Композиционные факторы и подмодули модулей Вейля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

шнестерство образования кшясксй щерацш нрославскей ордена тшхшго красного зшееж госшрственшй гщдагшнесш иесшотг т..лшиого

01.0Г.06 - ыатематаческая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на сосскание ученой степени кандидата фнзяко-матеиатотеских наух

На правах ружопгеи

УЖ 5Г2.743.7

Адамович Анна Маратовна

ШПОЗШЙОНШЕ ФАКТОШ И ВДОДОДШ МОДУЛЕЙ БЙШ

Ярославль 1992

PaCota выполнена на мехазшко-ыатешютеоком факультете МГУ

Научный руководитель - доктор.физто-штематических наук

Рудаков Алексей Николаевич

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

Ведущая организация - Институт теоретической физики

иыени Ландау РАН

на заседании специализированного совета К ПЗ.27.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Ярославском ордена Трудового Красного Знаыени государственном педагогической институте шени Ушнского по адресу: I5Q0QQ, г, Ярославль, улица Республиканская, 108.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЯПШ.'

Автореферат разослан " _1992 г.

профессор Еелойенко Дмитрий Петрович доктор физико-математических. наук, профессор Онивдк Аркадий Львович

Защита состоится &-I992 г. в /У

„час.

' Ученый секретарь специализированного совета

кандидат физико-математических наук Á \ В.Г.Шендвровский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация является исследование« в области теории представлении алгебраических грутт над полями конечной характеристики. Эта теория имеет глубокую связь с основными разделами математики: злгеброа, алгебраической геомет-рией.фунгаиональньш анализом; она активно развивается последние два десятилетия. В этой направлении работают такие известные математики, как Янтаен, Хамфри, Люстиг, Анлэрсен, Допкин и другие. Ими получены важные результаты, высказаны гипотезы.

Основной вопрос этих исследований является классическим для теории представлении - это вопрос о характерах неприводимых представления (неприводимых С-модулеа). В случае палеа простой характеристики характер, заданный формулой Вейля, не является м приводами. Такоз характер имеет, например, универсальный код/ль, порожденный векторам данного старшего веса а. -модуль Веяля явдяетийся неразложимым, но. вообще говоря, не являющийся неприводимым кодулем.

Задача о нахождении характеров неприводимых представления. таким образом, эквивалентна задаче о нахождении композиционных факторов модулей Веяля. Изучение структуры модулей Веяля является чзстью более обшей задачи, важной такте для некоторых вопросов алгебраической геометрии - задачи о строении модулей Б1 (С/В,^(к>) когомологиг линейных расслоений на многообразии флагов С/В, где В - борелевскзя подгруппа группы С. Дело в том, что любой модуль Веяля изоморфен как С-модуль высшей группе когомологиа некоторого линейного расслоения на с/В и многие, результаты, касающиеся модулей Веяля. переносятся на

случая модулей когомологиа линеяных расслоения на С/В1. С другой сторона, при изучении сразу всех модулей когомологиа получаются нетривиальные результаты о строении модулей Веаля.

Можно сказать, что теория представлений в простой характеристике находаггся в стадии гипотез и накопления информации. Основная гипотеза (Лостига2) о выражении неприводимых характеров через характеры Вея ля, высказанная в 1979 году, пока не доказана. Она шлется обобщением гипотезы Канщана - Люсткга для модулей Бермз. а тагаке формулы для кратности веса в неприводимом С-модуле над поле« характеристики 0. Гипотеза Лосткгз высказана для случая, когда характеристика поля р не меньше 11 - числа Кокстерэ. Случая р<Ь более сложен, и соотЕетстБуюшзя гипотеза пока не сформулирована - иало разобранных примеров. Поэтому кавдьга нобыл разобранный случая представляет интерес. В настоящей диссертации описаны 2 серии таких примеров.

В случае поля простоя характеристики полноя приводимости нет. поэтому возникает тагске задача о строении неразложимых модулей. Зяась одним из первых встает вопрос об описании

1 Anders«? H.H. On the structure oi cohomology ol line bundles on G/B // J. Àlgetara, 1981. 7.71, pp. 245-253. Andersen H .H. nitrations ol cohomology modules lor Chevaley groups // Ann. Scient. Ic. Mora. Sup., 1933. v.16. pp. 495-528.

2lusztlg ;G. Some, problems in the representation theory oi iinite Chevalley groups // In: The Santa Crus Conference on ïlnlte Groups (1979), ïroc. Synp. Pure Math., 1980, v.3T, pp.313-317.

Ixt1 (M,N) для неприводимых модулей М и N.

Ответ на этот вопрос казаа получить, изучая структуру подмодулей модулей Веяля {и модулей когомологкя) ,что интересно и важно и само га себе.

цель исследования состоит в описании множества композиционных факторов и структуры подмодулей модулей Веяля и модулей когсмологий „танеиных расслоения нз G/Б в случае однократных композиционных факторов.

Havmiaa ноеиэна диссертации определяется TQM. ЧТО В НОЯ:

з) Нзйдеяы композиционные факторы и получены описания решетки подмодулей G-мо дулей в следующих случаях: t. С - типа Afj, моду.та Веяля Vfl^) и

2. С - типа Сп. модули Веяля 7(ых>.

3. С - типа Aj,, модули Н1Си:> (C/B.Jf <»>>), гдэ w -элемент группы Веяля, х. - доминантный вес из нижнего рг-а,тъковз. В этом случае показано, что строение этих модулей описывается одним универсальным графом.,

(5) Описаны свойства двух серий коммутирующих представления пару полных линейных групп и пары симплектических групп, а также доказана теорема об изоморфизме пространств «орфизмов модулей Веяля для груш из одной пары. Все результаты являются новыми. ,

Практическая ценность работы. Работа носит теоретический хзрактер. Ее результаты могут применяться для изучения строения модулей Веяля и модулей когомолопга для групп больших рангов или больших весов и строения модулей Шпехта. Применяемый в работе способ описания структуры подмодулей изучаемых модулей (с помощью структурного графа) может быть использован

при описании структуры подмодулей лобых модулей с однократными композиционными фаеторзми. Особенно наглядным и полезным он является при изучении строения модулей Н1С,->(С/В.*(ш.х)), поскольку позволяет проследить за действием группы Вей ля. Развитые в работе метода изучения коммутирующих представлении могут применяться при исследовании других примеров коммутирующих представления пары груш и для изучения пространств морфизмов модулей Войля.

Апробация диссертации. Результаты диссертационной работы докладывались на научно-исследовательском секкнарз по алгебре и специальном семинаре по теории представления алгебр Ли на механико-математическом факультете ИГУ, нз семинаре по теории представления в университете города Билефельда (Германия), а также нз VII тематической конференции механико-математического Факультета МГУ "Алгебра, логика и теория чисел" (1985 г.).

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 5 работ.перечисленных в конда настоящего автореферата.

олъем и структура работы. Диссертация состоит из введения и четырех, глав, имеет 12 рисунков и изложена на 147 стрзницах машинописного текста. Библиография содержит 39 наименовании.

ОСНОВНОЕ С0ДШ1АНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении дается обзор сегодняшних знания по представлениям алгебраических групп в простой характеристике, обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются основные дели, а также описывается структура работы.

Б первой главе перечислены основные понятия, сведения, определения, методы, которые используются в последующих главах. В частности, дано следующее определение структурного грз-

фа кодуля:

Пусть V - С-ыодуль с однократными композиционными факторами. гСУ) -множество его композиционных факторов. Для Мег(7> пусть Ум= * - шшшзльныа из подмодулей коду ля V, под-Ме»Ч»)

фактором которых является М.

Подмодули вида Ум составляет множество неприводимых элементов решетки подмодулей модуля V. Структурным графом г<у) модуля V будем называть ориентированный граф частично упорядоченного (по включении) шоязства ( | (V) ): вершины графа будут соответствовать элементам ^<7), вершины, соответствующие будут соединены стрелкой, направленной от М к Я, если и не существует промежуточного подмодуля вида Заметим, что если верпины, соответствукядае М и N соединены ребром, то Ехг^М.Ю-О.

Всюду далее к - алгеЗрзнчестм замкнутое поле характеристики р>0.

Во второй главе изучается строение 1-тоя -симметрической степени естественного представления группы С1(п,к), описана структура соответствующего СЬ(л,к)-модуля который изоморфен Н°(С/В.г,(1«1)) (это эквивалентно описаний структуры подмодулей модулей Вейля 7(1^) для группы типа АГ1_1). Рх - это прострэн- . ство однородных многочлэнов степени 1 от переменных х,,... ,х .

, • а>

Пусть ¡Ыс^,^,...) I <^«2, 0£^5П(р-1), С >, для

00 ^

Эвй, пусть Р, (й) линейная оболочка одночленов вида п ^ »

• .1-0

гда - одночлен степени ^ от переменных х1.....х^.

Утверждение. 1 > Композиционные ректоры р, однократны.

2) Подмодули веда РА <3) и только они являются неприводимыми олеиаптами решетки подмодулей модуля .

Это утверадевие позволяет найти старшие веса композиционных факторов, описать структурный граф и нарисовать его в ез-выроздзЕнык случаях, что и сделано в £2.13.

Второй параграф этоа главы посвямзн более подробному изучав® случая п=2, поскольку свойства С1<2,Ю-модулеа существенно используется а гасдэдувдих главах.

В третьей главе изучается строение представления Шп,к)хС1<т,к) в пространстве л* (к" «к"") и представления 5р<2п,К>х5р(2т.к>, которое является композицией вложения в группу 5р1п(4ап,К) и ее сгшнорного представления. Эти два представления имеют сходные свойства, поэтому они изучается одновременно. Пусть С^СПп.Х) иди 5р(2п,М. соответственно .Сг=С1(ш.к) или £р(2з,}с), Г - пространство изучаемого представления С, «С,, 0 - множество диаграмм Шгз, у которых количество клеток в строке в столбце яь В обоих случаях (С! и Бр) диаграшу маната отождествить с доминантным весом для . Пусть V* - диаграмма (и соответствующий вес для С2>, которая получается из ^ в случае С! транспонированием, а в случае Бр -транспонированием диаграммы, дополнительной к V в прямоуголь-

3реЕвткл шдаодулеа модулей Рх были описаны независимо и почти одновременно автором С31 и Дота: Doty S.R. The sutaodule. stru-

г *

cture of certain ieyl modules lor groups of type A^ // J. Algebra. 1935. V.95, pp.373-3S3.

вике п*п.

Над полем пулевой характеристики Г = * L. (v) © L. (»*),

i*=D i г

где через JL. (>0 обозначен простой С.-модуль со старшим весом 1

В частности, chrt .-'F » Г О-*) . гда xG (х) -

характеры Белля. Кроме того, над полем характеристики ноль

K(Gltv) I,, , К(Са,^"*> IL. (v) , где через £ 1

K(Giл) обозначено пространство -особых векторов веса х. в Т. В насем случае char к = р > 0 ситуация сложнее, и верна Теорема 3.1.4. К(СА * VQ <i>+) , К(Сг.у+) * VG (f) ,

гда V_ (x) - С.-модуль, Веаля со старшим весом Креме того, i

сусестБует фильтрация С^С^модуля F, факторы которой изоморфны VG М <» vG (и*)" .где через о обозначен Функтор транспонирования.

Следствием згог теоремы является Теорема 3. 1.5.

Ноп< 7 <*) . V (а-) ) =. Нош( VQ О/) , VG {v4") ) . П 2 2

Во втором параграфе третьей главы продолжается рассмотрение С1*Сг-модуля F при условии, что полупростоа ранг равен 1 <т.е. = СЬ(2,к) или G1 = Sp<2,k) * SL(2,k) ). Знание свойств модуля F и свойств С1(2,к)-нодулея (эквивалентно, SL(2,к)-модулей) позволяет полностью описать структуру подмодуля С2-модулеа Вэяля» изоморфных; Са-годаодулям Г, т.е. GL (п. к)-мо дуло и Веаля со старшими весашт, соответствуюцкми двухстолбцовым диаграммам Юнгз .{эквивалентно, «одулея Vg^+Sj) для группы G типа Am.x) и Sp(2в,к)-кодулей Веаля со старшин весами, соответствующими одяоетожзцовым диаграммам

Шга (т.е. («.)).

2

Дадим точные формулировки. Обозначим через в единственный пояогигбльнаа корень С1, р*»/2. Пусть »л «I. Скажем, что х-»*: - правильный ваг стегани й, если <а",х+р> = 1рй-ъ, <а~,*+р> - 1ра-й>, где р<-1. О < Ь < ра, т.о. * * з<я.(».-1р':,рМр{,р.

' Обозначим через поданожэство элементов В, получающихся из х шпочкой правильных шагов убывающих стеданеа. Каждому элементу ^«х^ поставим в соответствие множество 3 = с ш следующим образом:

1). Если х « то «I =» е.

2). Пусть ь »*„—»*,-♦...-♦*,. =х - дапочка правильных шагов сте-тонея С1>...>с1г. Тогда ,1= и ^(.'^гс-Р (при нечетном

г считаем а,.<1=0).

Чэрез Ж*") будам обозначать простой С2-модуль со старшим весом

Теорема 3.2.1. ПУСТЬ ^еЛ.

1. Композиционные факторы и=7- однократны,

г

- шоаоство их старших весов. г- "нс^э = <-> «*1> 2 • Гда Хх'^к-

Теюш образом, структура подмодулей модуля Ча (к*)

г

описана4'. В случае общэго *. структурный граф этого модуля

^Композиционные факторы при р*2 впервые были найдены Преметом и Супруненко: Preniet A.A., Suprunenko i.D. The leyl modules arid the irreducible representations of the syraplectlc group

представляет собой вершины и ребра й-мерного куба (с1 зависит от р-адкческого разложения <<х~,кчр> | и га), у которого одна вершина (соответствующая М<*."")) отталкивает все стрелки.

В четвертой главе изучается С-модули Н1 (С/В,г(х>): в первом параграфе доказано (развивая результаты и метода Андерсена3 и Янтцэна6) несколько утверздония о свойствах этих модулей для произвольной редуктивной группы. Основной результат главы доказан во втором параграфе.

-Пусть С - связная рэдукгивная груша с односвязной полупростой частью типа ^ над полем к характеристики ргЗ, В -ее борелевская подгруппа, ТсВ - максимальный тор, Х(Т) -группа характеров Т, - множество положительных корней (В соответствует отрицательным), л=<а,/0 - множество простых

with the funfiamental highest «eights II Commun. Algebra, 1983, 7.11, pp.1309-1342. Другим способом, не исключающим случай р=2, этот результат был получен автором 111, описание структуры подмодулей - результат автора £21.

sAndersen ' H.H. Cohoniology о 1 line bundles on С/В // Ann.

Sclent. Ic. Norm. Sup., 1979, v.12, pp.85-100.

Andersen H.H. The first cohomology group of a line bundle on

G/B // Invent. Math., 1979, 7.51, pp.287-296.

Andersen H.H. On the structure of Weyl Modules // Math. Z.,

1930, v.170, pp. 1-14.

6Jantzen J.C. Darstellungen halbeinfacher Gruppen und Ihrer Trobenius-Kerne // J. reine angew. Math., 1980, v.317, pp. 157-199.

корней <И т0гдз R+ е )), « - груПГО БвИЛЯ, 1(W) -

длина элемента в группы Венля относительно множества простых отражений S=(sa|o.«A), ®0 - элемент И максимальной длины. Х+Ш - множество доминантных весов. М(х) - простоя С-модуль со старшим весом - линейное расслоение на С/В,

ипдуцировэвное Как обычно, пусть в.х = в(\+р)-р.

Теорема 4.2.4 описывает структуру подмодулей С-модуля H1Cw){!A) = ttKwJ(C/B,ir(».x>), где хсХ"(Т> - такое,, что <р",\+р> s рг-р (к - кз нижнего рг-алькова)7. Для простоты сформулируем ее в "обаем" случае, т.е. когда вес регулярен и лежит далеко от стенок доминантной камеры (в этом случзе c5igHlCw:5 (ш,\) равен характеру Вейля). Для этого вам понадобится еще несколько определении.

Пусть ¡^ = ( *еХ<Т) I 0 £ о "..О < р для гч^ > множество ограниченных весов, для х«гХ(Т) определим х0^-^. х^ХОГ) как (единственную) пару весов, удовлетворяющую условию х^Л-рл-1. Пусть сг - ( *«Х(Т) 1 0 < <г".*+р> < р . }. Для из нижнего рг-алькова (х1«^) положим

= (г.х)° + pa~l ((Я.Х)1). Модули HKv0(w.x) имеют 6=|Я| "несущих" композиционных факторов вида H(xw> и еше три не несущих. Обозначил юс старшда веса через \.'ЛЬ.ХС> Расположение их зависит от типа алькова, которому принадлежит х (I тип - получается сдаигои из Сх, II тип - остальные).

7Частньм случай b=wq разобран в работе: Doty S.R., Sullivan J.B. The submodule structure of Weyl modules for SI3 fl J. Algebra, 1935, v.96, pp.78-93.

Структура подмодулей всех Н1С"5(я.>.) для разных описывается одним универсальным графем г<\) (я только меняет ориентацию графа).

Для х из алькова I типа граф г(к) изображен на рис.1, для II типа - на рис.2 (вершина с индексом ц соответствует композиционному фактору М(р)).

Рис.1

Рис.2

Из г(х.) получается ориентированный граф r(x,w) следующим образом: пусть вершины с индексами м. и v соединены ребром в г(\) и f ближе к , чем м. Тогда стрелка в r(\,v») направлена от ц к V (т.е. вершина к" "все притягивает").

Т«?ор<?ма 4.2.4. Г(Н1С"° <ЯА)> * r(X,w).

1 Г

В частности, Н (w.x)

Шу)

2 HUw3(».\)

эквивалентно

уиГ1 > zw-1» где > обозначает слабьи порядок на группе Веиля <т.е. Wj^iWg. если К»^"1) = 1(в1) - i<w2)).

РАБОТЫ ШОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Адамович A.M. Аналог пространства примитивных форм над полем простой характеристики // Вестник Моск. Ун-та. мзтем., мех. 1934, К. 1. стр.64-66.

2. Адамович A.M. Структура подмодулей модулей Ееяля симплектических групп с Фундаментальными старшими весами // Бзстник Моск. Ун-та, матем., мех., 1966, ft 2, стр. 7-10.

3. Адамович A.M. Строение некоторых неразложимых представлений GIjj над полем конечной характеристики // В сб. "Алгебра, логика и теория чисел" под редакцией О.Б.Лупзнова, А.И.Кострикинэ. U.: МГУ, 1936. стр. 8-12.

4. Адамович A.M. Коммутирующие представления и строение модулей Бейля. Рукопись деп. в ВИНИТИ 20.04.87. К» 2762-BS7.

5. Адамович A.M. О строении С-модулей когомолопся линейных расслоений на С/В. Рукопись деп. в ВИНИТИ 17.02.S7, К> 1104-В37.