Многоэлементные уравнения для функций, голоморфных во внешности круговых многоугольников, и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ПОРОЖДЕННЫЕ ГРУППОЙ ДИЭДРА

§1. Проблема обращения особого интеграла на границе кругового сектора с углом 7г/2.

§2. Функциональные уравнения для функций, голоморфных во внешности кругового сектора с углом 7г.

§3. Линейное функциональное уравнение для функций, голоморфных во внешности кругового сектора с углом тг/З.

ГЛАВА 2.

ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ, ГОЛОМОРФНЫХ В ПЛОСКОСТИ С РАЗРЕЗАМИ

§4. Функциональные уравнения для функций, голоморфных в плоскости с одним разрезом.

§5. Функциональные уравнения для функций, голоморфных в плоскости с двумя параллельными разрезами.

§6. Некоторые приложения линейных функциональных уравнений в случае одного разреза.

§7. Некоторые приложения линейных функциональных уравнений для двух разрезов.

1. Данная работа посвящена исследованию линейных функциональных уравнений вида п = Е M[°k{z)] = g(z), Z е D. (o.i) к=i

Здесь D - некоторая область ограниченная кусочно-гладкой кривой, Ak - заданные постоянные. Дробно-линейные функции <Jk(z) обладают тем свойством, что Vz € D имеем ^ D. Всегда предполагается,что множество п

Н = С - U ah(D) (0.2) к=1 п несвязно. Другими словами, множество [J (Tk(D) разделяет область D и к=i бесконечно удаленную точку. Свободный член g(z) голоморфен в D (g(z) 6 A(D)), а решение ф(г) отыскивается в классе функций, голоморфных вне D и исчезающих на бесконечности (ф(г) € A{cD)). Предполагается, что граничное значение g+(t) € Hv(dD), 0 < v < 1 (удовлетворяет условию Гёльдера на границе области). Граничное значение неизвестной функции ф~ (t) должно удовлетворять условию Гёльдера на каждой гладкой компоненте границы, а в узлах допускаются, самое большее, логарифмические особенности. Такой класс решений обозначим через В.

Впервые такой подход встретился в работе Ф. И. Гарифьянова [6] в случае, когда область D - прямоугольник. Преобразования (?k{z) являлись порождающими преобразованиями соответствующей двоякопериодической группы или преобразованиями, обратными к ним. Предполагалось, что Ак = 1, к = 1,4. К этому линейному четырехэлементному разностному уравнению с постоянными коэффициэнтами нельзя было применить классические методы исследования операторов типа свертки [29], включая и преобразования Бореля ([5], гл.1, §1). Дело в том, что уравнение (0.1) задано лишь на одной связной компоненте множества (0.2), не содержащей бесконечно удаленную точку. Таким образом, функция д(г) не обязана быть аналитически продолжимой через какую-нибудь дугу границы ¿Ш. Но даже дополнительное предположение о возможности такого аналитического продолжения (как, например, в случае однородного уравнения (д(г) = 0)) нисколько не облегчает исследование задачи (0.1). Поэтому решение ищется в виде интеграла типа Коши

ФМ = Ь / г * ° №

Узд т - г с неизвестной плотностью. С учетом представления (0.3) соотношение (0.1) записывается в виде интегрального уравнения

А<р)(г) = <р(т)Е{г, т)Ат = д(г), z £ В. (0.4)

Но

Его ядро п

Е&т) = 1£Мт-<ТкШ-1 (0.5) к=1 голоморфно в области В по переменной 2. Далее, с использованием теории краевых задач со сдвигом Карлемана [20], рассматривается вопрос о равносильности регуляризации уравнения (0.4). Такой подход оказался применимым к многим случаям уравнения (0.1) (более подробно см. [7]). Интегральное уравнение (0.4) тесно связано и с проблемой обращения особого интеграла

А*)® = #), t € ад (о.б) к которой приводит задача о вычислении спектра особого интегрального оператора А, понимаемого в смысле главного значения по Коши (см., напр., [6]). Особый оператор А обладает тем свойством, что А2 — —I+ К, где К - компактный оператор, а I - тождественный. Абстрактная теория таких операторов была впервые рассмотрена Г. И. Агаевым [2] (см. также монографию ([21], с. 101 )).

Уравнение (0.1) имеет многочисленные приложения в самых различных разделах комплексного анализа. Уже отмечалось, что преобразование Бореля нельзя применить к исследованию этого уравнения даже в том простейшем случае, когда оно - разностное. Вместе с тем его решение ф(г) можно рассматривать как нижнюю функцию, ассоциированную по Борелю с некоторой верхней функцией Ф(г) - целой функцией экспоненциального типа (ц. ф. э. т.) ([24], гл. 1, §20).

Применяя формулы преобразования Бореля и переходя от нижних функций в уравнении (0.1) к верхним, получаем равносильную задачу для верхних функций. Для этого область О интерпретируем как сопряженную индикаторную диаграмму (наименьшее выпуклое множество, содержащее все особенности нижней функции) ([25], с. 22 - 25). Приравнивая коэффициенты Тейлора левой и правой части уравнения (0.1), в некоторой точке го € И (обычно в качестве этой точки выбирается ноль), приходим к классической проблеме моментов Стильтьеса в ранее не изучавшихся классах ц. ф. э. т. (см., напр., [10], [12]) на одном или нескольких лучах. Этот же аппарат позволяет строить биортогонально сопряженные системы аналитических функций на некоторой замкнутой или разомкнутой кривой [8], [9], [И]. Здесь требуется выделить классы голоморфных функций, представимых в некоторых областях своими биортогональными рядами. Возникают различные интерполяционные задачи, а также теория абсолютно представляющих систем (а. п. с.) и тесно связанные с нею нетривиальные разложения нуля (н. р. н.). Эти проблемы подробно изучались в работах Ю. Ф. Коробейника и его учеников (см., [1], [22], [28]).

Область В удобно выбирать так, чтобы это было фундаментальное множество некоторой собственно разрывной группы дробно-линейных преобразований ([16], с. 361 - 369). Тогда для регуляризации уравнения (0.1) можно использовать теорию автоморфных функций [17]. Например, пусть область Б - прямоугольник. Это - реализация на плоскости римановой поверхности рода 1 и здесь может использоваться теория двоякоперио-дических функций. С другой стороны, это выпуклое множество интерпретируется как сопряженная индикаторная диаграмма для некоторого класса ц. ф. э. т. Появляется возможность применить теорию краевых задач на римановых поверхностях [19] к исследованию проблемы моментов в некоторых классах целых функций с экспоненциальным весом.

2. Теперь более подробно остановимся на одной проблеме моментов ц. ф. э. т., рассмотренной в диссертации. Проблема моментов Стильтьеса состоит в отыскании функции Ф(ж), для которой лоо

Л ' ${х)хп<1х = сП1 п = 1,2,. (0.7) о где сп - заданные числа. Впервые четко сформулированная в 1894 г. в [31], она привлекла внимание ряда известных математиков [4]. В работах [42], [43] применялась теория трансформаций Фурье в комплексной области к решению проблемы (0.7). При Ф(ж)еА^ Е Ь\ (0, со), А > 0 задача (0.7) сведена к разрешимому в замкнутой форме уравнению

•оо оо f-lW z2n

J ф(х) cos Zy/xdx = Y, (2n)l ; 'Im < A- ^

Решение единственно с точностью до значений на множествах меры нуль. Существенно ослабить ограничения на скорость убывания Ф(ж) нельзя, так как, например, все моменты Стильтьеса функции

ФДж) = expf-^cos^TrJsinfa^sin/OT), 0 < ц < 1/2 равны нулю ([33], гл. 11, §9). Для функции класса Харди сумма ряда в уравнении (0.8) должна быть аналитически продолжима из круга сходимости в полосу (Im z\ < А и стремиться к нулю, когда z —> ±оо внутри данной полосы.

В последнее время вновь возник интерес к проблеме (0.7). В [41] введен класс функций

S+ : Ф(*) G С°°[0, оо); Ф(*}(0) = 0, lim ГФ{k\t) = 0 Vfr, т. t—У 00

Оказалось, что для любого набора {сп} С С проблема (0.7) разрешима в классе S+. В [30], в частности, установлено, что решение Ф(я) всегда можно выбрать в классе целых функций фиксированного порядка р>

3. Перейдем непосредственно к изложению содержания настоящей диссертации. Её основная цель - исследование некоторых частных случаев уравнения (0.1), а также некоторых его приложений (в основном к проблеме моментов ц. ф. э. т.).

Диссертация состоит из введения, двух глав, содержащих семь параграфов, и списка литературы из 43 наименований. Нумерация теорем, лемм, следствий, предложений и формул ведется по параграфам.

1. Абанин А. В. Распределение показателей представляющих систем обобщенных экспонент// Мат. заметки - 1991. - Т.49. - Вып.2. - С. 3-13.

2. Агаев Г.Н. К теории сингулярного уравнения в пространствах Банаха// Тр. ин-та физ. и мат. АН АзССР. Сер. мат. -1959. Т.8. - С.23-27.

3. Аксентьева Е.П., Гарифьянов Ф.Н. К исследованию интегрального уравнения с ядром Карлемана// Изв. вузов. Матем. 1983. - №4. - С.43-51.

4. Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею. М.: Физматгиз, 1961. - 301 с.

5. Бибербах Я. Аналитическое продолжение. М.: Наука, 1967. - 240с.

6. Гарифьянов Ф.Н. Проблема обращения особого интеграла и разностные уравнения для функций, аналитических вне квадрата// Изв. вузов. Матем. 1993. - №7. - С. 7-16.

7. Гарифьянов Ф.Н. Функциональные уравнения, связанные с авто-морфными формами. Казань: Изд=во КГЭУ, 2003. - 124 с.

8. Гарифьянов Ф.Н. Трансформации биортогоналъных систем и некоторые их приложения, I// Изв. вузов. Матем. 1996. - №6. -С. 5-16.

9. Гарифьянов Ф.Н. Трансформации биортогоналъных систем и некоторые их приложения, II// Изв. вузов.Матем. = 1996. №8. - С. 13-24.

10. Гарифьянов Ф.Н. Моменты Стильтъеса целых функций экспоненциального типа// Матем. заметки 2000. - Т.67. - Вып. 5. - С. 674-679.

11. Гарифьянов Ф.Н. Биортогоналъные ряды, порожденные группой диэдра// Изв. вузов. Матем. 2001. - ЛЧ. - С. 11-15.

12. Гарифьянов Ф.Н. О проблеме моментов для целых функций экспоненциального типа/У Изв. вузов. Матем. = 2003. №6. - С. 37-43.

13. Гарифьянов Ф. Н., Туре Б. Проблема обращение особого интеграла на круговом секторе// Изв. вузов. Матем. 2005. - № 10. - С. 14-16.

14. Гарифьянов Ф. Н., Туре Б. Проблема обращение особого интеграла на границе кругового сектора // Тр. Матем. центра имени Н. И. Лобачевского. Казань: Казанск. матем. об-во, - 2005. - Т.ЗО. - 178 с.

15. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1963. - 639 с.

16. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М. - Л.: ГИТТЛ, 1950. - 436 с.

17. Голубев В.В. Однозначные аналитические функции. Автоморфные функции. М.: Физматтиз, 1961. - 456 с.

18. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М.: Наука, 1968. - 648 с.

19. Зверович Э.И. Метод локально конформного склеивания// ДАН СССР. 1972. - Т.205. - т. - С. 766-770.

20. Зверович Э.И. Краевые задачи теории аналитических функций в гельдеровских классах на римановых поверхностях// Успехи мат. наук. 1971. - Т.26. - М. - С. 113=179.

21. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. Уравнения с инволютивными операторами и их приложения. Ростов-на Дону.: Изд-во Ростов ун-та. 1988. - 192 с.

22. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы// Успехи матем. наук. 1981. - Т.36. - т. - С. 73-126.

23. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1958. - 678 с.

24. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ, 1956. - 632 с.

25. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976. - 536 с.

26. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М,: Наука, 1977. - 448 с.

27. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М.: Наука, Т. 1. - 1967. - 488 с. и Т. 2. - 1968. - 624 с.

28. Мелихов С. Н. Об абсолютно сходящихся рядах в канонических индуктивных пределах// Мат. заметки 1986. - Т.39. - №6. - С. 877-886.

29. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. ~ М.: Наука, 1982. 240 с.

30. Попов А.Ю. О проблеме моментов быстро убывающих функций// Матем. заметки. 1996. - Т.60. - № 1. - С. 66-74.

31. Стильтьес Т.И. Исследование о непрерывных дробях. Харьков -Киев: ГНТИ Украины, 1936. - 156 с.

32. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М. Л., ГИТТЛ, 1948. - 479 с.

33. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Наука, 1980. - 464 с.

34. Туре Б. Многоэлементные уравнения для функций, голоморфных в плоскости с разрезом// Ред. ж. <Изв. вузов. Матем.> Казань, 2006. -7с. - Деп. в ВИНИТИ 05.04.06. - № 375-В2006.

35. Туре Б. О двух уравнениях для функций, голоморфных в плоскости с разрезами// Казан, ун-т. Казань, 2005. - 11с. - Деп. в ВИНИТИ1107.05. № 985-В2005.

36. Туре Б. Об одном уравнении для функций голоморфных в плоскости с разрезом//Тр. Матем. центра имени Н. И. Лобачевского. Казань: Казанск. матем. об-во, - 2005. - Т.ЗО. - 178 с.

37. Уолш Дж.Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. М.: И. Л., - 1961. - 508 с.

38. Форд Л.Р. Автоморфные функции. М.- Л.: ОНТИ, 1936. - 340 с.

39. Чибрикова Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций. Казань: Изд-во КГУ, 1977. - 301 с.

40. Appel P. Développements en série d'une fonction holomorphe dans une aire limitée par des arcs de cercle// Math. Ann. 1883 - Bd. 21. - P. 118-124.

41. Duran A.I. The Stiltjes moments problem for rapidly decreasing functions// Proc. Amer. Math. Soc. 1989. - V. 107. - Р. 631-641.

42. Hardy G.H. On Stiltjes "problème des moments"//Messenger of Math.- 1916. V.46. - P. 175-182.

43. Hardy G.H. On Stiltjes "problème des moments"//Messenger of Math.- 1917. V.47. - P. 81-88.