Конечно порожденные подмодули в модулях целых функций, определяемых ограничениями на индикатор тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

РГБ О*

1 з ДЕК тщ

Абузярова Наталья Фаирбаховна

КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫЕ ПОДМОДУЛИ В МОДУЛЯХ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ИНДИКАТОР

01.01.01. - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Уфа 2000

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета.

Научный руководитель -

доктор физико-математических наук, профессор Красичков-Терновский И.Ф.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Мерзляков С.Г.,

кандидат физико-математических наук, Шишкин А.Б.

Ведущая организация -

Ростовский государственный университет

Защита состоится

$1 ^Сй

2000 года в

/г

часов на

заседании Диссертационного Совета Д 003.$9.01 при Государственном Научном Учреждении Институт Математики с ВЦ Уфимского Научного Центра РАН по адресу: 450000, г. Уфа, ул. Чернышевского, д. 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Гос. Науч. Учреждения Институт Математики с ВЦ УНЦ РАН.

Автореферат разослан СУ 7 . 2000 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, к. ф.-м. н.

Ь 1£ /, Г/3. $ Л ч 'еи^с." 03

Попенов С.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ.

Актуальность темы исследования.

Пусть Р — топологический модуль функций, аналитических в открытом множестве комплексной плоскости. Задача локального описания состоит в отыскании условий, при которых идеал (подмодуль) I в топологическом модуле Р допускает локальное описание (является обильным), т.е. однозначным образом определяется набором общих нулей (с учетом их кратностей) функций из I.

Задача локального описания замкнутых идеалов й подмодулей аналитических функций была предметом исследований отечественных и зарубежных авторов ( И.Ф. Красичков-Терновский, Н.К. Никольский, В.А. Ткаченко, Ф.А. Шамолн, D.G. Dickson, L. Ehrenpreis L., В.А. Taylor и др.) Эта задача связана с такими проблемами анализа, как спектральный синтез и уравнения свертки, слабая обратимость функций и весовая аппроксимация многочленами, проблема Помпейю.

Задач)' спектрального синтеза, хотя и в других терминах, сформулировал JI. Шварц в 1947 году в известной работе о периодических в среднем функциях, а первый результат в этом направлении, относящийся к фундаментальной системе решений однородного дифференциального уравнения конечного порядка с постоянными коэффициентами, был получен JI. Эйлером еще в 1743 году.

Изучение задачи спектрального синтеза в работах И.Ф. Красичкова-Терновского проводилось с использованием аннуляторных подмодулей инвариантных подпространств в качестве инструмента исследований (в случае подпространства решений однородного дифференциального'урав-нения бесконечного порядка таким инструментом служит характеристическая функция уравнения).

Допустимость спектрального синтеза для инвариантного подпространства оказалась эквивалентной обильности аннуляторного подмодуля этого подпространства. Например, если в модуле, реализующем сопря-

женное к исходному пространству, обилен каждый главный (порожденный одной функцией) подмодуль, то в исходном пространстве возможен спектральный синтез для подпространства решений однородного уравнения свертки, т. е. множество элементарных решений этого уравнения полно в пространстве всех его решений.

Цель работы.

Целью работы является исследование конечно порожденных подмодулей в модулях целых функций, индикаторы которых не превосходят (или строго меньше) заданной р-тригонометрически выпуклой функции при заданном порядке р, именно:

1) условий допустимости локального описания, (обильности) конечно порожденным подмодулем в терминах взаимного расположения нулей образующих этого подмодуля и зазоров, оставляемых образующими в соответствующем модуле;

2) наличия конечного числа образующих в обильном подмодуле;

3) получение двойственных к указанным в 1) и 2) результатов, относящихся к проблеме спектрального синтеза в пространствах, сопряженных к исходным модулям.

Используемый метод. В работе реализуется абстрактный метод исследования задачи локального описания, разработанный И.Ф. Красич-ковым-Терновским в [1]-[2] и пригодный для модулей аналитических функций, наделенных не слишком "жесткой" топологией. Этот метод сводит вопрос о допустимости подмодулем локального описания к вопросу: является ли тождественный нуль точкой прикосновения специального множества функций из подмодуля?

#

Содержание основных результатов и их новизна.

В работе получены следующие результаты. Доказаны теоремы (глава 3), дающие достаточные условия обильности для подмодулей с двумя образующими, с произвольным конечным числом образующих в модулях целых функций, определяемых ограничениями на индикатор. Эти

условия сформулированы в виде ограничений на взаимное расположение части нулей образующих подмодуля, причем, чем ближе рост образующих к экстремальному в соответствующем модуле, тем на большую часть нулей накладываются требования близости и тем жестче эти требования. То есть указанные условия учитывают аналитический фактор — структуру и свойства функций из исследуемых модулей.

Как одно из применений полученных условий доказано утверждение о наличии в любом обильном подмодуле двух образующих.

Для всех доказанных утверждений сформулированы двойственные теоремы, относящиеся к исследованию проблемы спектрального синтеза (глава 4).

Теоретическая и практическая значимость.

Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и дополняют исследования задач спектрального синтеза и локального описания, проводившиеся в работах [1]-[8]. Применение абстрактного метода из [1]-[2], существенно использующее аналитическую структуру элементов изучаемого модуля, может быть распространено на другие весовые модули аналитических функций.

Апробация работы.

Основные результаты докладывались на Уфимском городском семинаре по теории функций им. А.Ф. Леонтьева. Отдельные результаты докладывались также на международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения" (Уфа, 1996 год), на Республиканской научной конференции студентов и аспирантов по физике и математике (Уфа, БГУ, 1997 год) на Международной конференции по комплексному анализу и смежным вопросам, посвященной памяти чл.-корр. АН СССР А.Ф. Леонтьева (Нижний Новгород, 1997 год), на Международной конференции по комплексному анализу (г. Уфа, 2000 год). Был представлен доклад на Школу-конференцию "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы",

посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф. Егорова (Казань, 1999 год).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [9]—[12], примыкающие к теме диссертации результаты — в [13], [14].

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав (каждая разбита на три параграфа), списка цитированной литературы, содержащего 59 названий. Общий объем диссертации — 134 страницы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

В диссертации рассматриваются модули целых функций Р[р,Н) и Р[р,Н], которые определяются следующим образом.

Пусть Н{в) — 2я--периодическая р-тригонометрически выпуклая при порядке р > 0 функция со значениями в промежутке (-оо;+оо].

Обозначим Ж(Н) множество всех 27Г-периодических р-тригонометрически выпуклых функций Н(в), каждая из которых при любом в удовлетворяет неравенству:

А(0) < Н(в).

Будем предполагать, что выполнены условия:

Н(в) полунепрерывна снизу; Л{Н) ф 0.

Каждой функции h{6) £ Ж{Н) сопоставим Рh — банахово пространство всех целых функций </>(z), для которых конечна норма

0

\Ш\\н= sup |v>(reifl)|exp(-ft(0)r').

z=re,e€C

Обозначим Р[р, Н) индуктивный предел семейства {Ph.}, h 6 Л{Н).

Пусть Н{в) неотрицательная ограниченная р-тригонометрически выпуклая функция при порядке р > 1.

Определим пространство Р[р, Н] состоящим из всех целых функций нормального типа при порядке р с индикаторами, не превосходящими #(#), с топологией, для которой множества

Ue,s = {4>: |M|e<J}, где ||уз||е = sup \if(ret9)\ехр((-Я(0) - s)rp), образуют базис системы

г,в

окрестностей нуля.

Операция умножения на многочлен p(z) € С[z] непрерывно действует из Р[р,Н] в Р[р,Н] и из Р[р,Н) в Р[р,Н) т.е. Р[р,Н] и Р[р,Н) — топологические модули над кольцом C[z].

Излояченне проводится по следующему плану.

Глава 1 содержит: сведения об используемом методе (§1.1) обоснование применимости метода к рассматриваемой ситуации и постановку задачи (§1.2), формулировку основных результатов (§1.3);

В главе 2 выводятся оценки для целых функций специального вида, которые составляют аналитическую основу последующих результатов.

Третья глава является основной частью работы — исследованием конечно порожденных подмодулей в Р[р,Н) и Р[р,Н]. В §3.1 доказываются теоремы о достаточных условиях обильности подмодулей с двумя образующими в Р[р,Н) и Р[р,Н]. §3.2 содержит условия обильности подмодулей с произвольным конечным числом образующих. В §3.3, как одно из применений теорем, полученных в §3.1, доказывается утверждение о том, что каждый подмодуль I в & = Р[р, Я) или Р[р, Я], допускающий локальное описание, обладает двумя (быть может совпадающими) образующими.

В главе 4 рассматривается задача спектрального синтеза для подпространства решений системы однородных уравнений типа свертки в Р*[р, Я), Р*[р,Н] (§§4.1,4.2) а также в некоторых пространствах, являющихся аналитическими реализациями Р*[р,Н) и Р*[р,Н]. Для них формулируются теоремы, двойственные к доказанным в главе 3.

Опишем содержание каждой главы по параграфам.

В §1.1 приведена точная формулировка задачи локального описания для общего случая и для рассматриваемого в диссертации, изложена схема метода, разработанного в [1]—[2] для пространств, удовлетворяющих двум условиям: аксиоме сходимости и аксиоме равномерной устойчивости. Выполнение первой из этих аксиом означает, что тополгия рассматриваемого пространства (модуля) & мажорирует топологию поточечной сходимости. Вторая аксиома обеспечивает непрерывность операции деления на двучлен z — а.

Применение указанного метода к пространствам, удовлетворяющим, кроме двух аксиом, еще двум условиям, приводимым ниже, сводит вопрос об обильности конечно порожденного помодуля к вопросу о том, является ли то?кдественный пуль точкой прикосновения множества

T(z0,a) = {Pi^H-----1- Pn&7i}, где Рь...,Рп— многочлены и Pt(zQ) =

аи Щг0) = 1,1 = 1____п, для -некоторого го € С и любого набора

комплексных чисел а = (ai,. , .,ап), удовлетворяющего условию сц + ■ • • + ап = 0.

Дополнительные к аксиомам условия состоят в следующем:

1) пространство & должно быть аналитически уплотненным, т. е. для любой конечной системы функций ..., из &

множество

В = 19 6 Я(С) : \&(z)\ < + "'' + г е С}

принадлежит и ограничено в

2) & — чистый модуль, т. е. любой главный подмодуль в & обилен.

В §1.2 определяются пространства Р[р, Н) и Р[р,П], перечисляются

их свойства вытекающие из общей теории линейных топологических пространств, в частности, из того, что Р[р, Я) — пространство типа (LN*), а Р[р,Н], — пространство типа (М*) (леммы 1.2.1-1.2.4). На основании общих топологических свойств введенных пространств с учетом аналитической структуры их элементов ( это — целые функции конечного порядка с заданным индикатором, поэтому к ним применимы

классические приемы и результаты теории целых функций одной переменной) проводится доказательство того, что к исследованию конечно порожденных подмодулей в пространствах Р[р,Н) и Р[р,Н], применим метод, описанный в §1.1, т. е. обильность таких подмодулей в этих пространствах равносильна тому, что тождественный нуль есть точка прикосновения множества (*). По существу приходится доказывать равномерную устойчивость этих пространств и то, что в Р[р, Я], ка?к-дый главный подмодуль обильный. Остальные условия либо следуют из определения пространств Р[р, Я), и Р[р,Н], либо являются уже известными результатами.

В этом же параграфе приводятся формулировки конкретных задач, рассматриваемых в диссертации.

(I.) Пусть I — подмодуль в Р[р,Я) (Р[р,Я]), порожденный п функциями ..., Лх, ..., Ап — множества нулей этих функций, hg:l ••• h&n '—их индикаторы.

При каких условиях на Л* и /15^., i = 1,2,...,п, подмодуль I будет устойчивым (а значит, в силу изложенного выше, и обильным)?

(II.) Пусть I — обильный подмодуль в Р[р,Н) (Р[р, Я].) Можно ли найти в нем конечное число элементов, порождающих /? Какое минимально возможное число элементов из I для этого потребуется?

(III.) Пусть Z — оператор умножения на независимую переменную в Р[р, Н) (Р[р,Н}), D = Z* — сопряя?енный оператор к Z. W - подпространство в Р*[р,Н) ( Р*[р, Я]), инвариантное относительно D.

Используя рефлексивность Р[р,Н) (Р[р, Я]), так же, как в [11, стр. 4G3], можно доказать, что для пространств Р[р, Н) (Р[р,Н]) и их сопряженных справедлив

специальный принцип двойственности: между совокупностью {/} замкнутых подмодулей в Р[р, Я) (Р[р, Н]) и совокупностью замкнутых подпространств {W}, инвариантных относительно D = Z* в Р*[р,Н) (Р*[р, Н}) имеет место взаимно однозначное соответствие по правилу ортогональности: I W.тогда и только тогда, когда 1° — W, I = W0,

где 1° — подпространство в Р[р,Н) (Р[р,Н\), ортогональное к I, т.е. множество всех функционалов, обращающихся в нуль на I, 17° — подпространство в Р*[р, Н) (Р*[р,Н]), ортогональное к IV, т.е. множество всех функций из Р[р,Н) (Р[р,Н\), обращающихся в нуль на W.

Какие утверждения, двойственные к полученным при решении вопросов (I.) и (II.) результатам, будут иметь место для W в связи с задачей спектрального синтеза относительно оператора D: а) в общем случае; б) для конкретных аналитических реализаций пространств Р*[р,Н) и Р*[р,Н]?

§1.3 содержит точные формулировки основных результатов по задачам (I.) и (II.).

Глава 2 является вспомогательной: в ней выводятся оценки для последовательностей целых функций специального вида, построенных по заданным целым функциям 3 и % в терминах взаимного расположения нулей функций 3- и (3.

В третьей главе изучаются конечно порожденные подмодули в & {& = Р[р,Н) или Р[р,Н]) и обильные подмодули в S?.

В первых двух параграфах рассматриваются конечно порожденные подмодули. Все главные подмодули в & — обильные. Подмодуль, порожденный двумя функциями, может оказаться необильным. В §3.1 описывается ситуация, когда функции 3- и ^ из & порождают необильный подмодуль. В этом же параграфе доказывается ряд утвер?кдений (теоремы 3.1-3.4) об условиях обильности подмодуля с двумя образующими в Каждая из этих теорем является заключительным шагом в реализации схемы, изложенной в главе 1, а именно: теорема представляет собой утверждение об условиях, при которых справедлив критерий устойчивости подмодуля с двумя образующими, приведенный в §1.1. Параграф завершается примерами, иллюстрирующими доказанные теоремы.

В следующем, параграфе с использованием теорем 3.1-3.4 и критерия обильности конечно порожденного подмодуля (см. §1.1) формулируется

и доказывается теорема 3.5 об условиях обильности подмодуля в 2?, имеющего произвольное конечное число образующих.

Наконец, в §3.3 доказывается одно свойство обильных подмодулей в 5й (теорема 3.6). Доказательство существенно использует предыдущие утверждения, т.е. является одним из возможных применений теорем

Приведем некоторые из утверждений главы 3. Пусть & и <3 — целые функции, допускающие представление = /Р, = дй, где ^ и б — целые функции порядка не выше, чем р, разложение Адамара для которых имеет вид

Л = {Лг-} и Г = {7{} — последовательности нулей функций Р и С? соответственно, занумерованные каким-либо образом, 0 £ Л и Г; в этих произведениях, а также во всех подобных, встречающихся ниже, каждый множитель выписывается столько раз, какова кратность соответствующего нуля рассматриваемой функции.

Введем следующие обозначения.

3.1-3.4.

г

ед = П(1-;г). если Р =[/>]= О,

г

^ = тах{|А^, |7г|}, 1<п

при р > О,

а = Ь= л - п - п р = о,

возможно, что 5П = +оо, но во условиях всех приводимых утверждений Зп < +оо.

эта функция монотонно убывает к нулю на положительной полуоси, поэтому существует обратная к ней функция цр(х), также монотонно убывающая при х > 0.

Для заданных р > 0 и Д £ (0; +оо) положим

где ср = Зе(2 + 1пр) при р — [р] > 1, ср = 1 при р < 1.

Теорема 3.1. Предположим, что функции & и с6 из Р[р,Н) допускают представление

где Р и С? — целые функции конечного типа при порядке р с последовательностями нулей Л = {А,} и Г = {7{} соответственно, 0 0 Л и Г, так, что для некоторых С > 0, <5 £ (0; 5Г,) и ограниченной р-тригоно-метрически выпуклой 2-к-периодической функции к(в) выполнены условия:

Пусть

ХР{») =

^ + [р] 1п(1 + ±), р> 1,

^(1п(1 + ^) + ^)+[р]1п(1+1), р< 1,

5Р = срДхр(1),

9 = № У = 9с,

1) Н(в) + 6 < Н(в)-

2) множества Л и Г можно упорядочить так, что

Цтзир^/Ы>11р{+6),

п—>00 1п

где /г = тахЛ(0) - тт{тт/1(0),О};

в

в

3) для индикаторов h f<§, hg& функций f'/I и g3-при целом р выполнена оценка:

max{hf<s(0) + h0 cos(0a + p9),hg^(e)} < ft(0), в этом неравенстве

00

h0eieo=^2(An-Bn),

1

а при нецелом р — оценка:

max{hfv(9),hg&}(0) < h(d). Тогда I — обильный подмодуль.

Для формулировки утверждения, относящегося к подмодулям с произвольным конечным числом образующих, дополнительно введем следующие обозначения.

Пусть З'2, • • •, —функции из Р[р,Н) (Р[р,Н]). Положим

т ='(i,j), i,j = 1,2,... ,n, i < j.

Каждой паре я- = (t,j) поставим в соответствие вектор

/Г =

Г 1, к = г, -1, k = j, О, к Ф i,j.

Любая линейно независимая система векторов

соответствующих парам — (¿1, л), • • •, я"п- 1 = {1п-1,Зп-\)-> образует базис в пространстве

V = {а = («1,..., «„)£€": «1 + • • • + ап = 0}. 11

Справедлива следующая теорема об условиях обильности подмодуля 7, порожденного в Р[р,Н) (Р[р,Н]) функциями

! J • • ■ !

Теорема 3.5. Предположим, что существует набор пар

- (h,jl),---, ?Гп-1 - (l'n-lijn-l),

такой что

1) векторы .., линейно независимы;

2) для каждой Жк — (ik,jk)> А; = 1,..., п — 1, соответствующая пара функций , удовлетворяет всем условиям теоремы 3.1 для Р[р,Н) (для Р[1,Н) — теоремы 3.2, для Р[р,Н] — теоремы 3.3) или теоремы 3.4 для Р[р, Я) (Р[р, Н]).

Тогда подмодуль I обильный.

Ответы на поставленные в (II) содержатся в следующей теореме.

Теорема 3.G. Каждый обильный подмодуль I модуля Р[р, Я) (Р[р, Н}) обладает двумя (быть может, совпадающими) образующими.

В §4.1 главы 4 содержится постановка задачи спектрального синтеза относительно оператора D, сопряженного с умножением на независимую переменную, в пространстве Ж — &>*, где & = Р[р, Я) или Р[р, Я]. Корневыми элементами оператора D являются ¿-функционалы:

{¿!то)}, ЛеС, т = 0,1,...,

на пространстве 2?, каждый из которых определяется равенством:

Двойственность между инвариантными подпространствами в Ж и замкнутыми подмодулями в & сводит задачу спектрального ейнтеза в

Ж к задаче характеризации обильных подмодулей в SP. Всякое утверждение об условиях обильности подмодуля / С & может быть переформулировано в утверждение об условиях допустимости спектрального синтеза инвариантным подпространством в Ж. А наличие специальных свойств у обильных подмодулей в 9 влечет наличие двойственных свойств у подпространств, допускающих спектральный синтез в Ж.

Теоремы об условиях обильности конечно порожденных подмодулей и о свойствах обильных подмодулей модуля & доказаны в главе 3.

Параграф 4.2 посвящен формулировке соответствующих двойственных утверждений для инвариантных подпространств W С Ж.

Например, из теоремы 3.6 следует, что справедлива

Теорема 4.6. Каждое нетривиальное инвариантное подпространство W пространства Ж, допускающее спектральный синтез, может быть представлено как совокупность решений двух однородных уравнений типа свертки.

Пусть & = Р[р, Н) .и длина каждого максимального интервала, на котором функция Н(в) принимает конечные значения, не превосходит 7г/р. Тогда любой замкнутый подмодуль в SP является обильным, и значит, каждое инвариантное подпространство W в Ж допускает спектральный синтез (см. [11]). В этом случае имеет место

Теорема 4.7. Замкнутое подпространство W С Ж инвариантно тогда и только тогда, когда оно является подпространством решений двух (быть может, совпадающих) однородных уравнений типа свертки.

В §4.3 приведены аналитические реализации пространств Р*[р,Н) и Р*[р,Н]. А именно, рассмотрены реализации пространства Ж = SP*, где 5й = Р[р,Н) или Р[р,Н], при которых оператор D = Z* является оператором дифференцирования, его корневые элементы — обычными экспоненциальными одночленами zkeXz, оператор типа свертки Tv = М* (сопря?кенный с оператром умножения на функцию </?) — классическим оператором свертки (действием функционала на сдвиг

функции):

5 — элемент пространства Ж* такой, что

где ф -— функция, порождающая Т^,, эту функцию в рассматриваемой ситуации называют характеристической функцией функционала Б.

В качестве пространства, изоморфного Р[р,Н), р > 0, Н{в) > 0, рассмотрено также пространство Ж{С), состоящее из всех функций, голоморфных в /з-выпуклой области (7 С С, для которой Н(-9) — /э-опорная функция. Оператор Г> реализуется в Ж(<3) оператором обобщенного дифференцирования Гельфонда-Леонтьева по функции Миттаг-Леффле-ра, оператор типа свертки Т^ (сопряженный с оператором умножения на функцию <р в &) — оператором обобщенной свертки — действием функционала 5 из Ж* (С) на обобщенный сдвиг функции д(г) £ Я((7).

Литература.

[1] Красичков-Терновский И.Ф. Локальное описание замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций одной переменной. I.// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1979. Т. 43. №1. С. 44-66.

[2] Красичков-Терновский И.Ф. Локальное описание замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций одной переменной. II.// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1979. Т. 43. №2. С. 309-341.

[3] Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций.1. Спектральный синтез на выпуклых областях.// Матем. сб. 1972. Т. 87(129). С. 459-489.

[4] Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций.П. Спектральный синтез на выпуклых областях.// Матем. сб. 1972. Т. 88(130). С. 3-30.

[5] Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций.Ш. О распространении спектрального синтеза.// Матем. сб. 1972. Т. 88(130). С. 331-352.

[6] Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. Аналитическое продолжение.// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1973. Т. 37. С. 931-945.

[7] Ткаченко В.А. Спектральные разложения в пространствах аналитических функционалов.// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1979. Т. 43. № 3. С. 654-713.

[8] Ткаченко В.А. Спектральная теория в пространствах аналитических функционалов для операторов, порождаемых умножением на независимую переменную.// Матем. сб. 1980. Т. 112(154). № 3(7). С. 421-466.

[9] Абузярова И.Ф. Инвариантное подпространство, допускающее спектральный синтез, представляется двумя уравнениями свертки.// Тезисы Международной конференции по комплексному анализу и смежным вопросам памяти чл.-корр. СССР А.Ф. Леонтьева. Нижний Новгород. 1997. С. 8-9.

[10] Абузярова И.Ф. Об одном условии обильности подмодуля с двумя

образующими.// Вестник Башкирского университета. 1999. №1. С. 13-18.

[11] Абузярова Н.Ф. Об одном свойстве подпространств, допускающих спектральный синтез.// Матем. сборник. 1999. Т. 190. №4. С. 3-22.

[12] Абузярова Н.Ф. "Об условиях обильности конечно порожденных подмодулей".// Тезисы Школы- конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф. Егорова. Казань. 1999.

[13] Абузярова Н.Ф. Слабая обратимость в весовых пространствах аналитических функций.// В сб.: Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. I. Комплексный анализ. Уфа: ИМ с ВЦ РАН. 1996. С. 5-9.

[14] Абузярова Н.Ф. Слабая обратимость в весовых пространствах аналитических функций.// Тезисы Республиканской научной конференции студентов и аспирантов по физике и математике. Уфа. 1997. С. .70-71.

Введение.

Глава 1. Предварительные сведения.

Постановка задачи. Основные результаты.

§1.1. Предварительные сведения. Метод. Стр.

§1.2. Постановка задачи и применимость метода. Стр.

§1.3. Формулировка основных результатов. Стр.

Глава 2. Аналитические леммы.

§2.1. Определения и обозначения. Стр.

§2.2. Вспомогательные оценки в терминах 5П, Км- Стр.

§2.3. Оценки для подпоследовательности

Ь„Л*)}. СтР

Глава 3. Замкнутые подмодули в Р[р, Н) и в Р[р, Н]. Стр.

§3.1. Подмодули с двумя образующими. Стр.

§3.2. Подмодули с произвольным конечным числом образующих. Стр.

§3.3. Свойство обильных подмодулей в модулях Р[р, Н) и Р[р,Н]. Стр.

Глава 4. Применение полученных результатов к задаче спектрального синтеза в Р*[р, Н) и Р*[р, Н].

§4.1. Задача спектрального синтеза и ее двойственность с задачей локального описания. Стр.

§4.2. Утверждения, двойственные к теоремам 3.1-3.6. Стр.

§4.3. Некоторые аналитические реализации пространств Р*[р, Н) и Р*[р,Н]. Стр.

1. Пусть (7 — область в комплексной плоскости, & — топологическая алгебра (или топологический модуль над кольцом многочленов С[У|) функций, аналитических в области

Замкнутый идеал (подмодуль) I в Р допускает локальное описание, если он однозначным образом определяется набором общих нулей (с учетом их кратностей) функций из I. Задача локального описания состоит в отыскании условий, при которых идеал (подмодуль) I допускает локальное описание.

Термин "локальное описание" объясняется постановкой задачи локального описания: пусть 0\ — локальное кольцо функций, голоморфных в точке Л £ С, 1\ — локальный идеал, порождаемый I в точке Л, т.е. 1\ — множество всевозможных конечных комбинаций + • • • + сп(рп, где С{ е 0\ а ^ е /; при каких условиях I полностью определяется своим набором локальных идеалов {1\ : Л € С?} (является обильным)?

Задача локального описания замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций была предметом исследований отечественных и зарубежных авторов (см. работы [8]-[10], [15]—[16], [20], [31], [33]—[35], [48]—[50] и библиографию в них). Эта задача связана с такими проблемами анализа, как спектральный синтез и уравнения свертки, слабая обратимость функций и весовая аппроксимация многочленами, проблема Помпейю. а). Связь с задачей спектрального синтеза.

Пусть Я(С) — пространство всех функций, голоморфных в области — замкнутое подпространство в Н(0), инвариантное относительно дифференцирования: / € \¥ =>• /' £ \¥. Задача спектрального синтеза в этом случае формулируется следующим образом: при каких условиях подпространство IV допускает спектральный синтез, т. е. совпадает с замыканием линейной оболочки множества всех экспоненциальных одночленов гкех* (корневых элементов оператора дифференцирования), содержащихся в IV?

Задачу спектрального синтеза, хотя и в других терминах, сформулировал Л. Шварц [52], а первый результат в этом направлении, относящийся к фундаментальной системе решений однородного дифференциального уравнения конечного порядка с постоянными коэффициентами, был получен Л. Эйлером [51] еще в 1743 году. Возможность аппроксимации решений однородных дифференциальных уравнений бесконечного порядка и однородных уравнений свертки исследовалась А. Ф. Леонтьевым [23], [25], А.О. Гельфондом [2], Л. Эренпрайсом [49], [50], Д. Диксоном [47], [48], И. Ф. Красичковым-Терновским [11]-[14], [17]-[19], В. В. Напалковым [30], Р. С. Юлмухаметовым [45] и другими авторами.

Критерии допустимости спектрального синтеза инвариантными подпространствами скалярных и векторных функций, аналитических в выпуклых областях комплексной плоскости, получены И. Ф. Красичковым-Терновским [11]—[14], [17]—[19]. В частности, им доказаны теоремы об условиях допустимости спектрального синтеза подпространством решений системы однородных уравнений свертки. Изучение задачи спектрального синтеза в работах [11]—[14], [17]—[19] проводилось с использованием аннуляторных подмодулей инвариантных подпространств в качестве инструмента исследований (в случае подпространства решений однородного дифференциального уравнения бесконечного порядка таким инструментом служит характеристическая функция уравнения).

Допустимость спектрального синтеза для инвариантного подпространства оказалась эквивалентной обильности аннулятор-ного подмодуля этого подпространства. Например, если в модуле, реализующем сопряженное к исходному пространству, обилен каждый главный (порожденный одной функцией) подмодуль, то в исходном пространстве возможен спектральный синтез для подпространства решений однородного уравнения свертки, т. е. множество элементарных решений этого уравнения полно в пространстве всех его решений.

Возможность локального описания каждого замкнутого идеала в весовой алгебре целых функций, установленная в [8]-[10], влечет наличие спектрального синтеза относительно оператора обобщенного дифференцирования, введенного в [8], в пространстве всех целых функций.

Двойственный переход от задачи спектрального синтеза к задаче локального описания, хотя в другом виде, использовался также В. А. Ткаченко при изучении подпространств аналитических функционалов, инвариантных относительно оператора, сопряженного к умножению на независимую переменную, в частности, подпространств решений систем однородных уравнений типа свертки в пространствах аналитических функционалов [39], [40], [42], [43]. б). Локальное описание идеалов и слабо обратимые функции.

Пусть / £ & — функция, нигде не обращающаяся в 0. / называют слабо обратимой в если тождественная единица является точкой прикосновения множества {pf : р £ С[г]} в топологии пространства Понятие слабо обратимого элемента было введено Г. Шапиро в [53]. Исследование различных пространств на наличие в них слабо обратимых функций проводилось также Н.К. Никольским [32]—[34], Ф.А. Шамояном [44] и автором [55].

Задача локального описания идеалов в некоторых случаях оказывается эквивалентной задаче о слабо обратимых функциях. В работе Н.К. Никольского [35] описана связь между этими задачами: применение прямого факторизационного метода Вейерштрасса [35, п. 8] к задаче локального описания в алгебре & приводит при определенных условиях к вопросу о слабой обратимости элементов в А именно, пусть & устойчивая алгебра функций, аналитических в области (9 комплексной плоскости, т.е. верна импликация: г — а г — а и пусть множество всех многочленов содержится и плотно в Предположим, что для любой ср Е & найдется последовательность функций {7га} (аналогов канонических произведений по множествам кратных точек Ла таким, что уЛа = Л а множество нулей функции ср), обладающая свойством:

КаР в ТОПОЛОГИИ функция фо € & не обращается в 0 в области (7. Существование таких {7га} называют "каноническим делением" в & (см. [35]).

В [35] доказано, что если алгебра & удовлетворяет указанным выше свойствам, то возможность локального описания любого замкнутого идеала в & эквивалентна слабой обратимости в & всех функций, не обращающихся в 0. Там же приведен пример алгебры для которой имеет место эквивалентность задач локального описания и слабой обратимости: такую алгебру образует множество Х\ функций, аналитических в единичном круге Ю) и ограниченных возрастающей последовательностью весов {А"}^^, где А(г) — положительная функция, определенная на промежутке [0; 1), имеющая "правильный рост" (условия типа выпуклости 1пА по 1п(1 — г)-1) и конечный экспоненциальный рост:

1п 1п А(г)

Ра = Ьт —-г^ < оо. г-> 11п(1 — г) 1 в). Связь с проблемой Помпейю (по работе [46]).

В 1929 году Д. Помпейю сформулировал следующую задачу: описать все ограниченные множества И на плоскости, для которых существует непрерывная функция /(ж, у) ф 0 такая, что

J ¡{х,у)(1х(1у = 0 для любого а £ Е, где Е — группа всех "жестких" преобразований (сдвигов и поворотов) плоскости. Про такие множества И говорят, что они не обладают свойством Помпейю.

Оказалось, что круг не обладает свойством Помпейю, а, например, треугольник и параллелограмм — обладают. Не доказанная пока гипотеза такова: множество на плоскости, не обладающее свойством Помпейю, является кругом. Рассматриваются и более абстрактные формулировки проблемы Помпейю.

Один из возможных методов исследования этой проблемы — сведение к изучению локальных свойств идеалов в алгебре, состоящей из преобразований Фурье-Лапласа распределений с компактным носителем [46, §§3, 4].

2. Пусть, как и выше, & — локально-выпуклое пространство функций, аналитических в области G комплексной плоскости, таковдЧто операция Л умножения на независимую переменную непрерывно действует из & в Другими словами, & — топологический модуль над кольцом многочленов С[А]. В работах [15]—[16] И.Ф. Красичкова-Терновского исследуется возможность локального описания замкнутых подмодулей модуля 0 при условии, что его топология не является слишком "жесткой". Рассматривается самая общая ситуация и не используется аналитическая структура элементов ЗР. Основным результатом в [15] является критерий обильности (допустимости локального описания) подмодулей: локальное описание допускают те и только те подмодули, которые обладают свойствами устойчивости и насыщенности.

Затем, в [16], проводится изучение этих свойств, опять в общих ситуациях, аналитический фактор используется минимально. Получен критерий устойчивости конечно порожденного подмодуля / С тождественный нуль должен быть предельной точкой специального множества функций, зависящего от образующих этого подмодуля. Одним из результатов является утверждение о том, что подмодули в аналитически уплотненном модуле насыщены. Свойство аналитической уплотненности модуля определяется его топологической структурой.

В данной работе результаты [15] и [16] используются для исследования конечно порожденных подмодулей в пространствах целых функций Р[р,Н) и Р[р,Н], ограниченных системой р-тригонометрически выпуклых весов, определяемых заданной р-тригонометрически выпуклой функцией Н. А именно, с помощью этих результатов будут получены достаточные условия обильности конечно порожденных подмодулей в

Р[р, Н) и Р[р, Н] в терминах взаимного расположения нулей образующих. В статье [12] построены необильные подмодули с двумя образующими в Р[1,#), эти построения основаны на факте разделенности нулей образующих. Оказывается, что, напротив, при определенном сближении части нулей функций • • • 5 фп из & порождаемый ими подмодуль будет обильным.

Известная схема двойственности (см., например, [11]) переносит результаты о возможности локального описания замкнутых подмодулей в & на инвариантные относительно оператора И = Л* подпространства в сильно сопряженном соответствуйте обильным подмодулям инвариантные подпространства Ш допускают спектральный синтез относительно оператора I), т. е. совпадают с замыканием линейной оболочки корневых элементов этого оператора в них содержащихся.

Как уже упоминалось, пространство Р[р, Н) и задача спектрального синтеза в сильно сопряженном к нему исследовалась при р = 1 в [11]-[14], при произвольном р > 0 — в [39], [40], [42], [43].

Сопряженным к умножению на целую функцию (р в & является оператор Т типа свертки. Множество решений системы однородных уравнений типа свертки в :

Т1/ = 0 является замкнутым подпространством, инвариантным относительно оператора Б. В силу упомянутой схемы двойственности ему соответствует конечно порожденный подмодуль с образующими (рх,., (рп, где Т* — оператор, сопряженный с умножением на г = 1 , .п. Так что полученные для конечно порожденных подмодулей условия обильности являются также условиями допустимости спектрального синтеза для подпространства решений системы (1) в терминах нулей ее характеристических функций ipi,., ipn.

Изложение проводится по следующему плану.

1. Азарин B.C. О разложении целой функции конечного порядка на сомножители, имеющие заданный рост.// Матем. сб. 1973. Т. 90(132). № 2. С. 229-230.

2. Гелъфонд А.О. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и асимптотические периоды целых функций.// Тр. МИАН. 1951. Т. 38. С. 42-67.

3. Гелъфонд А.О., Леонтьев А.Ф. Об одном обобщении ряда Фурье.// Матем. сб. 1951. Т. 29(71). С. 477-500.

4. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представление функций в комплексной области. М.: Наука. 1966.

5. Епифанов О. В. Однородное уравнение типа свертки в пространстве аналитических функций.// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1985. Т. 49. № 4. С. 766- 783.

6. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз.1959.

7. Красичков-Терновский И.Ф. Сравнение целых функций конечного порядка по распределению их корней.// Матем. сб. 1966. Т. 70(112). № 2. С. 198-230.

8. Красичков-Терновский И.Ф. О замкнутых идеалах в локально-выпуклых алгебрах целых функций.// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1967. Т. 31. С. 37-60.

9. Красичков-Терновский И.Ф. О замкнутых идеалах в локально-выпуклых алгебрах целых функций. II// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1968. Т. 32. С. 1024- 1032.

10. Красичков-Терновский И.Ф. О замкнутых идеалах в локально-выпуклых алгебрах целых функций. Алгебры минимального типа.// Сиб. матем. ж. 1968. Т. IX. № 1. С. 77-96.

11. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций.1. Спектральный синтез на выпуклых областях.// Матем. сб. 1972. Т. 87(129). С. 459-489.

12. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций.И. Спектральный синтез на выпуклых областях.// Матем. сб. 1972. Т. 88(130). С. 3-30.

13. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций.III. О распространении спектрального синтеза.// Матем. сб. 1972. Т. 88(130). С. 331-352.

14. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. Аналитическое продолжение.// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1973. Т. 37. С. 931-945.

15. Красичков-Терновский И.Ф. Локальное описание замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций одной переменной. I.// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1979. Т. 43. №1. С. 44-66.

16. Красичков-Терновский И.Ф. Локальное описание замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций одной переменной. II.// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1979. Т. 43. №2. С. 309-341.

17. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез аналитических функций на системах выпуклых областей.// Матем. сб. 1980. Т. 111(153). С. 3-41.

18. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез аналитических функций на системах неограниченных выпуклых областей.// Матем. сб. 1980. Т. 111(153). С. 384-401.

19. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез аналитических функций на системах выпуклых областей. Распространение синтеза.// Матем. сб. 1980. Т. 112(154). С. 94-114.

20. Красичков-Терновский И.Ф. Абстрактные приемы локального описания замкнутых подмодулей аналитических функций.// Матем. сб. 1990. Т.181. № 12. С. 1640-1658.

21. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гос-техиздат. 1956.

22. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука. 1985.

23. Леонтьев А.Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщения.// Тр. МИАН. 1951. Т. 39.

24. Леонтьев А.Ф. Об одном функциональном уравнении.// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1965. Т. 29. С. 725-756.

25. Леонтьев А.Ф. О представлении функций рядами полиномов Дирихле.// Матем. сб. 1966. Т. 70(112). С. 132-144.

26. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент.

27. Леонтьев А.Ф. Обобщения рядов экспонент. М.: Наука. 1981.

28. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент.

29. Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент.

30. Напалков В. В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука. 1982.

31. Никольский Н.К. Замкнутые идеалы в некоторых алгебрах целых функций.//Сиб. матем. ж. 1968. Т. 9. № 1. С. 211-215.

32. Никольский Н.К. Критерий слабой обратимости в пространствах аналитических функций, выделяемых ограничениями на рост.// Зап. науч. семин. ЛОМИ. 1972. Т. 30. С. 106-129.

33. Никольский Н.К. Избранные задачи весовой аппроксимации и спектрального анализа.// Тр. МИАН. 1974. Т. 120.

34. Никольский Н.К. Инвариантные подпространства в теории операторов и теории функций.//Матем. анализ. (Итоги науки и техники). М.: ВИНИТИ. 1974. С. 199- -412.

35. Никольский Н.К. Элементарное описание методов локализации идеалов.// В сб. Исследования по линейным операторам и теории функций. 17. Наука. Ленинград, отд. 1989.

36. Робертсон А. Робертсон В. Топологические векторные пространства. М.: Мир. 1967.

37. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир. 1973.

38. Себаштъян-и-Сильва Ж. О некоторых классах локально-выпуклых пространств, важных в приложениях.// Математика. Сб. переводов иностр. статей. 1957. 1:1. С. 60-77.

39. Ткаченко В.А. Об операторах типа свертки в пространствах аналитических функционалов.// ДАН СССР. 1974. Т. 219. № 3. С. 555-557.

40. Ткаченко В.А. О спектральном синтезе в пространствах аналитических функционалов.// ДАН СССР. 1975. Т. 223. № 5. С. 307-309.

41. Ткаченко В.А. Об операторах, коммутирующих с обобщенным дифференцированием, в пространствах аналитических функционалов с заданным индикатором роста.// Матем. сб. 1977. Т. 102(141). № з. С. 435-456.

42. Ткаченко В.А. Спектральные разложения в пространствах аналитических функционалов.// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1979. Т. 43. m 3. С. 654-713.

43. Ткаченко В.А. Спектральная теория в пространствах аналитических функционалов для операторов, порождаемых умножением на независимую переменную.// Матем. сб. 1980. Т. 112(154). № 3(7). С. 421-466.

44. Шамоян Ф.А. О слабой обратимости в весовых пространствах аналитических функций.// Изв. РАН. Сер. матем. 1996. Т. 60. № 5. С. 191-212.

45. Юлмухаметов P.C. Однородные уравнения свертки.// ДАН СССР. 1991. Т. 316. №2. С. 312-315.

46. Brown L., Schreiber В.M., Taylor В.A. Spectral synthesis and the Pompeiu problem.// Ann. Inst. Fourier, Grenoble. 1973. V.23. №3. P. 125-154.

47. Dickson D. G. Expansions in series of solutions of linear difference-differential and infinite order differential equations with constant coefficients.// Mem. Amer. Math. Soc. 1957. №23.

48. Dickson D.G. Analytic mean periodic functions.// Trans. Amer. Math. Soc.// 1964.V.110. №2. P.361—374.

49. Ehrenpreis L. Mean periodic functions.// Amer. J. Math. 1955. V.77. №2. P.293—326.

50. Ehrenpreis L. Fourier analysis in several complex variables. New-York: Wiley-Intersci. publishers. 1970.

51. Euler L. De integratione aequationum differentialum altiorum gradum.// Miscellanea Berol. 1743. №7. P.193-242.

52. Schwartz L. Theorie générale des fonctions moyenne-périodique. // Ann. Math. 1947. V.48. №4. P.857—929.

53. Shapiro H.S. Weakly invertible elements in certain functions spaces and generators in I1.//Michigan Math. J. 1964. V. 11. №2. P. 161-165.

54. Taylor B.A. Seminorm topology for some (.D.F)-spaces of entire functions.// Duke Math. J. 1971. V. 38. P. 379-385.

55. Абузярова Н.Ф. Слабая обратимость в весовых пространствах аналитических функций.// В сб. Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. I. Комплексный анализ. Уфа: ИМ с ВЦ РАН. 1996. С. 5-9.

56. Абузярова Н.Ф. Об одном условии обильности подмодуля сдвумя образующими.// Вестник Башкирского университета. 1999. №1. С. 13-18.

57. Абузярова Н.Ф. Об одном свойстве подпространств, допускающих спектральный синтез.// Матем. сборник. 1999. Т. 190. №4. С. 3-22.