Слабо достаточные множества и абсолютно представляющие системы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ргз ^

г - На правах рукописи

V ----------------------------------------------------------

I • ) «^»«»»ит щтип пттц

СЛАБО ДОСТАТОЧНЫЕ МНОЖЕСТВА И АБСОЛЮТНО ПРЕДСТАВЛЯЩИЕ СИСТЕМЫ

0l.0i.0l - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Екатеринбург - 1995

Работа выполнена в Ростовской ордена 'рудового Красного знамени государственном университете.

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук.

профессор Секерин A.B. доктор физико-математических наук.

профессор Семенов Е.М. доктор физико-математических наук, профессор Шамоян Ф.А.

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Защита состоится " 1Я ~ ^¿(УХЛ)]^ 199 5р. в И часов на заседании диссертационного совета Д 002.07.02 по присуждению ученой степени доктора физико-математических наук в Институте математики и механики Уральского отделения Российской- Академии Наук по адресу: г.Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, д.16.

С диссертацией ножно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан

-/5.

UüSJbjuiI

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

^f^ü&tA- В. М. Бадаев

ОБЩАЯ ХАРАШРИС1ША РАКЛН

Актуальность теки. Одним из важнейших направлений в теории голоморфных функций, как, впрочем, и во всем алализе, является изучение задач, связанных с разложениями в ряды ло фиксированной последовательности функций из различных пространств. Помимо того, что они представляют самостоятельный интерес, полученные в процессе их решения результата широко применятся как для- исследования внутренних проблем комплексного анализа, так и в прикладных задачах. Например, это касается аппроксимации и интерполяции в комплексной и вещественной области, разрешимости различных функциональных уравнений и конструктивного построения их решения. Существенное место в этой тематике, занимает теория представления функций, голоморфных в областях или на компактах из £р, рядами экспонент и их обобщений. Определяли»! их особое положение среди прочих пространств и систем (к примеру, классических степенных или. тригонометрических) является то обстоятельство, что лолуча-емыэ разложения, как правило, ^единственны. В связи с этим к ним неприменимы, по крайней мере непосредственно, методы, разработан-нье для базисов в пространствах голоморфных функций.

В 1965 г. А.Ф.Леонтьевым [II было устаноглеш, что если <5 -внутренность правильного треугольника с центром в начале координат, то можно так расположить на лучах, исходящих из этого центра и перпендикулярных его сторонам, точки <Ак>, чтобы каждая функция, голоморфная на замыкании б, разлагалась бы в б в абсолютно сходящийся ряд по системе {ехрК^гУ. Пожалуй, с этого времени началось интенсивное построение теории представления функций. голоморфных в области или на компакте, рядами экспонент и обобщенных экспонент, проводившееся вплоть до последнего времени под значи-

тельным влиянием работ А.Ф.Леонтьева, подытоженных в [2],[3]. Существенный вклад в развитие указанного направления внесли работы В. П. Громова, В.К.Д£лдыка, Ю. И. Мельника, В.Х.Мусояна, А.М.Седлец-кого, Ю.Н.Фролова, А.П.Хромова, В.И.Шевцрва и др.

Исследования /.Ф.Леонтьева послужили естественноя основой для создания теории абсолютно представляпцих систем в локально выпуклых пространствах, осуществленного, главным образок, в работах О.Ф.Коробейника (напр., [4]-[6]). Применение фундаментальных принципов функционального анатаза позволило, помимо развития обшей теории, а также постановки и решения ряда новых задач, дать ответ на некоторые проблемы, не поддававшиеся изучению ранее разработанными методами.

Другое направление в исследовании разложений функций в ряды экспонент было инициировано Л. Эренпрайсои [7], который предложил использовать для этих целей так называемые достаточна множества. Именно, если В - равномерно аналитическое пространство и 5 - дискретное достаточное множество для подходящей реализации его сопряженного, то каждую функции из В можно представить в виде суммы абсолютно сходящегося в В ряда экспонент с показателями из 5. Впоследствии рядок зарубежных математиков рассматривалась задача о построении достаточных множеств для пространств целых функция, определяемых радиальными характеристиками роста. Дальнейшее продвижение здесь быпо достигнуто В.В.Напалковым [8], [9].

Указание два направления развивались практически независимо друг от друга почти до начала 80-х годов, когда при естественных ограничениях быпо установлено их совпадение. Именно, сначала I). Ф. Коробейник получил харакгеризацто абсолютно представляпцих систем в некоторых типах локально выпуклых пространств через

совпадение определенных топологий в сопряженных к ним. Отсюда очевидным образом вытекало наличие непосредственней связи кевду абсолютно представляющим системами обобщенных экспонент и слабо достаточными множествами. Затем В.В.Напалков при условии, что отношение весовых функция, определяющих пространств, стремится к нулю по мере удаления в бесконечность, показал эквивалентность понятий достаточности и слабой достаточности. В последующем она была установлена и при более общих предполоЕЗНШХ .

В результате развития указанных направлений был накоплен достаточно богатый фактический материал, сконцентрированный, в основном, вокруг задачи построения "показателей" абсолютно представляющих систем обобщенных экспонент, достаточных и слабо достаточных множеств. Кроме того, в работах Л.Эренпрайса, Д.М. Шней-дера, Ю.Ф. Коробейника и других было выяснено, что достаточные и слабо достаточныз множества играют важную роль в ряде задач комплексного анализа, возникающих, например, при исследовании уравнений в частных производных и уравнений свертки, теорем деления, различных интерпретаций принципа 5>рагмена-Линделефа и теорем типа Левинсона. С другой стороны, в сфере приложений в последнее время наблвдается возросший интерес к таким пространствам, к которым полученные к настоящему моменту результаты неприменимы. В частности, здесь можно выделить пространства функций, голоморфных в области и имеющих вблизи ее границы рост, определяемый тонкими характеристиками, или пространства ультрадифференцируемых функций. Вышеизложенное диктует, на наш взгляд, необходимость детального исследования целого комплекса проблем, связанных с изучением слабо достаточных множеств и абсолютно представляющих систем, составляющих цели настоящей диссертационной работы.

б

Цели работы. Исследование слабо достаточных множеств в общих классах индуктивных пределов весовых банаховых пространств целчх функция, вклшая их свойства, функциональное описание и построение наибопе "редких" для данного пространства слабо ■ достаточных множеств. 'Для пространств, определяемых весовыми последовательностями с конечной верхней огибающей, охарактеризовать слабо доста-точныз множества, образованные нулевыми мыжествами целых функций, имещих в определенном смысле минимально возможный рост по. отношению к рассматриваемому пространству. Изучение и описание слабо достаточных множеств с то<1Ки зрения их раслре деления на плоскости. Применение полученных результатов к абсолютно представляющим системам собственных элементов линейного непрерывного з пространстве Фреше оператора и системам обобщенных экспонент в различных конкретных типах пространств голоморфах и ультрадиффе-ренцируемых функций. Исследование взаимосвязи между свойством системы быть абсолютно представляющей и наличием по ней абсолютно . сходящихся нетривиальных разложений нуья при максимально возможных по степени, общности предположениях. Использование результатов в некоторых вопросах теории уравнений свертки.

Методы исследования. В диссертации применяется достаточно разнообразный и разноплановый аппарат, характерный при исследовании пространств голоморфных функций, снабженных некоторой локально выпуклой топологией, отличной от нормированной. Помимо классических методов и результатов ряда разделов комплексного и функционального анализа (таких, например, как теория функций вполне регулярного роста или вопросов разрешимости ¿-задачи в классах функций с априорными оценками), в работг развиты и модифицированы методы, ранее применявшиеся при изучении абсолютно представляющих

систем и слабо достаточных множеств Ю. Ф. Коробейником, В. В. Напалковым и другими математиками. Это позволило добиться качественного скачка в решении поставленных вше задач.

Научная новизна. Все результаты, изложенкье в диссертации, является новыми и заклинается в еле душек.

пояуиенм новье по йерме критерии слабой достаточности множества в максимальной ш стеган}! об^-ЕСТИ сэтугщ™, гогвеяз«™«*, и частности, дать окончательный ответ на вопрос о взаимосвязи мевду слабо достаточными и эффективными по Ийеру множествами и изучить ряд свойстз слабо достаточных множеств, лолучиз.при этом неулуч-шаемье результаты сразу в многомерном случае. Все они являются но быки и для функций одной переменной.

Найдены ус.:селя на весовые последовательности» с аре делящие инду:-ги»нкй ^рег.ел. при которых для него имеются слабо достаточнее нножствг минимального типа, то есть множества» состояэяз из нуле?, целых ¿уясш минимально возможного роста, С ж гомощьа указаны мно;ксстгг. обладашге универсальностью в ток снюле, что они является слаба достаточными множествами минимального типа одновременно для целого спектра пространств, охзатызащего не только все рассмотренные к настоящему зреиеки пространства, ко и ряд новых, ранее не поддававшихся исследовааю.

Для пространства всех целых функций с заданной оценкой индикатора при данном уточнением порядке получена полная гезкзгриче-сзсая характеризацкя слабо достаточных множеств. Следет отметить, _ что подобные результаты не бнтк известны даже з простейших ситуациях.

Для последовательностей собственных элементов линейного непрерывного оператора в пространстве Фреше Н исследована связь.

меаду свойством этих систем быть абсолютно представляющими ей и наличием по ним абсолютно сходящихся нетривиальных разложений нуля. По сравнению с предшествующими работами удалось значительно расширить класс пространств, в которых имеет место эквивалентность указанных двух свойств.

Ряд результатов и методов вспомогательного плана, развитых в диссертации и, в частности, относящихся к построению семейств целых функция со специальными оценками, описанию мультипликаторов пространств, определяемых системе.'; весовых функций, ч модификации метода Л.Хермавдера в задаче о пороадающих, также является новым.

Теоретическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они, а также разработанный в диссертации аппарат, использованы в ней при исследовании задачи о разложении голоморфных и ультрадифференцируемых функций в ряды обобщенных экспонент и некоторых вопросах теории уравнений свертки. Кроме того, эти результаты уже применялись в других работах и могут применяться в последующи к задачам теории интерполяции и изучения асимптотического поведения целых функций.

¿пробацвл работы. Результаты диссертации докладывались на мевдународной конференции по алгебре и анализу (Казань 1934 г.). Всесоюзных конференциях по комплексному анализу и теории функций (Теберда, 1985 г.; Уфа, 1387 г.; Ростов-на-Дэну, 1999 г.; Архыз, 1991 г.), математических школах (Саратов. 1984. 1985, 1990 гг.; Воронеж, 1989 г.), на семинарах в Московском, Санкт-Петербургском, Харьковском, Ростовском университетах. Институте математики Уральского научного центра РАН (Уфа) и псковском энергетическом институте.

Публикации. Основныэ результаты диссертации опубликованы б

работах [29]-[51]. _____ ______________________

Структура и объем диссертация. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Библиография содержит 17Б наименований. Объем диссертации - 258 страниц текста.

Часть результатов диссертации получена в ранках проекта 93-011-242 "Линейнье операторы в комплексном анализе", осуществляемого при финансовой поддержке

В первой главе вводятся основныз определения и детально изучался свойства слабо достаточных множеств в общих классах весовых пространств целых функций. В значительной мере ее результаты составляет основу для исследования поставленных задач.

Пусть - открытое в Ср множество; Кб) - пространство всех функций, голоморфных в б, наделенное топологией равномерной сходимости на компактах из б. Для веса <?, то .есть локально ограки-чеккой в Ср весественнозначной функции, к подккокзства 5 из €р. введем лолунормирозанное пространство

Пусть <?=í?>n( г) > - последовательность весовых функций, неубнващая по п при каидом фиксированном г из ср, в векторном пространстве /(Ф):= и Я«рп;Ср) рассматривался топологии fs внутреннего индуктивного предела пространств H<¡f>n;S)nrc<3>), снабженных полунормами [¡ •,'[ s. Mhohectbo S называется oüaoo досяюяочшл для ЛФ) [10],

'л'

если в нем совпадает с ^ „. Как известно [53, [10]. S составляет для К Ф) слабо достаточное множество в том и только в том случае, когда для любого п найдется такое ш, что имеет место непрерывное вложение ЛФ) nK<pn;Sl с,Я<рт;Ср). В §1.2 доказан

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Hc>;S): =|/еЯССр): ' 0/¡¡?>s:= sup \f(z)\/exp?(z) <

zbS

следующий результат, показывающий. что при дополнительных ограничениях на внутреннюю структуру о. существенных для его справедливости, последнее условие может быть заменено более слабыми по форме эквивалентные ему требованиями.

TEQPEMÄ 1.2.2. Лля того чтобы лнохество S Оьио слабо достаточным для I(Ф). необходимо, а если lim jV-^Cг)-ipn(z)J =» (neN).

що u достаточно, члюбы око Сшо для него лножествол единствел-хосш u V new 3 neN | apn;S) сН?>в;Ср).

Значение теоремы 1.2.2 гораздо шире, чем естес-веннье технические упрощения, возникающие при ее использовании. В частности, она играет решающую роль в доказательстве совпадения классов слабо достаточных множеств и множеств, эффективных по Ийеру.

В § 1.3 с помошью 0-техники Л.Хермандера строятся специальные семейства голоморфных функций, удовлетворяющих глобальный равномерным оценкам сверху и локальным - снизу. § 1.4 посвящен описанию классов непрерывных мультипликаторов, дейстзущих из одного весового пространства в другое. Результаты этих двух параграфов носят вспомогательный характер и неоднократно используются на протяжении всей работы. Отметим, что они имеют также сакостоя-телыюе значение и уже применялись не только в вопросах, связавши со слабой достаточностью, но и в некоторых других разделах комплексного анализа (теории интерполяции и уравнениях свертки).

В § 1.5 выделяется важный класс весовых последовательностей, для которых порождаемые ими пространства обладают дополнительный! "хорошими* свойствами. Именно, рассматриваются последовательности весов Ф = {<рп>. имехпке конечную верхнюю огибающую <р(г) = = lira <р (г) (2еСр), для которых

П-*О0

____ V пеИ 3 шеМ | <р(г) ^ 2(раСг)-ч>пСг)-ш, V геСр.

В § 1.6 изучается взаимоотношение меаду слабо достаточными множествами и множествами, эффективными по Ийеру. Пусть 9 - неотрицательный вес, при г-*» и 0<упТ1. Для Ф={уп<р} положим Назовем'неограниченное в Ср множество 5 <р~эффекпивннл С по Ийеру), если V /е/

При р=1 и <р(г)=б\г\Р (б>0, р>0) это понятие было введено Г.Ийером [11] и имеет наиболее прозрачный смысл. Именно, в указанной ситуации совпадает с пространством [р,б) всех целых функций, тип которых при порядке р строго меньше, чем б, а в ^¡^-эффективность

множества S э>_аивалектка тому, что по s кожно определить тип при порядке р произвольной функции из 1р,б).

Ю.Ф.Коробейником для р=1 и <p(z)=<5|z| в двойственной постановке для абсолютно представлявдих систем экспонент было установлено [12], что из слабой достаточности S для [1,6) вытекает его

I

б|2|-эффзкгивность по Ийеру. В псследугк°н этот результат был распространен автором на случай пространств целых функций .лроиз-. вольного положительного порядка с заданной оцекхпя индикатора. Однако дана з этих конкретных пространствах было неясно, справедливо или нет обратное утверждение. Почти тривиальным следствием теоремы 1.2.2, решающим этот вопрос положительно, причем з самой общей ситуации сразу для функций многих переменных, является

ТЕОРЕМА 1.6.1. Всякое ^-эффективное множество слабо достаточно для 1.

? .....- .....

Оказалось, что обратный теореме 1.6.1 результат удается получить при более жестких ограничениях на «р. В свете цитированных

, „„„„ у

InXfi z) I

lis sup-—-=

zeS

ln|/( z) |

выше результатов, послуживших отправной точкой исследования взаимосвязи между слабой достаточностью и эффективностью, это выглядит особенно контрастно.

ТЕОРЕМА 1.6.2. Пусть <р плхзрисубгарлонииесиая в Ср функция

ииГ1п|г|/<рГгЛ = 0; и я Гр°Г2УгГгЛ - 1, ' г-«»1 ^

где ф*(г)=5ир1ф(£): |С-2|£1К Тогда всякое саабо достаточное для

хнохество ^-эффективно.

Таким образом, если для <р выполнены условия теоремы 1.^.2, то слабая достаточность множества для эквивалентна его ^-эффективности. Заметим, что эти условия имеет место практически для всех пространств, используемых в приложениях.

В §§ 1.7-1.8 рассматривается задачи, связанные с наследованием свойства множества быть слабо достаточным. Введем соответствующе определения. Пусть Ф и Ч» - весовые последовательности индуктивного типа. Будем говорить, что имеет место свойство Ф-^-про-долхенш слабой достаточности, если каждое слабо достаточное для ДФ) множество является таловым и для Л V). Другой тип наследования слабой достаточности можно получить на следующем пути. Пусть Ф.={<г>,- „} 00 - последовательности индуктивного типа, причем

1 1,п П=1 . -

<р£^(2)<<р£+1^1+1(2) (2еср, Тогда для Ф = {^¿¿(г)} ДФ)

совпадает с идФ^. Будем говорить, что имеет место свойство устойчивости с.юбой достаточности относительно предельного перехода Ф^-»Ф, если всякое слабо достаточное для ДФ^) СШ) множество является слабо достаточным и для /СФЭ.

Свойство продолжения впервые было установлено в работе [131 для абсолютно представляодс систем экспонент в плоской выпуклой области, а устойчивости относительно предельного перехода - в

статье Т61для"более~общих скстем Миттаг-Леффлера при специальной-------

аппроксимации области. Пользуясь совершенно другими соображениями, чем в [13] и [Б], мы устанавливаем в §§ 1.7-1.8 условия, формулируемые в терминах весовых, последовательностей, при которых имеют место определенные выше свойства продолжения и устойчивости относительно предельного перехода. Полученные результаты являются суевстеонкьк развитием цкгироЕзншк 21т; ч?.сгъ кз яку содержит последние как весьма частный случай, другие не были ранее известны даже дяя конкретных пространств; кроме того, все они касаются многомерной ситуации, которую ранее вообще не удавалось исследовать.

В § 1.9 полученные общие результаты применяются к одному из наиболее широко используемых в приложениях пространству ЕрС г), Н) целых функций, радиальньв индикаторы которых при уточкеном порядке р(г) строго меньше (при г #0) заданной мажоранты роста Н. Полученные здесь критерии и свойства слабо достаточных множеств (теоремы 1.9.1-1.9.7) позволяют эффективно решать некоторые важные задачи в теории слабо достаточных множеств и абсолютно пред-стазлклдих систем. Напомним, что в соответствии с определением из" [4] последовательность {х^ элементов локально выпуклого пространства В называется абсолютно представляющей систелой в Я, если каждый элемент х из Я можно представить в ввде суммы ряда х = Хс^ (ск - скаляры), абсолютно сходящегося в Я. В частности, показано, что если система экспонеьт ЖЛ)= {егрк^.г»} (Л^х^, \,еСр) является абсолютно представляющей в пространствах ЯСОп), где Оп- шар |2|<Кп, и Кп «>, то она будет универсальной, то есть абсолютно представляицвй сразу во всех пространствах ЯС б), где буже любая выпуклая область в ср. Отсвда, с помощью построенных

А.Б.Сегеринш [14] минимальных абсолютно представляющих систем экспонент для единичного шара удается указать универсальные сг -сте:ш экспонент, показатели которых оптимальным, с точки зрения их густоты, образом определены в пространстве.

В ряде вопросов, например, при построении и исследовании свойств решений уравнений свертки и аналитических решений уравнений в частных производных или при определении коэффициентов разложения' по абсолютно представляющим системам через разлагаемую' функцию, необходимо иметь достаточно редкое слабо достаточное множество (в двойственной постановке редкую последовательность "показателей" абсолютно представляющих систем). В связи с этим отметим, что А.Ф.Леонтьевым впервые были построены минимальные в определенном смысле абсолютно представляхще системы обобщенных экспонент в пространствах функцчй, голоморфных в области. В частности, им фактически показано, что для произвольной ограниченной выпуклой области 6 из С имеется абсолютно представлялпая система экспонент в К в), не являющаяся полной и. подавно, абсолютно представляющей, ни в о днем из пространств //(0) при 1Ъ6 с 6 - замыкание б). Центральное место в исследованиях А.Ф.Леонтьева занимает идея построения последовательности показателей абсолютно представляющей системы как нулевого множества целой функции, рост которой непосредственно связан с б. В последующем подобная задача .решалась различными методами в работах многих авторов (В.П.Громова, Ю.Ф. Коробейника, Л.С.Маергойза, С.Н.Мелихова. Ю. И. Мельника. В.В.Напалкова. Н.И.Рахимкулова. А.Б.Секврина, Ле Хай Хоя. И.С.Шрайфеля, Р.С.Еймухаметова).

Основная цель, преследуемая в главе 2. - исследование и построение слабо достаточных множеств леонтьевского, или шшмаль-

ного, типа при общих условиях на весовую последовательность.

Пусть Ф={<рп> - неубывающая по п весовая последовательность;

ЯФ):={/е«Ср): Уп Зя| |/( 2^=0 [ехр (2<рт( г) г))) ВСР).

Назовем множество ЛсСр слабо достаточных лнохе ствол хиншалъного типа для 7(Ф), если Л слабо достаточно для него, и имеется отличная от тождественного нуля функция га н:*), дгл ззторза тс-™: из Л является нулями. Введенное определение соответствует сложившейся для конкретных пространств терминологии. В § 2.2 указываются достаточные условия, при которых последовательность нулей целой функции из ЕС Ф) составляет слабо достаточное множество для ДФ). Формулировка основного результата этого параграфа потребует некоторой подготовки.

Отличный от тождественного нулг. непрерывный мультипликатор ДФ) сЦг) называется делителе* ДФ), если имеет несто импликация /еДФ), //е£ е КС) * f/d е. ДФ).

Для А=КХ^еС (к=1,2,...), обозначим через ЖЛ,Ф) совокупность всех комплексных последовательностей с={ск>, для которых ряды £|ск|е:фрпС АО сходятся при любом п. Пусть П А, Ф) - множество всех таких положительных последовательностей <Ук>. что ^у^1} принадлежит ДЛ.Ф) для произвольного элемента -С^} из ЖЛ.Ф). Для у из ГСЛ,Ф) положим и <г: |2-\|<ук>. Будем говорить, что степень стремления Л к бесконечности норлалъна относительно Ф, если для любого пеИ имеются шеШ и уеНЛ,Ф), для которых справедлива импликация:

/еДФ), |/(г) \=о[ехррп1г)] вне 1/у => /еН«ри). "

СО 00 (1)

Положим 1*(Ф):= п и Нр ) и отнесем к классу 1Т, все

П»1 Я«1

те : весовьв последовательности индуктивного типа, для которых

lin (4pll+1Cz)-ipn(z)] = « CneN) и V neIN 3 seW V keN i meM |

sup{|Kz)|: И e М0(Ф)} г eip[ç>k(z)-<ps(z)], v zeC.

Как и превде. - единичный шар в банаховом пространстве Н<р;Ср). TE0PEU& 2.2.1. Пусть Ф={<рп> - весовая последовательность из A^ÍX^} - последовательность простых нулей некоторой функции L из Е(Ф; (у L логут бчтъ и другие нули произвольной кратности), имеющая нормальную степень стремления к бесконечности относительно Ф. Если имеется такой делитель 1(Ф) d(z), что

1) d(z) обращается в нуль с учетом кратностей во всех нулях L, не попавших в Л;

2) найдется последовательность окружностей |z|=rn, где гпТ«», такая, что

ln\d(z)/L(z)\ á ~?п(г) при |z|=rn (п=1,2....):

3) id(\)/L' Г^Я е А(Л,Ф), то есть

1 \d(\)/L' (\)\ехрч>п(\) < о», V neíN, то Л - слабо достаточное множество минимального типа для КФ).

Ранее подобные теореме 2.1.1 результаты были известны в основном для конкретных пространств или при достаточно жестких ограничениях на весовую последовательность Ф, не позволявших охватить ряд пространств, встречающихся в приложениях.

Следующий § 2.3, посвященный адаптации теоремы 2.2.1 для ее применения в приложениях, по значимости занимает, пожалуй, центральное место во всей главе. Необходимым условием существования для ДФ) слабо достаточных множеств минимального типа является непустота КФ)\ЯФ). Типичным представителем пространств, для которых последнее имеет место, является совокупность [р,б) всех целых в плоскости функций, имеющих при порядке р тип, строго менъ-

шил б, при 0<б<оо. в связи с этим в § 2. 3 выделяется класс тех весовых последовательностей Ф, для которых ДФ) наследует, наиболее существенные с точки зрения слабо достаточных множеств минимального типа свойства Гр.б) при конечном б. Именно, отнесем к классу бесовых последовательностей ограниченного спетра все последовательности Ф индуктивного типа с конечной верхней огибающей (то есть ФеГТ^' при ?), ссстояпз» нз субгармонических в

плоскости функций таких, что для некоторой непрерывной положительной В с функции £(2)£(1 + |2|)-1 выполняются условия:

1) V п 3 т I <рп(г)+1п[1/«(г)]*?в(2)-н1. V геС;

2) V п 3 т | 5ир{«рпСО: |С-2|2«2)}^«рга(2)+т, V геС.

Оказывается, для весовых последовательностей ограниченного спектра ЯФ)*ДФ) (предложение 2.3.1), а при дополнительных условиях •"» будет принадлежать л^ (предложение 2.3.2), Кроме того, установлены также условия, при которых последователи ность нулей произвольной отличной от товдествекного нуля функции из К Ф) имеет нормальную относительно Ф степень стремления к бесконечности. К примеру, так будет, если Ф имеет верхнюю огибапдоэ <р( г) и для 9*(г):=5ир{?>(2): выполнено требование:

V пеМ 3 тем | <рх£г)+1г((>тСе\2\')*<рпС2)-т, - У геС.

В § 2.4 обсуждается вопрос о существовании целых функций и Я), совокупность Бсех нулей которых образует для Д Ф) слабо достаточное множество минимального типа. В связи с этим вводится понятие Ф-интерполируицей функции, обобщающее ранее применявшееся' Ю.Ф.Коробейником в более конкретных ситуациях. Нули Ф-интерпояи-рующих функций обладают тем свойством, что они как раз и составляют для Д Ф) слабо достаточное множество минимального типа. Наи-

более законченные результаты удается получить, для функций конечного порядка. В частности, в §§ 2.4-2.5 с помощью исследований, проведенных в главах 1 и 2. и известных результатов Р.С.Шмухаме-това [15] об аппроксимации субгармонических функций логарифмами модулей целых показано существование универсальных слабо достаточных множеств минимального типа, то есть множеств, которые являются таковыми сразу для целого класса весовых пространств ДФ), где Ф имеет вид Ф=<<р-ып>, <р - некоторая субгармоническая функции конечного порядка, а {»„} - нев^растащая по п весовая последовательность.

В течение длительного времени объектом пристального внимания многих авторов (мы уне упоминали их выше) были множества, слабо достаточные для пространств целых функция с заданной оценкой индикатора (или абсолютно представляющие системы в двойственных к ним пространствам). В главе 3 установлены в этом направлении результаты законченного характера, решапцие полностью ряд известных задач.

§ 3.1 содержит вспомогательные сведения и результаты, часть из которых является уточнением полученных ранее в § 1.9 для многомерной ситуации.

§ 3.2 посвящен задаче о геометрическом описании слабо достаточных множеств. Пусть ре(0.с<0, р(г) С-»р) - уточненный порядок в смьсле Валирона, Г - совокупность всех 2я-периодических р-триго-

Р о

нометрически выпуклых на всей оси функций. Пусть, далее, Тр -подкласс функций из т принимающих лишь конечные значения, а г

о р F

и Г- - подмножества полунепрерывных снизу на К функция ь из Т и

о р р

Т соответственно, для которых in/ш Q)+K в+*/р) »0. Если ЬеГ*,

г в Р

то символом fp(r),/i) будем обозначать пространство всех целых в

плоскости функшгкоторш имеет при уточненном порядкег) кп-

о

нечньй тип и меньший КВ) индикатор. Пусть ЛеЗ^. Положим при любых а и р, скрза+г*.

д^Са.р) = ~ |л*(р-0) - Л'Ся+О) + р1 |«0)сю|.

Если Л^^} - последовательность попарно различных комплексных чисел, стрекяггяся к бесконечности. то обозначим чериз. п^.г^а.р) число точек из Л, попавших в {геС: г±<|г|5г2; а 5 агб г < р>. Следующие две характеристики определяют распределение Л на плоскости:

«1дСа.р): = "я I«/ —^-•

у.:= Ыт Ит зир )

«-»♦О к-юо

«-И.*0 Г-*а> с(уг>р<вГ>_грСГ)

ПЛС \; х) -I

¡Их,

где пЛ(1;1) - число точек Л в {г: \z~t\sx}. Следуя [16]. будем называть уЛ индексах конденсации л (см. также [17]. [18]). Основным результатом параграфа является

ТЕОРЕИА 3.2.1. Пусть Н - ограниченная функи/ия из Т^. Множество Л аЗияется слабо доаяаяочкыл для пространства 1р(г),К) яоеда и только тогда, когда оно содержит некоторую последовательность М с нулевых индонсол конденсации, для которой

с!м(«.р)гЛьСв.р). V а,р: а<рза+2л. Отметим, что для яС г) з1. достаточная часть этой теоремы при М=Л была анонсирована в работе 471. Несмотря на то, что в этой работе были допущены некоторые неточности (некорректно введено необоснованно используется разложение в ряд Лагранжа в схеме

доказательства), она вместь с получениями нами в [193 близкими необходимыми условиями сыграла определенную роль в выборе геометрических характергстик. Следует сказать, что основныэ трудности пришлось преодолевать при доказательстве необходимости. В значительной мере при этом были использованы изученные ранее общие свойства слабо достаточных множеств.

В заключительной части § 3.2 установленный нами в теореме 3.2.1 критерий приводится в других эквивалентных формах.. Ограничимся здесь только его наиболее просто формулируемой и. на наш взгляд, интересной частью(/* - та же, что и в теореме 3.2.1).

ТЕОРЕМА. 3.2.2. Множество точек кахплекснай плоскости слабо достаточно для lp(r),h) в тол и только б тол случае, когда оно содержит последовательность М, удовлетворшцую хотя бы одно.жу из условий:

(В) М ихееи угловую плотность при показателе р(г), равную Lk(ct,p), и ун=0;

(г) существует целая функция L вполне регулярного роста с индикаторол h(Q) при уточненнол порядке р(г) и простыли нуляли в точках из М, для которой совокупность всех нулей (с учетол щхтностей) отличается от И не более, чел на последовательность с нулевой плотностью при показателе р(г) и

lira |W| РС '^mil'c/OI - War*/v]=0. (3.3.4) ц ем, k-мо к к к J

Из теоремы 3.2.2 следует, что каждое слабо достаточное для tp(r),w множество содержит последовательность, являющуюся для него слабо достаточным множеством минимального типа. Более того, фактически установлено, что всякое слабо достаточное множество минимального типа в данном случае удовлетворяет условиям, точно

повторяющим условия А.Ф.Леонтьева при некоторой функции I из [р(г)./1]. Тем не менее, если л=к\> - последовательность простых нулей целой функции ¿(А) из ЙФ)=(р(г)>/11! то представляет интерес дать полное описание тех л, которые составляет для [/Чг),М слабо достаточные множества, в терминах, непосредственно формулируемых через свойства функции ¿СЛ). Этому вопросу посвящен сле-

ДУХлдИЙ § 3.3.

ТЕОРЕМА 3.3.1 Пусть Л={А } 00 - простые нули некоторой фуна-

71 п-1

ции 1(\) из класса 1р(г),Ь}. Мятого чтобы Л составляла для 1р(г),Ы) слабо достаточное множество, необходим и достаточно, чтобы выполнялась хотя бы одна из двух равносильных друг другу групп условий:

I), Л идеей угловую плотность при показателе р(г), равную А^(аф), и для некоторой функции ае.1р(г),0], а£0,

Î -рПх U » ->

Lim sup ¡AI n In-— + h(arg A)| s 0;

К4Ш L 11 t ' r\ » 11 )

n'

L'(Xn)

II). Л содержит подпоследовательность H={pk> с угловой плотностью при показателе р(г), для которой выполнено условие

С3.3.43.

Отметим, что в работах Ю.Ф.Коробейника [6], [201 при р(г) =р и Ы0)>О были установлены необходимые и отдельно достаточные условия, при которых Л составляет.минимальное слабо достаточное множество для [р,/0. Однако, кроме того случая, когда Л - совокупность всех нулей ЦЮ, между ними имелся "зазор", который, как показывает теорема 3.3.1» является неустранимым.

В этом же параграфе рассматривается задача об объединении минимальных слабо достаточна множеств. Впервыз она была рассмот-

рена в работе 1211 в двойственной постановке для абсолютно представляющих систем Миттаг^Леффлера. Заключается эта задача в следующем вопросе: когда из того, что Aj - слабо достаточное для [p(r),hj) множество (j=l,2), следует, что AjUrtg слабо достаточно для [pCrt./jj+z^). С помощью теорем 3.3.1 мы даем на него окончательный ответ. Полученный здесь критерий (теорема 3.3.3) в частном случае pi г)~р, hCö)>0 V9 не только содержит, но и усиливает результаты из [211.

Теоремы 3.2.1 и 3.2.2 позволяет указать слабо достаточные множества минимального типа для пространства lp(r),h) в случае любой ограниченной функции h. Однако процедура построения такого множества при произвольной К неконструктивна. Под конструктивностью понимается следующее решение задачи - указать л непосредственно. по функции h. так, чтобы оно являлось для [р(г),М слабо достаточным множеством минимального типа. Ранее в подобной постановке она была исследована в Î221 (для р(г)=1) и (63 (для p(r)sp) при дополнительном ограничении, что К в) дифференцируема и ее производная удовлетворяет условию. Липшица. Следующий результат вместе с теоремой 3.2.2 позволяет решить поставленную задачу при произвольном уточненном порядке и дифференцируемой функции h без предположения о липшицевости ее производной.

ТЕОРЕМА 3.4.1. Пусть h(9) - 2к-пераодическая р-тригонолетри-чески выпуклая дифференцируемая на всей оси функция. Пусть, да-

Р<Гт? О

лее, гп - единственный корень уравнения гп =п (пгг^);

ran,j- * [с2п-тЛ(2«4-]].

где [х] - целая часть числа х; А - перенумерованная в виде одной последовательности совокупность .

Cj= / , ) tp=o.....Vj-i; J-«.....»-i;

П П» J

причел, если m„ .=0, rao тюлагаел p/ri_ (=Q. Тогда Л meen при пока-

П » j П»J

запеие p(r) угловую тиатостъ, равную Á^fa.pj, и нулевой t-ндекс конденсации.

Далее* задача- о построении в .каком-то скысле минммядьныхслабо достаточных для [р(г),ь) множеств рассматривается уже для неограниченных Ы.в). При этом, под линшшьныл слабо достаточны* для [p(r),h) лнохествол понимается такое множество Л, того рое, являясь слабо достаточным для [ р( г). М, не будет таковым для [р(Г),Ю ни для ОДНОЙ функции В{в) ИЗ I такой ЧТО fíC0)¿/»(0). ve и ffC0o)>/jí©o) при некотором 0О. Полученная в этом направлении теорема 3.4.2 обобщает результаты В. В. Напалкова и Н.И.Ра:зс4Куло-ва, полученньЕ для (Кг) =1 и. соответственно. píDsp, tí.Q)>Q.

3 заключительной части § 3.4 рассматриваются вопросы постро-екин слабо достаточных для С р( г).« множеств, обладающих дополнительными сЕойствани. Например, играодая существенную роль в приложениях задача размещения слабо достаточного множества вне заданной совокупности областей, удаляющихся в бесконечность, или построение наиболее редких универсальных слабо достаточных множеств в случае пространств типа [р( г).«. Все полученные в этом направлении результаты неулучшаемы, содержат или дополняют анало-гкщшз исследования других авторов.

1Сак уша отмечалось вьше. между слабо достаточными множествами и абсолютно представляющими системаш обобщенных экспонент имеется непосредственная связь. Поэтому все результаты глав 1-3 можно естественным образом переформулировать в терминах подходящих пространств и абсолютно лредстазляэдих в них систем. При этой

спектр получаемых примеров весьма широ.: и разнообразен. Оказывается, практически все они имеет общую природу, лежащую в основе следующей модели. Пусть й - пространство Фреше с определяющим топологию набором норм {!„) и и ~ некоторый линейный непрерывный оператор в й. Предположим, что: при любом хеС совокупность всех решений уравнения в й образует одномерное пространство, натянутое на элемент еСА); 2) обобщенное преобразование Лапласа Fe.il'КеСМ) является топологическим изоморфизмом сильного сопряженного к й пространства й' на пространство целых функций КФ), где Ф:={1п|е(Х) |п}; 3) пространство ДФ) инвариантно относительно деления на полиномы. При этих условиях система Х(Л)= гКеС^)}, где последовательность комплексных чисел, будет

абсолютно представляющей в й тогда и только тогда, когда Л слабо достаточно для К Ф) [23]. Таким образом, ;для применения результатов. полученных в главах 1-3, достаточно проверить перечисленные условия. Среди них существенным является, как правило, лишь второе, составляющее предмет отдельной задачи и широко изучавшееся. Поэтому в главе 4 мы не останавливаемся на подобной тривиальной переформулировке результатов из глав 1-3, а выделяем здесь круг специфичных проблем, сконцентрированных вокруг взаимосвязи кежду свойством систем типа и А) бьггь абсолютно представляющими в й и наличием по ним абсолютно сходящихся нетривиальных разложений нуля, то есть рядов вида £ске( , абсолютно сходящихся в В к нулю, хотя бы один из.коэффициентов которых отличен от нуля. Как известно [24], 2СЛ) в рассматриваемой ситуации не может составлять базис в Н, а потому всякая абсолютно представляющая система ЕС Л) в й допускает в нем абсолютно сходящееся нетривиальное разложение нуля. Обратное верно не всегда £201. Задача о том, когда обращз-

ние все-таки возможно, исследовалась с различных позиций многими авторами (А.Ф.Леонтьевым, В.П.Громовым, D. Ф. Коробейником, С.Н.Мелиховым, С.Н.Фроловым и др.). Так в работах [6]. I20Í для систем экспонент и их обобщений и пространства ffCS) было установлено, что для минимальных в определенном смьсле систем наличие хотя бы одного абсолютно сходящегося нетривиального разложения нуля сразу

ВЛвЧбТ ВОЗМОЖНОСТЬ ПреДСТ &B7IS КИЯ ПО ЧИН ЛТЙОГО ЭЛ5М5НТ2 ИЗ (?),

В последующем метод этих работ был распространен на системы собственных элементов оператора в пространствах Фреше Í241, С251. На этом пути удалось получить общие результаты, охватывающие значительную часть конкретных пространств и систем. Однако ряд использованных в последних из указанных работ ограничений оказался достаточно обременительным и существенно сужал сферу приложений результатов; к примеру, их не удавалось применить к простейшим типам пространств функция, голоморфных в круге и имеющих заданный рост Еблизи его границы. В главе 4 не только снимаются эти ограничения, но и проясняется ситуация вокруг взаимосвязи между свойством системы быть абсолютно представляющей и существованием по ней абсолютно сходящихся нетривиальных разложений нуля. Оказалось, что непосредственная связь (типа критерия при условии определенной минимальности £(л)) зависит от того, совпадают или нет классы мультипликаторов и делителей пространства ДФ).

В § 4.1 в самой общей ситуации в терминах абсолютно сходящихся кетг^еллаяьных разложений нуля получек критерия того, что UЛ) является абсолютно представляющая в И (теорема 4.1.1).

Два следующих параграфа посвящены исследовсоопс вопроса о том, при каких условиях на 5(Л) и Я существование абсолютно сходящегося нетривиального разложения нуля влечет свойство £(Л) быть

абсолютно представляющей в Н. Как известно, подобная импликация в общем случае неверна и a priori требует определенной минимальности & Л) относит эльно U [201; именно, естественны« представляется рассматривать те КЛ), для которых Л - простье нули некоторой функции ¿(А) из &Ф) (не обязательно все).

В § 4.2 дается описание всех абсолютно сходящихся нетривиальных разложений нуля по системе ИЛ), при этом мы рассматриваем чуть более обдую, чем нам необходимо в этой главе, ситуацию. Дело в том, что задача харакгеризации таких разложений представляет , самостоятельный интерес и находит применения в теории операторных уравнений. При некоторых ограничениях, носящю; технический характер. установлено, что если A={\> - простые нули функции UX) из класса КФ+чО («р ~ какой-либо вес), то каадое абсолютно сходящееся разложение нуля в Н по К Л) имеет вид

со CCV

Г-<* V = о,

k-i L'C*. ) * где ССХ) - некоторый мультипликатор из /(Ф) в ЯФ+ф).

Центральным результатом во всей главе является

ТЕОРЕМА 4.3.2. Пусть пара CSC Л);Ю правильна и класс делителей пространства 1(Ф) совпадает с классах отличных да тождественного нуля его лулътиплихаторов. Тогда для того чтобы линшшъная для Н система £(Л) была абсолютно представляющей в Н, необходим, и достаточно, чтобы в Н имелось хотя бы одно абсолютно сходящееся нетривиальное разложение нуля по этой систеле.

Мы не будем здесь подробно останавливаться на понятии правильности. Отметим лишь, что оно практически во всех известна

пространствах эквивалентно принадлежности весовой последователь-

(i)

ности Un|e(M| } классу .

Наконец, в § 4.4 приводятся различны? по характеру примеры----------

пространств и систем, для которых удается применить предыдущие результаты и дать описание всех абсолютно представляющих систем минимального типа. В частности, рассмотрены пространства: всех функций, голоморфных в р-ЕЫПуклой области; целых функций с заданной оценкой индикатора; функций, голоморфных в выпуклой области и. имеющих задании*' рост вблизи ее границы; яросгршктЕО ультралк^г ференцируемых на интервале вещественной оси функций.

Глава 5 посвящена приложениям слабо достаточных множеств и абсолютно .представляющих систем к уравнениям типа снетки. Пусть Н^ - рефлексивные пространства Фресе с топологчями. определяемыми наборами норм (1-й ¡> 00 : и - линейный непрерывный оператор из

п-1

Н^ в Н^ (j=i,2). Лопустин. что система <е(Х): ХеО элементов из ^ л Н2 удовлетворяет условиям 1)-3) (приведенным в начале обзора главы 4) относительно каждого из пространств Ну При зток предполагаем еде. что Ф={<рп( Х)}={ |е( X) |п 2> - последовательность из ограниченного спектра с верхней огкбапвэя <р(Х), а ¿л|е( Х)|п = =9пСХ)+ч>СХ), где ч>Р.) - некоторый вес такой, что Ф+н» также принадлежит ограниченному спектру. Согласно Мартико, оператором типа свертки называется оператор, сопряжзшшЯ к оператору умножения, порождаемому ¿-злрерыаньи мультипликатором /-<: Д В § 5.1

приводится харакгеризация эпиморфности оператора типа свертки в терминах слабой достаточности множеств, дополняющих "провалы роста" функции К X). Как показывает рассмотренный здесь пример оператора р-сЕерткк. получении; результаты близки к оптимальным. По крайней мере, на этом пути удается установить известный критерий В.А.Ткаченкз эгаоюрфностя р-свзртки.

В § 5.2 с помощьв разлсаения нуля по системе ?(Л) дается

полное (включая топологическое) описание ядра оператора типа свертки и критерий его факторизации. Ранее D. Ф. Коробейником- С си.. напр.. i26]) бш разработан метод применения разложений нуля к аналогичным вопросам в теории уравнений р-свертки и поставлена задача о его распространении. Нам удалось решить ее в достаточно общей постановке..

В связи с установленным в § 5.2 критерием факторизации ядра оператора типа свертки и нормальной и однозначной разрешимости систем уравнений типа свертки в § 5.3 исследуется задача о порождающих' для весовых пространств целых функций. В отличие от ставших уже классическими результатов Л.Карлесона, Дж.Келлехера и Б.А.Тейлора. Л.Хермандера (см. С273) и других изучается пространства, не обязательно имеющие структуру кольца. Близкий по духу метод был ранее использован для пространств другого типа 0. В. Епифановым [28] (в одномерном случае). Здесь мы также ограничились функциями одной переменной, хотя аналогичные результаты получены наш для многомерной ситуации.

Автор глубоко признателен профессору D. Ф. Коробейнику за внимание к работе и полезное обсуждение результатов.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Леонтьев А.Ф. О представлении произвольных функций рядами • Дирихле// Дркл.АН СССР. 1955. Т. 154. Je 1. С. 40-42.

2. Леонтьев А.Ф. Ряда экспонент. М.: Наука. 1376. 535 с.

3. Леонтьев А.Ф. Обобщения рядов экспонент. К.: Наука. 1981. 320 с.

4. Коробейник Ю.Ф. Об одной двойственной задаче. I. Общие результаты. Приложения к пространствам Фреше //Матем. сб. 1975.

_____________________________________________z>

Т. 37. .5 2. С. 133-223.

5. Коробейник ИФ. Представляйте системы //Иэз. АН СССР. Сер. матем. 1978. Т. 42. JS 2. С. 325-355.

6. Коробейник D. Ф. Лредставлящие системы //Успехи ."атем. наук. 1981. Т. 35. * 1. C.73-1S.

7. OiiUiprsls L /analytically '.'.г.'.Готт яги snmp яори~ cations// Trans. Аяег. ttath. Soc. 19M. V;i01. N i. H.5X-74.

8. Напалков В. В. О дискретных достаточных множествах в некоторых пространствах целых функций //Докл. АН СССР. 1980. Т.250. & 4. С. 809-812.

9. Напалков В. В. О дискретных слабо достаточных множествах в некоторых пространствах целых функций //Изв. АН СССР. Сер. матем. 1981. Т. 45. .6 5. С. 1088-10S9.

10. Schneider D.M. Sufficient sets for some spaces of entire functions //Trans. Amer. Math. Soc. 1974. V.197. p.161-180.

11. Iyer V.G. On effective sets of points in relation to integral functions /Дгяач.йег. Math.Soc. 1037. V.A2. P.358-365.

.12. ¡СоробеРлпсс К вопросу о представляющих, системах //Антуа-ты-гш есттр. "arc;:, акглизз. Рсстон-на-Дэиу: Изя-во РГУ. 1973. С. 100-111.

13. Коробейник Ю. Ф.. Леонтьев А. Ф. О свойстве внутрь-про-должаемости представлящих систем экспонент //Мат. заметки. 1250. 7.28. Я 2. С.243-254.

14. Сехерин А. Б. Представление функций краткими рядами экспонент. Дис. ...канд. физ.-мат. наук. У£а. 1582.

15. Пямухаметов Р. С. Аллроксииация субгармонических функций //Anal. Hath. 1985. Т.Н. Я 3. Р.257-282.

16. Братищев А.З. Дрстаточныз условия интерполяционности

множества в классах цельс. функций, .сарактеризуемых индикатором //Дэхя. АН СССР. 1384. Т. 279. А 5. С. 1035-1039.

17. Пасечнмк Г.М. Геометрическая характеризация множества показателей представляющей системы экспонент для пространства H(G) //¡¡руж. АН СССР. 1980. Т. 25?.. Л 3. С. 553-555.

18. Гришин А. Ф., Руссаковский А.М. Свободная интерполяция целыми функциями //Теория функций, фуюсцион. анализ и их прилож.. ВыВ.44. Харьков: Иэд-во ХГУ. 1985. С. 32-42.

19. Абанин А. В. Некоторые свойства представляющих систем и базисов. Дис—канд. риз.-хат. наук. Ростов-на-Дону. 1981. 122 с.

20. Коробейник Ю.Ф. Интерполяционные задачи, нетривиальные разложения нуля и представляйте системы //Изв. АН СССР. Сер. ка-тем. 1980. Т.44- Л 5. Cï 1066-13114.21. Коробейник С.Ф'. О некоторых представляющих системах в

*■ *

пространствах аналитических функций " //Изв. АН СССР. Сер. натек. 1933. Т. 47. JE S. С.1224г1247. ' ■

22. Мельник В.И. Об одной универсальной системе экспонент //Укр. матек. журн. 137S. Т. 31. Я 2. С.192-195.

23. Коробейник Ю.Ф. Абсолстно-представляющке системы и слабо достаточное множества //Изв. Сев.-Кавк. науч. центра высз. школы. Сер. естеств. наук. 1991. 6 3. С. 4-3.

24. Коробейник Ю. Ф. Нетривиальные разложения нуля в теории прэдст£в.тккких систем //Изв. вузов. Матемгт. 1992. Jê 7. С. 25-35.

25. Громов В.П. Нетривиальное разложение нуля и лредстазля-' ющие системы собственных зекло'ров линейного оператора //Докл. "АН

СССР. 1991. Т. 319. * А. С.801-В05. »

26. Коробейних Ю.Ф. О ядре оператора свертки //Ростов, гос. ун-т.: "Ежегодник"91. Ростов-на-Дону: Изд-во РТУ. 1992. С.32-43.

27. Напалков В. В. Уравнения свертки в многомерных простран-----------

ствах. М.:Наука. 1982. 240 с.

28. Епифанов О.В. О разрешимости неоднородного уравнения Кс-ши-Римана в классах функций, ограниченных с весом или системой весов //Мат. заметки. 1992. Т. 52. Л 1. С. 83-92.

СПИСОК РАБОТ АВТОРА. ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

29. Абанин A.B. О распределении зф*ектк5нкх множеств и внутрь-продолжаемости представляющих систем Миттаг-Леффлера //Мат. заметки. 1^3. Т. 33. Ji 5. С. 657-660.

30. Абанин A.B. Свойства слабодостаточньк множеств.. Приложения к абсолшю-представлявдим системам экспоне:гг в многомерных пространствах //Исслед. по матем.. физ.. нех. и процессам управл. Тез. докл. Уфа: Башк. филиал АН СССР. 1^3. С. 5.

31. Абанин A.B. О некоторых признаках слабой достаточности //III International conference on complex analysis and applications. Summaries. Varna: Bui. Acad. Sei. 1985. P.3.

32. Абанин Л. В. О свойствах и распределении на плоскости эффективных множеств //Изв. Сев. -¡Савк. науч. центра вьси. школы.

Сер. естеств. наук. 1385. * 3. С.34-37. - .....

33. Абанин A.B. Об универсально-представляющих системах Миттаг-Леффлера //Теория функц. и приближ. Труды 2-й Сарат. зимн. школы. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 4.2. 1986. С. 3-6.

34. Абанин A.B. О некоторых признаках слабой достаточности //Мат. заметки. 1986. Т. 40. A 4. С. 442-454.

ЗБ. Абанин A.B. Распределение показателей представляющих систем обобщенных экспонент //Тез. докл. Всесоквн. симпозиума по теории приблия. функц. Уфа: Баше, филиал АН СССР, is87. с. 3-4.

ЗБ. Абанин A.B. О продолжении ч устойчивости слабо достаточных множеств //Изв. вузов. Математ. 1387. £ 4. С. 3-10.

37. Абанин A.B. Слабо достаточные множества и их свойства //Актуальныз вопр. матем. анализа. Ростов-на-Дрну: Изд-во РТУ. 1987. С. 72-74.

38. Абанин A.B. Слабо достаточные множества в некоторых пространствах целых функция //Теория функц. и приближ. Труды 3-й Са-рат.зимн. школы. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 4.1. 1987. С. 118-120.

35. Абанин A.B. Распределение показателей представляющих систем обобщенных экспонент //Исслед. ш компл. анализу. Уфа: Башк. филиал АН СССР. 1987. С. 5-14.

40. Абанин A.B. Распределение показателей представляющих систем обобщенных экспонент //Мат. заметки. 1991. Т. 49. Л 2. С. 3-13.

41. Абанин A.B. Характеризация минимальных систем показателей представляющих систем обобщенных экспонент //Изв. .вузов. Математ. 1991. Л 2. С. 3-12.

42. Абанин A.B. О некоторых свойствах слабо достаточных множеств для пространств экспоненциальных функций //Матем. анализ и его прилов. Ростов-на-Дрну: Изд-во РГУ. 1992. С. 3-9.

43. Абанин A.B. Геометрические критерии представления аналитических функций радами обобщенных экспонент //Докл. АН СССР. 1992. Т. 323. Л 5. С. 807-610.

44. Абанин A.B. Достаточные множества в весовых функциональных пространствах //Теория функц. и приближ. Труды 5-й Сарат. зимней школы. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 4.1. 1992. С. 108-110.

45. Абанин А. В. Порождающие в общих классах весовых функциональных пространств голоморфных функций и их приложения //Алгебра и анализ: Те'з. докл. мевдунар. науч. конф. _Ч.И. Теория функц. и

приближ., функц. анализ, краев, задачи для дифференц. уравн. в частн. произв. Казань: Изд-во Казан, ун-та. 1994. С.З.

46.. Абанин А. В. Минимально абсолютно представляющие системы //Тез. докл. научной школы по конструкт, теории функц. Махачкала: Иэд-во ДГУ. 1994. С. 3-4.

4?. Дйздя A.B. О представлении функций рядами экспонент и универсальных классах вшуюшх областей в //Линейннв операторы в компл. анализе. Ростов-на-Дэну: Изд-во РГУ. 1994. С. 3-9.

48. Абанин A.B. Густые пространства и аналитические мультипликаторы //Изв. вузов. Сев. -Кавк. регион. Сер. естеств. наук. 1994. JE 4. С. 3-10.

49. Абанин A.B. Слабо достаточные множества минимального типа и построение абсолютно-представляющих систем обобщенных экспонент //Деп в ВИНИТИ 23.12.1994 г. & 3016-В94. 40 с.

50. Абанин A.B. Порождающие в общих классах пространств голоморфных функций //Докл. Акад. наук. 19^. Т. 342. А 4. С. 43Э-441.

51. Абанин A.B. НетривиальньЕ разложения нуля и абсолютно представляющие системы//Мат. заметки. 1995. Т. 57. А 4. С. 483-497.

т4.