Продолжение по Борелю-Уитни ультрадифференцируемых функций нормального типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Абанина Дарья Александровна

ПРОДОЛЖЕНИЕ ПО БОРЕЛЮ-УИТНИ УЛЬТРАДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ НОРМАЛЬНОГО ТИПА

01.01.01 - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г

Ростов-на-Дону 2005

Работа выполнена на кафедре математического анализа Ростовского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Юрий Федорович Коробейник

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Алексей Борисович Секерин

кандидат физико-математических наук, доцент Петр Афанасьевич Чалов

Ведущая организация: Институт математики с ВЦ

Уфимского научного центра РАН

Защита состоится « /Г » ноября 2005 г. в 16.50 на заседании диссертационного совета К212.208.06 в Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 5, механико-математический факультет РГУ, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ростовского государственного университета по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К212.208.06 к. ф.-м. н., доцент ® Кряквин

_-_Издательство "Танаис"_

Сдано в набор 29.09.05. Подписано в печать 29.09.05. Печатных листов 1.25. Тираж 100 экз. Изд. № 250. Заказ № 1019.

гооь- 4

¿-гьжч

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертации рассматривается задача о продолжении по Борелю и Уитни ультрадифференцируемых функций (УДФ) нормального типа. Пространства бесконечно дифференцируемых функций с ограничениями на рост производных изучались с различных точек зрения многими математиками (А. Бёр-линг, Дж. Бруна, Г. Бьорк, А. Данжуа, Л. Карлесон, X. Комат-су, Ю.Ф. Коробейник, С. Мандельбройт, Б.С. Митягин, И.Х. Мусин, В.В. Напалков, К. Румье, Л. Эренпрайс и др.). В числе многих других для этих пространств исследовался вопрос о справедливости аналогов теорем Бореля и Уитни о продолжении, которые формулируются следующим образом.

Теорема Бореля (1895 г.) Для любой последовательности {хп}^0 комплексных чисел найдется такая функция / из С°°(М), что

Теорема Уитни (1934 г.) Пусть К — непустой компакт в К", & ~ (/а)аем^ ~~ джет на компакте К (т. е. последовательность непрерывных на К функций). Следующие утверждения эквивалентны:

(г) существует функция / из С°°(КМ) такая, что

выполняется равномерно по всем х,у е К, когда — х|| —> 0.

К настоящему времени сложились два основных подхода к определению пространств УДФ: подход Бёрлинга-Бьорка. в котором рост

/{п)(0) = хп, Уяемь.

|/?|<т-Н

производных задается с помощью весовой функции, и подход Дан-жуа-Карлемана, когда соответствующие оценки выписываются с помощью весовой последовательности. Первый подход, в рамках которого и выполнена диссертация, был предложен А. Бёрлингом в 1961 г. и реализован Г. Бьорком в 1965 г. Первоначально пространства УДФ, задаваемые с помощью определенного в полуаддитивного сверху веса, были введены с целью обобщения теории распределений. В конце 80-х годов Р. Брауном, Р. Майзе и Б.А. Тейлором было разработано развитие указанного подхода, которое заключается в следующем: весовая функция теперь берется зависящей не от х из а от нормы х (т. е. фактически вес одномерный), но условие полуаддитивности сверху заменяется более мягким:

3 М> 1, ЭС > 0 | Чх,у>0 ш{х + у) <М{ш(х) + ш{у)) + С.

Основное внимание сначала уделялось пространствам УДФ минимального типа (или типа Бёрлинга) и максимального типа (или типа Румье). Фактически они порождаются последовательностями

{по;}^! и , соответственно. В конце 80-х - начале 90-х годов

п

X. Бонетом, Р. Брауном, Р. Майзе и Б.А. Тейлором было получено достаточное условие справедливости аналога теоремы Уитни в этих пространствах, а также показано, что оно является необходимым в случае выпуклого компакта. Позднее A.B. Абанин установил необходимость того же условия в случае компактов произвольной структуры. Затем Е.Р. Ляликовой этот результат был частично перенесен на случай многомерных весов, зависящих от модулей переменных. Далее, Е.С. Тищенко изучала пространства УДФ, порождаемые возрастающими и убывающими последовательностями {cjri}£Lj весовых функций. Для этих пространств был установлен аналог теоремы Пэли-Винера-Шварца, применяемый в настоящей диссертации. И, наконец, отметим, что, как было обнаружено Ю.Ф. Коробейником, проблема продолжения УДФ по Уитни напрямую связана с разработанной им в 70-80 годы теорией абсолютно представляющих систем (АПС). Позднее эта взаимосвязь изучалась также Е.С. Тищенко.

Итак, некоторые вопросы теории пространств УДФ исследованы достаточно глубоко в самой общей ситуации (для пространств,

задаваемых последовательностями весовых функций). В то же время, насколько нам известно, аналоги теорем о продолжении до настоящего времени были установлены лишь для пространств минимального и максимального типов. В связи с этим представляется актуальным рассмотреть подобную задачу для пространств УДФ нормального типа. Иными словами, необходимо охарактеризовать те весовые функции ш, для которых соответствующие пространства УДФ нормального типа допускают аналоги теорем Бореля и Уитни.

Цели работы:

• получение условий на весовую функцию, при которых для порождаемых ею классов УДФ нормального типа справедлив аналог теоремы Уитни и — как частный ее случай, соответствующий одноточечному компакту, — аналог теоремы Бореля;

• выявление взаимосвязи между вопросами продолжения УДФ нормального типа по Уитни и наличием в соответствующих пространствах ультраджетов АПС экспонент с мнимыми показателями;

• изучение некоторых сопутствующих задач:

- решение вопроса о совпадении пространств УДФ нормального типа, задаваемых двумя разными весовыми функциями;

- выяснение взаимотношений меЖду различными классами весов с точки зрения определяемых ими пространств УДФ нормального типа.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы современного и классического функционального, выпуклого и комплексного анализа, а также методы теории двойственности.

Научная новизна и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми, носят теоретический характер и могут найти дальнейшее применение, например, в

задачах разрешимости бесконечных систем линейных уравнений и в вопросах разложения ультрадифференцируемых функций в ряды экспонент.

Апробация работы. Основные результаты неоднократно докладывались на научном семинаре кафедры математического анализа Ростовского госуниверситета (руководитель — профессор Ю.Ф. Коробейник), на студенческих научных конференциях механико-математического факультета Ростовского госуниверситета, на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002 и 2004 гг.), а также на Международной научной конференции "Теория операторов. Комплексный анализ и математическое моделирование"(Волгодонск, 2005 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ. Результаты главы 1 опубликованы в [3,4,6,7], главы 2 — в [5], главы 3 — в [1-3,7]. В совместной с научным руководителем работе [1], в которой содержатся результаты второго раздела третьей главы, Ю.Ф. Коробейнику принадлежит формулировка основной теоремы и ее доказательство в двумерном случае, а Д.А. Абаниной — доказательство в произвольной многомерной ситуации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 58 наименований. Объем диссертации — 112 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава диссертационной работы посвящена весовым функциям, с помощью которых в подходе Вёрлинга-Бьорка определяются пространства УДФ. Мы опираемся главным образом на обобщение указанного подхода, разработанное Р. Брауном, Р. Майзе и Б.А. Тейлором.

Определение 1.1.1. Непрерывная неубывающая функция ш : [0, оо) —> [0, оо) называется весовой, если она удовлетворяет условиям:

(а) ЭМ>1, ЭС > 0 | Уж, 2/ > 0 ш(х + у) < М (и(х) + ш(у)) + С

(или, что то же самое, ш(21) = 0(u>(t)) , t -» оо);

оо

(7) Int = o(w(i)) , t -»• 00;

(<5) ipu(x) '■= ^(е1) выпукла на [0, оо).

Через обозначается сопряженная по Юнгу к функции <ри:

<рЦу) ■■= sup{xy - <pw{x) | х > 0} , у > 0.

В первом параграфе главы установлены следующие новые свойства весовых функций.

Лемма 1.1.3. Всякая весовая функция и; удовлетворяет условиям:

lim lim sup — i;

г\1 i—>00 W(t)

и + > 2и>(у) для всех у > 1 и t € [1, у] ■

Лемма 1.1.5. Пусть и> — весовая функция. Тогда для всех г > 1 и а € (0,1)

lim-= 00.

ж->oo ха

Во втором параграфе изучаются медленно меняющиеся весовые функции. Классы правильно меняющихся и медленно меняющихся функций достаточно хорошо известны и широко представлены в литературе. Необходимость рассматривать медленно меняющиеся весовые функции возникла в процессе решения задачи Бореля о продолжении для пространств УДФ нормального типа.

Определение 1.2.1. Положительная функция R называется медленно меняющейся на бесконечности, если она измерима на полуоси [Л, оо), А > 0, и для произвольного А > О

llm ~БГТ = 1 • 1-+00 Л[х)

Для весовой функции и медленное изменение, очевидно, эквивалентно условию

«-►оо ц|(£)

Примерами медленно меняющихся весовых функций служат

1п?(1 + 0 , ¡3 > 1, и ехр/па(1 + «) , 0 < а < 1,

а весовых функций, которые не являются медленно меняющимися, —

Забегая вперед, отметим, что медленное изменение весовой функции — это необходимое и достаточное условие справедливости в соответствующем пространстве аналога теоремы Бореля (см. ниже обзор главы 3). Доказать это позволяет следующий результат, устанавливающий связь между ростом на бесконечности медленно меняющейся весовой функции и; и ее гармонического продолжения

р / _ . ,.л 1 _ I , . если у/О,

ГШ Г

°ы{х + гу):= { тг У_00(<-а;)2 + г,2 [и>(]х\)

, если у = 0.

Теорема 1.2.4. Пусть ш — весовая функция. Следующие утверждения эквивалентны:

(г) и медленно меняется; (гг) 1ш1 —тр-гтт = 1;

(хЛ)-»оош(|х + »у|)

(иг) 1шг = 1.

у-*оо ш(\у\)

В третьем параграфе вводится новое понятие почти полуаддитивной сверху весовой функции.

Определение 1.3.1. Функцию и>: [0, оо) —)• [0, оо) будем называть почти полуаддитивной сверху, если для всякого р > 1 найдется С > 0 такое, что

и>(х + у) < р(ш{х) + ш(у)') + С для всех х,у> 0.

Таким образом, мы теперь имеем класс МА всех весовых функций и три его подкласса A, NA и SV, состоящие, соответственно, из всех полуаддитивных сверху, почти полуаддитивных сверху и медленно меняющихся весовых функций. Для того чтобы выяснить взаимосвязи между ними, во-первых, конструктивно строится весовая функция, которая не является почти полуаддитивной сверху (это означает, что N А — собственный подкласс класса МА). Во-вторых, приводится пример почти полуаддитивной сверху (более того, мед-I ленно меняющейся) весовой функции, которая не полуаддитивна

сверху.

В четвертом параграфе вводятся и изучаются понятия М- и I TV-подчинения и М- и TV-эквивалентности весовых функций, иг-

рающие существенную роль в вопросе о вложении или совпадении пространств УДФ, порождаемых двумя разными весами. Отметим, что использование этих понятий зависит от того, какой тип пространств УДФ мы рассматриваем: предельный (минимальный, максимальный) или нормальный.

Определение 1.4.1. Пусть ш, а 6 МА. Будем говорить, что

и> М-подчинена а (и -< а), если lim sup < 00. При этом а

<-+00 <r(t)

ММ

называется М-мажорантой ш. Если одновременно ш -< а и а -< ш, то и и er называются М-эквивалентными (ш ~ а).

Понятия М-подчинения и TW-эквивалентности неявно присутствовали еще у Г. Бьорка для полуаддитивных сверху многомерных весов, а для весов в смысле определения 1.1.1 — в работах У. Франкена. Однако, в случае пространств нормального типа они оказываются малопригодными, а их функции выполняют понятия TV-подчинения и TV-эквивалентности, которые мы сейчас приведем.

Определение 1.4.2. Пусть ш, er € N А. Будем говорить, что

и N-подчинена а (и ■< а), если lim sup i—j\ < 1- При этом а назы-

<-►00 cr(t)

Л' N

вается N-мажорантой и>. Если одновременно ш -< а и а ~< ш, то ш и а называются N-эквивалентными (и ~ er).

Отметим, что TV-эквивалентность весов равносильна их эквива-

лентности в обычном смысле, используемом в анализе. Именно,

N .. u(t)

ш ~ а lim —7-7 = 1. t-юо a(t)

Ясно также, что ЛГ-подчинениё и TV-эквивалентность весов влечет их JW-подчинение и, соответственно, М-эквивалентность.

В 1994 г. У. Франкен построил пример функции и> € МА, для которой нет ни одной полуаддитивной сверху М-мажоранты. Следующая теорема уточняет этот результат.

Теорема 1.4.6. Существует почти полуаддитивная сверху весовая функция и, для которой нет ни одной полуаддитивной свер-

N

ху весовой функции а такой, что и ■< а.

Итак, в классе NA имеется такая функция, которая не имеет ни одной N-мажоранты из класса А и которая, тем более, не может быть jV-эквивалентна ни одному весу из А. В то же время, для подкласса SV медленно меняющихся весов справедлива

Теорема 1.4.7. Всякая медленно меняющаяся весовая функция N-эквивалентна некоторой вогнутой полуаддитивной сверху медленно меняющейся весовой функции.

Вторая глава посвящена различным аспектам проблемы продолжения по Уитни УДФ нормального типа. Приведем точную постановку задачи. Для этого сначала определим пространства УДФ нормального типа.

Пусть ц> — весовая функция. Для функции / G C°°{13LN) и чисел s € (0,00), I € N положим

|/|ыл, sup sup |/(Q)(*)|exp ( - ^(H/*)) , оем0" ||z||<i

где а = (aj,..., a/v) — мультииндекс, |а| = aj + ... + адг — его

dMf

длина, /«*> := ~-—, \\х\\ = max{|x;| : 1 < j < N} для

х = (®1(..., хм) 6 RN. Для q е (0, оо] и г € [0, оо) введем следующие пространства бесконечно дифференцируемых функций:

:= {/ G C°°(RN) : I fljj < 00} ,

V) := П П ЬЛ*") -

¿€N56(0,9)

1)

/€N»€(»•,00)

Заметим, что ¿^(К^) и ¿-^(К^) — это уже изучавшиеся ранее пространства УДФ типа Бёрлинга (или минимального типа) и, соответственно, типа Румье (или максимального типа). В литературе они обычно обозначаются символами 5(Ш)(КЛГ) и При д € (0, оо) и ^^(К^) будем называть пространствами УДФ Бёрлинга и, соответственно, Румье нормального типа д.

Всюду в дальнейшем пространства УДФ нормального типа будут рассматриваться лишь в случае, когда ш — почти полуаддитивная сверху весовая функция. Такая замена условия 1.1.1(а) более жестким представляется нам естественной в связи со следующими соображениями. Фактически, пространство (соответственно, порождается весовой последовательностью вида {<7гА'}£!=1) где дп ^ д (соответственно, дп 4 д). В случае пространств минимального и максимального типов, когда 9 = 00 или <7 = 0, умножение этой весовой последовательности на произвольное М > 0 не меняет ее вид в том смысле, что числовые множители перед ш, как и раньше, стремятся к оо или к 0. Для пространств же нормального типа, чтобы сохранить сходимость к тому же самому д € (0, оо), мы можем умножать элементы весовой последовательности лишь на числа, стремящиеся к 1.

Будем для удобства использовать одно обозначение 5(®(КЛГ) для обоих пространств и д € (0,оо), если это не вы-

зывает недоразумений.

В третьем параграфе изучается вопрос о совпадении классов УДФ одного и того же нормального типа, порождаемых двумя различными весовыми функциями. Ранее подобная задача уже была решена для пространств УДФ минимального и максимального типов. Именно, У. Франкен показал, что если и, а — весовые функции (т. е. ш,а € МА), то с и (или) £{%(К") С

тогда и только тогда, когда а -< и. Соответственно, равенства имеют

место в том и только в том случае, когда а ~ и>. Заметим, что для и> и а из А (т. е. для полуаддитивных сверху весовых функций) это утверждение было доказано еще Г. Бьорком. В связи с этим результат У. Франкена, приведенный в обзоре первой главы, приобретает новый смысл. Фактически, он означает, что совокупность классов УДФ минимального и максимального типов, порождаемых весовыми функциями из А, строго уже, чем аналогичная совокупность, определяемая весами из МА.

Следующая теорема вместе с теоремой 1.4.6 показывает, что при рассмотрении пространств УДФ нормального типа также нельзя ограничиться лишь полуаддитивными сверху весовыми функциями. Теорема 2.3.1. Пусть и>,сг Е ИА, д € (0, оо). Для того чтобы

N

£Щ,(ЖК) С необходимо и достаточно, чтобы о < ш. Соот-

ветственно, = тогда и только тогда, когда

Другими словами, классов нормального типа, порождаемых почти полуаддитивными сверху весовыми функциями, больше, чем классов, определяемых полуаддитивными сверху весовыми функциями. Для доказательства этого результата используется тот же метод, что у Г. Бьорка.

Перейдем теперь к определению пространств джетов, соответствующих классам УДФ нормального типа. Пусть ш — весовая функция, К — непустой компакт в / = (/а)ае^ — джет на компакте К. Для тп £ а € с |а| < т и х, у 6 К положим

Далее, введем для джета / и положительного числа в две следующие величины:

I/|ЫАлг := эир вир |/а(ж)|ехр ( - зу£(|а|/в)),

Шш.з := вир ^р вир

1(Я£7)аЫ1(™ + 1-|а|)!

тбЦ» |а|<т

хфу

Пространствами ультраджетов Бёрлинга и Румье нормального типа д € (0, оо) будем называть соответственно пространства

:= П ЪЛЮ и е\и){К)-.= и где

л€( 0,9) 36(7,оо)

^(АГ) := {/ 6 ОД : ||/|и* := |/Цв,Аг + < оо} , а

— пространство всех джетов на компакте К. Будем опускать скобки и писать £%(К), если какое-либо утверждение касается как так и £1}(К).

Говорят, что для пространства ¿'¿(К^) справедлив аналог теоремы Уитни о продолжении, если для любого непустого компакта К в оператор рк ■ / >-> сюръективно отображает

¿'(К^) на £%(К). Еще раз напомним, что проблема продолжения по Уитни заключается в том, чтобы охарактеризовать те весовые функции и, для которых соответствующие пространства допускают аналог теоремы Уитни. Для решения этой задачи мы используем методы теории двойственности. В связи с этим, прежде всего, необходимо наделить рассматриваемые пространства естественными топологиями. Будем рассматривать как полунормированное пространство с преднормой | • Введем в пространствах £^(5?^) и топологии рго] £ШЛ^1П1П{ЖЫ) пргозтй^+х/п^),

Х ' п€Р1,п>1/? I "

соответственно. Аналогично, если пространство £ш,я{К) наделить топологией, задаваемой нормой || • ||ш>в>к-, то в пространствах ультраджетов £^(К) и £^(К) можно ввести топологии

рго; £и„-1/п(К)

п€1Ч,л>1/9 чей

Первый из двух основных результатов главы — необходимое условие справедливости аналога теоремы Уитни для пространств УДФ нормального типа — представлен в следующей теореме.

Теорема 2.5.3. Пусть ш — почти полуаддитивная сверху весовая функция, д е (0, оо), К — непустой компакт в Ш1^■ Если оператор рк : ¿'(К^) £%{К) сюръективен, то ш — медленно меняющаяся функция.

Доказательство базируется на построении специального семейства полиномов и ассоциированного с ним семейства линейных непрерывных функционалов. Отметим, что при этом существенную роль играет приведенная выше теорема 1.2.4 о медленно меняющихся весовых функциях.

Шестой параграф главы посвящен выявлению взаимосвязи между продолжимостью УДФ нормального типа по Уитни и наличием в соответствующих пространствах ультраджетов абсолютно представляющих систем экспонент с мнимыми показателями. Приведем необходимые нам для дальнейшего понятия, введенные Ю.Ф. коробейником в середине 70-х годов.

Определение 2.6.1. Последовательность X = {х*}^ элементов локально выпуклого пространства (ЛВП) Н называется абсолютно представляющей системой (АПС) в Н, если любой элемент

00 00

х € Н допускает представление вида х = £ ck%k и ряд J2 ckxk

к=1 к=i

сходится абсолютно в Н.

Определение 2.6.2. Пусть Н = lim ind. Нп — внутренний индуктивный предел ЛВП Нп. Последовательность X = {¡rjtjfcii эле~ ментов пространства Н называется индуктивно абсолютно представляющей системой (ИАПС'), если любой элемент х Е Н допус-

00

кает представление вида х = £ °kxk такое, что при некотором

k=i

00

n = п(х) € N СкХк содержится в Нп для всех А; 6 N и ряд YI ск%к

к=i

сходится абсолютно в Нп.

Далее, для непустого компакта К в M.N и фиксированного /i (Е RN рассматривается джет

\ (М a i<M,->l )

порожденный экспонентой eI<fi,i:>, х € Ш.^, с мнимым показателем. Здесь, как обычно,

N

< ц,х >:= ^ßjXj . 3=1

Предположим, что компакт К содержится в параллелепипеде

Та>ь := {х 6 К" : а < х < Ъ) = {х € : а, < х, < Ъ, , 3 = 1,..., ДГ}

(а, Ь € К^, й] < Ь], j = 1,..., ТУ), и выпишем систему джетов на компакте К специального вида:

2тг/? ( 2тг/?! 2гг/?лг \

где --= г-,..., т- .

о —а \01 — й1 ом — ар/)

Вторым основным результатом главы является

Теорема 2.6.4. Пусть ш — почти полуаддитивная сверху весовая функция, К — непустой компакт в д € (0, оо). Следующие утверждения эквивалентны:

(%) рк действует сюръективно из на £^(К) (соответ-

ственно, из Е4^(К^) на £^(К));

(И) в £^{К) (соответственно, в £^(К)) существует АПС (соответственно, И А ПС) из джетов, порождаемых экспонентами с мнимыми показателями;

(Ш) если К С Та,ь := {х £ Ш1* : а < х < Ь}, то (*) — АПС (соответственно, И АПС) в £^(К) (соответственно, в £^(К)).

Замечание. Если для какого-либо джета / = (/а)абМл- из £%{К) можно эффективно построить функцию ^ из такую, что

рк(Р) = /, то и коэффициенты хотя бы одного разложения / по системе (*) определяются эффективно. Верно и обратное.

Для доказательства теоремы 2.6.4 используется метод, предложенный Ю.Ф. Коробейником для случая компакта, совпадающего с замыканием своей внутренности. Отметим также, что позднее Ю.Ф. Коробейник реализовывал этот метод для множеств более общей структуры.

Третья глава диссертации посвящена теореме Бореля. Ее формулировка в одномерном случае была приведена в начале автореферата. Аналогичное утверждение справедливо и в многомерном случае. Понятно, что этот результат является частным случаем теоремы Уитни, когда компакт К С К", с которого ведется продолжение,

представляет собой одноточечное множество {0}. Многие математики занимались всевозможными аналогами и вариантами теоремы Бореля для различных пространств функций. В работе рассматриваются две подобные задачи.

В первом разделе устанавливается критерий справедливости аналога теоремы Бореля для классов УДФ нормального типа. Показано, что найденное во второй главе в случае произвольного компакта К необходимое условие — медленное изменение веса, задающего пространство, — является одновременно и достаточным, если К — одноточечное множество. При этом пространства ультраджетов представляют собой пространства последовательностей комплексных чисел:

еи= П ' ^м= U '

«6(0,9) »e(e,oo)

где

= {d = (da)a&iN : ||d||WiJ = sup |da| exp ( - sy£(|a|/s)) < 00} .

Говорят, что для класса ¿^(R^) (соответственно, спра-

ведлив аналог теоремы Бореля, если оператор рщ : / (/^(0))aeNjv отображает сюръективно ¿"^(R^) на (соответственно,

на £'„>)•

Центральный результат раздела составляет Теорема 3.1.1. Пусть и — почти полуаддитивная сверху весовая функция, q 6 (0, оо). Следующие утверждения эквивалентны:

(i) для £^(RN) и (или) справедлив аналог теоремы Бо-

реля;

(И) LJ — медленно меняющаяся функция.

Доказательство теоремы 3.1.1 проводится по схеме, предложенной X. Бонетом, Р. Брауном, Р. Майзе и Б.А. Тейлором для пространств УДФ минимального и максимального типов. Однако, применение этой схемы в случае пространств нормального типа стано-

вится возможным лишь благодаря установленным в первой главе новым свойствам весовых функций.

Во втором разделе рассматривается так называемая аналитическая проблема Бореля. В 2000 г. Ю.Ф. Коробейником был предложен метод исследования этой задачи, основанный на поиске ее решения в виде сумм различных функциональных рядов (степенных, простейших дробей и экспонент) и использовании теоремы Полиа о разрешимости бесконечных систем линейных уравнений. Тогда же этот метод был реализован в одномерной ситуации, а для систем экспонент и в двумерной. Было также отмечено, что аналогичные результаты могут быть получены в общем многомерном случае. Их доказательство и составляет основное содержание раздела. Начнем с постановки задачи.

Пусть F — некоторое множество в CN такое, что каждая его точка z = (zi,..., zn) является предельной для множеств

F П {z + we, : w € С} , 1 <j<N,

где ei,..., e^v — координатные орты в С^. Для функции / : F —> С естественным образом определим частные производные первого по-

df, s

рядка -—(z) в точке z € F:

tsZj

f£w. lim /(-ч-чЬ/Ц.

OZj , w->0 m W

J (z+we,£F)

По индукции вводятся частные производные любого порядка

9|а|/

f(a){z) := ^^-ФУНКЦИИ /• Будем говорить, что функция / бесконечно дифференцируема на F, если на F существуют все частные производные функции / и они непрерывны на F. Через C°°(F) обозначим класс всех бесконечно дифференцируемых на F функций. Очевидно, что всякая функция / из C°°{F) аналитична в intF.

Предположим, что 0 £ dFf]F, и рассмотрим следующую задачу, являющуюся одним из вариантов проблемы Бореля. По заданной последовательности (¿0)q6Nn комплексных чисел требуется найти

функцию / е для которой

Если такая функция / существует для любой последовательности (^а)аеГ(лг, то в соответствии с определением, введенным Ю.Ф. Коробейником, множертво .Р будем называть 5-множеством. Основные результаты раздела следующие. Теорема 3.5.2. Пусть П;- := {г € С : Ее г,- < 0}ДГ; = {г €_С : Де^ < 0} (1 < ] < ЛГ); П := Пх х ... х П*, П = Пх х ... х П*. Тогда для любой последовательности комплексных чисел

найдется функция / € С°°(П), аналитическая в П, для которой

/(о)(0) = 4,Уа€<.

(иначе говоря, П является В-множеством).

Следствие 3.5.3. Пусть ^ = Рх х ... х где — одно-связная область в С с замкнутой жордановой границей Гу класса С°°, содержащей точку Zj = 0, 1 < j < N. Тогда Г является В-множеством.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору Ю.Ф. Коробейнику за постоянное внимание к работе,

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Абанина Д.А., Коробейник Ю.Ф. О построении решения многомерной проблемы Бореля с помощью кратных рядов экспонент // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2001. №2. С.3-5.

2. Абанина Д.А. Теорема Бореля для пространств ультрадиф-ференцируемых функций нормального типа // Труды международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо. 2002. С.96-97.

3. Абанина Д.А. Об аналогах теоремы Бореля для пространств ультрадифференцируемых функций нормального типа // Изв. вузов. Математика. 2003. №8. С.63-66.

4. Абанина Д.А. О классах весов, используемых при определении пространств ультрадиффереицируемых функций // Труды международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо. 2004. С.71-72.

5. Абанина Д. А. Абсолютно представляющие системы экспонент с мнимыми показателями в пространствах ультраджетов нормального типа и продолжение функций по Уитни // Владикавказский мат. журнал. 2005. t.7. Вып.1. С.3-15.

6. Абанина Д.А. О классах весов, используемых при определении пространств ультрадиффереицируемых функций // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2005. №1. С.3-7.

7. Abanina D.A. On Borel's theorem for spaces of ultradifferentiable functions of mean type // Result. Math. 2003. V.44. №3-4. P. 195-213.

IH fl 7 4Í

РНБ Русский фонд

2006-4 16032

Введение

Глава 1. Весовые функции

1.1 Весовые функции и их свойства

1.2 Медленно меняющиеся весовые функции

1.3 Почти полуаддитивные сверху весовые функции

1.4 М- и Лг-эквивалентность весовых функций

Глава 2. Продолжение ультрадифференцируемых функций нормального типа по Уитнп

2.1 Пространства ультрадифференцируемых функций нормального типа

2.2 Топологические свойства пространств ультрадифференцируемых функций нормального тина

2.3 Совпадение классов ультрадифференцируемых функций нормального типа

2.4 Пространства ультраджетов нормального типа. Постановка задачи о продолжении но Уитни

2.5 Необходимое условие справедливости аналога теоремы Уитни для пространств ультрадифференцируемых функций нормального типа

2.5.1 Построение специального семейства полиномов

2.5.2 Основной результат

2.0 Абсолютно представляющие системы экспонент с мнимыми показателями в пространствах ультраджетов нормального типа и продолжение функций по Уитни 72, 2.0.1 Пространства периодических ультрадифференцируемых функций нормального типа и базисные системы экспонент в них 73 2.0.2 Основной результат

Глава 3. Аналоги и модификации теоремы Бореля

Раздел I. Критерий справедливости аналога теоремы Бореля для пространств ультрадифференцируемых функций нормального типа

3.1 Постановка задачи и формулировка основного результата

3.2 Реализация сильных сопряженных к пространствам последовательностей нормального типа в виде пространств целых функций

3.3 Формулировка задачи в терминах целых функций

3.4 Доказательство основного результата 95 Раздел II. Построение аналитических решений многомерной проблемы Бореля с номощыо кратных рядов экспонент

3.5 Постановка задачи и основной результат

1. Пусть ш — весовая функция, т. е. непрерывная неубывающая на [0, +оо) неотрицательная функция, удовлетворяющая условиям: а) ЗМ > 1, ЗС > 0 | Ух, у > 0 и{х + у)< М(ш(х) + ш{у)) + С (или, что то же самое, u>{2t) = 0(u>(t)) , t —> оо);

3) / <

7) lní = o(w(t)) , t —> сю;

J) <Pu(x) oj(ex) выпукла на [0, оо).

Далее, пусть := sup{ícy — <ры(х) | х > 0} — функция, сопряженная по Юнгу к (ри(х). Пространства ультрадифференцируемых функций (УДФ) Бёрлинга и, соответственно, Румье нормального типа q (термин нормальный означает, что q G (0, 00)) вводятся следующим образом:

URn) := {f G C°°(Rn)|VZ 6 N,Vs G (0iQ) sup sup i^M < ,

L(RiV) := e C°°(RN)\4l G N 3S G (q, 00) : sup sup <

1 * aeK |М|</ e'MM'8)

Здесь a = (ai,., адг) — мультииндекс, \a\ = a\ +. + oln — его длина, ||ж|| := ^maxja^l — рассматриваемая нами норма в ~R.N.

Пусть, далее, К — непустой компакт в R^. Джетом на компакте К называется последовательность / = (/a)neng непрерывных на компакте К функций. Обозначим символом J (К) пространство всех джетов на компакте К и введем для произвольного элемента / из J(K) так иазываемые остаточные члены да/г (у) ••= г (у) - Е т 6 No; а G Nf : |а| < т; ж, у G К.

Положим теперь иг,, l/QWI IW7)ftfo)|(m + i- Н)! L s к '•= sup sup /Д + sup sup sup lv xJJ --хфу

Пространствами ультраджетов Бёрлипга и Румье нормального типа q будем называть соответственно пространства

Ы)(Ю {/ е J (К) I Vs 6 (0, q) \\f\\,^K < оо} и е\ы){К) := {/ £ J (К) I 3s € (g, оо) : \\f\\^K < оо} .

Проблема продолжения по Уитни УДФ нормального типа заключается в нахождении необходимых и достаточных условий на весовую функцию о>, при которых оператор рк : / <Е С00^^) сюръ-ективно отображает на £^(К) (соответственно, £|^(ЕЛГ) на £^(К)). История этой проблемы восходит к 1895 году, когда Э. Боре-лем [34] был доказан следующий результат: для всякой последовательности комплексных чисел имеется такая функция / из <7°°(R), что п)(0) = *п, VrzeNo.

Таким образом, первоначально задача продолжения была решена для пространства С°°(М) и одноточечного компакта К = {0}. Заметим, что на самом деле сформулированное утверждение справедливо и в многомерном случае. Затем в 1934 году Г. Уитни [51] обобщил этот результат на случай произвольного непустого компакта К в Е^. Именно, было показано, что оператор рк сюръективно отображает пространство C30(R/V) на пространство «7о(^0 нсех джетов Уитни па компакте К. Под джетом Уитни понимается такой джет /, что для всех т € N0 и а € с \а\ < т равенство выполняется равномерно по всем х,у € К, когда ||у — ж|| -> 0.

Продолжая классические работы Бореля и Уитни, многие авторы [2, 3,13,28,32,33,30,37,39,42,44,40,50] исследовали аналогичные проблемы продолжения для пространств бесконечно дифференцируемых функции с ограничениями на рост производных. Отметим в связи с этим, что различным задачам, которые в той или ином степени участвуют в построении теории подобных пространств, посвящено значительное число работ (помимо перечисленных выше см., например, [9,12,14-10,18,29,30,

К настоящему времени сложились два основных подхода к определению пространств УДФ: подход Бёрлинга-Бьорка, в котором рост производных задается с помощью весовой функции, и подход Данжуа-Карле-мана, когда соответствующие оценки выписываются с помощью весовой последовательности. Как следует из приведенной выше постановки задачи, настоящая работа выполнена в рамках первого подхода. Остановимся кратко на нем самом и на полученных в этом направлении теоремах продолжения.

Пространства УДФ, задаваемые с помощью определенного в полуаддитивного сверху веса, были введены А. Бёрлингом с целыо обобщения теории распределений. В конце 80-х годов Р. Брауном, Р. Майзе и Б.А. Тейлором [35] было разработано частичное развитие указанного подхода, которое заключается в следующем: весовая функция теперь

35,38,48,49]). берется зависящей не от х из RN, а от нормы х (т. е. фактически нес одномерный), но условие полуаддитшшости сверху заменяется более мягким требованием (а). Основное внимание сначала уделялось пространствам УДФ минимального типа (или типа Бёрлинга) и максимального типа (или типа Румье). В наших обозначениях это пространства и

Фактически они порождаются последовательностями {по;}^ и {—соответственно. В частности, в [28,32,44] для пространств ¥1/ минимального и максимального типов была решена проблема продолжения по Уитни. Именно, было показано, что аналог теоремы Уитни в указанных пространствах справедлив тогда и только тогда, когда

Ш(Ы) Г Г 1 lim sup—-г-— < L при некотором L > 1 00 u{t) такие ш называются строгими). В [10,11] этот результат был частично перенесен на случаи многомерных весов, зависящих от модулей переменных. Далее, в [1,23] изучались пространства УДФ, порождаемые возрастающими и убывающими последовательностями {а^}^^ весовых функций. Для этих пространств был установлен аналог теоремы Пэли-Випера-Шварца, применяемый в настоящей диссертации к пространствам нормального типа, т. е. в случае, когда шп = qnu, qn /* q либо qn \ q, q e (0,oo).

Наконец, отметим, что, как было обнаружено Ю.Ф. Коробейником в [8,9,43], проблема продолжения УДФ по Уитни напрямую связана с разработанной им в 70-80 годы [4,5] теорией абсолютно представляющих систем. Позднее эта взаимосвязь исследовалась также в [23]. Напомним, что в соответствии с определением, введенным в [4], последовательность X = {^А;}^! локально выпуклого пространства Н называется абсолютно представляющей системой (АПС) в Я, если каждый элемент х G Н

00 оо допускает представление х = ^ СкХк, и ряд ^ с^х^ сходится абсолютно а=1 к=1 в II.

В завершение обзора полученных ранее результатов нужно заметить, что, насколько нам известно, для классов УДФ нормального типа задачи продолжения по Уитни-Борелю до сих пор не рассматривались. Их исследование и послужило темой данной диссертации. Основные цели работы следующие:

• получение условий на весовую функцию, при которых для порождаемых ею классов УДФ нормального типа справедлив аналог теоремы Уитни и — как частный ее случай, соответствующий одноточечному компакту, — аналог теоремы Бореля;

• выявление взаимосвязи между вопросами продолжения УДФ нормального типа по Уитни и наличием в соответствующих пространствах ультраджетов АПС экспонент с мнимыми показателями;

• изучение некоторых сопутствующих задач: решение вопроса о совпадении пространств УДФ нормального типа, задаваемых двумя разными весовыми функциями; выяснение взаимотношений между различными классами весов с точки зрения определяемых ими пространств УДФ нормального типа.

Следует подчеркнуть, что классы нормального типа являются гораздо более "тонкими", чем предельные (т. е. классы минимального и максимального тина). В связи с этим условие (о;) на весовую функцию пришлось заменить более жестким требованием почти полуаддитивности сверху. Весовую функцию и будем называть почти полуаддитпивпой сверху, если для любого р > 1 найдется С > О такое, что ш(х + у)< р(со(х) + ш(у)) + С, Уж, у > 0.

Более подробно причины этой замены и ее естественность будут обсуждаться в § 2.1.

2. Основными результатами работы являются

Теорема А. Пусть си — почти полуаддитивпая сверху весовая функция, Е (0,оо); К — непустой компакт в В.". Для того чтобы в пространствах и (или) был справедлив аналог теоремы Уигпии, необходимо, чтобы си была медленно меняющейся функцией, т. е. чтобы

Теорема В. Пусть со — почти полуаддитивная сверху весовая функция, £ (0, оо). Аналог теоремы Бореля справедлив в пространствах и (или) (Ндг) тогда и только тогда, когда си — медленно меняющаяся функция.

Теорема С. Пусть и — почти полуаддитивная сверху весовая функция, К — непустой компакт в Мдг; q е (0, оо). Следующие утпверо/сде-ния эквивалентны: г) рк действует сюръективио из на£^(К) (соответственно, из ^}(МЛГ) на £\Ы){К)); гг) в (соответственно, в £^(К)) существует абсолютно представляющая система (соответственно, индуктивно абсолютно представляющая система) из дэюетов, пороэюдасмых экспонентами с мнимыми показателями: иг) если К С Тв)Ь := {х е : а < х < Ь} (а,Ь е : а^ < ^, 3 = 1,., Щ, то система является абсолютно представляющей системой (соответственноиндуктивно абсолютно представляющей системой) в (соответственно, в £^(К)).

Из решенных попутно задач выделим две следующие: Теорема Б. Пусть ш,<г — почти полуаддитивные сверху весовые функции, <7 £ (0,оо). Для того чтобы = и (или) необходимо и достаточно, чтобы си и а были эквивалентны в обычном смысле, т. е. чтобы

Теорема Е. Имеется такая почти полуаддитивная сверху весовая функция, которая не эквивалентна пи одной полуаддитивпой сверху весовой фунщии.

Следствие. Классов УДФ нормального типа, пороэюдаемых почти полу аддитивными сверху весовыми функциями, больше, чем тех эюе классов, определяемых полу аддитивными сверху весами.

На наш взгляд, следует еще особо отметить одно из установленных в главе 1 вспомогательных утверждении о весовых функциях, которое используется для доказательства всех трех теорем А-С и которое представляет собой (с точки зрения автора) наибольший самостоятельный интерес. Для него нам понадобится ввести гармоническое продолжение веса и:

М Г°° "(Н) м сслп у + о

7Г Л-ОО (¿ —Ж)2+7/2 ' ССЛИ У 7е и) если у = 0.

Теорема Е. Для весовой функции и эквивалентными являются три ииэ/сепривсдснпых утверэюдения: г) си медленно меняется; гг) hm —р-—( = 1; х,у)->оо и{\х + гу )

Л г Ри{гу) Л ггг) lim —тт—р- = 1. оо Ц|?/|)

Доказательство теорем А и В проводится методом, разработанным в [44] и [28] для пространств минимального и максимального типов. Его суть заключается в переходе к двойственной задаче, которая формулируется в терминах целых в CN функций. Заметим, однако, что реализация этого метода в случае пространств нормального типа становится возможной лишь благодаря установленным в главе 1 новым свойствам весовых функции. Наконец, для того чтобы установить взаимосвязь между продолжением УДФ нормального типа но Уитни и наличием в соответствующих пространствах ультраджетов АПС экспонент с мнимыми показателями, мы используем методы Ю.Ф. Коробейника из [8,43].

Материал диссертации разбит на три главы. В первую главу, как уже было сказано выше, включены все вспомогательные утверждения о весовых функциях, составляющие аналитическую основу последующей работы. Достаточно много внимания уделяется также классам медленно меняющихся и почти полуаддитивных сверху весов и их взаимотношениям с классом полуаддитивных сверху весов. Полученный в этом направлении результат (теорема Е) является усилением результата У. Франкена из [40].

Вторая глава иолпостыо посвящена продолжению УДФ нормального типа по Уитни. Теорма А доказывается в § 2.5, а теорема С — в § 2.6. Кроме того, в § 2.3 решается задача о совпадении классов УДФ нормального типа, порождаемых двумя разными весовыми функциями (теорема Б).

Глава 3 разделена на два раздела. В первом из них устанавливается критерий справедливости аналога теоремы Бореля о продолжении для пространств УДФ нормального типа, т. е. теорема В. Во втором разделе рассматривается задача об аналитических решениях проблемы Бореля. Здесь основной нашей целыо было обобщить полученный в [7] одномерный результат Ю.Ф. Коробейника на произвольный многомерный случай.

По теме диссертации опубликовано 7 работ. Результаты главы 1 опубликованы в [54,55,57,58], главы 2 — в [56], главы 3 — в [52-54,58]. В совместной с научным руководителем работе [52] по результатам второго раздела главы 3 Ю.Ф. Коробейнику принадлежит формулировка основной теоремы и ее доказательство в двумерном случае, а Д.А. Аба-ниной — доказательство в произвольной многомерной ситуации.

Материал неоднократно докладывался на научном семинаре кафедры математического анализа Ростовского госуниверситета (руководитель — профессор Ю.Ф. Коробейник), на студенческих научных конференциях механико-математического факультета Ростовского госуниверситета, на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002 и 2004 гг.).

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору Ю.Ф. Коробейнику за постоянное внимание к работе.

1. Абашш A.B., Тшценко Е.С. Пространства ультрадифференциру-емых функции и обобщение теоремы Пэли-Винера-Шварца // Изв.вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 1997. №2. С.5-8.

2. Бронштейн М.Д. Продолжение функций в неквазианалитических классах Карлемана // Изв. вузов. Математика. 1986. Т.295. №12. С.10-12.

3. Джанашия Г.А. О задаче Карлемана для класса функций Жевре // ДАН. 1962. Т. 145. №2. С.259-262.

4. Коробейник Ю.Ф. Об одной двойственной задаче. I.Общие результаты. Приложения к пространствам Фреше // Матем. сб. 1975. Т.97. т. С.193-229.

5. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // Успехи мат. наук. 1981. Т.36. т. С.73-126.

6. Коробейник Ю.Ф. Об аналитических решениях многомерной проблемы Бореля // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо. 1998. С.102-103.

7. Коробейник Ю.Ф. Об аналитических решениях проблемы Бореля // Матем. заметки. 2000. Т.67. №4. С.525-538.

8. Коробейник Ю.Ф. О некоторых общих классах бесконечно дифференцируемых функций многих вещественных переменных // Исследования по комплексному анализу, теории операторов и математическому моделированию.-Владикавказ: Изд. ВНЦ РАН. 2004. С.90-140.

9. Ляликова Е.Р. Теоремы Бореля и Уитни в пространствах бесконечно дифференцируемых функций, определяемых многомерными весами // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2002. №3. С.27-29.

10. Ляликова Е.Р. Аналоги теоремы Уитни о продолжении для пространств ультрадифференцируемых функций, определяемых многомерным весом. Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук.-Ростов-на-Дону. 2003. 115с.

11. Мандельбройт С. Примыкающие ряды, регуляризация последовательностей, примененпя.-М.:Изд. иностр. лит-ры. 1955. 2G8c.

12. Митягин B.C. О бесконечно дифференцируемой функции с заданными значениями производных в точке // ДАН. 1961. Т.138. №2. С.289-292.

13. Мусин И.Х. О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций // Ма-тем. сб. 2000. Т.191. jY«10. С.57-86.

14. Мусин И.Х. Теорема типа Пэли-Винера для весового пространства бесконечно дифференцируемых функций // Изв. РАН. Сер. матем. 2000. Т.64. т. С.181-204.

15. Мусин И.Х. О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций в RN // Матем. сб. 2004. Т.195. №0. С.83-108.

16. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях-М.: Мир. 1971. 231 с.

17. Напалков В.В., Рудаков И.А. Описание ядра оператора свертки в пространствах типа Жеврея // Препр. Уфа. Ин-т. мат. 1988. 33с.

18. Райков Д.А. О двух классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // Труды семинара по функ. ан., Воронеж. 1957. №5. С.22-34.

19. Робертсон А.П., Робертсон В.Дж. Топологические векторные пространства.-М.: Мир. 1967. 257 с.

20. Себаштьян-и-Силва Ж., О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // Математика. Периодический сборник переводов иностранных статей. 1954. Т.1. Вып.1. С.60-77.

21. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции.-М.: Наука. 1985. 141 с.

22. Тищенко Е.С. Пространства ультрадифференцируемых функций типа Бёрлинга и абсолютно представляющие системы экспонент в них. Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук.-Ростов-на-Дону. 2002. 124с.

23. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 1. Теория распределений и анализ Фурье.-М.: Мир. 1986. 464 с.

24. Хилл Э. Функциональный анализ и полугруппы-М.: Изд. иностр. лит-ры. 1951. G35 с.

25. Чирка Е.М. Регулярность границ аналитических множеств // Ма-тем. сб. 1982. Т.117. №3. С.291-336.

26. Эдварде Р. Функциональный анализ.-М.: Наука. 1969. 1071 с.

27. Abariin A.V. On Whitney's extension theorem for spaces of ultradifferentiable functions // Math. Ann. 2001. V.320. P.115-126.

28. Beurling A. Quasi-analiticity and general distributions // Lectures 4 and 5. AMS Summer Institute. Stanford. 1961.

29. Bjôck G. Linear partial differential operators and generalized distributions // Ark. Mat. 1965. V.6. P.351-407.

30. Boas R.P. Entire functions-Academic Press. 1954.

31. Bonet J., Meise R., and Taylor B.A. Whitney's extension theorem for ultradifferentiable functions of Rournieu type // Proc. R. Ir. Acad. 1989. V.89(A). P.53-66.

32. Bonet J., Braun R.W., Meise R., and Taylor B.A. Whitney's extension theorem for non-quasianalytic classes of ultradifferentiable functions // Stud. Math. 1991. V.99. P.155-184.

33. Borel E. Sur quelques points de la théorie des fonctions // Ann. Sci. Ec. Norm. Super. 1895. 3 Ser. V.12. P.9-55.

34. Braun R.W., Meise R., Taylor B.A. Ultradifferentiable functions and Fourier analysis // Result. Math. 1990. V.17. P.200-237.

35. Brima J. Ail extension theorem of Whitney type for non- quasianalytic classes of functions // J. Lond. Math. Soc. 1980. V.22. P.495-505.

36. Carleson L. On universal moment problems // Math. Scand. 1901. V.9. P. 197-200.

37. Ciorfmescu I., Zsidö L. o;-ultradistributions and their applications to operator theory // Spectral Theory.-Warsaw: Banach Center Publications. 1982. V.8. P.77-220.

38. Ehrenpeis L. Fourier analysis in several complex variables-New York: Wiley-Interscience Publ. 1970.

39. Franken U. Weight functions for classes of ultradifFerentiable functions // Result. Math. 1994. V.25. №1-2. P.50-53.

40. Grothendieck A. Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires // Mem. Amer. Math. Soc. 1955. V.16.

41. Komatsu H. Ultradistributions I. Structure theorems and a characterization // J. Fac. Sei. Tokyo, Sec. IA. 1973. V.20. P.25-105.

42. Korobeinik Yu.F. On absolutely representing systems in spaces of infinitely differentiable functions // Stud. Math. 2000. V.139. №2. P.175-188.

43. Meise R. and Taylor B.A. Whitney's extension theorem for ultradiffe-rentiable functions of Beurling type // Ark. Mat. 1988. V.2G. P.205-287.

44. Meise R., Vogt D. Einführung in die Funktionalanalysis.-Braunschweig: Vieweg. 1992. 411 p.

45. Petzsche H.-J. On E.Borel's theorem // Math. Ann. 1988. V.282. P.292-313.

46. Polia G. Eine Verallgemeinerung des Fabryschen Lückensatzes // Nachr. Gesellsch. Wissensch. Göttingen. 1927. P. 187-195.

47. Roumieu C. Sur quelques extensions de la notion de distributions // Ann. Sei. Ecole Norm. Sup. Paris. 19G0. 3 Ser. V.77. P.41-121.

48. Taylor B.A. Analytically uniform spaces of infinitely differentiable functions // Commun. Pure Appl. Math. 1971. V.XXIV. P.39-51.

49. Wahde J. Interpolation in non-quasianalytic classes of infinitely differentiable functions // Math. Scand. 19G7. V.20. P.19-31.

50. Whitney H. Analytic extension of differentiable functions defined in closed sets // Trans. Amer. Math. Soc. 1934. V.3G. P.G3-89.Список работ по теме диссертации

51. Абаннна Д.А., Коробейник Ю.Ф. О построении решения многомерной проблемы Бореля с иомощыо кратных рядов экспонент // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2001. №2. С.3-5.

52. Абанина Д.А. Теорема Бореля для пространств ультрадифферен-цируемых функций нормального типа // Труды международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо. 2002. C.9G-97.

53. Абанина Д.А. Об аналогах теоремы Бореля для пространств ультрадифференцируем ых функций нормального типа // Изв. вузов. Математика. 2003. №8. C.G3-GG.

54. Абанина Д.А. О классах весов, используемых при определении пространств ультрадифференцируемых функций // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2005. №1. С.3-7.

55. Abanina D.A. On Borel's theorem for spaces of ultradifferentiable functions of mean type // Result. Math. 2003. V.44. №3-4. Р.1Э5-213.