Абсолютно представляющие системы подпространств в спектрах локально выпуклых пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

I п

/У

На правах рукописи

Михайлов Константин Андреевич

АБСОЛЮТНО ПРЕДСТАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ ПОДПРОСТРАНСТВ В СПЕКТРАХ ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ

ПРОСТРАНСТВ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону-2010

1

003492381

Работа выполнена в Южном федеральном университете на кафедре математического анализа.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Абанин Александр Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кондаков Владимир Петрович

кандидат физико-математических наук, доцент Шерстюков Владимир Борисович

Ведущая организация: Институт математики с ВЦ УНЦ РАН

Защита состоится 16 марта 2010 года в 15— часов на заседании совета Д 212.208.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Миль-чакова, 8-а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южного федерального университета по адресу : г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан " 11/" февраля 2010 г.

" {9" .

Учёный секретарь диссертационного совета Д 212.208.29

Кряквин В. Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы. В диссертации рассматриваются задачи, относящиеся к функциональному анализу и теории функций. Изучаются абсолютно представляющие системы подпространств в спектрах локально выпуклых пространств.

Как известно, в исследованиях А. Ф. Леонтьева рассматривалась задача о представлении функций, аналитических в некоторой области комплексной плоскости, рядами экспонент. Эти результаты естественным образом привели к появлению теории абсолютно представляющих систем (АПС), которая развивалась, главным образом, в работах Ю. Ф. Коробейника и его учеников А. В. Абанина, Ле Хай Хоя, И. С. Шрайфеля, С. Н. Мелихова, А. В. Михайлова, В. Б. Шерстюкова, а также В. В. Напалкова, А. Б. Секерина и др. Согласно работе Ю. Ф. Коробейника1 последовательность {хк}^! ненулевых элементов полного отделимого локально выпуклого пространства 2*1 называл ется АПС в если любой элемент представим в виде суммы ряда

оо

х = £ скхк, абсолютно сходящегося к х по топологии К к=1

В цикле работ Ю. Ф. Коробейника были заложены основы теории АПС в локально выпуклых пространствах и разработан один из основополагающих методов их изучения, базирующийся на привлечении коэффициентных пространств и теории двойственности.

Впоследствии Ю. Ф. Коробейником2 было введено более общее понятие абсолютно представляющей системы подпространств (АПСП). Последовательность (НкУк=\ нетривиальных векторных подпространств полного отделимого локально выпуклого пространства Р называется АПСП в Е, если

00

любой элемент представим в виде суммы ряда х = е Нк<

к=1

к абсолютно сходящегося к х по топологии Р. Отметим, что если все Нк одномерны, то понятия АПС и АПСП совпадают.

Аналог метода коэффициентных пространств применительно к АПСП в пространствах Фреше и в (1)Р5)-пространствах был построен А. В. Абани-ным.

1 Коробейник Ю. ф. Об одной двойственной задаче I. Общие результаты. Приложения к пространствам Фреше // Матем. сб.- 1975.- Т. 97 - 139:2,- С. 193-229

2Коробейник Ю. ф. О представляющих системах подпространств // Мат. заметки.— 1985.— Т. 38,— №5.— С. 741-755.

Цели работы.

— распространить метод коэффициентных пространств для случая АПСП в пределах проективных спектров (ЬВ)-пространств;

— получить критерий для АПСП в пределе (¿>^5)-спектра при дополнительных ограничениях на структуру системы подпространств;

— установить необходимые и достаточные условия того, что данная система экспонент является АПС в пространстве ультрадифференцируемых функций, задаваемом уточненным порядком. На их основе построить конкретный пример АПС экспонент в пространствах данного вида;

— дать описание АПСП, инвариантных относительно умножения на функцию, в пространствах пробных П-ультрадифференцируемых функций.

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми.

Методы исследований. В работе используются методы функционального и комплексного анализа, теории двойственности и теории целых функций. Также применяется техника коэффициентных пространств Ю. Ф. Коробейника и теория Л-ультрадифференцируемых функций.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретических характер. Полученные в диссертации результаты могут быть полезны в задачах представления бесконечно дифференцируемых и аналитических функций рядами экспонент и разрешимости уравнений типа свертки. Они могут быть использованы специалистами, работающими в Южном федеральном университете, Сибирском федеральном университете, Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, Южном математическом институте ВНЦ РАН и РСО-А, Московском, Башкирском, Новосибирском, Саратовском госуниверситетах, а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научном семинаре кафедры математического анализа Южного федерального университета, а также на Международной конференции «Теория операторов. Комплексный анализ и математическое моделирование» в Волгодонске (2007 и 2009 гг.), на VI Международной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» во Владикавказе (2008 г.), на Международной школе-семинаре по геометрии и

анализу памяти Н. В. Ефимова в Абрау-Дюрсо (2008 г.) и на Международной школе-конференции молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» в Уфе (2009 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть работ, список которых приведён в конце автореферата. В совместных с А. В. Абаниным статьях [1] - [3] А. В. Абанину принадлежит постановка задач и указание метода исследования, а автору диссертации — проведение исследования и доказательство результатов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объём диссертации составляет 105 страниц. Библиография — 46 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, сформулировань! основные результаты, которые выносятся на защиту.

Глава 1.

В первой главе диссертации рассматриваются системы подпространств в пределах проективных спектров (ЬВ)-пространств. Приводятся необходимые и достаточные условия того, что данная последовательность подпространств является АПСП в пределе (DFS)-спектра.

Дадим определение проективного спектра. Пусть каждое Ет — (LB)-пространство, то есть является внутренним индуктивным пределом банаховых пространств (2?mi„,|| -||m,n)S=i' Предположим, что заданы линейные непрерывные инъективные отображения г™+1 из Ет+х в Ет. Положим

Í

Proj°£ := I х = (zm)~=1 G Ет:хт = i™+1xm+i,Vm £ ! I m=1

Proj'£ := (Ц^) j-В^.где

( ос сс ^

В(£) := I (ат) б П Em¡3(bm) € Ц Ет : ат = C+1bm+1 - bm, т б N L

I» т= 1 т— 1 )

Обозначим через гт отображения проектирования из Рго,р£ в Ет, а через Е — пространство Ргоз°5, наделенное топологией проективного предела пространств Ет относительно отображений ¿т. Это пространство называют пределом проективного спектра £ = {Ет,г^+1)^=1. Спектр £ = (£т,г™+1) называется приведенным, если для каждого т 6 N множество 1тЕ плотно в Ет. Далее говорят, что £ = (.Ет,г™+1) является (ИРБ)-спектром, если Ет<п компактно (вполне непрерывно) вложено в Ет;п+\ для всех т, п е N. Напомним также, что внутренний индуктивный предел Г локально выпуклых пространств Г„ (п € называется регулярным, если каждое ограниченное множество в Р содержится в некотором Р3 и ограничено по его топологии.

Рассмотрим последовательность И = {Н^У^х нетривиальных векторных подпространств в Е, для которой гтН^ вложено в пространство Етд, замкнуто в нем (к, 7п £ Р^) и

Нш вир . = о дЛя всех т, п € N. (1)

Основным объектом в теории АПСП выступает коэффициентное простран-

ос оо

ство А:= П У Лт,п с топологией рго] те! Ат,п, где для т, п € N

ш=1п=1 т "

( 00 00 1 Лт,„ := ¡X = (х^ 6 ЦИк : ||Х||т,п := £ 11^1 к» < оо .

I к=1 к=1 )

~ 00 ОО ^

Сопряженное с А пространство А:= [) П Ап,п наделяется топологией

^ т= 1 п—1

тс! рго] Атп, где для каждой пары т, п е N

т п

Ат,п-.= |ф = ЫГ=1е П (Нк)'т,п ■ к=1

Здесь под п понимается пространство, сопряженное с Я* с индуцированной из Ет^п нормой.

В общей теории АПС большое внимание уделено связи между АПС и разрешимостью некоторых интерполяционных задач. Следующий результат является критерием для АПСП в терминах разрешимости интерполяционных

задач и представляет собой обобщение теоремы А* из работы Ю. Ф. Коробейника3. Для его формулировки нам потребуется подпространство тех последовательностей из А, которые дают разложение нуля в Е

R{H) := jx = (а^)^! е А : £ z№> = о|.

Теорема 1. Пусть Е ультраборнологическое пространство и каждое Ет — регулярный индуктивный предел. Последовательность H = (H,t)£lj тогда и только тогда является АПСП в Е, когда выполнены два условия:

(г) однородная задача tp\ak = 0 (k = 1, 2,...) имеет только нулевое решение в Е'\

(■ii) для любой последовательности Ф = (<Pk)kLi G А, для которой

оо

= 0 при всех X = G R(H), имеется такой функци-

k—l

онал if Е Е', что <р\нк — у>к (А £ N).

Для получения функционального критерия для АПСП было использовано удобное для применений описание сопряженного с Е. Пространство Е' наделяется топологией ind где каждое Е*т — пространство Фреше с набором

m

преднорм

IMi;,n := sup {iffi^ : е Ет,П1 гея}, п 6 N.

Следующая теорема является основной в первой главе и содержит необходимые условия для АПСП в пределах (DFS)-спектров и представляет собой обобщение теоремы 3 и необходимой части теоремы 7 из работы Ю. Ф. Коробейника4 и основных результатов работ А. В. Абанина5. Теорема 2. Пусть £ = (£т,г™+1) ~ приведенный (DFS)-cneKmp с Proj1 £ = О, а последовательность 7i — нетривиальных векторных

подпространств в Е такова, что для нее imHk Q подпространства

3Коробейник Ю. Ф. Интерполяционные задачи, нетривиальные разложения нуля и абсолютно представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1980.- Т. 44.— .V«5.- С. 106Ô-1114.

* Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы // УМН.— 1981.-36:1.— С. 73-125.

Б Абаним А. В. О разложении пространств в ряды из подпространств // Актуальные вопросы математического анализа.— Ростов-на-Дону: Изд-во «ГинГо».- 2000.— С. 23-27.

Абанин А. В. Индуктивные абсолютно представляющие системы подпространств // Комплексный анализ. Теория операторов. Математическое моделирование.— Владикавказ: Изд-во ВНЦ РАН, 2006, С. 27-34.

гтНк замкнуты в Етд (к,т еК)« выполнено (1). Если И является АПСП в Е, то условие

Утщ 3т2 Уп2 Эщ ЗС7 < оо : М\'тъП2 < (2)

справедливо для всех <р е Е', для которых ||(у|//к)||т „ < оо при всех п е N.

Обращение теоремы 2 было получено при дополнительном условии, что последовательность Н распадается на две составляющие: «проективную» (#2ь_ и «индуктивную«- (#2А:))£1, относительно которых предполагались выполненными условия:

(]) существует такое в, что для любого п и каждого т > в + 1 найдется Ст,п < оо такое, что для всех к имеем

\\Г-°х\\т-.яЛ<Ст1П\\Гх\\т,п (хеЯ^); (3)

(Й) существует такое в, что для любого т и каждого п > в + 1 найдется Ап,п < оо такое, что для всех к имеем

< А^Нг'яН^-, (х&Н2к). (4)

При этих предположениях был доказан критерий для АПСП в пределах (Л^дЗ^-спектров.

Теорема 3. Пусть £ = (Ет,г™+1) — приведенный (ОРЗ)-спектр с Pгoj1 £ = О, а последовательность Н = (Яь)^ нетривиальных векторных подпространств в Е такова, что для нее гтНк С Етд, подпространства гтЯ& замкнуты в Ет<\ (к,т бМ)и выполнено (1). Предположим далее, что для {Н2к-\)^=1 выполнено условие (3), а для (Яг*)^ — уыовие (4). Для того чтобы ТС была АПСП в Е, необходимо и достаточно, чтобы условие (2) выполнялось для всеху € Е', для которых ||(ИяЛ1тьП < 00 пРи всехп е N.

Отметим, что в работах Ю. Ф. Коробейника и В. Б. Шерстюкова критерии для АПС в пространствах Фреше и канонических индуктивных пределах последовательности банаховых пространств были установлены без предположений типа (1) и требования, чтобы гтЯ/ь С Етд. В случае проективных спектров от этих ограничений избавиться не удается. Одной из причин этого является то обстоятельство, что теория проективных спектров в настоящее время в достаточной для наших целей степени развита лишь для проективных спектров (¿^¿¡^-пространств.

В заключительной части первой главы получены необходимые условия для АПСП в произвольном регулярном индуктивном пределе банаховых пространств.

Пусть (Е, () = тс!(.£п, || ■ ||п) — регулярный внутренний индуктивный предел последовательности банаховых пространств (.ЕУ^, где Еп <—» Еп+\ для любого п £ N. Пусть далее Н = — последовательность нетривиаль-

ных векторных подпространств в Е, причем будем предполагать, что пересечение Нк п Еп замкнуто в Еп для всех к, п 6 N. Справедлива следующая Теорема 4. Если последоватыъностпъ нетривиальных векторных подпространств Н = является АПСП в регулярном индуктивном пределе Е = т<1(Еп, || • ||„), то для любого п 6 N найдется т 6 N и постоянная А = А(п,т) < оо такие, что для всех ц> е Е'

SUP Mir ^ ^SUPSUP \ I fMi, : xw бНкПЕ„ хеЕ„ IfIU ken { ||zW||m

С помощью этой теоремы, было показано, что в пространстве целых функций [1, +оо) нет ни одной АПС вида {eXkZ}(jll! где |Л*| / оо, 6 С, к = 1,2.....

Глава 2.

Возможность разложения в ряды из экспонент бесконечно дифференцируемых функций на фиксированном интервале вещественной прямой исследовалась в работе В. В. Напалкова6, а в статье И. X. Мусина7 рассматривалась задача о представлении такими рядами элементов весового пространства бесконечно дифференцируемых функций на всей вещественной прямой. Отметим также исследования Ю. Ф. Коробейника, в которых изучались абсолютно представляющие системы экспонент с чисто мнимыми показателями.

Вторая глава посвящена изучению АПС экспонент в пространствах уль-традифференцируемых функций типа Румье на конечном интервале, задаваемых уточненным порядком. На основе теоремы 3 был установлен общий критерий для систем экспонент в указанных выше пространствах типа Румье и построена конкретная АПС экспонент. Полученные во второй главе результаты обобщают и уточняют соответствующие аналоги, представленные в

вЯалалкоя В. В. Достаточные множества в одном класса целых функций /'/ Вопросы аппроксимации функций комплексного переменного. Уфа: Башкирский филиал АН СССР. Отдел физики и матем., 1980.— С. 110-115.

^Мусин И. X. О представлении бесконечно дифференцируемых функций рядами экспонент // Мат. заметки.— 2003.— Т. 37.- N3 - С. 402-415.

работе А. В. Абанина и О. В. Шершневой8 для случая обычного порядка.

Пусть С°°(—1,1) — пространство всех бесконечно дифференцируемых на интервале (—1,1) функций.

Четную неотрицательную на К, неубывающую на [0, оо) функцию и будем называть или весом в смысле Брауна-Майзе-Тейлора, если она удовлетворяет следующим условиям

(a) w(2i) = O(oj(t)) при t —> оо, (7) lni = o(w(t)) при t —> оо,

/+оо

-p-dt < 00, (5) tpu(t) •'= w(e') выпукла на R.

С каждым каноническим весом ш, номерами тип свяжем полунормированные пространства

:= i 9 е Ск>( —1, 1) ; llsllmn '•= sup sup \т<оо

( a€N0 [xj<l-l/m enVu\an)

где No = N U {0}, := sup(£j/ — <рш(х)) — сопряженная по Юнгу с

х>0

функцией <Ры{х) = и>{ех).

ОО 00

Рассмотрим 1,1) := |~) U п — пространство улътрадифференци-

п—1

руемых функций типа Румъе с естественной топологией proj ind отно-

m п

сительно которой 1,1) является приведенным проективным пределом

(/^¿^-пространств.

В работе рассматриваются канонические веса Wp(T)(\t\) := t € R

(wpW(0) := 0), задаваемые уточненным порядком /з(г) —+ р 6 (0,1).

Пусть А = {А*}^ (А* ф 0) — возрастающая по модулю последовательность в С с единственной предельной точкой на бесконечности. Для / 6 Н(С) и m, n е N положим

ll/llm,n ■'= sup <„(*), ii/fU = «Ф<„(А*),

геС fceN

где

W f \ _ _\f(z)\_ Г t=V

6Аб&нин А. В., Щершнева О. В. Об одной системе экспонент в пространствах Жеврея {( Изв, Вузов. Сев. Кае. регион. Естественные науки.— 2001.— N3.— С. 3-6.

Сопряженное с £{ирМ)(—1,1) пространство можно отождествить с изоморфным пространством целых функций

1) = {/ е Я(С) : Зт е N V« е N ||/Ц;,п < оо} .

С помощью теорем 2 и 3 был получен следующий общий критерий для АПС экспонент в пространстве £{и,<г)}(— 1, !)•

Теорема5. Для того чтобы система была абсолютно представ-

ляющей системой в £{ир(г)}(—1,1), необходимо, а если Л = {А*}^ распадается на две подпоследовательности Л1 := и Л2 := {А2}^, удовлетворяющие условиям

г 11т | |1тА£|

Ьт ——^гг = оо, Ига -—у-^г = О,

то и достаточно, чтобы выполнялось

Утг Зт2 : Уп2 Эщ ЭС > 0 : ||/||;2,П2 < С\\1\\т„П1 (5)

для всех / £ }(—1,1) таких, что ||/||т1 п < оо при каждом п е N.

С помощью данного результата доказана Теорема 6. Система {е_'Лх}лел, где Л = {±г'7гА;}^11 и {±7гА;}^=1 является АПС в пространстве £{ы (г)}(— 1,1) при любом уточненном порядке р{г). Глава 3.

Одним из направлений в исследованиях Ю. Ф. Коробейника и В. Б. Шер-стюкова было изучение АПС в индуктивных пределах банаховых пространств. Были получены различные критерии того, что данная последовательность элементов является АПС в некотором (£>^5)-пространстве. Впоследствии А. В. Абаниным эти результаты были распространены на случай АПСП. Однако для произвольных индуктивных пределов банаховых пространств подобных критериев пока не получено. Даже в случае строгих индуктивных пределов, которые довольно близки по своим свойствам к (ОРБ)-пространствам, используя технику работ Ю. Ф. Коробейника и В. В. Шер-стюкова, получить схожие результаты для АПС (или АПСП) не удается.

В третьей главе приводятся новые результаты в данном направлении. Получены условия того, что данная система подпространств является АПСП в пространстве пробных Г2-ультрадифференцируемых функций, и с их помощью построены конкретные примеры АПСП в пространствах такого вида. В

настоящей главе существенно используются терминология и некоторые результаты из монографии А. В. Абанина9.

N-весом будем называть произвольную измеримую по Лебегу, локально ограниченную в RN функцию ш : —> [0, +оо), для которой

оо

Je-^d{< оо, /^<00,

R" 1

где w(i) := sup{w(C) : ||С|| < t}\ ||С|| := max |0t| для С = (Съ • • •» 6v) из

1 <k<N

RN.

С каждым N-весом ш и компактом К с непустой внутренностью в М.^ свяжем банахово пространство Т>Ы{К) бесконечно дифференцируемых в RN функций с носителем в К с нормой

IMI« := sup

СбН"

Здесь д(() := / g{x)e~l<x'('> dx — преобразование Фурье функции д; R"

< z,C >= ziCi + • • -xn(n для х = (xi,... ,xw) и С = (Ci.---.Cw) из RN.

Обозначим через W^ (через Wj^) совокупность таких последовательностей N-весов П = (wn)^.!, что для любого натурального п найдется такая постоянная Сп, что для всех С € К"

Wn(C) < w„+i(C) + Сп (соответственно, u>n+i(C) < w„(C) + С„).

По Г2 из Wjy (из И^) образуем векторное пространство

00 / оо \

Цп){К) = f| VUn{K) соответственно, V{n](K) = У VUn(K) ,

П=1 V П=1 /

которое будем рассматривать с топологией проективного (соответственно, индуктивного) предела последовательности пространств (2?<j„(ä"))^Li относительно отображений вложения.

Для открытого в M.N множества G определим пространство T>si(G) := (J Т>п(К), где объединение берется по всем компактам К из КсС

G, и наделим его топологией внутреннего индуктивного предела пространств Т>п(К). Здесь и далее будем писать П без скобок в тех случаях,

аАбанин А. В. Ультрадифференцируемые функции и ультрараспределения.- М-: Наука, 2007.

когда какое-либо обозначение или утверждение касается как П е так и П 6 1Удг. Функции из Vп((?) называются пробными О- ультрадифферен-цируемыми функциями на (?. Пространства £>п((?) принадлежат классу строгих индуктивных пределов.

Пусть П — произвольная последовательность Ы- весов из У/]] или из И^. Будем говорить, что в пространстве Vп(С?) последовательность функций {>ркУк=\ является абсолютным разбиением единицы на компакте К, если

ОО 00

2 <Рк(х) = 1 Для всех х € К, и ряд £ 4>к{х) абсолютно сходится в Т>п{С!) к=1 к=1

к некоторой срезающей функции компакта К. Назовем последовательность нетривиальных векторных подпространств {Нк)^=1 пространства Т>п(0) локальным разбиением единицы в если для любого компакта К С в существует такая последовательность функций (¡рк)^ {<рк £ Щ, к = 1, 2,...), которая является абсолютным разбиением единицы на К,

Получена следующая теорема, которая описывает характеристическое свойство всех АПСП в Vп(С), удовлетворяющих дополнительному свойству замкнутости относительно операции умножения.

Теорема 7. Для того чтобы последовательность нетривиальных векторных подпространств (Я*)^ была АПСП в 2?п((3), необходимо, а в случае замкнутости каждого Нь относительно операции умножения на произвольную функцию из Т>д,{(3) и достаточно, чтобы была локальным разбиением единицы в Т>п(С).

С помощью теоремы 5 был построен конкретный пример АПСП в Т>п(С), а в случае правильных весовых последовательностей показано, что существуют такие последовательности пробных функций, на основе которых можно строить АПСП сразу в целом семействе пространств ультрадиффе-ренцируемых функций. Приведем соответствующий результат.

Напомним, что правильная весовая последовательность определяется как такая последовательность О, = из У/^ или из для которой мож-

но указать канонический вес V, относительно которого при всех п 6 N и

С, V € к"

+1?) < ^п-ц(С) + К1М1), если п из

или, соответственно,

1 (С + П)< ^П(С) + К1М1), если П из И^.

При этом вес v называется ассоциированным с Q.

Возьмем произвольную правильную весовую последовательность ft = (tt>„)5JLi из W}, или из Wff и ассоциированный с ней вес v. Рассмотрим функции ч/ijt € к 6 N, которые являются абсолютным разбиением

единицы в V^(G) на каждом компакте К в G. Под обозначением V^(G) понимается пространство пробных ультрадифференцируемых функций соответствующее весовой последовательности Oj = {nv)^LТогда последовательность подпространств

нк,п-= {gi>k-.gzVa{G)}, fceN.

является АПСП в Vn(G).

Таким образом, выбранная последовательность (универсальна в том смысле, что по ней с помощью подпространств вида Hk$i строится АПСП в Vq(G), где ft — произвольная правильная весовая последовательность, с которой ассоциирован вес v.

Диссертант выражает благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Абанину Александру Васильевичу за постановку задачи, внимание и ценные советы при выполнении работы.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Абанин А. В., Михайлов К. А. Абсолютно представляющие системы подпространств в пределах проективных спектров (£.В)-пространств // Математический форум. Т. 1. Исследования по математическому анализу,— Владикавказ: ВНЦ РАН, 2008.- С. 7-15.

[2] Абанин А. В., Михайлов К. А. Об абсолютно представляющих системах подпространств в проективных спектрах // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти

Н. В. Ефимова - Ростов-на-Дону, 2008 - С. 89-90.

[3] Абанин А. В., Михайлов К. А. Достаточные условия для абсолютно представляющих систем подпространств в (DF5)-cneKTpax // Математический форум. Т. 3. Исследования по математическому анализу.— Владикавказ: ВНЦ РАН, 2009 - С. 9-21.

[4] Михайлов К. А. Представление ультрадифференцируемых функций рядами экспонент // Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании: Тезисы докладов Международной школы конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых,— Уфа: РИЦ БашГУ, 2009.— С. 8.

[5] Михайлов К. А. Представляющие системы экспонент в пространствах ультрадифферецируемых функций типа Румье // Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании». Математика. Т. 1—Уфа: РИЦ БашГУ, 2009,- С. 226-235.

[6] Михайлов К, А. Абсолютно представляющие системы подпространств в пространствах пробных ультрадифференцируемых функций // Изв. Вузов. Сев. Кав. регион. Естественные науки.— 2009.— N6.— С. 8-11.

ИД № 06457 от 19.12.01 г. Издательство ЮРГУЭС. Подписано в печать 18.01.2010 г. Формат бумаги 60x84/16. Усл. п.л. 1,0. Тираж 120 экз. Заказ № 20

ПЛД№ 65-175 от 05.11.99 г. Типография Издательства ЮРГУЭС. 346500, г. Шахты, Ростовская обл., ул. Шевченко, 147

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. АБСОЛЮТНО ПРЕДСТАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ ПОДПРОСТРАНСТВ В ПРОЕКТИВНЫХ СПЕКТРАХ (ЬБ)-ПРОСТРАНСТВ.

1.1. Определение проективного спектра.

1.2. Коэффициентное пространство.

1.3. Описание сопряженного к коэффициентному пространству

1.4. Оператор представления и сопряженный к нему

1.5. Критерий для абсолютно представляющих систем подпространств в терминах разрешимости интерполяционных задач.

1.6. Описание сопряженного к пределу проективного спектра

1.7. Необходимое условие для абсолютно представляющих систем подпространств в пределах (1?^5')-спектров

1.8. Достаточное условие для абсолютно представляющих систем подпространств в пределах (£)^5)-спектров

1.9. Следствия основных результатов для (£>Р5)-простраиств

1.10. Следствия основных результатов для приведенных проективных пределов.

1.11. Необходимое условие для абсолютно представляющих систем подпространств в регулярных индуктивных пределах.

1.12. Системы экспонент в пространстве целых функций [1,+оо).

ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ ЭКСПОНЕНТ В ПРОСТРАНСТВАХ УЛЬТРАДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ.

2.1. Пространства ультрадифференцируемых функций типа Румье.

2.2. Пространства ультрадифференцируемых функций, задаваемые уточненным порядком.

2.3. Критерий для абсолютно представляющих систем экспонент в пространствах ультрадифференцируемых функций.

2.4. Вспомогательные результаты.

2.5. Построение примера абсолютно представляющей системы экспонент.

ГЛАВА 3. АБСОЛЮТНО ПРЕДСТАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ ПОДПРОСТРАНСТВ В ПРОСТРАНСТВАХ ПРОБНЫХ УДЬТРАДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ.

3.1. Пространства Т>о,{0) пробных Г2-ультрадифференцируемых функций

3.2. Критерий для абсолютно представляющих систем подпространств в пространствах

3.3. Построение абсолютно представляющих систем подпространств в пространствах

3.4. Универсальные абсолютно представляющие системы подпространств.

1. В исследованиях А. Ф. Леонтьева, подытоженных им в монографии [23], рассматривалась задача о представлении функций, аналитических в некоторой области комплексной плоскости, рядами экспонент. Эти результаты естественным образом привели к появлению теории абсолютно представляющих систем (АПС), которая развивалась, главным образом, в работах Ю. Ф. Коробейника и его учеников. Определение 1. (см. [11]) Последовательность ненулевых элементов полного отделимого локально выпуклого пространства Р называется АПС в Р, если любой элемент х £ Р представим в виде суммы ряда оо

X — ^ ^ к=1 абсолютно сходящегося к х по топологии Р.

В цикле работ Ю. Ф. Коробейника [11]-[14], [16] были заложены основы теории АПС в локально выпуклых пространствах и разработан один из основополагающих методов их изучения, базирующийся на привлечении коэффициентных пространств и теории двойственности.

Впоследствии в [15] было введено более общее понятие абсолютно представляющей системы подпространств (АПСП).

Определение 2. Последовательность % = (-й^)^ нетривиальных векторных подпространств полного отделимого локально выпуклого пространства Р называется АПСП в Р, если любой элемент х 6 Р представим в виде суммы ряда оо х = ^2х(к\ х{к) енк, к=1 абсолютно сходящегося к х по топологии Е.

В случае, когда Нь одномерны, понятия АПС и АПСП совпадают. Отметим, что аналог метода коэффициентных пространств применительно к АПСП был построен А. В. Абаниным в [2] для пространств Фреше и в [3] для (£)^5)-пространств.

Настоящая диссертация состоит из трех глав и посвящена дальнейшему развитию теории АПСП. Основные цели работы следующие: распространить метод коэффициентных пространств для случая АПСП в пределах проективных спектров (ЬЛ)-пространств; получить критерий для АПСП в пределе (1).Р5)-спектра при дополнительных ограничениях на структуру системы подпространств; установить необходимые и достаточные условия того, что данная система экспонент является АПС в пространстве ультрадифференциру-емых функций, задаваемом уточненным порядком. На их основе построить конкретный пример АПС экспонент в пространствах данного вида; дать описание АПСП, инвариантных относительно умножения на функцию, в пространствах пробных П-ультрадифференцируемых функций.

2. В первой главе диссертации рассматриваются системы подпространств в пределах проективных спектров (1/Л)-пространств. Приводятся необходимые и достаточные условия того, что данная последовательность подпространств является АПСП в пределе (.О-Р^-спектра.

Дадим определение проективного спектра. Пусть каждое Ет — (ЬВ)-пространство, то есть является внутренним индуктивным пределом банаховых пространств {Ет^п, || • ||m,n)£Li- Предположим, что заданы линейные непрерывные инъективные отображения i^+i из Em+i в Ет. Положим

Proj°£ := = (жт)~=1 G Д Ет : хт = i™+1xm+1,Vrn G n| , Proj1^ := ^ Д E^J jВ(£),где

00 оо

Ы£=1 е П Ern\3(bm)™=1 G П т=1 т=1 ат = C+l&m+1 - Ът^ТП G N|.

Обозначим через im отображения проектирования из Proj°£ в Em, а через Е — пространство Proj°£, наделенное топологией проективного предела пространств Ет относительно отображений гт. Это пространство называют пределом проективного спектра £ — (Em,i™+1)™=1. Спектр £ = (Em,i™+1) называется приведенным, если для каждого m G N множество гтЕ плотно в Ет. Далее говорят, что £ — (Em,i™+1) является (DFS) -спектром, если Ет^п компактно (вполне непрерывно) вложено в Ет,п+1 Для всех m, п G N. Напомним также, что внутренний индуктивный предел F локально выпуклых пространств Fn (п G N) называется регулярным, если каждое ограниченное множество в F содержится в некотором Fs и ограничено по его топологии.

Рассмотрим последовательность % — нетривиальных векторных подпространств в Е, для которой imHk вложено в пространство 2?шд, замкнуто в нем (k, m G N) и т lim sup ,,. Х = 0 для всех m, n G N. (1) fc->oc)хеНк \\ЪтХ т,п

Основным объектом в теории АПСП выступает пространство сю сю

А := П и Ат,п с топологией рго] тс! Ат,п, где для га, п е N

771—1 71=1 ТП П

ОО 00

А*,п :={х = (хМ)^ € П^А: : ||Х||т>„ := £ < оо к=1 к=1 ^ оо оо ^

Сопряженное с А пространство А := и ("] Ат^п наделяется тополо

ТП=1 п=1 гией тс! рго] Ат^ где для всех га, п Е N

Ат,п := { Ф = ЫГ= 1 е П Шт,п к=1 зхир : е Ч<4

Здесь под (Нк)'т^п понимается пространство, сопряженное с Н& с индуцированной из Ет>п нормой.

В общей теории АПС большое внимание уделено (в особенности отметим работу [13]) связи между АПС и разрешимостью некоторых интерполяционных задач. Следующий результат является критерием для АПСП в терминах разрешимости интерполяционных задач и представляет собой обобщение теоремы А* из [13]. Для его формулировки нам потребуется подпространство тех последовательностей из А, которые дают разложение нуля в Е оо

Д(70 := \Х = (*<*>)£* х™ = 0 > . к=1

Теорема 1. Пусть Е ультраборнологическое пространство и каждое Ет — регулярный индуктивный предел. Последовательность % = (Н^ь-х тогда и только тогда является АПСП в Е, когда выполнены два условия: г) однородная задача ip\нк = 0 (к = 1, 2,.) имеет только нулевое решение в Е'\

И) для любой последовательности Ф = {ifk)kLi £ для которой оо

Y^ — 0 njpw всея; X = G R^H), имеется такой к=1 функционал <р G Е', что <р\нк — фк G N).

Для получения функционального критерия для АПСП было дано удобное для использования описание сопряженного с Е. Пространство Е' наделяется топологией ind Е^ где каждое Е^ — пространство Фрет ше с набором преднорм ф\\т,п := sup (ll-m^1 : Л е ® G е) , П G N.

L I г ® I |ш,п J

Следующая теорема является необходимым условием для АПСП в пределах (DFS)-спектров и представляет собой обобщение теоремы 3 из [14], необходимой части теоремы 7 из [14] и основных результатов работ [2] и [3].

Теорема 2. Пусть Е = (Em,i™+1) — приведенный (DFS)-cneKmp с Profe = о, а последовательность % = {.Hk)kL\ нетривиальных векторных подпространств в Е такова, что для нее гтНк С Em>i, подпространства гтНк замкнуты в Етд (к,т G N) и выполнено (1). Если % является АПСП в Е, то условие

Vmi 3m2 Vn2 Зщ ЗС < оо : |Mlkn2 < C||(ik)||mi,ni (2) справедливо для всех ip G Е', для которых IK^IhJI|mi п < оо при всех пе N.

Обращение теоремы 2 было получено при дополнительном условии, что последовательность 7i распадается на две составляющие: «проективную» (#2ft-i)jbLi и «индуктивную» (H2k)kLi, относительно которых предполагались выполненными условия: существует такое в, что для любого п и каждого т> э -\-1 найдется СШ)П < оо такое, что для всех к имеем гт"8а;||т5)1 < Ст,п\\гтх\\т^п (х Е Н2к- 1); (3) существует такое б, что для любого т и каждого п > з + 1 найдется £)т,п < оо такое, что для всех к имеем я е н2к). (4)

При этих предположениях был доказан критерий для АПСП в пределах (.0^5)-спектров, который является аналогом и обобщением теоремы 4 из [14], достаточной части теоремы 7 из [14] и основных результатов работ [2] и [3]

Теорема 3. Пусть £ = — приведенный (Л-спектр с

Рго^ 8 = 0, а последовательность % = (Нк)^^ нетривиальных векторных подпространств в Е такова, что для нее гтНк С Етд, подпространства гтНк замкнуты в Етд (к,т Е М) и выполнено (1). Предположим далее, что для (^2^-1)^1 выполнено условие (3), а для (#2/г)ь=1 — условие (4). Для того чтобы % была АПСП в Е, необходимо и достаточно, чтобы условие (2) выполнялось для всех ср Е Е', для которых 11(ИяЛЦ1В < 00 при всех п Е N.

Отметим, что в работах Ю. Ф. Коробейника и В. Б. Шерстюкова (см. [17], [21] и [30]) критерии для АПС в пространствах Фреше и канонических индуктивных пределах последовательности банаховых пространств были установлены без предположений типа (1) и требования, чтобы гтНк С Етд. В случае проективных спектров от этих ограничений избавиться не удается. Одной из причин этого является то обстоятельство, что теория проективных спектров в настоящие время в достаточной для наших целей степени развита лишь для проективных спектров

-пространств (см. [40]).

В заключительной части первой главы, используя методы из [20] и [30], получены необходимые условия для АПСП в произвольном регулярном индуктивном пределе банаховых пространств.

Пусть (-Е1, С) — ind(-E7ri, 11 • ||п) — регулярный внутренний индуктивп ный предел последовательности банаховых пространств (Еп)™=1, где Еп с—>■ Еп+1 для любого n G N. Пусть далее Tí = — последовательность нетривиальных векторных подпространств в Е, причем будем предполагать, что пересечение Н^ПЕп замкнуто в Еп для всех к, п 6 N. Справедлива следующая

Теорема 4. Если последовательность нетривиальных векторных подпространств Tí = (Hk)^Li является АПСП в регулярном индуктивном пределе Е = ind(Еп, II • IL), то для любого п G N найдется т 6 N и п постоянная А = Л(п, га) < оо такие, что для всех tp £ Е' SUp MíH < A sup sup (Kpi : *<*> еНкПЕт x£En ||ж||п km { lFW||m

С помощью этой теоремы, было показано, что в пространстве целых функций [1, +оо) нет ни одной АПС вида {е^}^, где |Afc| оо, Л^ £ С, к = 1, 2, .

3. Возможность разложения в ряды из экспонент бесконечно дифференцируемых функций на фиксированном интервале вещественной прямой исследовалась в работе В. В. Напалкова [27], а в статье И. X. Мусина [26] рассматривалась задача о представлении такими рядами элементов весового пространства бесконечно дифференцируемых функций на всей вещественной прямой. Отметим также исследования Ю. Ф. Коробейника [18], [19] и [37], [38], в которых изучались абсолютно представляющие системы экспонент с чисто мнимыми показателями.

Вторая глава посвящена изучению АПС экспонент в пространствах ультрадифференцируемых функций типа Румье на конечном интервале, задаваемых уточненным порядком. На основе теоремы 3 был установлен общий критерий для систем экспонент в указанных выше пространствах типа Румье и построена конкретная АПС экспонент. Полученные во второй главе результаты обобщают и уточняют соответствующие аналоги, представленные в [7] для случая обычного порядка.

Пусть С°°(— 1,1) — пространство всех бесконечно дифференцируемых на интервале (—1,1) функций.

Четную неотрицательную на Ж, неубывающую на [0, сю) функцию ш будем называть каноническим весом (см. [4, с. 19]) или весом в смысле Брауна-Майзе-Тейлора (см. [35, определение 1.1]), если она удовлетворяет следующим условиям a) oj(2t) = 0(u(t)) при t —У сю, (7) Int — o(u(t)) при t —У oo, оо dt < 00, (5) ipu(t) := (jj(el) выпукла на М.

С каждым каноническим весом и, номерами тип свяжем полу нормированные пространства \9 е С°°(-1,1) : \\д\\^п := sup sup I^M < 00 1 , где No = N U {0}, <Ри(у) := sup(ccy — (рш(х)) — сопряженная по Юнгу с х>0 функцией срш(х) = ш(ех).

00 00

Рассмотрим 1,1) := П U ^тп ~ пространство ультраш=1 п=1 дифференцируемых функций типа Румье с естественной топологией projind£^ , относительно которой £/w\(—1,1) является приведенным п ' т " проективным пределом (1).Р5)-пространств.

В работе рассматриваются канонические веса ир(г) t\):= lipD.iGK (^(^(О) := 0), задаваемые уточненным порядком р(г) —> р 6 (0,1).

Пусть Л = {А^}^-! (Ак 7*- 0) возрастающая по модулю последовательность в С с единственной предельной точкой на бесконечности. Для / £ Н(<С) и т, п £ N положим supК^ {z), \\f\\m,n = zeС fceN где й = , -, z ее.

Согласно [4, глава V, теорема 5.4.4] сопряженное с }(—1,1) пространство можно отождествить с изоморфным пространством целых функций

1) = {/ Е Я (С) : Зт G N Vn G N ||/||^п < оо} .

С помощью теорем 2 и 3 был получен следующий общий критерий для АПС экспонент в пространстве }(—1,1).

Теорема 5. Для того чтобы система {е~гХкХ}™=1 была абсолютно представляющей системой в }(—1,1), необходимо, а если Л = {Afc})^ распадается на две подпоследовательности Л1 := {А^}^ и Л2 := удовлетворяющие условиям lim —1 ^fcl— — оо lim —I — q то и достаточно, чтобы выполнялось

Vmi 3т2 : Vn2 Зщ ЗС > 0 : 11/Ц^ < C\\f\\mi,ni (5) для всех f G A{W/)(r)}(—1,1) таких, что ||/||mi п < оо при каждом n £ N.

С помощью данной теоремы показано, что система {егА:с}лел> где Л = {^Ытгк}™^ U {±7^}^ является АПС в пространстве £{wp(r)}(—1> 1) при любом уточненном порядке р(г).

4. Одним из направлений в исследованиях Ю. Ф. Коробейника было изучение АПС в индуктивных пределах банаховых пространств. В работах [11] - [14] были получены различные критерии того, что данная последовательность элементов является АПС в некотором (ИГЗ)-пространстве. Впоследствии А. В. Абаниным эти результаты были распространены в [3] на случай АПСП. Однако для произвольных индуктивных пределов банаховых пространств подобных критериев пока не получено. Даже в случае строгих индуктивных пределов, которые довольно близки по своим свойствам к (£)^5)-пространствам, используя технику из [11] - [14], получить схожие результаты для АПС (или АПСП) не удается.

В третьей главе приводятся новые результаты в данном направлении. Получены условия того, что данная система подпространств является АПСП в пространстве пробных £7-ультрадифференцируемых функций, и с их помощью построены конкретные примеры АПСП в пространствах такого вида. В настоящей главе существенно используются терминология и некоторые результаты из [4].

Следуя [4, с. 10], N-весом будем называть произвольную измеримую по Лебегу, локально ограниченную в М-^ функцию со : —> [0,+оо), для которой оо

I е-^С < ОО, I < оо,

Я" 1 где := зир{о;(С) : ||<|| < НС11 := |0ь| для С = (Съ • • •, О) из Е*.

С каждым А^-весом и; и компактом К с непустой внутренностью в свяжем банахово пространство Т>Ш(К) бесконечно дифференцируемых в функций с носителем в К о, нормой д\\ы := sup (eRN

Здесь := f д{х)е~г<х^> dx — преобразование Фурье функции д\

RN x, С >= JClCl + • • • xn(n для x = (жь . . . , xn) и С = (Cl) • • •, Gv) из rn.

Обозначим через Wl (через W&) совокупность таких последовательностей iV-весов Q = что для любого натурального п найдется такая постоянная Сп, что для всех £ £ №.N ип{() < i(C) + Сп соответственно, a;n+i(£) < CcVi(C) + Сп). По Q из Wjj (из Wfj) образуем векторное пространство оо vm(K) = f| VUn(K) п=1 оо

I соответственно, P{n}(iT) = VUn{K) п=1 которое будем рассматривать с топологией проективного (соответственно, индуктивного) предела последовательности пространств (1)Шп(К))™=1 относительно отображений вложения.

Для открытого в M.N множества G определим пространство

Vn(G) := (J Va(K), kcg где объединение берется по всем компактам К из G, и наделим его топологией внутреннего индуктивного предела пространств Т>п(К). Здесь и далее будем писать Г2 без скобок в тех случаях, когда какое-либо обозначение или утверждение касается как п е wl, так и Г2 Е Wjy. Функции из Т>п{0) называются пробными Г2- улътрадифференцируемыми функциями на Пространства Рп(С) принадлежат классу строгих индуктивных пределов.

Пусть ^ — произвольная последовательность -/V- весов из И^ или из И^. Будем говорить, что в пространстве Т>о,{0) последовательность функций (</?&) является абсолютным разбиением единицы на компакоо оо те К, если <£>к{%) — 1 для всех х £ К, и ряд абсолютно схок=1 к=1 дится в ^п(С) к некоторой срезающей функции компакта К. Назовем последовательность нетривиальных векторных подпространств (Нк)^=1 пространства локальным разбиением единицы в если для любого компакта К С. С существует такая последовательность функций (<Рк ^ Нк, к = 1, 2,. ), которая является абсолютным разбиением единицы на К.

Получена теорема, которая описывает характеристическое свойство всех АПСП в удовлетворяющих дополнительному свойству замкнутости относительно операции умножения.

Теорема 6. Для того чтобы последовательность нетривиальных векторных подпространств (Нк)&=1 была АПСП в необходимо, а в случае замкнутости каждого Нк относительно операции умножения на произвольную функцию из и достаточно, чтобы была локальным разбиением единицы в

С помощью теоремы 5 был построен следующий конкретный пример АПСП в Рассмотрим открытое локально конечное покрытие (Сгй)^ множества <2, в котором — компакт в С (к = 1, 2,. .). Напомним, что открытое покрытие (С?г-)ге/ (где I — некоторое семейство индексов) множества С? называется локально конечным покрытием если для любого компакта К, лежащего в (2, можно указать лишь конечное число множеств этого покрытия, которые имеют с К непустое пересечение. Согласно [4, следствие 2, с. 51] в пространстве Vо (С?) существует абсолютное разбиение единицы неотрицательными функциями (рк из подчиненное данному локально конечному покрытию

Символом С°°(С?) будем обозначать множество бесконечно дифференцируемых на С функций. По выбранной последовательности (сРк)к^-1 построим векторные подпространства в Т)$\(С) следующего вида

Ы = {т е Vn(G): д е С°°(С)}, к = 1, 2,. .

Тогда по теореме 5 последовательность является АПСП в п(С).

В заключительной части главы показано, что в случае правильных весовых последовательностей существуют такие последовательности (<Рк)™=1 пробных функций, на основе которых можно строить АПСП сразу в целом семействе пространств ультрадифферснцируемых функций. Приведем соответствующий результат.

Следуя [4, пункт 2.3.1], весовую последовательность О, = (о;п)^=1 из Ждг (из будем называть правильной, если при каждом п £ N

1) найдется Сп> 0 :

1п(1 + ПСИ) < К+1(С) - "„(01 + Сп (Се К").

2) существует такой ЛГ- вес г/, что при всех С, 77 Е V) < ^п-ы(С) + Н7!) соответственно, с^п+1(С + "л) ^ ^(С) + г/(7?))

Как показано в [4], для любой правильной весовой последовательности = (сОп)™^ из \Vjif или из И^ можно указать такой канонический вес

16 и, что при всех п G N и rj G

Ып{С + < Wn+l(0 + К1Ы1), еСЛИ ^ из

ИЛИ wn+i(C + 77) < w„(0 + К1М1)> если ^ из и^,

Такой вес v называется ассоциированным с Q.

Возьмем произвольную правильную весовую последовательность П = (шп)™=1 из Wjf или из Wfj и ассоциированный с ней вес и. Рассмотрим функции фк £ T>^(G), к £ N, которые являются абсолютным разбиением единицы в (G) на каждом компакте К в G. Под обозначением понимается пространство пробных ультрадифференциру-емых функций соответствующее весовой последовательности Qi = (пи)^!- Тогда последовательность подпространств

Hk,n:={gi/>k:g eVn(G)}> ке N. является АПСП в £>n(G).

Таким образом, выбранная последовательность (V'fc)fcLi универсальна в том смысле, что по ней с помощью подпространств вида Hk,n строится АПСП в T>q(G)i где Г2 — произвольная правильная весовая последовательность, с которой ассоциирован вес и.

Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научном семинаре кафедры математического анализа Южного федерального университета, а также на Международной конференции «Теория операторов. Комплексный анализ и математическое моделирование» в Волгодонске (2007 и 2009 гг.), на VI Международной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» во Владикавказе (2008 г.), на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова в Абрау-Дюрсо (2008 г.) и на

Международной школе-конференции молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» в Уфе (2009 г.).

По теме диссертации опубликованы б работ ([41]- [46]). В совместных с А. В. Абаниным статьях [41]- [43] А. В. Абанину принадлежит постановка задач и указание метода исследования, а автору диссертации — проведение исследования и доказательство результатов.

Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю профессору А. В. Абанину за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также профессору Ю. Ф. Коробейнику за полезное обсуждение результатов и замечания, способствовавшие улудшению изложения. индуктивном пределе банаховых пространств. С их помощью показано, что в пространстве целых функций [1, оо) нет ни одной АПС вида {еЛ**}£°=1, где |АЛ| / оо, \к е С, к = 1, 2,.

1. Абанин А. В. Характеризация минимальных систем показателей представляющих систем обобщенных экспонент // Изв. Вузов. Математика,- 1991- №2.- С. 3-12.

2. Абанин А. В. О разложении пространств в ряды из подпространств // Актуальные вопросы математического анализа,— Ростов-на-Дону: Изд-во «ГинГо».- 2000,- С. 23-27.

3. Абанин А. В. Индуктивные абсолютно представляющие системы подпространств // Комплексный анализ. Теория операторов. Математическое моделирование.— Владикавказ: Изд-во ВНЦ РАН, 2006, С. 27-34.

4. Абанин А. В. Ультрадифференцируемые функции и ультрараспределения.- М.: Наука, 2007.

5. Абанин А. В., Коробейник Ю. Ф. Абсолютно представляющие системы экспонент в пространстве бесконечно дифференцируемых функций и некоторые их применения // Тезисы Международной конференции памяти Н. В. Ефимова.— Ростов-на-Дону, 1996.— С. 115-116.

6. Абанин А. В., Филипьев И. А. Аналитическая реализация пространств, сопряженных к пространствам бесконечно дифференцируемых функций // Сиб. мат. журн,- 2006,- Т. 47.- №3.- С. 485-500.

7. Абанин А. В., Шершнева О. В. Об одной системе экспонент в пространствах Жеврея // Изв. Вузов. Сев. Кав. регион. Естественные науки.— 2001.— N3,- С. 3-6.

8. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства.- М.: Ин. лит., 1959.

9. Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции.— М.: Наука, 1979,- 320с.

10. Жаринов В.В. Компактные семейства ЛВП и пространства РБ и БРЭ // Успехи мат. наук,- 1979,- Т. 34,- N 4,- С. 97-131.

11. Коробейник Ю. Ф. Об одной двойственной задаче I. Общие результаты. Приложения к пространствам Фреше // Матем. сб.— 1975.—-Т. 97.- 139:2,- С. 193-229

12. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы // Изв. АН. Сер. матем 1978.- 42,- С. 325-355.

13. Коробейник Ю. Ф. Интерполяционные задачи, нетривиальные разложения нуля и абсолютно представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1980.- Т. 44 №5,- С. 1066-1114.

14. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы // УМН.— 1981.— 36:1.- С. 73-125.

15. Коробейник Ю. Ф. О представляющих системах подпространств // Мат. заметки,- 1985.- Т. 38,- №5.- С. 741-755.

16. Коробейник Ю. Ф. Индуктивные и проективные топологии. Достаточные множества и представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. матем.—1986.—Т. 50 — N 3.- С. 539-565.

17. Коробейник Ю. Ф. Абсолютно представляющие семейства и реализация сопряженного пространства // Изв. Вузов. Математика.— 1990.— N2.- С. 68-76.

18. Коробейник Ю. Ф. Абсолютно представляющие системы экспонент с мнимыми показателями в пространствах бесконечно дифференцируемых функций // Докл. РАН.- 2000.- Т. 372.- №1.- С. 17-20.

19. Коробейник Ю. Ф., Мелихов С. Н. Реализация сопряженного пространства с помощью обобщенного преобразования Фурье-Бореля. Приложения// Комплексный анализ и математическая физика,— Красноярск, 1988.- С. 62-73.

20. Коробейник Ю. Ф. , Шерстюков В. Б. Абсолютно представляющие системы в пространствах Фреше. Связь с достаточными множествами // Изв. Вузов. Сев. Кав. регион. Естественные науки.— 1998.— N4,— С. 22-23.

21. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций.— М.: Гостехиз-дат, 1956,- 632с.

22. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент,— М.: Наука, 1976.— 536с.

23. Леонтьев А. Ф. Целые функции. Ряды экспонент.— М.: Наука, 1983,- 175с.

24. Мелихов С. Н. Об абсолютно сходящихся рядах в канонических индуктивных пределах // Мат. заметки.— 1986.— Т. 39.— N6.— С. 877886.

25. Мусин И. X. О представлении бесконечно дифференцируемых функций рядами экспонент // Мат. заметки.— 2003.— Т. 37.— N3,— С. 402-415.

26. Напалков В. В. Достаточные множества в одном классе целых функций // Вопросы аппроксимации функций комплексного переменного. Уфа: Башкирский филиал АН СССР. Отдел физики и матем., 1980,- С. 110-115.

27. Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства.- М.: Мир, 1967.

28. Себаштьян-и-Силва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // Математика,— 1957.— Т. 1.— вып. 1,- С. 60-77.

29. Шерстюков В. Б. Некоторые классы полных систем. Достаточные и эффективные множества: Дис. . канд. физ.-мат. наук.— Ростов-на-Дону, 1999.

30. Шефер X. Топологические векторные пространства М.: Мир, 1971.

31. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения.- М.: Мир, 1969.

32. Boas R. P. Entire functions.— NY: Acad, press, 1954.

33. Bonet J., Braun R. W., Meise R., Taylor B. A. Whitney's extension theorem for nonquasianalytic classes of ultradifferentiable functions // Studia Math.- 1991.- Vol. 99.- P. 155-184.

34. Braun R. W., Meise R., Taylor B. A. Ultradifferentiable functions and Fourier analysis // Results Math.- 1990 — Vol. 17 P. 206-237.

35. Braun R. W., Meise R.} Vogt D. Applications of the projective limit functor to convolution and partial differential equations // Advances in the Theory of Frechet Spaces.- T. Terzioglu (Ed.).- NATO ASI Series С 1989.- Vol. 287.- P. 29-46.

36. Korobeinik Yu. F. On absolutely representing systems in spaces of infinitely different!able functions // Studia Math.— 2000 Vol. 139 — N2.- P. 175-188.

37. Korobeinik Yu. F. Representing systems of exponentials in the spaces of infinitely differentiable functions and extendability in the sense of Whitney // Turkish J. of Math.- 2001.- Vol. 25.- №4.- P. 503-517.

38. Meise R., Taylor B. A. Whitney's extension theorem for ultradifferentiable functions of Beurling type // Ark. Mat.— 1988.— Vol. 26.- P. 265-287.

39. Vogt D. Topics on projective spectra of (LB)-spaces // Advances in the theory of Frechet Spaces. NATO Adv. Sci. Inst Ser. C — Vol. 2871989,- P. 11-27.

40. Абанин А. В., Михайлов К. А. Абсолютно представляющие системы подпространств в пределах проективных спектров (LB)-пространств // Математический форум. Т. 1. Исследования по математическому анализу.— Владикавказ: ВНЦ РАН, 2008.— С. 7-15.

41. Абанин А. В., Михайлов К. А. Об абсолютно представляющих системах подпространств в проективных спектрах // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова,- Ростов-на-Дону, 2008.- С 89-90.

42. Абанин А. В., Михайлов К. А. Достаточные условия для абсолютно представляющих систем подпространств в (.О^б^-спектрах // Математический форум. Т. 3. Исследования по математическому анализу,— Владикавказ: ВНЦ РАН, 2009,- С. 9-21.

43. Михайлов К. А. Абсолютно представляющие системы подпространств в пространствах пробных ультрадифференцируемых функций // Изв. Вузов. Сев. Кав. регион. Естественные науки.— 2009.— N6,- С. 8-11.