Распределение нулей целых функций и выметание тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

- Ч.*'

л АКАДЕМИЯ НАУК УТ^РАИНЫ

ХАРЬКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР

На правах рукописи

ХАБИБУЛЛИН Булат Нурмиевич

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЯ И ВЫМЕТАНИЕ 01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Харьков

- 1933

Работа выполнена в Башкирском государственном университету

Официальные оппоненты;

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Азарин B.C.

доктор физико-математических наук, профессор Ронкин Л.И.

доктор физико-математических наук, профессор Тамразов U.M.

Институт математики с ВЦ Уфимского научного центра Российской АН

г

Г \

Защита диссертации состоится "Ж " c'^^'^-fiu^P^J 1993 г, {<

часов на заседании специализированного совета

Д 016.27.02 б ФТИНТ All Украины по адресу: 3I0I64, Харьков, пр. Ленина, 47.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГИНТ АН Украины.

Автореферат разослан "_"_1993 г'.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ,-мат.наук

В.А.Ткаченко

ОБЩАЯ XAPAICEPHCTKÍA РЛБМ'Ы

Актуальность тепы. Предмет исследования. Одно из центральны* мест в теории целых функции одного 'и многих комплексных переменных занимает исследование взаимосвязи между распределением нулей функции ff ее поведением. В эту тематику включаются проблемы описания нулевых множеств и множеств (н9-)единственности для целих функций из определенных классов и пространств. Актуальность этой проблематики, наряду с тем, что она продиктована внутренней логикой теории целых функций, естественным образом инициируется вопросами, свя -данными с полнотой систем функций, интерполяцией, аналитическим продолжением, представлением рядами, уравнениями свертки, со спектральным синтезом и другими проблемами.

В диссертации основные исследова-чл вопросов, прямо или кос -венно отражающих взаимосвязи мекду распределением нулей и поведе -нием целой функции, сконцентрированы на следующих темах.

1. Условия вполне регулярного роста (вгьр.р.) целой в (D функции конечного порядка на системе лучей.

2. Множества (не-)единственности для ейсовьгх 1гространств це -лых функций одной, переменней.

3. Лналитические'множества (не-)единственности чистой кораз -мерности I (дивизоры (не-)единственности) для весовых алгебр це -лых функций многих переменных.

А) Экстремальные оценки типа (круга"ого индикатора) целых о Cn » ti i » Функций порядка р , делящихся на эпданнуэ ив -лую. функцию.

5. Полнота систем экспонент в пространствах функций, голоморфных а области.

6. Представление мероморфных функций л (£ 1 , п зг Í , > гиде частного целых фун-тий минимального роста.

7. Теоремы единственности плч целых функций хежгеито норядк-с ограничениями на радиальный индикатор в С " •

Методика исследований в диссертации сцементирован« ъ\:пд:шэ планомерным применением фундаментального' в теории потенциала пепя -тия г!'метания к его разгития.

Тематика, страшенная в u.I, борет свое начало в работах S. Я. Лесина и Д. fiíwínrep-í [i] , I93G-1939 г г. Основная теорема о целнх fyiixiouu вч.р.р., полученная и:«и, дает полное описание последовательности пула» целой функции вп.р.р. на все.1 плоскости.

Эта теорема обч^-.але.сь в работах ВЛ'.Аза^тп. O.K.Бал soma,

А.Ф.Гришина, в цикле рабзт А.А.Кондратюка и др.(обзор в [2] ) как для класса Ер целых функций конечного типа при порядке /> , так и для более ойцих классов функций. Однако до недавнего времени речь, как правило, шла о вп.р.р. на множествах, слшедащих с плоскостью £ . Определенная информация о вп.р.р. целой функции в угле может быть получена из результатов Н.В.Говорова о голоморфных функциях вп.р.р. в угле. Условия более слабые, чем вп.р.р. целой функции на одном луче (слабая регулярность, у-регулярность) исследовались А,Ф.Гришиным и М.Л.Содиным ¿3] . Эти условия можно рассматривать и как первое приближение к условиям вп.р.р. на одном луче. В общей постановке очерченную тематику можно сформулировать как следующий вопрос: каковы условия на последовательность нулей функции f^k-p > при которых функция £ вп.р.р. на замкнутом множестве .со-

стоящем из лучей с началом в нуле (далее такое множество £ называем системой лучей)? Такие условия для произвольной системы лучей и дане для одного угла или одного луча неизвестны в общем случае и поныне. Актуальность исследования этого вопроса вызвана еще и тач, что после работ О.В.Епифанова и В.А.Ткаченкс, 1973-1974 гг., о разрешимости уравнений свертки в выпуклых и у-выпуклых областях точные условия разрешимости их в терминах спектра характеристической функции сводятся к описанию распределения нулей целой функции яп.р.р. j (L Ер на о -допустимой системе лучей S ■ При этом система лучей £ у?-допустима, если раствор любого дополнительно-II' li £*угла. т.е. связной компоненты дополнения <£ \ S » иень -ста К/ji . Полученный в диссертации критерий вп.р.р. <füEj¡ на S для широкого класса систем лучей ¿ » охватывающего и у-допусти-мыо системы лучей ¿> , потребовал нового подхода, основанного на конструктивной технике выметания субгармонической функции и ее распределения масс на систему лучей S • Ррй этом классические методы выметания меры и потенциала, разработанные Валле-Пуссеиом, М.Брело, А.Картаном, М.Риссом, Н.С.Ландкофом и др., а также аксиоматические теории потенциала в силу ряда при'зм неприемлемы непосредственно для рассматриваемой ситуации.

Одна из классических задач, вклддывающаяся в п.2, состоит в следующем. Каковы условия на последовательность комплексных -шеел А ~ {Ац} i при которых существует целая функция экспсменци -ольного типа (п.ф.э.т.) f Ф О , т.е.^(£ Е- j . такая, что обращается в нуль на последовательности /[ (пишем ^(Л)- О ) п

где р - субгармоническая функция конечного типа при порядке I V

Изучение этой задачи началось с теоремы Ф.Карлсона, получен -ной в начале века: при

и /1 - /У существование ц.ф.э.т. / О > /, возможно тогда и только тогда, когда . Этот результат неоднократно

уточнялся и обобщатся в работах Т.Карлемана, А.Ф.Леонтьева, Б.Я.Левина, К.Кахана, Л.А.Рубеля, В.Фукса и др. для случая (2) прежде всего в связи с вопросами полноты системы экспонент в простралст -вах функций, голоморфных в областях типа полосы. При этом на после^. довательность Л накладывались жесткие условия близости к положительной полуоси и определенной регулярности распределении то -чек из Л • ■

В случае, когда /1 - произвольная последовательность положи ~ тельных чисел и функция р имеет вид (2) или >

где ^ - ц.ф.э.т., имеющая нули в правой полуплоскости только на ¡Я'+ I полное решение сформулированной задачи было дано в сов -местной работе Л.Мальявена и Л.А.Рубеля [4] .

Другая крайняя ситуация относительно результата П.Мальявена и Л.А.Рубеля была рассмотрена в работе И.Ф.Красичнова-Терновского [Ь] в связи с задачей спектрального синтеза. В [5] показано, что для последовательности А ¿Г существование прилюбом £>д

ц.ф.э.т. ^ -ф О , такой, что /£(/\)-0 и ¿оу

' ¡/^^ ' эквивален,гио соотношению ЛИ) ~ 0(£) , / -> -<-м, где

Л ш - число точек последовательности Л в круг8

¡Ц* t .

Актуальность распространения этих результатов на последовательности комплексных чисел А становится очевидной, если учесть, что, в частности, исследование полноты системы экспонент £(Л)?

л?'. А €. у\} в пространстве функций, голоморф-

ных в неограниченной выпуклой области С с- , сводится к решв -нию сформулированной выше задачи. Такое распространение в дшсссер т тации достигается с помощью новой конструкции выметания субгарыоки« ческой функции на прямую в . При этом результат выметания -субгармоническая функция, т.е. разность субгармонических фуннций, с распределением зарядов (заряд - вещесгроннсзначна! мера) на **<}||

прямой, что существенно отличается от классического выметания.

Проблематика пункта 2 в общей формулировке состоит в следующем. Цусть Е ,- некоторое пространство целых функций в С . При каких условиях на последовательность /1 ^ (Ц. она является множеством единственности для Е , т.е. всякая целая функция /é. Е , обращающаяся В нуль на /I , тождественно равна нулю (в противном случае Л - множество неединственности для £ )? • Необходимость исследования этого вопроса для различных прост- ■ радств £ , в частности, для весовых пространств, задаваемых ог -ращчениями на рост в бесконечности, возникает в самих разнообразных: задачах, например, в связи с вопросами полноты и интерполяции. Поэтому круг известных необходимых или достаточных условий, при которых последовательность А, является множеством (не—)единствен -ности для различных пространств Е трудно обозрим. В то же время результаты законченного характера, когда не накладывается никаких специальных ограничений на расположение или определенную ре -гулярность распределения точек из Л » редки. Известно два нетри -виальных основных результата, в которых описание множеств (не-) единственности для весового пространства ¿- дается в завершенной форме и множества неединственности для £ не совпадают, вообще говоря, с последовательностью кулей функций из Е .

Первый из них относится-я алгебре функций конечного Д -типа Е(А)\ где Á( ¿) , t > & , - непрерывная неотрицательная возрастающая функция (функция цоста). Алгебра El А) состоит из целых функций ^ , удовлетворяющих оценке

Uf I {ш ^ Л ( т А^ о)

Af - постоянная. В совместной работе Л.А.Рубеля и Б.А.Тейлора f6j при некоторых ограничениях на функцию роста, а затем через несколько лет в статье Д.Майлза [?} , 1972 г., без каких-либо огра -ничений установлено, что последовательность А - множество неединственности для E(Á) тогда и только тогда, когда существует постоянная А такая, что Л^ (?), é A Á(A г) + А , Z & О , где

A^l'AlíVr , С4Л ^

о

История доказательств!" этого результата показывает, что точное описание распргде.чния Нулей целих функций ил заданного пространства .

( для t- (А) в I9G0 г., [и]) отнюдь но обеспрчипадч' полной информации о множествах (не)-е,цинственности.

Один из глубоких результатов теории целых функций - это теорема Берлинга - Мальлвена [0] о радиусе полноты системы экспонент

с ЛпХ/ , Л - { > которой можно трактовать и как

описание множеств единственности для пространства, состоящего из ц.ф.з.т. f ограниченных на IR и таких, что <" Я ,

где kf - индикатор роста / .

Важнейший тин весового пространства целых функций - пространство £. If, h) , состоящее из целых функций / с индикатором hА где { - ^-тригонометрически рьшуклан 2% -периодическая строго положительная функция. Пол -ное описание множеств единственности для пространств L. CfiA) при у7 — I позволило бы получить критерий полноты системы экспонент $ ( А) в пространстве Н ( G ) функций, голо -морфных и ограниченной выпуклой области С (С- с опорной функцией к (- &) , в терминах распределения точек из Л • Законченное описание множеств единственности дол р настоящее время неизвестно ни для каких f> > (? и А •< . Конструктивный подход к получении, наггример, достаточных условий, при которых /] - множество неединственности для £"(/? h) , основанный на дополнении последовательности /I до мчочг-ствп «¡улчР функции / Ф О из /Г ¿у? к) затруднителен. Прежде всего это ор-зако со сложной структурой j-яг - ta.i-.-fJ фмц-цнй из

Е 1/>/ h ),

В ■пеизлол'.енное делает актуальной .»¡роблецу разработки ношх неконструктивных «етсд .г. • i гс» ["> n ¿не-/одинсч'вс'нн'.ои: • Один из таких ;.:от;>;;лз интенсигно разбивается в настотгео "ре .Дза -.

ртпш к В.Б.Гинерда применительно к пространству L i '■ А .' . 'Этот метод опирается на теорию предельных множеств jv от...- л ¡1.С./шаржа, Б напей работе избран дугой подход, осксг:,: *«*4tt n.i twk П.-!гуспса о наименьшей супергармэниасской мажоранте [9J , позяолр? wjm -пить значения этой мажоранты в точках 2 < <С '-Т^з '-7~

коситолыс конуса супоргврмонк»сских в функций) морк ¿.1рЛКП

, т.е. единичной массы в точке г ,

При переходе к целым (функциям в , К >f , одним из воз -мот.нмх к естг темных аналогов последовательностей точек и (¡2 . не имеющих и <С предельииг точек, ярл«чтся аналитические ичоуост-ка /\ С (С * члетоп коразмерности I, ко горы« совпадает с нумнм шокестг:r.t иг^птпрой полой функции /-. Zviwr> о;,;'С';М'я пне.-;я -

- в -

тических множеств неединственности чистой коразмерности (см.п.З) для алгебр це.гых функций можно придать следующую более общую формулировку. Через I обозначаем класс всех целых функций, деля -щнхея На целую функцию /- в кольце Н (Сп) всех целых функций в

С" • Каковы условия на функцию к или на распределения ее нулей, при которых идеал ] (Е) О Е , где £ - заданная подал -гебра в НС (С") , нетривиален, т.е. содержит ненулевую функцию9

Ряд результатов об оценках роста целой функции при заданных оценках роста характеристик нулевого множества этой функции'можно рассматривать как условия нетривиальное™ идеалов I (Е) П Е , где Е - весовая алгебра (В.Штолль, Л.И.Ронкин, Р.0.Кукла, В.А.Тейлор, Г.Скода, Л.Лелон и Л.Груман и др., обзор в [10] ). При этом, как правило, ненулевая функция ^ = к ■ 1(/~)Г\ Е такова, что либо целая функция к не обращается в нуль на £,п , либо п довольно просто конструируется из самой функции к • Новый метод, основанный на принадлежащем Г.Бауэру и Г.Мокободзки (см.П.-А.Мейер [п] ) понятии абстрактного выметания и на многомерном обобщении теоремы П.Кусиса о наименьшей мажоранте (подробнее ниже), позволяет охватить ситуации, когда конструкция мультипликатора к отмечеины -ми способами не улавливается. Более того, метод применим к оценкам (см. п.4) типа (кругового индикатора) при порядке ненулевых цель« функций минимального роста из 2(/~) , точным при у? I, и мокг1? быть использован для получения новых достаточных условий для множеств единственности целых функций конечного порядка с ограниче -ниями на родиапььый индикатор, что отражает тематику, отмеченную - в п.7. В важном ч&стиом случае эти результаты, по существу, те-

оремы о (не-') полноте системы &СЛ)~ { < > А € /\ }

< А > -- г/ А{ + + ... г , в пространствах функций, голо -

морфных в областях из .

Тематика гг. 6 относится к задаче о представлении кероморфне,'! функции / в Сп , П , в виде частного ^~ с] /к двух целых функций и п по возможности минимального роста по отношению к росту характеристик функции £ • Истоки этой задачи - в классическом результате Р.Неванлиншл с представлении мероморфной функции ограниченной характеристики в единичном круге из ([! отношением ограничениях голоморфных функций. Эта задача в (£. и при условии, что С и Л. не имеют обе;их нулей, достаточно полно рассмотрена А.А.Гольдбяргом [1<] . Если не накладывать ограничений на множества нулей функций ф. и и , то для X ~ I и при условии

Tf(x) ^ Ml), A - функция роста, (5)

где - характеристика Невацлинны для / , Л.Л.Рубель и

Б.А.Тейлор fo] при некоторых ограничениях на Я , а затем Д.Майлз [7] без каких-либо условий на X указали построение у и А такое, что

¿0$ ( If \кш\) А A (8i)+C/ (б)

где. A J В / Q - постоянные.

Для п > / первые.результаты по задаче представления при условии (5) и для Alt) — Ccn^t принадлежав П.Лелону

и В.Штоллю. Дальнейшее продвижение для функций многих переменных при условии медленного роста или весьма специальном условии "сбалансированности" функции % осуществлено Б.А.Тейлором и P.O. Куялой [13] , получившими представление с оценкой (б). Наконец, при условии плюриаубгармоничности функции Л (121), С"1 г

Г.Скода получил в [14] представление с несколько худшей оценкой, чем в (6), а именно: перед функцией А стоит степенной мно-

житель \ * , где К зависит от размерности /г . Важно от -метить, что функция ¿од Г^ ( Iit) , вообще говоря, не плюри -субгармонична, т.е. нельзя полагать у)(Z) = It) .

Аналог задачи о представлении для S -субгармонических функций был рассмотрен О.В.Веселовской, 1984 г..

Анализ перечисленных результатов по задаче представления указывает на определенный разрыв между случаями медленного роста мажоранты /( как в методах (метод Эд -задачи у Г.Скоди и метод рядов Фурье у Р.О.Куялы), так и силе оценок и условий на функцию роста А . Таким образом, возникает необходимость единого подхода к задаче ггредставления мероморфной функции f , который давал'бы возможность оценивать целые функции минимального роста Cj и к в представлении 4 не

через мажоранту Д из (Б) со'специальными свойствами, а через саму характеристику Неванлинны функции ^ и другие ее

характеристики.

В соответствии с изложенным цели диссертаций состоят в полу » чении критерия вп.р.р. целых функций на возможно более широком классе систем лучей в терминах распределения нулей этих функций} описании множеств единственности для классов ц.ф.э.т. я £ , выделяемых ограничением на рост вдоль фиксированной прямой; в раз-

работке общего неконструктивного метода описания множеств (не-) единственности для широкого класса весовых пространств целых функций одной переменной и его применений, в частности, к вопросам, связанным с полнотой систем экспонент в пространствах голой-^них функций; распространении этого метода и его применений на целые функции многих переменных, включая г^иясдажия к задал,е представления мероморфных функций многих переменных в виде частного целых функций минимального роста. ,

Научная новизна и практическая ценность.работы. Разработан новый подход к исследовании распределения нулей целых функций вп.р. р. на системе лучей и для широкого класса систем лучей £ С (С получен критерий ип.р.р. фунйции / 6Г Ь^ на В .

Установлены условии окончательного характера на последовательности комплексных чисел А , при которых существует ц.ф.э.т.

^'(Л)-О , с заданными ограничениями на рост вдоль прямой. Последнее позволило получить критерий полноты системы экспонент ¿(А) в пространстве Н (С) в терминах распределения показателей А I когда 0- - произвольная неограниченная выпуклая область в (В • Этот критерий, в котором не накладывается никаких специальных ограничений на последовательность -/I - первый результат такого рода для пространств Н' О • Дня получения перечисленных результатов разработаны новые конструктивные техники выметания суб -гармонической функции и меры на систецу лучей в (£ , которые могут быть полезны н в других вопросах, связанный* с исследованием пове -дения целых и субгармонических функций на лучах в £ .

Разработан новый общий подход к описанию множеств (не-)единственности для широкого класса весовых пространств целых функций од -ной переменной. С помощью этого метода удается дать новые неконст -руктивные доказательства известных результатов об описании множеств единственности и получить новые теоремы (не-)единственности для целых функций, о полноте систем экспонент § С Л) и об устойчивости полноты при сдвигах показателей Л в пространствах голоморфных функций. В целях распространения этого подхода на функции многих переменных получена теорема о наименьшей мажоранте, позволяющая, в частности, дать через посредство абстрактного выметания двойствен -нов определение наименьшей плюрисубгармонической мажоранты для функции в области ' С- С2 (£ п , новое при С * С .

С помощью теоремы о мультипликаторе, опирающейся на теорему о надманылей ыолоранте, установлены критерии для аналитических мно -жеств едннстьенчгсти коразмерности I для.весовых алгебр целых функ-

- It -

ций в (С* ; получены оценки наименьшего возможного типа и кругового индикатора целых функций, делящихся на заданную целуй функцию ■ (точные при порядке р 1)\ даны результаты законченного харак -тера о представлении мероморфной функции в <СН в виде частного целых функций минимального роста, среди которых есть и учитывающие тип (круговой индикатор) целых функций, участвующих в представлении; предложен общий подход к получению теорем единственности для целых функций многих переменных и намечены перспективы распространения этого подхода на голоморфные функции многих переменных в области из С*.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [22 - 36 2 «

Результаты диссертации докладывались на семинарах в Башгосуни-верситете, г Институте математики в г. Уфе, в Харьковском государ -ственном университете, на XI Всесоюзной школе по теории операторов (Челябинск, 1986 г.), на Всесоюзном симпозиуме по теории приближе -' ния функций (Уфа, 1987 г.), на УЛ Всесоюзной конференции по комп -лексному анализу и дифференциальным уравнениям (Черноголовка,1989 г.), на Республиканской школе-семинаре в Харькове (1990 г.).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, вводного § 0 и шести глав. Общий объем работы 298 страниц. Список литературы - 126 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ •

Глава I. Выметание на систему лучей и целые функции вполне регулярного роста. Основной прием, использованный в этой глава -это сведение исследования поведения субгармонической функции на системе лучей S С- С к изучению субгармонической функции, совпадающей с 'и на £ , с распределением масс, сосредоточенным на S'. Это потребовало разработки техники выметания на систему лучей меры и субгармонической функции. Конструкция выметания меры и некоторые свойства выметенной меры рассматриваются в первых двух параграфах. Через /}) и С^/З] обозначаем, соответственно углы J < А-уг ft и «хГ ^сс^г^р в С ! (¿>(5, Е ;(V,<?J гармоническая мера пересечения борелевского множества с границей угла в точке ^ <£" Г схуЗ_/ относи - ,

тельно угла C^/fl) •

Пусть ,5" -система лучей. Гармонической мерой борелев а кого множества EC-il в точке $ <£ (С относительно ».тожества С \ ,9 называем функция СС(5,£ \ С \ , ршпуп

Со( ^ Е] C'^/j)) дяя точек у , понявших в дчполнитель -

Иые к углы (е^/Я) , И равную характеристической функции С множества £ при $ € Б .

Определение. Цусць - мера, £ - система лучей. Недтрина-ТМШВ функцию /</ Й№в подмножеств £ С. £ , оп -ЕёШтИНУЛ 09 ВРЙШУ

/*%(£)= 1<о(*,Е; СМ»!/«*),

(7)

5

ЙУ&1М. ЙММ1Ш1^ выметанием {йрм А Ш < ШШ выметанием из

€\. ХГ^ ■ ^

Интеграл в (7) априори-не конечен для компактов /Г <С <2: . Критерий того, что ~ мера, т.е. конечная на компактах

функция множеств, дает приводимая ниже теорема 1Л.1.

Через ¿) (£) СГ ■ (£, обозначаем круг радиуса ( с центром в нуле; для меры ух полагаем ул((£)) . Класс всех мер ул.' конечного типа при порядке у> , т.е. таких, чтоу*( (Рt.—» , обозначаем через •

■. Систему лучей £ называем до!густимой для меры у< ЕУ^р, если для любого дополнительного к £ угла (раствора р -Ы - н/у к/у . конечен интеграл

где в знаменателе рассматривается ветвь аналитической функции, неположительная на

Теорема 1.1.1. Пустьул £> - система лучей. Следую -

шие утверждения эквивалентны: *

1) Для некоторого 4, > О выполнено (¿о) + 00 •

2) Система лучей ,5* допустима для меры М .

3) ~ конечного типа при том же порядке у> .

Следующая за ней теорема 1.2.1 показывает, что значения интеграла по выметенной мере /.<^ от у* ^ -интегрируемой функции £ , определенной на , совпадает со значением интеграла по мере /< от гармонического продолжения функции { в С-\ 3 »

что вполне согласуется с классическими схемами выметания. Основной результат главы 1 сформулирован в § 1.3. Определение. Игсть и' - су б гармоническая фунющя в

С,

- система лу-'СЙ. СуЗгармоничасЕуц в ■(' функция й^ , совна -

Дающую с и Uß £ И гармоническую щщ S' , ¿УД<Ж ИШаЫЕШ» Щме-

шв Фушда и иа S" г aw ешеши-0 яд @ 1 &

Распределение масс субгармоничесвой функции U обозначаем

через /*н . ■ /п ■

Класс всех субгармонических в <L дикций U конечного типа при порядке у , т.е. таких, что шп ¡¿l'-^Uli) <■ +<*> , обозначаем через tiß .

Теорема 1.3.1 (основная). Дус£р U £ 13 система лу^ер S допустима для распределения щс£ /Uи , $ - выме^анце jjppy Ш S • Когда S сдсто^т только ЩЭ одидгй дула, лведцз -лашм» тл i. Пи.1 щ* ушдаш сущедаугу еышшщ useUp Фуяшш iL ш S л раеяредалешшы «шар у" и •■

Таким образом, в соответствии с теоремой I.I.I выметание субгармонической функции к на S возможно в том случаэ, когда выметание на S определяет меру на S . Более того, ес-

ли растворы дополнительных к S углов не превышают "/р , то допустимость S' 'для распределения масс - ШйЗХШЩШР усло-

вие существования выметания U (£ Vj) ' функции U € на (теорема 1.4.2). '

Доказательство основного результата главы I при натуральномJ) использует вачное свойство выметенной меры: если мера /4 £ УЦр, ß € /V , удовлетворяет условию Линделефа, то и выметание уц 4 меры на допустимую для yU систем лучей £ "наследует" ото сеоЙство (теорема X .4.1). Напомним, что мера (заряд) ^ удов -, летворяет ¡¿сдсщю Лидрелефа при порядке jO ё /У , если выполнено соотношение

\ ^cZ/id) =Ö (i),

Теорема ¡5.1. В условиях и обозначениях основцсй теоремы I.3.I СЛОЛУШИС НЕЗШаШШЗ ШШШМШШШ*

1) и ' ВД23Ш» РЛШШШЗ» Е2.«Ш а С (при дсг^-Мв Р

2) »/нкнии и ЛР-Б-Р- ш еишыз жайй S' у лм мшда

дополнительного к угла ',t:/jO , К С /¡У ,

с уше л конечный 1тре,ч.ел

„ 7

1Сит \-~ р-н ~ ^L .

3) Мера правильно распределена (при порядка J> ).

• Определения использованных терминов - г обзоре [2] . Особенно простой ВИД теорема 1.6Л приобретает, как отмечено во вводном § 0, в случае, когда система лучейS J3 -допустима.

Последовательность точек j\ - {Anf С. С > не имеющую предельных точек в ¿Ü . отождествляем с целочисленной мерой, обозначаемой тем же символом Л : Л (£) = 2И Í.

/_ Лл £Ьр с последовательностью

Hyjjefl /I , иерв1^ероранно{| с учетом краткости. ^меет ДП-Е-Д-на J> -довустшоЦ систоие лучей £ тогда д только тогда, когда внмуя'.иа ЛГ~ правильно распределенная мера (при порядке д ).

Глара П. Выметание конечного рода _и рост це^ой фикции экспо- . ненциалЕНоио типа ЩЩаЦ-

Разработанная в главе I техника показывает, что выметание меры или субгармонической функции конечного типа при порядке из угла раствора ^ *Л> возможно лишь при специальных условиях на мору (теорема I.I.J.) или функцию (теорема 1.4.2). Выметание нового типа, рассматриваемов в главе П, дает возможность преодолеть эти препятствия, если пожертвовать некоторыми требованиями к выметанию ¡.¡ары или функции. Достаточно допустить, чтобы выметание меры

J4 'на систему лучей S' могло быть зарядом, а выметание и^ функ'^и и С t(¿> на S являлось ¿"-субгармонической функцией с. распределением j ар ядов

Конструкция выметания рода ^ , где f¿. - целое неотрицательное ■число, применяете« и детально рассматривается в главе П лииь для случая = I (при у, 0 оно совпадает с выметанием, пред -ставленным в главе I), когда S - мнимая ось. Общая ситуация произвольных ^ и S и перспективы дальнейшего применения вынесены ; в замечании, поскольку в идейном плане техника выметания рода J ' несет мало принципиально нового по сравнению со случаем I, но требует технически более громоздких выкладок.

Для Ь С & через nui Е обозначаем лебегову меру на мнимой оси множества Е. f] ¿Щ , ) - гармоническая

мера множества £ f] i¡ft в точке £ ¿j (£ относительно той полу 'плоскости (правой или левой) ь замыкании которой лежит точка 5"

Гармоническим зарядом рода I в точке 5- Фр относительно С \ ПК называем функшю бореловских множеств Е~ С , определенную как

Заряд У на & наэывазм за^д^ом конечного тшф (при порядке I), если ого полная вариация ¡р\ - мера конечного тйпа при порядке I.

Определение. Пусть у - заряд конечного гапа и О Ъ-ире)}. Выметанием рода I заряда р на мним^ ось бщ^.еи называть йЗйкй с носителем на , определенный до правилу

£ т-

Е - борелевские множества в (£, • . '

Аналогом теоремы 1.3.1 для выметания родг. I является

Тесрем.г 2.1.1. Пусть II - £ -субгармоническая фувюгид с пределением зарядов у .'1£12212£2 1Ш13 I' *

и функция и. прелставлрна д виде рлености суйгагмснпцесюр; иий порядка I. Тогда найдется -су<?гяруокидйси.зя и &

с распределением зарядов }/'3 , представкмая в як 10 гармонических функций порядка I и такая., ото и~ (¡3 ШШ кнслесгва нулевая емдости.

Вообще говоря, внметш'ие реда I меры «ли субгарчлтескоЗ функции коленного типа не к-.имую ос л ь. :взт более гисояуб к^гйгорт" роста, чем ¡сходные мера или функция. Эти осло;отек-;я /дадг-гя.-ъч'-гь, если неютат; ¡¡г, выметаецую меру (оарпд) спецпалььсе услади»:-

• ! ^ ои), (,и

При ус;:о.вия (А) вычетаяие зарода ,а>яе»я«)го точа р

нему зараз, коночного типа (теоремт. 2.2Л); ес.ч» зарзд- },' сосредоточен вне парь: вертикальных углов

то суцпстгует постоянная й > у такая, что (тоорсся 2,2.2}

!)5Ч! (с ¿('/-<7, -¡'ст , о.*?г«?/• и е р •

(, (. - .м ^

'3)

в

«■ait показано в § 2.3, выметание р "наследует" условие Линделе-фа фи пордцке I (теорема 2.3.1).

Применения выметания рода I х целым функциям касаются задачи, сформулированной при (I). В § 2.4 доказаны основные результаты о росте ц.ф.э.т. вдоль i'//f , обращающихся в нуль на последовательности /I с €■ •

Для последовательности /1 ~ {f С , не имеющей

предельных точек в С > определим логарифмическую функцию интервалов

¿А О, M = /лал { ¿^ (г, Я) ; ('гу ^

где

Для функции p fc полагаем

Jp il>'n - & i ^ y-

Теорема 2.4.1. Если при некотором S>0 функция ' p îij гнтечага внутри nçc?,r углов (8) и А Л= 0 * I&

е^елукнче ,утк?гадения ЩвиЕ§£§ШЖ:

1} Существует а.ф.з.т. f sk О теуая. что fiA'l'O и вы-иодгэно (I).

2) Сущестгует постоянная M такая, что

еА п, R) Jp R) + м t 1 * Z К< + -о.

'г >

При /I и функций р специального вида теорема 2.4.1

дает основной результат Л.Л.Рубеля и И.Кальявена из [4] .

Теорема 2.4.2. Пусть А - п ос л р. по в ат о л ьн чс т ь комплексны?: чисел кснечнверхней плотности, т^е. А Ц) = 0(1) .

51 Р (£ . Тогда следувпие утверждения эквивалентны:

П Дуя любого £ >0 найдется ц.ф.э.т. /£ФО такая, что

{£СЛ)=о д

I /£ (¿4)1 ^ РСс и) ^ у е /к \ Е£ /

гда Ер - МЦНВЕХЗЗ Ы§Ш ЙЙ $ •

2) Для любого £■>& £М££'Л!1УЛ цостотнад 1ШШЬ

/л С г, А) ^ /р; V- £ ^ * /</£ / / * г

Из теорем 2.4.1 и 2.4.2 легко вытекают (§ 2.5) условия полноты экспоненциальной системы

£(Л) = {2к-'1гА*: леЛ^еМ, 1±к<Л({А})}

с показателями Л в замкнутой полосе и в произволь-

ной неограниченной выпуклой области.

Система ¡¡у (А) додца в -I Л >

если любую функцию, голоморфную а открытой полосе ¡?>н и

непрерывную во всех конечных точках замкнутой полосы А ,

можно аппроксимировать с любой точностью конечными линейными комбинациями функций иа $ (А) и топологии равномерной сходимости "«а компактах из замкнутой полосы \Мг\ц А •

Теорема 2.5.1. Цусть последовательности летроря^т условию

<5 \К \ > * - 1,2..........(9)

ггри некотором ¿' • Система £ (А) пода§ д дэдосе

)Мз I X / 10гаа_й только тогда, £0£па

^ ( я) - / /<>§ f)

г «=■ ч-"0 * '

Условие отделенное™ (9) от мнимой оси по существу. Во всяком случав, как показывает пример 2.5.1, при условии А Л ¿'/СР0 получить информацию о полноте системы £(А ) только с помощью логарифмической функции интервалов ¿^ ( ^ /вообще говоря, невозможно.

Система & (А) д области С С (С , если она полна в

пространстве /-/ ( £) в топологии равномерной сходимости на кон-пактах.

Цусть С ~ выпуклая область в (£* , Кр (в) = & гв' *

2 £ С} - опорная функция этой области. Нацменыпей шириной, или щирото^ области С называется [16] величина

- 1С -

{ + по)

Если выпуклая область С неограничен, то хотя бы для одного значения I? , при котором в (10) достигается, луч рс'г + О/ при некотором оС £ С лежит р области

. Кахдое такое направление $ называем направлением адезд -

шшдйвш £ ■

Последовательности А С сопоставим логарифмическую блок-гПЖЩШк

Для А она введена р [4 ] ,

^ Теорема 2.5,3. £ ' - ЖЧХМ&Й

я € широты ¿г л , 0 -направление двезкносуи р^ладти ,

Сист«1£ £(/\) долиа д £ Т°ГЛ*. ШШ Л

ЖЛ5-И.25 пос^рдоратял^ноптьд конечно?} рерхне{> плотност^ или ■ (^е) > & « Ш '

Ар вхрав): Л еЛ} -щ2Ш/1 тхш

На отого критерия полноты молодо извлечь и утверждения качественного характера. Так, если /\ ~ последовательность нулей ц.ф.э. т. и неограниченная выпуклая область С звездна в направлении

О , то из полноты системы £ (А) в С1 следует полнота "правой половины" этой системы ь области С , где А т = { А £ •

&1.Х > (?/ (следствие теоремы 2,6.3).

Заключительный пример 2.5,2 показывает, что в утверждениях §§ 2.4, 2.Б существенны именно оценки логарифмической функции интервалов ■ (по всевозможным интервалам £ Ъ, А7J , а асимптотическое поведение функции (д не улавливает

требуемой информации.

Глава Щ. Ыножестра единственности д;лд рросуранстд пелрт функ-£ДШй переменной. В этой главе разрабатывается общий подход к описаний множеств (не-)единственности для пространств целых ' функций в (С , задаваемых системой мажорант.

Определение [9] . Мера /и&С? с компактным носителем д (Р назыраотся мепор Пенс-ена. если для любой но;п огчткой субгапмони -чек кой д (£ ¡Ьунжии и ^ыпдлнено нераренство

и (О) гс Г и с//к

- 1С -

Класс всех мер Йенсена обозначаем через

Из определения абстрактного лиатан1'" относительно сап,, «лого конуса, приведенного ника при обсуждении результатов главк XV,видно , что Йрнсона ет сшеашш. идра Дардо ¿0 относительно конуса всех непрерывных пупергармоничведа функций В О •

Определение. ¿уЙдершащЫШШ) Я & ^ {<?} ФИШШ V Ц1ШЕ&-ем фуишшЯ ЁШ1££Цй« £У?-2£ХРУЛ2! посуоянчая Л > Р ШШ.Щ!

о « 1/СГ) < Лу'ш > * Ш)

Щщсс Ейас ФУШШИЙ. Вщсена о&щщчаеу £ . В 3.1, 3.4 приведены свойства мер и функцчй Йенсена и взаимосвязь кевду ними. Из основная фактов отметим следующие.

Предложение 3.1,4, П.У^.ТЬ /п Д. О ~ пгтноспязная г.бчасть, содаржшдз О и -Шрр т , ' . '

ЧЛУ - \ "ТФО,- (12).

Ддя тобещ субгармонической в С функции ' £ расд|^елеиирц 1)дсс уаноя, ухо. (о) $ - , ярраггддайр шшшлао

- \ (13)

Это утверждений можно рассматривать как обобщение формулы Пуассона - йенсэнп, которое пояу«а«тся из (13) в частнсм случае, когда т. - со (Оу >) - гармоническая мора в точке (? относительно области Л СС Сг , а Ип ~ - продолжен -

пая нулем вне О функция Грин? обдасуи О [17] .

Првдлояение 3.4.1. Отрбрадонио Р т -у [/ осугнутвлреу биекщпо Ж ~

Таким образом, определение функций Йенсена есть ни что иное, как внутреннее описание потенциалов мер йенсена (12). >

Основной результат главы Ш, указывающий место мер и функций Йенсена в описании множеств (ие-)ед1!нсгвеннасти -

Теорема 3.2.1 (основная). Ду£Ц> А ~ { йп} - последовательности шишшщщщ М£М, 1« 1,2,..., Оф. А » Н М (г) - локальч. И£> ШШГРЙРУШй по ШШ М$Ш ФУШШЙЯ 9 С , ограниченная сни 7 зу в некоторой о(срестноотя ну.дя, - М(?) + 00 . .

Еелу оУй§ст|^ет цалац ЗШИШ О та£аа» 1Ш? /(Л) =<?

\/(*>\ * мм, г с.

ТО ГЛ]рЯ.вв^ЛИ^О С00ТЦ0ГО6Ц1{в

•' КР (2Г 14 - 5 ниш) (14)

тем КёЛ

Обратно. если выполнено (14), то существует цедая функция . I Ф- 0 , такая. ч^о А ) - О и справедливо неравенство

'г) I М{Р ■

В 3.5 в терминах функций йенсена дается критерий множеств неединственности для весовых пространств целых функций.

Цусть У"1 - /- система субгармонических в С функций,

» а^Л,/ • к ш 1,2,... .'

Через с.к обозначим пространство целых функций { , удов -летворявщих условию

Су

|/М ^ Су е^ д (¿)/

где С^ - поста ¡{иная, и полагаем к •

На систему У налагаем следующее ограничение:

\/'к 3 ? ; Д (5) ^ р. сюпЛ ¿<£р

Теорема. 3.5 Л. Цуст^ О фА ~ последовательность в (¡2 . Следующие утверждения эквивалентны:

1) /1 - множество неединственности для Ё¿р •

2) Существует номер % такой, что .

У^У КеА "рк/

с

Таким образом, функции Йенсена играют роль тестовых функций, по -зболящих выяснить, является ли данная последовательность множе -.ствоы неединственности для заданного пространства типа ¿^уэ , . Здесь прослеживается определенная параллель с ролью финитных не ~

- ?л -

отрицательных функций при определении отношения на множестве 'мер или обобщенных функций.

Классическим примером пространства типа Е

¿р является

пространство Е[ к) . В § 3.7 приведен с некоторым дополне -нием вариант теоремы 3.5.1 применительно к пространству Е1/>,Ь) .

Цусть ¿> - положительное число. Функция \/ , которая обла -дает всеми свойствами функций Яенсена, кроме верхней оценки в (II), которая заменяется на условие

Т с А (ус/Л^'] г^'Ул 0 0

называем функцией йенсена порядка у? . Класс всех функций Яенсена порядка р обозначаем через . Класс всех ^Т-периоди~ чеснок у -тригонометрически выпуклых функций обозначаем Через

[2] . С каждой функцией к <с ассоциируется мера на окружности:

ел) ^ /

Ьк (9) а. /г'(в-о) + $ к(<!>)</у , Дчя кеЗо и не1грерывной функции к полагаем

и для V С (предложение 3.6.4)

¿У>(е)= ( \/(ге1°) .

Цгсть /I ~ (последовательность ненулевых комплексных чисел. Полагаем

где первый ичфимум бер згея по тс (/ таким, что а второй т&туя - по всем /» тмся;, 'что

4' 7- « У - 'V , 'V ■

<= / // />

. Теорема 3.-7.1, Идущий улииглшш ежмвмеиру: 1) Л - шюмиво едишхшшайаде лая Etp, п) . г) ¿f(A)*i . .

Когда ÁM- опорная функция ограниченной выпуклой области Q- , a J) * 1, теорема 3.7.1 - критерий полноты системы $(А) в области Q (теорема 3.7.Ю.

Утверждение, вИалогичпоо теореме 3.7.1, формируется и для пространства JE [fi h] целых функций ^ с индикатором-(при порядке / ) А/ (&) «г Á (0J е Тр (теорема 3.7.3). Из основной теоремы следуют также условий (не-)полноты системы экспо -пеит

{&Xf(CÁn%i)} ,«»1,2..........(16)

a просгранстве функций, непрерывных на отрезке.

Теорскз 3.7.4. Л - ( - U / - последовательность пзпар-

Ш РМДЙНШХ ЛЙМШШЯШЙ О ф А • Еш?

+ сю

( И V(Àn) - J. (15)

типун V ÎÇ. cjjcífMa (15) r.ti-чка £ uEfyfll. Обратдо. если ШШ? (Ш огракич.-на сверху. ÏQ. система (15) щш после удаления оцчой (jïiîi?) э:;споны-:ты .s. С Lr<*/ .

Наряду с результатами, фор,-^лирувмыми в терминах функций Пен-сена, методы главы Ш позволяют получать утверждения и более наглядные, Так с помощью конкретных функций йенсена и функций йвнеена порядка J> единым способом еы&одятся как известные, так и новые достаточные условия-для множеств единственности.

Последовательности '/1 - / Ап } , О <£/[ , сопоставим счита-юадто функция [3]

/1 с*-; £) :'Á(«afXi

/ ff^ Uni ^ t в p

где К £ Jy при некотором /з^ и fi > О' . Г1ри'этом 11кЧ = sr тял'{ £(&) & <= [РуЗм] j . Введем шкалу верхних -плотностей DT(A) последовательности А (они зависят и от

у АеУ} * , ¿ъо).

При О s: у с J> полагаем 'D(А) -

{¡Л

<С 1 1 фи у — полагаем ( Л) ~

= 1тг -у—- (сгн J---7-; я ' .

я ?-> тоо 1

При / полагаем Г) У* (А) ~

/ / о и 4 и /1/ (у) -

=7 <14**1

i .

В 5 3.8 доказывается следующая теорема единственности, сфор -мулированная во ееодном § 0. .

Теорема 0.6. Г)усть недаз Функция { <££ £ индикатором

к / (ДШ1 порядке у? ) оДрауавтед в нщ^ на до^ломтетцдосз^ Л

а А, -е к ^Г • /¿Г . и ¿щмкгш мад

вы од^о ИЗ следующих Т£е$ услори^

2) и >-5-

■ш/^ о

Если 1, то при ¿ '~ О и у <->-*<*<• соответственно условия I) и 3) "ашгееются" на простейшем условии вдои»гетеос?н

7— У / , ¿н

Ъ'^А™ >Т¥ [ . (г'>

аоторой является следствием классической форцулы йенсена £13 .

Условие единственности 2) -'один из основных результатов ра »

¡Зоты [з] . Условия I) и 3) является новыми и, в определенной е*э -

пени независимы от условий 2) и (17) (пример 3.8.1). Теорема един -г ¡'¡езнниЛч: 0, б темна г.ри любых к и к , в чем легко убедиться на примерах правильно распределенных последовательностей А

Из теоремы 0.6 следует широкий круг достаточных условий полноты системы $ (Л) в выпуклой области (2 в терминах ( $ )-

-плотностей последовательности /1 и геометрических характеристик области С ' (теорема 3.8.1). Дело в том, что если #(0) и

- опорные функции выпуклого компакта К и выпуклой области С , то величина л ^ к) - смешанная площадь Минков -ского множеств А и С [18] I которая при различных Д становится периметром, шириной в данном направлении, широтой, площадью или иной традиционной характеристикой области С • Дальнейшее пополнение набора достаточных условий полноты £ (А ) в (2 возможно за счет лзвестиис соотношений между геометрическими характеристиками выпуклих множеств, которыми богаты теория выпуклых множеств [18| и интегральная геометрия [16] ,

Возможности и особенности общего подхода к описанию множеств (не-)единствекиости демонстрируют новые неконструктивные доказательства теоремы Рубеля - Тейлора - Майлза о множествах единственности дл',. алгобрк функций конечного /\ -типа (§ 3.3) и теоремы Бер-линга - Мальлвена о радиусе полноты (§ 3.9). Первое доказательство получает развитие в главе У при исследовании множеств единственности в алгебрах целых фунюдай 'многих переменных, а второе оказалось шлейным для получения теорем "неединственности в терминах разбив -най и для исследования устойчивости полноты систем £ (А ) при сдвигах показателей Л (55 3.10,3.11).

Теорема 3.10.1. Цуу^, %({)' -• розгастающал фракция, /^ о , •(/9) ^ 1 , " рэдбиен^е глоскости (2 на непервеекаю -

щ/еся борелеэсуие шклсесуда. = 1,2,..., т.е. (Ц -• и -О Н

*\ЯК I ^ .#ик) * ¿«/-и да . кк -

- расстояние ру куу-ц до - диаметр .

пусть р - субгармоническая н е отт;иратья"ш ая функция, уцовлстро-

рястуая условию

*ир р(г) С Р(г> + С г £ €

£Д£ С - ростопннпд. ^лгрбрг. Хермандера Др состоит шв целщ МШШИЁ ^ » удовлетвордащих неравенству //(¿.>\

^ Се-<лр С{ , г £ С %' С / - постоянная .

1£Л£ /1 ~ последовательность Комплексных чисел и для некото-

рой постоянной А выполнены оценки /1 (-Г2А.) АyU'р (St#) ,

к =1,2.....то у] - множество неединственности МЗ— Ар •

Аналогичный результат справедлив и для пространства Теорема 0.6. Пусть k <i Jfi , ki(tV>0 , &<ь Toi1,за

MS любого числа «''</ найдется такое, что,- как толькд раз-

биение удовлетворяет условия < ,

любая последовательность /1 , удовлетворяющая оценкам /1 j -S (ßk) Л2Й достаточно бо.чьсшс К , Г£5_ /<и~ рас-

пределение масс функции ¡-¡(reieJ-/-¿с l(0 '. явля -ется множеством неединственности для £lP, к) - ' J

Из результатов об устойчивости полноты систем экспонент отке -тим обобщение теоремы Александера - Редхеффера {19] из 5 3.II.

Пусть Д - выпуклый компакт в (£ , А (К) - пространство функций, голоморфных во внутренности К (если ока непустая) и одновременно непрерывных на /( с естественной -нормой,

,9 дополнение в (¡J максимальной области гармоничности функции '

Н(с CiV > - kiO) z. , к (-01 - опорная функция для К , d(2, SV- расстояние от г€<С до S"•

Говорим, что система ¡V ( /]) полна в А (-К) с точностью до а экспонент, если после присоединения К различных экспонент i^Zp А 2 с показателями Л 4 А новая система полна в Аа).

Теорема 3.II.I. Пусть /\ - //1И/ и Г - /ук} - последовательности в (С- , каждая из которых; состоит щ попарно различны^ . чисел. Если система £ полна в А (К) и выполнено условие'.

то система £ (Г! полна в А (А) с точностью до двух экспонент.

Когда К - отрезок, теорема 3.11.1 дает ослабленный вариант теоремы Александера - Редхеффера для пространства непрерывных на А функций.

Глава 1У„ Теоремы о наименьшей мажоранта и £ мультипликат ере. При доказательстве основной в главе Ш теоремы 3.2.1 один из глав -них моментов - применение теоремы П.Кусиса о наименьшей супергар -монической мажоранте з С [91.В (9I она доказана методам!, специфическими для комплексной плоскости, и приведена как самостоя -тельный факт без каких-либо применений.

В 5 4.1 теорема П.Кусиса особачатся сразу в нескольких на -правлениях. Это обсбиепие опирается на метздн фитюиалмюп» ана-

лиза и общей теории потенциала.

Цусть (2 - область в ¿7 , А^ - конус положительных борелев-оких мер с компактным носителем в С•

Определение II . Мера ^и называется выметанием ме-

ЕМ У (£'/¿{(2 (ришем у -?¿и ) если для любой плюрисубгармони -ческой £ С функции и выполнено неравенство £ и с/у £ иЫ^ь Грусть Е - функция, определенная в С , со значениями в + . Функцию

{7)1 г (и а) : р - и на С/

называем наименьшей плюрисупергэрмонической мажорантой функции

Г

в С .

Теорема 4.1.1 (о наименьшей мажоранте). Пусть С - область в У,п и Функция /-" локально интегрируема по мере Лебега, полуне -прерывна сверху в С и удовлетворяет условию

¿ю С /о/'Уг) - Р(г) , С,

г-* с?

где Си1г>~ единичная масса, равномерно распределенная в шаре (у/л? ?. Тогда р¿г Г ка С и для любой меры )} (1 выполнено ра-

венство

( ТЛгРек1) - Пса \ FdyH .

У V - .

В случае, когда С - (С , )>- Зг - мера Дирака в точке ,

■непрерывная в функция, теорема о наименьшей мажоранте -в точности теорема П.Кусиса из [9] .

Применения теоремы о наименьшей мажоранте осуществляются через следующую теорему, которая при и = ¿0^ , /- целая функция, становится теоремой о существовании нетривиального мультипликатора из Н (С") , "погашающего" рост ^ .

Теорема 4.2.1 (о мультипликаторе). Пусть и. - субгармоническая. /М - непрерывная в области СС. функции.

Если мера у ггтакова, что всякая плюрисубгармоническая Функция на р у -интегрируема, и существует функция А € Н (О , (г Ф О , такая, что и + Со^ \к[ ^ М на С . то

^Ф ^ (к-М)^/г (18)

у-у е

Обратно, если и - псевдовыпуклая область и для некоторой не-

нулевой меры у (г ,0-р выполнено (1й), то найдется голоморфная д Сг функция ф О такая, что для любой точки £ <= О и любого числа б , £> -< йГ -< расстояния от г до границы области С, .выполнено неравенство

к(гН Иоа\кш\ < лир М С у (( + 1*1 -Л^б.

/ 1г-

Глава У. Применения теоремы _о мультипликаторе к целым и меро-морфным функциям многих переменных. В § 5.1 получены условия нетривиальное™ идеалов \ СЕ) /) Ь , где Е - весовая алгебра целых функций в (£,п , в терминах распределения нулей функции Е~Н(€"), Функция А на (Г,К называется круговой, если А (г ехрО'^Ы = А(г) для любых 2££п, &

Пусть Д - непрерывная функция на , возрастающая на каадоц луче с началом в нуле, <3 & (¿Т,"'-'50] . Через ¿"_ (Л/Л) обозначаем, алгебру целых функций ^ , удовлетворяющих оценке / /(2) / с? А^ А г) t ? при некоторой постоянной ,

А{ . - постоянные. При Я = и для радиальной функцииЛал,-гебра £ (4 в) называется алгеброй функций конечного Л-типа [6] .

С"] • я

Теорема 0.12. Пусть Е <^ Н (€"} Е(0)$С. функция А для Е (А 01 круговая и удовлетворяет двум условиям

(Е) = 0 (А(*>) , 1г\-ы-0«;

( для любого ё > 0 существуот положительные постоянные б ,

Сп С2 хакие, что ¡г-Щ^б А(5г)^ С, А((?'£) + .

Идеал I(Е)ЛЬ^О) нетривиален тогда и только тогда, ко1*'ва существуют постоянные С > Сг И постоянная а/ с а такие, что

А/Р*(1>«С, А г С2 , ¿е СК; .

где

( гее

а АГ (~ число 11улей с учетом кратности целой Функциц Е+ (м) - ЕС и/г) от „дной переменно^ $ в круге <и/<я£ Если Ац) , / г С/ - функция роста, то £ 1А,а)~ ал « гебра, порожденная круговой функцией А (1*0 , £ /£ п. В этой сич туации'теорему 0.12 мо.чшо трактовать как описание дивизоров не единственности для алгебры Е (А, а). Положительный дивизор Л ,

- Р.д -

т.е. пару ~-{А,Ь, где А - носитель дивизора /[ , функция кратности, будем называть дивизором неединственности для простран -ства ЕС. НССЧ если существует целая функция такая, что носитель дивизора нулей У1/ включает в себя носитель дивизора Л , а функция кратности дивизора Л^ мажорирует функцию кратности дивизора /I на множестве А^ регулярных (обыкновенных) точек носителя А/ дивизора (пишем

). Если нулевой элемент не принадлежит носителю дивизора /I (пишем О^А ), то проинтегрированная считающая функция дивизора Л^ ' определяется равенством (4), где проективная площадь (с учетом кратности) части дивизора Л , заключенной в шаре /

■ Теорема 0.13, Пусть /[ - положительный дивизор в 0$А , ^ - функция роста. У1 - дивизор неединственности для £ ( А, ¿¡) торда и только тогда, когда для некоторой постоянной Я{< Л выпод -цено соотношение

¿М Л/л-а)/Л{в{£)

Этот результат является новым при п =• ■I и # <т+ а 1гри п>1 'и в случае Так, при и ¡X -т■*=> теорема 0.13 была из-

вестна лишь при условии медленного роста функции А или при специальном условии "сбалансированности" А I13] .

Методы § БД развиваются в § 5.2 - 5.4 применительно к целым функциям конечного порядка, где получены результаты, родственные результатам 5 5.1, в которых учитывается не только порядок роста функций, но и величина типа или кругового индикатора. Вещественно-значную функцию $ , определенную на единичной сфере ^ С*■> называем круговой, если = для всех £ <£ £

и &<=% . ■

Круговой индикатор плюрисубгармопической в С функции и конечного типа при порядке р определяется как [20]

Теорзма 5,2.1. Пусть р - целая функция в С* \ , $ -

- круговая непрерывная функция на . Если А*р /У/г) <г А'($) > 1 1(Е) найдется целая [функция ^ф о такая,

ЛИ ^У^/Л) ^ , Г£Г $п , где

величина

к f Y / J>> г- ,

Pip> - / _ . (I9)

■> I zip / .1 in hjs / jO < 1/x ,

- цаженьшая иа. возможных.

Этот результат нов и неэлементарон и в случае п, » I. Определение. Dy£lb А - положительный дивиаар Е .

Хшшуы шшшр гр.адь чисел ? , для. которых суиесиауш: цель® функ-]Ш./фо шла не ет& б при нарядна / такие, чхр. дивизоры юс

рулей Л^^ А будем иаашши» экстремальным типом Соря, порядке /> ) дивизора А а абоаианаы- ем как б *(A,f).

В § 5.3 получены оценки экстремального типа положительного дивизора через тип (при порядке у ) считающей функции А/уу . Приведем здесь лишь основной результат $ 5.4, который дает точные оценки экстремального типа дивизора при порядке J> ^ I.

Теорема 0.1Б. Если шашавщаз ФУНЯВДЗ ошпшыааьшшо дщгарра А в £" имеет тип (з рри парадна. р , т.е. fen t'^A^it) - б и f е' i , то n-t °°

в « ¿*(A,f) **бР(/>) П Г 1+f/ZK) ' (20)

и эти оценки нйШ'чгааемы.

Нижняя оценка в (20) справедлива при любом у? . Основная трудность - в получение точной верхней оценки. Эта проблема при ¿) > / остается открытой. Тем не менее, пример 5.3.1 из § 5.3 иоказквает, что и при любом р верхняя оценка для ^ * (А,р) , вообще говоря, но меньше правой части в (20). В теорема 5.3.3 получена для любого р> о верхняя оценка для экстремального типа б*( А/ .которая строго меньше домнохскной на в'1""' правой части в (20).

В последнем § 5.С главы У рассматривается задача о представлении мероморфной фуг'КЩИ В <£"* , f

Дусть £ - меромор^нас функция в Р'', , (f-j'Через

7/7^ , t О , г <L об>5.'ia4aet. хараад-еркс»/^. Неганлим ны'мероморфной в ¿7 функции /, £(\ыг) одной переменной

weC.T/(v = T/а:*)';. , .

Теорема i).I6. Пусть для мероморфной в (L, функции /■ •я / , рыполнено неравенство Т/ (2-) •-< А (?) , С *» ХДй. \ - ШСР5Р''-!Ш ТРУГавЗР ^УМШгГ) возрастаг-пая m кагдем .*>у«е с. началом в ну£с_ и удовлетворяющая условиям ( L ) л ( А' ) из теорем« 0.12. Тогда длп любого £ > р HaRi^Tif цзлгго. Дункция tf и

0е'

такие, что ^- С?- /' а€ , выполнена оценка

^ ( ш\ + 1/гс (г:I) <■ Се А ((Г*с) г; +Се , ге£н (21)

где Се - постоянная, (С) - к^ (е)~ /.

Из теоремы 0.16 легко следует, что в (21) в качестве Л((<+()г) можно взять Ту ((1>- f)|г|) , где - характеристика Неванлин-

ны (теорема 0.17). Таким образом, наряду с тем, что по сравнению с известными ранее результатами в теореме 0.17 не требуется априорных ограничений, на функцию роста X в (5) и она выбирается минимально возможной - Л(Т) - Ту ) » теорема 0.17 ликвидирует степенной множитель в представлении Г.Скоды £14] и позволяет заменить постоянную В в (6) на постоянную, сколь угодно близкую к I.

Развитие теоремы 0.16 позволяет получить точные верхние оценки наименьших возможных круговых индикаторов целых функций & и к в представлении ^ ~О /к через круговой индикатор 0{ри порядке /•' ) характеристики , <Г'', совпадающей почти всюду с

характеристикой Т^ (?) (теорема 5.5.1). Если ЕМесто кругового индикатора ограничиться рассмотрением типа характеристики 7/ . то имеем следующий результат, новый и при Н => I. /

Теорема 0.18. Дусть { - меромпрфная в (Г"'функция, /(0)-/, и тип характеристики *Т/* (¿> , г £ {£'1, меньше £ Д£и попядке р. Тоща существуют целые функции й и ¡\ в " такие, что / ~ ф 'к й 1ип каждой из них при порядке о меньше Р(/о) 6 . где множитель р(р) 212 ' ' - накиечьмй из возможных.

''Для сдодок типа целых функций, участзуюедх в представлении ыерог'эр>)ной функции, через тип характеристики Неванлиньы вводится

Определение. Типом представления мероморфнэй функции ^ е при порядке у? бназьграть точную нижнюю "'рань чисел б .>0, для каждого из которых подобрать целые функции у и А типа мень-

ше 6 и.¡Ж порядке у? 'такие, что ^-^ / к, ♦

Точные оценки типа представления через тип характеристики Не-вшитинны удалось получить при порядке Л ^ 1. При о > I ситуация та же, что и в комментарии к теореме 0.15.

Теорема 0.19. Если тип характеристики Нэванлиннл /моро-морфной £ £ " функции у равен при порядке у с? I, то справедливы пеулучпаемые оценки

Г 1 И"'

Ь ^ I представления ¡, ^ г р(у) I ¡' (1 +

^ * ггрк порядке ° \ ■ У Глава >'1. Теорего единственности для функци;* многих, перемен -

пых. В последней главе аппарат функций йенсена на плоскости, разработанный в главе Ш, переносится на односвявныв области в Л* , Это дает общий способ оценок сверху площади нулевых множеств голоморф -ных функ1(Ий в областях из .

В § б Л исследуются функции и меры Йенсена относительно облас-та в JR*. )К

Определение. Q ~ односрязная область £ А , '< 5 3,

Функцию V , определенную в Ст^ {üi называем функцией Йенсена относительно Q И С , есл£ выполнены следующие условие:

1) V субгармонична и неотрицательна в Q \ {Оj ;

2) У(Ц) * .где

¡Ul - евклидова норма ЦЕ !RK \

3) рля любого £ > (? цайдется компакт h^CC Q 'jmcog, что

)/(Ь)*£ш. Ч £ С\/<е .

Оценки площади нулевых множеств голоморфных функций установлены в § 6.2.

Для голоморфной в Gc. (Г' функции ^ полагаем А? = /¿eQ] f i.2) - О / ^ £ _ функция кратности дивизора нулей

функции ^ , ^(¡>¿¿-2 ~ элемент {'2п-2 )-мерной площади на /// в евклидовой метрике.

Теорема ö.2.1. Пусть Q - эдносвязная область в £ , л> I,-OeQ 1 L< - субгармоническая. а f - голоморфная £ Q функции. ^■ф О I Ф'/нмш.я Ii ограничена в некотором шаре ß(£) -[zs.fc'S

1/1 <£} С. С - $ > s U llä С . 12 най-

дется постоянная С такая, что.

S Vffte,» "

4f\Biei с

для всех функций Йенсена V относительно Q и О , ti ~ преиеление масс функции 1( .

В качестве иллюстрации применений теоремы 6.2.1 получены новые теоремы единственности для цель« функций конечного порядка в

(с ограничениями на радиальный индикатор (теорема 6.3,1 из § 6.3 - прямое обобщение i,a ![_'" теоремы 0.6) и для голоморфных функций конечного порядка в единичном таре с ограничениями на тип. Приведем здесь лить, более просто формулируемый последний результат. Обозначим через Hg t/>y 6} пространство голоморфных В единичном ¡паре Sc: функций f , уцоьдзтзсрлкцих условии

■ 1ш1 (1-Ul)f 6 ; о

/г/-»/ *

Через л со обозначаем меру Хаусдорфа порядка }ц-2 множества А f)(t В) . где А с: В , о * i <* * .

Теорема 6.4.1 (единственности). Цусть Л С Я , Л >/ . Если / CHßlß/6 'У, для всех г€ А и для неко -

торого g >q выполнено хотя бы одно из следующих трех условий:

У

i)y и \ii- о*с/А (Н - + ~ ;

. 2) y=f>*1 и *

• —f-- \ i г-t)iolA(t) > ,—г, 6р(ю а);

-UfyLi z) \ (ti-i)! ~> s

ЗУ t^jf-zffi и (/-г/"^' ^ t*-i)<clAit) >

где ßiüji) - бета-функция Эйлера;

12 /W О.

Условие I) включено здесь для полноты формулировки. Его достаточность сразу следует из описания дивизоров нулей функций класса Неванлинны - Дкрбашнна

, полученного в [21] , так как

Hßifit]^ К< (й) для любого ^ •

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

I. Левин В.Я. Распределение корней целых функций. М. .-Гостехиздат, 1956.

?.. Гольдберг A.A., Левин Б.Я., Островский И.В. Целые и мероморфные функции //Итоги ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. 1991. Т.85. С.5-185. 3. Гришин A.S., иодин М.Л. Рост по лучу, распределение корней по аргументам целой функции конечного порядка и одна теорема единственности.//Теория функций, функциональный анализ и их прило -жения. Харьков. Вища школа, 1988. Вып.50. С.47-61.

4. Malllavln P. ,Eubel L.A. On small entire functions of exponential type with given zeros // Bull.Soo.Math.France.1961.Y.89, Jie.P.175-201.

5. Красичков-Тернояскпй И.О. Инвариантные подпространство аналитических функций. Н.СшктральшЙ синтез на выпуклых областях //

Мате М. сб. 1972. Т. 83, М. С. 3-30_

6. Bubel Ъ.A..Taylor В.A. A Fourier aeries method for meromorphlc and entire functions // Bull.Soc.Math.Trance, 1968.Y.96.P.53-96.

T. Mllea J.B. Quotient representations of meromorphic functions // J. d'analyse Math.1972.V.25.P.371-388.

. 8. Beurllng A.,Kalllavln P. On the closure of characters and t.hs ! ji zeros of entire functions // Acta Math. 1967.Y.118,JS1-4.P.79-93.

9. Koosis P. la plus petite majorante surharraonlque et son rapport avec 1'existence des fonctions entières de type exponentiel jouant le role de multiplicateurs // Ann.Inst.Fourier 1933.Y.33,.F.67-107.

10. Foiikmh Л.й. Целые функции // Итоги ВИНИТИ.Современные проблемы математики.Фундаментальные напрвленияЛЭЗб.Т.Э.С.Б-Зб.

11. Мэйар П.-А. Вероятность и потенциалы. М.:Иир,1973.

12. Го.пьдберг д,д о представлении мэроморфной функции в виде частного целых функций.-// Изв.вузов, математика.1973,ОТО. С.13-17.

13. Kujala И.О. Functions of finite type In several complex variables // Trans.At,sr.Hath.Soc.1971.7.161 .P.327-358.

14. SkC'ia H. Solution a croissance du second probl&ne de Oo'usin dens {Я

,// Aro.Irst.Pourler.1971.7.21,Й1.Р.11-23..

15. Леонтьов А.Ф. Шследсвателыюетя псжномов из 'экспонент. М.:Наука, -1Э30.

..(С. Сантяло Л. интегральная геометрия я пюттгтесгле вероятности. М. :Н?.ука,1983.

W. Хайман У.,Кеннеди П. Оубгармошчвскиэ функции. М.:Мяр,1500. (8. Лахтвэйо К. Выпуклые множества. М.:Нзуиа,1985.

19. Redheifer U.M. Completeness of sets of complex exponentials // Adv.ill Matlu 19TT.V.24.F.1-62.

20. Груман Л., Лвлоя П. Целые функции многих комплексны* переменных. М.: Мир,1589.

81. Двутов Ш.А. Денкин Г.М. Нули голоморфных функций конечного порядка и весовые оценки рошений д -уравнений.// Мытем.сб. 1378.Т.107, К2. СЛ63-174. .

основшз резужтлты лисоергации ошеликошны В СЛЕЛШЩ РАБОТАХ:

' ! 22.'Хебибуллш Б.К. О свойствах устойчивости полноты систем экспонент //

Исследоцант? го комллэксному анализу. Уфа. КВ.АН СССР.1987.С.I88-I96. £3. Хабибу-шш Б.К. Критерия яолноты системы экспоианг в неограниченной шпук.7ой области // Всесоюзный симпозиум по теории приближения Функций. Уфа .Баш ГУ ГЖН.СЛбЭ. '24 Хябибуллш Б.II. О росте целых фуякцй» экспоненциального типа вдоль мншой оси // Доклад АН СССР. 1938.Т.30?.,Й2.С.270-873.

25. Хебнбуллш E.H. о малости роста па микмой оси целыхфункций зксиа-н&тщальиого тияа с задашими нулями // Матем.зшетки Л38Э. T.43.JJ5. C.G44-G50.

26. Хвбибулаин B.II. О росте целых фугоадй экспопош^твлького г.ша вдоль тдаой оси // Матеы.сс!Л339.7Л30,.К5.С.70С 71Э. -

i;.7. Хабвбуллин B.II.'Выметание на систему лучей п целые 'функции вполне

1«гулярпого роста // Изв.All СССР. Сер.катем. I99I.T.55, JH.0.IB4-2G2. 2S. Хабибуллкн В.Н. Теорема единственности для субгармонических

функций конечного порядка //Матем.сб. I99I.T .182,№6. С.Й11- ь».

29. Хабибуллин Б.Н. О росте вдоль прямой целых функций эксшнен циального типа с заданными нулями // Aualyais Matnematica 1991. T.I7, №■ 3. С.34-44.

30. Хабибуллин Б.Н. Множества единственности в пространствах цели, функций одной переменной //Изв. АН СССР, Сер.ыатем, I99I,T.5i._ № 5. C.II0I-II23.

31. Хабибуллин Б.Н. Наименьшая плюрисупергармоническая мажорант и мультипликаторы целых функций. I.//Сиб.пат ем.журн. 1992. Т.33, № I. С.173-178.

32. Хабибуллин Б.Н. Наименьшая плюрисупергармоническая маяорантл и мультипликаторы целых функций. II. Алгебры функций конечнп го Д-типа //Сиб. мат ем. журн. 1992. Т. 33, № 3. C.I86-I9I.

33. Хабибуллин Б.Н. О типе целых и мерсморфных функций //Матем, сб. 1992. Т.183, № II, С.35-44.

34. Хабибуллин Б.Н. Оценки объема нулевых множеств голоморфных функций //Изв.вузов. Математика. 1992. № 3(358). С.58-63.

35. Хабибуллин Б.Н. Теорема о наименьшей мажоранте и ее применения. I. Целые и ыероыорфные функции //Иэв. РАН. Сер.иатем. 1993. Т.57, № I. С. 129-146.'

36. Хабибуллин Б.Н. Теорема о наименьшей мажоранте и ее.применения. П. Целые и мероморфные функции конечного типа //Изв.РАН. Сер.ыатем. 1993. Т.57, № 3. С. 70-91.

Подписано к печати 7/У1-93 Объем 2 лвч.л. Формат 60x84/jg Заказ 243 Тираж 121)

Ротапринт Баш.ун-та, 45007-1,г.У1|й,ул.Фрунзе.ЗЗ