой, функцией Грина, выметанием мер и субгармонических функций (подразделы 4,1-4.4). Полученные результаты затем используются для вспомогательных оценок специальных бесконечных сумм интегралов от потенциалов мер Йенсена (подраздел 4 5). При этом все эти вопросы решаются в терминах нового понятия, которое дает

Определение 4.1. Энтропией линейной связности непустого подмножества S в ограниченной области П С С называем величину

£(£;Si) = sup mf ——tt,-. ' > ,

2,4/es K'wica dist(l(z,w),dQ)

где точная нижняя грань inf берется по всем спрямляемым духам

l(z, w) С ft, соединяющим точку z С S с точкой w € S, а j l(z,w)| — их длина в евклидовой метрике.

Если в точности соблюдать аналогию с энтропией множества в метрическом пространстве по А.Н Колмоюрову. то следовало бы за энтропию линейной свя-шосги принять величину log2 ¿(S; D), но в нашей ситуации удобнее обойтись без логарифма.

Ввиду многочисленности доказанных в четвертом разделе фактов здесь адраничиваемся лишь приведенным определением.

5. Основной результат пятого раздела — подготовительная Теорема 5.1, связывающая результаты предыдущих двух разделов с техникой получения достаточных условий для последовательностей неединственности для весовых алгебр голоморфных функций типа Л^(П). Этот результат применим не только к алгебрам функций на ограниченной области П, но и к случаю произвольной неограниченной области О. Формулировку Теоремы 5.1 опускаем, поскольку она несколько громоздка и требует значительной предварительной подготовки.

6. В шестом разделе мы вновь возвращаемся к понятию энтропии линейной связности. Основной результат этого раздела, который во многом мотивировал введение понятия энтропии линейной связности и его кропотливое исследование в предыдущем разделе бив подразделах 6.1-6.3, доказан в подразделе 6.4 -

Предложение 6.9. Пусть система У положительных субгармонических функций-весов в ограниченной области О С С обладает свойством (А) и выполнено условие

(Бо) существует число е 6 (0,1), при котором для любой функции р Е У найдутся функция рг 6 У и постоянная С) такие, что

1 Г2«

— р(г + гйЫ{г,дП)е,$)<1в ^РгМ + С,. V* € П. 2тг У0

Тогда для каждого веса р £ У при любом положительном числе I найдутся вес р Е У и постоянная С, с которыми для каждого подмножества 5сП с энтропией линейной связности £(5; П) < I справедлива оценка эирге8р(г) < т{ге3р(г) + С.

7. Седьмой раздел состоит из трех подразделов, в которых доказывается основная Теорема 7.1 (неединственности) о множествах неединственности в алгебрах -4з>(П) (подраздел 7.1), устанавливается основной результат об устойчивости множеств неединственности в таких алгебрах (Теорема 7.2 в подразделе 7.2), и наконец, в заключительном подразделе 7.3 эти результаты иллюстрируются для случая О = Ш> и радиальной системы весов У, а также сопровож,цаются сравнительным анализом по отношению к известным ранее описаниям нулевых последовательностей для алгебр типа Ар".

7.1. Для подмножества S С С через G9S =f \J{[z,w}: z./w £ 5} обозначаем сегментальную оболочку множества S, т.е. объединение всех отрезков с концами в точках множества S. Система подмножеств Е = {£*}, к — 1,2,. ., в области П локально конечна, если каждый компакт в П пересекается лишь с конечным числом подмножеств S;t-Для краткости при 5 С О полагаем =f dist(,S', £>Q). oin(z) ==

dn({z}) для z€fl.

Теорема 7.1 (неединственности). Пусть система весов 3> С SH+(Q) в области Q <ё С удовлетворяет условию (А) и условию

(LDq) существует число £ £ (0,1), при котором для любой функции р £ У найдутся функция pi 6 У и постоянная С\ такие, что

~ j*p(z+cdn(z)e'°) + Vz е П.

Пусть Е = {Sk} - локально конечная система борелевских предком-пактных подмножеств Sk в Q, к = 1,2,..., удовлетворяющее условию lirasupj.^30 t{Sk'. П) < +оо или одному из следующих более ограничительных четырех условий

(Sdl) B5t € Q, к - 1,2,.... и limsup < +оо;

Jfc-wo <4i№bk)

Л .. diamS*

(Ь<12) область U выпукла и limsup . . < +оо;

к~+оо "nl-b/fe)

(Sd3) iimsup—^-— < 2;

fc->ao «OWfc)

,„, , „ „ , . „ diam5fc

(Sd4) conv5i <s fi, к = 1,2... , « limsup -7-7--< -t~oo;

¡ь^эс dn(ccmvSk)

Emu для последоватогъносщи А на П найдется весовая функция р £ У, при которой выполнена условие

(ES) для меры А, определенной в (2), и меры Рисса uv функции р при некотором ги представлении в ьиде сумм положительных мер

ПО

vf

1 fc=1

A = Ai0> + jr>l*>. v^'^ + Y,1

где ме^а с компактным носителем в О и меры А

сосредоточены на Б к, к — 3,2, выполнено соотношение

птзир-тр5-<+оо, (5)

то Л — подпоследовательность неединственности для алгебры

Условие (1Л2>о) эквивалентно одновременному выполнению условий (Бо) из Предложения 6.9 и условия

(Ь) для любого веса р £ "У найдутся вес £7 и постоянная С, при которых

р(г) + Щ^) ^ Ы-) С ¿ля бсе:Е -г € П.

7.2. Для пары последовательностей Л = {А*;} и Г = {7*Ь к 1,2,. .из области О С С без предельных точек в П рассмотрим две характеристики их близости относительно Я с использованием функции расстояния (¿п до <ЗП из подраздела 7 1:

До(А, Г) 1* Иш вир ,

Неравенство Дп(Л,Г) ^ Д^г(Л, Г) в случае выпуклости П, очевидно, переходит в равенство Всюду ниже в теореме устойчивости Л = {А*.} и Г = {7)с}, к — 1,2,..., — последовательности из ограниченной области й С С без предельных точек в П.

Теорема 7.2 (устойчивости). Пусть выполнен,о одно из условий Д^(Л,Г) < +оо или Дп(Л, Г) < 2, а алгебра Ау{?1) задана положительной системой весов удовлетворяющей условиям (А) и (ЬОд). Тогда последовательности Л и Г могут быть последовательностями единственности для такой алгебры А-р(Я) только одновременно

7.3. Введем обозначение для чгоплрною прямоугольника" й С.

Я(кЛ2,0и0г) - {¿е* еС.и^К^ в, ^ в < в2},

(К ^ < к- 91 < 02 ^ + 2тг, (0)

1-е. - ти.ъхгп) кольцо = Я(О,иь02)

сек юр, Я(4;0.2тг) = ПЩ - круь аЖоо;»,,^ = Я(0, +оо,8х.92) -угол.

Используем достаточно общепринятые для мер V обозначение

ко = у{ВЩ ^»(ЩМивг)),

Ик,ь) = 1\Щк к)), »(и,к-,вм = "(Щи,е2;в,,д2)).

Для простоты рассматриваются только семейства 5 — {Я/,}, в которых

(Н) подмножества Я* ё 3. /г — 1,2...., попарно не пересекаются и являются полярными прямоугольниками, т. е. имеют вид

= О 4 < £*+1 < 1,

Специальное семейство полярных прямоугольников

Я*,, .= Я(1 - 2~*, 1 - 2" "-1, ,Т2"*/, "*(1 + 1)),

А = 0,1...., I = 0,1, — 2а+! - 1, (8)

называем диадичесшм семейством и обозначаем его через Ба =

Для а.лгебр функций в круге типа Лу(Ю>) с радиальной системой весов У веса р традиционно чаще всего рассматриваются в виде

- р{|2|) = ( ). г е В, (9)

где, не умаляя общности, вссчда можно считать, чтор ■ [0,1) ~> [0, +оо) (соответственно у?: [1,4-сю) [0,+оо)) - возрастающая положительная функция Для простоты и удобства сравнения с известными результатами об описание нулевых последовательностей для классов функций в круге будем'дополнительно предполагать чю функция р{1) (соответственно у(.г')) непрерывно дифференцируема на интервале [0,5) (соответственно на л) чс [1, -Кто)) Связь между производными р' а дается равенствами

р'{1) - х^'(т). '/(.С) - (1 - *}гР'И), 1р'(Ь) = т(х - 1 У(х),

1 1 (10)

1 <; у ----- <ч ос, 0 ^ / - 1 - - < 1 •

1 — г г

Для субгармоничности такой функции р необходимо и достаточно, чтобы функция tp'(t) (соответственно т(х - 1)^'(:г)) была возрастающей При дифференпируемости и субгармоничности функции р мера Рисса vt, полярного прямоугольника из (6) достаточно просто выража-

ется через производную р' или </?':

ъМ-ЛЛ) - и2р'(к) - hp'ih)) ---

^ Ыхг - 1 )'-р\х2) - Cl(Xl - 1 )'Ж)) •

* = i = <">

Ввиду асимптотического характера большинства дальнейших условий на р и ■р можно считать, если не оговорено противное, что эти условия выполнены только при t, достаточно близких к 1 (соответственно при достаточно больших х ^ I).

В частности, в терминах функции -р таким условиям удовлетворяют выпуклые относительно loga; функции 'р, а '¡акже функции вида

Лх) = log- k^l, <р{х) = (loga;)", а > 0, (3 2)

к pa¿

при достаточно больших х. Однако уже условие (L) выводит часть таких весовых функций за рамки общих теорем нашего исследования Так, из (12) допустимы лишь функции <р соответственно с к ~ 1 или a 1. В определенном смысле минимальное требование для системы весов вида (1) на © - это, при соглашении (9) одно из следующих двух эквивалентных условий:

(Lb) функции р 0 и (1 — t)p'(t) возрастающие на [íq. 1) и при этом

lim p(t) = -roc; t -я-о

CLd) функции if ^-Ou xy?'(x) eo3pacmaiovj,ue на [.co,+oo) 'i npv этом lim <p(x) — +00.

x > i oo

Дейптиелыю, при условии (L®) существует пред

Иш Г^>0 Ä hm >0. а.З;

C.--V4-X. loga; 1+1-0 log(3 - t)

чю и обоспечивлех выполнение условия (L) для системы весов и s (Р) При таких р Kiin if Теоремы иеедчнеггеччое > и 7 1 и устойчивое i и 7 2 содержательны ,цш алгебр /4£°(Ю>)

Алгебры Ajf(]D>). В принятых выше соглашениях (9) и (Lj>) с учетом (33) условие (LD0) Теоремы неединственности 7 3 для системы весов (3) переходит в любое из следующих двух эквивалентных условий:

(L1D>0) существует число е £ (0,1), при котором

p{t + e(l-t))

lim sup--—--- < +оо;

t-м-о P(t)

(LUo) существует a > 1, при котором lim sup < .(.00_

x—f+oo <P(X)

В терминах функции <p к таким весам, удовлетворяющим условию (LPo), относятся, например, степени логарифма из (12) при а ^ 1. функции exp(log2,)cl и степенные функции ха при а > 0, их произве дения и т. п Условие (UD>0) легко следует из асимптотических соотношений

V(z) (Ю) .. (1 -t)p'(t)

lim sup ------ < +°o ^ l™ sup ~-rv - < +oo . (14)

<P(Z) Í-+1-0 P{t)

Пусть Л последовательность в ©. В последующем

(Ra) семейство Е — {Rl} из (R) при некоторомi U\ < 1 покрывает пересечение коъъца R(tQ,l) с последовательностью А,

а последовательность Л отождествляется с целочисленной мерой Л, определенной в (2). Из Теоремы неединственности 7.1 с учетом выпуклости круга Ю> следует

Теорема 7.3. Пусггь Е из (Ra) Если в условиях (Ljj) и (LB>o)

lim sup-------—-----<+oo, (15s)

k-toc 1 ~ tki 1

lnnsup-;-----------г--<+oo. 3ül)

t -»«, (f*. iPVh-i) - tkp'(tk)) (9k+1 -вк)

то А послсдовотсяъностъ неединственности для алгебры

Здесь условие 0 5s) -»квиваленшо условию (Sd2) Теоремы неединственности 7 i а (3 5!) coi таено (13) - условию Í5) Из условий (Le) легко c.ie^yej

t. ^j'íu up'(h) > . (16)

т.е. в условии (151) первую скобку в знаменателе можно заменить па правую часть неравенства из (16) Более того, если (ср с (14))

. гх^'(х) (10) . .. . , (1 -t)p'(t) 0 < а < Inn inf «=4 0 < п < iiminf -----17)

x-i+oo ifi(X) í-H-0 p(t)

то (151) в теореме можно заменить на соошошенко без производной

limsup —r¿-~rk-7-—r~r—---7 < +oc . (15/')

fc_+0° FOíwT+ííPttk+i) ihi-i ~

Если наложить еще дополнительное ограничение lim inf ît+iZh > 0 Urn inf > 1 lim mí > ] , (18)

к-*ос 1 — tk+ 1 £-+00 1 — ik 1 j k-txi XK

то (151') упрощается до соотношения

Л{tk,tk+lJk,6k+l) I -ti- /,-,/А

lim sup---—77—1--a---7 '' ■ (10!")

k—ioc p{tk +1) 9ntl - Vk

Наконец, если к ограничениям (17) и (18) добавить еще одно условие lim sup ~ tk-~ < 4 ce:, (19)

Í.-+OC, VkAA — fí

то получаем окончательное упрощение (151) (J 51"):

limsup —-—-< -foc . (15Г ),

fc-юо Pítkblí

Таким образом, из Теоремы 7.3 вытекает

Следствие 7.1. Пусть Е семейство из (пд) % наряду с условием (15s), дополнительно выполнены условия (18) и (19). Если имеют место соотношения (14), (17) v (151"') то А — последовательность неединственности для алгебры А™ (В).

Для диадического семейства из (8) условия (15s), ( 18) и (19). очевидно. выполнены. Однако в этом частном с п'чае известен значительно более тонкий результат Ф. À НТамояна 0978 г.), дающий законченное и определенных рамках описали" последовательностей нулей для алгебры Л£°(1П>) с весом р. удовж i ^оряющи s условиям (14) и (17) того, чтобы последовательиопгь \ с, |!J бы я пжледовотельнонпъю

пулей для .4р3(Ю). достаточно, а при а > ) в (17) и необходимо, чтобы выполнялось ограничение Л(Яд,/) < constip(2k) при всех к и I из (8) Легко видеть, что последнее ограничение -эквивалентно условию (15Г") дня семейства S2. Из этого критерия Ф. А. Шамояна следует, что каждая последовательность неединственности для охватываемых им алгебр одновременно является и последовательностью нулей (как и во многих других случаях пространств по радиальной системе весов) Отсюда в заключении Следствия 7.1 можно утверждать, что А — последовательность нулей для Л£°(Ю) при а > 1 в (17). Несмотря на то, что проведенный сравнительный анализ отнюдь не в пользу Следствия 7.1, это следствие содержательно в другом. Во-первых, этот анализ демонстрирует точность Следствия 7.1, а стало быть и Теоремы неединственности 7.1 для алгебр в рассматриваемых терминах. Во-вторых, он показывает, что Теорема 7 1 — ни что иное, как прямое частичное обобщение результата Ф. А. Шамояна 1978 года на произвольные области !/ (fc С и широкий класс систем весов У на ограниченной области П.

Нижняя граница содержательности Теоремы 7.1 — это алгебра Л£°(Ш>) при — logs, в (9). Такую алгебру традиционно обозначают через А 00 (или Л-00). Известно, что всякая последовательность неединственности для также и последовательность нулей для

.4 (Б Коренблюм, 1975 г.). Таким образом, Теорема 7.3 влечет за собой

Следствие 7.2. Пусггл Е из (Кд) и выполнено (15s) Если (ср с соотношением (151'))

Affjt, tk+i, Ot, ^ , hmsup—^—--<+оо,

pTufTtTnO (вк+- ~ вк)

то А - последовательность нулей для алгебры А 00

На фоне глубокой теоремы Б Коренблюма 1975 г о законченном описании последовательностей нулей для ангебры А-ос и ее последующих развитей в ряде работ К Сейна, X. Бруны и X. Массанеды 1994-1^95 гг ст'дствие 7 2 существенно проигрывает п может рассматриваться только как достаточно простой признак последовательностей нулей дтч А~"° В закночопно приведем следствие Теоремы устойчивости 7 2

Следствие 7.3. Яу< ть вес р удовлетворяет свойствам (Ь») и (ЫП>0).

Последовательности А — {А*} и Г — {7*} в В при условии

¡А* — "у*!

lira sup---ТГГГГ~ ТГ < +0°

могут быть последовательностями единственности для лишь одновременно.

При условиях (14) и (17) с а > I, как и при любых других, обеспечивающих совпадение совокупностей последовательностей неединственности и последовательностей нулей, слова " последовательностями единственности " в Следствии 7.3 можно заменить на словосочетание 11 последовательностями нулей ".

Публикации по теме диссертации

[1] Чередникова Л. Ю-, Хабибуллин В. Я. Множества неединственности для весовых алгебр голоморфных в круге функций // Труды международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы". I. Комплексный анализ Уфа. 2000. С. 195-200.

[2] Чередникова Л. Ю., Хабибуллин Б. Н. Устойчивость последовательностей неединственности для весовых алгебр голомофных в круге функций // Сборник статей "Научная конференция по научно-техническим программам Минобразования РФ". Ч. 1. Уфа. БашГУ. 2000. С. 25-28.

[3] Чередникова Л. Ю. "Гашение" роста голоморфной функции // Региональная школа-конференция длч студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике Тези'ы докладов. Часть I Математика. 2001. С. 11.

[4] Чередникова Л. Ю О ''гашении'' роста субгармонических функ-

ций // Региональная школа-конференция для студентов, аспиран-

тов и молодых ученых по математике и физике. Сборник трудов.

Т. I. Математика. 2001. С. 239-245

[о] Чередникова Л. Ю. Элементарные оценки с расстоянием Харна-ка // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Материалы конференции. Т. II. Математика. 2002. С. 87 90.

[6] Хабибуллип Б. Н, Чередникова Л. Ю. Последовательности неединственности для весовых алгебр голоморфных функций в единичном круге // Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского. Т. 19. Материалы VI летней школа-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы". Казань. 2003. С. 221-223.

[7] Чередникова Л. Ю. Относительный диаметр подмножества в области // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Труды конференции. Т. I. Математика. 2003. С. 152-162.

[8] Хабибуллин Б.Н., Чередникова Л.Ю. Множества неединственности для весовых алгебр голоморфных функций в единичном круге.// Тезисы докладов. 12-я Саратовская зимняя школа-конференция "Современные проблемы теории функций и их приложения", Саратов (27 янв.-З фев. 2004 г.). С 189-190.

[9] Чередникова Л. Ю Последовательности неединственности для весовых ат ебр голоморфных функций в единичном круге // Матем. заметки. 2005 Т. 77. Вып. 5. С. 775 -787.

&

Чередникова Любовь Юрьевна

МНОЖЕСТВА НЕЕДИНСТВЕННОСТИ И ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ В ВЕСОВЫХ АЛГЕБРАХ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 31Л 0.2005 г. Формат бумаги 60x84 1/1Г,

Усл. печ. л^Уч. -изд.л/,_^_. Бумага тирографская 1 ариигура «Тайме» Печать офсетная. Заказ О11 л/Тираж 100

Издательство Башкирского государственного афарного универсиюта Типография Башкирского государственною аграрно! о университета 450001, г. Уфа, ул. 50 лет Октября, 34

пУ /? ^

РНБ Русский фонд

2007-4 3574

т

1 Введение

1.1 Вспомогательные понятия, соглашения и обсуждения.

1.2 Формулировки основных результатов для круга.

1.3 Иллюстрации основных результатов для ограниченной области Г2.

2 Доказательство теоремы неединственности 1.1 для круга

2.1 Применение мер и функций Йенсена.

2.2 Лемма сравнения

2.3 Доказательство теоремы неединственности 1.

3 Меры и функции Йенсена и "гашение" роста субгармонической функции

4 Вспомогательные понятия и результаты

4.1 Энтропия линейной связности.

4.2 Элементарные оценки с расстоянием Харнака.

4.3 Гармоническая мера, функция Грина, выметание и оценки интегралов.

4.4 Звезды подмножеств и выметание.

4.5 Вспомогательные оценки интегралов через расщепление мер.

5 Подготовительная теорема для алгебр

6 Снова об энтропии линейной связности

6.1 Энтропия линейной связности и семейства подмножеств.

6.2 Энтропия линейной связности, вздутия и звезды подмножеств.

6.3 Энтропия линейной связности, диаметр и сегментальная оболочка подмножества

6.4 Энтропия линейной связности и системы положительных весов

7 Теоремы неединственности и устойчивости для ограниченных областей

7.1 Теорема неединственности для алгебр, задаваемых положительными весами.

7.2 Теоремы устойчивости для последовательностей неединственности

7.3 Теоремы неединственности и устойчивости для классов функций в круге с радиальной системой весов

Классический результат Р. Неванлинны о законченном описании множества нулей для алгебры Н°° ограниченных голоморфных функций в единичном круге Ю) = € С: < 1} комплексной плоскости С и аналогичные результаты для классов Неванлинны и Неванлинны-Джрбашяна породили широкий круг подобных исследований для самых различных типов весовых алгебр или пространств голоморфных в О функций. Не претендуя даже на минимально достаточный охват библиографии по этой очень обширной и богатой результатами тематике, сошлемся здесь лишь на обзоры С. В. Шведенко [1], А. Б. Александрова [2], X. Хеден-мальма [3], П. Колвела [4] и на наиболее близкие нам по типу рассматриваемых алгебр и пространств монографию А. Джрбашяна и Ф. А. Ша-мояна [5] и результаты законченного характера Ф. А. Шамояна [6], [7], существенно развившего исследования М. М. Джрбашяна, и Ч. Горови-ца [8] (алгебры функций умеренного "степенного" и быстрого роста), а также на работы Б. Коренблюма [9], Е. Беллера и Ч. Горовица [10], [11], К. Сейпа [13], [12], X. Бруны и X. Массанеды [14], Д. Льюкинга [15] (алгебры и пространства функций медленного "логарифмического" роста). Введения и списки литературы в этих работах могут дать представление о состоянии тематики до недавнего времени.

Наше исследование сконцентрировано на выявлении условий, при которых последовательность точек в единичном круге О или в ограниченной области О, С С является подмножеством (подпоследовательностью) нулей для заданной алгебры голоморфных функций в Р или в Ц выделяемой ограничением на рост вблизи границы этой области через поточечные оценки посредством системы субгармонических мажорант.

Всюду положительность числа, функции, меры и т. п. понимаем как ^ 0; аналогичное соглашение ^ 0 предлагается и для отрицательности. Если функция или отображение / на множестве А тождественно равна некоторому значению Ъ, то пишем "/ = Ь на А"; в противном случае — "/ ф Ь на А".

Последовательности точек А = {Ап} на П всегда предполагаются не имеющими предельных точек в если не оговорено противное. Кроме того, к последовательностям точек А нам будет удобно добавлять также условную "последовательность", состоящую из всех точек области О, повторяющихся счетное число раз. Последнее обстоятельство связано с тем, что такую условную "последовательность" удобно и естественно рассматривать как в точности нулевое множество голоморфной функции, тождественно равной нулю на ft. Для такой условной "последовательности" пишем Л = +оо.

Пусть / — голоморфная в области ft функция.

Последовательность нулей Zero/ функции f ф О определяется как последовательность, в которой каждая точка Л 6 ft повторяется рев-но столько раз, какова кратность нуля функции / в этой точке Л; если / = 0, то Zero/ — это та самая условная "последовательность" = +ос на ft. По одной из классических теорем Вейерштрасса для каждого последовательности Л в ft существует голоморфная в ft функция /д с последовательностью нулей Zero/A = Л.

Последовательность ЛвП называем подпоследовательностью нулей функции / (в записи /(А) = 0), если последовательность Zero/ включает в себя последовательность А с учетом кратности, т. е. число повторений каждой точки А 6 ft в Zero/ не меньше числа повторений той же точки Л в последовательности Л.

Пусть Я — некоторый класс голоморфных функций в Q, а Л - последовательность в ft. Если существует функция / 6 Я, для которой Zero/ = Л, то Л — последовательность нулей для Я. Если существует функция / ф 0 из Я, для которой А — подпоследовательность нулей для /, то Л — подпоследовательность нулей для Я.

Каждая последовательность нулей Л ф +оо для Н является подпоследовательностью нулей для Н. Обратное весьма часто оказывется неверным (см., к примеру работы Ф. А. Шамояна [6], [7]).

Последовательность Л = +оо не является подпоследовательностью нулей ни для какого класса голоморфных функций.

Если класс Я — линейное пространство над С или над полем вещественных чисел R, то подпоследовательность нулей для Я называем также последовательностью неединственности для Я, а в противном случае Л — последовательность единственности для Н.

Через Я(Г2) обозначаем линейное пространство над полем С всех голоморфных в области ft С С функций /.

Через SH(£l) обозначаем класс всех субгармонических функций в области Q С С, включая в него и функцию и = —оо на il; SH+(Q) — подкласс всех положительных функций из SH(Q).

Пусть CP — семейство функций из SH(Q), не содержащее функцию = —оо, которое далее называем системой весов на П, а функции из У — весовыми, или весами.

Рассматривается следующий тип весовых алгебр. Если система весов У на Q обладает свойством

А) для любых pi £ У и р2 6 CP и для любых постоянных с\,с2 > О найдутся функция рз € У и постоянные С\,Со > 0 такие, что max{cipi(z),c2p2{z)} ^ Cxp3(z) + C2, z € fl, (1.1) то класс голоморфных в функций /, удовлетворяющих оценке log 1/(3)1^^/(3) + ^, :efi, (1.2) где А/ n Bf — строго положительные постоянные, а Р/ — некоторая функция из З5, образует алгебру, которую обозначаем далее через Лу(Г2).

Действительно, если /, g G Ад>(Г2), т.е. вместе с (1.2) справедлива оценка bg|<?(2)K AgPg(z) + Bg, где постоянные Ag,Bg > 0, то по условию (А), примененному к функциям pi = pf и р2 = рд и постоянным Ci = Af и с-2 = Ад, получаем оценки log |/ + д\ < log(|/| + Iff I) ^ max {log |/|, log \д\} + log 2 < тах{А/р/ + Bf, Адрд + Вд) + log2 ^ таx{Afpf, Адрд} + max{Bf, Вд} + log 2 ^ Cip + С2 для некоторого веса р € О5 и постоянных Ci,C2 > 0, т.е. класс Ау(Г2) замкнут относительно сложения.

Очевидно, а/ G для любого а € С, т. е. класс Л?(Г2) замкнут относительно умножения на комплексные числа. Наконец, при условии (А) log|/p| ^ 2max{log|/|,log|ff|} ^ 2 max{Afpf + Bf,Agpg + Вд} 2 таx{AfPf,Agpg} + 2 таx{Bf,Bg} ^ Cip + С2 для некоторой функции р € У и постоянных Ci,C2 > О, т.е. класс Ау замкнут и относительно умножения.

Отметим, что если все функции из класса О5 положительны, то выполнение условия (А) достаточно проверить при ci = с2 = 1.

Если р € БН+(П) и система весов СР имеет специальный вид ср: с е К, 0 < с < +оо}, (1.3) > то условие (А) выполнено автоматически и алгебру обозначаем как

В настоящей диссертации даются достаточные условия, при которых последовательность А из является подпоследовательностью нулей именно для классов (алгебр) вида Лу(Г2) или, менее общо, в случаях, когда О. = Ю> — единичный круг или О — ограниченная область. Для последнего случая результаты несколько менее общие, поскольку приходится учитывать уже геометрию самой области В частности, в отличие от случая круга, рассматриваются только положительные системы весов СР.

Во всех известных нам описаниях (под-)последовательностей нулей для различных весовых классов типа Ау(В) система весов СР предполагалась состоящей из положительных радиальных функций, т. е. зависящих только от \г\, г € О. Особо подчеркнем, что в наших исследованиях требования положительности и радиальности весов для круга снимаются.

Отметим также, что в ряде вопросов теории функции, к примеру в вопросах полноты, интерполяции, в задачах локального описания идеалов и подмодулей, в проблеме спектрального синтеза и др., как необходимое или достаточное условие часто фигурирует требование того, что заданная последовательность А — последовательность (не-)единственности для некоторого весового пространства. Нередко подпоследовательность нулей для класса функций не является последовательностью нулей для этого класса. Особенно велика вероятность этого, если весовой класс определяется нерадиальными по существу весами. Все это актуализирует, наряду с изучением последовательностей нулей, исследование и собственно подпоследовательностей нулей для весовых классов.

Основные результаты статьи новы уже для алгебр А£°(Ю>) даже только с радиальными весами достаточно общего вида и хорошо стыкуются с известными описаниями последовательностей нулей для таких алгебр с более или менее конкретным весом р. Сравнительный анализ последнего дан в заключительном подразделе 7.3.

1. Шведенко С. В. Классы Харди и связанные с ними пространства аналитических функций в круге, поликруге и шаре // Итоги науки и техники, серия матем. анализ. 1985. Т. 23. С. 3-124.

2. Александров А. Б. Теория функций в шаре // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. 1985. Т. 8. С. 115-190.

3. Hedenmalm Н. Recent Progress in the Function Theory of the Bergman Space // Holomorphic Spaces. MSRI Publ. Cambridge. 1998. V. 33. P. 35-50.

4. Colwell P. Blaschke Product. Bounded Analytic Functions // Ann Arbor. The University of Michigan Press. 1985.

5. Djrbashian A., Shamoyan F. A. Topics in the theory of APa spaces. Leipzig: Teubner-Texte, 1988.

6. Шамоян Ф. А. Факторизационная теорема M. M. Джрбашяна и характеристика нулей аналитических в круге функций с мажорантой конечного роста // Изв. АН Арм. ССР. Математика. 1978. Т. XIII. № 5-6. С. 405-422.

7. Шамоян Ф. А. О нулях аналитических в круге функций, растущих вблизи границы // Изв. АН Арм. ССР. Математика. 1983. Т. XVIII. № 1. С. 15-27.

8. Horowitz С. Zero sets and radial zero sets in function spaces // J. Analyse Math. 1995. V. 65. P. 145-159.

9. Korenblum B. An extension of the Nevanlinna theory // Acta Math. 1975. V. 135. P. 187-219.

10. Beller E. Factorization for non-Nevanlinna classes of analytic functions // Israel J. Math. 1977. V. 27. No. 3-4. P. 320-330.

11. Beller E., Horowitz C. Zero sets and random zero sets in certain function spaces // J. Analyse Math. 1994. V. 64. P. 203-217.

12. Seip К. On a theorem of Korenblum // Ark. Math. 1994. V. 32. P. 237243.

13. Seip K. On Koreriblum's density condition for the zero sequences of A~a //J. Analyse Math. 1995. V. 67. P. 307-322.

14. Bruna J., Massaneda X. Zero sets of holomorphic functions in the unit ball with slow growth //J. Analyse Math. 1995. V. 66. P. 217-252.

15. Luecking D. Zero sequences for Bergman spaces // Complex Variables. 1996. V. 30. P. 345-362.

16. Хабибуллип Б. H. Множества единственности в пространствах целых функций одной переменной // Изв. АН СССР. Серия матем. 1991. Т. 55. j\«5. С. 1101-1123.

17. Хабибуллин Б. Н. Теорема о наименьшей мажоранте и ее применения. I. Целые и мероморфные функции // Изв. РАН. Серия матем. 1993. Т. 57. № 1. С. 129-146.

18. Хабибуллин Б. Н. Неконструктивные доказательства теоремы Бер-линга-Мальявена о радиусе полноты и теоремы неединственности для целых функций // Изв. РАН. Серия матем. 1994. Т. 58. № 4. С. 125-148.

19. Koosis P. Leçons sur le théorème de Beurling et Malliavin. Montréal: Les Publications CRM, 1996.

20. Khabibullin B. N. Dual approach to certain questions for the weighted spaces of holomorphic functions // Israel Math. Conference Proceedings ("Entire Functions in Modern Analysis", Tel-Aviv, 1997). 2001. V. 15. P. 207-219.

21. Хабибуллин Б. H. Двойственное представление суперлинейных функционалов и его применения в теории функций. II // Изв. РАН. Серия матем. 2001. Т. 65, № 5. С. 167-190.

22. Хабибуллин Б. Н. Полнота систем целых функций в пространствах голоморфных функций // Матем. заметки. 1999. Т. 66. № 4. С. 603616.

23. Хабибулгин Б. Н. Оценки объема нулевых множеств голоморфных функций // Изв. вузов. Математика. 1992. .\«3(358). С. 58-63.

24. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир, 1980.

25. Gamelin Т. W. Uniform Algebras and Jensen Measures. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1978.

26. Cole B. J., Ransford T. J. Subharmonicity without Upper Semicontinu-ity //J. Funct. Anal. 1997. V. 147. P. 420-442.

27. Cole B. J., Ransford T. J. Jensen measures and harmonic measures // J. reine und angew. Math. 2001. V. 541. P. 29-53.

28. Хабибуллин Б. H. Критерии (суб-)гармоничности и продолжение (суб-)гармонических функций // Сиб. матем. журн. 2003. Т. 44, № 4 . С. 905-925.

29. Епифанов О. В. О разрешимости неоднородного уравнения Коши-Римана в классах функций, ограниченных с весом и системой весов // Матем. заметки. 1992. Т. 51. № 1. С. 83-92.

30. Hormander L. Notions of Convexity. Boston: Birkhaser, 1994.

31. Ransford T. J. Potential Theory in the Complex Plane. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995.

32. Гарнетт Дж. Ограниченные функции в круге. М: Мир, 1984.

33. Брело М. Основы классической теории потенциала. М.: Мир, 1964.

34. Брело М. О топологиях и границах в теории потенциала. М.: Мир, 1974.

35. Архангельский А. В., Пономарев В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1974.

36. Наутап W. К. Subharmonic functions. V. II. London: Academic Press, 1989.

37. Азарин В. С. Об асимптотическом поведении субгармонических функций конечного порядка // Матем. сборник. 1979. Т. 108(150). JV® 2. С. 147-167.

38. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М: Наука, 1985.

39. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир, 1986.

40. Хабибуллин Б. Н. Рост целых функций с заданными нулями и представление мероморфных функций // Матем. заметки. 2003. Т. 73. -№ 1. С. 120-134.

41. Blasco О., Кикигука А., Nowak М. Luecking's condition for zeros of analytic functions // 2003. Preprint, (available in INTERNET, http: //www.uv.es/~oblasco/Investigacion/CA/Nowak.pdf )

42. Чередникова Л. Ю. "Гашение" роста голоморфной функции // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Тезисы докладов. Часть I. Математика. 2001. С. 11.

43. Чередникова Л. Ю. О "гашении" роста субгармонических функций // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Сборник трудов. Т. I. Математика. 2001. С. 239-245.

44. Чередникова Л. Ю. Элементарные оценки с расстоянием Харнака // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Материалы конференции. Т. И. Математика. 2002. С. 87-90.

45. Чередникова Л. Ю. Относительный диаметр подмножества в области // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Труды конференции. Т. I. Математика. 2003. С. 152-162.

46. Чередникова Л. Ю. Последовательности неединственности для весовых алгебр голоморфных функций в единичном круге // Матем. заметки. 2005. Т. 77. Вып. 5. С. 775-787.