Артиновы и коартиновы модули над группами конечного ранга. Структурная теория и применения к группам с условиями конечности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МЯСНИКОВ Алексей Георгиевич

Т ео ретико-иодел ьные про б л е м ы алгебры

01.01.06 - математическая логика, алгебра к теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано к печати 28.04.92 г. Формат бумаги 60x84 1/16. Уч.-изд.л. 2.00. Тираж 100. Заказ 77. Оперативная печать

Редакцконно-издательская труппа ОмГУ Полиграфическая лаборатория

644С77, 0мск-77,пр. Мира, 55-а, госуниверситет

ГОТОРСТВЬНЕКЙ САНКГ - ПЕТЕРБУРГСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукоппса

КУРДАЧЕНКО Леонид Андреевич

АРТИНОЕЫ И КОАРТИНОВЫ ЩШ НАД ГРУШШДО КОНЕЧНОГО РАНГА. СТРУКТУРНАЯ ТЕОРИЯ И ПРИМЕНЕНИЯ К ГРУППАМ С УСЛОВИЯМ КОНгЛНОСТИ

01.01.06. - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1352

Работа выполнена в Днепропетровском государственном унаверса-

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Боревич З.И.,

доктор физико-математических наук, профессор Ольшанский А.Ю.,

доктор физико-математических наук, профессор Романовский Н.С. .

Ведущая организация - Киевский государственный университет.

Защита состоится 9> О ^^ г» в /3 часов

на заседании специализированного'совета Д 063.57.29 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора.физико-математических наук в государственном Санкт-Петербургском университете»

Адрес совета: 198204, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2, механико-математический факультет СПэУ.

Защита будет проводиться по адресу: 191011, Санкт-Петербург, Набережная реки Фонтанки, 27, зал Л 311 (помещение ПОЖРАН).

дг ~ . п 0

Автореферат разослан ¿^ & СЕ- АС / Л ¿¿411992 г.

/ /

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук СЛ.Ананьевский

Q ЕДА, Я.. X А Б LJLZß S И С Т .И. К А Р А В О 1 Е Актуальность тема. Если А - абелева нормальная, подгруша группы G » то А можно рассматривать как модуль над целочисленным групповым кольцом Z'H , И-G/CÜQ\)» а ее™ к тоыу se А - элементарная абелева р - подгруппа , р - простое число ( во шогих случаях возможна редукция, к этой ситуации:) , то A хохно рассматривать как H - иодуль. ото даёт зозмоз -ность использовать кольцевые свойства 2 H п fpH для изучения строения А . G другой стороны , модульные, свойства А во шогих случаях делают зозыокным описание строения H . Зти: естествен — ныэ соображения указывают' на пользу применения в теории, групп методов'линейной алгебры. Применение этих методов стало привычным в теории конечных груш уже в начале века после классических работ. В.Вернсайда и Г.Фробенлуса. • Прогресс в теории:..конечных.. групп естественно. пр;шёл к мысли: реализовать такой подход и з бесконечных группах , в том или ином смысла близких к конечным, т.е. в группах с условиями конечности. Решающую роль во внедрении линейных методов в изучение груш с условияш конечности

Í)

принадлежит «.Холлу. jaro классические работы далеко продвинули ету теорию и BQ многом определила, тематику будущих исследований. В частности , <2.Холл получил, описание ыетабедевых групп а условием Мах - п - условием максимальности для нормальных под -

1'на11 p. Piniteness oonditions for soluble groups // Proo. London Math. Soo. - 1954. - 4 , M 16.- P. 419 - 436. Hall P. On the finiteness of certain soluble groups // Proo. London Math. Soc. - 1959. - 9 , N 36. - P. 595 - 622. Hall P. On the Frattini subgroups of finitely generated groups // Proo.London Math. Soo.-1961.- 11.- P. 327 - 352.

груш. Важный и полезши оказался тот факт , что групповое кольцо К'Ст нётерово для. нетерова кольца К'' и почти полищшш. -ческой группы G . Нётеровость оказалась весьш сильным свойством , позволивши создать богатую теорию групповых колец почти, подщишшческих групп и модулей над такиш. кольцами, (см. моно -график Д.Вэбинсона ^, Д.Пассиана ^и обзор ДЛассыана Мзтабелевы группы с условием минимальности для нормальных подгрупп - условием Mi n - г» - стали изучаться:позднее. Их изу -чение потребовало исследования, аргиновых модулей над групповыми кольцами черниковских групп. Такие групповые кольца оказались не столь удооньсли. , как групповые кольца почти полициклических групп ( они не артиновы и ие нётеровы ), поэтому изучение арти-новьас над черниковскиш группам основывалось на другом подходе-попскаи пряшх дополнений к подмодулям ( обобщения:.» теоре:.щ Мапке). Описание артиновнх модулей над черниковскими группаглг и вытекающее отсюда описание ыетабелевых групп с. условием было получено Б.^Сартли и Д.Макдугаллоы

Условие ыншшальности и условие максимальности исторически явились одними из первых условий конечности в теории.групп , они. сохраняют сбою роль до настоящего времени. Эти.условия в . 2)

'Robinson D.J.S. FinitenesB condition and generalized soluble groups , Part 1,2 . - Berlin : Springer.- 1972. ^'passman D.S. The algebraic structure of group rings .New York : John Wiley . - 1977. ^Passman D.S. Group ring of polyoyolio groups // Group

Theory : Essays for Philip Hall.- London : Aoademio Press.-1984 . - P. 207 - 256. ^Hartley B..MoDougall D. Infective modules and soluble

groups satisfying the minimal condition for normal subgroups// Bull. Austral. Math. Soo.- 1971. - 4 , N 1. - P. 113 - 135.

известном смысле противоположны , однако при изучении групп , удовлетворяющих Min и Мах, были выявлены некоторые общие особенности , параллельные свойства групп талого рода. Это об. -стоятельство послуяило мотивом для-наховдения и исследования классов групп , объединяющих тем или. иным способом классы групп. с условиями. Min н, М а х . Еазнш таким классов явился класс минимаксных групп , т.е. групп , обладающих конечны:.! субнормальным рядом , в. факторах которого выполняются условия М! п или. Мах Для подгрупп. Изучение минимаксных групп началось Р.Бэром , Д.Робинсоном , Д.И.Зайцевым и продолжается до. настоящего времени, многими математиками ( М.Ньюэлл , Дж.Леннокс , Д.Бревстер , М. Томкинсон , П.Кропхоллер и. др.)

Как видно из определения минимаксной группы , оно получено посредством формального , хотя. и. вполне традиционного , соединения. условий Min и.Мах . Между тем , поскольку класс минимане -них групп объединяет два класса групп , определенна которых формулируется в терминах цепей подгрупп , то желательно было бы и для него найти, подобное определение. Этой цела' и. слузат введен -ные Д.И.Зайцевым Р и. Е.Бэром ^ слабые условия: минимальности и максимальности для различных семейств подгрупп.

Пусть G - группа , gi - некоторое семейство её подгрупп.Будем говорить , что группа G удовлетворяет слабому условия минимальности или , короче , условие Miм - cvj - для; подгрупп семейства.Ö, если всякая убываащая цепочка Н, >Нг >...>Ип>.,тазих подгрупп

из . что индексы I Н ^ '. И к--и ! бесконечны , обрывается, на'.

6) ~ Зайцев Д.И. Группы , удовлетворяющие слабому условию мини: -

1^альностл Ц Доклада АН СССР. - IS68. - 178. - G. TSC - 782.

7)

'Ваег R. Polyminimazgruppen // Math.Annalen . - 1968. -175 , lf 1 . - S. 1 - 43.

конечной саге. Двойственный образом определяется слабое условие максимальности или условие Мях-^1 для (5 - подгрупп. Сказа -лось , что в классе локально почти разрешимых групп условия Min- cv и Мел - с с для всех подгрупп равносильны и. определяют в нём подкласс минимаксных групп ® . Таким образом был. получен неожиданный эффект. : условия Níi п и: ч , обобщённые одним и тем не способом , становятся, равносильными в достаточно широком классе групп. В общем за случав эти условия не равносильны (см. ^ , теорема 35.5). Условия M¡n-uo и. Mo,х - со для различных семейств подгрупп '2> изучалжсь. много и плодотворно различными, авторами: в различных классах групп (Д.И.Зайцев , Р-Евр , А.Н. Остыловский , Н.С.Черников , Л.А.Курдаченко , М.Карбе , В.Э.Го-. рещшй , В.Н.Образцов:) , онвг перекочевали, в топологические группы (В. С Ларин , В.М.ЕГолецких , Е.Н.Старухина ), кольца. (Я Л. Сы — сак) , алгебры Ли: (Т.Сакамото)(см. обзор ). Почти во всех . рассмотренных случаях условия: M¡n -<.« и Мах -«.о для соотзет -ствуших типов подгрупп равносильны.. Равносильность этих условий ■ интересна не только в плане подтверждения! философского положения о единства противоположностей , но и. по другим причинам,. Вспои -ним , что исследования,групп с условием Min и.-групп с условием Иач , черниковских и почти полициклических групп развивались по совершенно различным направлениям. Если в первом случае ваднейшую роль играла проблема.С.Н.Чешикова , то во втором случае соответ-

Зайцев. Д.IL К теории, минимаксных групп // Укр. матем. ж.. -IS7I. - 23 , В 5. - С. 652 - 660. 9)

'Ольшанский A.D. Геометрия определяющих соотношений в группах.-

М.:Науна. - 1989. IQ)

'Зайцев Д.Л. , Курдачеыко Л.А. Слабив условия минимальности и максимальности для подгрупп в группах // Депонирована в ВИНИТЕ. -1287. - Е8 £035 - В87. - 51 с.

ствунцая проблема Е.Бэра не сыграла существенной роли. При изу -ченш почти, полициклических групп и. связанных с ниш. вопросов приобрели значение иные идеи : матричная представимость , финитная аппроксимируемость , проблема, рода., модули, над почти, поли. -циклическими, группами. Исследование условий Mih-uo и М а < - м способствует соединению идей и. методов , свойственных, теориям Min - групп и Mas- групп. Особенно это выявляется, при. изучении групп с, условиями. И1>) -to и. Иах -оо для.нормальных подгрупп-условияыи. М'П - м -п и. Мах - со - п.

Условия. Min- п и. Нах - И существенным образом отличаются. от. Min и МаХ . При, изучении, разрешимых групп с. условиями М i и - п и.Мах — н возникает; новое качество. То же характерно и для: групп с условиями. И Г и - со - п и. IMax - <о - п . Более того , но -вое качество возникает здесь уже в локально нильпотентных группах Подобно тому , как условие hex -п приводит к необходимости, изучения: котееовых модулей над полициклическими. группама , а. ус -ловие Мi n -п- к необходимости, изучения; артиновых модулей над черниковскими группами , условие М .'и - w - о приводив естественно к необходимости.изучить модули, со слабым условием минимальности над абелезыми {жнишкеныш группами. Строение таких модулей во многом похоже на строение минимаксных абелевых групп. Так; , они имеют арткнову часть (аналог периодической части ) , фактор -модуль по которой обладает конечным рядом с коартиновыми факторами (аналога™, ¡шншлакскнх групп без кручения ранга I). Бесконеч -ный модуль , в котором всякий ненулевой подмодуль имеет конечный индекс , а пересечение всех ненулевых подмодулей нулевое , назо -вём коквазиконечным ( он двойственен квазиконечному модули , изу -ченному Д. И. Зайцевым ^). Модуль назовём коартшовым , если он ^Зайцев Д.И. Бесконечно неприводимые нормальные подгруппы//Строение групп я свойства их подгрупп.-Киев: ИМ. - IS78.-C.I7 - 38.

включает в себя коквазиконечный подмодуль , фактор - модуль по которому артинов , и не включает в себя ненулевых артшовкх подмодулей. Строение коартинова ыодуля. по существу определяется строением его коквазиконечного подмодуля. На важность, изучения коква-зиконечных модулей указываю! таюзе следующие обстоятельства. Вся.-кий нётеров модуль обладает коквазиконечным или бесконечным простым фактор - модулем. Поэтому многие задачи, о нётеровых модулях редуцируются к случав коквазиконечного модуля. Другая задача , которая естественно приводит, к коквазиконечным модулям -это задача, изучения, групп , все собственные фактор - группы которых (т.е. фактор - группы по неединичный подгруппам ) обладают некоторым фиксированный свойством ( например , абелевы , нильпотентны. , сверхразрешиыые. , полициклические , конечны над центром , имеют

конечный коммутант и.т.п.). В этой связи.Д.Робинсоном и Да. то)

Уилсоном были, измены ксквазиконечныа модули, над полицикли. -ческими. группами, а в работах Д.Робинсона, и Ж.йенга. и. С» 2ранциози. и. 2.2Ьюваншь ^использовались, приводимые mise резуль -таты. Если 1С - область главных идеалов с бесконечным множеством простых элементов. , G - абелева группа., конечного ранга., Д - ко -артинов. KG - модуль , то А/Ау конечен для. почти. вс.ех простых элементов. Если, же А - конечно порождённый k'G - модуль , то из*^

■¡о)

'Robinson D.J.S. , Wilson J.S. Soluble groups with, many poly-oyolio quotient //Proo.London liath.Soo.-1984.-48.-P.193-229. ^^Robinson D.J.S. , Zang Z. Groups whose proper quotient have

finite derived, subgroups//J.Algebra.-1983.-118.-P.346-368. 1^Franoiosi S. .Giovanni F. Soluble groups with many nilpotent quotient//Proo.Roy.Irish.Aoad.- 1989.-A89 , N 1.-P.42-52.

Ï5)

w Зайцев Д.И. Произведения, абелевых групп // Алгебра и логика. -I960. -IS , IP 2. - С. 150 - 172.

вытекает неравенство Д А^ для почти всех простых элементов ^ кольца К . ото приводит к более общей задаче рассмотрения ко -нечно порождённых модулей , у которых факторы А/Л^ конечны для. почти всех простых элементов ¡} с К . Такие модули рассматри -вались ещё Ф.Холлом для.случая полициклшеской группы. Потреб -ность в изучении, таких модулей возникает и в других задачах , связанных с условиями, конечности. Вообще , конечно поронденные модули - это составляющие любого модуля , поэтому информация о их строении, занна. для: общего случая.

Наконец , изучение артиновых модулей над группами' конечного ранга не связано только со слабыми, условиями- минимальности. Выше уге отмечалось , что изучение артинозых модулей над черниковски-ыи. группами проводилось Б.Хартли, и Д.Макдугалдом. Эта интересная и валная- работа стимулировала исследование артиновых модулей над локально конечными, группами. С другой стороны , хорошие свойстза артиновых модулей над коммутативными, нётеровыми; кольцами: и боль -шое развитие теории' групповых колец почти, полицшыпмесик групп стимулировали изучение артиновых модулей над почти полицнклнчес-кими. группами. (Б.Хартли. , Я.Масон , С.Донкин , Р.Снидер]. Группы конечного ранга.можно рассматривать как соединение почти полициклических групп и локально конечных групп. Поэтому естественно приходим к задаче изучения артиновых модулей над группами конечного ранга. Необходимость изучать такие модули идёт и от других задач теории групп , например , задачи отыскания С - допустимых дополнений к подгруппам внутри абелевой нормальной подгруппы (Л. Ковач , М.Ньшэн , Б.Хартлн , М.Томкинсон , Д.И.Зайцев) и при отыскании условий расщепляемости над нормальной подгруппой и сопряжённости дополнений (Д.Робинсон , М.Ньюэлл , Д.И.Зайцев) .

В работе ^ В.Ы.Глушков ввел в рассмотрение различные условия конечности, в локально нильпотентных группам: без кручения. Все эти условия , кроме одного , оказались равносильными конечности ранга. Условием , вызвавшим серьёзные трудности , оказалось условие минимальности для нормальных сервантных подгрупп. Локально нильпотентные группы с этим условием гиперцентральны и разрешимы , поэтому естественный первый шаг в их изучении - рассмотрение ыетабелева случая. А это уда требует изучения артиковкх модулей над кольцом ^ С » где С - абелева груша конечного ранга. Цель работы. Объектами, изучения в данной работе являются конечно пороздённке модули, над нильпотентными группами, конечного, ранга , коартиновы модула и. модули со слабыми условиями минимальности , а такае артиноЕы модули над абелевыми. группами конечного ранга. Эти исследования, используются, во второй части, работы для. изучения, локально нильпотентных и метабелевых групп со слабыми, условиями, минимальности, и максимальности, для нормаль -ных подгрупп.

Научная новизна. Изучение конечно пороздённых моду-дулей над группами конечного ранга только начинается. Отличие от теории конечно порождённых модулей над почти полициклическими: группами в том , что соответствующее групповое кольцо уже не будет нётеровш. Такхе не построена теория идеалов в групповых . кольцах групп конечного ранга.

Более частный случай - коквазиконечные модули - допускают хорошее описание. Над полициклическими, группами, такие модули изучались в уже упоминавшейся работе Д.Робинсона и Дж.Уилсона.Здесь '■^Глушков ВлМ. О некоторых вопросах теории нильпотентных и. локально нильпотентных групп без кручения // Матем. сб. - 1952. -30 , № I. - С. 79 - 104.

класс груш существенно расширен - до локально радикальных групп конечного ранга.

Модуля со слабый условием минимальности ещё не изучались- , хотя , как уже упоминалось выше , это условие уяе начинает изу -чаться в кольцах и алгебрах Ли.

Наконец , исследования артиновых модулей над целочисленными, групповыми кольцами групп конечного ранга ещё не проводились. Зто связано со следующими, обстоятельствами. Прогресс, в теории, модулей над полицихлическиыи группами связан с тем , что группо -вое кольцо такой группы нётерово. А продвижение в теории модулей над локально конечными: группами, основано на обобщениях теоремы Машке. Однако и то и другое свойство терязтся при- переходе к группам конечного ранга. Здесь, такяе возникают и. трудности иного рода. Из результатов, работы С.А,Кругляка ^^ вытекает , что задача описания неразложимых конечных модулей над абелевой группой , обладающей элементарной абелегой фактор - группой порадка р£ будет "дикой" с точки: зрения, теории представлений. С другой стороны , существует несчётный артннов модуль над метабедевой группой с условием Min-n С Б.Хартли Зтот результат указывает на. целесообразность ограничиться случаем модулей над абелевой группой. По поводу "дикости" этой задачи, можно провести, следующую параллель. Задача описания, абелевых груш без кручения, конечного ранга , не

ыеньзего 2 , таюке является, "дикой" ( А.В.Яковлев , однако

Кругляк С.А. О представлениях группы (р , р) над полем характеристики р// Доклады АН СССР. - 1963. - Ï53.S? 6. - С. 1253 - 1256. 18 )

'Hartley В. Uncountable artinian modules and uncountable soluble groups satisfying Min - n // Proc.London Math.

-^Soo. - 1977. - 35 , N 1. - P. 55 - 75.

Яковлев A.B. К проблема классификации абелевых групп без кручения конечного ранга//3аписки научных семинаров Л0Ж.-1976.-57.- С. Ï7Ï - 175.

их 2- инъектявпые оболочки - это пряные суммы аддитивных групп рациональных чисел. Поэтому естественно попытаться описать инъективные оболочки артиновых модулей над абелевыми группами конечного ранга.

Изучение слабых условий минимальности и максимальности для нормальных подгрупп до работ автора не проводилось. Многими авторами изучались слабые условия минимальности и максимальности для различных типов подгрупп и результатами этих исследований . были новые признаки минимаксности группы. Для групп с условиями М|Ц-иэ-п и Иох - ю -р ситуация существенным образом иная.

.В третьей главе рассмотрены группы с условием: максимальности для неабелевых подгрупп. В отличие от. условия максимальности для абелевых подгрупп г оно не равносильно. Мах в классе разрешимых групп , и соответствующий контрпример сразу.бросается.в. глаза. Видимо по этой причине во всей многообразной'тематика , связанной с условиями максимальности для..разлячных типов под -групп , это условие стояло особняком, и ранее не изучалось. Зго изучение.потребовало лрименения модульной техники._ Теоретическая, и пра к т.и ч.е. о-к а я цена о.с т ь. Работа носит, теоретический характер. В теории групп с условиями-конечности.довольно, часто возникают, ситуации , когда абелева нормальная подгруппа А группы G -удовлетворяет условиям М; п.- £ -, .Мах-- С,. конечно О - порождена и-т.п. Некоторые из таких задач.были указаны выше..1фоме них полученные здесь результаты могут быть использованы в задачах об аппроксимациях модулей и групп и в некоторых задачах факторизации.. Некоторые приложения полученных результатов указаны а данной работе.

В частности,решены задачи 6.12 а) и 6Л2 б) из и/. Решена так -ze значительно более трудная задача об описании метабелевых групп с условием ИГп - со - п .Техника,предложенная здесь,может

от 22)

работать и в других разделах теории групп (см.например '). Апробация: р а б' s s а. Вгзультаты работы докладывались на семинарах кафедры высшей алгебры МГУ,на алгебраическом семинаре им. Д.К.Фаддеева кафедры высшей алгебры и теории чисел СПбУ и: лаборатории алгебры ПОМИРАН,на семинаре"Алгебра и логика" (Новосибирск), Киевском алгебраическом семинаре, алгебраических семинарах университетов Вюрцбурга , Зрлангена , Фрайбурга , Не -аполя. Зти результаты докладывались такие на Всесоюзных симпозиумах по теории групп , Всесоюзных алгебраических конференциях и международных конференциях по алгебре (Новосибирск, 1989 г., Барнаул , 199 Í г.), а также на конференции в Милане ( 1982 г.) Сем.23») и. конференции.университетов Баварии , Баден-Вюртемберга и северной Италии (Нейхауз 1992 г.)

ITу б' л и к а ц и: и; Все основные результаты работы опубликованы.

Список статей помещен в конце работы и содержит' 2Ï наименование.

О й' ъ е. м работ ы. Й1бота состоит из введения , трех глав-

и. списка литературы. Она занимает 201 стр. машинописного текста.

Библиография содержит 123 наименования.

^Коуровская тетрадь. - Новосибирск :.НН СО АН СССР , 1990. 'Курдаченко Л.А. FC - группы счётного свободного ранга //

Матеы. заметки. - 1986. - 40 , Р Í. - С. 16 - 30. 22)

Курдаченко. Л.А. Непериодические РСГ - группы а связанные с

ними классы локально нормальных групп и абелевых групп без кручения// Сйб.матем.ж. - 1986. - 27 , S 2. - С. 104 - ÍI6.

23 )

'Curcio If. Recenti risultati sulle condlzione minimale e massimale per i sottogruppi subnormal! di un gruppo // Rend.Semin. Mat.tíLi Milano. - 1982.- 52.- P.331 - 340.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Глава -I "Модули над группами конечного ранга" состоит из четы -рёх параграфов. В §' I рассматриваются конечно порождённые моду -ли над группами конечного' О - ранга. Будем говорить , что группа 5- имеет конечный 0 - ранг , равный г , если, она обладает' конечным субнормальным рядом , г факторов..которого бесконечные, циклические , а остальные факторы - периодические. Нетрудно убедиться в. тон , что 0 - ранг не зависит от выбора субнормального ряда , т.е. является инвариантом группы.

. Всякая локально разрешимая.группа конечного.( специального ) ранга имеет конечный О - ранг , обратное не верно , поскольку всякая периодическая группа имеет конечный 0 - ранг.

Самыми естественными для теории групп являются случаи модуля и модуля , Рр - простое поле порядка р. Если Д -

модуль , С - элемент.центра группы С , то А естественно становится К'О - модулей , Кгрупповая алгебра над Рр бесконечной циклической группы , если действие X отоадзствить с действием С . Кольцо . К - область главных идеалов , каждый её идеал имеет конечный индекс , а пересечение всех ненулевых идеалов .- нулевое , т.е. К имеет многие "хорошие" свойства кольца целых чисел. Объединить и в. то же время обобщить случаи ~2 и можно рассматривая область главных идеалов К , порождённую как кольцо группой конечного 0 - ранга. Случай характеристики О вклвчает в себя 21 , а случай характеристики р вклсчает в оебя

. Если К - область главных идеалов , А .- С правый ) К - ио -дуль , то определим К - ранг А как мощность максимального независимого над к' множества элементов. Через 6(Ю обозначим полное множество ( неассоциярованных ) простых элементов К .

§ I посвящен установлении связей меаду конечностьп К - ранга конечно поравдённого KG- модуля А и конечностью факторов

Капительв кольца К назовём его фактор - кольцо по максимальному идеалу. Сформулируем теперь основные результаты § I.

I.I.I9. ТЕОРЕМА. Пусть К - область главных идеалов , порожденная как кольцо группой конечного О - ранга , char к-О и все капители К конечны , G - нильпотентная группа конечного О - ранга , А - конечно порождённый KG - модуль. Если факторы конечны для всех , кроме конечного множества , простых элементов то 2 - ранг А конечен.

Для случая характеристики р необходимо ещё одно ограничение. Пусть G - нильпотентная. группа конечного О - ранга. Тогда G обладает, центральным рядом , факторы которого либо бесконечные циклические , либо периодические. Спектром С- назовём множество тех простых чисел р., для каадого из которых хотя бы один из периодических факторов указанного ряда имеет бесконечнуп силов -скув р - подгруппу. Нетрудно убедиться в том , что спектр не зависит от выбора центрального ряда. Спектр G будем обозначать через Sp G.

I.I.21» ТЕ0РИ1А. Пусть К - область главных идеалов , пороа. -дённая как кольцо группой И конечного О - ранга , char К» р и все капители К конечны , G - нильпотентная группа конечного О -ранга , А - конечно порождённый KG- модуль , сЬог G.

Если факторы A f А^ конечны для всех , кроме конечного числа , простых элементов уев'(к'), то А имеет конечный iFP<x>-ранг , где х - элемент бесконечного порядка из Н .

Условие diork'^SpG существенно , в работе построен соответствующий пример. Однако его мояно устранить , если конечную порох -дённость модуля заменить более сильным условием - нётеровостью.

1.1.25. ТЕОРЗМА. Пусть К - область главных идеалов , порождённая как кольцо группой И конечного О - ранга , citar К * р и все капители К конечны , G - нильпотентная группа конечного О - ранга , А - нётеров K'G - модуль. Если факторы конечны для всех , кроме конечного числа , элементов у t o(k'), то Д...иыее:г конечный ГР<х>_ ранг , X - элемент бесконечного порядка из группы Н

§ 2 посвящен изучении коквазиконечный модулей - основной компоненты коартинозых модулей. Если А - коквазиконечный -модуль , то нетрудно показать , что его аддитивная группа либо не имеет кручения , либо является элементарной абелевой.группой. .. 1.2.3. TS0PEÜA. Пусть К - область главных идеалов , все капители которой конечны , G - локально радикальная группа , А - KG- модуль без К - кручения , С^; С А) = <1>. Если А -коквазиконечный K'G - модуль , то G почти абелева.

• Идея доказательства этой теоремы восходит к предложению 2 работы [3] .

1.2.7. ТЕОРЕУА. Пусть К - область главных идеалов , порса -дённая как кольцо группой конечного О - ранга , спас К' «Он все капители К конечны , G - локально радикальная группа ко -нечного О - ранга , А - кокваз«конечный K'G - модуль без К -кручения , Cg(A) = <1> . Тогда

С i ) G - конечно порождённая почти абелева группа.

( 2 ) Аддитивная группа А минимаксна.

( 3 ) Если Р - поле частных К , то А F - простой Fu - модуль.

1.2.8. СЛЕДСТВИЕ. Пусть локально радикальная группа конечного О - ранга , А - коквазиконечный ZC¡ - модуль без

Z' - кручения , CgCA~) = <\>. Тогда

С I ) С - конечно порождённая почти абелева группа.

С 2 ) Аддитивная группа А минимаксна.

С 3 ) А простой (130- модуль.

Если К - область главных идеалов , то к' - модуль Д назовём К' - минимаксным., если он вклпчает.в.себя конечно ..порождённый к' - подмодуль , фактор - модуль по которому артииов..

1.2„9. ТЕОРЕМА.. Пусть К- область, главных идеалов , порож -дённая.лсак кольцо группой .Н конечного. О - ранга.., сЬаг К'.з р и асе. капители К' конечны , С--, локально радикальная .группа конечного 0 -.ранга , А - коквазиконечный К'ь - модуль без К' - кручения ¿V (/1) = ^ 1 > . Тогда . .

С I ) С? - конечно порождённая почти абелева.группа. . С 2.) А -..Рр'хх»-..минимаксный модуль , X - элемент беско -нечного,порядка из .группы И -.

.( 3 ) Если Р - поле частных К , то Л Р - простой РС.~

модуль. . ..........

.. 1.2.11. СЛЕДСТВИЕ.. Пусть С- локально радикальная группа.. -конечного 0 .— ранга , центр.которой.содержит элемент.х беско.-нечного.порядка , А .коквазиконечный и--модуль , аддитивная группа которого - элементарная абелева р - группа , р - простое, ССт(А) =<!>. Тогда

С I } С - конечно порождённая почти..абелева.группа.

( 2 ) А. не имеет ¡ГР<к>- кручения и является Гр<•■<>-

минимаксным. ...... .- ......

. Далее..указан метод., сводящий.обцув ситуации к случав абеле-вой..группы С , и конструкции для этого случая. Отметим ещё один результат. .... ........

1.2.12. ТЕОРЕМА. Пусть О - локально радикальная группа , центр которой содержит элемент х бесконечного порядка , А -

коквазиконечный ¡^ ^ -модуль , Сс(/1) = <.1>. Тогда

С I ) сЯ включает в себя нормальную абелеву подгруппу конечного индекса . периодическая часть которой конечна и не содержит р - элементов,

( 2 ) А не имеет кручения.

В § 3.изучаются коартиновы модули и модули со слабым условием минимальности. Если К" - область главных идеалов г G - группа, А - коартанов к' и - модуль ,..то либо А не имеет К - кручения , либо А аннулируется некоторым простым элементом К . . Строение коартанова модуля определяется строением его. коквази -конечного подмодуля.

1.3.3. .СЛЕДСТВИЕ. Пусть К'- область главных идеалов , все капители которой конечны , а множество оЧК) бесконечно ,

^л - локально поллциклическая группа конечного 0 - ранга , /I-коартинов КС - модуль без К" - кручения , С-(Л) = <)> . Тогда

С I ) С почти абелева.и конечно порождена.

( 2 ) А - К - минимаксный.модуль.

1.3.4. СЛЕДСТВИЕ. Пусть К- область главных идеалов , все капители которой.конечны , а множество о(Ю бесконечно., локально полициклическая группа конечного . О - ранга , центр которой содержит элемент X бесконечного порядка.., А - коарти-нов К Ст..-модуль , который аннулируется некоторм».просты» элементом ^ ( т.е. А - модуль

Тогда

С 1 ) Сг конечно порождена и почти абелева.

С 2 ) А не имеет Р<х?- кручения и является Р<х> -минимаксным.

1.3.6. ТЕОШЛА. Пусть К- область главных идеалов , все капители которой конечны , а множество о(к') бесконечно , й -

локально почти полкциклическая группа конечного С - ранга , А -КО-модуль со слабым условием минимальности. Если <4 из имеет К - кручения , то А обладает конечным рядом КС - подмодулей , фактора которого коартиновы. .

1.3.10. ТЕОРЕМА. Пусть К - область главных идеалов , все капители которой конечны , а мн'озество бесконечно , и -

няльпотентная группа конечного 0 - ранга , А -К.(д- модуль , удовлетворявший слабому условии минимальности. Тогда к обла -дает конечным рядом подмодулей , первый фактор которого - арти-нов , а остальные - коартиновы.

На очереди - изучение артиновых модулей. Оно проводится в § Из сказанного выпе вытекает , что здесь естественно возникает две задачи.

Первая : описать иньектявные оболочки артиновых модулей над абелевой группой конечного ранга.

Вторая : описать артиновы .модули над группой ранга I.

. Пусть К - кольцо е единицей , и - группа , А - К'й - модуль. Будем говорить , что Д - КС- гиперцентральный ( или гипертри -виальный ) модуль , если А обладает возрастающим рядом подио -дулей , каждый фактор которого аннулируется фундаментальным идеалом кольца к'О .

Если А - артянов К. - модуль г то он обладает хотя бы одним простым подмодулем. Подмодуль , порождённый всеми простыми иод -модулями А » назовём цоколем А я будем обозначать через Цоколь арткнова «одуля разлагается в прямую сумму конечного множества простых подмодулей.

1.4.5. ТЕОРВДА. Пусть О - абелева группа , К - область главных идеалов , инозество 84 к") бесконечно , А - артинов к С - модуль , И - С^ос^А! Тогда

(I) А-КН - гиперцентральный модуль.

( 2 ) Если С имеет конечный 0 - ранг , а вез капители К локально конечны . то и/К - периодическая группа конечного ранга.

Если А - артинов КС - модуль , С - абелева группа конечного О - ранга , К - область главных идеалов , то А - К - периоди -ческий модуль , а потому А = Ф А и , где 7Т - конечное под -множество в(Ю, А^ - у - компонента А . Модуль /1 будем называть ^ - модулем , если всякий элемент А аннулируется некоторой степены) у .Таким образом , общий случай сводится к рассмотрение ^ - модуля А^ • А в этой-ситуации важную роль играет подмодуль ) - ■( о^-о}- нианий слой Ау , т.е. прихо-

дим к случаю Р От - модуля , где Р - некоторая капитель К\

Один из основных вопросов теперь - останется ли иньективная оболочка артиновым модулем.

1.4.21. ТЕОРЕМА. Пусть Р- локально конечное поле , ^ -абелева группа конечного ранга , А - артинов РСт - модуль . Если £ - - иньективная оболочка А , то Е - артинов -модуль.

Эта теорема даёт возможность описать инъективную оболочку. Общая ситуация сводится здесь к случаю монолотичного модуля , т.е. к случаю , когда цоколь - простой подмодуль.

1.4.22. ТЕОРЕМА. Пусть г - локально конечное поле , С -абелева группа конечного ранга , М - простой Р ^ - модуль ,, £-<*,.> ;< ... х.<*к> - подгруппа без кручения Сй(М) , для которой - периодическая р - делимая группа , р » с.гюг Р, £ _ РС- - иньективная оболочка И . Тогда £ обладает рядом подмодулей

< Э> г Ед 4 г ^ Е ъ Ь ^ = Н ,

удовлетворявших следующим условиям :

С I) Е^ X/.-= СЕ (X*),

С 2 ) ^¿ц обладает возраставшим рядом подмодулей

о ^ М141 , * ... М1Н п < ... и Мс+1 „ = £1+1 , причем М1Н „+1 /М1+1 п > ? (к^, -1) ^ ми, п

С 3 ) М,, = М .

1.4.23. ТЕОРЗЛА. Пусть К - область главных идеалов , .все капители которой локально конечны , а множество о СЮ бесконечно , С- - абелева группа конечного ранга , А - артинов ^ - модуль над к'С .уьоСЮ, Е - К'и- иньективная оболочка А . Тогда

( £ ) Е - арткнов К - делимый » - модуль . С 2 ) -РС - иньективная оболочка (Л ) , Р = к'/'К'^ .

( 3 ) £ - К - делимая об олочха С?, ( Е).

Разработанная техника позволяет описывать и некоторые артиновы -модули над РС , где Г - поле характеристики 0 , в частности , . гиперцентральные модули. Описание таких модулей для идущей от З.И.Глушкова задаче о локально няльпотентных группах без кручения • с условием минимальности для нормальных сервантных подгрупп.

В теореме 1.4.37 описаны артиновы модули над группой ранга I. Общая ситуация составляется здесь из четырёх конкретных типов , она является, значительно более сложной , чем для модулей над черникозскими группами,. -

Глава 2 "Слабые условия .минимальноотя и максимальности.для-нормальных подгрупп в группах" состоит из трах параграфов. Это связано.оо следующими обстоятельствами. Поскольку условия Мит-»о-г» и Мах - со -п являются обобщениями, условий .№мл-п и Мдх-п, то их естественно изучать в тех классах , где условия Ммт-пи Иоч-п были хорошо изучены. Пусть С - группа , положим

ri tfi G i I G ' С - ^О1конечен } , FC(C-)- характеристическая под -

VT J ~

группа G ,.её называет FC - центром G . Отправляясь от FC -центра, можно построить верхний FC - центральный.ряд G :<!>.,=.Fe

Fl. F.4 - ••• Fp ; в котором F*,, / FrA - F С с G/F* ) , * < ß. Если последний член этого ряда С верхний -FC - гиперцентр ) . совпадает e.G. то группу. G называют FC - гиперцентральной. FC - гиперцентральные группы с условиями Min - о и Мач - п изучали Р.Бэр ^.и Д.Махлейн ^ соответственно. Группы.с. уело -вием И i.ii- п обладающие рядом нормальных подгрупп , факторы которого абелевы кон ечного. ранга., рассмотрел В.С Ларин Очевидно , группы , обладающие возрастающим рядам нормальных, подгрупп,, факторы которых конечны или абелеЕы конечного.ранга., представляют.собой обобщение как FC - гиперцентральных групп.,... так и групп., рассмотренных В.С.Чариньи. Класс таких групп будем обозначать через . 3 § I главы 2 рассмотрены группы

с условиями М! п оо — г) и Max-to- п из этого класса.. „ ..

2.1.16. ТЕОРЕМА. Пусть G£ рД'^и^о-) и.^ -финитно аппроксимируема. Группа..С- тогда и только тогда удовлетворяет условии М!п-со -п- С .соответственно Иах г ио -- п ) , когда она почти

разрешима минимаксна, и почти без кручения. ._. . ... -........

.Если. G - группа , то через Gg. . .обозначим пересечение всех подгрупп . имеющих в G конечный индекс. 24^Ваег R. Groups with desoending ohain condition for normal subgroups // duce Math.J. - 1949. - 16 ,N 1.-P.1 - 22.

25)

'MoLain D.H. Remark on the upper central series of a groups Proo.Glasgow Math.Assoo. - 1956. - 3. - P. 38 - 44. ^ Ларин B.C. Об ..условии, минимальности для нормальных делителей локально разрешимых групп//Натем.сб.-IS53.-33,С. 27 - 36.

2.1.IS. Т20РША. Пусть GcPn(oO^>. Группа С? тогда и только тогда удовлетворяет Н i »- to .- n , когда

( I ) - ü/G^r почти разрешима , минимаксна и почти без кручения ;

( 2 ) G-g - периодическая гиперцзнтральная подгруппа ; С 3 ) удовлетворяет Mir»- Q (в частности , она

разрешима ).

_ Пусть Д - абелева нормальная подгруппа G. Будем говорить , что А - v.*r - квазиконечна., если А .- квазиконечный ИСт - модуль. Шше уае отмечалось., что такого рода подгруппы изучал Д.И. Зайцев. Пусть- Н, U о G , Н ^ К .Ik'jVj Н . Фактор. bVH назовём ^ - кзазикоаечным , если kVH - Q ~ кзазиконечная

подгруппа Ст /Н . ......

2.1.22. ТЕОРЕМА. Пусть G 6 P^CSVZO • Группа G тогда и"*-' только тогда удовлетворяет условию. ¡v'ах -со -,n г когда она включает в себя такую конечную нормальную подгруппу F , что"-" G/F = H ¿ЛК ß, ргд H-/i,prs.H = ß, причём

С I ) А и 8/ß~ .почти .разрешимы и. минимаксны ; . ... .(.2..) .. имеет конечный центральный ряд., нормальных в.. 6 " подгрупп;. , факторы которого 6 - квазиконечны..и .элементарные абелевы С в частностилильпотентна и ограничена ),..

.Отметим ещё один.результат.., который..обобщает результаты упомянутых..выше.работ Р.Бэра и ДЛаклейна.

2.1.26. ТЕОРЕМА.' FC - гиперцентральная группа с условием Min-UO-П-С-Соотзетсгванно И^.х-^-п ) почти гиперцентральяа.

Следующим класс см ,. где условия Hin- п и Mav - п хорошо изучены , является класс.локально нильпотентных групп С в этом классе Min-n равносильно Мгп , а Мах-n равносильно Мах ). 3 § 2 строится теория локально нильпотентных групп

с условиями hip - «.> -п и Нох-^'-я . Отметим , что эти условия не равносильны и Мах-«:1 соответственно в

классе локально нильпотенткых групп , в работе приведены ооот -ветстзующие примеры.

2.2.3. TSOPSViA. Пусть Сг - локально нильпотзнтная группа без кручения. Группа G тогда и только тогда удовлетворяет условии Ми- со - п С соответственно М^х-- со - rt ) , когда она мини -максна.

Группу назовём # - совзрпенной , если она не включает в себя собственных подгрупп конечного индекса. Зо всякой группе подгруппа , порождённая веема её ^ - совершенными подгруппами , будет '^ч - совершенной. Зту подгруппу назовём - совершенной частью группы .

2.2.7. TS0P3JA. Пусть G - локально нильпотзнтная группа , Т -её периодическая часть. Группа G тогда и только тогда удовлетворяет условию Min-oo-n , когда

( I ) G/T - минимаксная нильпотеатная группа ;

( 2 ) Т удовлетворяет G ;

( 3 ) Сг гиперцентральна ;

С 4 ) разрешима ;

С-5 ) - совериенная часть С является абелзвэй периодической делимой подгруппой.

Отсюда вытекает , в частности , что периодическая локально ннльпотентная группа с условием Min--^-> -п - черниковская. ...

2.2.10. ТЕОРЕМА. Пусть G - периодическая локально н/.льпотент-ная группа. G тогда и только тогда удовлетворяет Мах-«*» -л, когда она черниковская.

2.2.14. TEOPS^A. Пусть G - локально нильпотентпая.группа с условием Mi и - oo-ri( соответственно Мох-"4* - п ) , Т - её

перл одическая часть. Если G<,rH- тг - делима для некоторого мно -хества простых чисел Т^то силовская •?г - подгруппа G черни -ковская.

2.2.13. T30PELÎA. Пусть G - локально нильпотентная группа , H4G-.G/H периодическая. Если G удовлетворяет Min-oo-n, то этому же условии удовлетворяет и И .

2.2.22. T20PEIÎA. Локально нильпотентная группа с условием Hin-oo-n счётна.

2.2.24. TE0PEIA. Пусть G - локально нильпотентная группа с условием Mi'n-oo - п , Т - её периодическая часть. Если Т няльпотентна и ограничена , то G-TH , H минимаксна.

Аналогичное утверждение имеет место в случае , когда Т нхль-потентна , a G /Т абелева.

Гиперцентральные группы с условием Мах-оо-п описаны з следующих двух теоремах.

2.2.31. ТЕОРЕМ... Пусть G - локально нильпотентная группа. Следующие условия эквивалентны :

( I ) G - гиперцентральная группа с условием Мах - vo - п '> С 2 ) G - разрешимая группа с условием Мач- оо -п ( 3 ) G обладает конечным рядом нормальных подгрупп , каждый фактор которого либо конечен , либо бесконечный циклический , либо G - квазиконечный.

2.2.34. ТЕОРЕМА. Пусть G - гиперцентральная группа. G тогда и только тогда удовлетворяет Мах-оо -п, когда она включает в себя такую конечную нормальную подгруппу F , что G/F ~ H < А ч 6 , ргл H - А , prß H - В . причём

С I ) А - глперцентральная минимаксная группа ; ( 2 ) 6 г'лперцзнтральна , её. периодическая часть Т обладает конечным центральным ( в Т ) рядом В - допустимых подгрупп ,

бесконечные факторы которого элементарные абелевы и 8 - квазн -конечные ;

С 3 ) £?■= ТН , нот конечна , а И/НПТ абелева и мини -максна.

И наконец , условие Min-n было хорошо изучено в метабеле-вых группах.3 и посвящен ыетабелевам группам с условней м; п - со - п •

2.3.1. TE0PEÜA. Метабелева группа с условием Hin-ое-л счётна. .

2.3.2. TS0P2JA. . Пусть G- метанильпотентная группа без кручения. Группа G ..тогда и только тогда удовлетворяет условии Min-оо - п > когда она минимаксна.

2.3.4. Т20РЭЛА. Для периодических разрешимых групп условия М i г) - оо - п и И; п - л равносильны.

2.3.5. TEOP2JA. , Пусть G - мзтабелева группа с условием Min - со - п .-.Тогда G ^ * (?2 * й3 х ßA , где

С I ) Qt - минимаксная группа ;

( 2 ) Qz включает в себя ограниченнув абелеву нормальную подгруппу , для которой . минимаксна , а ZQz - мо-

дуль /4г обладает конечным рядом подмодулей , факторы которого элементарные абелевы .и коартяновы ;

( 3 ) - гиперцентральная группа с условием Hin-во-п , (?ч = (Э Q^ р^ - инъективный арткнов гиперцентральный модуль , Q3 -минимаксная группа ; .. _

( 4 ) ß4 = Р^ X 0А t Р4 - инъективныЗ артинов ZQ^ - модуль , Q^ абелева минимаксная подгруппа , и все дополнения к Р^ сопряжены с Q^ .

Глава 3 "Группы с условием максимальности для неабелевах подгрупп" самая маленькая в данной работе. Условие максимальное-

тя для наабелзЕых подгрупп - - '•••ь потребовало применения модульной техники. Основной результат здесь

3.5. ТЕОРЕМА* Пусть О - локально почти разрешимая незбеле-ва группа , не удовлетворяющая Мах . Группа От тогда и только тогда удовлетворяет условию Нак - аР> , когда она включает. в себя нормальную абелзву подгруппу А со следующими свойствами:

С I ) Л ~ ССг ( Л >

С 2 ) .с^/Д почти абелева конечно порожденная группа без хрученкя ;

( 3 ) :г<х> - модуль А конечно порождён для любого элемента < £ ч~> ^ .

Отметим , что применение модульной техники возможно и в других разделах теории групп , например , в ?С - группах. Оно.было -осуществлено в работе [9] для решения задач:! 5.17 а) из

. АВТОРСКИЕ РАБОТЫ ПО .ТШАТЗКЕ ДИССЕРТАДЖ . I. .Яурдачзнко Л. А. Группы , удовлетворявшие слабым условиям .. . минимальности и максимальности.для нормальных подгрупп // Сиб„ ыатек. ж. .- 1979..- 2С „.3 5. - С. 1С68.-1С76. 2..Курдаченка Л.А. . Группы , удовлетворяющие слабый .условиям минимальности и максимальности.для субнормальных подгрупп // Мат ем. заметки т- 1981. - 29 , .'ё I. - С. 19 - X.

3. Курдаченко Л.А. О некоторых условиях вложимости РС - группы, в прямое произведение конечных групп и абелевой группы без кручения // Затеи., об. - 1931..- 114 . .'2 4. - С. 566 - 582. . .

4. Курдаченко Л.А.... О слабых условиях минимальности и максимальности для нормальных подгрупп // Депонирована в ВННГТй. - 1982,-Д 4361 - 82 ДЕП. - 21 с.

5. Курдаченко Л.А. О слабых условиях минимальности я максимальности, для нормальных подгрупп в некоторых классах групп // Сиб. матем. s. - 1983. - 24., & 3. - С. 212 - 2Ï3.

6. Курдаченко Л.А...Локально нильпотентные группы со слабым условием минимальности для.нормальных подгрупп // Сиб. матем.

ж. - 1984. - 25.,.Л 4. - С« 99 - IC6. . .

7. Курдаченко Л.Л. Локально нильпотентные группы со слабыми условиями минимальности и.максимальности для нормальных под -групп // Доклады АН. УССР.„.сер.. А -.1935. - .'é 8. - С. 912.

з. Зайцев Д.И,.., Курдаченко. Л.А., Тушев А. 3. Модули над ниль -потентными группами конечного ранга // Алгебра и логика. - 1985. 24 , Л б. - С. 631 - .666.

9. КурдаченкоЛ.А. Финитно аппроксимируемые £С - группы // Матем.. заметки. - 1966..- 39., й 4.,- С. 494 - 5G6.

10. Курдаченко Л.А. Локально.нильпотентные группы со слабым . условием максимальности.для нормальных подгрупп // Сиб. матем. а. - 1987. .-..28 , Д 6. - С. 148 - I4S... . .

Н„ Курдаченко Л.А. Слабое условие минимальности для нормаль -ных.подгрупп и артиновы модули над минимаксными группами// XI Всес. симп. по теории групп. - Свердловск : 1Ш УрО АН СССР. -

1988. - .С. 43 - 44. ... ..........- . ...

12.. Курдаченко Л.А. Артиновы модули над минимаксными.группами ранга I // Иезад. конф. по алгебре , тезисы докладов по теории групп. - .Новосибирск : Ш СО..АН СССР. - 1989. - С. 7Q..

13. Курдаченко Л.А. . Артиновы.модули над минимаксными.группами// 71 симп. по.теории колец , алгебр и модулей , тезисы сообц. -Львов : .ЛГУг - I9S0. - С. 78. ..

14. Курдаченко Л.А. Локально нильпотентные группы с условием Mïn-u?-n // Укр. матем. а. - 1990. - 42 , .'2 3. - С.34С - 346.

15. лурдаченко Л.А. О некоторых классах групп со слабыми условиями минимальности и максимальности для нормальных подгрупп// 7кр. матем. а. - £990 . - 42 , 'à 3. - .С. £050 - 1С36.

16. Курдаченхо Л.А... Аргуновы модули над минимаксными группами // Меад. конф. по алгебре , тезисы докл. по теории групп. - Новосибирск : Щ СО АН..СССР. - 199£. - С. 57.

£7. Зайцев Д.II. , Хурдаченко Л.А. Группы с условием максимальности для неабелевых подгрупп // 7кр. матем. s. - 199£. - 43 , 7 - 8.. - С. 925 - 93С.

18. Хурдаченко Л.А. О некоторых разрепишх группах со слабым условием.минимальности для нормальных подгрупп и некоторых артпновых модулях // Сиб. матем. ж.

19. Курдаченко Л.А. Артиноэы модули над группами конечного ранга и группы с некоторыми условиями конечности // Укр. матем. н. -

20. Karbe U..Kurdaohenico L.A. Just infinite modules over locally soluble groups //Arohlv Math..-1988.-51 ,N 5.-P.401-411.

21. Kurdachenko L.A.. ,Tush.ev A.Y..Zaitsev D.I. Noetherian modules over nilpotent groups of finite rank // Arohiv Math.-1991. - 56. - P. 433 - 436.