Подпоследовательности и последовательности нулей для весовых пространств голоморфных функций и их устойчивость тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Направах рукописи УДК 517.5

Хабибуллин Фархат Булатович

ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НУЛЕЙ ДЛЯ ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 В ЯНВ 20К

Уфа - 2012

005009687

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального

анализа

ФГБОУ ВПО «Башкирский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Кривошеев Александр Сергеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук Каюмов Ильгиз Рифатович

доктор физико-математических наук Мусин Ильдар Хамитович

Ведущая организация: Южный федеральный университет

Защита состоится 2012 г. в 15.00 часов на заседании

диссертационного совета Д 002.057.01 при Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН по адресу: 450077, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ УНЦ РАН

Автореферат разослан / _2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.057.01, кандидат физ.-мат. наук

Попенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование взаимосвязи между распределением нулей голоморфной функции в области П комплексной плоскости С и ростом модуля этой функции вблизи границы дП представляет значительный интерес не только как внутренний вопрос теории распределения значений (в частности, нулей) голоморфных функций, но и как необходимый, а зачастую и решающий этап исследования таких вопросов теории функций комплексного переменного, как теории аппроксимации, интерполяции, аналитического продолжения, спектрального синтеза и т.д.

В качестве основной отправной точки исследования распределения нулей голоморфных функций из весовых классов в ограниченных областях fi можно рассматривать классический результат Р. Неванлинны о законченном описании множества нулей для алгебры Н°° ограниченных голоморфных функций в единичном круге D = {z Е С: |z| < 1} комплексной плоскости С и аналогичные результаты для классов Неванлинны и Неванлинны-Джрбашяна. Они породили широкий круг подобных исследований для самых различных типов весовых алгебр или пространств голоморфных в Ш) функций, которые с незатухающей интенсивностью продолжаются и поныне. Не претендуя даже на минимально достаточный охват материалов по этой очень обширной и богатой результатами тематике, отметим здесь лишь обзоры C.B. Шведенко (1985 г.), А. Б. Александрова (1985 г.), П. Колвела (1985 г.), X. Хеденмальма (1998 г.) и наиболее близкие нам по типу рассматриваемых алгебр и пространств монографии А. Джрбашяна и Ф. А. Шамояна (1988 г.), и X. Хеденмальма, В. Коренблю-ма и К. Жу (2000 г.), результаты законченного характера Ч. Н. Линдена (1956, 1964) и Ф. А. Шамояна (1978, 1983 гг.), существенно развившего исследования М.М. Джрбашяна, Ч. Горовица (1995 г.) для алгебр функций умеренного "степенного" и быстрого роста в В, а также работы Б. Корен-блюма (1975 г.), Е. Беллера и Ч. Горовица (1994 г.), К. Сейпа (1994-1995 гг.), X. Бруны и X. Массанеды (1995 г.), Д. Льюкинга (1996 г.) для алгебр и пространств функций медленного "логарифмического" роста в В. Для весовых алгебр в произвольных ограниченных областях и в круге эти вопросы достаточно детально исследовались в недавних диссертациях Л.Ю. Чередниковой (2005 г.) и Е.Г Кудашевой (2010).

Наше исследование сконцентрировано на выявлении условий, при которых последовательность точек в единичном круге Ш> или в ограниченной области ПсС является подмножеством (подпоследовательностью) нулей или точной последовательностью нулей для заданного пространства

голоморфных функций в П, выделяемого ограничением на рост вблизи границы этой области через поточечные оценки посредством системы субгармонических мажорант (весов). Рассматриваемые нами пространства, вообще говоря, не алгебры, т. е. поточечные произведения двух функций из таких пространств могут и не принадлежать им. Следует отметить, что исследования подобного рода в случае нерадиальной системы весов в © или же для произвольных ограниченных областей И если и есть, то имеют эпизодический характер при весьма специальных жестких ограничениях на систему субгармонических мажорант явного вида, если исключить упомянутые диссертации Л. Ю. Чередниковой (подпоследовательности нулей для алгебр) и Е. Г Кудашевой (последовательности нулей для функций умеренного роста в круге). Нередко подпоследовательность нулей для класса функций не является последовательностью нулей для этого класса. Особенно велика вероятность этого, если весовой класс определяется нерадиальными по существу весами. Все это актуализирует, как изучение последовательностей нулей, так и исследование подпоследовательностей нулей для весовых классов голоморфных функций.

Цели работы. Исследованы следующие аспекты очерченной выше тематики:

• достаточные условия для множеств неединственности (подпоследовательностей нулей) в весовых пространствах голоморфных в ограниченной области ¡Г2 функций, определяемых, вообще говоря, нерадиальной (в случае круга) системой субгармонических функций-весов;

• устойчивость подпоследовательностей нулей в таких весовых пространствах при их достаточно малых сдвигах в том смысле, что малые сдвиги нулей превращают их в подпоследовательность нулей для некоторого, возможно, чуть более широкого весового пространства голоморфных функий;

• достаточные условия для точных последовательностей нулей Л = {К} в весовых алгебрах и пространствах голоморфных в круге Ю функций, имеющих умеренный рост вблизи единичной окружности, а субгармонические функции-веса при этом имеют умеренный рост и не обязательно радиальны и положительны;

• устойчивость последовательностей нулей Л в весовых алгебрах и пространствах из предыдущего пункта при малых сдвигах точек Хк.

Методы исследования. В диссертации наряду со стандартной техникой теории функций комплексного переменного, теории субгармонических функций и функционального анализа используется модификация неконструктивного метода выметания из работ Б. Н. Хабибуллина, Л.Ю. Че-редниковой, Е. Г. Кудашевой, основанного на аппарате мер и потенциалов Йенсена и позволяющего устанавливать достаточные условия для подпоследовательностей нулей (множеств неединственности) в весовых пространствах голоморфных функций в области О,, а также для последовательностей нулей в круге ГО, не прибегая к каким-либо явным представлениям этих функций. Широко привлекались также геометрические методы на плоскости.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1) установлены достаточные условия для подпоследовательностей пулей (множеств неединственности) в весовых пространствах голоморфных в области Г2 функций, определяемых, вообще говоря, нерадиальной, а иногда и знакопеременной системой субгармонических функций-весов;

2) даны новые условия устойчивости множеств неединственности Л = {А;.} для весовых пространств предыдущего пункта в терминах величины сдвига точек Л;

3) получены достаточные условия для точных последовательностей нулей в весовых пространствах голоморфных в © функций, определяемых, вообще говоря, нерадиальной, а иногда и знакопеременной системой субгармонических функций-весов умеренного роста (грубо оцеиивая, растущих медленнее функции г ^^ );

4) представлены новые условия устойчивости (под) последовательностей нулей Л = {Хь} для весовых пространств предыдущего пункта в терминах величины сдвига точек Л, при которых новая полученная последовательность становится уже точной последовательностью Егулей для некоторого, возможно чуть большего, весового пространства голоморфных в © функций.

Все результаты частью новые даже для весовых пространств с положительными и радиальными систем весами в круге, которые в основном только и рассматривались ранее другими исследователями. Все условия на (под)последователыгоети нулей формулируются в терминах разбиения О

на малые подмножества и мажорирования числа точек последовательности Л на этих подмножествах мерами Рисса субгармонических функций-весов, определяющих пространство.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в различных областях математики (теория функций, теория операторов, дифференциальные уравнения, теория аппроксимации и др.), где требуются информация о взаимосвязи распределения нулей голоморфных в области функций и их возможным минимальным ростом вблизи границы области определения. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях, проводимых в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН, С.-Петербургском отделении Математического института РАН, Московском государственном университете, Южном федеральном университете, Приволжском федеральном университете (Казанском государственном университете) и Институте математики и механики при КГУ, Башкирском государственном университете, Брянском государственном педагогическом университете, а также в других ведущих российских и зарубежных (Украина, США, Испания, Норвегия, Израиль, Швеция, Китай, Франция и пр.) научных центрах.

Аппробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на нескольких Региональных школах-конференциях для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (Уфа, БашГУ), трех Международных школах-конференциях для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа, БашГУ, 2009-2011 гг.)Международной конференции «Геометрический анализ и его приложения» (Волгоградский государственный университет, Волгоград, 2004 г.), Международной конференции «Спектральная теория операторов и ее приложения», посвященной памяти профессора А. Г. Костюченко (Уфа, 2011 г.), X международной Казанской летней научной школы-конференции (Казань, 2011 г.), на научных конференциях по научно-техническим программам Минобразования РФ (Уфа, БашГУ), на научно-исследовательских молодежных семинарах «Контрпримеры в алгебре, анализе, геометрии» кафедры высшей алгебры и геометрии (руководитель Б.Н. Хабибуллин), на VI Уфимской международной конференции «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения» (Уфа, 2011 г.), на Общегородском научном семинаре по теории функций и функциональному анализу в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН (руководитель чл.-корр. РАН В. В. Напалков).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ [1]-[9]. Четыре статьи [1], [2], [3], [4] опубликованы в журналах, входящих в список, рекомендованный ВАК. Перечень их — в конце автореферата. Из двух работ с соавторами [1]-[2] на защиту выдвигаются только те результаты, которые принадлежат лично диссертанту Ф. В. Хабибуллину. Из тезисов совместных докладов на конференциях, объединяющих работы нескольких авторов (см. [5], [9]), диссертация содержит в себе также только части, разработанные лично диссертантом. Таким образом, все основные положения диссертации принадлежат Хабибуллину Ф. Б. и доказаны им.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из четырёх разделов (первый — Введение), разбитых на подразделы, и одной иллюстрации-чертежа. Объем диссертации — 98 страниц. Библиография — 68 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Во Введении (раздел 1.1, 1.2) излагается история вопроса, приводятся основные определения, понятия и соглашения, излагаются ключевые предшествующие результаты (Теоремы Р. Неванлинны, Ф.А. Шамояна, Б. Коренблюма, К. Сейпа, Д. Лыокинга, результаты Л. Ю. Чередниковой и Е.Г. Кудашевой и пр.).

Приведем сначала некоторые из основных определений, обозначений и соглашений, используемых в течение всей диссертации.

Всюду положительность числа, функции, меры и т. и. понимаем как ^ 0; аналогичное соглашение ^ 0 предлагается и для отрицательности. Если функция или отображение / на множестве А тождественно равна некоторому значению Ь, то пишем "/ = Ь на Л"; в противном случае -"/ ф Ь на А". Функция ¡: I -> Ж, I с К, возрастающая, если для любых хг,х2 е I неравенство < х2 влечет за собой нестрогое неравенство /(х1) < /(х2), и убывающая, если -/ — возрастающая.

Для а 6 [—оо, +оо] полагаем а+ тах{0, а}.

Для подмножества Б с С через Б, дБ, сНат Б обозначаем соответственно замыкание, границу, диаметр множества Б в С. Если 5 — компакт в Б в индуцированной с С топологии, то 5 предкомпактно в Б и обозначаем это как Б (Ш Б. Для геСи Б,Б с С через сШ(.г, Б) и сНб^, Б) обозначаем евклидово расстояние соответственно от точки г е С и множества 5 до множества Б.

Последовательности точек Л = {Л*;} на области Q С С всегда предполагаются не имеющими точек сгущения в Г2.

Пусть / — голоморфная в области Q функция. Последовательность нулей Zerof функции f ф О определяется как последовательность, в которой каждая точка A G fi повторяется равно столько раз, какова кратность нуля функции / в этой точке А. Последовательность Л в ii называем подпоследовательностью нулей функции / (в записи /(Л) = 0), если последовательность Zeroj включает в себя последовательность Л с учетом кратности, т.е. число повторений каждой точки А € П в Zerof не меньше числа повторений той же точки А в последовательности Л.

Пусть Н — некоторый класс голоморфных функций в f2, а Л — последовательность в П. Если существует функция / S Я, для которой Zero/ = Л, то Л — последовательность нулей для Я. Если существует функция f ф 0 из Я, для которой /(Л) = 0, то Л — подпоследовательность нулей для Я. Каждая последовательность нулей Л для Я является подпоследовательностью нулей для Я. Если Я — линейное пространство над € или над полем вещественных чисел R, то подпоследовательность нулей для Н называем также последовательностью неединственности для Я; в противном случае Л — последовательность единственности для Я. Каждой последовательности Л в области Q из можно сопоставить положительную целочисленную считающую меру пд, построенную по правилу

пЛ(Я):= J^1' ВсП> (!)

— число точек Л^, попавших в В.

Через Hol(ii) обозначаем линейное пространство над полем С всех голоморфных в области Я С С функций /. Через sbh(il) обозначаем класс всех субгармонических функций в области О, С С, включая в него и функцию и = —оо на fi; sbh+(fi) — подкласс всех положительных функций из sbh(ft).

По произвольной функции (весовой функции, весу) М: П -> [—оо,+оо] построим весовое пространство голоморфных функций

Но1(П; М) :={/ е Hol(fi): \ f(z)\ ^ CfeM^z\ Cf > 0 - постоянная, z € Щ ={/ € Hol(fi): log |/| ^ M + с/ на Q, cf — постоянная}.

Такое векторное пространство над полем С будет модельным на протяжении всей работы. Именно в такого вида пространствах и образованных из них всевозможных объединениях и будут исследоваться (под)последователыюсти нулей и их устойчивость при «малых шевелениях» этих (под)последовательностей.

Пусть У — семейство функций из sbh(fi), не содержащее функцию = —оо, которое далее называем системой весов на П, а функции из У — весовыми, или весами. Положим

Но1и(ад := (jHol(fi;p).

реР

Весовые классы в Но1(П). Пусть У — система весов на П.

Пространства. Если система весов У обладает свойством

(Н1') для любых pi,p2 G У найдутся функция р G У и постоянная с, при которых max{pi(z),p2(^)} ^ p(z) + с для всех z G П,

то класс Но1и(П; У) = (Jpg? Но1(£2; р) образует векторное пространство над С. В частности, если У = {р} — одна функция, то условие (Ef) выполнено и

Но1и(П; У) = Но1(П;р) = (/ е Hol(fi) : sup(log \f{z)\ - p{z)) < +00 j .

I zen J

Если p G sbh+(ft), то для системы весов У = {ср: с G К, 0 ^ с < 1} выполнено условие (Н^) и векторное пространство Но1и(П;У) обозначаем

Я^П) := {/ € Но1(П) : 3 cf < 1, 3 Cf G К, |/| < Cf exp(cfP)}.

Если при этом p(z) —» -foo при z —> d£ï, то

[}. (2)

НЧП) = \ f G Hol(iî): lim sup iSiJZifli < 1

z-vûn P\Z J

В определенном смысле наиболее «жесткий» класс функций, рассматриваемый нами, — это пространство Но1и(П;У), построенное при фиксированной не обязательно положительной функции р € зЬЬ(П), р ф. — оо, по системе весов

Такое пространство обозначаем далее как

П.

Нр+log (О)

/ G Hd(tl) : limBup bg|/(*)|-p(*) < +oo

(3)

Алгебры. Если система весов У обладает свойством

(А*) для любых РиР2 6 У найдутся функция реТи постоянная с, при которых Р1(2) +Р2(2) ^ р(2) + с для всех геП,

то класс обозначаем как 4(П). Класс функций замкнут

относительно операции поточечного умножения. Если вместе с (АП одновременно выполнено (Г), то А^П) - алгебра, т. е. векторное пространство над (Ц одновременно являющееся кольцом относительно обычных операций поточечного сложения и умножения.

Если р е яЬЬ(П) и система весов У имеет вид

У:={ср: с€К, 0 < с <+оо}, (4)

(АГ) вьгаолнено автоматически и класс 4(0) обозначаем как Ар (О). Кроме того, когда У с и выполнено условие (А1) то оче-

видно, имеет место и условие (Н*), т. е. и в таком случае 4(П) - 'алгебра. Ьсли р £ 8ЬЬ (П) и система весов У имеет вид (4), то условия (НП и Ш) выполнены автоматически и А™ {Я) - вновь алгебра.

Для функции р е аЬЦП), р ф _оо, положительную меру ир = ±-Ар (здесь Д - оператор Лапласа, а равенство мыслится в смысле теории обобщенных функций) называем мерой Рисса функции р в П.

2. Подпоследовательности нулей для пространств голоморфных функций

Ь разделе 2 доказываются весьма общие Подготовительные теоремы 2 2 ¿•3, 2.4 для дальнейшего их применения как к получению теорем о подпоследовательностях нулей, так и об их устойчивости. Эти Подготовительные теоремы (подраздел 2.2) охватывают произвольные области но громоздки, недостаточно наглядны и носят промежуточный характер Поэтому формулировки их здесь опускаются. В дальнейшем применении их мы ограничиваемся пространствами функций в ограниченных областях П Доказательства Подготовительных теорем потребовали трудоемких вспомогательных усилий в области теории потенциала (выметание, меры и потенциалы Иенсена), в исследовании некоторых геометрических объектов на плоскости (звезды подмножеств, вздутия множеств и пр.) - см подраздел 2.1. ' ' А

Главные результаты о подпоследовательностях нулей и их устойчивости сосредоточены в разделе 3. Здесь также важную роль сыграли некоторые нетривиальные геометрические факты, сконцентрированные в разделе 3 1 В разделе 3.2 дается Теорема 3.1 о подпоследовательностях нулей для наиболее «мягкого» случая пространств Щ, если отойти от алгебр функций

в разделе 3.3 — Теорема 3.3 для наиболее «жесткого» случая пространств Яр08, а раздел 3.4 занят исследованиями в промежуточном типе весовых пространств Нр+§.

Далее для краткости ¿ц(г) := с¿п(З') := сИб^^сЮ), 5 С П. Кроме того, будет использовано обозначение да(0, ■) для функции Грина области с полюсом в нуле при уловии 0 € О.

Семейство подмножеств локально конечно в области, если для любого компакта из области число подмножеств из семейства, пересекающихся с компактом, конечно.

Теорема 3.1. Пусть функция р € зЫ1+(П) в ограниченной области !Г2 <ё С, удовлетворяет условию

(Ы)^) для любого числа Ь > 1 найдутся числа е, 0 < £ < 1, и о,, при которых

1-2ТТ

2тг

h Сp<<z+£dn{-z^d9+^i1+¿у)bp(2)+Сь' ze

Пусть £ = {5;} - локально конечное ccAieücmeo борслевских предком-пактных подмножеств Si ей, 1 = 1,2,..., удовлетворяющее условию

цт diam,S:' = о (5)

i->oo dn(Si)

Если для последовательности А на Г2 выполнено условие

(RS) для меры п\, определенной в (1), и меры Рисса ир функции р при некотором их представлении в виде сумм мер

СО 00

¡=1 1=1

где меры

сосредоточены на St, I — 1,2,..., выполнено соотношение

Л «(5,)

limsup—TTT-<1. (7)

¡->оо V(p'{Sl)

то Л — подпоследовательность нулей для пространства Нр(И).

Теорема 3.2. Пусть субгармоническая в ограниченной области Q <е С, О € П, функция р ф — оо удовлетворяет условию

(ЬЕ>о) существуют числа е, 0 < е < 1, и с ^ О, для которых 1 Г2" 1

Пусть Е = {¿'¡} — локально конечное семейство борелевских предком-пактных подмножеств 5, в П, I = 1,2,..., удовлетворяющее условию (5), и для последовательности Л на П условие (ИЗ) из Теоремы 3.1 выполнено в более сильной форме с заменой соотношения (7) на требование

выполнения неравенств ^ (5;) при всех достаточно больших

I. Если мера

<ы А (Мат 5; т

Мз{) р

конечна на П или, при односвязности П, выполнено более слабое условие Бляшке

№1(0, С) МО < +оо,

J п

то Л — подпоследовательность нулей для Нр+10&(0,).

Для фиксированной функции р £ эЫ^П), р ф -ос, и системы весов 5 на области П класс Яр+3(Я) определяем как множество функций / е Но1(П), удовлетворяющих ограничению

1/(^)1 < С>ехр(р(г)

для некоторого веса в/ 6 § и при некоторой постоянной С; ^ 0.

Теорема 3.3. Пусть система весов § С .чЬЬ+(Г2) на области П <Ш С обладает свойством (А1')

с заменой системы весов V на § (стр. 8) и

(Ы)0) существует число е, 0 < е < 1, при котором для любой функции а- е 8 найдутся функция в! € § и постоянная сь для которых

1 Г2ж 1

— Уо я (г + йв + 1о§(1 + < 81{г) + с1} г е П,

а для субгармонической в П функции р ф -оо выполнено условие

(ЬБв) существуют числа е, 0 < е < 1, и С ^ 0, а также вес в 6 для которых

1 Г2ж 1

Пусть Е = {S¡} - локально конечное семейство борелевских предком-пактных подмножеств S¡ ей, I = 1,2,..., удовлетворяющее условию (5), и для последовательности Л на fí условие (RS) ш Теоремы 3.1 выполнено с заменой соотношения (7) на более сильное требование выполнения неравенств A®(S¡) ^ Vp](St) при достаточно больших I. Если существует вес s е Se мерой Рисса os, для которой при некотором ее представлении в виде (ср. с (6))

оо

def V^ (О

а. = '

/=1

где меры о® сосредоточены на S¡ при 1 = 1,2,..., имеет место соотношение ..., ч

diamS,

то Л — подпоследовательность нулей, т. е. последовательность неединственности, для весового пространства Hp+s(ti).

Эта теорема, в отличие от предыдущей, предполагает, вообще говоря, «зазор» между весами в системе У = p+S больший, чем логарифмический, т. е. охватывает промежуточные ситуации между Теоремами 3.1 и 3.2.

22}. Подпоследовательности нулей для пространств круге. Переформулируем результаты п. 2 и следствия из них применительно к единичному кругу D для радиальных весов.

Введем обозначение для «полярного прямоугольника» в С:

R¡k,tа; 01,fc) := {tetB е С: h < t < t2, < в < в2}, ^

0<í1<í2, Oí < 02 < 01 + 271-,

т. е. *2) := Д[*ь h; 0,2тг) - кольцо, R(f, 0Ь в2) = Я[0, Ц ви 62) ~ сектор, R(t; О,2тг) = D(í) - круг, а Я(оо; 0х, в2) := Л[0, +оо; 0Ь 02) - угол. Используем достаточно общепринятые для мер v обозначения

p^{t) = v{D(t)), v(t-,e1,e2):=»{R(P,ehe2)), (9г)

vlh.ts) ~v{R[ti,t2)), ^Ь-вив^'-^кМвив^). (9а) Для простоты здесь и далее рассматриваются только семейства полярных прямоугольников £ = {R¡}ieH, в которых

(R) все R¡ <S Ю>, / = 1,2,..., попарно не пересекаются и имеют вид

R¡ = R{ti,ti+ü6i, 9¡+1), О < ti < tl+1 < 1, 0¡ < 0i+1 < 0i + 2тг.

Для классов функций в круге типа Но1и(В;0>) с радиальной системой весов У веса р е У традиционно рассматриваются в преобразованном виде

p.(z)=p(l-l/x), х б [l.+oo), (11)

где при условии р(0) ф -оо, не умаляя общности, всегда можно считать, что р: [0,1) -> [0, +оо) (соотв. р.: [1,+оо) [0,+оо), р,(1) ф -оо) -возрастающая положительная функция. Для простоты и удобства будем дополнительно предполагать, что функция р (соотв. р») непрерывно дифференцируема на интервале [0,1) (соотв. на луче [1, +оо)). Связь между производными р' и р[ дается равенствами

p'(t)=x2p't(x), p't(x) = (l-t)2p'(t), tp'(t) = х(х - 1)р'Дж),

К-— 0<t = l-I<l. ^

1 —t X

Для субгармоничности такой продолженной на Ш> радиальной возрастающей функции р необходимо и достаточно, чтобы функция

t^tp'(t), i 6(0,1), (13)

(соотв.

х^х(х- 1 )p't(x): х е (1, +оо)) (14)

была возрастающей.

При дифференцируемое™ и субгармоничности функции р мера Рисса vp полярного прямоугольника из (8) в обозначениях (9) достаточно просто выражается через производную р' или p't:

vp[tu tr, ви в2)=(t2p'(t2) - ilP'(ix))

27Г

(= Ых2 - 1 Шх2) - Xl{Xl - 1 K(*l}) bj^l) x 1 - = J 2

¿1Г J 1 —tj

Ввиду асимптотического характера большинства дальнейших условий на р и можно считать, если не оговорено противное, что условия на р, т. е. р., выполнены только при t, достаточно близких к 1 (соотв. при достаточно больших X > 1).

В частности, в терминах функции р таким условиям удовлетворяют выпуклые относительно, логарифма функции р, т.е. те, для которых композиция р, о ехр выпукла на [0, +оо) (см.

(Р/з) степенные веса вида t м- -- t е [0,1),

(La) а также логарифмические функции вида t М- log" -—-, a ^ 0, t е

[ОД),

при достаточно близких к единице значениях t).

Пусть Е = {Ri} — система непересекающихся полярных прямоугольников из (R) (см. стр. 11) вида (8), (10). Пусть Л — последовательность в В без точек сгущения. Предполагается выполненным условие

(Ra) семейство Е = {Ri} при некотором io < 1 покрывает пересечение кольца R(to, 1) с носителем suppriA, т. е. Л П R(to, 1) С U¡<5;-

Пространство Для возрастающих функций вида (11) ограниче-

ние (LDJ) Теоремы 3.1 на радиальный вес р можно в несколько более сильной форме задать в двух эквивалентных формах:

r p{t + e{l-tj)+log±-t ^

lini limsup-у-7-^ 1

е~>+0 о p{t)

, , р.(ад) -Hogs

um limsup-г-г-i, 1.

а->1+0 ^-i+oo pt[X)

(15)

При этом

, (2) Г 1оётах|/(£е'9)| НЦГО) Ш {/ € Я(ГО): Нтзир--< 1}.

Теорема 3.1 для круга формулируется как

Следствие 1.1. Пусть Е из (Ид) (см. стр. 13) и для радиального возрастающего веса р\ [0.1) —> [0,+оо) выполнено условие (15) и функция из (13), или из (14), возрастающая. Если выполнены условия

ш(и+1-и) + (в1+1 -91) /->00 1 — £;+1

^ _пл[и, М+1\6ив1+\)_ 1

(и+1р'{и+1) - г,р'(£,)) (в1+1 - в,)

то А — подпоследовательность нулей для пространства Нр(Ш).

Пространства ffp+iOE(B). Для возрастающих функций вида (11) ограничение Теоремы 3.2 на радиальный вес р можно в несколько более сильной форме задать в

lim lirn sup - " < +00

i-»i-o -log(l-i)

Ш lim limsup^M^M<+00. o-H+0 i-v+oo log X

При этом (см. (3))

logmax\f{teie)\-p(t)

Hp* log(D) = H (Щ: lim sup -

/-И-П

< +00

¿->■1-0 - 1(^(1 - ¿) Теорема 3.2 в данном случае формулируются как

Следствие 1.3. Пусть £ из (ГЦ) (см. стр. 13) и для радиального возрастающего веса р > 0 выполнены условие (16) и функция из (13), или из (14), возрастающая. Если

-——-(tl+lP (tl+1) - tip'(ti)) < +00

. (tl+1 - и) + (в1+1 - ft)

и для некоторого Iq € N

n\[ti, ti+1; 0Ь 0i+1) < ij+ip'fa+i) - tip'(ti) при всех I ^ i0; то А — подпоследовательность нулей для пространства Нр+iog(D).

3. Устойчивость подпоследовательностей нулей. Всюду в этом п. 3 Л = (^k)keN и Г = (7jfc)fc6N — Две последовательности в ограниченной области П без точек сгущения и нумерация этих последовательностей имеет значение.

Теорема 3.4. Пусть выполнено условие

lim sup-, - = о С17)

к->00 mm{da{Xk),dn{jk)} К '

а функция р€ sbh+(Sl) удовлетворяет условию (LDJ) Теоремы 3.1. Тогда А и Г могут быть последовательностями единственности для Щ(О) только одновременно.

Теорема 3.5 (устойчивости). Пусть выполнено условие (ср. с (17))

у _ <+00)

а функция р е sbh(fi) удовлетворяет условию (LDg) Теоремы 3.2. Тогда Л и Г могут быть последовательностями единственности для H^+)og(i2) только одновременно.

Следствие 1.2. Пусть П = В, вес р такой же, как в Следствии 1.1, и

limsup--|Л*й7п п-0 (И)

Тогда Л «Г могут быть подпоследовательностями нулей для весового пространства Щ(Щ только одновременно.

Следствие 1.4. Пусть il = В, вес р такой же, как в Следствии 1.3, и У_|A*~7t|-,<+00 (19)

Тогда Л и Г могут быть подпоследовательностями нулей для весового пространства Нр+iog(D) только одновременно.

4. Последовательности нулей в круге. Перейдем теперь к результатам диссертации о последовательностях нулей для весовых пространств голоморфных функций / в круге Ю, в которых рост функций log |/|/упрощенно говоря, медленнее, чем рост функции z 1/(1 - |z|), z £ В. Точнее, на вес р ф — оо будет накладываться условие

П2тг

p(teif>) d0 dt < +оо. (20)

Если при этом р € sbh(P) с мерой Рисса vp, то условие (20) эквивалентно ограничению

[\l - i)2d<(i) < +оо, <(i) := vp{D(t)). (21)

Jo

Так, для радиальной функции р, для которой по определению p(z) = при всех z € Ю, условие (20) выглядит совсем просто:

L

1

p(t)dt < +оо. (22)

При этом мы затрагиваем и случаи алгебр А£°(В). Последовательность точек Л в В можно естественным образом рассматривать как считающую меру пЛ на В, определенную в (1). Пусть р - субгармоническая в В функция с мерой Рисса vp, р ф -оо. При заданном локально конечном семействе Е = {£,} борелевских предкомпактных подмножеств Si в В,I = 1.2,..., , вообще говоря, пересекающихся, объединение которых покрывает Л, всюду в этом и следующих подразделах будем считать, что меры пЛ и vp представлены в виде сумм положительных мер (6) и меры A« i/O сосредоточены на S).

Для г = ге1в, 0 ^ г < 1, 0 е К и числа а > 0 введем в рассмотрение специальный полярный прямоугольник

а) := { С = té*: (г - а(1 - r))+ < t < 1, | sin(^ - в)\ < а(1 - г) }

(23)

относительного размера а, его s-срез при s < 1

□„(*; а) := { С = té*: (г - а(1 - r)) + < t < s, | sin(^ - 0)| < tí(l - r) } ,

функцию распределения меры ир в (23) по правилу vp(s, z; а) := г/ДЩг; а)), a также а-расширенную добавочную функцию

которая конечна при всех z € В при условии (21).

Для радиальной функции p(z) = p{\z\), z G В, при а ^ 0 будем рассматривать также а-расширенную добавочную радиальную функцию

1 Г1

№) := — J^^yV-QMt), Ьр(г) := 6М(Г), 0 < г < 1. (25)

Кроме того, будем использовать специальное обозначение для усреднений

г i 1 f2*

Avr^(z) := — j( M[z + е(1 - \z\)eie) d0, 0 < e < 1. (26)

при условии интегрируемости функции М: В -> [-оо.оо] по окружностям. Основной результат подраздела 4.1 —

Теорема 4.1. Пусть р — положительная субгармоническая функция с мерой Рисса vp и выполнено условие (20) или эквивалентное ему ограничение (21). Кроме того, предполагаем, что функция р удовлетворяет нерадиальному условию регулярности

(LD0) существуют число е, 0 < е < 1 и постоянные В, С ^ 0, для которых Avrjfl (z) + log ^ Bp(z) + С, zeil.

Если система подмножеств S = {¿¡}, покрывающая последовательность А, удовлетворяет ограничению

.. diamS/

а для разбиений мер (6) выполнено условие

i^y (Si)

то Л — последовательность нулей для алгебры -Ajg(D), где

M =р+ Ь®. (29)

Основной результат подраздела 4.2 касается уже весовых пространств, не являющихся алгебрами.

Теорема 4.2. Пусть ре sbh+ (Ю) и выполнены условие (20) и (LDJ) для любого числа Ь > 1 при некотором е G (0,1) имеет место огра-

ничение

Avrjf!(z) + log -i— < bp{z) + Сь, ze : i- — \z\

Если для семейства £ = {5;}, l — 1,2,..., возможно пересекающихся множеств Slt покрывающего последовательность Л, справедливо равенство

.. diamSv

diat(g,, Щ = ' (3°)

а разбиения (6) мер пЛ и pv удовлетворяет ограничению

lim sup ...v < 1,

'-к» 4Vo

то для некоторого числа аА < 1 последовательность Л - последовательность нулей для пространства Hol (В; М), где

М = аАР + ВЬМ (31)

а перед определенной в (24) функцией Ь® стоит постоянная В.

В частности, если р - логарифмический вес вида (La) с а > 1 (см. стр. 12), то второе слагаемое в правой части (31) исчезает иА~ последовательность нулей для пространства Но1(В; аАр) с некоторой постоянной ал < 1.

Подраздел 4.3 содержит наиболее «жесткий» случай пространства fl^log(B).

Теорема 4.3. Пусть р £ sbh(B) не обязательно положительная функция, для которой выполнены условие (20) и дополнительное условие регулярности

(LDg) существуют числа е, 0 < £ < 1, и С > 0, для которых в обозначении (26) для усреднений справедливо неравенство

АтаИ(г) ^ p(z) + с log -i— + с, zeD.

Если для семейства Е = {S;}, I = 1,2,..., возможно пересекающихся множеств Sh покрывающего последовательность А, справедливо равенство (30) и выполнены еще два условия:

[Л] для представлениг (6) мер пА и vv при всех достаточно больших номерах I имеет место неравенство \®(S¡) < Vp\S¡),

[В] для меры

a:=Y diam5' „(0 , ^dist^öB) р

выполнено условие Бляшке

[ (1 — t) dcrrad(¿) < +00,

J о

то Л - последовательность нулей для Hol(B; М), где в обозначении (24)

M(z) := p(z) + Clog + ВЩ(2), С, В - постоянные.

Если ег(В) < +оо, то выполнения равенства (30) можно и не требовать.

В диссертациии особо выделен случай радиальной функции р для Теорем 4.1-4.3, когда подмножества S¡ не пересекаются. Он использует радиальное условие регулярности вида

p(í + e(l-í)) + alog^ ^bp{t)+c, (Ki<l, (32)

с некоторыми постоянными е. а,Ь,с и выделен во Введении как отдельная Теорема 1.3 (радиальная). Пусть последовательность точек А содержится в объединении Ц=1 S¡ и не имеет точек сгущения вИ), а также

• р: [0,1) -» [0,+оо) — возрастающая непрерывная справа в нуле;

• функция р выпукла относительно логарифма;

• выполнено условие умеренного роста (22);

• функция р продолжена на Ш> какр{г) =p(|z|), zeD. Тогда

(Zoo) если для а = 1 существуют е G (0,1), и Ь,с ^ 0, при которых выполнено (32), а также имеют место соотношения

diam S¡ v nA(S¡)

lim sup ' < +00, limsup—г-у < +oo,

¡^00 dist(S¡,5D) (-100 Vp{bi)

то А - нулевая последовательность для алгебры -A^í®) с радиальным весом

M(z) = -1-г /%(í)dt Ьр(И), , 6 В. (33)

1 - N J\z\

(Zi) если выполнено условие (15), а также

diam Si ,. nA(S¡)

lim j wo im\ = °> limsup777ÖT <

1-У00 dlSt(5;,ölD)) ¡_»OO VpWJ

то А — нулевая последовательность для класса Hol(D;M), где

М := сАр + dAbp, (34)

положительное число сА меньше 1, a dA > 0 — постоянная; (Ziog) если выполнено условие (16), а также

diam Si , . __

и, кроме того, при некотором lo е N nA(Si) < vP(Si) при всех I ^ lo, то А — нулевая последовательность для класса Нм+iog(®)> М ~ функция из (34) ссЛ = 1, a dA^ 0 - постоянная.

5 Устойчивость (подпоследовательностей нулей в круге. В разделах 4.4 и 45 даются простые достаточные условия, при которых некоторый сдвиг подпоследовательностей нулей для одного весового пространства в круге становится уже последовательностью нулей для некоторого, возможно несколько более широкого весового пространства голоморфных функций

« pit'4' ПУСПЬ Р ~ ПОЛОЖит™™°* субгармоническая функция с

7чение 2Тк1вЫП0ЛНеН° "Г™ ^ ^ е ^ ограничение (21). Кроме того, предполагаем, что функция р удовлетворяет нерадиальному условию регулярности (LD0) из Теоремы 4.1. Если для

7ZeeueZTH0CmeU ^^ Л = (Ai)i6N " Г = « ® выполнено

условие их близости

lim sup-\btZjA_ < +no

^ооР1-тах{|Л,|,Ы} <+00' (35)

а Л - подпоследовательность нулей для алгебры Л»(В), то Г - последовательность нулей для алгебры при М = р + /У6'

Теорема 4.5. Пусть для положительной субгармонической функции р в D к выполненьс условие умеренного роста (20) „ ограничение (Щ) из Теоремы 4.2 Если для двух последовательностей точек А = (д^ U л б D выполнено условие их близости (18) а А -

Тм12е?<77Г>7ей дМ ПрОСтр"™ ¡Ш то найдутся постоянные с < 1 « В£ 0, с которыми Г - последовательность нулей для пространства Hol(B; М) при

М = Ср+ ВСЪИ

(36)

В частности, если р - логарифмический вес вида [LJ с а > 1 то

второе слагаемое в правой части (36) исчезает и А - последовательность нулей для Щ (В).

Теорема 4.6. Пусть для субгармонической в В функции р э§ -оо вы

(17°Р°Та (20) " УСЛОвие Р^Рпости веса LD0) Теоремы 4.3. Если для двух последовательностей точек А =

V ~ {lk'keN в D вып°лнено условие их близости (19) а А -

пространства Hol(B; М) при

M(z) = p(z) + Clog-i- + B№(z), z e B.

В частности, если р — логарифмический вес вида (La) с а ^ 1, то Г последовательность нулей для пространства Hol(B; М), где

M(z) := p(z) + Са log^1^ jl^ , z G D,

где Ca — постоянная.

В диссертадиии особо выделен случай радиальной функции р для Теорем 4.4-4.6, когда подмножества S¡ не пересекаются.

Теорема 1.4 (радиальная). Пусть А = (h)keu иГ - {ъ)ксп ~ две последовательности точек в В без точек сгущения в В, а функция р: [0.1) -> [0, +оо) такая оке, как в Теореме 1.3. Тогда

(Soo) если для веса р выполнено условие Теоремы 1.3 из (Z«), а также условие близости (35), а А - подпоследовательность нулей для алгебры -4~(Ш>), то Г — последовательность нулей для алгебры с весом М из (33);

(Si) если для веса р выполнено условие Теоремы 1.3 из (Zi), а также условие близости (18), а А - подпоследовательность нулей для пространства Щ, то найдется постоянная с < 1, для которой Г — последовательность нулей для пространства Hol(D; М) с функцией М := ср + dcbp, где dc > 0 — некоторая постоянной.

(Siog) если для веса р выполнено условие Теоремы 1.3 из (Ziog), а также условие близости (19), а А - подпоследовательность нулей для Но1(В;р), то Г - последовательность нулей для пространства #м+ioS(B) с М = р + dbp, где d 0 - некоторая постоянная.

Публикации по теме диссертации

[1] Хабибуллин Б. Я, Хабибуллин Ф. Б., Чередникова Л. Ю. Подпоследовательности нулей для классов голоморфных функций, их устойчивость и энтропия линейной связности. I // Алгебра и анализ. 2008. Т. 20, №. 1. С. 146-189.

[2] Хабибуллин Б. Н., Хабибуллин Ф. Б., Чередникова Л. Ю. Подпоследовательности нулей для классов голоморфных функций, их устойчивость и энтропия линейной связности. II // Алгебра и анализ. 2008. Т. 20, №. 1. С. 190-236.

[3] Хабибуллин Ф. Б. Последовательности нулей голомофных функций в весовых пространствах в единичном круге // Известия вузов. Матем 2010. Вып. 3. С. 102-105.

[4] Хабибуллин Ф. Б. Устойчивость (под)последовательностей нулей для классов голоморфных функций умеренного роста в единичном круге // Уфимский математический журнал. Т. 3, № 3. С 152-163

[5] Khabibullin В. N., Khabibullin F. В. Zero subsets of spaces of functions and the entropy of arcwise connectedness. Геометрический анализ и его приложения. Тезисы докладов. Волгоградский государственный университет. Волгоград, 2004. С. 193.

[6] Хабибуллин Ф. Б. Последовательности нулей голоморфных функций В пространствах в круге // Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», посвященная 100-летию БашГУ. Математика. Том I. Уфа. РИЦ БашГУ. 2009. С. 357-377.

[7] Хабибуллин Ф. Б. Последовательности нулей голоморфных функций умеренного роста в круге // Спектральная теория операторов и ее приложения. Материалы международной конференции, посвященной памяти профессора А. Г. Костюченко (Уфа, 13-15 июня 2011 г) УсЬа РИЦ БашГУ. 2011. С. 85-86.

[8] Хабибуллин Ф. Б. Устойчивость (под)последовательностей нулей в пространствах голоморфных функций умеренного роста в круге // Материалы X международной Казанской летней научной школы-конференции (Казань, 1-7 июля 2011 г.). Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Казанское математическое общество. Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского 2011 Т 43 С. 358-360. ' ' '

[9] Хабибуллин Б.Н., Кудашева Е.Г., Хабибуллин Ф.Б., Череднико-ва Л. Ю. Распределение нулей голоморфных функций с ограничениями на их рост в единичном круге // VI Уфимская международная конференция«Комплексный анализ и дифференциальные уравнения» посвященная 70-летию чл.-корр. РАН В. В. Напалкова. Сборник тезисов. Уфа: ИМВЦ. 2011. С. 151-153.

Хабибуллин Фархат Булатович

ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НУЛЕЙ ДЛЯ ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР№ 021319 от 05.01.99 г.

Подписано в печать 16.01.2012 г. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,39. Уч.-изд. л. 1,41. Тираж Ю0 экз. Заказ 12.

Редакционно-издательский центр Башкирского государственного университета

450074, РБ, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32. Отпечатано на множительном участке

Башкирского государственного университета

450074, РБ, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

61 12-1/654

ФГБОУ ВПО «БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ»

На правах рукописи

Хабибуллин Фархат Булатович

УДК 517.5

Подпоследовательности и последовательности нулей для весовых пространств голоморфных функций и их устойчивость

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

Научный руководитель доктор физ.-мат. наук, проф. А. С. Кривошеев

Уфа - 2011 г.

Содержание

1 Введение ^ 4

1.1 Основные определения, понятия ¿'соглашения ..............9

1.2 Предшествующие результаты ..................................14

1.3 Иллюстрации основных результатов диссертации............25

2 Подготовительные теоремы 34

2.1 Вспомогательные определения и утверждения................34

2.2 Подготовительные теоремы

для пространств голоморфных функций...........41

3 Теоремы о подпоследовательностях нулей и их устойчивости 51

3.1 Некоторые свойства диаметра подмножества

в области на плоскости..................... 51

3.2 Теорема о подпоследовательностях нулей

для пространств Щ (£1)..................... 59

3.3 Теорема о подпоследовательностях нулей

для пространств Нр+\0% (О) . . . ................ 62

3.4 Теорема неединственности для классов НР+§(П) ...... 64

3.5 Теоремы устойчивости

для подпоследовательностей нулей

и последовательностей неединственности .......... 66

4 Последовательности нулей голомофных функций в весовых пространстве«

в единичном круге 71

4.1 Нерадиальная теорема о последовательностях

нулей для алгебр А^ и ее следствия .............72

4.2 Нерадиальная теорема о последовательностях нулей для весовых пространств....................... 83

4.3 Нерадиальная теорема о последовательностях нулей для пространств типа Нр+[0ё и следствие .............85

4.4 Нерадиальная теорема об устойчивости (под)последовательностей нулей

для весовых алгебр.......................88

4.5 Нерадиальные теоремы устойчивости (под) последовательностей нулей

для весовых подпространств..................89

Список литературы 93

1 Введение

Классический результат Р. Неванлинны о законченном описании множества нулей для алгебры Н°° ограниченных голоморфных функций в единичном круге Ю> = {z G С: \z\ < 1} комплексной плоскости С (см. [1], [2]) и аналогичные результаты для классов Неванлинны-Джрбашяна породили широкий круг подобных исследований для самых различных типов весовых алгебр или пространств голоморфных функций. Не претендуя даже на минимально достаточный охват библиографии по этой очень обширной и богатой результатами тематике, сошлемся здесь лишь на обзоры C.B. Шведенко [3], A.B. Александрова [4], X. Хеденмальма [5], П. Колвела [б], монографии А. Джрбашяна и Ф.А. Шамояна [7], X. Хеденмальма, Б. Коренблюма и К. Жу [8], результаты законченного характера Ф.А. Шамояна [9], [10], существенно развившего исследования M. М. Джрбашяна, и Ч. Горовица [11] (алгебры функций умеренного «степенного» и быстрого роста), а также на работы Б. Коренблюма [12], Е. Беллера и Ч. Горовица [13], [14], К. Сейпа [16]-[17], X. Бруны и X. Массанеды [18], Д. Льюкинга [19], О. Бласко, А. Кукурики и М. Новак [20] (алгебры и пространства функций медленного «логарифмического» роста). Введения и списки литературы в этих работах могут дать представление о состоянии тематики до недавнего времени.

Наше исследование сконцентрировано на выявлении условий, при которых последовательность точек Л := {Хк}шь N — множество натуральных чисел, в области QcC или в D является подпоследовательностью нулей или точной последовательностью нулей для некоторой ненулевой функции в fi или в Ю> из весового пространства H голоморфных функций, выделяемого ограничением на рост этих функций вблизи границы этой области (круга) через поточечные оценки посредством системы субгармонических мажорант. Значительные продвижения для случая, когда Я — алгебра, т. е. содержит в себе произведение любых функций из Н, в исследовании подобных условий для подпоследовательностей нулей принадлежат Л.Ю. Чередниковой [21]—[23]. Изучение точных последовательностей нулей для весовых пространств в единичном круге при условии умеренного роста функций вблизи единичной окружности было проведено Е. Г. Кудашевой в [24]—[26]. Важная отличительная особенность наших исследований в том, что рассматриваются и весовые пространства Н, которые не являются алгебрами, т. е. гораздо более «жесткие», нежели у Л.Ю. Чередниковой, а Ü не обязательно круг или односвязная область.

Всюду положительность числа, функции, меры и т. п. понимаем как ^ 0; аналогичное соглашение ^ 0 предлагается и для отрицательности. Если функция или отображение / на множестве А тождественно равна некоторому значению Ь, то пишем "/ = b на А", а если f(a) ф Ъ при некотором а 6 А, то "/ ф Ь на А".

Векторное пространство над полем С всех голоморфных в области Q сС функций обозначаем Ilol(ft).

Рассматриваем последовательности точек

Л = {AfcbeA-С ii, КС N, (1.0.1)

бесконечные, конечные или пустые, где возможны повторяющиеся точки.

Пусть / £ Hol(ft), / ф 0. Последовательность нулей Zero/ функции / ф 0 определяется как последовательность, в которой каждая точка А б ft повторяется ровно столько раз, какова кратность нуля (корня) функции / в этой точке Л.

Последовательность Л в ft называем подпоследовательностью нулей функции / (в записи /(Л) = 0) и говорим, что / обращается в нуль на Л, если последовательность Zero/ включает в себя последовательность Л с учетом кратности, т.е. число повторений каждой точки А € П в Zero/ не меньше числа повторений той же точки Л в последовательности Л.

Пусть Я С Hol(il), а Л — последовательность в П из (1.0.1). Если существует функция / G Я, для которой Zero/ = Л, то Л — последовательность нулей для Н. Если существует функция / ф 0 из Н, для которой Л — подпоследовательность нулей для /, то Л — подпоследовательность нулей для класса Н. Каждая последовательность нулей Л для Н является подпоследовательностью нулей для Я. Обратное часто оказывется неверным (см., к примеру, работы Ф. А. Шамояна [9], [10]).

Пусть класс Я замкнут относительно вычитание или, в частности, векторное пространство над С или над полем вещественных чисел М. В этом случае подпоследовательность нулей для Я называем также последовательностью неединственности для Я. Если последовательность Л из (1.0.1) не является подпоследовательностью нулей для Я, то Л — последовательность единственности для Я.

Через sbh(O) обозначаем класс всех субгармонических функций в области ft С С, включая в него и функцию и = —оо на ft; sbh+(ft) — подкласс всех положительных функций из sbh(ft); har(ft) — пространство гармонических функций в ft.

По произвольной функции (весовой функции, весу)

М: П [-оо,+оо] (1.0.2)

построим весовое пространство голоморфных функций Но1(П; М)

:={/ е Hol(fi): \f(z)\ < CfeMM, Cf ^ 0 - постоянная, z € П} (1.0.3e) = {/ G Hoi (SI): log |/| < M + cf на tt, cf — постоянная}. (1.0.31)

Такое векторное пространство над полем С будет модельным на протяжении всей работы. Именно в такого вида пространствах и образованных из них всевозможных объединениях и будут исследоваться (под) последовательности нулей и их устойчивость при «малых шевелениях» этих (под) последовательностей. При этом вполне естественно рассматривать субгармонические весовые функции (см. версию (1.0.31)), поскольку для любого локально ограниченного семейства голоморфных функций поточечная точная верхняя грань логарифмов модулей этих функций после полунепрерывной сверху регуляризации становиться субгармонической функцией.

Пусть CP — семейство функций из sbh(!Q), не содержащее функцию = —оо, которое далее называем системой весов на О, а функции из У — весовыми, или весами. Положим

Holu(i7; У) = (J Но1(ЗД. (1.0.4)

рбУ

Во всех известных описаниях (под)последовательностей нулей для различных весовых классов типа (1.0.4) ограниченная область — это, как правило, круг В или односвязная область с «хорошей» границей, а система весов 7 предполагалась состоящей из положительных функций, радиальных, т.е. зависящих только от \z\, z g В, в случае О, = D. Особо подчеркнем, что в наших исследованиях требования положительности и радиальности весов для круга часто снимаются.

Отметим также, что в ряде вопросов теории функции, к примеру в вопросах полноты, интерполяции, экстраполяции, представления рядами, в задачах локального описания идеалов и подмодулей, в проблеме спектрального синтеза и др., как необходимое или достаточное условие часто фигурирует требование того, что заданная последовательность Л с П - (под) последовательность нулей для некоторого весового

класса типа (1.0.4). Все это дополнительно актуализирует исследование (под)последовательностей нулей для весовых классов.

Основные результаты диссертации новы уже для весовых классов типа (1.0.4) в круге Ю, определяемых даже только радиальными весами р £ У достаточно общего вида и хорошо стыкуются с известными описаниями (под)последовательностей нулей для некоторых таких классов с более или менее конкретными весами р.

Структура диссертации следующая.

В дальнейшей части Введения определяются основные понятия и вводятся некоторые соглашения (подраздел 1.1), формулируются полученные ранее результаты других авторов диссертации (подраздел 1.2), формулируются основные выносимые на защиту теоремы (подраздел 1.3), зачастую в упрощенном и ослабленном виде в целях большей наглядности и обозримости.

В разделе 2 доказываются достаточно общие подготовительные теоремы для дальнейшего их применения как к получению теорем о подпоследовательностях нулей, так и об их устойчивости. Эти подготовительные теоремы (подраздел 2.2) охватывают произвольные области, но недостаточно наглядны. В дальнейшем применении их мы ограничиваемся пространствами функций в ограниченных областях О. Их доказательства (подраздел 2.1) потребовали трудоемких вспомогательных усилий в области теории потенциала (выметание, меры и потенциалы Йенсена), в исследовании некоторых геометрических объектов на плоскости (звезды подмножеств, вздутия множеств)

Главные результаты о подпоследовательностях нулей и их устойчивости сосредоточены в разделе 3. Здесь также важную роль сыграли некоторые нетривиальные геометрические факты, сконцентрированные в разделе 3.1.

В разделе 3.2 дается Теорема 3.1 о подпоследовательностях нулей для наиболее «мягкого» случая пространств Щ, если отойти от алгебр функций, в разделе 3.3 — Теорема 3.3 для наиболее «жесткого» случая пространств Яр°6, а раздел 3.4 занят исследованиями в промежуточном типе пространств Нр+§. Для этих пространств в разделе 3.5 получены Теоремы 3.4 и 3.5 устойчивости подпоследовательностей нулей (последовательностей единственности) при малых «шевелениях » этих последовательностей.

В последнем разделе 4 даются условия, при которых заданная последовательность точек являетя точной последовательностью нулей для

некоторой голоморфной в единичном круге функции из определенных весовых классов функций, определяемых, вообще говоря, нерадиальной мажорантой умеренного роста вблизи единичной окружности. Тем не менее результаты новы даже для радиальных мажорант. В подразделе 4.1 исследуются последовательности нулей для алгебр голоморфных функций, даются примеры нерадиальных весовых субгармонических мажорант, приводятся наглядные следствия для конкретных весовых классов (Теорема 4.1, Примеры, Следствия 4.1, 4.2). В подразделах 4.2 и 4.3 рассматриваются уже более тонкие ситуации (Теоремы 4.2, 4.3, Следствие) по исследованию последовательностей нулей для весовых пространств голоморфных функций по существу не являющихся алгебрами, т. е. пространства не замкнуты относительно произведения функций. Наконец, в подразделах 4.4 и 4.5 исследуется следующая задача. Пусть последовательность точек является (под)последовательностью нулей для алгебры или весового пространства голоморфных функций и подвергается определенным сдвигам. Для каких, возможно несколько больших пространств, новая последовательность точек становится уже точной последовательностью нулей? Эти результаты трактуются как теоремы устойчивости (Теоремы 4.4, 4.5, 4.6).

Основная часть результатов диссертации опубликована в 9 работах [60]-[68]. Из двух работ с соавторами [60]-[61] на защиту выдвигаются только те результаты, которые принадлежат лично диссертанту Ф. Б. Ха-бибуллину. Из тезисов совместных докладов на конференциях, объединяющих нескольких авторов (см. [64], [68]), включены в диссертацию также только части, разработанные лично диссертантом. Таким образом, все основные положения диссертации принадлежат Хабибуллину Ф. Б. и доказаны им. Четыре работы [60], [61], [62], [63] опубликованы в журналах, входящих в список, рекомендованный ВАК.

Конец доказательства обозначается символом • («жирная» точка). Но завершение доказательства (например, леммы), входящего как составная часть в доказательство другого утверждения, отмечается символом о (пока еще «дырявая» точка). Ссылка на номер формулы или утверждения над знаком (не-)равенства, включения и т. п. означает, что при переходе к правой части этого выражения применялись, в частности, и отмеченная формула или утверждение.

1.1 Основные определения, понятия и соглашения 1.1.1. Подмножества в С. Для подмножества S С С через S, 8S,

diamá1 := sup{|2i — z2¡: zi, z2 E 5}

и

conv S {z = a.z\ + (1 — a)z2 : z1: z2 € S, 0 < a ^ 1}

обозначаем соотв.1 замыкание, границу, диаметр и выпуклую оболочку множества S в С.

Если S — компакт вйв индуцированной с С топологии, то S пред-компактно в D и обозначаем это как S <Ш D. Для z еСя S,D сС через

dist(z, S) := inf{|tü - z\ : w E S1}

и

dist (S, D) := iufflw - z\: w € S, z E D}

обозначаем евклидово расстояние соотв. от точки z Е Си множества S до множества D.

Открытый круг с центром z Е С радиуса t E M обозначаем через

D(z,t) := {|ш - z\ < t: w Е С}.

При t ^ 0, очевидно, D(z,t) = 0 — пустое множество. Кроме того, при

t > 0 полагаем _

D(z,t)

— замкнутый круг с центром z ЕС радиуса t Е К, но далее будет удобно считать, что по определению

D(z, 0) := {z} — одноточечное множество.

Наконец, используем обозначения

D{t) := D(0, t) = W) при t > 0, D(t) := D(0, t) = Ш при t > 0.

1 Далее для слова «соответственно» используем сокращение «соотв.».

1.1.2. Последовательности точек в области О. Каждой последовательности Л в области Л из (1.0.1) можно сопоставить положительную целочисленную считающую меру пд, построенную по правилу

(1.1.1)

А к&В

— число точек Л^, попавших в В. Для удобства и краткости записи для точки г £ О, полагаем

и, следуя [27], можем называть как саму последовательность Л, так и функцию (1.1.2) дивизором на Г2. При такой трактовке две последовательности Л и Г = {7fc'}fc'6ft-'cN из Г2 равны, или совпадают (пишем Л = Г), если для соответствующих им дивизоров nA(z) = nr(z) при всех z £ П. Другими словами, в обозначении (1.0.1) каждая последовательность точек Л рассматривается изначально как представитель некоторого класса эквивалентности, состоящего из последовательностей в О, с одинаковыми дивизорами, а способ нумерации в (1.0.1) не имеет значения. При этом носитель supp Л для последовательности точек Л — это носитель соответствующего ей дивизора или считающей меры. Запись А е Л (соотв. А ф Л) означает, что Л G supp Л (соотв. Л ^ supp Л). Для подмножества В С С запись Ас В означает, что supp Л С В] А Г) В — сужение последовательности на В с дивизором пА |ß. Последовательность точек Г С fl включена в Л, если nr(z) ^ nA(z) в терминах дивизоров при всех z Е Ü, и при этом пишем Г С Л, а Г — подпоследовательность последовательности Л; объединение Л U Г через дивизоры задается тождеством пдиг(-г) = n\(z) + nr(z), z 6 Г2; для Г С Л и только в этом случае разность последовательностей Л \ Г определяет дивизор ?гл\г(<г) = nA(z) -nr(z), ze il

Чтобы отличать такой подход от стандартного взгляда на последовательность как на функцию натурального или целого аргумента, каждую последовательность точек, для которой важна нумерация ее членов, называем пронумерованной, или проиндексированной, последовательностью (см. [28]), а точки пронумерованных последовательностей Л изображаем в круглых скобках, т. е. в виде

пл(-г) := nA({z}), zEÜ

(1.1.2)

Л = (Лk)k£KcN, Afc G il

(1.1.3)

Для последовательности Л с D(r) полагаем

|А|<*

— считающая (радиальная) функция последовательности Л; для Л С fl

nA(z,t) := nA(D(z,t))

— число точек из последовательности Л С в D(z, t) С il

1.1.3. Последовательности нулей голоморфных функций. Уточним некоторые использованные выше определения. Для ненулевой функции / 6 Hol(O) через Zeroj обозначаем последовательность точек в О, дивизор которой в каждой точке z & VL равен кратности нуля (корня) функции /вг,и называем ее последовательностью нулей функции / 6 Но1(Г2). Часто в нестрогой форме Zero у называют последовательностью нулей (корней) функции /, перенумерованной с учетом кратности.

Для нулевой функции в Q по определению ее дивизор nzero0 ~~ Функция, тождественно равная +оо на П. Для любой последовательности точек Л в il по определению Л С Zero0. Функция / 6 Hol(fi) обращается в нуль на Л (пишем /(Л) = 0), если Л С Zero/.

Пусть Н С Но1(Г2) — подмножество (класс) в Hol(fi). Последовательность Л С П — последовательность нулей для Н, если существует функция /бЯс Zero f = Л; Л — подпоследовательность нулей для Н, если существует функция / ф 0 из Н, для которой Л С Zero j. Когда класс Я �