Равномерно-касательные приближения лакунарными степенными рядами и квазиполиномами со специальными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ЬРЬЧиЪГ1 И^и^иЪ <Щ_ГиШШЧ!Ъ / ч- ЙЬлШср]1 {1ГШ1]п1&Гп1[

УДК 517.53 ¿Ш'ПМКтКьШ, ЧиД1'Ъ1).«Ф

¿ццииириэцФ-апаиФПМгцзьъ ипвирмпмгььп шипьъип циБьаиъизьъ еипеьппи ьч ¿авпьм чппэичьв'иьрпч ашшьридии'ьаииъьрпч

V ш иЬ ш ¡¿¡1 ш п 1р¡п Л (г* 01. 01. 01 — 3 ш^Ь ¡5 шт^ЦщЦшЬ шЬшфч

Зф^^ш-й'шрЬи'шт^ш^шй сфттр^ЬЬЬгф рЬ^&ш^пф ^[чпш^шГ« ишигфСшС[1 Ии^дгГшй штЬ(ии[ип11П1р]ш11

и и у а ч. 1- р

ЬРЬ^1кЬ — 1996

ЕРЕВАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517.53

Арутюнян Гоар Вагинаковна

РАВНОМЕРНО-КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ЛАКУНАРНЫМИ СТЕПЕННЫМИ РЯДАМИ И КВАЗИПОЛИНОМАМИ СО СПЕЦИАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Специальность 01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЕРЕВАН—1996

Работа выполнена на кафедре теории функции Ереванского государственного университета.

Официальные оппоненты:—-доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник

БАРСЕГЯН Г. А.

— кандидат физико-математических наук, доцент

ДА НИ ЕЛ ЯН А. А.

Ведущая организация — Ереванский государственный

Ьр<М<£4*£рный университет

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор

МАРТИРОСЯН В. А.

Защита диссертации состоится « М » Об 1996 г.

в « 15 » часов на заседании специализированного Совета 050 при Ереванском государственном университете но адресу: 375049, г. Ереван-49, ул. Ал. Манукяна, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ереванского государственного университета.

Автореферат разослан « ÍO» О 5 1996 г.

Ученый секретарь специализированного Совета, кандидат физико-математических наук, доцент

* ™ АРУТЮНЯН Т. н.

-математическ!

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Известная в теории лрзблизеннй дроблена возможности комплексной полиномиальной аппроксимации была исчерпывающе решена в 1951 г. С.Н.Иергелянои.* Ео решение, о одной стороны, послуашо основой для глубокого и детального исследования вопросов о возиожностн равномерных а каоательных приблиаепнй в комплексной области целый и функции. Такие приближения впервые рассмотрел в 1927 г. Т.Карлецан.2 В дальнейшей теория возиоиности равномерных н касательных прибшшений целыми и более обцими голоморфными в фиксированной области функциями было разработана в работах Ii. А Лаврентьева, У.В.Келдыша,

H.У.Аракеляна и других авторов.5 Решение проблемы комплексной полиномиальной аппроксимации,с другой стороны, способствовало активизации исследований более сложных вопросов о возможности равномерных приближений на компактах комплексной плоокостн многочленами с пропусками. Эти вопросы берут начало от известной теорема Мюнцэ,^ установленной в 1914 г. К настоящему времени здесь получены ряд законченных результатов как для специальных классов компактов,^9,10 так н для общих компактов -аппрок-

I. С.Н.й1ергелян. О представлении функций комплексного переменного рядами полиномов на замкнутых множествах. ДАН СССР,76, 10, c.4Û5-408, 1951.

2. Т. Cariernan. Sur un thêorérae de Weieratraae, Ark. Mat. Astron. Pye., 20, N p. 1-5, 1927.

3. N.U. ArakeljJan. Approximation complexe et propriétés des fonctions analytiques, Actos Congrès Internat. Math., t. 2, p. 595-600, Nice, 1970, Gauthier-Villare, Parie,-1971.

4. C.H, MüntE, Über den Approximationsatz von Weierstrass, H.A. Schwarz Festschrift, Berlin, S. 303-312, 1914.

5. A. Beurling, P. Malliavin, On the closure of characters and the.zeros of entire functions, Acta Math., 118, p.79-93,1967.

6. J.A. Siddiqi, Approximation polynomiale sur un arc dans le plan complexe, Compt. rend. Acad. Sei., 277, N 15,p.731-733» 1973.

7. J. Korevaar, Laoynary forms of Walsh' approximatioa theorems, Труды международной конференции по теории приближения функций, с.229-237, Калуга, 1975; Наука, М., 1977.

санации.**'*2 Таким образои, достигнутый в выделенных вше разделах теории комплексных приближений уровень развития естестве во подводит к необходимости исследования возможности равноиарн касательной аппроксимации целыми (голоморфныыи в области) функ цияии, имеющими данунарные сгал'енныа ряды.

Важное значение для теории функций «тело исследование Bonpi сов о возмоянооти равномерного приближения на компактах вецесг венной оси полиномами с целыми коэффициентами.*^ Аналогичные в< просы для квазиполиномов по системе йюнца с целыми коэффициент! ии были изучены в 70-80-х родах рядом авторов. ».1 * это»

8. р. На11lavin, J.л. siddiqi, clasaes de fonctions monogenes e approximation par deß воштвв d'exponentiellen виг un arc rec fiable de с, compt.rend.aoad.oci.,282,n 18,p.1091-1094, 1976

9. J. Korevaar, Münte approximation on arcs and Macintyre exponents, dect. Noteo Uath., 7*71 p.205-218, 197910. J. Korevaar, R. Zeinetra, Transformées de Laplaee pour les

courbles a pent bornée et un résultat correspondant du type UüntE-Szaez, Conpt.rend.Acad.sei.,301, I. 14, р.695-69а,19Ь5.

11. Н.У.Аракелнн, В.¿.Мартиросян. Равномерные приближении на комплексной плоскости многочленами с пропускай«. дАН ÙJCP, 235, к 2, с.249-252, 1977.

12. В.А.Мартиросян. Ü равномерном комплексной приближении иного членами с пропусками. Ыагем.сб.,I2ü(I62)с.451-472,1983,

13. А.О.Гельфонд. Ü приближении иногочленаии со специально выбранными коэффициентами. УШ1,т.21,1еЗ,с.225-229,1%б.

14. В.А.Мартиросян. О равномерном приближении иногочленаии по системе Шонца с целый« коэффлциентэми. Изв.АН Apu.CUP.cep. математика, Уа, 1е2, с.167-175, 1973.

15. В.А.Цартиросян. Равномерные приближения нвазишш:иоиами с целыми коэффициентами. аат.ээиетки,т.27,с.257-243,1900.

16» О. Perguaon, U. Golitachek, Münts-ßzasc theorea with integral coefficients, Trana. Аяег. toth. Soc., 213, p.115-126, 1975.

17. J. Tsinbalario, Approximation by generalised polynomials wit integral coefficients, Can. iiath. Bull., 20, К 1, p. 129-131977.

язи представляются интересными более общие вопросы о равно-рнои приближении квазиполиномами, имеющими коэффициенты из

перед заданного множества.

Цель работы:

I.Исследовать возможность равномерно-касательного приблнке-на двух классах кривых комплексной плоскости голоморфными «цияии, ииеющики лакуаарные степенные ряды.

¿. Лссдедовэгь воамокность равномерно-касательной лакунвр-1 аппроксимации аэ множествах Карлемана с непустой внутран-:тью.

5. .¡зучить возмоздость равномерного лрзближения квазиполными с коэффициентами из нвлеред заданного множества.

■Методика исследования. В диссертации используются методы и >ультаты комплексного и вещественного анализа, функционально-энализа.

аэучнэи новизна и практическая ценность. Все результаты ■сертации являются новыми. Работа носит теоретический хэрэн-и мо;<ет найти применение в теории функций одной и несколь-комплексных переменных, в функциональном энвлиаа и т.д. Апробация работы. Основные результаты диссертации доклады-ись на семинаре комплексного анализа КГУ (руководитель -д.Н.У.Аракелян) и на конференции ло комплексному анализу и лощениям (1У95 г., Нор-Аыбврд).

^уоликация. Основные результаты диссертации опубликованы в

отэх 1-3 .

и:т;.'.укт;/1.'а и объем работы. Диссертация содеряаг 67 страниц лнописного текста, включающих введение, две главы и библио-¿ический список, содержаний 38 наименований.

СиДсДЧ^Ш РАБОТА й § I главы I исследуются вопросы о возможности рэвномерно-агельных приближений на двух классах кривых из конечной яомп-сно»> плоскости целыми (голоморфными в круге) функциями,прад-вииыыи в окрестности нуля лакунарными стеленными рядами. Для инокествэ Е из $£нвчной комплексной плоскости С будэа значать\через »Е и соответственно внутренность,

ницу, зэмыквние и дополнение в . ПустьС(Е)~ множество

всех няпрерывных на Е коиплекснозначншс функций. Для компакта Ес^ (D пусть А(Е)- банахово пространство всех непрерывных наЕ и голоморфных ва его внутренвооти коипдеиснозначшзх функ ций с нормой|£| = s^p|f|(E) • Дадаа. для области п на расширенной комплексной плоскости (С пусть Ц ( СХ) - множество всех голоморфных в 1 1 функций. -Полоши:

0^={ге (С :W<x}. для о<ч.<+- оо в при эхом считаем 0 ша Dx,^3 С- соответственно

случаям или +©о, г -чоо ' .

Для подпоследовательности Ц — L из обозначим череэ Д ( Q) ее плотность, т.о.:

в черезДтСгч ( Q) , Дюаа* (Q) обозначим соответственно ее минимальную и максимальную плотности в смысле Г.Полна.

Пусть Го - кордвнова дуга из кругаDg. « СХРч^^+оо, соединяющая начало координат с 3 D R. и состоящая из конечного или счетного числа гладких дуг У" удовлетворяющих у оловиям:_ ик

а) дугэ 1 0 пересекается с любой окружностью О только один раз;

'б)-в любой круге ,0<СЬ<гч, содержится лишь конечное число дуг ^ ;

••■ с) каждая дуга V в любой точке tL'£ с пересекающей ее окружностью У D i^i * образует угол, который больше некоторого числа <к€. (0,9r/d,) , где оС не зависит от У и от К . Для дуги Г~0 и числа mgf5^ полонии:

E»VWf --

CD

Для множества Е.ти для чисел , си, где ,

полонии:

Для подпоследовательности Q = ^С^^^.00^f\| обозначим:

—вК(тоо1т)] , к = 0,-1, • • • .

Основными резулматаыи § I главы I являются теоремы I, г. Теорема I. Пусть ^ , £, - произвольные функции из С(Е™)« 1ричеи £, положительна на Е.*,» 0- ~ подпоследовательность из , удовлетворяющая условиям:

У^1=оо при К=и,1.....пп-!.

О. к. 1_] / г\ N

огдэ существует функция о £ Мчир/ • представииэя степенный

1Ядоы вида:

оо

■акая, что:

{с*.)- < иг) для г е Ет • (3)

В теореме 2 рассматривается более широкий класс кривых ап-роксииэции.

Пусть Ет- ынозшство вида (I), гЛе I < (К = 0,4,-4)-юр-,ановз дуга из круга Оя без самопересечений, соединяющая нэ-¡ало координат с ЗОя «П "'{О} приК.^ и и удовлетво-ню1Д8я условию: существует последовательность окружностей

I такая, что Ч^Т к при П—> схз и любая ересекает I к только один раз. Пусть 0(О - изксииапьный аствор тех открытых дуг, из которых состоит ынокество:

Теорема 2. Пусть г , Ь - произвольные функции из

ССЕт),

ричеи £, положительна на Ет» ^ ~ подпоследовательность з ГЧ * удовлетворяющая условию:

Д^да^и-е/гзг, е-^е^)-

огдэ существует пункция ^-^НСС1!?.) . лредстааиыая степенный ндом вида (2) и удовлетворяющая (3).

Б § 2 главы I исследуются вопросы о возмогшости равноиерно-асательной аппроксимации на множествах Карлеывнз с непустой

- 8 -

внутренностью. -

Пусть п - область из . Относительно замкнутое собственное подынок0ство называется мновдством Кар-

лемана, если для любой функции ^ и £,- , где А(Е) и 6€С(Е) > £>0» существует функция ¿Н( О) такая, что:

для геЕ ^

Примеры мноеэств Карлеыанэ для случая, когда впервые найдены в 1927 г. Т.Карлецаноы и в 193? г. А.Рот.18

Дальнейшие исследования, проведенные в работах «¡.¿.Келдыша, М.А Лаврентьева, Н.У.Аранелян8, Л.а.Готье, А.А.Нерсесяна и других авторов, привэли к характеризации этих множеств19'^1^'^1 •

Чтобы сформулировать соответствующий результат, введем некоторые понятия. ___

Для произвольных непустых множеств А » В из С обозначим через 6) их сферическое расстояние:

18. A. Roth, ApprozimationBeigenschaften und Strahlengrenzwerte meromorpher and ganzer Functionen, Comment. Math. Helv., Ed. 11, S. 77-125, 1938.

19. С.Н.Уергелян. Равномерные приближения функций комплексного переменного. УИН, te 7, !ё ¿(46), с.31-122, 195г.

20. М.В.Келдыш, М.А.Лаврен1ьев. Об одной задаче Карлемана. ДАН СССР, т.23, М 8, о.746-748, 1939.

21. Н.У.Аранэлян. Равномерные и касательные приближения аналитическими функциями. Изв. АН Ары.СОТ.Латеиатик'аЛ'.З, c't-i, с.273-285, 1968.

22. P. GautMer, Tangential approximation by entire functions and functions holonorphic in a disk , Лзв.АН'Apu.UGP. Математика. Т.4, 5, о.51Э-5гь, 19о9.

23. А.А.Нерсесян. О множествах дарлецикэ. ,;зз. as. л^а.СОг'. ми-теиатика. Т.о, to 6, с.465-471, 1971.

- у -

Для каждого числа О положим: окрестность границы области

а __

Определение I. Пусть Р - компактное подмножество из(С-^ С \ Р » лусть ^ - непрерывное отображение лолуог-{рытого интервала СО, А ) , в (£, , для которого:

Гогдэ мы скадсзи, что £ соединяет I с р .

Определение '¿. Произвольное (относительно) замкнутое юдмноасество Е-СИ-О. называется -множеством (Е € С К)) >

эсли кэадой точке 2. £ Е соответствует непрерывная

<ривэя ^ такая, что:

а) у соединяет ^ с

6г Га

б) для любого £_>■ 0 существует такое, что при

следует сХ/£СЭО).

Отметим, что свойство множества Е быть ^ -иножеством упускает равносильную переформулировку. Именно, пусть СУ* —

- одноточечная конпэктификэция области п. :огда условие Е € (К) означает, что множество О. \Е связ-ю и локально связно в точке оо .

Определение 5. Произвольное (относительно)замкнутое лод-шонество Е С О. удовлетворяет условию А(Е€(А)), >слп для любого £. > 0 существует

сГв (О, Ь)

такое, что

оадая компонента связности множества Е иокет пересекаться

только с одниы из множеств

Упомянутой выше характеразацией множеств Карлемана является глвдующэя:

Теорема А. Произвольное (относительно) замкнутое подмножество ЕС -О. является множеством Карлемана, тогда и то-1ько тогда, когдэ Е €: ( К ) и Е ё (А) .

Основным результатом § 2 главы I является: Теорема 3. Пусть 0,С.[%1 - подпоследовательность с ¡лотностью Д((3)= , О. С. (С' - односвязная область

oOeQ ,Ec л - множество Карлецана, удовлетворяющее

условиям: с ,

а)O^F " 0 fc oEn при* =1,2,..., frie ГС г- о \tLrv;,, - коыпоненгывнутренностн ц ^

б) каждый компакт иг 12 нот? пересеквтьЬя только о конечным числом множеств р .

ТоГДО ДЛЯ произвольных фуНКЦИЙ -j, и, С » где CL-/ и

в С-СЕ.)- положительная, существует, функция ч £ Н i-Cl) виде (2) такая, что:

при L .

Б главе ¿1 изучается воаиоаность равномерного приближения квазиполиномами с коэффициентами из наперед заданного множества.

Лусть » {ап}7 " C3Pürü монотонно возрастающие

последовательности полокительных чисел, причем:

оо у СХ^п •+ i ~~~ CL' ^

П—J 4 '

Квазиполиномом по системе функций

-a.-o.xx>;

^—>оо

где А\>0 - постоянная.

г а п ( /л _л ^ ^

I J о

будем называть конечную сумму вида:

\о=о

с произвольными действительными коэффициентами р , Уу =0,1,.

т . Обозначим СкЕ^ДЗ подпространство »

состоящая из вещественных функций. По известной теореме Мюцца мноЕество всех квазиполиномов по системе функций

плотно в пространстве С^&Л] (л^О) , хогдэ и только тогда, когда:

^^ =°° (5)

Возникает вопрос:V какой форме сохранится георема Минце, осли у аппроксимирующих квазиполиномов по системе допус-

( 100

кать коэффициенты только из множества {^-Р^*/., ? Отметим, что частный случай указанной задачи, когда

CI IN( т.е. рассматривается аппроксимация квазиполиномами с целыми коэффициентами) изучался в ряде работ.

Глава П диссертации посвящена изучению Сформулированной задачи. .

Под Сп [«-.i] будем понимать множество тех функций j, изСя[сь, ' К0Т°РЫ® удовлетворяют условию clío\' Отыотим, что Ср.* [СЬ) является подпространством CR fct,6> причем C¿M=CRM, если[сь,£1 (\ = 4

Ооновными результатами главы II являются теоремы 4,5,6,7. Теорема Пусть строго монотонно возрастающие последовательности полокительных чисел л 1 УД°Ш1етв°Ряш'

соответственно условиям (4), (5) и и,^ Я п= Л оо = оо.Тогда, какое бы ни взять число é , О «C^í^юбую дункцию^СдСр, Q моано равномерно на[0, Q приблизить квазиполиномами вида:

' рсх)= £±0,^x4 (6)

Теорема 5. Пусть aflojo монотонно возрастающая последовательность положительных чисел {_удовлетворяет условиям (4) и строго монотонно возрастающая последовательность положительных чисел { Я кЛ , удовлетворяет условию:

Тогда, какое бы ни взять число & Л^А , произвольную функцию [Р>Й можно равномерно на (0, 0 приблизить квазиполиномами вида (6).

Теорема 6. Пусть строго монотонно возрастающая последовательность положительных чисел удовлетворяет условиям (4) и строго монотонно возрастающая последовательность полош-

тольных чисел £ Л лJ- удовлетворяет условию:

Тогда, какое бы ни взять число ib , где^С.^^, произвольную функцию ^ € Ср. [О > можно .равномерно на [Ъ; приблизить квазиполиномами вида (6).

- 12 *

Теорема 7» Пусть строго монотонно возрастающая последовательность положительных чисел удовлетворяет условиям (5) и 1

V) — 'Л*о = °°)

1 -^Хп/Лпи^0 "Ри п

Тогда любую функцию Ся С0>"13 можно равномерно на£0,1^ приблизить квазиполиномами вида (б).

Автор вырвкает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В.А.Мартиросяну за постоянное внимание и интерес к работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Получены достаточные условия возможности равномерно-касательного приближения на двух классах кривых целыми (голоморфными в круга) функциями, представимыми в окрестности нуля лакунарнъш степенными рядами.

2. Получено достаточное условие возможности равномерно-касательной аппроксимации на множествах Каряеиана с непустой внутренностью голоморфными в односвязной области функциями, представииыии в окрестности нуля лакунарньши степенными рядами.

3. Получены достаточные условия возможности равномерной аппроксимации на компактных подиноаествах полуоси[0,+ос:0 квазиполиномами с коэффициентами из наперед заданного иноЕЗСтва.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Г.В.Арутювян, В.А.Мартиросян. О равномерно-касательных приближениях лакунарныии стеленными рядами на кривых комплексной плоское?и. Изв.АН Армении.Натематинэ. Т.28, ¡й 3,с.36-45, 1993.

2. Г.В.Арутюнян, В.А.Ыартиросян. О равномерно-касательном при-блигэниа лакунарными степенными рядами на множествах Карле-мапа. Изв.АН Армении. Математика. Т.30, ь 4, с.ба-74,19У5.

3. Г.В.Арутвнян. О равномерном приближении квазиполиномами с коэффициентами из заданного множества. Деп.в Арц.ШМНТИ, лзЗ,

сЛ , 1995.

и и Ф 11 Ф пп и

1. ^шшд^ЬЫ| 1|.прЬр^ ЬрЦт. г^шиЬ(ф 1(ри <ии|шишри/шф- ~ фп.и^ш^чЪ II пи1шр1цГш\) ^Ъшрии] пр п ».¿г)рин^шршр щш JI/шЪЪЬ|1

[щ.^рпи)' Lшl^nLl^ш[^ ш и иф 61^11111.111^ 2шРрЬрт| ЪЬр Jшд^пц адТрпгцР / ¿р ршЬнЫ 1п[_П1ТпрФ / I1 п^Цд^шЪЬрп^:

2. итшд1)Ь^ гциинир^ ЪЬррЬипГшит! ^ит^Ь^шЪф рикцГш-Р J п ьЪ-4-1Ь р [1 1>рш 1 ш1(шишрш^ ил[| - 2 п 2 Ш1!'п Ь^ 1Ь1тшр 1цГшЪ "¡Ъшрин^пр п |.[3 .цЛ рии'.шршр з гГшЧд 0-|1 л> пи! цш^т.Ъшр ши иф СшЪш^Ъ 2 ШР Е ^ Г П11

Мр^ш ,|Ш31|П11 1Г[ии!ри1^ р п I. з ^ ли1 Яп[_Г11ГпрЗ| Фп ^д^шЪЬ р пи[«

3. 11ишд1|Ь|_ I, Оо) ишшпшЪд^^ ^тГщш^т ЫфшршсцГп |.р j тЛ Ч<Ьр[1 1|рш 1ш1|шиифш£1ш(| 1Гпи!шр1{1ГшЪ 11дирш4пр п 1.[>)рии[ц1ршр и^ш^шЪ-■иЬр ^ии^ишцЬи ш1[шЬ цпрЬш^дЪЬрп^ pijiuq.li- ршсцГиЛцшЛф рт|:

Заказ 71 Тирах 50

Цех "Ротапринт" Ереванского госунивегситета. Ерезан, ул. Ая.Маиумша >;> I,