Локальное описание конечно порожденных подмодулей целых функций ранга 1 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

1Н

Волковая Татьяна Анатольевна

ЛОКАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫХ ПОДМОДУЛЕЙ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ РАНГА 1

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на. соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

11 дек т

Ростов- на- Д ону-2014

005556663

005556663

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет», филиал в г. Славянске-на-Кубани. на кафедре математики, информатики и методики их преподавания.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Шишкин Аидрсй Борисович

Официальные оппоненты:

Мерзляков Сергей Георгиевич доктор физико-математических наук, профессор ФГБ УН «Институт математики с: вычислительным центром» УНЦ РАН (Уфа), ведущий научный сотрудник отдела комплексного анализа и

Насыров Семен Рафаиловчч

доктор физико-математических наук, профессор ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет», заведующий кафедрой математического анализа

Ведущая организация:

ФГАОУ ВПО «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Защита состоится «20» января 2015 г. в 16 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.208.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8-а.

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке им. Ю. А. Жданова при ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет» (344103, г. Ростов-на-Дону, ул. Р. Зорге, 21-ж).

Автореферат разослан « Л, » 42- , 2014 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 212.208.29

Кряквин В. Д.

1. Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Пусть Я(Г2) — пространство функций, аналитических в выпуклой области fi С С с обычной топологией; tt(D) — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, действующий в пространстве //(fi). Подпространство W в пространстве //(fi) называется инвариантным подпространством относительно оператора т-(D) (далее просто инвариантным или n(D)-nn-вариантным). если n(D)W С IV. Непустое подпространство {/ € //(fi) : (ж(D) - А)"/ = 0, п € N} называется корневым подпространством оператора тг(D). соответствующим собственному значению Л 6 С. Элементы корневых подпространств принято называть корневыми элементами оператора n(D). Основной вопрос по отношению к произвольному замкнутому 7г(Л)-инвариантному подпространству W С #(fi): возможно ли описание W в терминах корневых элементов оператора 7x(D)l Принято говорить, что замкнутое 7г(0)-инвариантное подпространство И" Ç #(fi) допускает спектральный синтез, если замыкание линейной оболочки корневых элементов оператора 7г(£>), лежащих в подпространстве W, совпадает с этим подпространством. Задача спектрального синтеза для оператора ir(D) состоит в нахождении условий, при которых замкнутое 7г(£))-инвариантное подпространство W С #(0) допускает спектральный синтез.

Первый результат по спектральному синтезу для оператора дифференцирования D: если fi = С, то любое замкнутое D-инвариантное подпространство в пространстве //(fi) допускает спектральный синтез (L. Schwartz, 1947 г.). Основная проблема спектрального синтеза для оператора D - аппроксимационная проблема для системы однородных уравнений свертки: возможно ли произвольное решение таких системы аппроксимировать в топологии Я(fi) линейными комбинациями элементарных решений. Сверточные уравнения (в частности, уравнения бесконечного порядка, дифференциально-разностные уравнения с постоянными коэффициентами и др.) изучались многими математиками: J. Е. Ritt, G. Polya, G. Valiron, A. Ф. Леонтьев, A. О. Гельфонд, L. Ehrenpreis, D. G. Dickson, Ю. Ф. Коробейник, И. Ф. Красичков-Терновский, О. В. Епифанов, В. В. Моржаков, С. Н. Мелихов и др. Большое число работ объясняется, с одной стороны, наличием связей спектрального синтеза с многими прикладными задачами и, с другой стороны, тем, что часто чисто теоретические вопросы допускают сведение к исследованию сверточных уравнений. Более полное исследование по спектральному синтезу для оператора дифференцирования было проведено II. Ф. Красичковым-Терновским. Среди последних работ по спектральному синтезу для оператора

О можно выделить работы следующих математиков: С. Г. Мерзляков, Б. Н. Хабибуллин, Р. С. Юлмуха.метоь. С. И. Калинин, Н. Ф. Абузяроиа.

Продолжение исследований по спектральному синтезу в комплексной области было связано с переходом от оператора дифференцирования П к оператору кратного дифференцирования О4. Одно из первых исследований задачи спектрального синтеза для оператора О4 было проведено С. Г. Мерзляковым. Более полное исследование £)'-инварнантных подпространств было осуществлено в работах А. Б. Шишкина. Позднее в работах И. Ф. Красичкова-Терповского изучалась более общая задача — задача спектрального синтеза для линейного дифференциального оператора конечного порядка. Задача спектрального синтеза для дифференциального оператора бесконечного порядка впервые рассмотрена А. Б. Шишкиным. Эти исследования продолжены позднее А. Н. Чернышевым и Р. Г. Письменным.

Пусть Б — линейный непрерывный функционал на Я(Г2}. В 2004 г. А. Н. Чернышёв показал, что полиномиальное ядро (точнее, С[л-(/?)]-ядро) 1У5 = {/ € Я(П) : (Я^ф)/) = 0. к = 0,1,...} функционала 5 допускает спектральный синтез, если выполнены следующие условия:

a) функция 7г(г) является целой функцией вполне регулярного роста при некотором уточненном порядке р(г) —± р, 0 < р < 1;

b) индикатор (0) функции тг(г) при этом уточненном порядке р(г) всюду больше нуля;

c) функция Иг> является вогнутой;

(1) для всякого е > 0 найдутся такие константы 6 > 0, к > 0, что вне некоторого множества кружков, с линейной плотностью < г, выполняются неравенства

И*)1 > *

разномерно по из крута |С — г| < к.

В 2009 г. Р. Г. Письменный усилил этот результат, показав, что условия с)—в) являются лишними.

Основной метод исследования проблемы спектрального синтеза в комплексной плоскости — метод аннуляторных подмодулей. Этот метод основал на двойственном переходе от задачи спектрального синтеза к равносильной задаче локального описания замкнутых подмодулей в локально выпуклом пространстве Р целых функции, обладающем структурой топологического модуля над кольцом С[тг] многочленов от тт. Пусть тг — целая функция, Л € тг(С), Л := 7г~'(А), 0(А) — совокупность ростков функций, аналитических в точке А, О(А) — совокупность ростков функций, аналитических в точках

С'

■А')

< 3*4*)

эт-слоя А. Отг(А) — подмножество 0( А), состоящее из композиций вида f on, где / € О(А). Совокупность Ож(Х) является кольцом, а совокупность 0(Х) обладает структурой модуля над кольцом От(Â). Пусть/ — замкнутый подмодуль в Р. Обозначим /(А) минимальный подмодуль Ог(А)-модуля 0(Â), включающий /. Говорят, что I допускает локальное описание (или является обильным), если

' = fW> (РПДА)).

Задана локального описания: при каких условиях замкнутый подмодуль I в С[7г]-модуле Р допускает локальное описание?

Труды, посвященные этой задаче, начинают появляться в печати во второй половине XX века. В этих работах она формулировалась так: пусть Р — локально выпуклая алгебра аналитических функций одной комплексной переменной; при каких условиях замкнутый идеал I С Р однозначным образом определяется общими нулями функций из /? Глубокие результаты в этой области получили: H. Cartan, W. Rudin, A. Beurling, П. К. Рашевский, И. Ф. Красичков, В. A. Teylor, D. L. Williams, H. К. Никольский, Ф. А. Шамоян, J. J. Kelleher, Б. И. Коренблюм, В. И. Мацаев, Е. 3. Магульский и др.

Исследования по локальному описанию в С[г]-модулях аналитических функций инициированы И. Ф. Красичковым-Терновским и продолжены С. И. Калининым, С. Г. Мерзляковым. Н. Ф. Абузяровой. Б. Н. Хабибуллиным. Дальнейшее решение задачи локального описания связано с изучением С[7г]-модулей аналитических функций, где 7Г — многочлен (С. Г. Мерзляков. А. Б. Шишкин, И. Ф. Красичков-Терновский). Случай, при котором в качестве тг берется целая функции, впервые рассмотрен А. Б. Шишкиным. Эти исследования продолжены позднее А. Н. Чернышевым и Р. Г. Письменным.

Результат Р. Г. Письменного в терминах задачи локального описания принимает следующий вид: при выполнении условий а)-Ь) главные С[7г]-подмодули (замкнутые С[7г]-подмодули. порождаемые одним элементом) в пространстве Р(С1) допускают локальное описание (то есть являются обильными). Здесь Р(П) := Р( 1, Hq) — интерпретация сильного сопряженного к пространству H(Q) в терминах преобразований Лапласа.

Объект исследования. Настоящая диссертация посвящена следующей задаче: при каких условиях будут обильными конечно порожденные С[7г]-подмодули в пространстве Р(П) и в более общем пространстве Р(р, Я)? При этом считаем, что я — многочлен или целая функция, удовлетворяющая условиям:

a): функция 7Г(z) является целой функцией вполне регулярного роста при некотором уточненном порядке р(г) —> р 6 (0, р)\

b): индикатор hx(0) функции ir(z) при этом уточненном порядке р(г) всюду

больше нуля.

Объектом исследования выступают конечно порожденные подмодули в Р{р, H) н их аннуляторные подпространства — полиномиальные ядра It's = {/ : {Sj,nk{D)f) = 0, j = 1, ...,п, к = 0. 1,...} конечных систем S = {Sb ,...Sn] аналитических функционалов.

Цель работы. Исследовать конечно порожденные подмодули в Р(р. II] ранга 1 па предмет допустимости локальной) описания, а их аннуляторные подпространства — па предмет допустимости спектрального синтеза.

Методы исследования. Основным методом исследования проблемы спектрального синтеза в комплексной плоскости является метод аннуляториых подмодулей, восходящий к работам Л. Эроинрайса. Он основан на двойственном переходе от задачи спектрального синтеза к равносильной задаче локального описания подмодулей в топологических модулях целых функций. Основным методом исследования проблемы локального описания подмодулей целых функций является метод резольвентной функции.

Научная новизна и основные результаты, выносимые на защиту. Найдены достаточные условия, обеспечивающие допустимость локального описания конечно порожденными подмодулями в Р(р, II) н допустимость спектрального синтеза полиномиальными ядрами в Н(П) конечных систем аналитических функционалов (в терминах нулевых множеств их преобразований Лапласа).

В работе получены следующие новые результаты:

(1) Критерий обильности замкнутого С{7г|-подмодуля в абстрактном модуле Р целых функций (критерий обильности).

(2) Достаточные условия обильности конечно порожденных подмодулей в Р{р, Н) (теоремы 3.2Л, 3.2.2 и 3.3.1).

(3) Достаточные условия допустимости спектрального синтеза полиномиальным ядром IVj С Н{fi) конечной системы S аналитических функционалов (теоремы 3.4.2. 3.4.3 и 3.4.4).

Практическая ценность. Все результаты диссертации относятся к области фундаментальных исследований по теории функций. Они носят чисто теоретический характер и дополняют многочисленные исследования проблемы спектрального синтеза для линейных дифференциальных операторов и проблемы локального описания подмодулей в топологических модулях целых функций.

Апробация работы. Полученные результаты докладывались на семинаре по теории функций в ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет», филиал в г. Славянске-на-Кубани (ранее — Славянс.кий-на-

Кубани государственный педагогический институт, руководитель семинара А. Б. Шишкин, 2010-2014 гг.), в ходе работы школы-конференции «X Владикавказская молодежная математическая школа» (июль 2014 г.), на международной научной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Владикавказ, июль 2013 г.), на международной научной конференции «Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование» (пос. Дивноморское, сентябрь 2014 г.), на кафедре математического анализа ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет» (апрель 2014 г.).

Публикации. Всего по теме диссертационного исследовании опубликовано 10 работ. Основные результаты первой главы опубликованы в [1], [3], [4], [8], второй главы — в [5|-[7| и третьей главы — в [2]. [9]-[10|. Статьи [1]. [2] опубликованы в журналах из перечня ВАК. В совместных с научным руководителем публикациях А. Б. Шишкину принадлежат постановки задач и указание методов исследования, а Т. А. Волковой — основные результаты и их доказательства.

2. Краткое содержание работы

Диссертационная работа изложена на 107 страницах текста и состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 92 наименования.

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, формулируется основная цель работы, дается подробный литературный обзор по изучаемым вопросам, приводится краткое содержание проведенных исследований.

Первая глава посвящена задаче локального описания в весовых пространствах целых функций.

В параграфе 1.1 изложена схема двойственного перехода. Пусть Я*(П) — сильное сопряженное к пространству Я(Г2); Та — преобразование Лапласа: Р(П) := Тп(Я*(П)). Отображение Тп : Я*(П) Р(П) взаимно однозначно, оно индуцирует в Р(П) отделимую локально выпуклую топологию. Отсюда следует, что Р(П) — отделимое рефлексивное локально выпуклое пространство. Оно выдерживает умножение на функцию тг(г), и это умножение является непрерывным. Рассматриваем Р(П) как топологический модуль над кольцом С[7г] многочленов от п. Из теоремы о биполяре вытекает, что между совокупностью {/} замкнутых подмодулей в Р{П) и совокупностью {И7} замкнутых инвариантных подпространств в Н(О.) можно установить взаимно однозначное соответствие по правилу: I = Т^И70), XV = (Т^х(1))°.

Переход от задачи спектрального синтеза к задаче локального описания

лежит в основе большинства известных работ по спектральному синтезу в комплексных областях. Возможность Такого перехода представляет следующая теорема.

Теорема двойственности. Для того чтобы замкнутое 7Т(D)-uneapu-антное подпространство U- С Н(Г1) допускало спектральный синтез, необходимо и достаточно, чтобы его аннуляторный подмодуль I = 7п(И/и) пыл опилен (А. Н. Чернышев, 2004).

В параграфе 1.2 свойство обильности замкнутого подмодуля в абстрактном топологическом модуле Р целых функций расщепляется на три свойства: интенсивность, устойчивость и насыщенность.

Функция / 6 Р принадлежит / локально (в обозначениях / € /), если

loe

/ £ /(А) для любого Лес. Подмодуль / С Р устойчив в точке А 6 С. если

f f f е I. € / => e /.

7Г — A lor 7Г — A

Говорят, что подмодуль I является устойчивым, если он является устойчивым в любой точке А 6 С.

Подмодуль I называем интенсивным в точке А. если для любой функции / € Р, принадлежащей J локально, существуют окрестность U\ точки А и функции U(,U\,U\2 6 /, удовлетворяющие условию

/ - Щ / ~ "А / - их - (тг - А)цу j ТГ - С ' Я" — Л ' (тг - A)2 loe

для которых множество

ограничено в Р. Если подмодуль / является интенсивным в любой точке А € С, то его называем иптентвным.

Пусть р — некоторая непрерывная полунорма к Р, / 6 Р и / € /. Положим

loe

p¡{А) = infр (/ — «>), где inf берётся по всевозможным v,\ G /, для которых справедливо условие ^rjf- € / (если такого u,\ пс существует, то полагаем

" loe

p¡{А) = + ос). Подмодуль I называется насыщенным относительно / б Р, если для всякой непрерывной полунормы р справедлива импликация

ФеО(С), |Ф(Л)| < p¡{\) VA € С => sup с |Ф| <+ос.

Подмодуль / насыщен, если он насыщен относительно любой функции / 6 Р. локально принадлежащей /.

Критерий обильности. Замкнутый подмодуль I С Р является обильным тогда и только тогда, когда он интенсивен, уст.ойчив и насыщен.

В параграфе 1.3 исследованы интенсивные подмодули в Р. Если целая функция / представляется в виде композиции F о п, где F — целая функция, то называем ее тг-симметричной и пишем / € О^(С). Систему целых функций /ь ■••,/л называем независимой, если выполняется импликация

ci/i +... + cnfn = о, а,..... сп е о,г(с) => съ..., сп = о.

Ранг подмодуля I С Р — это максимальное число элементов в независимых системах Д, ...,/„€ I.

Предложение 1.3.1. Всякий подмодуль в Р ранга 1 является интенсивным.

В параграфе 1.4 исследованы устойчивые подмодули в Р. Получены утвердительные ответы на естественные вопросы:

1) влечет ли устойчивость подмодуля I в одной точке устойчивость подмодуля I, то есть его устойчивость в любой другой точке (предложение 1.4.2)?

2) влечет ли устойчивость подмодуля I устойчивость его замыкания I в Р (предложение 1.4.3)?

В этом же параграфе исследованы на устойчивость конечно порожденные подмодули в Р. Пусть Д. ...,/„ — подмодули в Р. Подмодуль / С Р порожден подмодулями Д,.... /„, если I совпадает с замыканием совокупности элементов вида /i + ■-■ + /„, где Д е Д. Фиксируем точку A g С, для которой выполняется условие: для любого k е {1,...,п} найдутся zk 6 Л и ик е 1к такие, что Uk(zk) i1 0. Набор а = {ai, ...,an} комплексных функций на слое Л называется допустимым, если найдутся такие элементы /к е Д, что = ак, к = 1, ...,п. Пусть Т(а, А) = {/ = /! + ... + /„ : Д € Д, fk|д = ак).

Предложение 1.4.6. Пусть Д,...,/„ — устойчивые подмодули в Р, I — замкнутый подмодуль ранга 1. порожденный подмодулями Д,..., /„. Подмодуль I устойчив в точке А тогда и только тогда, когда выполняется условие: для любого допустимого набора а = {а(,..., а„}, для которого аЛ + ... 4- ап = 0, замыкание множества Т(о, А) в топологии Р содержит нулевой элемент.

Замкнутый подмодуль / С Р порожден элементами ipi,...,<pn € Р, если ¡¿ь ¡fin Í 0и / совпадает с замыканием в Р множества элементов вида + ... + гпрп, где ri,...,r„ е С[т;]. Если замкнутый подмодуль Í С Р порожден

одним элементом -р ф О, то его называют главным (с образующей Любой главный подмодуль в Р является устойчивым (предложение 1.4.4).

Пусть подмодуль I С Р порожден системой -f>\, Фиксируем точку

А £ С. для которой выполняется условие: для любого к G {1. ....га} найдется

6 А, такое, что ipki^k) Ф 0. Символом Л (Л) обозначим совокупность наборов а = {«!,...,«„} комплексных функций на слое А, для которых набор {«1 |д, ...,е/п vnt>} являете-л допустимым и ai ^¡д + ... + ап у>„|д = 0.

Предложение 1.4.7. Для того чтобы замкнутый подмодуль / С Р ранга 1. порожденный системой функций if i, был устойчив в А. необходимо

и достаточно, чтобы для любого набора а = (ai,...,ftn} € Л(А) существовали обобщенные, последовательности т\а\ .... г^ 6 С[тг], такие, что

1) гН = аь ri,Q) . = а„,

Мл ,1л

2) + ... + r,[a>pn —» 0 в топологии Р.

В параграфе 1.5 введено упрощенное определение насыщенности для подмодулей в Р ранга 1 (предложение 1.5.1). Рассмотрено влияние на насыщенность подмодулей свойства аналитической уплотненности пространства Р (предложение 1.5.2, слсдетвне 1.5.1). Из этого свойства вытекает, что любой замкнутый подмодуль в Р ранга 1 является насыщенным.

В параграфе 1.6 изучено влияние аналитической уплотненности пространства Р на свойство обильности замкнутых подмодулей в Р ранга 1 (предложения 1.6.2-1.6.5).

Пусть T. Q € Р. Выберем точку г0еС такую, что J"(zo){7(2o) / 0.

Предложение 1.6.6. Замкнутый подмодуль I С Р ранга 1, порожденный функциями JF, Q. обилен то да и только тогда, когда существуют обобщенные последовательности P0,Qa € С[тг], такие, что Pa{zо) = Qa{z0) = 1 и

la := PaT-QaQ 0

е топологии пространства Р.

Обратимся к содержанию второй главы. Неотрицательную функцию ц. определенную в окрестности +ос, называют уточненным, весом, порядка р 6 [0, -t-oc), если она возрастает, дифференцируема в окрестности +оо и

lim — ос. lim —= р. r-n-эс In Г r-мос Ц[г)

Если р. — уточненный вес порядка р, то функция р(г) :— ^¡^ является уточненным порядком. При р > 0 верно обратное утверждение: для каждого

уточненного порядка р(г) р функция р(г) : = гр(г) является уточненным весом порядка р.

Далее будем полагать, что р € (0, +ос). п — многочлен степени N > О или целая функция вполне регулярного роста при уточненном порядке р(г) -» р € (0, р) с положительным индикатором. При таком выборе и существуют такой уточненный вес р. порядка р 6 [0. +эс) и такая константа к > 1, что вне некоторого множества нулевой относительной плотности выполняются оценки

гДе -Р: /,Р,д,С — целые функции. Считаем, что функции ¡,Р,д,С являются 7г-снмметричными. значит, / := / ° ;г, Р ■.= Ё отг, д д о п О •= С о тг где некоторые локально аналитические функции. Из оценок (1) легко следует, что тг(С) = С, значит, функции /, Р,д,С являются целыми. Пусть разложения Адамара для функций Р и С имеют вид:

Здесь р — целая часть Щ числа, р. А := {А;}, Г := {7,} — нули функций Р и С соответственно, пронумерованные каким-либо образом: в этих произведениях, а также во всех аналогичных произведениях, встречающихся далее, любой множитель повторяется столько раз, какова кратность отвечающего ему нуля целой функции. Считаем, что все элементы последовательностей А и Г лежат вне единичного круга, то есть

к"1 И'< £(Иг)1) < «И'.

Пусть Т и <7 — целые функции, допускающие представления

Т = ¿}Р. д = Л9С,

(1)

¿о '.= тттт ||Л,|, |7,| | > 1.

Введем обозначения. Во-первых, пусть

{Зе(2 + 1п р) -+- р 1п 2) прир>1,

1 + 1п2 при р = 1,

2 при р — 0; Во-вторых, для любого п € N обозначим:

и (г) := з (г) Сп (2) ^ (г) - (г) /г„ (2) $ (г) т

где

МО :=

С„(С): =

при р > 1, при р < 1,

С*-'

ГТЗ^т

при р < 1,

« + Е,<п при Р >

при р = 0.

Вп :=

к,,^ пр"р>0,

при р = 0;

tn : = шах тах|[Л,|. ¡7г|| :

С(6) =

_ ) к (2при р > 1, при р = 0.

В силу предложения 1.6.6 и представления

Цг) := - <?п(г)б(г) = Ьп (г) + АЬп (г),

где АЬп(г) := 1п(г) - Ьп(г), проверка обильности замкнутого подмодуля /СР. порождаемого функциями Т и 0. сводится к подбору многочленов Р„. 6 СМ и оценке функций Ьп(г) и (г). Вторая глава посвящена подбору многочленов Рп, <5П € С[тг] и оценке функции Ьп(г). При этом используется следующая характеристика близости последовательностей Л и Г:

1 1

* == £

Предположим, что для функций Т = -¿/F, Q = -pgG выполнено следующее условие: найдутся такие константа С > 0 и ограниченная ^тригонометрически выпуклая 2~-периодичеекая функция h(6), что для любых z Е С

шах {|/(2) G (2)|: (л) 7"(г)|} < Сexp (h (0) \г\").

где 0 : = arg 2. При -этом предположении справедлива следующая лемма.

Лемма 2.3.4. Если нулевые множества А и Г можно упорядочить так, что для некоторого S > 0 выполняется неравенство

_Inf

Hm —> С(5) (h + 6),

П-УХЦ ( tn)

где

h = Л,„ах ~ min {hmm\0} . Лшмс := max h (в), /¡min := min h {(I),

в 9

то существуют такие убывающая к нулю последовательность положительных чисел и возрастающая последовательность No = {п^} натуральных чисел, что

|Lnj (г)| < Ej exp ({h (0) + kS0 + 6) |г|')

для всех z £ С, где

дп =

[ 0 при р = 0.

Лемма 2.3.5. Если нулевые множества Auf можно упорядочить так, что выполняется условие

_Inf

lim . " = +эс.

то существуют такие убывающая к нулю последовательность положительных чисел {ij} и возрастающая последовательность ДГ0 = {пу} натуральных чисел, что для каждого <5 > 0 и всех достаточно больших j выполнена равномерная по z оценка

\Lnj(z)\ <£,-схр((л(0) + *)|г|'),

где hfg {0), hgjr(e) — индикаторы ¡Q и (jF соответственно при порядке р. h (в) = max {hfg (6) + кА60, hgJr (0)} , 13

ч

к при ^ 6 О при р 0 Z.

Третья глава посвящена исследованию конечно порожденных подмодулей в Р ранга 1. В параграфе 3.1 рассмотрены свойства пространства Р, обеспечивающие возможность применения к нему результатов первой главы. В параграфе 3.2 рассмотрены конечно порожденные подмодули в Р ранга 1 с двумя образующими. При формулировке теорем из этого параграфа используются обозначения, введенные ранее в главе 2. Для удобства будем считать, что р — 1.

Теорема 3.2.1. Предположим, что целые функции 7- и 0 удовлетворяют следующим условиям'.

1) для некоторого 6 > 0 и некоторой ограниченной тригонометрически выпуклой 2п-периодической функции к(в), удовлетворяющей условию к(0) + 5 < Н (в), нулевые множества Л и Г можно упорядочить так, что

■П5Г^ > С (¿) (/» + «);

2) для индикаторов Луд, Ь.ду: функций /б и дТ выполнена оценка

тах {/г/5 (в) + Кр60, (0)} < Л (в).

Тогда замкнутый подмодуль I С Р. порождаемый функциями Т и б- является обильным.

Теорема 3.2.1 получена по схеме, использованной ранее Н. Ф. Абузяровой (2000 г.) в ситуации тт(г) = г. Известен другой подход к доказательству теорем такого типа, основанный на свойствах последовательностей неединственности (Б. Н. Хабибуллин, 2005 г.).

В теореме 3.2.1 с уменьшением параметра 6 усиливаются требования на близость последовательностей А и Г, а допустимый рост функций /б и дТ приближается к экстремальному. Предельная ситуация достигается при выполнении соотношения

__1п4-

Нш ^ = +оо. (2)

В такой ситуации справедлива следующая теорема.

Теорема 3.2.2. Предположим, что целые функции 3- и 0 удовлетворяют следующим условиям:

1) нулевые множества Ли Г можно упорядочить так, что выполняется соотношение (2);

2) для индикаторов h/g, hqJr функций fG и qT выполнена оценка

max {kfç (в) + к^о, hgjr (в)} < H {в).

Тогда замкнутый подмодуль I С Р. порождаемый функциями F и G, является обильным.

В параграфе 3.3 рассмотрены конечно порожденные подмодули в Р ранга 1 с произвольным числом образующих. Пусть замкнутый подмодуль I С. Р ранга 1

порожден системой функций ----, Fn. Фиксируем точку Л € С, для которой

выполняется условие: для любого к € {1,.... tï} найдется гк е Л := 7г_1(Л). такое, что Тк(гк) Ф 0. Пусть m = {ij), i,j = 1, 2,... п, i < j. Для любой пары m символом о.'"0 обозначим вектор . . .. ai,'"') G С", где

{^(А), если к = i, —/"¡(А), если к = j. 0, если к ф i.j.

Любая линейно независимая система векторов .... й'"1":1'.

соответствующих парам т., = (гьл): .. ., m„-i = (i„_i, j„_i), образует

базис в пространстве Л (А) векторов (аь----я„) е С", для которых

я\F\(z) + . . . 4- аи^"„(г) = 0 при любом г 6 А. Выберем и зафиксируем точку z0 такую, что (г0) х ... х Fm{za) ф 0 и положим А := тг(г0). Справедлива следующая теорема.

Теорема 3.3.1. Предположим, что существует совокупность пар

= (¿1: ji). - - - • '»n-i = {in-ujn-i) ,

такая, что векторы a(mi),... ,a(m"-l) линейно независимы и для каждой пары

w-ït = (ik-jk)• А: = 1----п— 1 соответствующая пара функций {J-,G)k

{Fik-.Fjt) удовлетворяет всем условиям теоремы 3.2.1 или теоремы 3.2.2. Тогда подмодуль I обилен.

В параграфе 3.4 рассмотрены приложения полученных результатов к спектральному синтезу.

Пусть S — линейный непрерывный функционал на пространстве Я(Л). Действие функционала S на функцию / осуществляется по правилу: (S, /) = /оА2)^; г'др — компакт в fi, р. — комплексная мера на компакте D. Преобразование Лапласа F функционала S

:= {S, ехрцг) = ^ expÇz dp Ъ

содержится в P(fi). Рассмотрим замкнутое подпространство It's С Я(П): определяемое следующим образом:

Ws := {/ 6 Н(П) : <S: тT(D)kf) = 0, к = OA,...}.

Легко убедиться в том, что это подпространство инвариантно относительно оператора п(D). По теореме Хана-Банаха запас всех замкнутых 7t(D)-шшариантных подпространств {И''} в Я(П) исчерпывается пересечениями подпространств вида H's. При ir(Q := Q подпространство Wj совпадает с ядром оператора свертки или, иными словами, с подпространством решений однородного уравнения свертки (S. f(z + h)) = 0, / € H(Q). При :=

С? подпространство Ws совпадает с подпространством решений однородного уравнения g-сторонней свертки

(5> \ ец: я*+=/е

где е = exp{^i}. Если же 7г(£) — полином, то подпространство Ws совпадает с подпространством решений однородного уравнения 7г-с. вертки {S,f(z,h.)) = О, / € Н(П), где f(z,h) — 7г-сдвиг / на шаг h (И. Ф. Красичков-Терновский. 1991 г.).

Пусть S := (Si,...,Sn) — конечная система линейных непрерывных функционалов на пространстве Н, J- := (.Fi, ■■-,Тп) — соответствующая система характеристических функций (преобразований Лапласа). С[тг]-ядром It's системы функционалов S называется пересечение ll's, П... П И'^ С[тг]-ядер функционалов Si,...,Sn. Аннуляторный подмодуль ly := T(W^) порождается функциями Т\,...,Тп. Это открывает возможность приложения полученных выше результатов к задаче спектрального синтеза для С[7г]-ядра Ws системы функционалов S.

Прежде всего, рассмотрим случай п = 2. Пусть F, Q € Р — характеристические функции функционалов Sx и S2 соответственно. Предположим, что функции Т vl Q допускают представления Т = -p/F. Q = 1pgG, где р, /, F,g,G — целые функции. Считаем, что функции /, F, д, G являются 7г-симметричными, значит, / := /07г. F := Fo7t, д := доте, G := G07г. где /, F, д, G — некоторые целые функции. Пусть А := {А;} и Г := {7;} — нули функций F и G соответственно, пронумерованные каким-либо способом.

Из теоремы двойственности ц теоремы 3.2.1 вытекает, что справедлива следующая теорема.

Теорема 3.4.2. Предположим, что целые функции Т и Q удовлетворяют следующим условиям-.

1) для некоторого 6 > 0 и некоторой ограниченной тригонометрически выпуклой 2-п-шриодической функции k(0), удовлетворяющей условию h (0) + <5 < II (в), нулевые множества Л и Г можно упорядочить так, что

_In 4-

lim -гт^Ц- > С (6) (h + д);

"-t=c fi(tnj

2) для индикаторов hfg, hgj: функций fG и gj7 выполнена оценка

max {hjQ (0) + h9jr (б)} < h (О).

Тогда С[тт}-ядро WSl,Sl системы функционалов SbS2 € H*(Q) допускает. спеюпральный синтез.

Из теоремы двойственности и теоремы 3.2.2 вытекает, что справедлива следующая теорема.

Теорема 3.4.3. Предположим,, что целые функции Т и Q удовлетворяют следующим условиям:

1) нулевые множества Л и Г можно упорядочить так, что

_lnf

lim . " = +ос: tn)

2) для индикаторов hfg, hgj функций JQ и дТ выполнена оценка

max {hfg (в) + Kpd0, hgjr (0)} < H (в).

Тогда С[я)-ядро И s,,S-2 системы функционалов Si, S2 € Я*(П) допускает спектральный синтез.

И:? теоремы 3.4.3 вытекает ряд простых следствий.

Следствие 1. Если F = С и -pfgF е Р. то И^.<?., допускает спектральный синтез.

Следствие 2. Если F = у>/. Q = ¿д и ¿fg = ^ € Р, то lVSl.s2 допускает, спектральный синтез.

Следствие 3. Если функции F и Q явмются п-симметричными и TQ € Р, то H'Sj.Si допускает спектральный синтез.

Следствие 4. Если Т — ¿f. Q = \pg. \р — целая функция вполне регуляторного роста при порядке р = 1 и hF + /;,с — h^ < Hq, то то И^ s2 допускает спектральный синтез.

Далее рассмотрим случай: ранг системы функций F\,...,!Fn равен 1. Выберем такую точку г0, что .Fi (¿о) х ... х Тп (zQ) ф 0. Пусть А := 7г(г0);

т := (г, 7'), г,.? = 1,2,.. .п, I < ]■ Дня произвольной пары т символом обозначим вектор ..., о.',"1'^ 6 С", где

{-Г,(А), если /с = г, если к = з, О, если к ф {,].

Из теоремы 3.3.1 вытекает, что справедлива следующая теорема.

Теорема 3.4.4. Предположим, что существует совокупность пар ТП1 = (¿1,71).... ,тп_1 = (¿п-ь.7п-1), такая, что векторы ..., а'1™"-1' линейно независимы и для каждой пары т^ = (и, _/*.•)> к = 1,...п — 1 соответствующая пара функций := (-^¿^-^л) удовлетворяет всем

условиям теоремы 3.2.1 или теоремы 3.2.2. Тогда С[7г]-яс)ро И'5 системы функционалов Б — допускает спектральный синтез.

В заключении диссертации изложены основные результаты выполненного исследования. Даны рекомендации по дальнейшей разработке темы.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Шишкину Андрею Борисовичу за постановку задач, ценные советы и постоянное внимание к работе.

3. Публикации автора по теме диссертации

Первые две статьи из списка опубликованы в журналах из перечня ВАК.

1. Волковая Т. А., Шишкин А. В. Локальное описание целых функций. Подмодули ранга 1 /' Владикавк. матем. журн. — 2014. — Т. 1С, К» 2. - С. 14-28.

2. Волковая Т. А. Синтез в полиномиальном ядре двух аналитических функционалов / Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, - 2014. — Т. 14, Вып. 3. - С. 251-262.

3. Волковая Т. А., Шишкин А. В. Локальное описание целых функций //' Исследования по математическому анализу, Итоги науки. Юг России. Мат. форум. - Т. 8, часть 1. - Владикавказ : ЮМИ ВНЦ РАН. - 2014. -С. 218-230.

4. Волковая Т. А., Шишкин А. Б. К вопросу о локальном описании замкнутых подмодулей целых функций / Сборник трудов студентов и аспирантов факультета математики, информатики и технологии. — Славянск-на-Кубани : Издательский центр СГПИ. — 2013. — С. С-ЗЗ.

5. Волковая Т. А. Оценки полиномиальных комбинаций целых функций специального вида // Математика в современном мире: сборник трудов научно-практической конференции студентов и магистрантов. — Армавир : РИО АГГТА. - 2013. — С. 15-20.

6. Волковая Т. А., Шишкин Л. Б. Некоторые оценки полиномиальных комбинаций целых функций специального вида / Известия Кубанского государственного университета. Естественные науки. — Вып. 1(2) — Краснодар : КубГУ. - 2013. - С. 61-66.

7. Волковая Т. А.. Шишкин А. Б. Некоторые оценки полиномиальных комбинаций специального вида. // Наука Кубани. — 2013. — № 1. — С. 4-10.

8. Во лковая Т. А.. Шишкин А. Б. .Локальное описание целых функций [Электронный ресурс] / Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования: тезисы докладов международной научной конференции. (Владикавказ, 14-20 июля 2013 г.). — Владикавказ : ЮМИ ВНЦ РАН и PCO-А. - 2013. - С. 53-54. - Режим доступа: http://smath.ru/files/Sborka_14_08_2013.zip

9. Волковая Т.А. Достаточное условие обильности подмодулей ранга 1 с: двумя образующими // Математический анализ и математическое моделирование: труды школы-конференции молодых ученых с международным участием «X Владикавказская молодежная математическая школа» (Владикавказ, 21-27 июля 2014 г.). — Владикавказ : ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А. - 2014.

10. Волковая Т. А. Синтез в полиномиальном ядре двух аналитических функционалов, образующих систему единичного ранга (Электронный Ре<:.УРС"| // Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование: тезисы докладов международной научной конференции, (пос. Дивноморское, 7-13 сентября 2014 г.). — Владикавказ : ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А. - 2014. - С. 41-42. - Режим доступа: http:7smath.ru/files/Abstract_TO-2014.rar.

Волновая Татьяна Анатольевна

ЛОКАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫХ ПОДМОДУЛЕЙ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ РАНГА 1

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 17.11.2014 г. Формат 60x84.16. Бумага типографская. Гарнитура «Тайме». Уел. п. л. 1,13 Тираж 130 экз. Заказ .V 45.

Филиал Кубанского государственного университета в г. Славянске-на-Кубани 353560, Краснодарский край, г. Славянск-на-Кубани, ул. Кубанская, 200

Отпечатано в издательском центре филиала Кубанского государственного университета в г. Славянске-на-Кубани 353563, г. Славянск-на-Кубани, ул. Коммунистическая, 2