Аналоги теоремы Уитни о продолжении для пространств ультрадифференцируемых функций, определяемых многомерным весом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Ляликова Елена Реомировна

АНАЛОГИ ТЕОРЕМЫ УИТНИ О ПРОДОЛЖЕНИИ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВ УЛЬТРАДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ МНОГОМЕРНЫМ ВЕСОМ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

ростов-на-дону 2003

Работа выполнена на кафедре математического анализа Ростовского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор А.В.Абанин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.Б.Левенштам

кандидат физико-математических наук, доцент А.Б.Шишкин

Ведущая организация: Воронежский государственный

университет

Защита состоится «___> октября 2003 года в____на заседании диссертационного совета К212.208.06 по физико-математическим наукам в Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 5, ММФ, ауд.___.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «___*_____ 2003 г.

Ученый секретарь л

диссертационного совета К212.208.06 —^ // к.ф.-м.н., доцент /ул/С^Ъ^- В.Д. Кряквин

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. В диссертационной работе решается задача о продолжении по Уитни в пространствах ультрадифферен-цируемых функций типа Берлинга и Румье, определяемых при помощи многомерного веса. Пространства бесконечно дифференцируемых функций с ограничениями на рост производных изучались многими математиками и имеют многочисленные приложения (А.Берлинг, Г.Бьорк, Л.Карлесон , Х.Коматсу, Б.С.Митя-гин, С.Румье, Д.Фогт, Л.Эренпрайс и др.). Известно два основных подхода к заданию ограничений на рост производных: при помощи фиксированной последовательности положительных чисел (подход Данжуа-Карлемана) или через весовую функцию (подход предложен А.Берлингом в 1961 г. и реализован впоследствии Г.Бьорком в 1965 г.). Дальнейшее развитие второй подход получил в работе Р.Брауна, Р.Майзе и Б.А.Тейлора (1990). В отличие от Г.Бьорка, который брал полуаддитивную сверху функцию N вещественных переменных, они рассмотрели, с одной стороны, более узкий класс весовых функций, имеющих вид ы(]х\),х € К^, но, с другой стороны, ослабили требование полуаддитивности V сверху, заменив его следующим условием:

ЭК > 1: ш(х + у) < К( 1 + ш(х) + и>{у)) для всех х > 0, у > 0.

Пространства, исследуемые этой группой математиков, задаются при помощи весовых последовательностей вида {пш}^, {— и называются пространствами ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и Румье соответственно. В частном случае ш(г) = гр пространство, задаваемое последовательностью

совпадает с пространством Жеврея порядка -, которое, как известно, используется в математической физике и теории тригонометрических рядов. Недавно А.В. Абаниным и Е.С.Тищенко (1997) была исследована более общая по сравнению с Р.Брауном, Р.Майзе и Б.А.Тейлором (1990) ситуация, когда пространства определяются с помощью произвольных (возрастающих или убывающих по

з

индексу) последовательностей весовых функций завися-

щих от одной переменной. Случай, когда весовые функции зависят от переменных |«1|,..., а пространства задаются последовательностями как у А.В.Абанина, Е.С.Тищенко не рассматривался. Существенным отличием изучаемых нами пространств является то, что рост производных одного и того же порядка может удовлетворять отличным друг от друга весовым оценкам.

Задачи о справедливости аналогов теорем Бореля и Уитни о продолжении в различного рода пространствах бесконечно дифференцируемых функций изучались Г.А.Джанашия, Н.М.Зоби-ным, Ю.Ф.Коробейником, Б.С.Митягиным, Ю.И.Любичем, В.А.Ткачеяко, Р.Боасом, Дж.Бруна, Т.Карлеманом, Л.Кар-лесоном, Х.Коматсу, Б.Мальгранжем, и многими другими авторами. Эти задачи возникли на основе следующих двух теорем:

Теорема Бореля (1895г.) Для любой последовательности {Яа}аень вещественных или комплексных чисел существует бесконечно дифференцируемая функция / одной вещественной переменной с раЦ0) = х„, V« 6 N0.

Теорема Уитни (1934г.) Пусть К фЪ —компакте К" и (/а)абГ^ —последовательность непрерывных на компакте К функций (иными словами, джет). Следующие утверждения эквивалентны:

равномерно пох,у € К, когда \у 0.

Новым толчком для дальнейшего развития этого направления послужила, в частности, обнаруженная недавно Ю.Ф.Коробейником (2000) тесная взаимосвязь между решением задачи о продолжении с задачей о разложении функций в ряды экспонент. Ю.И.Любич и В.А.Ткаченко в 1969 г. доказали, что для квазианалитических классов, определяемых при помощи последовательности {шп}^.! положительных чисел аналог теоремы Бореля места не имеет. В то же время, как было установлено в ряде работ вышеупомянутых авторов, в случае неквазианалитических классов

(г) 3/ 6 : » Г, V« е

(и) Утп € N0 и а € Я* равенство

выполняется

при дополнительном ограничении на {«in}£Lo аналоги теоремы Бореля справедливы. В частности, Г.А.Джаналшя (1962) дал прямое построение функций f(x) по значениям ее производных в нуле для классов Жеврея. Для пространств, определяемых последовательностями {пш}^! и где ш—одномерная весовая функция задачи Бореля и Уитни рассмотрели Дж.Бонет, Р.Браун, Р.Майзе, Б.А.Тейлор. Они получили необходимые и достаточные условия на весовую функцию, задающую пространства ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и Румье, при которых такие аналоги имееют место. Необходимо отметить, что достаточная часть получена ими для любого непустого компакта К (Л'—компакт из теоремы Уитни), а необходимая — при дополнительном,ограничении, что К либо одноточечный, либо является выпуклым компактом с непустой внутренностью. А.В.Абаниным (2000) было установлено, что необходимая часть теоремы типа Уитни справедлива в случае компактов произвольной структуры.

В связи с вышеизложенным представляется актуальной задача о распространении результатов, полученных Дж.Бонетом, Р.Брауном, Р.Майзе, Б.А.Тейлором в трех работах (1988г.), (1989г.), (1991г), выполненных членами этой группы в разных составах, результатов A.B. Абанина, Е.С.Тшценко (1997) и А.В.Абанина (2000) на случай пространств ультрадифференцируемых функций, задаваемых последовательностями многомерных функций {ш„}, неубывающих или невозрастающих по п и решение проблем Бореля и Уитни о продолжении в пространствах, определяемых последовательностями вида {пш}^!, {—где ш—многомерный вес.

п

Цели работы. В диссертационной работе исследованы следующие аспекты сформулированных выше задач:

-изучение свойств пространств ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и Румье, построенных по произвольной последовательности многомерных весовых функций; получение аналога теоремы типа Пэли-Винера-Шварца;

-получение необходимых и достаточных условий на многомерный вес ш, при которых для соответствующих пространств ультрадифференцируемых функций справедливы аналоги теорем Бореля и Уитни.

Методы исследования. В диссертационной работе, в основном, используются классические методы теории обобщенных функций, функционального анализа и теории целых функций. При исследовании аналогов теорем Бореля и Уитни существенную роль играют методы теории двойственности и, в частности, переход к сопряженной задаче.

Научная новизна и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми, носят теоретический характер и могут найти дальнейшее применение, в задачах разрешимости уравнений типа свертки и в вопросах разложения ультрадифференцируемых функций в ряды экспонент.

Апробация работы. Основные результаты неоднократно докладывались на научном семинаре кафедры математического анализа Ростовского государственого университета (руководитель — профессор Ю.Ф.Коробейник), на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу, посвященной 90-летию Н.В.Ефимова (Абрау-Дюрсо, сентябрь 2000г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, список которых приведен в конце автореферата. Результаты главы I опубликованы в [1], [2], глав II и III— в [4], [б], главы IV— в [3]. В совместной с научным руководителем работе [2] по результатам главы I А.В.Абаниным были предложены условия на многомерный вес, при которых удается обобщить результаты Дж.Бонета, Р.Брауна, Р.Майзе, Б.А.Тейлора, А.В.Абанина, Е.С.Тшценко, а само это обобщение и все результаты получены автором диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 49 наименований. Объем диссертации — 115 страниц машинописного текста.

Содержание работы.

Во введении дается исторический обзор данного направления

и приводятся наиболее важные результаты диссертации.

«

В первой главе диссертационной работы осуществлено распространение подхода Берлинга-Бьорка, получившего свое развитие в работе Р.Брауна, Р.Майзе, Б.А.Тейлора (1990) и обобщенного недавно А.В.Абаниным, Е.С.Тищенко (1997), на более общий случай. Остановимся кратко на основных моментах последних двух работ, имеющих непосредственное отношение к исследуемой в этой главе проблеме.

Согласно определению из этих работ, непрерывная неубываг ющая на [0;+оо) функция w : [0;+оо) [0;+оо) называется весовой, если она удовлетворяет следующим условиям:

(a) ш(2г) = 0(w(r)) при г -¥ +оо +00

03) J^dr<+ 00 1

(7) In г = о{ш(г)) при Г +00

(S) <рш(х) := w(e*) выпукла на [0; +оо). Двойственная по Юнгу с ^(х) фушщия (р*ш{у) := snp(xy—(p^(x))

л>0

в дальнейшем будет обозначаться <р*.

Для каждой весовой функции ш и открытого в Кр множества G Р.Браун, Р.Майзе, Б.А.Тейлор (1990) определяют следующие два типа пространств бесконечно дифференцируемых функций:

%)(<?) :=

{/ € C°°{G): для любого компакта К с G и любого п е N

ll/IU := sup sup\^а)(х)\ехр(~п^(Щ) < оо} и «6N5 хек \ \П)}

£{ы)(в) :=

{/ £ С°°((3) : для любого компакта К ев найдется п 6 N |

ИЛЬ/м: := вир 8ир|/(а)(ж)|еа;р(-^'(п]«!)) < оо}. «€N8 хек \ п )

Эти пространства наделяются естественными топологиями. Первое пространство называется пространством ультрадифференци-руемых функций типа Берлинга, а второе—типа Румье. Фактически £(и) и £{„} определяются весовыми последовательностями

{пш}^ и соответственно. А.В.Абанин, Е.С.Тищенко

рассматрели пространства удьтрадифференцируемых функций типа Берлинга и Румье, определяемые произвольными последовательностями весовых функций, неубывающих или невоз-растающих по п соответственно. Одним из основных результатов обеих работ является аналог теоремы типа Пэли-Винера-Шварца об описании сопряженных к £(ш)(<?) и £{Ы}(С?) пространств как пространств целых функций, удовлетворяющих определенным весовым оценкам (G—выпуклая Область в Жр). Заметим, что авторам первой работы удалось рассмотреть лишь два крайних случая—

«максимальный« (М~=1) и "минимальный" ф^) в то время как в рамки второго исследования укладывается и "нормальный" случай (например, {^ш}^, где qn /* q или 4n\q, ?G(0;oo)).

Основной целью главы I является распространение результатов А.В.Абанина, Е.С.Тищенко на .случай, когда весовые функции зависят от переменных |«i|,..., | и, в частности, получение аналога теоремы Пэли-Винера-Шварца, на котором в значительной мере основаны наши последующие исследования в главах II и III. Существенным отличием изучаемых нами пространств от двух вышеупомянутых работ является то, что рост производных одного и того же порядка может зависеть от мультииндекса. На...

пример, производные и при г ф j могут удовлетворять

отличным друг от друга весовым оценкам относительно к.

В целом, применяемые нами в главе 1 методы известны. Сначала вводятся соответствующие пространства пробных функций и распределений, затем линейные непрерывные функционалы на £(ш) и £{и} характеризуются как распределения с компактными носителями в G, и, наконец, для выпуклых областей G при помощи преобразования Фурье-Лапласа устанавливается аналог теоремы Пзпи-Винера-Шварца. Основные трудности на пути реализации этой схемы имеют технический характер и обусловлены многомерностью весов.

В первом разделе сначала вводится понятие N-мерной весовой функции:

в

Определение 1.1.1 Пусть и>: [0; оо)" —> [0; оо)—непрерывная на [0;+оо)№ функция, неубывающая по каждой переменной и удовлетворяющая следующим условиям:

{а) существует константа С > 1 такая, что для любого фиксированного к при всех х,, yj € [0; +оо) {у — 1,..., Я)

.....Хь-1,Хъ + Ук,Хь+1, ...,Хц) <

< ..., хн) + и>(х1,..., Х],-1,Ук, х^) +1);

о

(7)' нт = 0, «ЧМ1 = да><б[0;+оо)*;

И*П—»-00 Ш(1)

(5) ч>ы{х) ■.-ц>(е*',...,е1"'), х = (х\.....Хц) —выпуклая наИ"

функция.

Такие функции мы будем называть N —мерными весовыми функциями.

Отметим, что при N — 1 определение 1.1.1 совпадает с определением весовой функции, приведенной нами выше.

Примерами двумерного веса служат следующие функции;

a)ш(хьЯ2) = (1 + :г?)(1 + х£), гдер1+р2<1, рг.рз > 0;

b)ш(хих2) = {1п( 1 + ц))Л(М1 + ®2))а,А,А 6 (1; +оо). Ясно также, что если Шх,..., одномерные весовые функции, то ..., 1«) = Шг(ж1) + • • • + будет ^-мерным весом.

Для х = (х],...,х#) е К" полагаем и(х) := ш(\х1\,.... ¡а:^!). Как обычно, символом 1){К) обозначим пространство всех бесконечно дифференцируемых в К.Л' функций, носители которых содержатся в компакте К из К" с непустой внутренностью. Дат лее вводятся банаховы пространства пробных функций. Со всякой непрерывной неубывающей по каждой переменной и удовлетворяющей условию 1.1.1(7) функцией ш свяжем подпространство в

В(ку.

Д(о;; К) = {/ € £>(#): ||/||и : = / Ах < оо},

и"

где f(x) = J f(t)e '<x,i> dt —преобразование Фурье функции /. R"

Заметим, что если в последней формуле переменную х заменить на z 6 CN, то это равенство будет определять более общее преобразование, а имено, преобразование Фурье-Лапласа функции /. Функцию

4>t{v) := 8UP {<*,У> -¥>«(*))> У € [0; +ооА

i6{0;+oo)w

будем называть монотонно сопряженной по Юнгу к и в дальнейшем писать просто ¡р+. В следующей теореме получены оценки на производные функций из D{w\ К).

1.1.2 Теорема. Для любой функции } из D(uj; К) справедлива оценка:

sup sup |/(n>(z)je^+(n) < 4vll/lla.. aeNg i6R" 7Г

Введем далее банахово нормированное пространство

i>(V+-,K) {/ 6 D(K) :\f\u := sup sup && < oo).

I aeygxe*« e? w j

Следующий результат также носит вспомогательный характер и решает обратную задачу. Именно, он дает оценку преобразований Фурье-Лапласа функций из D(<p+\К). Полагаем (¿(¿O.-wflzil,...,!^!) для z = (zi,...,zn) eCN.

1.1.3 Теорема.

Для всякой функции f € £>{<р+", К) ее преобразование Фурье-Лапласа

f(z) = J Щ)е-^х> dt, zeCN,

R"

является целой в CN функцией, удовлетворяющей оценке:

l/WI < mN{K)e™i{-K\l + ||г||)лгеЯк!/"">-«М|/|И) у* 6 CN,

где Нк{у) — max < х,у >—опорная функция К,

мера Лебега компакта К в RN; Imz — (Imzu... ,1тг^), d{K)=m¡ах||»||.

уек

ю

Во втором разделе вводятся пространства пробных функций типа Берлинга и Румье и устанавливаются аналоги теорем типа Пэли-Винера, дающие изоморфную реализацию этих пространств в виде пространств целых функций.

Пусть {wn}5E=i_ неубывающий по п набор функций, непрерывных и неубывающих по каждой переменной, для которых выполнено условие 1.1.1(7). Будем также предполагать, что удовлетворяет следующему условию разделенности:

Vn 3m ЗС > 0 : Vi 6 [0; +00)* M»(i) + Jn(l + ||t||)<wb(t) + C.

Кроме того, предполагается, что существует одномерная весовая функция ш(г), 0 < г < оо, что

Vn е N ЗС, > 0 : а>п{х) < Ц||г||) + С„, V* 6 R*.

Последовательности, обладающие перечисленными свойствами будем обозначать символом ПОбразуем пространство пробных

оо

функций типа Берлинга D(ilj„.; К) := f\ D(wn; К) и наделим его

топологией, задаваемой набором норм (|| • HuJJLi- Будем кратко писать D(Qpr] К) = рю]£)(шл; К), подразумевая, что проектив-

п

ный предел берется относительно операций вложения £>(flpr; К) в D{w„,K) (п = 1,2,...). Первое условие обеспечивает то, что £)(Пр.; К) является М*-пространством (D(wn+1; К) вложено вполне непрерывно в D(wn;K), п — 1,2,...), а второе — гарантирует, нетривиальность пространства £>(Прг| К)-

Пусть ip(z): CN -t R— локально ограниченная в CN функция. Введем банахово пространство целых функций:

Е(Ф) = {/ € Я(С") : l/U := sup\f(z)\e~^ < 00}. К l€C" J

Для невозрастающей по п последовательности локально ограниченных в С" функций Фрт. = {i>n}X=i через Р(Фрг) будем обозначать проективный предел банаховых пространств Е{"фп):

п

Сформулируем полученный в диссертации аналог теоремы Пэли-Винера.

it

1.2.2 Теорема.

Для любого выпуклого в К* компакта К преобразование Фурье-Лапласа является топологическим изоморфизмом между К) и Р(Ф„), где чу = {Нк{1тг) - ^(г)}^.

Введем теперь пространство пробных функций типа Румье. Пусть = П.шг-невозрастающий по п набор непрерывных

и неубывающих по каждой переменной функций, удовлетворяющих условию 1.1.1(7). Как и в случае пространств типа Берлинга, будем предполагать, что удовлетворяет условию разделенно-сти:

Уп Зт и ЭС > 0 : V« € [0; +оо)*,

(*.(«) +*п(1 + ||«||) <«*(<)+а

Образуем пространство пробных функций типа Румье

оо

К) = и 1>(ш„; К) и наделим его топологией внутреннего

П«1

индуктивного предела пространств £>(а;„; К). Кратко будем писать £>(П;п<г; К) :— тсШ(шп; К). Для неубывающей по п после-

П

довательности локально ограниченных в С^ функций Ф;„<г = {фп)п=х через /(Ф;„а) будем обозначать индуктивный предел баг наховых пространств целых функций Е(фп): /(Ф;па) = тйЕ(фп).

п

Сформулируем теорему типа Пэли-Винера для К).

1.2.4 Теорема

Для любого выпуклого в Ж1* компакта К преобразование Фурье-Лапласа является топологическим изоморфизмом между К) и где Ф^ := {Нк{1тг) - ш„(г)}»

Пусть в — открытое множество в . Определим следующие пространства

■0(^1 С) = У К), 0(ПШ- О) = У К)

кев Ктв

и наделим их топологией внутреннего индуктивного предела относительно вложений К) в £>(П;С). В диссертации показано, что для этих пространств имееют место теоремы, аналогичные теоремам 1.2.2 и 1.2.4.

Третий раздел посвящен пространствам ультрадиффе-ренцируемых функций типа Берлинга и Румье, которые определяются следующим образом. Пусть П = {ш„}£Ц— последовательность непрерывных и неубывающих по каждой переменной функций, удовлетворяющих 1.1.1(7), одного из двух типов — проективного или индуктивного, Ф+ = {<р$}п=\~соответствующая ей последовательность монотонно сопряженных к ¡рп(х1,. ■ ■, хк) = шп(е'1,..., ех"). Для открытого в множества О введем пространства

-{'е : з^^тЭ^)=ми* <

и £(Прг', СУ), СУ), которые как векторные пространства опи-

сываются следующим образом:

е^; О) = {/ 6 С°°(С): УК с О Уп е N : < оо};

¿(Яш) <?) = {/£ С00^): УХ ё С Зп е N : < оо}.

В этом разделе доказывается основной результат главы—теорема типа Пэли-Винера-Шварца, которая позволяет получить описание сильных сопряженных пространств к £(Прт;СУ) и (?) как пространств целых функций, удовлетворяющих определенным оценкам роста.

1.3.8 Определение. Для любого функционала р. € £'(П; СУ) зададим его преобразование Фурье-Лапласа формулой

£(*):= (м,Л>, где

1.3.14 Теорема. Пусть СУ—выпуклая область в К1*. Тогда преобразование Фурье-Лапласа функционалов задает следующие топологические изоморфизмы:

(?) * т£/(Ф*); £'{Р-ш\ С) ~ М Р{ФК), где 1{ФК) = ЫЕ{Нк{1тг) + и„{г)),

П

Р(ФК) = рго }Е(Нк(1тг) + <*(*)).

Вторая глава посвящена достаточным условиям справедливости теоремы Бореля в пространствах бесконечно дифференцируемых функций типа Берлинга и Румье, определяемых последовательностями {пш}^-! и {—w}JJLi, где и—многомерная весовая функция. Как уже отмечалось выше, задачей справедливости теоремы Бореля в пространствах бесконечно дифференцируемых функций с ограничениями на рост производных занимались многие математики. Для пространств ультрадифференцируемых функций, определяемых одномерными весовыми функциями эта проблема решена Р.Майзе, Б.А.Тейлором (1988) и Дж.Бонетом, Р.Майзе, Б.А.Тейлором (1989). Авторы этих работ показали, что необходимым и достаточным условием справедливости аналога теоремы Бореля в таких пространствах является следующее условие на весовую функцию:

+00

Э£>0: J Ч^-dt <Вы(у) + В, Чу> 0.

1

Основная цель настоящей главы—распространить этот результат на случай многомерного веса.

Вторая тлава состоит из трех разделов. В первом разделе дается постановка задачи и формулируется основной результат главы. Второй и третий разделы посвящены доказательству этого результата. Здесь мы остановимся лишь на точной постановке задачи, формулировке основной теоремы и кратком описании метода доказательства.

Пусть и—JV-мерная весовая функция. Введем пространство ультрадифференцируемых функций типа Берлинга, определяемое при помощи последовательности {nw}^:

£M(RN) = {/ € C°°(RN) : Vm 6 N:

|/|m,m:= sup sup |/ie)(x)jexp( -rmp+ ( — ) ) < oo}.

Наделим это пространство естественной топологией проективного предела, которая задается набором преднорм {| • |m,m}m=i-

< 00.

Возьмем произвольную функцию / £ Тогда для по-

следовательности {/<в>(0)}веИ» ПРИ любом т € N выполняется

условие вир

Рассмотрим пространство всех последовательностей комплексных чисел, удовлетворяющих этому условию:

¿н({0}) = {/ = (/-)-** еСо" : Углем |/Ц := вир \fa\expl ~т<р+ ( — ) ) < оо}.

«ем?' V \rnJJ

Аналогично введем пространство ультрадифференцир^емых функций типа Румье, задаваемое последовательностью {—ш}^:

£<„>(»*) =» {/ € С°°(Ж*) : Ур > 0, Вт е N :

||/||т,Р:= зир вир \^а\х)\ехр( < оо}.

в€В^|»|<р V т )

Наделим его естественной топологией, взяв сначала индуктивный предел по тп при каждом фиксированном р, а затем проективный предел по р. Определим также пространство последовательностей комплексных чисел типа Румье

£м({0}) = {/ = € с««" : Зт € N

||/||т := вир \Цехр(~~^{ат)) < оо}, аегч0" V т )

в котором вводится топология внутреннего индуктивного предела.

Всюду далее будем писать £„ если речь идет о пространствах ультрадифференцируемых функций или последовательностей обоих типов. Введем в С00 (К") в рассмотрение оператор сужения

Р{0}: / е —► (/{а](0))а€К € £.({0}).

Тогда задача Вореля состоит в том, чтобы найти условия на весовую функцию и, при которых оператор р{0} будет сюръективен. Основным результатом главы является

П.З.З Теорема. Пусть ш—строгий ЛГ-мерный вес, то есть, 1

для всех у с у} > 0, $ = 1,..., N. Тогда оператор рщ : £,(№) -4 ¿»({0}) сюргективен. Другими словами, для пространств и ¿{^(К7") справедлив аналог теоремы Бо-

реля.

В доказательстве мы следуем схеме обобщаемых нами работ. Именно, с помощью общей теории двойственности и дополнительных топологических свойств пространств и £.({0}) устанав-

ливается, что аналог теоремы Бореля для £, имеет место тогда, когда ¿^({0}) является топологическим подпространством в ¿^(К") (как и прежде ¿'—сильное сопряженное к £ пространство). Далее применяется описание сопряженных в терминах целых функций и принцип Фрагмена-Линделефа.

В третьей главе сначала дается следующее определение:

1П.1.1 Определение. Пусть АфЧ>— замкнутое подмножество в К*. Джетом на А называется семейство Р — € С,(А)"«', то есть, такая последовательность,

что каждый ее элемент }а —непрерывная на А функция.

Джет (/в)а€к» , удовлетворяющий условию (¿г) из теоремы Уитни, приведенной нами выше, называется джетом Уитни. Обозначим через £{К) пространство всех джетов Уитни на компакте К. Введем оператор сужения рк, который каждой бесконечно дифференцируемой функции N вещественных переменных ставит в соответствие последовательность ее производных, суженных на компакт К: , Тогда теорема Уитни означает, что оператор рк действует сюръективно из С°°{КЫ) на £(К).

Мы уже отмечали, что задача Уитни для неквазианалитиче-ских классов бесконечно дифференцируемых функций рассматривалась многими авторами. Наши исследования наиболее близки к работам Дж.Бонета, Р.Брауна, Р.Майзе и Б. А.Тгйлора, которые рассмотрели случай одномерных весов. Основную идею для доказательства теоремы Уитни в случае авторы взяли из работы Дж.Бруна (1980), где показано, что аналог теоремы

Уитни о продожении в неквазианалитических классах функций справедлив тогда и только тогда, когда он справедлив для точки (то есть, выполняется теорема Бореля) и если класс содержит так называемые функции-"срезки", удовлетворяющие определенным условиям.

В настоящей главе, опираясь на работы Дж.Бонета, Р.Брауна, Р.Майзе и Б.А.Тейлора, мы устанавливаем аналог теоремы Уитни для пространств типа Берлинга и Румье ¿^(й^), определяемых строгим ^-мерным весом и.

Для компактного множества К в положим

:= {/ 6 : 5«рр(/) С К},

0М(К) := {/ € £М(М") : 5«рр(/) С К]

Заметим, что указанное описание пространств пробных функций типа Берлинга О^(К) и Румье эквивалентно опи-

санию пространств К) и £>(Пдля конкретного

случая когда Пр, = {пЦ®)}^, а =

71

Для джета F на А , точек х,у 6 А и мультииндексов те^нвеЦ? :а<т определим:

(ЯГП.(У) = /■(»)- £

^ р'

0)<ттч~а/

Эти функции играют роль аналогов остаточных членов в формуле Тейлора для элементов джета.

III. 1.2 Определение.

Пусть ш-Ы-мерный вес и пусть А ф 0 —замкнутое подмножество в К". Джет .Р = (/а)абК^ на А называется ш-Уитни джетом типа Румье, если выполняются следующие условия: для любого компакта К С А существуют т £ N и М > О, такие, что имеют место оценки:

(III. 1.1) \Г{х)\ < Менр^рЦта^, V* е К, Уа €

(Ш.1.2) VZ е Nff, Va е N^ с at < lk, для всех к от 1 до N

uVx,y € К

* м^^^р^гыг + D)) •

Через обозначим линейное пространство всех ш -Уитни

джетов типа Румье на А.

III.2.1. Определение. Пусть и-N-мерный вес и А ^ 0— замкнутое подмножество в RN. Джет F = (/a)a6Nw на А называется ш—Уитни джетом типа Верлинга, если выполняются следующие условия: для любых К с А и m е N существует М > 0 такое, что имеют место оценки:

{111.2.1) \f(x)\ < Мехр(rntpt Q), Vx е К, Va е N^; {III.2.2) VI G Va € N^ с ak < h, для всех k от 1 до N и Vx, у & К

Обозначим через £(„,){ А) линейное пространство всех ш -Уитни джетов типа Берлинга на А.

Для каждой весовой N-мерной функции ш и компакта К из рассмотрим на пространствах £*{Rw) оператор сужения

Сформулируем основной результат главы.

III.2.6 Теорема Для каждого N-мерного строгого веса и каждого непустого компакта К в RN отображение Рк £*{№) £„{К)—сюрьективно.

Отметим, что при доказательстве теоремы III.2.6 нам удалось в качестве вышеупомянутых функций-"срезок"использовать функции, построенные в работе Дж.Бонета, Р.Брауна, Р.Майзе и

Б.А.Тейлора (1991), для пространства 1>{п}(К№), где П—одномерная весовая функция, задаваемая следующим образом:

n

П{г) = ш{г,..., г), где г =

Функции-"срезки" будут принадлежать и нашему пространству так как, в этом случае <-► .О^Л'"). Если

теперь взять функцию д = <г(г,..., г) такую, что П = о(сг) при г —»■ +оо, то построенные в пространстве /^(И^) функции-"срезки"будут принадлежать и пространству £>(„) (И^), вследствие того, что м- Х>(о)(К*) <->

В четвертой главе доказывается необходимость условия строгости для справедливости теорем типа Уитни в случае произвольного непустого компакта К и пространств, определяемых ./V-мерной весовой функцией, имеющей специальный вид: ¿(г) = и>1(п)+-• где г = (п,..., г*) 6 [0; +оо)Л, шк -

одномерные веса (к — 1,..., ЛГ). Такую функцию будем называть ЛГ-мерным распадающимся весом.

Основным результатом главы является

IV.2.5 Теорема. Пусть ш—Ы-мерная распадающаяся весовая функция. Если и —нестрогая, то оператор рк '■ £.(КЛ') —»• £*{К) не является сюръективным для любого непустого компакта К в Ш1*.

Доказательство основано на построении семейств полиномов со специальными свойствами и некоторых фактов из теории двойственности локально выпуклых пространств.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю А.В.Абанину за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Список работ по теме диссертации.

1. Ляликова Е.Р. Пространства пробных функций типа Бер-линга и Румье с учетом роста по переменным // РГУ. Ростов н/Д. 1997. 29с. Деп. в ВИНИТИ 6.08.97. ДО2625-В97.

2. Абанин A.B., Ляликова Е.Р. Пространства ультрадиффе-ренцируемых функций с ростом производных, определяемым многомерными весами // РГУ. Ростов н/Д. 1999.28с. Деп. в ВИНИТИ 4.08.99. №2563-В99.

3. Ляликова Е.Р. Об одном аналоге теоремы Уитни // Международная школа-семинар по геометрии и анализу, посвященная 90-летию Н.В.Ефимова. Абрау-Дюрсо. 2000. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. С. 135-137.

4. Ляликова Е.Р. Об аналогах теорем Бореля и Уитни // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2002. №1. С. 28-30.

5. Ляликова Е.Р. Теоремы Бореля и Уитни в пространствах бесконечно дифференцируемых функций, определяемых многомерными весами // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2002. №3. С. 27-29.

Печать ризограф. Бумага офсетная. Гарнитура "Таймс*. Формат 60x84/16. Обьем 1,0 уч. - изд. л. Заказ № 173. Тираж 100 экз. Отпечатано в Ш1) "КОПИ ЦЕНТР" 344006, г. ростов-на-Лэну, Суворова, 19. тел. 47-34-88

»12598

Введение

ГЛАВА I. ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА БЕРЛИНГА

И РУМБЕ

1.1. Пространства пробных функций

1.2. Пространства пробных функций типа

Берлинга и Румье

1.3. Пространства ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и Румье.

ГЛАВА II. ТЕОРЕМА БОРЕЛЯ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВ УЛЬТРАДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ ТИПА БЕРЛИНГА И РУМЬЕ

II.1. Постановка задачи и формулировка основного результата. 50 И.2. Достаточные условия справедливости аналогов теоремы Бореля в терминах пространств целых функций 52 И.З. Доказательство основного результата

ГЛАВА III. ТЕОРЕМА УИТНИ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВ УЛЬТРАДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ ТИПА БЕРЛИНГА И РУМЬЕ

III.1. Теорема о продолжении для классов £{„}. 70 Ш.2. Теорема о продолжении для классов 6(иу

ГЛАВА IV. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ВЫПОЛНЕНИЯ

АНАЛОГА ТЕОРЕМЫ УИТНИ

IV. 1. Специальные семейства многочленов 95 IV.2 Необходимое условие сюръективности оператора сужения

Актуальность темы. В диссертационной работе решается задача о продолжении по Уитни в пространствах ультрадифферен-цируемых функций типа Берлинга и Румье, определяемых при помощи многомерного веса. Пространства бесконечно дифференцируемых функций с ограничениями на рост производных изучались многими математиками и имеют многочисленные приложения (см., например [17], [25], [36], [39], [43]). Известно два основных подхода к заданию ограничений на рост производных: при помощи фиксированной последовательности положительных чисел (подход Данжуа-Карлемана) или через весовую функцию (подход предложен А.Берлингом в [24] и реализован впоследствии Г.Бьорком в [25]). Дальнейшее развитие второй подход получил в работе Р.Брауна, Р.Майзе и Б.А.Тейлора [30]. В отличие от Г.Бьорка, который брал полуаддитивную сверху функцию N вещественных переменных, они рассмотрели, с одной стороны, более узкий класс весовых функций, имеющих вид о;(|а;|), х £ К7*, но, с другой стороны, ослабили требование полуад дитивности и сверху, заменив его следующим условием:

3К > 1: ш(х + у) < К{ 1 4- ш(х) + и(у)) для всех х > 0, у > 0.

Пространства, исследуемые в [30], задаются при помощи весовых последовательностей вида {пй;}^! и {—о;}^, и называются проп странствами ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и Румье соответственно. В частном случае ш(г) — гр пространство, задаваемое последовательностью {— о;}^, совпадает с проп странством Жеврея порядка которое, как известно, используР ется в математической физике и теории тригонометрических рядов. Недавно А.В.Абаниным и Е.С.Тищенко [2], [15] (см. также [16]) была исследована более общая, чем в [30] ситуация, когда пространства определяются с помощью произвольных (возрастающих или убывающих по индексу) последовательностей весовых функций зависящих от одной переменной. Случай, когда весовые функции зависят от переменных ., |жлг|, а пространства задаются последовательностями как в [2], [15], [16] не рассматривался. Существенным отличием изучаемых нами пространств от [2], [15], [16], [30] является то, что рост производных одного и того же порядка может удовлетворять отличным друг от друга весовым оценкам.

С другой стороны, в последнее время возрос интерес к решению задач типа Бореля и Уитни о продолжении в различного рода пространствах (см., например, [5], [6], [8]-[10], [27], [28], [32], [33], [36], [42]).Эти задачи возникли на основе следующих двух теорем:

Теорема Бореля (1895г.; см. [29]) Для любой последовательности {ха}а€к0 вещественных или комплексных чисел существует бесконечно дифференцируемая функция / одной вещественной переменной с = хау Уа € N0.

Теорема Уитни (1934г.; см. [44]) Пусть К ф 0 — компакт в и (/а)а€1Члг —последовательность непрерывных на компакте К функций (иными словами, джет). Следующие утверждения эквивалентны: г) 3/ € С°°(КЛГ): /<в>|* - /*, Уа € и) Ут € N0 и а € N9 равенство равномерно пох,у £ К, когда \у — х\ —► 0. Интерес к этим проблемам обусловлен, в частности, тесной взаимосвязью решения задач о продолжении с задачей о разрешимости различных функциональных уравнений и о разложении в ряды экспонент (см., наприм., [8]). Ю.И.Любич и В.А.Ткаченко в [9] доказали, что для квазианалитических классов, определяемых при помощи последовательности положительных чисел аналог теоремы Бореля места не имеет. В то же время, как было установлено в ряде упомянутых выше работ, в случае неквазианалитических классов при дополнительном ограничении на {гап}^0 аналоги теоремы Бореля справедливы. В частности, в [5] дано прямое построение функций /(х) по значениям ее производных в нуле для классов Жеврея. Для пространств, определяемых последовательностями {пи;}^ и {—о?}^, где ш— одномерная весовая функция задачи Бореля и Уитни рассмотрели Дж.Бонет, Р.Браун, Р.Майзе, Б.А.Тейлор в работах [27], [28], [42]. Они получили критерий, дающий полную характеризацию пространств ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и Румье, для которых такие аналоги имеют место. Необходимо отметить, что достаточная часть критерия справедлива для любого непустого компакта К (К—компакт из теоремы Уитни), а необходимая часть выполняется при дополнительном ограничении, что компакт К—выпуклый. А.В.Абаниным в работах [1], [21] было установлено, что вышеупомянутый критерий справедлив в случае компактов произвольной структуры.

В связи с вышеизложенным представляется актуальной задача о распространении результатов, полученных в [30], [2], [15] на случай пространств ультрадифференцируемых функций, задаваемых последовательностями многомерных функций {(*;„}, неубывающих и невозрастающих по п и решение проблем Бореля и Уитни о продолжении в пространствах, определяемых последовательностями вида {—о;}^!, где а;—многомерный вес.

7Х

Цели работы. В диссертационной работе исследованы следующие аспекты сформулированных выше задач:

-изучение свойств пространств ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и Румье, построенных по произвольной последовательности многомерных весовых функций; описание топологически сопряженных к ним, получение аналога теоремы типа Пэли-Винера-Шварца;

-получение необходимых и достаточных условий на многомерный вес о;, при которых для соответствующих пространств ультрадифференцируемых функций справедливы аналоги теорем Бореля и Уитни.

Методы исследования. В диссертационной работе, в основном, используются классические методы теории обобщенных функций, функционального анализа и теории целых функций. При исследовании аналогов теорем Бореля и Уитни существенную роль играют методы теории двойственности и, в частности, переход к сопряженной задаче.

Научная новизна и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми, носят теоретический характер и могут найти дальнейшее применение, в задачах разрешимости уравнений типа свертки и в вопросах разложения ультрадифференцируемых функций в ряды экспонент.

Апробация работы. Основные результаты неоднократно докладывались на научном семинаре кафедры математического анализа Ростовского государственого университета (руководитель — профессор Ю.Ф.Коробейник), на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу, посвященной 90-летию Н.В.Ефимова (Абрау-Дюрсо, сентябрь 2000г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, список которых приведен в конце литературы. Результаты главы I опубликованы в [45], [46], глав II и III— в [48], [49], главы IV— в [47]. В совместной с научным руководителем работе [45] по результатам главы I А.В.Абаниным были предложены условия на многомерный вес, при которых удается обобщить результаты работ [2], [15], [30], а само это обобщение и все результаты получены автором диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 49 наименований. Объем диссертации — 115 страниц машинописного текста.

1. Абанин A.B. Характеризация классов ультрадифференцируе-мых функций, допускающих аналог теоермы Уитни о продолжении Ц ДАН. 2000. Т.371. т. С. 151-154.

2. Абанин A.B., Тищенко Е.С. Пространства ультрадиффе-ренцируемых функций и обобщение теоремы Пэли-Винера-Шварца // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1997. т. С. 5-8.

3. Владимиров B.C. Уравнения математической физики И М.:Наука. 1988. 512с.

4. Владимиров В.С, Методы теории функций многих комплексных переменных // М.:Наука. 1964.

5. Джанашия Г.А. О задаче Карлемана для класса функций Жев-ре // Доклады АНСССР. 1962. Т.145. №2. С. 259-262.

6. Зобин Н.М. Теоремы продолжения и представления для пространств типа Жеврея // ДАН СССР. 1973. Т.212. №6. С. 1280-1283.

7. Коробейник Ю.Ф. Об одной двойственной задаче.1. Общие результаты. Приложения к пространствам Фреше // Матем. сб. 1975. Т.97. т. С. 193-229.

8. Любич Ю.И., Ткаченко В.А. О восстановлении бесконечно дифференцируемых функций по значениям их производных в нуле // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков. 1969. вып. 9. С. 134-141.

9. Митягин B.C. О бесконечно дифференцируемой функции с заданными значениями производных в точке // Доклады АН СССР. 1961. Т.138. т. С. 289-292.И. Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства // М.: Мир. 1967. 266 с.

10. Робертсон А.П., Робертсон В.Дж. Топологические векторные пространства // М.:Мир. 1967. 257с.

11. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ // М.: Мир. 1973. 496 с.

12. Себаштьян-и-Силва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // Периодический сборник переводов иностранных статей, 1957, Т.1, №1.

13. Тищенко Е.С. Пространства ультрадифференцируемых функций и обобщение теоремы Пэли-Винера-Шварца // Деп. в ВИНИТИ, 09.09.98, №2767 D 98 - 38с.

14. Тищенко Е.С. Пространства ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и абсолютно представляющие системы экспонент в них // Диссертация на соиск. уч. степ. канд. ф.-м.н. Ростов-на-Дону. 2002. 124с.

15. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Том 1. Теория распределений и анализ Фурье // М.: Мир. 1986.

16. Шефер X. Топологические векторные пространства // М.: Мир. 1971

17. Эдварде Р. Функциональный анализ // М.: Мир. 1969.1071 с.

18. Abanin A.V, On certain criteria for weak sufficiency // Notes 40(1986). P. 757-764.

19. Abanin A.V. On Whitney's extension theorem for spaces of ultradifferentiable functions // Math. Ann. 2001. V.320. P. 115126.

20. Abanin A.V. Thick spaces and analytic multiplicators // Izv.Vysh.Ucheb.Zaved. Sev.-Kav. Region. Estestv.nauki. 4(1994). P. 3-10.

21. Baernstein II,A. Representaition of golomorphic functions by boundary integrals // Trans. Amer. Math. Soc. 160(1971). P. 27-37.

22. Beurling A. Quasi-analyticity and general distributions /1 Lectures 4 and 5. AMS Summer Institute. Stanford. 1961.

23. Bjorck G. Linear partial differential operators and generalized distributions 11 Ark. Mat. 1965. V.6. P. 351-407.

24. Boas R.P. Entire functions // New York. Academic. Press. 1954.

25. Bonet J., Braun B.W., Meize R., Taylor B.A. Whitney's extension theorem for non-quasianaitic classes of ultradifferentiable functions // Stud. Math. 99(1991). P. 155-184.

26. Bonet J., Meize R., Taylor B.A. Whitney's extension theorem for ultradifferentiable functions of Roumieu type // Proc. R. Ir. Acad. 89A(1989). P. 53-66.

27. Borel E. Sur quelques points de la th è orie des fonctions H Ann.Sci.Ec.Norm.Super. IV.Ser. 12(1895). P. 9-55.

28. Braun R.W., Meise R., Taylor B.A. Ultradifferentiable functions and Fourier analysis // Result. Math 17(1990). P. 206-237.

29. Bruna J. An extension theorem of Whitney type for non quasi-analytic classes of functions // J.London Math. Soc.(2) 22. 1980. P. 495-505.

30. Carleman T. Leçons sur les fonctions quasi-analytiques // Raris. 1926.

31. Carleson L. On universal moment problems // Math. Scand. 9(1961). P. 197-206.

32. Chou C.-C. La transformation de Fourier complexe et l'équation de convolution // LMN 325, Springer, Berlin-Heidelberg-New York 1973.

33. Edwards R.E. Functional analysis: Theory and aplications H Holt. Rinchart and Winston. Inc. New York. 1965.

34. Ehrenpreis L. Fourier analysis in several complex variables H New York: Whiley-Interscience Publ. 1970.

35. Haslinger F. Weighted spaces of entire functions // Indiana Univ. Math. J. 1986. V.35. M. P. 193-208.

36. Hestenes M.R. Extension of the range of a differentiate function H Duke Math.J.8(1941). P. 183-192.

37. Komatsu H. Ultradistributions /. Structure theorems and a characterization // J. Fac. Sei. Tokyo Sec. IA 20 (1973), P. 25105.

38. Lions J.L., Magenes E. Problèmes aux limites non homogènes et applications // Vol. 3. Dunod, Paris 1970.

39. Malgrange B. Ideals of differentiable functions // Oxford Univ. Press.(1966).

40. Meize R., Taylor B.A. Whitney's extension theorem for ultradifferentiable functions of Beurling type // Ark. Mat. 26(1988). P. 265-287.

41. Eoumieu С. Sur quelques extensions de la notion de distributions U Ann. Sei. Ecole Norm. Sup. Paris. 3 Ser. 77 (i960), P. 41-121.

42. Whitney H. Functions differentiable on the boundary of regions Ц Ann. Math. 35 (1934) P. 482-485.Список работ по теме диссертации.

43. Абанин A.B., Ляликова Е.Р. Пространства улътрадифферен-цируемых функций с ростом производных, определяемым многомерными весами // РГУ. Ростов н/Д. 1999. 28с. Деп. в ВИНИТИ 4.08.99. ДО2563-В99.

44. Ляликова Е.Р. Пространства пробных функций типа Бер-линга и Румье с учетом роста по переменным // РГУ. Ростов н/Д. 1997. 29с. Деп. в ВИНИТИ 6.08.97. ДО2625-В97.

45. Ляликова Е.Р. Об аналогах теорем Бореля и Уитни // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2002. №1. С. 28-30.

46. Ляликова Е.Р. Теоремы Бореля и Уитни в пространствах бесконечно дифференцируемых функций, определяемых многомерными весами II Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2002. т. С. 27-29.

47. Ляликова Е.Р. Об одном аналоге теоремы Уитни // Международная школа-семинар по геометрии и анализу, посвященная 90-летию Н.В.Ефимова. Абрау-Дюрсо. 2000. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. С. 135-137.