Некоторые классы полных систем, достаточные и эффективные множества тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. АППРОКСИМАЦИЯ В ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С УЧЕТОМ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРИБЛИЖАЮЩИХ ЛИНЕЙНЫХ КОМБИНАЦИЙ

§1.3- полные системы элементов.

§2. Абсолютная полнота системы степеней в пространстве аналитических функций.

§3. Абсолютно представляющие и абсолютно приближающие системы в пространстве Фреше.

§4. Абсолютно приближающие системы в канонических индуктивных пределах нормированных пространств. Связь с абсолютно представляющими системами.•.

ГЛАВА II. ДОСТАТОЧНЫЕ И ЭФФЕКТИВНЫЕ МНОЖЕСТВА

§1. Г|(1;) - определяющие множества.

§2. у-достаточность и у-эффективность.

ГЛАВА III. АБСОЛЮТНАЯ ПОЛНОТА СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ В ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

§ 1. Абсолютно полные системы экспонент с целыми показателями.

§2. Абсолютная полнота систем экспонент с показателями в нулях целой функции экспоненциального типа.

§3. Геометрические условия абсолютной полноты систем экспонент в пространстве А(0).

п.1. Приведем некоторые часто используемые в работе обозначения, определения и вспомогательные результаты. Всюду ниже символами 14, 1Ч0, Ъ, К, С обозначаются множества всех натуральных, целых неотрицательных, целых, вещественных и комплексных чисел соответственно. Для множества С) комплексной плоскости С и точки г е С р(г, := {|г - у : у е }- расстояние от ъ до ; Кк := {г е С : ъ < Я} -открытый круг с центром в начале координат радиуса Я > 0. Определим пространство А0(С) всех аналитических в области в расширенной плоскости С функций £ (:Г(со) = 0, если ооеО) с топологией, задаваемой набором преднорм Рд(Г) = БИр!]:^)!: ъ е }, где Р - любое замкнутое подмножество в. Сопряженное к этому пространству допускает изоморфную реализацию Кете-Теплица [48] в виде некоторого пространства аналитических функций. Напомним эту реализацию в случае односвязной в С области 1 в. Пространство А(0) алгебраически изоморфно векторному пространству А0(с\о) классов локально аналитических на множестве С\0 функций, исчезающих в бесконечно удаленной точке. Пусть ¿еА0(с\о) - класс эквивалентности, содержащий росток g; ^ е А(С); Г- контур (замкнутая спрямляемая жорданова кривая), лежащий в О, внутренность которого сог держит все особенности £. Изоморфную реализацию А(С) в виде А0(с \ в) осуществляет оператор

Р: й е А0(с \ с) е А(О)',Ф|^) = /Г(г)8(г)<1г.

711 р

Приводимые ниже сведения из теории локально выпуклых пространств (л.в.п.) можно найти, например, в [34]. Пусть Е - л.в.п. с топологически сопряженным к нему пространством Е';о(Е',Е) (|3(Е',Е)) - слабая (сильная) топология в Е'. Мы будем использовать также эти понятия в более общем случае, когда л.в.п. Е и Б образуют дуальную пару. Через А0 обозначим поляру (в Е') множества А с Е: А0 := {ф 6 Е': | ф(х) | < 1, Ух е А }. Всякому абсолютно выпуклому поглощающему в Е множеству А можно сопоставить преднорму рА(х) И^ { А, > 0 : X Е ^А }, которая называется функционалом

Минковского множества А . Символом асопуА будем обозначать замкнутую абсолютно выпуклую оболочку множества А в Е, а бочкой, как обычно, в л.в.п. назовем всякое его абсолютно выпуклое поглощающее замкнутое подмножество. Пространством Фреше называется полное метризуемое л.в.п. Примером пространства Фреше может служить л.в.п. A(G). Отметим, что выписанный выше алгебраический изоморфизм F становится топологическим изоморфизмом a0(c\g) и сильного сопряженного a(g)ß при наделении пространства Ао(С \ G) соответствующей индуктивной топологией.

Выделим особо случай, когда область G р-выпукла, 0 < р < оо [15]. Предполагаем (при р Ф 1), что О eG. Пусть h(-ö) — ее р-опорная функция; Кп- последовательность р-выпуклых компактов, исчерпывающих G изнутри, с р-опорными функциями hn(-0); [p,h(ö)) - множество всех це ln| y(rei6)| лых функций, у которых индикатор при порядке р h (6) := lim

Г—>00 J-P меньше, чем h(ö). В [p,h(9)) вводится топология индуктивного предела последовательности банаховых пространств у е [р, h(0)): || у I := sup--- < со >, n > 1. В силу обобzec exp|z| hn(argz) щенной теоремы Полиа, обобщенное преобразование Бореля Г t устанавливает топологиD к к=0 к=0 V Р у ческий изоморфизм между пространствами [р, Ь(б)) и А0(С \ в), так что а(0)р можно отождествить с [р,Ь(б)).

Если О- ограниченная р-выпуклая область, то в векторном пространстве а(о) локально аналитических на О функций вводится топология индуктивного предела последовательности банаховых пространств Ас (Оп) аналитических вОпи непрерывных в Опфункций с зир-нормой. Здесь Оп-ограниченная р-выпуклая область с р-опорной функцией (— б), ьп+1(е)>ьп(е)>ь(е) (п = 1,2,.) и ншьп(е)=ь(е),уе. как известно п—>00

15], А^в) - Ь]ЧГ -пространство, то есть [35] внутренний индуктивный предел последовательности банаховых пространств, каждое из-которых вложено вполне непрерывно в последующее. Пространство А (Ототождествляется с [р,Ь(в)] = рго] где

У е [р, • || У | : Эйр---<Со\,}>1. гесехр^! ^(ш^) п.2. Настоящая диссертация посвящена исследованию приближений элементов л.в.п. линейными комбинациями элементов фиксированной последовательности с определенной оценкой на коэффициенты этих комбинаций. Начало этому направлению теории аппроксимаций было положено в работе Ф.Дейвиса и Ки-Фана [45], а также в серии статей С.Я.Хавинсона 60 - 61гг. (см., например, [38]). Последний из авторов пришел к указанной теории, отправляясь от более конкретных задач, связанных, в частности, с экстремальными проблемами для аналитических функций, удовлетворяющих дополнительным ограничениям, и аппроксимацией на множествах аналитической емкости нуль. Дальнейшее развитие абстрактная теория усиленно полных систем получила в работах С.Я.Хавинсона [39], [40]. Вместе с тем, в настоящее время известен целый ряд конкретных результатов, дополняющих и усиливающих в направлении учета коэффициентов классические аппроксимацион-ные теоремы Вейерштрасса, Мюнца, Лаврентьева и др. Некоторые из этих результатов были получены с использованием специальных приемов, но без привлечения общей теории работ [45], [38] - [40]: Дж.Стафни [51], М.Голичек и Д.Левиатан [53], Р.М.Тригуб [37], В.И.Гурарий и М.А.Мелетиди [8]. Другие авторы (Ф.Дейвис и Ки-Фан [45], С.Я.Хавинсон [40], О.А.Мурадян [30], В.В.Напалков [32], И.Ф.Красичков-Терновский [21] ) частично или целиком опирались на принципы двойственности экстремальных задач, лежащих в основе абстрактной теории усиленной полноты. Следует отметить, что в подавляющей части перечисленных работ изучается поведение вполне определенных систем элементов в наиболее употребительных банаховых пространствах (в частности, - степенной и экспоненциальной систем в пространстве С[а, Ь] непрерывных на отрезке [а, Ь] функций). При этом почти не изучен случай, когда аппроксимация ведется в произвольном л.в.п.; мало исследован вопрос о полноте с учетом коэффициентов важных в приложениях систем в конкретных ненормированных функциональных пространствах.

Содержание диссертации изложено в трех главах. Первая глава посвящена построению общей теории приближений с ограничениями на коэффициенты в локально выпуклых (не обязательно нормированных) пространствах. В §1 главы I, по-видимому, впервые в такой общей форме вводятся (определения 1.1.1 и 1.1.2) два класса полных систем с ограничениями на коэффициенты: 3-полные и ослабленно 3-полные системы. Учет коэффициентов приближающих линейных комбинаций здесь ведется с помощью некоторого набора 3 = { С) } абсолютно выпуклых подмножеств пространства Ф всех финитных последовательностей скаляров. Частные случаи 3-полноты и ослабленной 3-полноты вводились ранее. Так, О(р) полнота С.Я. Хавинсона [39] в нормированном пространстве соответствует случаю, когда 3 состоит из одного множества () :={сеФ:р(с)<1} (р - преднорма на Ф). Для преднорм р вида (^>0 заданы) Н и > 1) такие системы изучались Ф.Дейвисом и Ки-Фаном [45]. В частности, при Sj =1 0=1,2,.) получаем абсолютно полные и ослабленно абсолютно полные системы, введенные И.Ф.Красичковым-Терновским (для банаховых пространств) [21] и Ю.Ф.Коробейником (для произвольных л.в.п.) [57] соответственно. Основным результатом §1 первой главы является теорема 1.1.1, устанавливающая критерий 3 -полноты системы элементов отделимого л.в.п. (о.л.в.п.) в двойственных терминах слабо ограниченных множеств сопряженного пространства. Для определенного класса пространств, сопряженные к которым допускают реализацию в виде некоторого пространства аналитических функций, этот результат формулируется в более удобном для применения виде (теорема 1.1.3) в терминах введенных в п.2 §1 3-определяющих множеств. Это позволяет подключить к изучению 3-полных систем теорию аналитических, в частности, целых функций. Такой подход не нов и применялся ранее при изучении разложений в ряды (см., например,

15], [17]).

Во втором параграфе главы I рассматриваются важные частные случаи усиленно полных систем - абсолютно полные и ослабленно абсолютно полные системы (а.пол.с. и ос.а.пол.с. соответственно). В основе их изучения лежит следующее утверждение, вытекающее из теоремы 1.1.1.

Теорема 1.2.1 .Последовательность Х = (хк)^=1 элементов о.л.в.п. Е является а.пол.с. в Е тогда и только тогда, когда Х°— <т(Е',Е)ограниченное множество в Е'.

В качестве приложения теоремы 1.2.1 получено описание абсолютно (ослабленно абсолютно) полных систем степеней с весами в пространстве

А(0).

Теорема 1.2.3. Пусть О — содержащая начало координат односвяз-ная область в С с границей сО и (10 := тТ^г : ъ е 50} -расстояние от О до dG. Пусть, далее, а = (ак)к=0 - некоторая последовательность поло

1/ жителъных чисел и a+=limakk. Если dG<a+, то система к->оо

Z. :=

VakA=0 не является ослабленно абсолютно полной в A(G). Если же dG > а+, то система Za абсолютно полна в A(G).

Теорема 1.2.4. Пусть G — односвязная область в С, 0 £ G; последоX вательность Х = (Хк)^=0 чисел е N0 возрастает и lim—= 1; к->оо к

- /А, а^ >0, к = 0,1,2,., и а^:=Ита(кк. Если dG>a^, то система к->оо а

V к Ук=0 абсолютно полна в A(G). Если dG < &х, то Z^ не является ос.а.пол.с. в А(С).

В заключении §2 первой главы устанавливается существенность требования "густоты" последовательности X в условии теоремы 1.2.4. Строятся также примеры, показывающие, что в неохваченной теоремой 1.2.4 ситуации а^ < dG < а^ абсолютная (ослабленно) полнота системы существенно зависит от структуры расходящейся последовательности f у а k

V А=о

В §§3,4 вводятся в общих л.в.п. и изучаются в пространствах Фреше и канонических индуктивных пределах (КИП) последовательностей нормированных пространств (то есть, внутренних индуктивных пределах Е = кк1Еп п—> с непрерывными вложениями Еп<-»~ Еп+1, П = 1,2,.) различные классы абсолютно приближающих систем (АПрС).

Определение 1.3.1. Последовательность X = (хк)к=1 элементов л.в.п.

Е с определяющим топологию набором преднорм Р назовем АПрС в Е , если для любых X Е Е и р Е Р найдется константа С < оо такая, что всяким 5 q Е Р и 8 > 0 соответствует линейная комбинация у = Скхк со свойS ствами: q(x-y)<8, Ск |р(хк) < С. к=1

АПрС является частным случаем 3-полных систем (достаточно положить 3 = {Qp}рер, Qp = <[с = (ск)к=] ЕФ:Х|ск|р(хк)<4). к=1

Определение 1.4.1. Последовательность Х = (хк)к=1 элементов л. в.п. Е назовем секвенциально АПрС (САПрС) в Е, если для любых х е Е и р 6 Р можно подобрать константу С < оо и последовательность s S

1 I / \

X ск пхк - сходящуюся к х в Е, так, чтобы sup ^ Ск п р(хк ) < С. к=1 ' Jn=i п>1 к=1

Определение 1.4.2. Систему элементов X = (хк )к=1 из Е назовем равномерно САПрС (PCАПрС) в Е, если для произвольного хеЕ найдется последовательность s Л

ХСк,пХк сходящаяся к х в Е, со свойством

Vk=1 Л=1 sn

Slip Ckn p(xk)<oo для каждой преднормы p G P. n>l k=l

Напомним, что абсолютно представляющей системой (АПС) [15] в л.в.п. Е называется последовательность X = (хк )к=1 ненулевых элементов

Е такая, что всякий элемент х из Е можно представить в виде ряда

00 х=^Скхк, абсолютно сходящегося в Е. Используя технику, развитую к=1

Ю.Ф. Коробейником в [15], [17] для приведенного проективного предела [11] Е = рго] (Еп, | • | ) последовательности банаховых пространств, Ю.Ф.

-п

Коробейник и автор получили следующий результат [56].

Теорема 1.3.2. Пусть X = (хк )к=1 - последовательность ненулевых элементов пространства Фреше Е с определяющим топологию набором преднорм рт, т>1. Система X будет абсолютно представляющей в Е тогда и только тогда, когда \/п > 1 Зт > 1 ЗСП < оо : Уф е Е' С \

8ир{|ф(х)|:х е Е, рт(х)< 1 }< Cn sup Ф

X,

Рп(Хк1

•Рп(хк)>0

Из теорем 1.3.2, 1.2.1 и свойств ограниченных множеств в сопряженном пространстве следует, что в пространстве Фреше при условии

Рп (хк ) > 0' п> к - 1>2,.--, свойства последовательности X = (хк )к=1 быть АПрС, САПрС, РСАПрС и АПС равносильны между собой и тому, что

Уп>1 хк

- а.пол.с. Потребность в понятиях САПрС и РСАПрС

1Рп(Хк)Л=1 вызвана переходом к пространствам с более сложной топологической структурой. В качестве базового пространства в §4 взят КИП последовательности нормированных пространств. Ранее АПС в таких пространствах изучались в работах [15], [18], [28]. Следуя Ю.Ф.Коробейнику [15], будем говорить, что КИП Е = И1с1Еп л.в.п. Еп обладает свойством (Уо), если для всякой послеп—> довательности (хк)к=1 элементов из Е такой, что ряд ^хк абсолютно схок=1 дится в Е, найдется номер п, для которого множество { хк }к=1 содержится в со

Еп и ряд 2>к абсолютно сходится в пространстве Еп . Если для всякой по-к=1 следовательности (хк)к=1 элементов из Е, содержащейся в некотором про

00 странстве Еп и такой, что ряд ^ хк абсолютно сходится в Е, найдется нок=1 оо мер ш, для которого ряд ^хк абсолютно сходится в Ет, то говорят [28], к=1 что Е обладает свойством

Р-(У0). Согласно [27], КИП Е = ШЕп л.в.п. г, п-> а-регулярен (соответственно, (3-регулярен), если каждое множество, ограниченное в Е, содержится в некотором пространстве Еп (соответственно, если каждое множество, ограниченное в Е и содержащееся в одном из пространств Еп, будет также ограничено в некотором Ет). Наконец, КИП Е называется регулярным [11], если любое ограниченное в Е множество содержится и ограничено в некотором Еп (то есть, если Е одновременно а -и (3-регулярно). В обзорной статье [15] устанавливается такой результат.

Теорема А. Пусть Е -сильное сопряженное к рефлексивному пространству Фреше, обладающее свойством (У0), Е = тс1Еп, Еп- банаховы п-»

Пусть, далее, последовательность

Хк

X = (хк )к=] удовлетворяет условиям: хкеЕ, к = 1,2,.); 1ш1^ = 0 п-> пространства с нормами ™ хк п = 1,2,.). Для того, чтобы система X была абсолютно представляющей в Е, необходимо и достаточно, чтобы \/п > 1 Зт > 1 ЗАп < оо :

8ир{|ф(х)|: х е Еп, | х ||п < 1 }< Ап зир г \ ф хк :к >1

X,

V к ш )

Уф е Е'.

Позднее в [28] было показано, что для КИП Е последовательности нормированных пространств Еп наличие свойства (Уо) равносильно регулярности

Е. Но каждое сильное сопряженное к рефлексивному пространству Фреше может быть представлено [42] в виде регулярного КИП последовательности банаховых пространств. Поэтому теорема А дает фактически критерий для АПС в произвольном сильном сопряженном к рефлексивному пространству Фреше. Возникает естественная задача: будет ли равномерная по ф е Е' нехк ф

X.

V к т обходимым и достаточным условием того, что X - АПС в Е (без всяких ограничений на X)? В диссертации показывается, что эта оценка необходима для того, чтобы X была АПС в Е, причем в качестве Е можно взять произвольный регулярный КИП последовательности банаховых пространств. В то же время строится последовательность простых дробей, не являющаяся АПС в пространстве А(Кк ), но удовлетворяющая выписанной выше оценке. Таким образом, установлена существенность ограничений, наложенных на X в условии теоремы А. Отсутствие удобного в применении критерия для последовательности X без каких-либо ограничений на ее расположение и рост затрудняет, в частности, выяснение вопроса о возможности разложения функций из А (в) в абсолютно сходящиеся в А(о) ряды по фиксированной системе простых дробей. В этой связи представляет определенный интерес общий критерий того, что последовательность X = (хк элементов регулярного КИП последовательности нормированных пространств (Еп, • || ) образует в нем РСАПрС. Применительно к ЬТЧ* -пространству (или строгому КИП) Е критерий, установленный в §4 (теорема 1.4.2) выглядит следующим образом: X - РСАПрС в Е <=> Ух е Е Зт > 1 ЗВХ < сю: ф(х)|<Вх81ф'

Г \

Ф хк : х. е Ет > к т х,

V к т/ УфЕЕ'.

Для получения этого результата в п.1 §4 гл.1 вводится новое ретрактивное свойство (3-(У0) (определение 1.4.3) и доказывается его равносильность свойству (3-(У0) (теорема 1.4.1). Из теоремы 1.4.2 получается ряд любопытных следствий. Во-первых, если X - РСАПрС в ЫМ* -пространстве Е, удовлетворяющая дополнительным ограничениям из условия теоремы А, то X будет АПС в Е. Так, всякая РСАПр в А(о) система Миттаг-Леффлера

Вр(А,кг))£ с —> оо является в А(о) АПС (О-р-выпуклая ограниченная область). Во-вторых, из теоремы 1.4.2 вытекает существование РСАПрС, не являющейся АПС. Пример такой системы простейших дробей в А(Кк ) (п.4 §4) показывает качественное отличие теории приближающих систем в пространствах Фреше от аналогичной теории в индуктивных пределах. 1 V изучаются в п.З §3 в проК

Более подробно системы вида ъкУк=1 с индуцированной из А(в) топологией т странстве л.0 с индуцированнои из /ци) топологиеи т0. Возможность представления функций из различных пространств рядами по системе простых дробей, оценки на коэффициенты таких рядов (ряды Вольфа-Данжуа) и свойства функций, допускающих указанное представление, были предметом исследования в работах Дж.Вольфа [52], А.Данжуа [44], А.А.Гончара [7], Т.А.Леонтьевой [25], [26], Ю.Ф.Коробейника [16], Р.В.Сибилева [36] и др.

Г л

Один из первых примеров АПС вида 1 ъ-Х не являющейся базисом, кЛ=1 был построен в [43]. При этом авторы работы [43] для специального банахо-вого пространства аналитических функций установили, что возможность представления каждой функции из этого пространства рядом Вольфа-Данжуа равносильна существованию нетривиального разложения нуля (н.р.н.) по соответствующей системе простых дробей. Первые примеры н.р.н., тесно связанные с вопросом о единственности разложений функции в ряды ^--—, к=1 ъ — Хк были построены Вольфом [52]. В дальнейшем Данжуа [44] в примерах по. Достаточные условия едина, добного рода удалось получить оценки на ственности, выраженные в терминах скорости убывания | ак , неоднократно уточнялись [25], [26], [7]. Законченный результат в этом направлении полунедавно Р.В.Сибилевым [36]: для того, чтобы из условий чен оо а к к=1 г — А,, 0, ъ > 1, ак < Сек (вк -I б) следовало ак = 0, к > 1, необ

00

1П8, ходимо и достаточно, чтобы ^ —— —00 • Эта теорема находит естественк=1 ное применение к вопросу о возможности разложения функций из а(о) в ряды Вольфа-Данжуа, сходящиеся равномерно внутри жордановой области О, с коэффициентами, убывающими с заданной скоростью [36, §9]. Однако, доказательства Сибилева существенно используют специфику жордановой области, и потому остается открытым вопрос о справедливости результатов [36] в более общих классах областей О. В этой связи отметим работу

Ю.Ф.Коробейника [16], в которой для широкого класса областей О в С установлена связь (типа критерия) между наличием н.р.н. в О по системе

1 V —

- и возможностью разложения любой функции £ 6 А0(о) в ряд

2~К]к=1 ао со —-—, ^ | ^ < со, сходящийся к Г по топологии т0. Возникает нерек=1 ъ — к=1 шенная пока следующая задача. Пусть О - область в С, О^С, От^С; Хк £ О, к = 1,2,. Каково должно быть множество Л = {^к}к=1' чт°бы по 1 Т —

- образовывала АПС в (А0 (в), Т0)? Выбор (А0(о),т0) в качестве исходного пространства обусловлен, в частности, отсутствием в А0(0) абсолютно представляющих систем вида Бд [16, §1]. В диссертации поставленная задача решается для АПрС. Основным результатом является

Теорема 1.3.3. Пусть О — область в С, О ^ С, 50 = <ЭО — компакт в С, С \ О связно. Пусть, далее, Л = (А,к )к=1 - последовательность попарно следовательность Бд :=

00 различных точек из С \ О. Для того, чтобы система Б а 1 л была

АПрС в пространстве (Ао(о), Тс;необходимо и достаточно, чтобы

50 с; А. Если еще А ограничена, то условие сЮ с: А является необходимым и достаточным для того, чтобы Бд была а.пол.с. (или, что все равно, ос.а.пол.с.) в (А0(о),т0).

При доказательстве теоремы 1.3.3 используется общая теория АПрС (§3), основанная на переходе к сопряженному пространству, и методика работы [16].

Вторая глава посвящена изучению достаточных множеств в индуктивных пределах весовых пространств целых функций.

Систематические исследования различных вопросов представления аналитических функций функциональными рядами (см., например, [24], [17], [31], [9], [29]) выявили особую роль, которую играют такие множества в указанной тематике. Как показано Ю.Ф. Коробейником ([15], [17]), в ряде важных в приложениях функциональных пространств имеется двойственная связь: система (Г (/^г))^, где Г - целая функция с определенными свойствами, является АПС в Е О множество Л = {Хк }к=1 слабо достаточно для сопряженного пространства Е'. При этом множество 8 называется слабо достаточным [50] для индуктивного предела А весовых пространств Ап целых в См функций, если исходная топология в А совпадает с некоторой "дискретной" топологией, построенной по множеству 8 (точное определение см. в п.1 §1 гл.П).

В §1 гл.П вводятся и изучаются в общей ситуации работы [1] определяющие множества, в терминах которых можно описать как слабо достаточные множества, так и множества, возникающие при изучении абсолютно полных и абсолютно приближающих систем. Слабая достаточность множества 8 для А легко выражается через условие непрерывного вложения каждого банахова пространства Ап в некоторое определенное множеством 8 полунормированное пространство [17]. А.В.Абанин заметил [1], что если 8-множество единственности для А, то при естественных ограничениях на А соответствующие непрерывные вложения могут быть заменены обычными [1, теорема 2]. Основной результат §1 гл.П (теорема 2.1.3) распространяет теорему 2 из [1] на Т]^)-определяющие множества. Он используется затем в §2 гл.П и §3 гл.Ш при изучении у-достаточных множеств и абсолютно полных систем экспонент.

Второй параграф второй главы целиком посвящен введенным Ю.Ф.Коробейником у-достаточным множествам и их связи с абсолютно полными и абсолютно представляющими системами Миттаг-Леффлера.

Пусть Ь(б) - 2п -периодическая р-тригонометрически выпуклая функция, 0 < Ь(0) < оо; 0 < у < 1, ут Т 1 .В соответствии с общим определением [20] множество А = {^к}к=1сС называется у-достаточным для пространства [р,Ь(0)), если \/ос < у Зш > 1 ЗСа < со :

5иР-Р-'[У] , V Уу€[р,Ь(е)). Негесехра^! ща^г) к>1 ехрут| Ак| п(аг§Ак) ограниченное множество А назовем у-эффективным для [р,И(Э)), если lim

Z—»со

L , 1 - у + Ш H vy е [p,h(e)). При у = 1 onz I h(argz) I Xk| h(arg^k) ределение эффективного множества дано Ийером [47] для h(6) = G и распространено Ю.Ф.Коробейником и А.В.Абаниным ([15],[1]) на случай произвольной р -тригонометрически выпуклой функции h(0) (положительной при р Ф 1). Связь между у -достаточными и у -эффективными множествами устанавливают теоремы 2.2.1 и 2.2.2. В частности, в пространстве [p,h(9)) эти понятия совпадают (следствие теоремы 2.2.2). Полученные в п.1 §2 гл.П результаты обобщают соответствующие теоремы А.В.Абанина, установленные для у = 1, и доказываются тем же методом. В п.2 §2 у-достаточные для p,h(e)) множества A = {A,k}k=1 характеризуются определенным аппрокси-мационным свойством систем Миттаг-Леффлера (Sp(A,kz))™' —'вр Л в р-выпуклой области G с р -опорной функцией h(— б) (предложение 2.2.2). В предложении 2.2.3 доказано, что всякое у-достаточное для [p,h(6)) множество порождает абсолютно представляющую в каждом из пространств (A(G),TaG) систему 8рд, а <у. Приводится пример, показывающий, что обратное утверждение неверно. В заключении §2 дана оценка снизу для отличной от тождественного нуля целой функции, обращающейся в нуль во всех точках у-достаточного для [p,h(9)) множества.

Основная задача, поставленная в третьей главе, состоит в следующем. Пусть G - выпуклая ограниченная область в С, А = )к=1 - последовательность попарно различных комплексных чисел; М = (Mk)k=1, Мк > 0, к = 1,2,. Требуется установить, когда система f F л,м ех к У к=1 будет абсолютно полной в A(G). Впервые вопрос об абсолютной полноте системы вЛМ (в пространстве С[а, Ь]) был поставлен И.Ф.Красичковым-Терновским [21]. Пусть п"(г) обозначает число точек множества П в круге {г: ъ — Х < г }. Говорят [21], что последовательность Л имеет конечную концентрацию, если ЗА > 0: п^(г)<Аг, УаеС,

Уг>г0. Положим ©8 :=| е:|0|<|-б1и| е:|е-тг|<^-б!>;

I ХкеА'|Лк ] л):= {б:8е ^ ф }; Н(9):=М

1пМ,

Пш : Л'

ХкеЛ'

Н(э) = со, если

80=ф); Б:= р|{2:Яеге-10 <н(б)}. Основной результат работы [21] о<е<2я теорема 1) утверждает: если Л имеет конечную концентрацию и С03(8>о), то для того, чтобы 8ЛМ была абсолютно полной в

С [а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы множество ОП[а,Ь] состояло не более чем из одной точки.

Изучение абсолютно полных систем экспонент было продолжено Г.Н.Шиловой [41]. Ею получено достаточное условие того, что £ЛМ а.пол.с. в В-пространстве Ас(о) для ограниченной выпуклой области О. Чтобы сформулировать его, напомним определение индекса концентрации ^ 8 2 пл(г)-1

1(Л) последовательности Л [41]: 1(А)=НтНт—г [ у '-с1г. Моди

8->° Ъ 0 г фицировав определение множества 8е всех подпоследовательностей Л' с Л, вполне сгущающихся в направлении Э и)

§0 :=\ А'аА:Хк , >со, агё^к . >6, Ал, > 4-е) длина проекции О на перпендикулярную лучу агёг = —9 прямую, АЛ,-минимальная плотность А') и построив по нему (как и выше) функцию Н(0) и множество Г.Н.Шилова установила следующий результат [41]: если 1(Л) = 0 и ЭИдв* = ф, где в* то 8ЛМ - а.пол.с. в Ас(о).

Содержание третьей главы настоящей диссертации примыкает к исследованиям [21], [41]. В §1 главы III доказан ряд утверждений, относящихся к системе ВЛ м, последовательность показателей которой либо ограничена, либо составлена из целых чисел. При этом используется теорема 1.2.4 и некоторые классические результаты теории целых функций (теорема Картрайт и др.). В §2 задача абсолютной полноты системы ВЛ м исследуется для показателей Л = (А,к )к=1, являющихся нулями целой функции Ь экспоненциального типа ( ц.ф.э.т.). Такой выбор последовательности Л берет свое начало от работ А.Ф.Леонтьева (см., например, [24]). Достаточное условие абсолютной полноты 8ЛМ в A(G) формулируется в §2 в традиционных [15], [2] терминах оценок снизу на рост функции L (глобальный) и ее производной (в точках Хк). Ц.ф.э.т. имеет вполне регулярный рост (в.р.р.) на луче . . lnL(rei0)| arg X — В [22], если существует предел hL(0) = lim--, где Е0 - не

Г—>со гге0 1 которое множество нулевой относительной меры, то есть mes(E f](0,r)) lim-— ' = 0. Функция L, имеющая в.р.р. на каждом луче неко

Г-»СО Jторого угла а < argz < ß, называется функцией в.р.р. внутри этого угла. В случае а = 0, ß = 2п L называют просто функцией в.р.р. Приведем основной результат §2 гл. III.

Теорема 3.2. Пусть G - ограниченная выпуклая область в С с опорной функцией h(-6)>0; L - ц.ф.э.т. с индикатором hL(0)<h(0) и простыми нулями Л = (Хк )к=1. Рассмотрим условия:

1) L имеет вполне регулярный рост внутри некоторой пары вертикальных углов Г, и Г2, содержащих вещественную ось, и

Г) L имеет вполне регулярный рост в каждом из углов Tj ! j arg Л, — 0j < Xj, гдеXj>о, o<0!<e2<.<en<27t, o<ej+1-ej<7i ren+1:=e1+27r;,MhL(ej)=h(0j)Ji<j<n;

2)3ae[l,0]\{0}, 3co>0: limi— + coh(arg^k)}<0;

4M J

3) 8ЛМ -а.пол.с. в A(G).

Справедливы импликации: 1), 2 ) => 3 ); Г ), 2) => 3).

Результаты подобного рода для АПС экспонент хорошо известны [15], [2]. Основным моментом их доказательства является использование рядов Лагранжа. При доказательстве теоремы 3.2 дополнительно привлекаются теорема Фрагмена-Линделефа и теория функций класса Картрайт. Теорема 3.2 применяется к у-достаточным множествам (следствие 1) и к одной задаче А.Ф.Леонтьева [23] о целой функции в.р.р. (следствие 2). Наконец, в §3 гл.Ш условие абсолютной полноты системы Вл м в А(С) формулируется в геометрических терминах. Следуя А.В.Братищеву [6], будем называть величину

Yn = lirT1!im

1 5|?'n^k(r)-l

8—>0 к—>oo f dr индексом конденсации последовательности Q. Нам понадобятся также следующие характеристики: dQ(a, р) = lim lim ""fr ;ß);dn(6) := lim dn(6 - s, 8 + e); kil (k - l)r h(e):=h e+ h e 0 e [0,2п). Здесь h(-B) - опорная функция выпуклой области G; nQ (r, kr; a, ß) - число точек из Q, попавших в сектор {z: г < kr, а < argz < ß }. Величина dQ(oc,ß) участвует в определении минимальной угловой плотности [12] и использована в [3] для геометрической характеризации показателей представляющих систем экспонент.

Определим для 60 Е [0,2тс) совокупность S0o (Л) всех подпоследовательностей Л0 с: Л таких, что Хк ——>оо и argA,k —^^—>Э0, и по

1пМ, ложим lim а м,л lim к—>00 м'л(0о)- ^6л(е0) ^ 1пМ, Ул(е0) Для Л(0о)е\(Л)- ПУСТЬ к' кН^КУ

Следующее утверждение, являющееся основным результатом §3, близко по духу цитированным выше теоремам И.Ф.Красичкова-Терновского и Г.Н.Шиловой. Некоторым усилением, по сравнению с этими теоремами, здесь является отказ от условия уЛ = 0.

Теорема 3.3.3. Пусть О — выпуклая ограниченная область в С с опорной функцией Э) > 0; М = (Мк )к=р Мк > 0; Л = )к=1, Хк е С. Пусть, далее, л < 1 и имеются совокупности направлений 0 и подпоследовательностей {Л(90 )}е 0, Л(Э0)е 8е (Л), обладающие свойствами:

ФА.

2п i)veoe0 dA(„o)(e0)>

И) множество Р) {Ыеге 100 < ^мл(е0) } содержится в О .

0О60

Тогда £л м - абсолютно полная система в А(О). В заключении §3 на основе теоремы 3.3.1 для любой 2п-периодической тригонометрически выпуклой положительной функции И (б)

18 и произвольного У G (0,l) строится у-достаточная для [l,h(9)) последовательность Л = (А,к )к=1 с конечным набором предельных точек множества {arg Хк }к=1. Построение такого множества при у = 1 возможно лишь для функций h(9) специального вида. Показывается существенность условия <3^ Л <1 и точность теоремы 3.3.1.

Результаты диссертации неоднократно докладывались на научном семинаре кафедры математического анализа Ростовского госуниверситета (руководитель - Ю.Ф.Коробейник). Они также сообщались на международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ" (г.Тула, май 1998г.), на международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова в Абрау-Дюрсо (сентябрь 1998г.), на семинаре под руководством В.А.Осколкова в МИФИ (г.Москва, 1999г.)

По теме диссертации опубликовано 8 работ, 4 из которых выполнены в соавторстве с Ю.Ф.Коробейником. В совместных работах Ю.Ф.Коробейнику принадлежит постановка задачи, указание общего метода решения, а В.Б.Шерстюкову - проведение детальных доказательств.

Работа поддержана грантами РФФИ 96-01-01041 и 99-01-01018.

Автор искренне признателен своему научному руководителю профессору Ю.Ф.Коробейнику за постоянную помощь в работе и ряд ценных замечаний, способствовавших улучшению содержания диссертации.

1. Абанин A.B. О некоторых признаках слабой достаточности. - Матем.заметки, 1986, т.40, №4, с.442-454.

2. Абанин A.B. Характеризация минимальных систем показателейпредставляющих систем обобщенных экспонент. Изв. вузов. Математика, 1991, №2 (345), с.3-12.

3. Абанин A.B. Геометрические критерии представления аналитическихфункций рядами обобщенных экспонент. ДАН, 1992, т.323, №5, с. 807810.

4. Братищев A.B. К одной задаче А.Ф. Леонтьева. ДАН СССР, 1983, т.270,2, с.265-267.

5. Братищев A.B. Один тип оценок снизу целых функций конечного порядкаи некоторые приложения. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1984, т.48, №3, с.451-475.

6. Братищев A.B. Достаточные условия интерполяционности множества вклассах целых функций, характеризуемых индикатором.-ДАН СССР, 1984, т.279, №5, с.1036-1059.

7. Гончар A.A. О примерах неединственности аналитических функций.Вестник МГУ, 1964, №1, с.37-43.

8. Гурарий В.И., Мелетиди М.А. Об оценках коэффициентов полиномов,аппроксимирующих непрерывные функции. Функциональный анализ и его приложения, 1971, т.5, №1, с.73-75.

9. Епифанов О.В. Дискретизация множеств , слабо достаточных дляпространств аналитических функций. Деп. ВИНИТИ, №3984-84, 7с.

10. Знаменский C.B. Об областях существования аналитических решений дифференциального уравнения бесконечного порядка с постоянными коэффициентами. Красноярск, 1976, 12с. (Препринт/АН СССР. Сиб. отд-ние; Ин-т физики им. Л.В. Киренского, ИФСО - 6М).

11. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. -М.: Физматгиз, 1959, 683с.

12. Кондратюк A.A. Целые функции с конечной максимальной плотностью нулей. I. Теория функций, функциональный анализ их приложения, 1970, в. 10, с.57-70.

13. Коробейник Ю.Ф. О полноте одной системы аналитических функций. -Матем. сборник, 1965, т.67(109), №4, с.561-569.

14. Коробейник Ю.Ф. К вопросу о представляющих системах. В кн.: Актуальные вопросы математического анализа, изд-во Ростовского ун-та, 1978, с.100-111.

15. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы. Успехи матем. наук,1981, т.36, в.1, с.73-126.

16. Коробейник Ю.Ф. К вопросу о разложении аналитических функций вряды по рациональным функциям. Матем. заметки, 1982, т.31, №5, с.723-737.

17. Коробейник Ю.Ф. Индуктивные и проективные топологии. Достаточныемножества и представляющие системы. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1986, т.50, №3, с.539-565.

18. Коробейник Ю.Ф., Мелихов С.Н. Реализация сопряженногопространства с помощью обобщенного преобразования Фурье-Бореля. Приложения. Сб.: Комплексный анализ и математическая физика. Красноярск, 1988, с.62-73.

19. Коробейник Ю.Ф. Абсолютно представляющие семейства и реализациясопряженного пространства. Изв. вузов. Математика, 1990, №2, с.68-76.

20. Коробейник Ю.Ф. Максимальные и у -достаточные множества.