Конформные отображения канонических областей на области с симметрией тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Колесников Иван Александрович

Конформные отображения канонических областей на области с симметрией

01.01.01 - Вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005552099

Томск - 2014

005552099

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет» на кафедре математического анализа.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент

Копанееа Лидия Сергеевна

Официальные оппоненты:

Насыров Семен Рафаилович, доктор физико-математических наук, профессор, федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет», кафедра математического анализа, профессор

Садритдинова Гулнора Долимджановна, кандидат физико-математических наук, доцент, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет», кафедра высшей математики, доцент

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет»

Защита состоится 27 июня 2014 в 17:30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.267.21, созданного на базе федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, уч. корпус №2, ауд. 304.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке и на официальном сайте федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет» www.tsu.ru.

Материалы по защите диссертации размещены на официальном сайте ТГУ: http://www.tsu.ru/content/news/announcement_of_the_dissertations_in_the_tsu.php

Автореферат разослан «•] Я » мая 2014 г.

Ученый секретарь ОЛб^^ Малютина

диссертационного совета Александра Николаевна

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Основополагающей работой современной геометрической теории функций является диссертация Б. Римана. Наряду с прочими результатами в работе Б. Римана была сформулирована знаменитая теорема о конформном изоморфизме односвязных областей.

В 1867 г. Э. Кристоффелем и независимо в 1869 г. Г.А. Шварцем было получено интегральное представление отображений верхней полуплоскости на односвязные области, граница которых состоит из прямолинейных отрезков. В работах Г.А. Шварца содержится обобщение на случай многоугольников, граница которых состоит из дуг окружностей. Для многих задач математической физики, использующих технику конформных отображений, представляет интерес нахождение конформных отображений канонической области на многоугольники с дополнительными геометрическими свойствами. Формула Кри-стоффеля-Шварца получила распространение для отображения на двусвязные и многосвязные области, для отображений на Риманову поверхность, для отображения на многоугольники в изотермических сетках и др.

В последние десятилетия появился интерес1''2''3', в том числе у Томской математической школы4''0''6', к отображениям верхней полуплоскости на счет-ноугольники с симметрией переноса типа полуплоскости и типа полосы (част-

^ Menikoff R., Zemach С. Rayleigh-Taylor instability and the use of conformai maps for idéal fluid flow // Journal of Computational Physics. 1983. Vol. 51. P. 28-64.

Floryan J. M. Schwarz-Christoffel methods for conformai mapping of régions with a periodic boundary // Journal of Computational and Applied Mathematics 1993. no. 46. P. 77-102.

3' Hassenpflug W. S. Elliptic intégrais and the Schwarz-Christoffel transformation // Computers Math.

Applic. 1997. Vol. 33, no. 12. P. 15-114.

Александров И. A. Конформные отображения полуплоскости на области с симметрией переноса // Известия вузов. Математика. 1999. 6(445). С. 15-18.

Александров П. А., Копанева Л. С. Левнеровские семейства отображений полуплоскости на области с симметрией переноса // Вестник Томского ун-та. 2004. К' 284. С. 5-7.

Копанев С. А., Копанева Л. С. Формула типа формулы Кристоффеля-Шварца для счетноугольника

// Вестник Томского ун-та. 2003. № 280. С. 52-54.

ные случаи полигональных областей со счетным множеством вершин). Конформные отображения на счетноугольники с симметрией переноса применяются в гидродинамике при изучении потока жидкости, в задачах о не вихревых потоках, задачах теплопроводности, электростатики, в СВЧ теории и др., а также применяются в смежных областях, например для построения периодических минимальных поверхностей, в теории дифференциальных уравнений с периодическими начальными и граничными условиями и др.

Применение интеграла Кристоффеля-Шварца на практике затрудняют входящие в него акцессорные параметры. Над задачей определения акцессорных параметров в классической формуле Кристоффеля-Шварца трудились многие известные математики7)'8-1'9)'10)'11'.

Решение задачи Сен-Венана о кручении стержня часто основывается на теории конформных отображений. Известны точные и приближенные решения задачи о кручении стержня для разнообразных сечений. Среди них можно выделить ряд работ посвященных задаче о кручении стержня с сечением, обладающим симметрией вращения12)'13)'14'

Голузин Г. М., Канторович Л. В., Крылов В. И. и др. Конформное отображение односвязных и многосвязных областей. M.-Л.: Гостехиздат, 1937. - 126 с.

Куфарев П. П. Об одном методе численного определения параметров в интеграле Шварца-Кри-стоффеля // ДАН СССР. 1947. Т. 57, № 6. С. 535-537.

Фильчаков П. Ф. Определение констант интеграла Кристоффеля-Шварца при помощи обобщенных степенных рядов //В сб. Некоторые проблемы математики и механики. К шестидесятилетию академика М.А. Лаврентьева. Новосибирск: Изд-во Сибирского отделения АН СССР, 1961. С. 236-252.

10> Davis R. Т. Numerical methods for coordinate generation based on Schwarz-Christoffel transformations // In 4th AIAA Comput. Fluid Dynamics Conf., Williamsburg, Va. 1979. P. 1-15.

Lawrenson P. J., Gupta S. K. Conformal transformation employing direct-search techniques of minimisation // Proceedings of the IEE. 1968. Vol. 115, no. 3. P. 427-431.

Александров И. А., Соболев В. В. Математические задачи теории упругости, задача Сен-Венана. LAP Lambert Academic Publishing, 2011.

Hussenpflug W. S. Torsion of uniform bars with polygon cross-section // Computers and Mathematics with Applications. 2003. Vol. 46. P. 313-392.

Lee K. Torsion of fibers of an N-sided regular polygonal cross-section // Textile Research Journal. 2007. Vol. 77, no. 2. P. 111-115.

Цели и задачи диссертационной работы:

- Обобщить дифференциальное уравнение Шварца для отображения на круговые многоугольники на случай круговых счетноугольников типа полуплоскости с симметрией переноса вдоль вещественной оси.

- Обобщить дифференциальное уравнение Шварца для отображения на круговые многоугольники на случай круговых счетноугольников типа полуплоскости с симметрией переноса вдоль вещественной оси и симметрией относительно вертикальной прямой {ш е С : Rew = я}.

- Обобщить формулу Кристоффеля-Шварца на случай счетноугольников типа полуплоскости с прямолинейной границей, с симметрией переноса вдоль вещественной оси и симметрией относительно вертикальной прямой {шеС: Reu> = я}.

- Получить конформное отображение единичного круга {z е С : \z\ < 1} на круговой 2п-угольник с n-кратной симметрией вращения относительно начала координат и симметрией относительно прямой {ш£С: arg w — Ц}.

- Распространить метод П.П. Куфарева определения акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля-Шварца на случай конформного отображения с граничной нормировкой верхней полуплоскости на счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси.

- Получить конформные отображения верхней полуплоскости на конкретно заданные счетноугольники с симметрией переноса вдоль вещественной оси.

Методология и методы исследования. В работе используются общие методы математического анализа, методы теории функций комплексного переменного, геометрической теории конформных отображений, теории дифференциальных уравнений, метод П.П. Куфарева определения акцессорных параметров, теория специальных функций.

Научная новизна. Основные результаты диссертационного исследования, полученные автором, являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты, изложенные в диссертации, могут использоваться при чтении спецкурсов для студентов, специализирующихся по теории функций комплексного переменного. Результаты и методы исследования данной работы могут быть полезны при решении задач геометрической теории конформных отображений, при изучении различных классов голоморфных однолистных отображений, при исследовании задач гидромеханики, теории упругости и т. п.

Положения, выносимые на защиту:

- Конформное отображение верхней полуплоскости на круговой счетно-угольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси представлено в виде дифференциального уравнения третьего порядка, типа дифференциального уравнения Шварца для круговых многоугольников. Конформное отображение на круговой счетноугольник с симметрией переноса и симметрией относительно вертикальной прямой представлено в виде дифференциального уравнения такого же типа.

- Конформное отображение верхней полуплоскости на счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси и симметрией относительно вертикальной прямой, граница которого состоит из прямолинейных отрезков и лучей, представлено интегралом типа интеграла Кристоффеля-Шварца.

- Получено конформное отображение единичного круга {г € С : \г\ < 1} на круговой 2п-угольник с п-кратной симметрией вращения относительно начала координат и симметрией относительно прямой {иеС: ащ га — щ}-

- Получена система дифференциальных уравнений для нахождения акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля-Шварца для отображения с гидродинамической нормировкой на счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси и система дифференциальных уравнений для нахождения акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля-Шварца для отоб-

ражения с граничной нормировкой на счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси и симметрией относительно вертикальной прямой.

Степень достоверности и апробация результатов. Все полученные в диссертации результаты имеют строгое математическое обоснование. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

- I Всероссийская молодежная научная конференция «Современные проблемы математики и механики», Томск, 13-15 октября 2010 г.,

- II Всероссийская молодежная научная конференция «Современные проблемы математики и механики», Томск, 12-14 октября 2011 г.,

- VI Петрозаводская международная конференция «Комплексный анализ и приложения», 1-7 июля, 2012 г.,

- Международная молодежная конференция «Современные методы механики», Томск, 19-20 сентября 2012 г.,

- 51-я международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 12-18 апреля 2013 г.,

- XI Казанская международная школа-конференция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», 22-28 августа 2013 г.,

- Всероссийская конференция по математике и механике, посвященная 135-летию Томского государственного университета и 65-летию механико-математического факультета, Томск, 2-4 октября 2013 г.,

- XVII международная Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения», 27 января - 3 февраля 2014 г.

Публикации. Основные результаты диссертации, опубликованы в четырех статьях [1], [2], [3], [4], в том числе в трех статьях в журналах, рекомендованных ВАК, и семи тезисах [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, библиографии и двух приложений. Диссертация изложена на 106 страницах, и содержит 18 рисунков. Библиография включает 91 наименование.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе содержатся известные результаты, используемые в остальных главах диссертации. В §1 приведено определение производной Шварца и два ее свойства, приведена теорема, содержащая дифференциальное уравнение Шварца для конформного отображения полуплоскости на круговой многоугольник и отмечены некоторые свойства этого уравнения. В §2 содержатся некоторые сведения о дифференциальных уравнениях класса Фукса. В §3 приведена интегральная формула Кристоффеля-Шварца для отображения верхней полуплоскости на многоугольник. Теорема В.Я. Гутлянского, А.О. Зайда-на, содержащая систему дифференциальных уравнений для определения акцессорных параметров в отображении с граничной нормировкой, представленном интегралом Кристоффеля-Шварца, переформулирована в обозначениях, подготавливающих ее для использования в §3 главы 4. Сформулирован принцип симметрии Римана-Шварца. В §4 даны определения эллиптических интегралов первого и третьего родов, а также теорема для проверки интегралов эллиптического типа на псевдоэллиптичность.

Во второй главе дифференциальное уравнение Шварца для круговых многоугольников обобщается на случай круговых счетноугольников с симметрией переноса вдоль вещественной оси.

В §1 дается определение кругового счетноугольника с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2л — односвязной области типа полуплоскости, обладающей свойством симметрии переноса вдоль вещественной оси на 2л, граница которой от точки гио до точки гио + 2л состоит из конечного числа дуг окружностей. Устанавливается, что производная Шварца отображения /, пе-

реводящего верхнюю полуплоскость на круговой счетноугольнпк с симметрией переноса, является однозначной и голоморфной во всей плоскости за исключением прообразов вершин кругового счетноугольника при отображении /.

В §2 получено дифференциальное уравнение для отображения / верхней полуплоскости на круговой счетноугольнпк с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2л типа дифференциального уравнения Шварца

где к = 1 ,п, — прообразы вершин счетноугольника, принадлежащие промежутку [0,2л); а^л, оц. € [0,2], к = 1 ,п, — углы при этих вершинах; Мк, к = 1,п, — константы; д(г) — целая функция. На отображение / наложено условие /(г + 2лто) = /(л) + 2лт, то £ Ъ.

В §3 для отображения на круговой счетноугольнпк с вершинами в точках 2яп и углами \|/л при этих вершинах записано дифференциальное уравнение, эквивалентное уравнению класса Фукса с тремя особыми точками, и сведено к уравнению Гаусса. Отображение с точностью до дробно-линейного преобразования представлено через гипергеометрические интегралы.

Результаты второй главы опубликованы в работах [1], [5], [6], [8].

Третья глава посвящена построению конформных отображений на области, обладающие двумя симметриями.

В §1 дано определение кругового счетноугольника с двойной симметрией — односвязной области типа полуплоскости, с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2л, с симметрией относительно вертикальной прямой {ги € С : 11е№ = л}, граница которой от точки и>о до точки то + 2л состоит из конечного числа дуг окружностей. С помощью дифференциального уравнения Шварца для круговых многоугольников и принципа симметрии Римана-Шварца получено дифференциальное уравнение для отображения / верхней

/'"(*) з

2

1 .А 1 - а\ + 2Мк ят (г - а°к)

да П/'

+ 9(г)

полуплоскости на круговой счетноугольник с двойной симметрией

f"(z) 3 / f"(z)\2 _ sin2 2: / 4-al Ml

f'(z) 2 \f'{z)J 2 V4(l-cosz)2 1-C0S2

, 4 - «n Mn |

4(1 +eos г)2 l + cos,2

n-l Г , w ПЧ 3

- 1 - - Ctg Z,

■E

k=2

1-af. + Affc

2

(<2fc — COS z)2 ük — cos z где at = cos zjj!, z\ — прообразы вершин к = 1 ,п, кругового счетноугольни-ка, лежащих в полосе Рл = {w € С : 0 < Reu; < л}, z± = 0, z\ = л; а^л — углы при этих вершинах, а к € [0,2]; Мк, к = 1 ,п, — вещественные константы. Записана система из двух линейных алгебраических уравнений для акцессорных

параметров Мь, к = 1, п, а^, к = 2, п — 1.

В §2 отображение на круговой счетноугольник с вершинами в точках 2гатг, л(2т + 1) + mtg^^ т € Z, с углами при них фл, \]/л соответственно, ср € [0,2], S (0,2], представлено через гипергеометрические интегралы.

Результаты §1 и §2 третьей главы опубликованы в работе [4].

В §3 дается определение счетноугольника с двойной симметрией — частный случай кругового счетноугольника с двойной симметрией, с границей из прямолинейных отрезков и лучей. Конформное отображение / полуплоскости на счетноугольник с двойной симметрией представлено интегралом типа интеграла Кристоффеля-Шварца

f(z) = c1 (l-cos§)V(i + Cos?)!!Vin(afc-cos^r-1^ + yl?, (1)

fc=2

где ак = cos z\ — прообразы вершин к = 1, п, счетноугольника, лежащих в полосе Рж = {и; € С : 0 < Rew < л}, = 0, = л; а*л, а^ € [0,2], к = 1, п, — углы при этих вершинах; с\ — константа.

В §4 получено три примера отображений верхней полуплоскости на конкретные счетноугольники с двойной симметрией. В первом примере счетно-

угольник Д представляет собой верхнюю полуплоскость с исключенными равнобедренными треугольниками Ет, Ет = Е0 + 2лте, те 6 Ъ, вершины треугольника Е0 находятся в точках 0, л + гл ^ 2л. В области Д проведены разрезы по вертикальным отрезкам ги = 2лте + {у, 0 < V < к и по вертикальным отрезкам ю = л(2те + 1) + ги, л^^ < V < д, те € Ъ. Отображение на такой счетноугольник представлено через элементарные функции. Во втором примере счетноугольник представляет собой верхнюю полуплоскость с исключенными прямоугольниками Ет, Ео = {ю £ <С : —Ь < Кет < Ь, 0 < 1ти» < (1, 0 < Ъ < л, й > 0}, Ет = Е0 + 2лте, т € 2, и разрезами по вертикальным отрезкам ю = 2лте + гг>, й < V < Н, и по вертикальным отрезкам IV = л(2те + 1) + т, 0 < V < д, те 6 Ъ. Отображение представлено через эллиптические интегралы первого и третьего родов. В третьем примере получено отображение полуплоскости на верхнюю полуплоскость с исключенными треугольниками Ет, Ет = Ео + 2лт, и исключенными треугольниками Тт, Тт = То + 2лт, те € 2, и разрезами по вертикальным отрезкам ги = 2лте + ги, Ь < V < /г, и по вертикальным отрезкам ги = л(2те + 1) + гь, л — Ь < V < д, т € 2. Вершины треугольника Е0 находятся в точках —Ъ, гб, Ь, вершины треугольника Т0 находятся в точках Ь, л-И(л — Ь), 2л — Ь, 0 < Ъ < л. Отображение представлено через эллиптические интегралы третьего рода.

Результаты §3 и §4 третьей главы опубликованы в работах [7], [9] и приняты к печати в журнал «Известия высших учебных заведений. Математика».

В §5 конформное отображение единичного круга на круговой 2п-угольник, п 6 М\{1}, с п-кратной симметрией вращения относительно нуля и симметрией относительно прямой I = {ю £ С : &щго = представлено через гипергеометрические интегралы.

Результат §5 третьей главы опубликован в работах [2], [10].

В четвертой главе метод П.П. Куфарева определения акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля-Шварца распространяется на случай отобра-

жения верхней полуплоскости на счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси.

В §1 доказана равномерная сходимость внутри верхней полуплоскости последовательности отображений /„ : П+ С, /п(П+) = Dn, с граничной нормировкой /„(0) = wi, /„(1) = w2, f„(оо) = w3, wi,w2,w3 G dDn, переводящих верхнюю полуплоскость на последовательность односвязных областей {AijneN, к отображению / : П+ -»■ С, /(П+) = D, переводящему верхнюю полуплоскость на область D, где D — ядро последовательности Dn относительно точки w0, точка w0 принадлежит всем областям семейства Dn вместе с некоторой окрестностью.

В §2 метод П.П. Куфарева определения акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля-Шварца распространяется для отображений с гидродинамической нормировкой на счетноугольники с симметрией переноса15'. Получен следующий результат.

Для всех t е [0, т'] акцессорные параметры отображения

f(z,t)= c(t) | sin П (sin Щ11) " 1 *> + <

о

переводящего верхнюю полуплоскость на счетноугольник с разрезами, удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

dt =~2Ctg 2 А; = 2, n + 2,

dt 2

k=1

c(í) = const = C\,

с начальными условиями

151 Копанев С. А., Копанева Л. С. Формула типа формулы Кристоффеля-Шварца для счетноуголь-иика // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2003. № 280. С. 52-54.

аОп+1(0)=аоп+2(О)=Ц0) = Г1(Л°,0),

где ctfcjt — углы при вершинах А°к счетноугольника, а°к — прообразы этих вершин, а°к £ [0,2л), к — 1, п + 2, aj = 0, X(t) — прообраз подвижного конца разреза, — точка на границе счетноугольника, из которой выпускается разрез.

Результаты §1 и §2 четвертой главы опубликованы в работе [3].

В §3 получена система дифференциальных уравнений для определения акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля-Шварца для отображения на счетноугольник с двойной симметрией.

Результат §3 четвертой главы опубликован в работе [11].

В §4 рассмотрен пример определения акцессорных параметров в отображении, переводящем верхнюю полуплоскость на счетноугольник с симметрией переноса. Вершины счетноугольника находятся в точках 2г + 2лт, i + 2лт, 1 + 2лто, 2лт, m£Z, углы при вершинах равны 2л, ^р ^ соответственно.

В приложении А содержится несколько отображений на счетноуголь-ники с двойной симметрией, найденных с помощью формулы (1).

В приложении Б визуализированы два отображения на счетноугольни-ки с двойной симметрией при помощи пакета Maple.

В заключение автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю кандидату физико-математических наук Копаневой Лидии Сергеевне за введение в данную тематику и обсуждение изложенных в диссертации вопросов, за поддержку и всестороннюю помощь, кандидату физико-математических наук Копаневу Сергею Анатольевичу за полезные замечания и постоянное внимание ко всем этапам данной работы.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в журналах, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией при Министерстве образования и науки Российской Федерации для опубликования основных научных результатов диссертаций:

1. Колесников И.А. Отображение на круговой счетноугольник с симметрией переноса // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 2(22). - С. 33-43. - 0.68 п.л.

2. Колесников И. А. Конформное отображение на круговой многоугольник с двойной симметрией // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 6(26). - С. 20-26. - 0.4 п.л.

3. Колесников И. А. Определение акцессорных параметров для отображения на счетноугольник // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2014. № 2(28). - С. 18-28. - 0.63 п.л.

Статьи в других научных изданиях:

4. Колесников И. А. Конформное отображение полуплоскости на круговой счетноугольник с двойной симметрией // Проблемы анализа. 2013. Т. 2(20), № 2. - С. 58-67. - 0.6 п.л.

5. Колесников И. А. Уравнение для отображения с симметрией переноса на круговой счетноугольник // Современные проблемы математики и механики: Материалы Всероссийской молодежной научной конференции. - Томск: Изд-во Томск, ун-та, 2010. - С. 92-94. - 0.12 п.л.

6. Колесников И. А. Об одном случае конформного отображения с симметрией переноса на круговой счетноугольник // Современные проблемы математики и механики: Материалы II Всероссийской молодежной научной конференции. - Томск: Изд-во Томск, ун-та, 2011. - С. 11-14. - 0.25 п.л.

7. Колесников И. А., Копанева Л. С. Конформное отображение на счетноугольник с симметрией переноса и симметрией относительно прямой // Современные методы механики: материалы Международной конференции. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2012. - С. 10-12. - 0.12/0.09 п.л.

8. Колесников И. А. Отображение с симметрией переноса // Комплексный анализ и приложения: Материалы VI Петрозаводской международной конференции. - Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2012. - С. 39-42. - 0.25 п.л.

9. Колесников И. А. Конформное отображение на область с двойной симметрией // Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского: материалы XI международной Казанской летней научной школы-конференции -Т. 46. - Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. - Казань: Изд-во Казан, ун-т, 2013. - С. 257-259. - 0.12 п.л.

10. Колесников И. А. Отображение на область с симметрией вращения и дополнительной симметрией // Всероссийская конференция по математике и механике: Тез. докл. - Томск: Изд-во «Иван Федоров», 2013. - С. 42. - 0.05 п.л.

11. Колесников И. А. Об определении акцессорных параметров в интеграле Кристоффеля-Шварца для счетноугольника с двойной симметрией // Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы XVII международной Саратовской зимней школы. - Саратов: Изд-во «Научная книга», 2014. - С. 124-127. - 0.15 п.л.

Отпечатано на участке цифровой печати Издательского Дома Томского государственного университета 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36

Заказ № 322 от «24» апреля 2014 г. Тираж 100 экз.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет»

На правах рукописи

¿чЛ' Ю.^/

04201459962

Колесников Иван Александрович

Конформные отображения канонических областей на области с симметрией

01.01.01 - Вещественный, комплексный и функциональный анализ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель

кандидат физико-математических наук,

доцент Копанева Лидия Сергеевна

Томск - 2014

Содержание

Введение ........................................................................4

Глава 1. Вспомогательные результаты ................................22

§1. Конформное отображение на круговые многоугольники ..........22

§2. Дифференциальные уравнения класса Фукса ......................25

§3. Конформное отображение на многоугольники с границей из прямолинейных отрезков. Принцип симметрии..........................28

§4. Эллиптические интегралы............................................30

Глава 2. Конформное отображение полуплоскости на круговой

счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси 32

§1. Аналитическое продолжение отображения с симметрией переноса 32

§2. Уравнение для отображения с симметрией переноса................34

§3. Пример..................................................................38

Глава 3. Конформные отображения на области с двойной симметрией ......................................................................45

§1. Уравнение Шварца для отображения на круговой счетноугольник с двойной симметрией............................................45

§2. Пример..................................................................49

§3. Интеграл Кристоффеля-Шварца для отображения на счетноугольник с двойной симметрией......................................52

§4. Примеры................................................................55

§5. Конформное отображение единичного круга на круговой 2п-угольник с п-кратной симметрией вращения и с дополнительной зеркальной симметрией ..........................................60

Глава 4. Определение акцессорных параметров в интеграле Кри-

стоффеля-Шварца для отображения верхней полуплоскости на счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси 65

§1. О сходимости семейства отображений с граничной нормировкой . 65 §2. Конформное отображение полуплоскости на счетноугольник с

симметрией переноса..................................................70

§3. Конформное отображение полуплоскости па счетноугольник с

двойной симметрией....................................................77

§4. Пример..................................................................83

Литература......................................................................85

Приложение А. Каталог отображений ................................96

Приложение Б. Комплексная графика в Maple...........105

Введение

Впервые вопрос о конформном отображении одной области комплексной плоскости на другую был выдвинут Б. Риманом в 1851 г. в его диссертации [44], ставший основополагающим для дальнейших исследований в теории голоморфных функций. На ряду с прочими результатами была сформулирована знаменитая теорема о конформном изоморфизме односвязных областей. Направления теории функций, берущие свое начало от работы Римана, объединяются в настоящее время в весомый раздел геометрической теории функций комплексного переменного.

В 1867 г. Э. Кристоффелем и независимо в 1869 г. Г.А. Шварцем было получено интегральное представление (3] отображений верхней полуплоскости на одпосвязные области, граница которых состоит из прямолинейных отрезков. В работах Г.А. Шварца содержится обобщение на случай криволинейной границы и круговых многоугольников, с акцентом на нахождение конформных отображений круговых треугольников и четырехугольников, а также сформулирован принцип симметрии, часто используемый при построении конформных отображений. Нахождение конформных отображений с ггомощыо интеграла Кри-стоффеля-Шварца стало широко использоваться при решении задач: о потоке жидкости в области ограниченной многоугольником, свободного обтекания, о плоских упругих системах, теории фильтрации, теории теплопроводности, теории электромагнитного поля.

Аналитические и численные методы нахождения конформных отображений развивались параллельно с начала XX века. В 60-х годах, с появлением компьютеров, стали активно развиваться численные методы. В работах В.В. Соболева [20], |47|, ¡48], |49| предложен численный метод построения конформных отображений различных областей. Один из успешных численных методов разработал L.N. Trefethen [87], реализуемый математическим пакетом SCPACK, который позднее был адаптирован Т.A. Driscoll [62] для пакета MATLAB. В

работе |54| предложен численный метод построения конформных отображений единичного круга на многоугольники с границей, состоящей из прямолинейных отрезков, с использованием быстро мультиполирущего метода и метода Дэвиса [60] нахождения акцессорных параметров. Метод позволяет строить конформные отображения единичного круга на полигональные многоугольники с большим количеством вершин (порядка десяти тысяч). В работе [54] рассмотрен пример нахождения конформного отображения на полигональный многоугольник аппроксимирующий снежинку Коха — фрактальную область, и полигональный многоугольник аппроксимирующий многоугольник, граница которого содержит дугу окружности.

Пути развития численных и аналитических методов различаются, однако компьютерные технологии основываются на известных аналитических результатах и занимаются переводом аналитических методов на машинный язык. Формула Кристоффеля-Шварца стала популярным инструментом для решения задач в областях гибридной микроэлектроники, проектирования очень широкомасштабной интеграции (VLSI), магнетизма, теории микроволновых излучений, задачах дифракции и др. Для многих задач математической физики, использующих технику конформных отображений, представляет интерес нахождение конформных отображений канонической области на многоугольники с дополнительными геометрическими свойствами. В качестве канонической области обычно выбирают единичный круг, или верхнюю полуплоскость, а в некоторых случаях в качестве области определения рассматривают полосу, внешность единичного круга, прямоугольник [63| и др. Формула Кристоффеля-Шварца получила распространение для отображения на двусвязные [75| и многосвязные области [61], имеющие приложения к различным задачам математической физики, в том числе задачам о потоке с препятствием. Обобщение формулы Кристоффеля-Шварца для отображений на римановы поверхности находит приложение в задачах гидродинамики [69]. Формула Кристоффеля-Шварца для отображений на многоугольники в изотермических сетках |10|, [33], [83] имеет

приложения в теориях фильтрации, струй и кавитации, гидро- и аэродинамике, газовой динамике и др. В работах [45]. [46] формула Кристоффеля-Шварца обобщена на случай конформного отображения полуплоскости на полигональный многоугольник с бесконечным числом вершин при некоторых ограничениях на величины углов при вершинах и на прообразы этих вершин.

В последние десятилетия появился интерес к отображениям верхней полуплоскости на счетноугольники с симметрией переноса типа полуплоскости и типа полосы (частные случаи полигональных областей со счетным множеством вершин). Конформные отображения на счетноуголы-шк с симметрией переноса применяются в гидродинамике при изучении потока жидкости в двумерной области, ограниченной счетноугольником с симметрией переноса, в задачах о не вихревых потоках, задачах теплопроводности, электростатики, массовой диффузии, в СВЧ теории и др. В работах [79], [80] отображение на счетноуголы-шк типа полуплоскости представлено логарифмическим интегральным уравнением. Для аппроксимации уравнения используется численный метод квадратур Гаусса и метод Ныотона-Рафсона для построения отображения. J.M. Floryan |64|, |65| строит конформные отображения на основе метода покоординатного преобразования для областей типа полосы и типа полуплоскости, в том числе обладающих симметрией переноса. Рассматриваются области с границей, состоящей из прямолинейных отрезков, и с криволинейной границей. М. Brady и С. Pozrikidis [59] изучают диффузное распространение тепла, масс и импульса в области типа полосы с симметрией переноса, граница которой состоит из прямой и фрактальной ломаной, т. е. часть ломаной от точки wq до точки Wq 2к состоит из счетного числа прямолинейных отрезков. Формула Кристоффеля-Шварца для счетноугольников с симметрией переноса типа полосы используется при решении задач теплопроводности [67], для построения трехкратно периодических минимальных поверхностей в евклидовом пространстве [66]. В работе |81| изучается проблема отражения-передачи волн жидкости с большой амплитудой в мелководном канале с быстро меняющимся рельефом

с помощью численных методов на основе интеграла Кристоффеля-Шварца и моделирования методом Монте-Карло. I.L. Verbitskii [89], M. Neviere [82] показывают, что задача дифракции на произвольной периодической металлической границе может быть решена с помощью аппарата конформных отображений. A. Baron, M. Quadrio, L. Vigevano [55] изучают с помощью конформных отображений поток вдоль ребристой поверхности с симметрией переноса. С помощью пакета Дрискола SC Toolbox изучается распространение волн жидкости над дном с периодическим рельефом (68|. Формула Кристоффеля-Шварца имеет приложения в теории дифференциальных уравнений с периодическими начальными и граничными условиями |71|, [91].

Для построения конформных отображений на области с симметрией переноса применялись как различные аналитические методы, так и численные. Интегральная формула Кристоффеля-Шварца записана для отображения верхней полуплоскости на счетиоугольник типа полуплоскости с симметрией переноса И.А. Александровым [2] с использованием принципа симметрии Римана-Швар-ца, С.А. Копапевым и JI.C. Копаневой [31] с помощью формулы типа формулы Шварца. Другой способ нахождения конформного отображения, в том числе на счетноугольники с симметрией переноса, с привлечением алгебры сверток и теории рядов Фробениуса предложил W.S. Hassenpflug [73]. С помощью параметрического метода Левнера записано дифференциальное уравнение [5] типа уравнения Левнера для отображений верхней полуплоскости на области с симметрией переноса.

Большое внимание в математике, особенно в прикладных вопросах, уделяется получению конформных отображений на конкретные многоугольники. Частные отображения полуплоскости на счетиоугольник с симметрией переноса получены в некоторых упомянутых работах.

Отметим еще некоторые примеры таких отображений.

В работе |85| в интегральном виде записано отображение полуплоскости на "бесконечную лестницу", представляющую собой повернутую на 45 градусов

верхнюю полуплоскость с исключенными треугольниками — частный случай счетпоуголышка. рассмотренного в примере 3.1 данной работы.

Отображения на области без разрезов, рассмотренные в примерах 3.1 и 3.2, в работе [88] приводятся в качестве примеров, имеющих приложения в СВЧ-тео-рии и теории волн.

Отображение полуплоскости на полуплоскость с исключенными вертикальными разрезами одинаковой длины, начинающимися в точках 2кт, т £ Z получено в работах |2], |5| и рассмотрено в работах [85] и [11, с. 51]. Отображение полуплоскости на плоскость с разрезами ее нижней полуплоскости rio вертикальным лучам, берущим начало на вещественной оси (частный случай области рассмотренной в примере А.2), получено в работе [2] с помощью формулы Кристоффеля-Шварца для счетноугольника с границей из прямолинейных отрезков с симметрией переноса вдоль вещественной оси па 2л. В работе [72] записано конформное отображение полосы на область с симметрией переноса, получаемую из комплексной плоскости проведением разрезов из бесконечно удаленной точки.

Конформные отображения находят также приложения в задаче Сен-Вена-па о кручении стержня. Известны точные и приближенные решения задачи о кручении стержня для разнообразных сечений: в форме эллипса, различных многоугольников, областей, обладающих симметрией вращения и др. Интерес представляют также задачи о кручении стержня с сечением, обладающим симметрией вращения.

B.R. Seth [86] решает задачу о кручении однородного стержня с поперечным сечением в форме правильного n-уголы-шка с границей, состоящей из прямолинейных отрезков. Решение представлено медленно сходящимися рядами Тейлора. W.A. Bassali [56] решает задачу о кручении стержня для некоторых сечений, обладающих симметрией вращения и имеющих криволинейную границу, аппроксимируемую дугами окружностей. Формула Кристоффеля-Шварца в работе К. Lee [78| записана для правильных n-угольников с границей, состоящей

из прямолинейных отрезков, с n-кратной симметрией вращения и применяется 13 задаче о кручении стержня. Задачу о кручении стержня, в сечении которого область с границей, состоящей из прямолинейных отрезков, в форме правильного п-уголы-шка, циклического п х m-уголы-шка (многоугольник с п-кратной симметрией вращения и п х m числом вершин), решает W.C. Hassenpflug [74] с привлечением интеграла Кристоффеля-Шварца, интеграла Трефтца, алгебры сверток. И.А. Александров [4] решает задачу о кручении стержня с поперечным сечением в форме правильного кругового п-угольника аналитическим методом, В.В. Соболев [8] предлагает численный метод (не использующий конформные отображения) решения задачи Сен-Венана о кручении стержня с произвольной односвязной областью сечения. Дифференциальное уравнение типа уравнения Девнера получено И.А. Александровым, Г.Д. Садритдиновой [7] для отображения единичного круга на область с n-кратной симметрией вращения. Задачу Сен-Венана для стержней, в сечении которых правильный многоугольник со скругленными углами решает C.Y. Wang [90| с помощью метода Ритца. Конформное отображение на круговой многоугольник с симметрией вращения имеет также приложения в гидродинамике и задачах теплопроводности.

Можно выделить два направления, в которых развивается задача построения конформного отображения с помощью интеграла Кристоффеля-Шварца. Одно из них — обобщение интеграла Кристоффеля-Шварца для областей различного специального вида, второе направление — разработка и улучшение методов определения неизвестных акцессорных параметров, входящих в интеграл Кристоффеля-Шварца. Наиболее просто вопрос определения параметров решается, если удается проинтегрировать формулу Кристоффеля-Шварца в явном виде. Однако, интеграл Кристоффеля-Шварца только в простых случаях может быть приведен к известным функциям. При отображении полуплоскости на треугольник, акцессорные параметры могут быть найдены из условия нормировки отображения. В случае отображения на прямоугольник, для определения параметров можно воспользоваться таблицей эллиптических интегралов.

В. Копенфелъс и Ф. Штальман [33] решают задачу определения акцессорных параметров отображения на круговой четырехугольник, используя гипергеометрические ряды. С. Бергман указывает два способа [57]. [58] определения

ТТ ЗтГ

параметров для n-уголы-шков, имеющих углы и Ч-р

В общем случае проблему определения акцессорных параметров можно свести к задаче решения системы уравнений, содержащей несобственные интегралы. Н.П. Стенин [14] применяет метод Ныотона-Фурье для решения системы уравнений на акцессорные параметры, несобственные интегралы, встречающиеся при этом, вычисляет по методу J1.B. Канторовича. P.J. Lawrenson и S.K. Gupta применяют метод сопряженных направлений Пауэлла для решения системы уравнений, определяющей акцессорные параметры |77], в дальнейшем эта техника получила развитие в работах L.N. Trefethen. Г.Н. Положий предложил оригинальную методику определения констант в интеграле Кристоф-феля-Шварца методом электромоделирования [43]. П.Ф. Фильчаков решает задачу определения акцессорных параметров, используя обобщенные степенные ряды [52]. В.Н. Монаховым разработан конструктивный вариационный метод циклической итерации для решения функциональных уравнений относительно параметров конформных отображений |38].

Один из эффективных методов определения акцессорных параметров предложил П.П. Куфарев [1], [34]. Используя параметрический метод Левнера, II.П. Куфарев показал, что для отображения с внутренней нормировкой определение акцессортгьгх параметров в интеграле Кристоффеля-Шварца может быть сведено к задаче интегрирования некоторой системы дифференциальных уравнений с начальными условиями Коши. Первые численные расчеты выполнены Ю.В. Чистяковым |53]. Метод получил развитие в работе [76], в работе [70] распространен на случай конформного отображения верхней полуплоскости на многоугольник при наличии граничной нормировки. JI.IO. Низамиевой в работе [42] с использованием идеи П.П. Куфарева и аппарата краевых задач Гильберта с кусочно-гладкими коэффициентами и вариации решений таких задач

получен новый приближенный метод нахождения акцессорных параметров в интеграле Крист