О конформных отображениях полигональных областей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Л Л 2 9 2

Академия Няук Уврлшпд Институт пришиуцзой математика п мазншгтаа

На иродах рукописи

ЗаЙдоп Лхкод О-тая Ляп

О КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ ПОЛИГОНАЛЬНЫХ

ОБЛАСТЕЙ

Ql.0l.0L - Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

.диссертации ил соискание учетной степаш кандидата физиксьматематичеоасх наук

Лрседк - 1902 год

Работа выполнена, в Донецком государственном университете.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Гутдянский В Л.

»

доктор физико-математических наук, профессор Миклюшв В.М,

кандидат физико-математических наук,

Рязанов В. И.

Ведущая организация:

Ордена Трудового Красного Знамени Институт математики АН Украины.

Зашита состоится декабря 1992 года в \£. часов на заог> дании специализированного совета К 016.46.01 по присуждении ученой степени к&ицвдв' физико-математических наук при И» ституте прикладной математики и механики АН Украины по адре су: 340114, г. Донецк - 114, ул. Розы Люксембург, 74.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке И» статута прикладной математики и механики АН Украины.

Автореферат разослан ноября 1М2 г.

Ученый секретарь специализированного совета

(«андидат физико-математических науу^ А.И.

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Работа посвящена развитию метода П.II. Куфарева об определении параметров в интеграле Шварца-Кристоффеля при конформном отображении полигональных областей в случае граничных нормировок.

Актуальность темы. Проблема построения конформных отображений канонических областей на полигоналные области остается актуальной до настоящего времени в связи с новыми приложениями теории комплексного потенциала в различных областях естествознания (см., например, R. Schinzin-ger, Р. Laura, Conformai mapping: Melfuxts and Applications, Am-sterdani-Oxford, Elsevier, 1991). В связи с известным интегральным представлением таких отображений проблема, по существу, состоит в определении неизвестных параметров, входящих в формулу Шварца-Кристоффеля.

К пастоящему времени в работах JI.B. Канторовича и В.И. Крылова, П.Ф. Фильчакова, ГЛ. Положего, Д. Гайера, В. Коппенфсльца и LI. Штальмана, П. Папамихаела, Р. Хен-ричи, JI. Трефесена, Л.Л. Чередниченко, и других разработаны различные методы численного определения этих параметров. Одни из таких методов восходит к известной работе П.П.Куфарева (Об одном Memodt численного опредыаш параметров в интегра.ге Шварца-Крьстоффеля , Докл. АН СССР, 1947, 50, N б, с. 535-537.) (см., более подробно, И.А. Александров, Паролиmptmrva« продолхания о mtopvn однолистных функций , Москва:, «Наука», 1976, с.296.), который, па основе сочетания пришшпа симметрии и известного параметрического метода К.Левнера, редуцировал проблему определения неизвестных параметров п формуле Шварца-Кристоффеля к задаче численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Развивая идеи работы П.П. Куфарева и комбинируя их с современными методами численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, Т. Хопкннс и Д. Ро-

бертс достали иа »том аута новых глубоких результатов.

В ряде случаев требуется найти конформные отображения крута или полуплоскости, или другой односвязной канонической области, на многоугольную область при надлежащих граничных нормировках, например, типа «три точки - в три точки». Отметим, например, что если в качестве таких трех точек в области выбрать вершины многоугольника, то число подлежащих определению параметров уменьшается иа три. Далее, если область неограничена, то включение в число таких точек надлежащих вершин многоугольника, расположенных в бесконечности, оказывается целесообразным с вычислительной точки зрения.

Ионная работа, посвящена дальнейшему развитию метода П.П.Куфарева применительно к случаю конформного отобраг жеяия верхней полуплоскости на полигональные области прн наличии граничных нормировок.

Цель работы. Развитие метода П.П. Куфарева определения параметров в интеграле Шварца-Кристоффеля при кои-формном отображении верхней полуплоскости.на полигональные области в случае граничных нормировок.

Методика исследования. Основными методами решения поставленной задачи являются принцип симметрии в теории конформного отображения, параметрический метод Левнера для однолистных аналитических функций и методы исследования качественных свойств решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с особыми точками.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

-выведено уравнение Левнера для однопараметрического семейства конформных отображений верхней полуплоскости па односвязную область £> с разрезом переменной длины при условии, что точки 0,1 и оо переходит в три задашые точки границы дБ)

-проблема определения неизвестных параыегров в формуле Шварца-Кристоффеля, описывающей конформные отображения полуплоскости на полигональные области с учетом граничных нормировок, сведена к задаче Кон»! для системы

обыкновенных дифференциальных уравнений с особыми точками;

-доказана теорема существования и единственности голоморфного решетя этой системы;

-в случае конформного отображения на области специального вида найдены первые интегралы.

Практическая ценность. Полученные в работе результаты имеют теоретическое значение. Они могут быть применены на практике при численном определении конформных отображений канонических областей на полигональные одао-связпые области.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре отдела дифференциальных уравнений в частных производных Института прикладной математики И механики Академи Наук Украины и на Семестре по комплексному анализу в Международном Математическом Центре им. С. Бангиа ( Варшава, 26. 10- б. И, 1992 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликована одна работа в соавторстве с В.Я. Гутлянским.

Структура диссертации. Работа состоит из введения б параграфов, приложения и списка литературы из 56 наименований и содержит 85 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение. Рассмотрены актуальность тематики, история вопроса, предмет и метод исследования, дано краткое описание содержания диссертации.

51. Преобразование Швар цп-Крпстоф фшш дгм шхли-гоплльных областей. Параграф содержит анализ формулы Шварцаг-Кристоффеля в случае конформных отображений верхней полуплоскости на полигональные области.

Пусть С -расширенная комплексная плоскость и Я+ - ее верхняя полуплоскость. Обозначим через Д» внутренность г»

- угольника с внутренними углами при вершинах Я*, равными <**, * = 1.....п.

Централным результатом в теории конформного отображения полигональных областей является следущая теорема (см., например,^], с. 170-192).

Теорема 1. Пусть Д, - одгюсаязная область в пмксной плоскости С, ограниченная многоугольником с вершинами в точках Лу, ...Ап и онрпреннгши углами я"о>, где 0 < Ок < 2, ec.iv Ль конечны и — 2 < сч < 0, есми = со. ЧЬгда сгществует конформное отображение вершей полуплоскости Я+ ха Бп и любое такое отображение мож£т бить записано а виде

= + (1)

Здесь а!,...,а„ - прообразы вершпн А\,...,Ап.

Комплексные постоянные 01,...,Оп,с и С|, входящие в формулу (1), называются акассорными параметрами интеграла Шварца-Кристоффе. Основная проблема конформного отображения полигональных областей состоит в определении этих аксессорных параметров.

Рассмотрены некотс современные приложения теории конформных отображений, которые непосредственно приводят к преобразованию Шварца-Кристоффелл. Дано краткое описание основных подходов к проблеме определения неизвестных параметров, входящих в это преобразование. Особое внимание уделено методу П.П.Куфареил который, на основе сочетания принципа симметрии и параметрического метода К. Левнера, впервые редунироиал в ту проблему к задаче численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

§2. Ушшншше Левнера дяя полуплоскости с фиксированное граничной нормировкой. Ллл того, чтобы идеи

[*]М.А. Лаврентьев, В.В. Шжбат Мгтподн теории фцнкцчН комплекс-

ного трьмшном, Москвж:/,}]*ук11,'1 1965.

работы П.П. Куфарева распространить на случай конформных отображений полуплоскости на полигональные области с граничными нормировками, нужно, прежде всего, иодсфипи-ровать уравнение Левнера, применительно к отображениям, сохраняющим фиксированные граничные точки. Этому вопросу и посшицен §2.

В комплексной плоскости С рассмотрим однопараметриче-сяое семейство /?(0> ^ < ^ < Т", оддосвлзных областей, которые получаются из одлосвязной области О = 0(0) с кусочно-гладкой границей проведением разреза вдоль кривой Жор-дана ю = 0 <1 <Т, лежащего в Д кроме одного из своих концов «'(0), принадлежащего ЭО. Пусть ЦТ) - область с полным разрезом, а £>(0) - исходная область. Фиксируем на дВ три точки ЛьЛз.Лз и, пе теряя общности, будем предполагать, что ю(0) пе принадлежит дуге, связывающей эти точки.

По теореме Римана существует единственное конформное отображение и = /(*,*) верхней полуплоскости на ЩЦ, нормированное условиями: /(0,0 = ,4ь /(1,0 — Ач, /(^>0 =:

Теорема 2. Ilpciin f(:,t): Н+ — D(t), 0 <t<T, одно-параметрическое ымейстео конформных отображений, иор-мьрованное условиям»: /(0,0 = Ль /(1,0 - М, /(<».0 = Аз-Существует единственная стандартна* пара.нстрпз<1ция разреза, при которой f дыффср(нцирусма nol лок<иъно равномерно относительно : 6 Я+ а удовлетворяет ¡/равнению

3dtcb А = А(I) - прооораз подвижного конца paajим при отображении f(:,t).

Близкие вопросы рассматривались ранее.в работах (Low-ner C\\.,Charlt» Lo<wner, Collided Papers, Вое ton - Basel, Birkhau »er, 1988, с. ЗЗГ»), и (Горяйноп В.В., Полугруппы конформхиг отображений, Матем. сб., 1986, т. 129, N 4, с. 451-472).

§3. Постановка зл,цачи об определении акцессорных иа-рнмигроп а интеграле Шварца Кристоффеля. IIa веще-ствгсишМ оси комплексной плоскости С фиксируем три точки

Аз.

в

On-э = 0,a„_i s= 1 и а» = oo и среди множества конформных отображений вида (1) выберем то единственное, которое переводит ети точки, соответственно, в вершины An-2,An-i и Ап, которые, не теряя общности, будем считать копечными. Далее мы поступим следующим образом. Фиксируем на части Гранины области Д,, не содержащей вершин An-i,An-i, Ап, точку А" и проведем из »той точки внутрь области А, прямолинейный разрез Л(/) переменной длины |А(<)|, завися-шей от вещественного параметра t. Пусть |Л(0)| = 0. Область с разрезом обозначим через Dn{t). Посколку D„(t) полигональная область, То функцию /(г,/), конформно отображающую верхнюю полуплоскость Я+ на Dn(t) и удовлетворяющую прежним условилм нормировки, можно представить по формуле

(* - А(0) П <* ~ *(<))"* + Л*-*- (3) küi

если А• ф Л*,к = 1,...,п-3. Здесь a„_t = 1,Оп-з = 0,<rk = о* — 1, при »том па|<а»'лтры о-i и &о связаны соотношением о_1 +оо = 1. Если А - Аг,р = 1,...,п -3, то в формуле (3) отсутствует множитель при к — р, и <*_i + «о = <*р-

Пусть при t ~0известны значения всех параметров, входящих в формулу (1), то есть известно конформное отображение /(г,0): Я+ JDn{Q) — Д». Требуется определить конформное отображение f(z,t) : Я+ — при всех допустимых значшикх параметра i или, что то же, найти при таких i акцессорные параметры а*(1),А(*) и c(t). Отмстим, что, поскольку начальную область Д,(0) можно выбрать достаточно простой, то на этом пути, последовательно, с использованием известной теоремы Каратеодори о сходимости к ядру, можно получить конформные отображения полуплоскости на произвольные полигональные области.

§4. Редукция к сметем») диффсренщт дмшгх уравнений. Предполагая, что прямолинейный разрез в области Dn[i) за-параметризован стандартным образом, приходим к заключе-

/М) = ф) Г

нню, что /(г,<) удовлетворяет уравнению (2), если в нем выполнить замену переменной по формуле 1 н, одновременно, дифференциальному уравнению

которое следует непосредственно из представления (3). Отсюда следует

Теорема 3. Для всех 0 < 1 < Т акц1сссриие яар^шри ддо&летворжют системе дифф<ренцьл.иных уравнений

^Г А(0-ок(<) ' ..... '

2Д(0 -1 Л

Л — 1

Е

Х>

(6) (7)

а мач&4»мид! условиям

о»(0) = а»,4 = 1,....п-3,

а_,(0) = ао(0) = А(0) = Ао = /"'(Л'.О)

с(0) = со.

(8)

Замечание 1. Если А* — Ар,р = 1,..'.,»» - 3, то в форму.** (5) отсутствуст уравнение при к — р, а & формдлсг (6), (7) должно отсутствовать слагаемое ара к— р. Замечание 2. Из (5)-(7) следует, что

с(0 = сое"-1,

¿А ¿1

= (1-Л)

г»-3

Е/*

<*Ц1-дО , '

в

Уравнения (5)-(7) вместе с начальными условиями (8) позволяют путем интегрирования найти значения акцессорных параметров в любой момент времени < < < Г, а, значит, решить поставленную выше задачу о конформном отображении верхней полуплоскости на данную полигональную область с прямолинейным разрезом переменной длины при заданных граничных нормировках.

$5. Качественные свойства решения снсгемы. Установлен следующий результат.

Теорема 4. Система (5}-(7) «месте с началмим* деловым* (8) ьмсет единственное йныитичсскос относительно решение на некотором интервале 0 < 1 < 1о.

Отметим, что для вычисления длины разреза можно вос-пользооаться соотношением

/I ' „

с(<)А(0(1-А(<))^|](А(0-акГ

<Й, (9)

которое непосредственно вытекает из геометрического смысла параметра А и уравнения Леянера (2).

§0. Конформное отображении волуилосмости на области стушлгчатого вида. В заключительном параграфе дано при-ложеише к случаю области специального вида, возникающей в задаче исследования влектромагиитного поля в торцевой зоне турбогенераторов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работе 1. Гутлянский ВЛ., Зайдан А.О. К методу Куфарева об определении параметров в интеграле Шварца-Кристоффеля // - Донецк.- 1992.- С. 1-2б.-(Иреп. АН Украины. Ин-т прикл. математики и механики, N 92. 00).