Пространства ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и абсолютно представляющие системы экспонент в них тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Пространства ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и аналог теоремы Пэли-Винера-Шварца.

§1.1 Предварительные сведения.

§1.2 Весовые банаховы пространства пробных функций.

§1.3 Пространства пробных функций типа Берлинга.

§1.4 Пространства ультрадифференцируемых функций типа Берлинга

§1.5 Ультрараспределения.

§1.6 Теорема типа Пэли-Винера-Шварца.

Глава 2. Абсолютно представляющие системы экспонент и их свойства (многомерный случай).

§2.1 Основные определения и вспомогательные результаты.

§2.2 Связь абсолютно представляющих систем экспонент и слабо достаточных множеств.

§2.3 Р-кратно ненулевые дискретные абсолютно представляющие системы экспонент.

§2.4 Специальный класс абсолютно представляющих систем экспонент

Глава 3. Абсолютно представляющие системы экспонент минимального типа (одномерный случай).

§3.1 Постановка задачи, основные определения и структура главы

§3.2 Пространство непрерывных мультипликаторов.

§3.3 Формулировка основного результата главы.

§3.4 Достаточные условия для абсолютно представляющих систем минимального типа.

§3.5 Описание абсолютно сходящихся нетривиальных разложений нуля по минимальным системам.

§3.6 Пример абсолютно представляющей системы экспонент минимального типа.

Список обозначений.

Актуальность темы. В диссертационной работе изучаются пространства ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и абсолютно представляющие системы экспонент в них. Пространства бесконечно дифференцируемых функций с ограничениями на рост производных изучались с разных позиций многими математиками и имеют широкую сферу применений (см., например, [4], [25]-[27], [33], [34], [42], [44] и библиографию к ним). Одно из важнейших направлений в изучении этих пространств тесно связано с теорией распределений и ее приложениями [38], [39], [41], [43], [45]. Так, Р.Брауном, Р.Майзе и Б.А.Тейлором [41] было осуществлено обобщение подхода Берлинга-Бьорка, основанного на определении пространств ультрадифференцируемых функций и соответствующих пространств ультрараспределений через весовую функцию. Суть этого подхода заключается в том, что берется одна весовая функция а;, а пространства определяются с помощью весовых последовательностей двух типов и {^l^-i- В частном случае ш(г) — гр пространство, соответствующее последовательности совпадает с пространством Жеврея порядка 1//?, которое, как известно, используется в математической физике и теории тригонометрических рядов. В то же время, такие важные классы пространств, которые задаются последовательностями {qnujгде qn /• q0 или qn \ q0, q0 € (0,со), до сих пор в общей ситуации не изучались.

С другой стороны, в последнее время возрос интерес к изучению абсолютно представляющих систем в различного рода пространствах. Во-первых, это обусловлено тем, что решению задач, связанных с разложениями в ряды по фиксированной последовательности функций из различных пространств, в анализе всегда уделялось особое внимание. Во-вторых, развитие теории абсолютно представляющих систем в локально выпуклых пространствах позволило найти новые подходы к изучению некоторых других важных вопросов, связанных, например, с задачей о разрешимости различных функциональных уравнений (в частности, уравнений типа свертки), задачей Копти для уравнений в частных производных, задачей конструктивного построения решений таких уравнений и, наконец, проблемой продолжения по Уитни. Отметим, что впервые понятие абсолютно представляющих систем было введено Ю.Ф.Коробейником в [7], под влиянием работ А.Ф.Леонтьева. Исследования в рамках данной тематики проводились в дальнейшем многими авторами (глав-ньш образом, Ю.Ф.Коробейником [7]—[12], [15]—[19], [46], [47], а также, В.В.Напалковым [28]—[30] и их учениками и последователями) и достаточно интенсивно проводятся в настоящее время.

В связи с вышеизложенным представляется актуальной задача о распространении полученных результатов из [41] на случай пространств ультрадифференцируемых функций, задаваемых последовательностями общего вида и изучение абсолютно представляющих систем экспонент в них.

Цели работы. В диссертационной работе исследованы следующие аспекты сформулированной выше задачи:

- определение и изучение некоторых свойств пространств ультрадифференцируемых функций типа Берлинга, построенных по произвольной весовой последовательности; описание топологически сопряженных к ним, получение аналога теоремы типа Пэли-Винера-Шварца;

- применение полученных результатов к исследованию абсолютно представляющих систем экспонент в пространствах ультрадиф-ференцируемых функций типа Берлинга; получение критерия для абсолютно представляющих систем в этих пространствах в терминах слабо достаточных множеств для сопряженных пространств;

- установление двойственной связи между возможностью продолжения по Уитни ультрадифференцируемых функций с толстого компакта во все пространство ШР и существованием в соответствующем пространстве абсолютно представляющих систем экспонент с чисто мнимыми показателями;

- описание абсолютно представляющих систем минимального типа в пространствах ультрадифференцируемых функций типа Берлинга специального вида в одномерном случае.

Отметим, что в диссертации рассмотрен лишь случай пространств ультрадифференцируемых функций типа Берлинга (то есть, для неубывающей по п последовательности весовых функций wn), хотя исследования, касающиеся первой главы, также проведены и для пространств типа Румье (то есть, для невозрастающей весовой последовательности) и опубликованы в [51].

Методы исследования. В диссертации, в основном, используются классические методы теории обобщенных функций, функционального анализа и теории целых функций. При исследовании абсолютно представляющих систем в пространствах ультрадифференцируемых функций типа Берлинга применяются подходы и результаты, развитые ранее Ю.Ф.Коробейником и А.В.Абаниным, а в задаче о двойственной связи между абсолютно представляющими системами экспонент и продолжением по Уитни - Ю.Ф.Коробейником.

Научная новизна и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми, носят теоретический характер и могут найти дальнейшее применение, например, к задачам разрешимости уравнений типа свертки и продолжения бесконечно дифференцируемых функций по Уитни.

Апробация работы. Основные результаты неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры математического анализа Ростовского госуниверситета (руководитель - профессор Ю.Ф.Коробейник), на студенческих научных конференциях механико-математического факультета Ростовского госуниверситета, на Международной школе-семинаре по геометрии и анализе памяти Н.В.Ефимова (Абрау-Дюрсо, сентябрь 1998 года).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, список которых приведен в конце литературы. Результаты главы 1 опубликованы в [51]—[53], главы 2 - в [54], [55], [57], [58], главы 3 - в [56]. В совместной с научным руководителем работе [51] по результатам главы 1 А.В.Абанину принадлежит постановка задачи и определение общих параметров метода доказательства теорем 2 и 3, а Е.С.Тищенко - все остальные результаты и доказательство теорем 2 и 3.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 58 наименований. Определения, предложения, теоремы и следствия имеют свою нумерацию. Объем диссертации - 124 страницы машинописного текста.

1. Абанин А.В. Слабо достаточные множества и абсолютно представляющие системы// Дисс. на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону. 1995. 268с.

2. Абанин А.В. О представлении голоморфных функций рядами обобщенных экспонент/ / Комплексный анализ, дифф. уравнения, численные методы и приложения. II. Комплексный анализ. Уфа. 1996. С.5-9.

3. Абанин А.В. Характеризация классов ультрадифференциру-емых функций, допускающих аналог теоремы Уитни о продолжении// Докл. РАН. 2000. Т.371. №2. С.151-154.

4. Бадалян Г.В. Квазистепенной ряд и квазианалитические классы функций. М.: Наука. 1990. 208с.

5. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.:Наука. 1964. 412с.

6. Епифанов О.В. Вариации слабо достаточных множеств в пространствах аналитических функций// Изв.вузов.Математика. 1986. № 7. С.50-56.

7. Коробейник Ю.Ф. Об одной двойственной задаче.1.Общие результаты. Приложения к пространствам Фреше // Матем. сб. 1975. Т.97. № 2. С.193-229.

8. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1978. № 2. С.325-355.

9. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы экспонент и нетривиальные разложения нуля // Докл.АН СССР. 1980. Т.252. № 3. С.528-531.

10. Коробейник Ю.Ф. Интерполяционные задачи, нетривиальные разложения нуля и представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1980. Т.44. № 5. С.1066-1114.

11. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // Успехи мат. наук. 1981. Т.36. № 1. С.73-126.

12. Коробейник Ю.Ф. Индуктивные и проективные топологии. Достаточные множества и представляющие системы // Изв. АН СССР. 1986. Т.50. № 3. С.539-565.

13. Коробейник Ю.Ф. Непрерывные мультипликаторы функциональных пространств// Теория функций и приближений. Труды 3-й Саратовской зимней школы. Саратов: Изд-во Сарат.ун-та. 4.1. 1987. С.30-40.

14. Коробейник Ю.Ф. О мультипликаторах весовых функциональных пространств//Anal.Math.1989. Т.15. №2. P.1Q5-114.

15. Коробейник Ю.Ф. Нетривиальные разложения нуля по абсолютно представляющим системам. Приложения к операторам свертки// Мат. сб. 1991. Т.182. № 5. С.661-680.

16. Коробейник Ю.Ф. Нетривиальные разложения нуля в теории представляющих систем// Изв. вузов. Матем. 1992. № 7. С.26-35.

17. Коробейник Ю.Ф. О задаче Коши для линейных систем с переменными коэффициентами. Рукопись депонир. в ВИНИТИ 25.07.97. №2501-В97. 64с.

18. Коробейник Ю.Ф. О сходимости рядов в локально выпуклых пространствах//Изв. вузов. Матем. 2001. № 8. С.60-70.

19. Красичков-Терновский И.Ф. Одна геометрическая лемма, полезная в теории целых функций, и теоремы типа Левинско-го// Матем. заметки. 1978. Т.24. № 4. С.531-546.

20. Леонтьев А.Ф. О представлении произвольных функций рядами Дирихле//Докл. АН СССР. 1965. Т.164. №1. С.40-42.

21. Леонтьев А.Ф. Представление функций обобщенными рядами Дирихле// Успехи мат. наук. 1969. Т.24. № 2. С.97-164.

22. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.:Наука. 1976. 536с.

23. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М.:Наука. 1983. 176с.

24. Любич Ю.И., Ткаченко В.А. О восстановлении бесконечно дифференцируемых функций по значениям их производных в нуле// Теория функций и функциональный анализ и их приложения. 1969. Вып.2. С.134-141.

25. Мандельбройт С. Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. Применения. М.:ИЛ. 1955. 266с.

26. Митягин Б.С. О бесконечно дифференцируемой функции с заданными значениями производных в точке// Докл. АН СССР. 1961. Т. 138. № 2. С.289-292.

27. Напалков В.В. О дискретных слабо достаточных множествах в некоторых пространствах целых функций // Изв.АН СССР. Сер. матем. 1981. Т.45. № 5. С. 1088-1099.

28. Напалков В.В., Секерин А.Б. Слабо достаточные множестваи представление аналитических функций многих переменных рядами Дирихле// Докл.АН С ССР. 1981. Т.260. №3.C.535-539.

29. Напалков В.В. О сравнении топологий в некоторых пространствах целых функций// Докл. АН СССР. 1982. Т.264. № 4. С.827-830.

30. Напалков В.В., Мусин И.Х. О полиномиальной аппроксимации в весовом пространстве целых функций// Докл. АН. 1994. Т.334. № 1. С.23-25.

31. Робертсон А.П., Робертсон В.Дж. Топологические векторные пространства. М.:Мир. 1967. 257с.

32. Ульянов П.Л. О классах бесконечно дифференцируемых функций// Докл. АН СССР. 1989. Т.305. № 2. С.287-290.

33. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т.1. Теория распределений и анализ Фурье. М.:Мир. 1986. 464с.

34. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. 4.II. Функции нескольких переменных. М.:Наука. 1985. 464с.

35. Шефер X. Топологические векторные пространства. М.:Мир. 1971. 360с.

36. Эдварде Р. Функциональный анализ. М.:Наука. 1969. 1071с.

37. Beurling A. Quasi-analyticity and general distributions// Lectures 4 and 5. AMS Summer Institute. Stanford. 1961.

38. Bjorck G. Linear partial differential operators and generalized distributions// Ark.Mat. 1965. У.6. P.351-407.

39. Bonet J., Braun R.W., Meise R., Taylor B.A. Whitney's exten-tions theorem for non-quasianalytic classes of ultradifferentiable functions// Stud. Math. 1991. V.99. № 2. P. 155-184.

40. Braun R.W., Meise R., Taylor B.A. Ultradifferentiable functions and Fourier analysis// Results in Mathematics. 1990. V.17. P.206-237.

41. Carleson L. On universal moment problems// Math. Scand. 1961. У.9. P. 197-206.

42. Cioranescu I., Zsido L. ы ultradistributions and their applications to operator theory// In "Spectral Theory". Banach Center Publications. V.8. Warsaw 1982. P.77-220.

43. Ehrenpreis L. Fourier analysis in several complex variables. New York: Wiley-Interscience Publishers. 1970. 506c.

44. Komatsu H. Ultradistributions I. Structure theorems and a characterization// J.Fac. Sci. Tokyo Sec. IA 1973. V.20. P.25-105.

45. Korobeinik Yu.F. Nontrivial expansion of zero and absolutely representing systems// Anal. Math. 1992. V.18. №4. P.261-282.

46. Korobeinik Yu.F. On absolutely representing systems in spaces of infinitely differentiable functions // Studia Mathematica. 2000. V.139. № 2. P. 175-188.

47. Schneider D.M. Sufficient sets for some spaces of entire functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1974. V.197. P.161-180.

48. Whitney H. Functiuons differentiable on the boundary of regions// Ann. Math. 1934. V.33. P.482-485.

49. Whitney H. Analytic extension of differentiable functions defined in closed sets// Trans.Amer. Math. Soc. 1934. V.36. P.63-89.Список работ по теме диссертации.

50. Абанин А.В. Тищенко Е.С. Пространства ультрадиффе-ренцируемых функций и обобщение теоремы Пэли-ВинераШварца// Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки.1997. № 2. С.5-8.

51. Тищенко Е.С. Пространства ультрадифференцируемых функций и обобщение теоремы типа Пэли-Винера-Шварца// Деп. в ВИНИТИ, 09.09.98, № 2767 D 98 - 38с.

52. Тищенко Е.С. Пространства ультрадифференцируемых функций и обобщение теоремы Пэли-Винера-Шварца// Тезисы магистр, дисс. студ. мех.-мат. фак-та РГУ. 1997. С.9.

53. Тищенко Е.С. Абсолютно представляющие системы экспонент в пространствах ультрадифференцируемых функций// Научная конференция аспирантов и соискателей. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. 1999. С. 12-13.

54. Тищенко Е.С. О слабо достаточных множествах в одном пространстве целых функций// Научная конференция аспирантов и соискателей. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. 1999. С.26-27.

55. Тищенко Е.С. Специальный класс абсолютно представляющих систем в пространствах ультрадифференцируемых функций типа Берлинга//Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2001. № 1. СД7-19.