Равномерно-касательные приближения аналитическими функциями, приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ЕРЕВАНСКИЙ ГОСУДАРСИЕННЫЙ ШСЗЕРСИТЕТ Специализированный совет К 055.01.12

На правах рукописи

СААКЯН РУБЕН ШВАЙЦЙКОЗЖЧ

?АЕНОГДЕЕНО-КАСАТЕЛЬКЫЕ ПРИБШИЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЙ!, ПРИЛОЖШ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации *=> соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЕРЕВАН - 1992

Работа выполнена в Институте математики АН Армении

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, академик АН Армении Н.У.АРАКЕЛЯН .

Официальные оппоненты:

Ведущая организация -

доктор физико-математических наук, профессор Ф.А.ШАМОЯН

кандидат физико-математических наук, доцент

A.Е.АВЕТИСЯН

Математический институт им.

B.А.Стеклова АН СССР

Защита состоится " ¿>иЛа_/и) 1992г. в. час. на заседании специализированного совета К 055.01.12 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при.НГУ по адресу: 375049, Ереван, ул.Мравяна I.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЕГУ. Автореферат разослан

"Зр» дМс^рЗ. 1991 г.

Ученый секретарь ^ ,__

специализированного совета ^Щ/^л] Т.Н.Арутюнян

общая характеризтика работы

Актуальность темы. Центральное место в творил приближения • функций в комплексной области занимают вопросы о возможности приближения. У их истоков стоят класытркие теоремы Вейерштрасса и Рунге (1885) о равномерной аппроксимации функций многочленами и рациональными функциями. Цикл исследований о возможности равномерных приближений многочленами, связанный с именами Уолша, Келдыша, Лаврентьева, получил логическое завершение в известной теореме С.Н.Мергеляна (1951). Дальнейшее развитие

■л

этого направления исследований приводит к задаче о возможности приближения функций, непрерывных на относительно замкнутом подмножестве Е. заданной фиксированной области ^ , и аналитических внутри Е. , функциями, голоморфными в 0 . В случае 0 = С -это задача аппроксимации целыми функциями, которая исследовалась в классических работах Карлемана, М.А.Лаврентьева и ГЛ.В.Келдыша, а в дальнейшем - С.Н.Мергеляна, М.М.Джрбашяна и Н.У.Аракеляна. В наиболее общей формулировке она была решена Н.У.Аракеляном (1968).

Позднее были получены новые результаты, примыкающие к теореме Аракеляна (А.Стрэй, Л.Браун, У.Шилдс, А.А.Нерсесян и др.). Они посвящены описаштэ класса аппроксимируемых на Е функций в случае, когда Е не является множеством равномерного приближения. Отметим, что в этом случае до сих пор не найдено достаточно простого и эффективного описания упомянутого класса, а его внутренние свойства мало изучены.

За последние десятилетия большую актуальность получили применения методов и результатов теории равномерных и касательных приближений целыми и более общими аналитическими функциями в ря-

де направлений теории анааятнческих функций (в теории дефектные значений Р.Невашганны, в тео^зз граничных 8начаи2Й, в аопрозаж аналитического продолжения„ в задачах разделения иля собараяня особенностей я т.д.).

Целью работы является; изучение виутрэкинх свойств класса Д^ (е") , функций аппроксимируемых на закчснутом подшюжествв Е области 5 Функцией!', голомэрфянми в & , изучение возможности к-^сательного при&шзаия на заагкнутых годаножествах басконзчно-сщзных областей типа Ь , некоторые прилозэшя -теорем о равномерном и касательном црЕйаиаениа аналитичеекшаа функция»®.

Научная новизна. Все результаты, получешшэ в диссертации, новые.

Теоретическая ценность проявляется: а) в получении обобщзн-ного принципа максимума для субгармонических фушерй; б) в получении необходимых, а в некоторых случаях и достаточных условий на семейство функций 9 сАс(е) , чтобы минимальная алгебра функций , содержащая ЯР , содержалась в глассг в) в установлении метрических условий, обеспечивающих возможность касательного приближения на подмножествах бесконечно-связных областей тлпа Ь ; г) в получении обобщенных вариантов классической теоремы Мпгтаг-Леффлера и факторизационной тасрега Вейер-штрасса.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семша-рах отдела теории приближений Института математики АН Армении, на Всесоюзной школе по теории приближений функций (г.Луцк, сентябрь 1989).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3-х работах.

Объем работы. Диссертация изложена на 72 страхшда и состо-

ит из трех глав по два параграфа. Библиография содержит 41 название.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Пусть I) - область в расширенной комплексной плоскости -.граница области \) .. Пусть, кроме того, ЕсР - замкнутое относительно области 0 множество, и Е - множество внутренних точек £ . Рассматриваются следующие классы функций:

С (Е-) - класс комплекснозначных функций, непрерывных наН. , А 00 - класс функций из С(Е) , аналитических в Е , .

- класс функций, аналитических в Р ,

- замыкание на Е класса НФ) в равномерной метрике, т.е.

; 0 Е

В этих обозначениях основная задача о возможности равномерного приближения аналитические в 0 функциями на замкнутом относительно Р подмножестве Е. формулируется следующим образом: при каких условиях на множество Е любая функция из А (Е) допускает равномерную аппроксимвцию сужениями функций, аналитических в I) , т.е. при каких Е

А„( Е)=А(Е)?

Определение. Множество Е. , замкнутое относительно области О , называется Кр -множеством , если для одното-

чечного компактного расширения 0 области 0 множество 044 Е. связно и локально связно.

Н.У.Аракеляном 1 доказана следующая основная Теорема А.

Как следствие этой теоремы им жо доказана

Теорема А*. Пусть Е* Кр , Е» 0 , *С(Е) , £>0

Тогда существует функция ^ Н(0) такая, что

|-[(г) — |<£(г) при -гб Е . (I)

Далее Н.У.Аракеляном^ поставлен вопрос об описании класса

АьОО

при Е $ Кр . Им, в частности, сформулировано следующее предложение: при 0 — С. некоторым обобщением принципа максимума удается установить, что функции из АрСЮ аналитически продолжаются на те компоненты множества Е , для которых бесконечность не является достижимой граничной точкой.

Отметим, что А.Стрэйем предложено некоторое описание класса

АпОГ)

Р , которое не будучи "внутренним", тем не менее содержит указанное утверждение об аналитическом продолжении функций из А^Е) .

1. - Н.У.Аракелян. Равномерные и касательные приближения анали-

тическими 4>ункциями. - Изв. АН АрмССР, сер. "Математика", 1968, 3, №№ 4-5 , 273-286.

■ «

2. - N.U.Arakelisn. Approximation complexe et proprie tes des

fonctions analytiques. - Actes Congres Intern.Math., 1970, tome 2, - p.595-600.

3. - A.Stray. Decomposition of epproiimable functions. - Lect.

Hôtes in Math., 1043, Linear and Complex analysis Problem Book, 1964, t.2, - p.225-238«

В .\паве I (параграф I) сформулирован и доказан нееоторый обобщенный вариант принципа максимума для субгармонических функций. Из него непосредственно следуют утверждения об аналитическом продолжении функций из* Ар(Е) в случае произвольных областей, а также описание оболочки множества Е. относительно области 0 , данное Л.Брауном и А.Шилдзом4, где под оболочкой понимается множество

на-

Для открытого множества /1 С С , множество С С С4 Л зовем достижимым из Л , если существуют точка € .0. и непрерывное отображение такое, что

где ^ - сферическое расстояние мезду точкой п множест-

вом е .

Пустое подмножество С С^Л естественно считать недостижимым из .

Имеет место следующее обобщение принципа максимума.

Теорема I. Пусть В - область в С и ¿сВВ , Тогда I. Если множество в не имеет достижимых из Ь компактных подмножеств, то для произвольной субгармонической в В функции и из условия

4. - L.Brown, A^L.Shields, Approximation Ъу analytic functions uniformly continuous on a aet. - Duke Math. Journal, 1Э75, 42, - p.71-81.

Шт Ж*) < °° ,2)

Ьче

следует, что /Л для всех £ £>

2. Если множество е имеет достижимое из В компактное подмножество, то существует субгармоническая в ^ функция -2/г/^У Н(&) , такая, что условие (2) выполнено, однако 2/ не ограничена сверху в В> .

Пункт I этой теоремы при € = совпадает с классическим принципом максимума.

Подкласс 4р [£) ограниченных функций из И^ГЕ) , очевидно, является алгеброй. Но поскольку класс А[) (£) содержит также и неограниченные функции, то интерес представляет вопрос о том, является ли класс алгеброй? Из результата об аналитиче-

ском продолжении функций из Е) на оболочку множества

С ..ледует, что при - алгебра. Однако сле-

дующее утверждение показывает, что в общем случае ДрСЮ не является алгеброй.

Теорема 2. Пусть Е- - относительно замкнутое подмножество области/)С С и Е-0^. Тогда существуют функции ^(г 4|>(Е.) , причем ограничена, такие что ^ ^. Более того, можно считать, что мероморфна, а ^ голоморфна в ¡) .

Для семейства функций

Ф через будем обозначать ми-

нимальную алгебру функций, содержащую .

Зададимся вопросом, что можно сказать о функциях семейства

ЯР(СРсАс(Е)), зслиАрС^СЕ^?

Пусть - круг |2Ы £ , Е^ - оболочка множества Е относительно плоскости

С и Е(?>Еии? . Пусть - за-

мыкание в С объединения тех компонент множества ЕС?), для которых о® не является линейно достижимой, и Ьу=ЕПЛ^ . Имеет место

Теорема 3. Пусть Е - замкнутое в С множество, а ЯР такое семейство функций, что . Если Кор^

^(£(£), то для произвольной функции ее сужение ^¡^

ограничено на при любом £ > О

Оказывается, что при некоторых дополнительных условиях на множество Е теорема 3 обратима.

Будем говорить, что множество Е удовлетворяет условию

(И)5

если а) Е°--0

в) С4 Е линейно связано

с) при любом 0 все компоненты дополнения к множеству , для которых со не является линейно достижимой, ограничены.Со сслкой на теорему} ^ доказываете«

Теорема 4. Пусть замкнутое в С. множество Е удовлетворяет условию (Н) . а ЯР такое семейство функций, что (Е)С ЯР С Д ^ ( Е") • Если для произвольной функции € Я0 ее сужение ограничено на . Е^> при любом £>0 , ^Глава 2 посвящена связи проблем граничных значений аналитических функций, в частности, проблем единственности,' с вопро- . сами о касательном приближении. Известно, что свойство единст-

5. - Нерсесян А.А. О функциях, аппроксимируемых на замкнутых

подмножествах комплексной плоскости. - Изв. АН АрмССР, сер. "Математика", 1987, ХХП, № I, 64-74.

6. - Ь.Brown, P.Ii.Gauthier, Seidl W. Possibility of complex

approximation on closed sets. - Math.Ann. 1975, 231, -p p.1-8.

венности связано o невозможностью аппроксимации аналитическими функциями, т.е. о касательном приближении имеет смысл говорить лишь в областях, не обладающих свойством единственности.

В § 2 тлавы 2 получены метрические условия для областей неединственности и подтверждение одного предположения об областях

7 '

неединственности, выдвинутого А.А.Гончаром .

Цусть - открытый круг радиуса f с центром в точ-

ке , - система кругов Kj= , где -

- д К(0,1) , KjC К(0, >1) , Kj П К{ = 0t i ф j . Бесконечно-связная область

называется областью типа L

Говорят, что область Л типа L обладает свойством единственности, если из условий

{«А (Л)

при

следует, что = О .В противном случае говорят, что область Si. обладает свойством неединственности.

о

А.А.Гончар, пользуясь известным методом Вольфа , получил не- ■ который общий результат метрического характера об областях типа

L , обладающих свойством неединственности. Из него, в частности, следует, что:

7. - Гончар A.A. О примерах неединственности аналитических функ-

ций. - Вестник МГУ, сер. мат. и мех., 1964, № I, 37-44.

8. - Wolff J. Sur lea series 22 Ak.(,Z"~ dCi^)"*'1 ~ Comptes

Rendus, 1921, 173, - p.1327-1328.

доя любого & >2 существует замкнутая область Л0 •^»'''л ^

! Т

типа и с условием

Т5,

' <°° (3)

СМ

которая обладает свойством неединственности.

Им же отмечено, что при = ^ это утверждение теряет силу. В связи с этим А.А.Гончаром высказано предположение , что вышеупомянутое утверждение верно для любого £ > ^ . Мы доказываем одну общую теорему (ниже теорема 5) метрического характера об областях неединственности типа Ь , которая позволяет подтвердить это предположение.

Рассмотрим подкласс областей типа 1-» . Пусть ^к^-о ~ по~ следовательность чисел при о« и ^Ик^ - по-

следовательность натуральных чисел при к->°о . По-

ложим

К=0

и пусть \^к\к=о ~ П0СлеД0ВателЬЕ0сть чисел, таких, что

Обозначим через совокупность корней уравнений ^ -

и для $G■(0>1J рассмотрим замкнутую область

-Заявляющуюся областью типа Ь • Положим

Ы 1 ы 1

Теорема 5. Пусть параметры ^, «к и таковы, что

Тогда область ^(ОЛ облада-

ет свойством неединственности.

Доказательство этой теоремы основано на модификации доказательства известной теоремы Вольфа о предствалении функций голоморфной в ограниченной замкнутой области. В связи с эт*ш в § I главы 2 приведен модернизированный вариант метода Вольфа в случае единичного круга.

Пусть функция - -С0 голоморфна на замкнутом единичном круге К, . Тогда она голоморфна в некотором круге ^^ , > 4 . Рассмотрим последовательность чисел , / , и

положим ^ - , к- --- . Кроме того, рассмотрим также последовательность натуральных чисел , -* <=*=> при

к.-* о° и пусть /^Ч///V/ - корни уравнения ^ - Л*. . Положим

Теорема 6. Пусть указанные выше параметры /¡V и Дк таковы,

что

иу

<+оо. (5)

К=1

Тогда любую функцию (-Й(К^) можно разложить в в рад по простым дробям вида

Як А .

/ю-ЕГ-гИг-

сходящийся абсолютно и равномерно на компактах из Ку .

Если же при некотором целом р^О выполняется более сильное, чем (5), условие

(7>

то ряд (6) мс;.шо почленно дифференцировать р раз )

причем ряды (8) сходятся абсолютно и равномерно на ^ .

Заметил, что утверждение об"абсолютной и равномерной сходимости рядов (6) и (8) соответственно внутри К< и на следует из оценок

к

где М^О - некоторая константа

^ Осуществив конкретный подбор параметров и перенумеровав соответствующим образом ряд (6), приходим к теореме:

Теорема 7: Пусть «Д ^ О - монотонно убывающая на[4,4со) функция,удовлетворяющая условиям,

х)

д(-ИсН:<4оо»

s;

Jim =

+ oo

Тогда любую функцию Иможно разложить на К^ в равномерно сходящийся ряд вида

К-сА-^к,

»иг-4

притом так,чтобы коэффициенты Ап\ удовлетворяли оценкам

|Ам1<Аехр(-ЬтД(Со^-)), А,Ь>0- его)

При этом ряд (9) можно почленно дифференцировать любое число раз. и дифференцированные ряды будут сходиться равномерно на К^ . Из (10),подходящим выбором функции А .получаем оценки

усиливающие известные ранее оценки для коэффициентов Awi • Приближения вида (1),где £(z)-w О при

»принято называть касательными (или асимптотическими). В частности, теорема Ак дает ответ на вопрос о возможности касательного приближения в случае Е°-^ .В свою очередь,А.Стрей^указал ¿а

9- - A.Stray. On uniform and asymptotic approximation. -Maih. Ann.,1978,234, - p.61-88.

ва необходимых для касательного приближения условия в случае епустых подмножеств Ё :

а) Кр

б) гармоническая мера Е5) равна нулю. Для од-освязных областей эти условия также и достаточны. Однако в об-;ем случае это не так. А.Стрэйем также показано, что для каса-'ельного приближения в бесконечно-связных областях эти условия ;остаточны, если только диаметры компонент множества С^Р ограничены от нуля в сферической метрике. С другой стороны, наличие |бластей типа Ь , обладающих свойством неединственности, дает основание полагать, что в некоторых случаях ограничение на комитенты множества С4 0 можно ослабить. Имеет место

Теорема 8. Пусть -Л - область типа Ь , параметры ,

^^ и которой удовлетворяют условию (4). Пусть Е -

¡амкнутое относительно .П- подмножество равномерного приближе-шя, не имеющее предельных точек на сХН^Тогда Е. - мно-сество касательного приближения в -П. .

Глава 3 посвящена некоторым приложениям теорем А и А* . 1сследования, проведенные автором, показывают, что теоремы при-

Злижения являются подходящим инструментом для получения обобщении вариантов классической теоремы Миттаг-Леффлера о восстановлено! мероморфной функции и факторизационной теоремы Вейерштрасса.

На вопрос, насколько произвольным можно задать исключительные множества в теореме Миттаг-Леффлера, более или менее полный ответ дает следующая

Теорема 9. Пусть С 41 0 - относительно замкнутое подмноже-гтво области Л.^ £ , ^ _ окрестность. € в Л (есоОсЛ)

Тогда существует функция такая,

что Г~ 4 аналитически продолжается из ^^^ на .

Эта теорема, в свою очередь, дает возможность доказать еще одну общую теорему, которая может быть интерпретирована как обобщение факторизационной теоремы Вейерштрасса.

Теорема 10. Пусть <? и -_относительно замкнутые подмножества одноовязной области Лс <С и ессо". Пусть

и нули не имеют предельных точек на .

Тогда существует функция > не имеющая нулей на

и такая, что отношение голоморфно на С<3\<2 , до-

пускает аналитическое продолжение на в и при этом не имеет нулей на СО .

В заключение выражаю свою глубокую благодарность моему научному руководителю Н.У.Аракеляну за постановку задач и оказанное внимание.

»

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в:

I. Саакян Р.Ш. Об одном обобщении принципа максимума. -Изв. АН АрмССР, сер. матем., 1987, ХХП, № I, с.94-101.

2..Саакян Р.Ш. О некоторых применениях теорем о приближении аналитическими функциями. - Изв.АН АрмССР, сер. матем., 1989, ХХ1У, & 3, с.259-268.

3. Саакян Р.Ш. Об одной гипотезе А.Л.Гончара. - Изв. АН АрмССР,-сер. матем., 1989, ХХ1У, Л 5, с.510-515.