Полные, редуцированные и примарные конечные полугруппы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Финк Татьяна Юрьевна

ПОЛНЫЕ, РЕДУЦИРОВАННЫЕ И ПРИМАРНЫЕ КОНЕЧНЫЕ ПОЛУГРУППЫ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Омск - 2006

Работа выполнена на кафедре алгебры ГОУ ВПО «Омский государственный педагогический университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Мартынов Леонид Матвеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Бокуть Леонид Аркадьевич

Защита диссертации состоится 26 сентября 2006 года в 14.00 на заседании диссертационного Совета К 212.179.01 при Омском государственном университете им. Ф. М. Достоевского по адресу: 644077, Омск, пр. Мира, 55а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета. .

кандидат физико-математических наук, доцент Гателюк Олег Владимирович

Ведущая организация: Уральский государственный университет

им. А. М. Горького

Автореферат разослан «1% августа 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В теории абелевых групп важную роль играют понятия полноты (делимости), редуцированности и примарности. Подход к указанным понятиям, использующий теорию многообразий групп, осуществил Л. М. Мартынов. Это позволило ему определить их аналоги для произвольных алгебр [20, 21]. А именно, очевидно, что абелева группа является полной в стандартном смысле тогда и только тогда, когда она не имеет гомоморфизмов на неединичные группы из атомов решетки многообразий абелевых групп (то есть на неединичные абелевы группы простой экспоненты р). Поскольку решетка подмногообразий любого многообразия алгебр является атомной, ясно как определить понятие полной алгебры в этом многообразии, а, следовательно, и понятие редуцированной алгебры, как алгебры, не имеющей неодноэлементных полных подалгебр.

Несколько позже Л. М. Мартыновым в [8] была сформулирована основная проблематика, касающаяся изучения указанных понятий. Там же было отмечено, что обсуждаемые понятия позволяют указать следующий методологический подход к развитию структурной теории алгебр — отправляясь от минимальных многообразий (то есть атомов. решетки подмногообразий данного многообразия алгебр), которые зачастую определяются хорошими тождествами и алгебры которых устроены довольно просто, с помощью расширений конструируются редуцированные алгебры с «блоками-факторами» из минимальных многообразий. Поскольку во многих случаях любая алгебра данного многообразия является расширением полной алгебры (в общем случае полной россыпи, то есть дизъюнктного семейства полных подалгебр) с помощью редуцированной алгебры, изучение алгебр в таких случаях можно свести к изучению редуцированных и полных алгебр и их расширений. Другими словами, в этом случае в данном многообразии определен строгий радикал (в смысле Куроша [5]), при этом класс всех полных алгебр является радикальным классом, а класс всех редуцированных алгебр — полу простым. Следуя [12], мы называем этот радикал полным. Яркий пример описанной ситуации доставляют абелевы группы — любая абелева группа является прямой суммой наибольшей полной подгруппы и редуцированной подгруппы, то есть полный радикал в этом случае является расщепляемым. При этом полные абелевы группы имеют исчерпывающее описание - любая ненулевая полная абелева группа является прямой суммой подгрупп, изоморфных аддитивной группе рациональных чисел или квазициклическим группам.

В полугруппах же ситуация гораздо сложнее. Это приводит к содержательной задаче классификации полугрупп, которые могут быть «собраны» из полных и редуцированных полугрупп. Кроме того, в классе полугрупп становится далеко нетривиальным вопрос о характеризации полных и редуцированных объектов. Отметим, что в рамки такого подхода естественно вписывается целый ряд задач, традиционно рассматриваемых в теоретико-полугрупповых исследованиях. Прежде всего, понятие полноты полугрупп по некоторым атомам решетки многообразий полугрупп давно привлекало внимание. Достаточно

напомнить исследования по разложимости и неразложимости полугрупп в различные связки своих подполугрупп. В частности, неразложимость полугруппы в полурешетку, левую или правую связку своих подполугрупп соответствует полноте этой полугруппы по соответствующим минимальным многообразиям. С другой стороны, понятие полной полугруппы является ослаблением понятия конгруэнц-простой полугруппы, так как любая конгруэнц-простая полугруппа, не принадлежащая атомам решетки многообразий полугрупп, является полной. Конгруэнц-простые полугруппы могут быть довольно сложно устроены (в силу результатов Л. А. Бокутя [1] и Э. Г. Шутова [19] любая полугруппа вкладывается в конгруэнц-простую). Тем не менее, для некоторых классов полугрупп они имеют достаточно хорошее описание по «модулю групп». Например, конгру-энц-простые конечные полугруппы, не являющиеся простыми группами, имеют исчерпывающее описание [17, с. 97]. Поэтому естественной является задача о характеризации полных конечных полугрупп. Интерес к конечным полугруппам обусловлен также развитием теории формальных языков, где особую роль играют псевдомногообразия конечных полугрупп (см., напр., [17, с. 174]). Поскольку и редуцированные полугруппы в общем случае могут быть устроены довольно сложно (соответствующий пример доставляют уже абелевы группы), мы останавливаем свой выбор на изучении взаимосвязанных понятий полноты и редуцированности для конечных полугрупп.

В теории групп важную роль играет понятие примарности. Это понятие, как указал Л. М. Мартынов [8], также допускает естественное обобщение для алгебр любого многообразия в терминах конечной разрешимости (в смысле Л. Н. Шеврина и Л. М. Мартынова [18, 23] (см. также [6])) моногенных подалгебр по минимальным многообразиям.

В русле проблематики работы [8] указанные понятия изучались для произвольных алгебр в [8, 11, 12], для полугрупп в [10, 13], для модулей в [3,7,14, 15, 24], для моноассоциативных алгебр в [9], для ассоциативных колец в [4, 16].

Основной целью работы является изучение полных, редуцированных и примарных конечных полугрупп. Исследования проводились, в основном, по программе изучения аналогов понятий теории абелевых групп для произвольных многообразий алгебр, содержащейся в [8]. В этой работе отмечено, что определения обсуждаемых понятий естественным образом модифицируются для псевдомногообразий конечных алгебр. Для них также естественна и основная проблематика указанной работы.

Научная новизна. Новыми являются все основные результаты работы. Они решают ряд проблем работы [8] для конечных полугрупп.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1) охарактеризованы полные конечные полугруппы, минимальные полные конечные полугруппы и доказана вложимость любой конечной полугруппы в полную конечную полугруппу;

2) охарактеризованы редуцированные и примерные конечные полугруппы;

3) охарактеризованы конечные полугруппы с наибольшими полными подполугруппами;

4) охарактеризованы расщепляемые псевдомногообразия конечных полугрупп и псевдомногообразия конечных полугрупп, обладающие полным радикалом.

В качестве следствий результатов 2) и 3) получены описания псевдомногообразий конечных полугрупп с соответствующими свойствами.

Общая методика исследования. Работа опирается на методы структурной теории полугрупп, теории многообразий и псевдомногообразий полугрупп.

Теоретическая и практическая значимость. Основные результаты диссертации носят теоретический характер и могут найти применение при дальнейших исследованиях в теориях полугрупп и формальных языков. Они могут быть использованы при чтении спецкурсов, подготовке учебных пособий и монографий.

Апробация работы. Результаты диссертации представлены на Международном семинаре, посвященном памяти профессора Л. А. Скорнякова (Волгоград, 1999), на Международной конференция «Алгебра и ее приложения» (Красноярск, 2002), на Международной алгебраической конференции, посвященной столетию со дня рождения П. Г. Конторовича и 70-летию Л. Н. Шеврина (Екатеринбург, 2005), на Мальцевских чтениях (Новосибирск, 2005), докладывались на алгебраических семинарах Омского педагогического университета, Омского и Уральского университетов. Основные результаты диссертации отражены в десяти публикациях автора.

Объем и структура диссертации. Диссертация содержит 101 страницу и состоит из введения и трех глав, разбитых на семь параграфов. В работе принята тройная нумерация утверждений. Например, номер 2.3.5 означает, что данное утверждение находится во второй главе, третьем параграфе и имеет порядковый номер 5. Библиография содержит 45 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Прежде всего, напомним определения некоторых понятий и условимся относительно некоторых обозначений. Псевдомногообразием полугрупп называется класс полугрупп, замкнутый относительно взятия подполугрупп, гомоморфных образов и конечных прямых произведений. В дальнейшем под псевдомногообразием полугрупп будем понимать псевдомногообразие конечных полугрупп. Среди псевдомногообразий особое место занимают эквациональные псевдомногообразия, то есть состоящие из всех конечных полугрупп некоторого многообразия полугрупп. Понятно, что такие псевдомногообразия определяются (в классе всех конечных полугрупп) теми же системами тождеств, что и соответствующие многообразия. Договоримся для системы полугрупповых тождеств сг через рБуагсг обозначать псевдомногообразие всех конечных полугрупп, удовлетворяющих системе а. Хорошо известно, что любое псевдомногообразие полугрупп содержит минимальное псевдомногообразие; в частности, решетка всех псевдомногообразий полугрупп является атомной. Атомы этой решетки суть эквациональные псевдомногообразия, состоящие из всех конеч-

ных полугрупп соответствующих атомов решетки всех многообразий полугрупп. Напомним их список:

Ар—р%\эх{ху= ух,хр у = у} — псевдомногообразие абелевых групп простой экспоненты р\ , ,

L0= psvar{;cy = jc} - псевдомногообразие полугрупп левых нулей;

R0 = psvar {ху = >'} - псевдомногообразие полугрупп правых нулей;

S = psvar {ху = ух, х2 ~ х} - псевдомногообразие полурешето к;

Z = psvar {ху = st} - псевдомногообразие полугрупп с нулевым умножением.

В [8] отмечено, что полные и редуцированные алгебры данного многообразия остаются таковыми же и в любом его надмногообразии. Это обстоятельство (в условиях, когда фиксируется некоторое универсальное многообразие алгебр) позволяет просто говорить о полных и редуцированных алгебрах, не уточняя, в каком многообразии. Понятно, что для псевдомногообразий полугрупп имеет место аналогичная ситуация. В нашем случае универсальным псевдомногообразием является класс всех конечных полугрупп.

Полугруппа называется полной, если у нее нет гомоморфизмов на нетривиальные полугруппы из атомов решетки псевдомногообразий полугрупп. Заметим, что это понятие полноты не совпадает с традиционным понятием полноты (см., напр., [17, 19]). Полугруппа называется редуцированной, если в ней нет неодноэлементных полных подполугрупп. Нетрудно понять, что конечная группа является полной тогда и только тогда, когда она совпадает со своим коммутантом, и является редуцированной, если и только если она разрешима.

Определение общеупотребительных понятий теории полугрупп можно найти в [2], [17]. Для удобства чтения мы приведем некоторые из них.

Полугруппа S называется регулярной, если доя любого элемента а из 5 найдется хе S такой, что аха = а. Два элемента а и b полугруппы S называются инверсными, если aba = а и ЪаЪ = b. Инверсной полугруппой называются полугруппа, в которой каждый элемент имеет единственный инверсный к нему элемент. Напомним, что полугруппа S называется клиффордовой, если все ее элементы групповые, и комбинаторной, если любая ее под групп а тривиальна.

Особую роль в нашей работе играют полугруппы А2 и В2. Эти полугруппы . хорошо известны (см, напр., [17, с. 61]), как мультипликативные полугруппы матриц:

мс :)(::)(: к;)}- ■

Они могут быть заданы копредставлениями в классе всех полугрупп с нулем, которые также хорошо известны (см., напр., [17, с. 70]):

А2=(a, b | aba = а, ЪаЪ = Ъ, а1 = a, b2 — 0j,

. . . B2={a,b\ aba = a, bab = b, а2=0, b2 ==o).

Будем использовать также следующие обозначения: E(S) — множество идемпотентов полугруппы S; G(S) - структурная подгруппа вполне простой полугруппы S; Л'(Я) — нормальное замыкание подгруппы Н группы G; Ja -множество элементов, порождающих главный идеал J(a) =S}aSl.

Во ВВЕДЕНИИ обоснована актуальность исследования, сформулированы задачи по изучению обсуждаемых понятий, а также перечислены основные результаты. Кроме того, для удобства чтения приведены необходимые определения и обозначения, а также некоторые известные факты.

ПЕРВАЯ ГЛАВА посвящена изучению полных конечных полугрупп.

В § 1.1 описываются полные конечные полугруппы («с точностью до групп») и доказывается вложимость любой конечной полугруппы в полную конечную полугруппу. Основными результатами в этом параграфе являются теоремы 1.1.7, 1.1.8 и 1.1.11. Первые две из них дают различные характеризации полных конечных полугрупп. Они решают проблему 7 из [8] для конечных полугрупп.

Теорема 1.1.7. Конечная полугруппа S является полной тогда и только тогда, когда выполняется одно из двух условий:

1)5 —группа, совпадающая со своим коммутантом;

2) S — S2 и полугруппа S обладает главным рядом

5 = SpS2D...DS„r>S„+1=0 (*),

длины т > 1, в котором фактор S] / S2 — О-простая полугруппа с делителями нуля, а любой другой фактор этого ряда либо имеет делители нуля, либо есть простая полугруппа К такая, что факторгруппа G{K)/N(G({E(K)))) совпадает со своим коммутантом; кроме того, в случае если ряд (*) имеет факторы последнего типа, то в полугруппе S нет дополняемых левых и правых идеалов.

Теорема 1.1.8. Конечная полугруппа S является полной тогда и только тогда, когда полугруппа S удовлетворяет условиям: а) если S — группа, то она совпадает со своим коммутантам; b) S не разложима в связку; с) S — S2; d) ядро полугруппы S есть простая полугруппа К такая, что факторгруппа G(K)/N(G((E(K)) j) совпадает со своим коммутантом.

В качестве следствий теорем 1.1.7 и 1.1.8 получаем характеризацию полных полугрупп в различных классах конечных полугрупп.

Следствие 1.1.9. Конечная неодноэлементная регулярная полугруппа с нулем является полной тогда и только тогда, когда каждый главный фактор этой полугруппы является 0-простой полугруппой с делителями нуля. .

Следствие 1.1.10. Конечная инверсная полугруппа является полной тогда и только тогда, когда каждый её главный фактор является либо группой, совпадающей со своим коммутантом, либо полугруппой Брандта, не являющейся группой с нулем.

Хорошо известно, что любая конечная группа вкладывается в конечную простую группу. Но в отличие от групп, не всякая конечная полугруппа вложи-ма в конечную конгруэнц-простую полугруппу [17, с. 98]. В § 1.1 доказана

1 ' Теорема 1.1.11. Любая конечная полугруппа изоморфно вкладывается в полную конечную полугруппу с нулем.!

В § 1.2 характеризуются минимальные полные конечные полугруппы («по модулю групп»). Полугруппа называется минимальной полной, если она содержит более одного элемента и является полной, но любая ее неодноэлементная собствен-г, ная подполугруппа не является полной. Следующая теорема является основной в ; данном параграфе. Она решает проблему 10 из [8] для класса конечных полугрупп.

Теорема 1.2.1. Конечная неодноэлементная полугруппа 5 является минимальной полной тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условиям:

a) если Б — группа, то она—минимальная неразрешимая группа;

b) Б не разложима в связку;

c) 5 = 52;

с1) любая собственная подгруппа полугруппы 5 разрешима;

е) ядро полугруппы Б есть простая полугруппа К такая, что группа С{К) является нормальным замыканием структурной группы идемпотентно порожденной подполугруппы полугруппы К;

/) каждая собственная подполугруппа, совпадающая со своим квадра- ■ том и обладающая ядром, удовлетворяющим условию е), разложима в связку.

В качестве следствий этой теоремы получаем описание минимальных полных полугрупп в классах конечных полугрупп с нулем и конечных регулярных полугрупп с нулем.

Следствие 1.2.2. Конечная полугруппа с нулем является минимальной полной тогда и только тогда, когда она есть идеальное расширение нильполу-группы с помощью либо полугруппы А2, либо полугруппы В2, и для любого элемента а из нильпстугруппы множество S\Ja не является подполугруппой.

Следствие 1.2.3. Пятиэлементные полугруппы А2 и В2, и только они, являются минимальными полными полугруппами в классе конечных регулярных полугрупп с нулем.

Из теоремы 1.1.7 следует, что неодноэлементных полных полугрупп порядка п< 4 нет, то есть любая полугруппа порядка п<, 4 редуцирована. В диссертации приведены примеры минимальных полных полугрупп минимального порядка в различных классах конечных полугрупп.

ВТОРАЯ ГЛАВА посвящена изучению понятий редуцированности и примарности для конечных полугрупп. Заметим, что эти понятия тесно связаны в случае конечных групп. Например, хорошо известно, что любая конечная р -группа является нильпотентной, а потому разрешимой и, следовательно, редуцированной. Как видно будет в дальнейшем, аналогичная связь имеет место для некоторых классов конечных примарных полугрупп.

Условимся для псевдомногообразия А", состоящего из конечных полугрупп с некоторым свойством, выраженным прилагательным, добавлять соответствующее прилагательное в название X. Например, утверждение «X есть редуцированное псевдомногообразие полугрупп» означает, что псевдомногообразие X состоит из полугрупп, каждая из которых редуцирована.

В § 2.1 описаны конечные редуцированные полугруппы и псевдомногообразия таких полугрупп.

Теорема 2.1.1. Конечная полугруппа 8 является редуцированной тогда и только тогда, когда в ней разложъма в связку каждая неодноэлементная Подполугруппа, совпадающая со своим квадратом и обладающая ядром , К таким, что его структурная группа С{К) есть нормальное замыкание структурной группы идемпотентно порожденной подполугруппы полугруппы К, и любая подгруппа полугруппы 5 разрешима.

Отметим, что теорема 2.1.1 решает задачу 8 из [8] для псевдомногообразий конечных полугрупп.

Следующее утверждение характеризует конечные редуцированные полугруппы, которые являются связками архимедовых полугрупп.

Предложение 2.1.2. Конечная полугруппа, являющаяся связкой архимедовых полугрупп, редуцирована тогда и только тогда, когда она есть полурешетка нильрасширений вполне простых полугрупп со структурными разрешимыми группами.

В [13] охарактеризованы редуцированные многообразия полугрупп. Аналогичное утверждение имеет место для псевдомногообразий конечных полугрупп.

Следствие 2.1.3. Псевдомногообразие конечных полугрупп является редуцированным тогда и только тогда, когда оно состоит из конечных полугрупп, являющихся полурешетками нильрасширений вполне простых полугрупп со структурными разрешимыми группами.

Из тривиальности групп в псевдомногообразии комбинаторных полугрупп и следствия 2.1.3 вытекает

Следствие 2.1.4. Псевдомногообразие конечных комбинаторных полугрупп является редуцированным тогда и только тогда, когда оно состоит из конечных полугрупп, являющихся полурешетками нильрасширений прямоугольных полугрупп.

В § 2.2 охарактеризованы конечные примерные полугруппы и псевдомногообразия примарных полугрупп.

Теорема 2.2.4. Конечная полугруппа 8 является примарной тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий:

1)5— конечная комбинаторная полугруппа;

2) 5 - конечная полугруппа, типы элементов которой суть (г, рк) для

к

некоторых г, к и простого р таких, что г<,р.

Как уже отмечалось, любая конечная р -группа является редуцированной. Для комбинаторных и клиффордовых конечных полугрупп справедливы аналогичные результаты. Напомним, что конечная полугруппа 5 называется примарной по атому Р решетки псевдомногообразий полугрупп, если любая ее циклическая подполугруппа конечно Я-разрешима. Условимся примарные по Р конечные полугруппы называть также Р-полугруппами. Конечная полугруппа называется примарной, если она примарна по некоторому Р.

Следствие 2.2.5. Любая конечная клиффордова А р -полугруппа является редуг/ированной.

Следствие 2.2.6. Любая конечная комбинаторная Ар -полугруппа является редуцированной.

В качестве следствия теоремы 2.2.4 получаем описание примарных псевдомногообразий конечных полугрупп.

Следствие 2.2.7. Псевдомногообразие конечных полугрупп является примарным тогда и только тогда, когда оно состоит либо из конечных комбинаторных полугрупп, либо из конечных связок р-групп.

Заметим, что следствие 2.2.7 решает проблему 1 из [8] для псевдомногообразий конечных полугрупп.

ТРЕТЬЯ ГЛАВА посвящена изучению вопросов, связанных с понятием полного радикала полугруппы. В любой алгебре произвольного многообразия (или псевдомногообразия) алгебр существует наибольшая полная россыпь [12], которая в общем случае не является конгруэнц-допустимой. Если же она допускает конгруэнцию и факторалгебра по наименьшей такой конгруэнции редуцирована, то эта алгебра является расширением ее наибольшей полной россыпи при помощи редуцированной алгебры. В этом случае, как уже отмечалось, в данном многообразии (псевдомногообразии) определен полный радикал: Будем говорить также, что в таком случае многообразие (псевдомногообразие) обладает полным радикалом. В [12] доказано, что в любом многообразии алгебр с условием трансвербальности по минимальным подмногообразиям существует полный радикал. Этому условию удовлетворяют многообразия всех групп, всех модулей над любым кольцом, всех ассоциативных колец и другие многообразия [12]. Многообразие всех полугрупп этим свойством не обладает. Более того, имеются конечные полугруппы, не обладающие полным радикалом.

В § 3.1 рассматриваются конечные полугруппы с наибольшими полными подполугруппами. Интерес к этим полугруппам обусловлен следующим обстоятельством. В любой абелевой группе существует наибольшая полная подгруппа (она и является ее полным радикалом). В общем случае уже для конечных полугрупп это не имеет места. Однако зачастую наибольшая, полная подполугруппа полугруппы является ее полным радикалом.

Теорема 3.1.3. Конечная полугруппа 5 содержит наибольшую полную подполугруппу тогда и только тогда, когда она не разложима в связку своих подполугрупп, и если п - натуральное число такое, что 5'" = 5и+1, а <р{$") — максимальный групповой гомоморфный образ подполугруппы 5", то подполугруппа К полугруппы Б", являющаяся полным прообразом коммутанта группы <р{Б") при гомоморфизме (р, также не разложима в связку.

В следующих двух следствиях описаны полугруппы, обладающие наибольшими полными подполугруппами в некоторых классах конечных полугрупп.

Следствие 3.1.4. Конечная комбинаторная полугруппа содержит наибольшую полную подполугруппу тогда и только -тогда, когда она не разложима в связку своих подполугрупп.

Следствие 3.1.5. Конечная полугруппа с нулем содержит наибольшую полную подполугруппу тогда и только тогда, когда она не содержит собственных вполне изолированных идеалов.

В качестве следствия теоремы 3.1.3 получаем описание псевдомногообразий полугрупп, в которых есть наибольшая полная подполугруппа.

Следствие 3.1.6. Класс всех конечных нильрасширений конечных групп является наибольшим псевдомногообразием конечных полугрупп, в котором любая полугруппа обладает наибольшей полной подполугруппой.

Хорошо известно, что полная подгруппа абелевой группы выделяется прямым слагаемым. Поэтому естественной является проблема описания алгебр, в которых полная подалгебра выделяется прямым множителем [8, проблема 5]. Мы решаем эту проблему для псевдомногообразий конечных полугрупп («с точностью до групп»). Будем называть полугруппу, разложимую в прямое произведение полной и редуцированной полугрупп, расщепляемой. В § 3.2 описаны расщепляемые псевдомногообразия полугрупп. Следующая теорема является основной в этом параграфе.

Теорема 3.2.4. Псевдомногообразие X конечных полугрупп является расщепляемьш тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий:

\) X—редуцированное псевдомногообразие конечных полугрупп;

2) X — псевдомногообразие конечных полугрупп, в котором любая группа расщепляема, и любая полугруппа является рисовской полугруппой матричного типа с нормализованной сэндвич-матрицей, составленной из элементов разрешимого прямого множителя структурной группы.

Для комбинаторных полугрупп получаем '

Следствие 3.2.5. Псевдомногообразие X конечных комбинаторных полугрупп является расщепляемым тогда и только тогда, когда X • — редуцированное псевдомногообразие конечных комбинаторных полугрупп.

Нам неизвестно описание расщепляемых псевдомногообразий конечных групп. Отметим лишь следующие утверждения,- представляющие самостоятельный интерес. Под минимальной простой группой будем понимать неабеле-ву простую группу, в которой все собственные подгруппы разрешимы. .>■;

Предложение 3.2.11. Псевдомногообразия конечных групп, порождённые разрешимыми и минимальными простыми группами, расщепляемы.

Предложение 3.2.12. Псевдомногообразия конечных полугрупп, порожденные редуцированными вполне простыми полугруппами и минимальными простыми группами, расщепляемы. ■

В § 3.3 основной является теорема 3.3.4. В этой теореме описаны псевдомногообразия конечных полугрупп, обладающие полным радикалом. Прежде, чем ее сформулировать, введем в рассмотрение одну серию полугрупп.

Пусть й — группа, Я — ее собственная подгруппа и / - символ, не принадлежащий группе й. Обозначим через С/(Н) множество О и {(##,/) | О} и определим на нем умножение сохраняя умножение на О и полагая дг ° (^Я,/) = (дг^Я,/), = для всех хе С и

ме<ЗДЯ). Очевидно, что множество О,(Я) с операцией о становится полугруппой. Назовем ее /-полугруппой над группой О с подгруппой Я. Нетрудно проверить, что полугруппа ¿/(Я) является цепью полугруппы левых нулей и группы й. Через ОДЯ) обозначим г-полугруппу, антиизоморфную полугруппе б/(Я). Заметим, что различные варианты этой конструкции встречались в роли «запрещенных объектов» ранее в исследованиях по теории многообразий полугрупп (см., например, [22]). Но мы затрудняемся ответить, где именно она появилась впервые.

Теорема 3.3.4. Следующие три условия эквивалентны:

1) X — псевдомногообразие конечных полугрупп, обладающее полным радикалом',

2) X — псевдомногообразие конечных полугрупп, являющихся полурешетками архимедовых полугрупп, удовлетворяющих условию: для любых полугруппы 5 из X, ее полной подгруппы С7 и элементов а и Ь из О и с из Л' таких, что элементы ас, Ьс, са, сЪ принадлежат множеству С г 8, имеют место

равенства Б^са — и ас$[ = ¿с^1;

3) X - псевдомногообразие конечных полугрупп, которому не принадлежат полугруппы Л2, В2 и полугруппы ОД//), СГ{П) для любой полной группы в из X и любой ее собственной подгруппы Я.

Так как в редуцированном и комбинаторном псевдомногообразиях полугрупп любая полная группа одноэлементна, из теоремы 3.3.4 вытекает наличие полного радикала в этих псевдомногообразиях.

Самостоятельный интерес представляет следующее

Следствие 3.3.5. Конечная полугруппа, являющаяся связкой унипотент-ных полугрупп, обладает полным радикалам.

Частным случаем следствия 3.3.5 является

Следствие 3.3.6. Конечная полугруппа, являющаяся связкой групп, обладает полным радикалом.

Из теоремы 3.3.4 и описаний псевдомногообразий полугрупп, в которых любая полугруппа обладает наибольшей полной подполугруппой (следствие 3.1.6), и расщепляемых псевдомногообразий полугрупп (теорема 3.1.6) вытекает наличие полного радикала в этих псевдомногообразиях.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Леониду Матвеевичу Мартынову за постановку задач, полезные обсуждения результатов и помощь в оформлении диссертации.

Литература

1. Бокуть Л. А. Некоторые теоремы вложения для колец и полугрупп, I // Сиб. мат. ж. - 1963. - Т. 4. - № 3. - С. 500-518.

2. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. -М.: Мир, 1962.

3. Корнев А. И. О полных модулях Н Абелевы группы и модули. -Томск, 2000. - Вып. 15.-С. 30-37.

4. Корнев А. И., Павлова Т. В. Характеризация одного радикала групповых колец над конечными простыми полями // Сиб. мат. ж. - 2004. - Т. 45. -№5.-С. 613-623.

5. Курош А. Г, Радикалы колец и алгебр // Матем. сб. - 1953. - Т. 33. -С. 13-26.

6. Мартынов Л. М. О проблеме спектров разрешимости для многообразий алгебр // Алгебра и логика. - 1990. - Т. 29. - № 2. - С. 162-178.

7. Мартынов Л. М. О примарных и редуцированных многообразиях модулей И Вестник Омского университета. — Омск: Изд-во ОмГУ, 1999. -Вып. 4.-С. 29-31.

8. Мартынов Л. М. О понятиях примарности, полноты, редуцированности и чистоты для произвольных алгебр // Универсальная алгебра и ее приложения: Труды между нар. семинара. — Волгоград: Перемена, 2000. - С. 179-190.

9. Мартынов Л. М. О примарных и редуцированных многообразиях моноассоциативных алгебр // Сиб. мат. ж. - 2001. — Т. 42. - № 1. - С. 103-112.

10. Мартынов Л. М. Примарные многообразия полугрупп // Математика и информатика: наука и образование. - Омск: Изд-во ОмГПУ, 2001. - Вып. 1. - С. 3-9.

11. Мартынов Л. М. О полных и редуцированных алгебрах // Математика и информатика: наука и образование. — Омск: Изд-во ОмГПУ, 2003 - Вып. 1. - С. 3-8.

12. Мартынов Л. М. Об одном радикале алгебр со . свойством трансвер-бальности по минимальным многообразиям // Вестник Омского университета. -Омск: Изд-во ОмГУ, 2004. - Вып. 2. - С. 19-21.

13. Мартынов Л. М. Редуцированные многообразия полугрупп // Известия вузов. Математика. - 2004. - № 2. — С. 76-79.

14. Овчинников В. В. О кольцах, над которыми каждый модуль является редуцированным // Абелевы группы и модули.—Томск, 2000. — Вып. 15. — С. 46-54,

15. Овчинников В. В. О минимальных полных модулях над коммутативными локальными кольцами // Математика и информатика: наука и образование. - Омск: Изд-во ОмГПУ, 2002. - Вып. 2. - С. 54-56.

16. Павлова Т. В. Полные ассоциативные артиновы кольца // Вестник Омского университета. - Омск: Изд-во ОмГУ, 2005. - Вып.-1. - С. 17-19.

17. Шеврин Л. Н. Полугруппы // Общая алгебра / Под ред. Л.А. Скор-някова.-М.: Наука, 1991.-Т. 2. -Гл. 1У.-С. 11-191.

18. ШевринЛ.Н., МартыновЛ. М. О достижимых классах алгебр.-Сиб. мат. ж,-1971.-Т. 12.-№6.-С. 1363-1381.

19. Шутов Э. Г. Погружение полугрупп в простые и полные полугруппы // Мат. сб. - 1963. - Т. 62. - № 4. - С. 496-511.

20. Martynov L. M. Primary and reduced varieties of semigroups // International conference "Semigroups and their applications including semigroup rings" St-Peterburg, Russia, 19-30 June, 1995. Abstracts. - P. 38. -

21. Martynov L. M. On notions of completeness, solvability, primarity. Re-ducibility and purity for arbitary algebras // International conference of Modern Algebra and Applications. - Vanderbilt University. Nashville, Tennessee. - May 14 -18,1996. - Schudule and Abstracts. - P. 79-80.

22. Pastijn K, Volkov M К Minimal noncryptic e-varieties of regular semigroups. // (English) [J] J. Algebra 184. - 1996. - No 3. - C. 881-896.

23. Shevrin L N.. Martynov L. M. Attainability and solvability for classes of algebras // Colloq. Math. Soc. Bolyai (39. Semigroups: Structure and universal algebraic problems, Szeden (Hungary), 1981). - North-Holland, Amsterdam e. a. 1985. -P. 397-459.

24. Tuganbaev A. A. Primitively pure submodules and primitively divisible modules И Journal of Mathematical Sciences. - 2002. - Vol. 110. — № 3. — C. 2746-2754.

Работы автора по теме диссертации

25. Финк Т. Ю. Конечные полные полугруппы // Универсальная алгебра и ее приложения: Тезисы докл. междунар. семинара, посвященного памяти проф. J1. А. Скорнякова. — Волгоград: Перемена, 1999. — С. 71-72.

26. Финк Т. Ю. Конечные полные полугруппы // Естественные науки и экология. - Омск: Изд-во ОмГПУ, 1999. - Вып. 4. - С. 8-14.

27. Финк Т. Ю. Вложимость и минимальная полнота конечных полугрупп // Математика и информатика: наука и образование. — Омск: Изд-во ОмГПУ, 2001.-Вып. 1,-С. 20-25.

28. МартыновЛ. М., Финк Т. Ю. О примарных полугруппах // Международная конференция "Алгебра и ее приложения". —Красноярск, 2002. — С. 84-85.

29. Финк Т. Ю. Конечные полугруппы с наибольшими полными подполугруппами // Международная конференция "Алгебра и ее приложения". — Красноярск, 2002.-С. 123-124.

30. Мартынов Л. М., Финк Т. Ю. О примарных полугруппах // Вестник Омского университета. - Омск: Изд-во ОмГУ, 2002. - Вып. 3. — С. 18-20.

31. Финк Т. Ю. Конечные полугруппы с наибольшими полными подполугруппами // Математика и информатика: наука и образование. — Омск: Изд-во ОмГПУ, 2002. - Вып. 2. - С. 28-34.

32. Финк Т. Ю. Расщепляемые псевдомногообразия конечных полугрупп // Международная алгебраическая конференция, посвященная столетию со дня рождения П. Г. Конторовича и 70-летию Jl. Н. Шеврина. Тезисы докладов. - Екатеринбург! Изд-во УрГУ, 2005. - С. 16-17.

33. Финк Т. Ю. Расщепляемые псевдомногообразия конечных полугрупп // Вестник Омского университета. - Омск: Изд-во ОмГУ, 2005. - Вып. 4 -С. 33-35.

34. Финк Т. Ю. Псевдомногообразия конечных полугрупп, обладающие полным радикалом: Препринт. Омск: Изд-во ОмГУ, 2006. - 24 С.

Лицензия ЛР №020074 Подписано в печать 10.08.06 Формат бумаги 60х84 1/16. Бумага офсетная Ризография

Усл. печ. л. 1 Уч.-изд. л. 1

Тираж 100 экз. Заказ 031

Издательство ОмГПУ: 644099, Омск, наб. Тухачевского, 14

Введение

0.1. Постановка задач и основные результаты

0.2. Основные определения и предварительные сведения

Глава 1. Полные конечные полугруппы

1.1. Полные конечные полугруппы

1.2. Минимальные полные конечные полугруппы

Глава 2. Редуцированные и примарные конечные полугруппы

2.1. Редуцированные конечные полугруппы

2.2. Примарные конечные полугруппы

Глава 3. Полные радикалы конечных полугрупп

3.1. Конечные полугруппы с наибольшими полными подполугруппами

3.2. Расщепляемые псевдомногообразия конечных полугрупп

3.3. Псевдомногообразия конечных полугрупп, обладающие полным радикалом

0.1. Постановка задач и основные результаты

В теории абелевых групп важную роль играют понятия полноты (делимости), редуцированности и примарности. Подход к указанным понятиям, использующий теорию многообразий групп, осуществил JL М. Мартынов. Это позволило ему определить их аналоги для произвольных алгебр [30, 31]. А именно, очевидно, что абелева группа является полной в стандартном смысле тогда и только тогда, когда она не имеет гомоморфизмов на неединичные группы из атомов решетки многообразий абелевых групп (то есть на неединичные абелевы группы простой экспоненты р). Поскольку решетка подмногообразий любого многообразия алгебр является атомной, ясно как определить понятие полной алгебры в этом многообразии, а, следовательно, и понятие редуцированной алгебры, как алгебры, не имеющей неодноэлементных полных подалгебр.

Несколько позже Л.М.Мартыновым в [15] была сформулирована основная проблематика, касающаяся изучения указанных понятий. Там же было отмечено, что обсуждаемые понятия позволяют указать следующий методологический подход к развитию структурной теории алгебр - отправляясь от минимальных многообразий (то есть атомов решетки подмногообразий данного многообразия алгебр), которые зачастую определяются хорошими тождествами и алгебры которых устроены довольно просто, с помощью расширений конструируются редуцированные алгебры с «блоками-факторами» из минимальных многообразий. Поскольку во многих случаях любая алгебра данного многообразия является расширением полной алгебры (в общем случае полной россыпи, то есть дизъюнктного семейства полных подалгебр) с помощью редуцированной алгебры, изучение алгебр в таких случаях можно свести к изучению редуцированных и полных алгебр и их расширений. Другими словами, в этом случае в данном многообразии определен строгий радикал (в смысле Куроша [10]), при этом класс всех полных алгебр является радикальным классом, а класс всех редуцированных алгебр - полупростым. Следуя [19], мы называем этот радикал полным. Яркий пример описанной ситуации доставляют абелевы группы - любая абелева группа является прямой суммой наибольшей полной подгруппы и редуцированной подгруппы, то есть полный радикал в этом случае является расщепляемым. При этом полные абелевы группы имеют исчерпывающее описание - любая ненулевая полная абелева группа является прямой суммой подгрупп, изоморфных аддитивной группе рациональных чисел или квазициклическим группам.

В полугруппах же ситуация гораздо сложнее. Это приводит к содержательной задаче классификации полугрупп, которые могут быть «собраны» из полных и редуцированных полугрупп. Кроме того, в классе полугрупп становится далеко нетривиальным вопрос о характеризации полных и редуцированных объектов. Отметим, что в рамки такого подхода естественно вписывается целый ряд задач, традиционно рассматриваемых в теоретико-полугрупповых исследованиях. Прежде всего, понятие полноты полугрупп по некоторым атомам решетки многообразий полугрупп давно привлекало внимание. Достаточно напомнить исследования по разложимости и неразложимости полугрупп в различные связки своих подполугрупп. В частности, неразложимость полугруппы в полурешетку, левую или правую связку своих подполугрупп соответствует полноте этой полугруппы по соответствующим минимальным многообразиям. С другой стороны, понятие полной полугруппы является ослаблением понятия конгруэнц-простой полугруппы, так как любая конгруэнц-простая полугруппа, не принадлежащая атомам решетки многообразий полугрупп, является полной. Конгруэнц-простые полугруппы могут быть довольно сложно устроены (в силу результатов JI. А. Бокутя [1] и Э. Г. Шутова [28] любая полугруппа вкладывается в конгруэнц-простую). Тем не менее, для некоторых классов полугрупп они имеют достаточно хорошее описание по «модулю групп». Например, конгруэнц-простые конечные полугруппы, не являющиеся простыми группами, имеют исчерпывающее описание [25, с. 97]. Поэтому естественной является задача о характери-зации полных конечных полугрупп. Интерес к конечным полугруппам обу-^ словлен также развитием теории формальных языков, где особую роль играют псевдомногообразия конечных полугрупп (см., напр., [25, с. 174]). Поскольку и редуцированные полугруппы в общем случае могут быть устроены довольно сложно (соответствующий пример доставляют уже абелевы группы), мы останавливаем свой выбор на изучении взаимосвязанных понятий полноты и редуцированности для конечных полугрупп.

В теории групп важную роль играет понятие примарности. Это понятие, как указал Л. М. Мартынов [15], также допускает естественное обобще-Ш' ние для алгебр любого многообразия в терминах конечной разрешимости в смысле Л. Н. Шеврина и Л. М. Мартынова [27, 34] (см. также [13])) моногенных подалгебр по минимальным многообразиям.

В русле проблематики работы [15] указанные понятия изучались для произвольных алгебр в [15, 18, 19], для полугрупп в [17, 20], для модулей в [5, 14,21, 22, 35], для моноассоциативных алгебр в [16], для ассоциативных колец в [6, 7, 23].

Основной целью диссертации является изучение полных, редуцированных и примарных конечных полугрупп.

Наши исследования проводились, в основном, по программе изучения Щ аналогов понятий теории абелевых групп для произвольных многообразий алгебр, содержащейся в [15]. В этой работе отмечено, что определения обсуждаемых понятий естественным образом модифицируются для псевдомногообразий конечных алгебр. Для них также естественна и основная проблематика указанной работы.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1) охарактеризованы полные конечные полугруппы, минимальные Щ, полные конечные полугруппы и доказана вложимость любой конечной полугруппы в полную конечную полугруппу;

2) охарактеризованы редуцированные и примарные конечные полугруппы;

3) охарактеризованы конечные полугруппы с наибольшими полными подполугруппами;

4) охарактеризованы расщепляемые псевдомногообразия конечных полугрупп и псевдомногообразия конечных полугрупп, обладающие полным радикалом.

В качестве следствий результатов 2) и 3) получены описания псевдомногообразий конечных полугрупп с соответствующими свойствами.

Основные результаты диссертации являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применение при дальнейших исследованиях в теориях полугрупп и формальных языков.

Результаты диссертации представлены на Международном семинаре, посвященном памяти профессора JI. А. Скорнякова (Волгоград, 1999), на Международной конференция «Алгебра и ее приложения» (Красноярск, 2002), на Международной алгебраической конференции, посвященной столетию со дня рождения П. Г. Конторовича и 70-летию JI. Н. Шеврина (Екатеринбург, 2005), на Мальцевских чтениях (Новосибирск, 2005), докладывались на алгебраических семинарах Омского педагогического университета, Омского и Уральского университетов. Основные результаты диссертации отражены в десяти публикациях автора.

Диссертация содержит 101 страницу и состоит из введения и трех глав, разбитых на семь параграфов. В работе принята тройная нумерация утверждений. Например, номер 2.3.5 означает, что данное утверждение находится во второй главе, третьем параграфе и имеет порядковый номер 5. Библиография содержит 45 наименований.

1. Бокуть Л. А. Некоторые теоремы вложения для колец и полугрупп, 1.// Сиб. мат. ж. - 1963. - Т. 4. - № 3. - С. 500-518.

2. Каргаполов М. И, Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. -М.: Наука, 1982.

3. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. -М.: Мир, 1962.

4. Кон П. Универсальная алгебра. М.: Мир, 1968.

5. Корпев А. И. О полных модулях // Абелевы группы и модули. -Томск, 2000.-Вып. 15.-С. 30-37.

6. КорневА.И., Павлова Т. В. Конечные полные ассоциативные кольца // Математика и информатика: наука и образование. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2002. - Вып. 1. - С. 43-45.

7. КорневА.И., Павлова Т. В. Характеризация одного радикала групповых колец над конечными простыми полями // Сиб. мат. ж. 2004. -Т. 45.-№5.-С. 613-623.

8. Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.

9. КурошА. Г. Радикалы колец и алгебр // Матем. сб. 1953. - Т. 33. -С. 13-26.

10. КурошА. Г. Радикалы в теории групп // Сиб. мат. ж. 1967. -Т. 8.-С. 346-365.

11. Kypoui А. Г. Теория групп. М.: Наука, 1967.

12. Ляпин Е. С. Полугруппы. М.: Физматгиз, 1960.

13. Мартынов Л. М. О проблеме спектров разрешимости для многообразий алгебр // Алгебра и логика. 1990. - Т. 29. - № 2. - С. 162-178.

14. Мартынов Л. М. О примарных и редуцированных многообразиях модулей // Вестник Омского Университета. Омск: Изд-во ОмГУ, 1999. -Вып. 4.-С. 29-31.

15. Мартынов Л. М. О понятиях примарности, полноты, редуцированности и чистоты для произвольных алгебр // Универсальная алгебра и ее приложения: Труды междунар. семинара. Волгоград: Перемена, 2000. -С. 179-190.

16. Мартынов Л. М. О примарных и редуцированных многообразиях моноассоциативных алгебр//Сиб. мат. ж. -2001.-Т. 42. -№1. С. 103-112.

17. Мартынов Л. М. Примарные многообразия полугрупп // Математика и информатика: наука и образование. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2001. -Вып. 1.-С.З-9.

18. Мартынов Л. М. О полных и редуцированных алгебрах // Математика и информатика: наука и образование. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2003. -Вып. 1.-С.З-8.

19. Мартынов Л. М. Об одном радикале алгебр со свойством транс-вербальности по минимальным многообразиям // Вестник Омского университета. Омск: Изд-во ОмГУ, 2004. - Вып. 2. - С. 19-21.

20. Мартынов Л. М. Редуцированные многообразия полугрупп // Известия вузов. Математика. 2004. - № 2. - С. 76-79.

21. Овчинников В. В. О кольцах, над которыми каждый модуль является редуцированным // Абелевы группы и модули. Томск, 2000. - Вып. 15. -С. 46-54.

22. Овчинников В. В. О минимальных полных модулях над коммутативными локальными кольцами // Математика и информатика: наука и образование. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2002. Вып. 2. - С. 54-56.

23. Павлова Т. В. Полные ассоциативные артиновы кольца // Вестник Омского университета. Омск: Изд-во ОмГУ, 2005. - Вып. 1. - С. 17-19.

24. ШевринЛ. Н. К общей теории полугрупп // Матем. сб. 1961. -Т 53. -№ 3. - С. 367-386.

25. Шеврин Л. Н. Полугруппы // Общая алгебра / Под ред. JI.A. Скор-някова. М.: Наука, 1991. - Т. 2. - Гл. IV. - С. 11-191.

26. Шеврин JI. Н. К теории эпигрупп. II // Матем. сб. 1994. - Т. 185. - № 9. - С. 153-177.

27. Шеврин Л. К, Мартынов Л. М. О достижимых классах алгебр-Сиб. мат. ж.-1971.-Т. 12.-№6.-С. 1363-1381.

28. Шутов Э. Г. Погружение полугрупп в простые и полные полугруппы // Мат. сб. 1963. - Т. 62. - № 4. - С. 496-511.

29. Howie J. М., Idempotents in completely 0-simple semigroups // Glasgow Math. J.-1978.-№ 19.-C. 109-113.

30. Martynov L. M. Primary and reduced varieties of semigroups // International conference "Semigroups and their applications including semigroup rings" St-Peterburg, Russia, 19-30 June, 1995. Abstracts. P. 38.

31. Pastijn F., Volkov M.V. Minimal noncryptic e-varieties of regular semigroups. // (English) J. J. Algebra 184. 1996. - No 3. - C. 881-896.

32. PetrichM. Introduction to semigroups. Columbus, Ohio: Charles E Merrill, 1973.

33. Shevrin L. N., Martynov L. M. Attainability and solvability for classes of algebras // Colloq. Math. Soc. Bolyai (39. Semigroups: Structure and universal algebraic problems, Szeden (Hungary), 1981). North-Holland, Amsterdam e. a. 1985.-P. 397-459.

34. Tuganbaev A. A. Primitively pure submodules and primitively divisible modules // Journal of Mathematical Sciences. 2002. - Vol. 110. - № 3. -C. 2746-2754.Работы автора по теме диссертации

35. Финк Т. Ю. Конечные полные полугруппы // Универсальная алгебра и ее приложения: Тезисы докл. междунар. семинара, посвященного памяти проф. JI. А. Скорнякова. Волгоград: Перемена, 1999. - С. 71-72.

36. Финк Т. Ю. Конечные полные полугруппы // Естественные науки и экология. Омск: Изд-во ОмГПУ, 1999. - Вып. 4. - С. 8-14.

37. Финк Т. Ю. Вложимость и минимальная полнота конечных полугрупп // Математика и информатика: наука и образование. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2001.-Вып. 1.-С. 20-25.

38. Мартынов Я. М., Финк Т. Ю. О примарных полугруппах // Международная конференция "Алгебра и ее приложения". Красноярск, 2002. -С. 84-85.

39. Финк Т. 10. Конечные полугруппы с наибольшими полными подполугруппами // Международная конференция "Алгебра и ее приложения". -Красноярск, 2002. С. 123-124.

40. Мартынов Л. М., Финк Т. Ю. О примарных полугруппах // Вестник Омского университета. Омск: Изд-во ОмГУ, 2002. - Вып. 3. - С. 18-20.

41. Финк Т. Ю. Конечные полугруппы с наибольшими полными подполугруппами // Математика и информатика: наука и образование. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2002. - Вып. 2. - С. 28-34.

42. Финк Т. Ю. Расщепляемые псевдомногообразия конечных полугрупп // Международная алгебраическая конференция, посвященная столетию со дня рождения П. Г. Конторовича и 70-летию JI. Н. Шеврина. Тезисы докладов. Екатеринбург. Изд-во УрГУ, 2005. - С. 16-17.

43. Финк Т. Ю. Расщепляемые псевдомногообразия конечных полугрупп // Вестник Омского университета. Омск: Изд-во ОмГУ, 2005. -Вып. 4-С. 33-35.

44. Финк Т. 10. Псевдомногообразия конечных полугрупп, обладающих полным радикалом: Препринт. Омск: Изд-во ОмГУ, 2006. 24 С.