Расщепляемые расширения абелевых групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Министерство образования Украины Киевский университет им. Тараса Шевченко

На правах рукописи

МАЗНИЧЕНКО Владимир Александрович

УДК 519.41/47

РАСЩЕПЛЯЕМЫЕ РАСШИРЕНИЯ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел.

АВТОР ЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Киев — 1992

Работа выполнена в Институте математики АН Украины.

Научные руководители: доктор физико-математических наук ЗАЙЦЕВ Д. И., (кандидат физико-математических наук СЫСАК Я. П.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор ЧАРИН В. С., "кандидат физико-математических наук,

доцент ЛЕВИЩЕНКО С. С.

Ведущее предприятие: Гомельский госуниверситет.

Защита состоится » иолЪЪ,^ 1992г. в ЯЦ часов на

--—:-1—--- ---

заседании специализированного совета K068.18.ll при Киевском университете имени Тараса Шевченко по адресу, 252022, Киев-22, г. Киев, проспект академика Глушкова, 6, Киевский университет, корпус механико-математического факультета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Киевского университета им. Тараса Шевченко.

Автореферат разослан « -{¿Г » ¿ЖТ-З^У» 1992г.

Ученый секретарь специализированного совета

СУЩАНСКИЙ В. И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Теория расширений групп является важным разделом общей теории групп , имеющей немало важных приложений и связей с другими математическими теориями . В последние 15 лет активно развивается направление исследований , занимающих пограничное положение между теорией расширений и теорией обобщенно разрешимых и обобщенно нильпотентных групп с условиями конечности .Одним из основных вопросов , возникающих при этих исследованиях , является вопрос об условиях дополняемости нормальных подгрупп в группах или , иначе говоря , вопрос о расщепляемости расширений групп. Многие работы, относящиеся к этому разделу теории групп посвящены нахождению новых критериев расщепляемости расширений, в основном абелевых групп удовлетворяющим определенным условиям конечности ("например, условиям минимальности либо максимальности для подгрупп, нормальных в расширении, услобию конечности ранга и др . .) посредством различных видов обобщенно нильпотентных либо обобщенно разрешимых"групп . Одним из отправных пунктов развития этой теории было стремление перенести на возмогло более широкие классы групп известные факты из теории конечных групп : теорему Шура-Цассенхауза о сопряженной расщепляемости расширений конечных групп взаимно-простых порядков; критерий Гатаца о дополняемости абелевой нормальной подгруппы, при условии дополняемости се силовских подгрупп; теорему Гаишца-Шонкмапа утБэржд&ющую, что абелеп ннльпотентный корадикал конечной группы дополняем и лпбно два дополнения сопрягенн. Теорему Л. Д. Пемоткова о дополняемости неабелевой нормальной подгруппы конечной группы при условии абелевости и дополняемости иокоторнх се сх!лсчск:'.х

1"

подгрупп . Нахоадэнию аналогов расщепляемости для тех ¡¡ли иных видов бесконечных групп посвящены работы М.Ньюмена, М.Кьюэлла, Б.Хартли и Д.Макдугала, Д.И.Зайцева, Д.Робинсона, Б.Хартли, Б.Хартли и М.Томкинсона, М. Томкинсона.

Настоящая диссертация посвящена дальнейшему изучению расширений абелевых групп с помощью локально' сверхраэрешимых, локально ннльпотентных и гиперконечных групп и нахождению условий при которых эти расширения расщепляемы, а также исследованию групп гомологий и когомологий некоторых обобщенно разрешимых и обобщенно конечных групп и применению полученых утверждений для изучения расширений групп .

Цель работы состоит в нахождении условий сопряженной расщепляемости расширений абелевых групп, удовлетворяющих определенным условиям конечности посредством локально нильпотентных, локально сверхразрешимых и гиперконечных локально разрешимых групп; в изучении артиноьых модулей над гиперциклическими группами, а также ъ исследовании групп гомологий и когомологий гиперциклических, локально сверхраэрешимых , гиперконечных и других групп с коэффициентами в артиновых модулях.

Методы исследования. Основу исследования составили методы теории групп и гомологической алгебры.

Научная новизна и практическая ценность . В диссертации найдены новые условия сопряженной расщепляемости расширений абелевых групп посредством локально сверхраэрешимых, локально нильпотентных и гиперконечных локально разрешимых групп.

Установлена разложимость в прямую сумму специального вида артиновых модулей над гиперциклическими группами и получен новый критерий сопряженной расщепляемости гиперциклических расширений аба-

1

левых групп.

'Доказаны теоремы об обращении в ноль групп топологий и когомо-логий гиперциклических, локально сверхразрешимых, гиперконечных й др. групп с коэффициентами в артнновых модулях.

Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в теории групп, теории колец и модулей, в гомологической алгебре, а также при чтении специальных курсов по алгебре.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на X/ Всесоюзном симпозиуме по теории групп (Кунгурка, 1989), на семинаре по теории групп Института математики АИ Украины ("Киев , 1987-1992 ) , на Киевском городском алгебраическом семинаре С Киев , 1992 ) .

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 6 работ.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. В начале каждой главы дан краткий обзор рассматриваемых в ней вопросов и полученных результатов. Список литературы насчитывает 52 наименования. Общий объем диссертации 82 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ введении обоснована актуальность рассматриваемых вопросов , сделан краткий обзор имеющихся результатов, кратко изложено содержание диссертации.

Глава / работы посвящена изучению локально сверхразрыокиых , локально нильпотептных и гиперконечных рлси.'Иренш! збелевих групп. В ней доказквяютсч ут-^ржденил, объединяющие изьестякв

результаты о расщеп;;лености соответствующих расширений групп

г у

В первом параграфе изучаются локально нильпотентные расширения 1 абелевых групп. Пусть Е расширение абелевой группы А посредством локально нильпотентной группы Б, Е/А^З , и ,4 является локально нильпотентным корадикалом группы Е , то есть наименьшей нормальной подгруппой Е , определяющей локально нильпотентную фактор-группу . Группа Е сопряженно расщепляема над А , если фактор в/СаСА) гнперцентрален и А удовлетворяет условию минимальности для С-допустимых подгрупп (условию пип-б) или условию максимальности для 6-допустимых подгрупп (тах-б) С Д. И.Зайцев). Если группа А конечного С специального в смысле А.И.Мальцева ) ранга с черниковской периодической частью, то расширение Е такие сопряженно расщепляемо над А, причем здесь ограничение на фактор б/С0(А) не требуется СД.Робинсон).

В диссертации эти результаты обобщаются следующим образом: Теорема 1.1. Пусть группа Е есть расширение абелевой нормагьной подгруппы А посредством локально нильпотентной группы . Предположим , что А обладает конечным рядом подгрупп 1=А < А <.. . < А -А . А <зЕ , О <Г I <п ,

0 1 П 1

каждый фактор которого удовлетворяет одному из условий : итт-Е ; 2) шх-Е ; 3} фактор имеет конечный ранг и свободен от кручения ; причем фактор-труппы Е/С СА /А1 ) являются гиперцентральными для факторов вида 1 и 2 .

Тогда если А локально нильпотенткый корадикал группы Е , то Е сопрязешю расщепляема над А ■

Основную роль в доказательстве теоремы играет леима 1.4 , позволяющая находить гипертриьнальные образы ядра .4 расширений Е и тем самым осуществлять редукцию к трем известным видам расширений . Заметим, что на ядро расширения Л мокло смотреть

как на б-модуль, где б=Е/А - локально нильпотентная группа.

Л е м м а 1.4. Пусть б локально нильпотентная группа, А 6-ио-дуль, обладающий ненулевым б-гипертривиальным подмодулем и имеющий конечный ряд подмодулей, каждый фактор которого удовлетворяет одному из условий: rn.iri.-G, тах-в, аддитивная группа фактора имеет конечные секционные ранги. Тогда если в факторах этого ряда, удовлетворяющих условию пип-б, группа б индуцирует гиперцентралькые группы автоморфизмов, то модуль А обладает ненулевым б-гипертри-виальным образом.

Под б-гипертривиальным модулем понимается б-модуль, обладающий возрастающим рядом подмодулей с факторами, в которых элементы группы б действуют тождественно.

Во втором параграфе доказывается аналогичная теорема для локально сверхразрешимых расширений абепеЕЫх групп : Теорема 1.2 Пусть группа £ есть расширение абелевой нормальной подгруппы А 1 « одством локально сверхразрешимой группы . Предположим , что А обладает конечным рядом подгрупп • 1 =А < А С... < А =А , А,<3 Е , 0 < I <п ,

0 1 п 1

каждый фактор которого удовлетворяет одному из условий : 1М(п-Е ; 2) тах-Е ; 3) фактор имеет конечный ранг и свободен от кручения ; причем фактор-группы Е/СЕ(Ак ^ являются гиперциклическими для факторов вида 1 и 2 .

Тогда если А - локально сверхразрешимый корадикал группы Е , то Е сопряженно расщепляема над А . В этой теореме обобщена известные результаты из работ Д.И. Зайцева и Д.Робинсона. Основную роль в ее доказательстве играет

Л е мм а 1.8. Пусть б локально сверхразрешимая группа, А б-модуль, обладающий ненулевым б-гиперциклическим подмодулем и имею-

щкй конечный ряд подмодулей, каждый фактор которого удовлетворяет-одному из условий; тя-в, шх-С, аддитивная группа фактора имеет конечные секционные ранги. Тогда если в факторах этого ряда, удовлетворяющих условию пи п-в, группа в индуцирует гиперциклические группы автоморфизмов, то модуль А обладает ненулевым б-гиперцик-лическим образом.

. Под б-гиперциклическим модулем понимается С-модуль, обладающий возрастающим рядом подмодулей с факторами, аддитивные группы которых циклические.

Третий параграф посвящен изучению гиперконечных локально разрешимых расширений абелевых групп . В нем доказана теорема, обобщающая теоремы Л. И. Зайцева и М. Томкинсона.'

Теорема 1.3 Пусть группа £ есть расширение абелевой нормальной подгруппы А посредством гиперконечной локально разрешимой группы и обладает конечным рядом подгрупп 1-А < А <•...<• А -А , А -О £ , .0 С I <п ,

О 1 II 1

каждый фактор которого удовлетворяет одному из условий : игап-Е ; & 1шх-£ ; 3) фактор имеет конечный ранг . Тогда еоли А гиперконьчяый корадикал группы £,. то £ сопряженно расщепляема над А .

В доказательстве этой теоремы как и в двух предыдущих случаях основную роль играет лемма, позволяющая находить гиперконечные образы ядра расширения и, следовательно, осуществлять редукцию к известным видам расширений .

Во пторой главе диссертации изучаются артиновы модули над пшерциклкческими группами . В ней доказывается теорема о разложимости таких модулей в прямую сумму подмодулей специального вида и полученный результат применяется для

получения нового критерия расщепляемости гнперциклических расширений абелевых групп .

Пусть К - гиперциклическая группа, А - К-модуль. Если А удов-л.-.-тЕоряе? условию rn.in.-K, то А обладает так называемым С-разложе-нием Л=/4с®/1С , где Ас - подмодуль, каждый К-композиционный фак-

л

тор которого является циклической группой, а А- подмодуль , не имеющий факторов такого рода С Д.И. Зайцев). Известно также , что если А обладает конечным К-композиционным рядом , то А обладает разложением <ЬА^ , где А1 - К-подмодуль , каждый К-фактор которого конечен . а А' - К-подмодуль , не имеющий конечных К-факторсв (Д.И.Зайцев). Во второй главе показывается ,' что эти и некоторые другие виды разложений артиновых модулей над гиперциклическими группами ярляются частными случаями прямого разложения более общего вида, так называемого *-разложений, где X специальный класс модулей.

В первом параграфе II главы вводится определение класса I и доказывается несколько вспомагательных результатов. Пусть в - группа и а : А ■* В групповой изоморфизм аддитивных групп б-модулей А и В . Если а отображает ^-подмодули А на б-подмодули 8 , то будем говорить, что а является слабым С-изоморфизмом б-модуля А на б-модуль В. Для некоторого класса ^ простых С-модулей и некоторой подгруппы Н группы б определим класс Зн как класс, состоящий из всех Я-простых ^-подмодулей б-модулей из класса 3.

Определим класс X = Ха как некоторый класс простых б-модул-.-;; С б-группа ), удовлетворяющих следующим условиям :

1} б индуцирует в модулях из класса X почти абелевы группы автоморфизмов;

2.) класс I содержит вместе с каждым модулем и все слабо

?

б-изоморфные с ним модули ;

3J для любой нормальной подгруппы H конечного индекса в б класс JH замкнут относительно слабо Н-изоморфных простых Н-подмодулей , имеющих аддитивные группы ранга больше 1 . В качестве класса £ можно взять класс всех простых б-моду-лей , аддитивные группы которых циклические , либо класс всех простых конечных б-модулей .

Во втором параграфе доказана следующая теорема, являющаяся основным результом II главы :

Теорема 2.1 Пусть G - гипер.циклическая группа .

Произвольный min-G-модуль А обладает разложением А = А* Ф А^, »

где А подмодуль , каждый б-композиционный фактор которого

F

принадлежит классу ï- , а А не имеет б-композиционных факторов принадлежащих классу t .

Это разложение, назовем Ï-разложением модуля А. . Теорема 2.1 позволяет установить следующий критерий расщепляемости расширений абелевых групп посредством гиперциклических :

Следствие теоремы 2.1. Пусть G - группа , А ее абелева нормальная подгруппа , б-модуль А артинов и фактор-группа G/A гиперциклическая . Если класс простых б-модулей S содержит все*' б-модули простых порядков , то максимальная нормальная в G подгруппа из А, не имеющая 6-композиционных факторов, принадлежащих классу I ,сопряженно дополняема в группе G .

Глава III диссертации посвящена изучению групп гомологий и когомологий гиперконечных , гиперциклических , локально сверхразрешимых групп с коэффициентами в артиновых модулях .

Доказаны теоремы об обращении при определенных.условиях в ноль этих групп . Частными случаями этих утверждений являются теоремы о сопряженной расщепляемости соответствующих расширений . Напомним , что элементы группы И1Св,.0, где С -группа , А - 6-модуль , находятся во взаимно однозначном соответствии с множеством сопряженных классов дополнений к А в полупрямом произведении А X Б. Элементы группы Н*С6,А) находятся во взаимно-однозначном соответствии с множеством классов эквивалентности расширений группы А посредством группы Б, индуцирующих заданное действие группы £5 в А . Поэтому утверждение Н'Св.АЭ = 0 = Н2(Б,АЭ равносильно тому , что любое расширение группы А посредством группы Б сопряженно расщепляемо над А .

Нахождению условий при которых группы гомологий и когомологий обращаются в ноль посвядсны работы К.Брауна и Е.Дро-ра, В.Двайера, П. Куррана, Р.Грисса, Ж.-Л. Рока, Д.Робинсона, Д. Хольта. В первом параграфе дан краткий обзор некоторых результатов об обращении в ноль групп гомологий и когомологий локально нильпетентпых , сворхразрешимых, локально коночных групп с коэффициентами в модулях, удовлетворяющих определенным условиям конечности, а также приведены важные, используемые в дальнейшем, понятия и результаты.

Во втором параграфе главы докапана следующая теорема ,

Т ч о р е м а 3.1 Пусть Б локально сверхраэрешимал группа , А С-модуль . Предположим , что Б/С С А)

гипорциклическая группа и А пз и»,мет ненулегых циклических С-допустш.ам подгрупп . Тогда Н (в,А)=0 для гсех п 0.

Там >:со доказана

о

Теорема 3.2 Пусть Р - гиперциклическая группа . А -точный m.ia-G-модуль . Если люб' *•' собственный подмодуль модуля А б-когомологически тривиален , лСб.) п п(А) = 0 и А не имеет нетривиальных циклических б-допустимых подгрупп , то HnCG,A)=О для всех n i 0.

Напомним, что б-модуль В называется б-когомологически тривиальным, если WnC6,BJ=0 для всех n Z 0.

Теорема 3.3 Пусть б группа , обладающая возрастающим рядом нормальных подгрупп

1=G < G <...< G G =G

0 1 П i - О 1

с циклическими факторами G "G , i £ 1 , Л-пип-б-модуль , не имеющий ненулевых циклических б-допустимых подгрупп . Тогда WnCG,/D=0 для всех п > 0.

В параграфе 3 главы изучаются группы гомологий и когомологий гиперконечных групп . Доказана следующая

Теорема 3.4 Пусть G гинерконечлая локально разрешимая группа, A-nin-G-модуль , не имеющий ненулевых конечных подмодулей , причем nCGJ п nCAJ = 0 . Тогда НлСб,/0 =0 для всех п>0.

Следующую теорему 3.5 можно рассматривать как когомологический вариант теоремы Шура-Цассенхауза о расщепляемости расширений конечных групп взаимно простых порядков . В малых размерностях С при п-1 и 2 J она дает новый критерий сопряженной расщепляемости расширений абелевых групп посредством гиперконечных .

Т е о р е м а 3.5.' Пусть б гиперконечная группа, /l-run-G-мо-дуль , пCGJ п пC/1J = 0 . Тогда НпСС,/1>0 для всех п> 1.

/О

Основные результата работы .

1. Изучены расширения абелевых групп , удовлетворяющих определенным условиям конечности посредством локально нильпотентных, локально сверхразрешимых и гиперконечных локально разрешимых групп . Найдены условия сопряженной расщепляемости таких расширений .

2. Установлена разложимость специального вида артиновых модулей над гиперциклическими группами в гшямуо сумму подмодулей специального вида .

3. Получен новый критерий сопряженной расщепляемости гиперциклических расширений абелевых групп .

4. Исследованы группы гомологий и когомологий гиперциклических , локально сверхразрешимых , гиперконечных и других групп с коэффициентами в артиновых модулях и доказаны теоремы .об обращении при определенных условиях в ноль этих групп , что в малых размерностях групп когомологий дает новые критерии расщепляемости соответствующих расширений групп .

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1.Зайцев Д. И. , Мазничеико В. А. О гиперцентральных расширениях абелевых групп. // Укр. мат. журнал, 1583, 40, 5, с. 632.-635 .

2. Зайцев Д.. И. , Мазиичеико В. А. 0 гиперциклических расширениях абелевих групп. // XI Всесоюзный симпозиум по" теории гру.:п Тезисы сообщений. ИМ СО АН СССР, Свердловск, 1989, с. 44-45.

З.Зайцев Д. И. , Маэкнченко В. А. 0'локально сверхразрешимых расширениях абелевых групп. // Укр. мат. курнал, 1990, т.42,

и

№ 7, с. 908-912 .

4. Зайцев Д. И. , Мазннченко Р. А. О прямых разложениях арти-новых модулей. // Укр. мат. журнал, 1991, т. 43, № 7-8, с. 930-934.

5.Maznichenko V. A., Sysak Ya. P. On Abelian-by-hyperfinite groups. // ДоповШ АН УкраТни , 1992, № 8 .

t>.- iMAiiiu'U-HM? В A ■ Го1нсАогии и. ¡иугонрлсгаи rlitu.c-ISil^AUvlUClCuijc и r*ititp£0f-tL4Hbiy ГРИПП С Коэс^с^и i\4t-rvTAMi\ а. />ртц*К>Й>»С;* Mo/iiMA* //Tcsu, AII^HA

HOV к-онфер^нс^и, л^иеея 4£Hev n^w'iiTi М^АД-fcMi mA M. f), |^.рАечу14А. - ИМ /Ш V^AYH«, |<wVB- *33 2, г. Г2<9.

Зак. № 174. тир. 100. Уч. тип. КУ. 1902г.

Киев. - 17. Бульвар Шеочекка, И.

¡г