Оператор экстраполяции с конечного множества вектор-функций из квазиполиномов и его приложения

Завьялов, Максим Николаевич

Оператор экстраполяции с конечного множества вектор-функций из квазиполиномов и его приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Завьялов, Максим Николаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Красноярск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2003 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Оператор экстраполяции с конечного множества вектор-функций из квазиполиномов и его приложения»

Автореферат диссертации на тему "Оператор экстраполяции с конечного множества вектор-функций из квазиполиномов и его приложения"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ КРАСНОЯРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ

На правах рукописи

ЗАВЬЯЛОВ МАКСИМ НИКОЛАЕВИЧ

ОПЕРАТОР ЭКСТРАПОЛЯЦИИ С КОНЕЧНОГО

МНОЖЕСТВА ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ ИЗ КВАЗИПОЛИНОМОВ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск-2003

Работа выполнена в Красноярской государственной архитектурно-строительной академии

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор Маергойз Л.С. доктор физико-математических наук, профессор Царёв С.П. кандидат физико-математических наук, доцент Лейнартас Б.К. Институт вычислительного моделирования СО РАН, г. Красноярск

Защита состоится 14 ноября 2003 г. в /7 часов на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 в Красноярском государственном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан 10 октября 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент Голованов М.И.

овета, у

¿go

' ( Общая характеристика работы

Актуальность темы

Одной из популярных задач комплексного анализа является проблема аналитического продолжения функций. На практике динамика показателей многих процессов допускает математическое описание с помощью аналитических функций, причём входная информация задаётся в виде значений показателя в конечном числе узлов временной сетки.

Важным случаем этой проблемы является задача экстраполяции функции или системы функций, являющихся квазиполиномами, по их значениям в конечном числе узлов равномерной временной сетки.

Определение 1. Квазиполиномом называется конечная сумма

¿=i

экспонент с полиномиальными коэффициентами. Здесь показатели экспонент и коэффициенты полиномов - комплексные числа.

Определение 2. Порядком квазиполинома f(t) назовем число

ord(f) ~n + J2de9(Pi(t)). «=1

Такое название объясняется тем, что квазиполином f{t) является решением обыкновенного линейного дифференциального уравнения (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами конечного порядка m = ord(f).

Первый способ восстановления квазиполинома по его значениям в конечном числе узлов равномерной временной сетки восходит к Прони (Gasparo Riche, baron de Prony, [1] (1795)). Прони указал сам алгоритм восстановления, но вопрос о корректности этого алгоритма оставался открытым.

Вкратце опишем основную идею алгоритма Прони. Функция f(t) — eat является собственной функцией оператора дифференцирования £ = ^ с собственным значением а. Но она же является собственной функцией и оператора сдвига [S/](t) = f(t + 1) с собственным значением еа. Поэтому f(t) — eat есть решение некоторого разностного уравнения, которое

можно восстановить, зная лишь значения функции в конечном наборе равноотстоящих друг от друга моментах времени. Решая это разностное уравнение, восстанавливаем функцию.

В настоящее время известно несколько модификаций алгоритма Про-ни - их обзор приведён в [2, гл. 11], [3, гл. 2] и [4, гл. 2]. В частности, вопрос о корректности алгоритма Прони (существование, единственность, устойчивость к малым колебаниям входных данных) для решений ОЛДУ конечного порядка с неизвестными постоянными комплексными коэффициентами исследовал Маергойз Л.С. [3, гл. 2] (1991).

Модификацию алгоритма Прони для восстановления вектор-функции из экспоненциально-гармонических сумм с неизвестными постоянными вещественными коэффициентами по её значениям в конечном числе узлов равномерной сетки исследовали Голубков В.В., Щербов С.Я. [5] (1980).

В общем случае, проблеме аналитического продолжения посвящено много исследований, см., например, Лаврентьев М.М [6] (1962), Анико-нов Ю.Е., Узаков М.М. [7] (1985), Бухгейм А.Л. [8] (1993).

Алгоритм Прони имеет важное прикладное значение, в связи с тем, что математическое описание многих динамических процессов, встречающихся в природе, инженерной практике и т.д., часто осуществляется (хотя бы в первом приближении) с помощью системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с неизвестными постоянными коэффициентами. Например, в биофизике и медицине это исследование релаксационных характеристик гомеостатических процессов, (см. [9], [10]). В инженерной практике он применяется в радиосвязи (см. [2]). В этих задачах известными являются значения числовых показателей происходящих процессов. С математической точки зрения эта задача эквивалентна задаче экстраполяции системы квазиполиномов, являющихся решением одного ОЛДУ конечного порядка.

Диссертация посвящена вопросам экстраполяции вектор-функции из квазиполиномов по её значениям в конечном числе узлов равномерной сетки.

Цель диссертации

темы ОЛДУ первого порядка с неизвестными постоянными комплексными коэффициентами, по её значениям в конечном числе узлов равномерной сетки.

2. Построение обобщенного алгоритма Прони для аппроксимации конечной системы вещественных динамических характеристик по их значениям в конечном числе узлов равномерной сетки с помощью вектор-функции, являющейся решением некоторой однородной системы ОЛДУ. Исследование корректности этого алгоритма.

Методика исследования

В диссертации применяются методы математического анализа, комплексного анализа (теория целых функций), функционального анализа, теории матриц, теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна

Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми и снабжены строгими доказательствами. Основные результаты диссертации следующие:

1. Дан алгоритм экстраполяции с конечного множества вектор-функции из квазиполиномов, являющейся решением однородной системы ОЛДУ с неизвестными постоянными коэффициентами, и удовлетворяющей определённым ограничениям. Исследованы условия при которых этот алгоритм корректно поставлен (существование, единственность, устойчивость к малым колебаниям входных данных).

2. Приведено решение (с указанием условий существования и единственности) подобной задачи для неоднородной системы ОЛДУ первого порядка, правая часть которой - вектор-функция из квазиполиномов.

3. Предложена модификация алгоритма Прони для аппроксимации конечной системы вещественных динамических характеристик по их значениям в конечном числе узлов равномерной временной сетки с помощью вектор-функций, упомянутых в первом пункте.

Теоретическая и практическая ценность

Полученные результаты могут быть использованы в теории экстраполяции целых вектор-функций, а также в теории систем ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Предложеная модификация алгоритма Прони может быть использована в задачах естествознания (биофизика, медицина и др.) и в инженерной практике.

Публикации и апробация работы

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [11]-[16]. По материалам диссертации делались доклады:

- на международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений " (Минск, 2001);

- на международной молодёжной научной школе-конференции "Лоба- < чевские чтения" (Казань, 2001);

- на международной конференции "Некорректные и обратные задачи" (Новосибирск, 2002);

- на научном семинаре "Обратные задачи" в ИМ СО РАН (Новосибирск, 2003);

- на городском научном семинаре по теории функций в Красноярском госуниверситете (Красноярск, 2000-2003).

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения и трёх глав основного текста. Список литературы состоит из 26 наименований. Работа изложена на 88 печатных страницах.

Содержание диссертации

В первой главе исследуется вопрос о возможности экстраполяции вектор-функции из квазиполиномов, каждый из которых имеет один и тот же набор (с учётом кратности) входящих в него экспонент, по сё значениям на конечном множестве, принадлежащему равномерной сетке. Здесь под кратностью экспоненты понимается степень полиномиального коэффициента при ней, увеличенная на единицу, т.е. 1 + ёед(Р{(1)) (см. определение 1). Другими словами, каждая координата вектор-функции является решением одного и того же ОЛДУ с постоянными коэффициентами.

В случае, когда мощность набора экспонент равна размерности вектор-функции, т.е. порядок квазиполиномов и ОЛДУ совпадают, эта задача эквивалентна нахождению решения однородной системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОЛДУ) с постоянными неизвестными комплексными коэффициентами по его значениям в конечном числе узлов равномерной сетки.

Дадим точную постановку задачи в эквивалентном варианте. Пусть дана однородная система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОЛДУ) с постоянными комплексными коэффициентами:

jY(t) = AY(t), t е К, (1)

( уi(t)

где Y(t) =

- вектор-функция, А - матрица размерности п х п,

V Vn(t)

элементы которой есть постоянные комплексные числа.

Рассмотрим равномерную сетку на вещественной оси с заданным шагом d > 0. Значения решения системы (1) в узлах этой сетки назовём моментами:

Yk = Y(tk) = Ск, tk = t0 + kd, к = 0,1,2,... ,N, где N ^ п. (2)

Начальное значение to, не ограничивая общности, всюду далее считаем равным 0, так как заменой параметра т — t — to всегда можно перейти к этому случаю.

Ставится задача нахождения решения системы (1) с неизвестной матрицей А при условиях (2).

В § 1 исследуется прямая задача. Получены следующие результаты:

Теорема 1.5. Пусть Yk — Y(kd), к — 0,1,2,... - последовательность моментов решения системы ОЛДУ (1). Тогда эта последовательность является решением разностного аналога этой системы, а именно: найдутся комплексные числа pi,p2, ■ ■ ■ ,Рт Рп Ф 0 такие, что выполняется соотношение:

П+n +Р1П+П-1 +...+pnYk =0, Vfc = 0,1,2,... . (3)

При доказательстве теоремы появляется следующий многочлен, который называется ассоциированным с вектором р := (pi,... ,рп)

ВД:=П0г-д;)г' =zn+pizn-1 + ...+pn, (4)

i=1

где {g; := ea,d}[, и кратность корня (ц равна Г{ - кратности собственного значения aj матрицы А.

Следствие 1.6. Для моментпов Со, • • • ,Сдг• являющихся значениями решения системы вида (1), существует вектор р = (pi,... ,рп) £ С", рп Ф О такой, что для любого k Е {0,1,... , N — п} выполняется равенство:

Ck+n+PiCk+n-x+---+PnCk=0 (5)

В §2 исследуется обратная задача для системы (1), и формулируются необходимые и достаточные условия существования и единственности решения системы (1) с заданными краевыми условиями (2) в предположении что матрица А неизвестна.

Рассматривается класс систем ОЛДУ такой, что корни {a,}i характеристического уравнения матрицы А лежат в полосе

П(d) = {z 6 С : |Im z\ < тг/d} . (6)

Теорема 1.9. Пусть дана система вида (1) с неизвестной матрицей А, собственные числа которой принадлежат полосе

n(d) = {z G С : |Im z\ < ж/d}.

Пусть также известны невырожденные краевые условия вида (2) (невырожденность краевых условий означает, что у матрицы моментов Yff := (Со, Ci,... , Сдг) ранг равен п).

Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) существует единственная вектор-функция Y(t), являющаяся решением системы (1) и удовлетворяющая краевым условиям (2),

2) для моментов Co,Ci,... ,Сдг существует единственный вектор р = (РьР2, -- ,Рп) такой, что

Ck+n + PiCk+n-i +...+pnCk =0, Vk = 0,l,...,N-n, (7)

причём корни ассоциированного с вектором р многочлена Тп(г)=гп+р1гп-1 + ...+рп

лежат в С \ (—оо,0].

При этом решение системы (1) имеет вид:

У(Ь) = С

( М*) \

ФЖ)

V ы*)

где

Г1

-1

фх(1) = е^, ф2(1) = ,фГ1(*) = _ 1уеа1*

(8)

(9)

«1,... , щ - различные собственные значения матрицы А. Г1,Г1 - кратности соответствующих собственных значений матрицы А, при этом п + ... + п = п, причём

а, -

Здесь берётся главное значение логарифиа, {д;}! - корни многочлена Тп(г) (см. 4), и кратность а» равна кратности д,. Матрица (? определяется по формуле

(? = £>Р~\

где

Р =

Шо) ... ф^п-!)^ \фп( 0) ... фп((п-1Щ

-С = (Со, Сг,... , Сп_ 1)

- п х п-матрица, столбцами которой являются первые п моментов. Матрица А системы (1) равна

А = ОХИ-1,

где

I и \

Ь2

ь =

и /

- матрица п х п, составленная из блоков , ■ ■ ■ вида

/ сц \

V 1 оч у

причём размер Ь^ равен г^ х п (на незаполненных местах стоят нули).

Во второй главе дано решение обратной задачи для неоднородной системы ОЛДУ, правая часть которой - вектор-функция из квазиполиномов, и приводятся условия существования и единственности этого решения. Эта задача эквивалентна задаче экстраполяции вектор-функции из квазиполиномов, каждый из которых имеет один и тот же набор (с учётом кратности) входящих в него экспонент, по её значениям на конечном множестве, являющегося равномерной сеткой, в том случае, когда мощность набора экспонент больше размерности вектор-функции.

Сформулируем точную постановку задачи. Пусть дана неоднородная система ОЛДУ п-го порядка с постоянными комплексными коэффициентами:

(И

УЦ)=АУ «е

(10)

( Ш

где =

- вектор-функция из квазиполиномов /,(£),

V Ш

А - диагональная матрица размерности п х п, причём стоящие на главной диагонали коэффиценты {А,-}™ считаются неизвестными, вектор-функция У(£) и матрица А - такие же, как и прежде.

Пусть даны моменты вектор-функции Y(t) в узлах равномерной сетки С к — Y (t¡e), tk=t0+kd, k = 0,l,... ,N, где JV ^ ra(m + 1). (11)

Ставится задача нахождения решения Y(t) системы (10) с неизвестными матрицами А и Л, для которого выполняются заданные краевые условия (11). Вектор-функция F(t) - известна.

Считаем, что собственные числа матрицы А принадлежат полосе 11(d) = {z Е С : |Imz| < n/d}, при этом полагаем, что среди показателей экспонент вектор-функции F(t) нет равных собственным числам матрицы А.

Также предполагаем, что ранг матрицы Y¡v := (Co,Ci,... , Сдг) размерности п х (N + 1) равен п.

Квазиполиномы {/¿(í)}™ запишем в следующем виде

3=1

где Pij(t) - полиномы с комплексными коэффициентами, пг - количество экспонент в квазиполиноме /¡(f).

Введём обозначения:

kij := 1 + deg(F¿j(í)), m¿ := ord(/¿(f)), m '•= т?х {m¿}> 1 ^ h3 ^ n■

Общая идея заключается в следующем - преобразовать неоднородную систему так, чтобы получилась однородная система ОЛДУ. Тогда для новой системы можно будет применить результаты из главы 1.

Определим дифференциальные операторы:

/ W \ m_m> п* / й \ кч

«. = (а) хП(г-А/) . '-i.....»• <12>

Оператор £г аннулирует квазиполином /¿(f), т.е. £г/г = 0. Ассоциируем с £¡ многочлен

Xi(z) = zm~m' f[(z - ¡3l})k" =zm + baz™-1 + ... + bim. (13)

3-1

Здесь кц := 1 4- йед(Р^{Ь)) - кратность как корня многочлена х^)-Применяя операторы , £п к соответствующим строкам систе-

мы (10), получим однородную систему ОЛДУ, в которой присутствуют производные от функций у^Ь) второго и выше порядков. Обозначая эти производные стандартным образом как новые функции, систему можно свести к однородной системе ОЛДУ первого порядка, но с большим числом уравнений:

где

-U(t) = ÄU(t),

(14)

U(t) =

( МО \

\ Un(m+l)(t)

- вектор-функция из n(m+l) компонент,

d dm Mt) =yi(t), u2(t) = —У!(t),... ,um+1(t) = ^2/1 (i),

U{n-l)m+n{t) = yn(t), ••• , Un(m+l)(t) —

Матрица А является блочной и имеет размеры п(т + 1) х п(т + 1). Покажем, как будут выглядеть краевые условия для системы (14):

Glk = С1к, Ст\2,к = С2к, • • • , C(n-l)m+n,ft = Спк, к = 0,1,... ,N.

Здесь через Cik обозначена i-я координата момента Ск := U(tk), а Сцс - соответственно i-я координата момента Ск. Остальные координаты С к являются неизвестными.

Следствие 2.3. Собственные числа матрицы А состоят из собственных чисел {«¿}{ матрицы А (см. (10)), числа 0 кратности 2т — т,\ — ... — тп, а также из показателей экспонент ßij с кратносгпями kij, i = 1,... ,п, j = 1,...

Согласно теореме 1.5, для системы (14) существует вектор j) = (pi,... ,Pn(m+i))> такой, что

С>г(т+1)+* +Р1Сп(т+1)+*-1 + -. . + Рп(т+1)Ск = О,

Аг = 0,1,... — п(т + 1), (15)

причём у ассоциированного с вектором р многочлена Гп(т+1)(^) (см. (4)) корнями будут являться следующие числа:

е"1а,... ,еа,а кратностей Г1,... , г/ соответственно, - кратности кц (г = 1,... , п, = 1,... ,тц), 1 = е0й - кратности птп - гпх - ... - тп.

Самого уравнения (15) недостаточно для определения вектора р, т.к. у моментов {С^ъ известны лишь п координат (из п(т+1) штук), т.е., фактически, эти моменты дают всего п уравнений на определение п(тп + 1) координат вектора р. Зато являются известными все корни многочлена Тп(т+1)(.г), кроме {еа^}[. Подставляя их в этот многочлен, получаем недостающие пт линейных уравнений для определения координат вектора 7 р (при этом, возможно, потребуется следующий факт - кратный корень

* многочлена является корнем его производной, но уже кратности на еди-

ницу меньше).

В результате получаем систему из п(ш -1-1) линейных уравнений для определения координат вектора р. Эта система не обязана быть совместной - её несовместность означает, что исходная обратная задача не имеет решения. Если же система оказывается совместной, то, в силу теоремы 1.9, её решение может быть только единственным. Определив, в случае совместности системы, вектор р: строим ассоцированный с ним многочлен Тп(т+1)(г) и находим его корни <?ь... ,дп(т+г)- Среди них будут числа еР1'л (кратностей к^) и е° = 1 кратности пт — тп1 — ... — тп. Потом определяем собственные числа матрицы А как щ = вГх ■ где берётся главное значение логарифма и не равно и е° = 1 (т.е. рассматриваются всего п корней Тп(т+1)(г)). Сами компоненты решения У(£) ищем в виде / г ¿п-1 \

»<(*) =еа1Ь \иц + + ■ ■ ■ + (Г1 _ + • ■ •

( * N

+е°" ^«¿1П_п+1 + ^«¿,„-,.,+2 + . • ■ + +

1=1 1

Ь используя краевые условия (11). Здесь - многочлены степени кц —1.

Найдя у1(4),... ,уп(£)> определяем и 1(<),... ,"п(т+1)(0 и полностью вос-

станавливаем моменты U(t), т.е. С*., к = 0,1,... ,N. Теперь, применяя теорему 1.9, находим матрицу Ä. По ней однозначно восстанавливается матрица А. Зная Y(t), F(t) и матрицу А, находим матрицу Л.

Окончательный результат второй главы формулируется так:

Теорема 2.4. Пусть дана система вида (10) с неизвестными матрицами А и А, и известной вектор-функцией F(t), состоящей из квазиполиномов. Пусть при этом известно, что все собственные числа матрицы А принадлежат полосе П(й) = {z Е С : |Im z\ < ir/d}, и не равны показателям экспонент координатных функций вектор-функции F(t). И пусть даны невырожденные краевые условия вида (11).

Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) существует единственная вектор-функция Y(t), являющаяся решением системы (10), и удовлетворяющая краевым условиям (11),

2) существует единственный вектор р — ... ,pn(m+i))> такой, что выполняется соотношение

Cn(m+l)+fc + i>lCn(m+l)+Jfc-l + • • ■ + Pn(m+l)Ck = 0,

fc = 0,1,... , N — п(т + 1),

причём уравнение

Тп{т+ф) = 2n(m+1) + Plzn(m+1^1 + ... +pn(m+1) = 0

имеет своими корнями числа кратностей к^, i = 1,... ,п, j —

1, V ! ni> 11 число 1 кратности пт — mi — ... — m„, а оставшиеся корни лежат в С\(—оо,0].

В этом случае матрицы А и А определяются единственным образом.

Доказаная в §2 первой главы теорема 1.9 о существовании и единственности решения обратной задачи для системы ОЛДУ вида (1) с краевыми условиями (2), позволяет говорить об операторе экстраполяции вектор-функций из квазиполиномов, заданных на конечном множестве, так называемом операторе Прони.

Этот оператор определяется не для всех вектор-функций из квазиполиномов, а лишь для тех, которые являются решением системы ОЛДУ с постоянными комплексными коэффициентами, и удовлетворяющих определённым ограничениям на показатели экспонент квазиполиномов.

Третья глава посвящена описанию зоны устойчивости оператора Прони к малым колебаниям входных данных.

В §§ 1,2 приводятся необходимые сведения из топологии и теории выпуклых функций.

В §3 даётся описание алгоритма Прони восстановления вектор-функции Y(t), являющейся решением однородной системы ОЛДУ вида (1) и удовлетворяющей невырожденным краевым условиям вида (2). Матрица А - неизвестна, но априори считается выполненным следующее условие - её собственные числа принадлежат полосе П(с?) (см. (6)). Сам алгоритм опирается на теорему (1.9), и фактически полностью приведён в её формулировке.

Этот алгоритм Прони позволяет определить оператор Прони. Далее идёт описание области определения и области значений оператора.

Пусть Мп - множество в спх(п+1) всех таких элементов вида С := (С0, Cj,... ,СП), что вектор р= (pi,... ,р„) определяется из системы линейных уравнений (7) единственным образом, причем ассоциированный с р многочлен Tn(z) (см. (4)) имеет корни лишь в С\(—оо,0]. Отметим, что множество Мп открыто в Cnx("+1). Именно оно и является областью определения оператора Прони.

Область значений определяется как En(d) - класс решений однородных систем ОЛДУ n-го порядка вида (1), таких, что собственные значения матрицы А лежат в полосе n(d) (см. (6)). В En(d) вводится относительная топология, индуцированная из некоторого объемлющего пространства.

Таким образом, оператор Прони А полностью определён ' '

А : М„ -> En{d), А {Мп) = En(d), А (С) = У(г), С 6 Мп.

Теорема 3.6. Оператор Прони А восстановления вектор-функции, являющейся решением системы (1) и удовлетворяющей краевым условиям (2), непрерывен в относительной топологии класса En(d).

Теорема остается справедливой, если в ее обозначениях Мп заменить на его подмножество М~ такое, что ассоциированный с р многочлен Tn(z) имеет корни лишь в S~ = {z £ С : \z\ < 1} \ (—1,0], а класс En(d) заменить на его подкласс, такой, что входящие в него вектор-функции являются решениями систем ОЛДУ вида (1), у которых все собственные значения {а,;}^ имеют отрицательную вещественную часть.

В §4 приводится модификация алгоритма Прони для аппроксимации конечной системы вещественных динамических характеристик по их значениям в конечном числе узлов равномерной сетки с помощью вектор-функций из квазиполиномов класса En(d).

Пусть F = (Fq, Fi,... ,Fn) в Rnx(Ar+1), N ^ n - набор моментов некоторой вектор-функции F(t), замеряемых через равные промежутки времени, с известным шагом d > 0: i* = kd, к = 0,1,... ,N. Для приближения её вектор-функцией Y(t) £ En(d), возьмём функционал

N—n

Ыя) = X! lFfc+" + + ■ • • + 4nFkI2. <f 6 И", (16)

А=0

характеризующий невязку разностной системы (7).

Теорема 3.7. Пусть

Т = {F EnxJV : rank-F < n, jP := (F0, jF\, ... .flv-i)}, (17)

Дополнительно определим M — (EnxN \ Г) x К™. Тогда:

1) функционал tpp достигает минимума в единственной точке р = p(F)

лишь тогда, когда F € М; 2) функция p(F) непрерывна в М.

Пусть ТЕ = (ЖпхЛГ \ Ое(Г)) х Е". Здесь Ое(Г) - оболочка радиуса е множества Г (см. (17)).

Далее считаем, что F £ ТЕ, где е > 0 - априорно задаваемое число, выбираемое так, чтобы ошибки в измерении координат моментов Fj не выводили F из множества ТЕ, принадлежащего области определения функции p(F) (см. теорему 3.7). Опишем теперь алгоритм аппроксимации F(t) вектор-функциями из En(d).

1) Найдем вектор р = (plt... ,рп), минимизирующий функционал <рр в Е" (см. (16)). Согласно теореме 3.7, такой вектор - единственный, т.к. Те СМ.

2) Находим корни qt,... ,qi многочлена (4) и их кратности ri,... ,г/.

3) В предположении, что среди этих корней нет отрицательных чисел, по формуле cij = d"1 In qj, j = 1,... , l, определяем принадлежащие полосе П(с?) (см. (6)) показатели экспонент вектор-функции Y(t), приближающей исходный вектор F.

4) Зная ctj и их кратности rj, строим функции ipi,... ,V>n (см. (9)).

5) Неизвестные коэффициенты матрицы G в формуле (8) определяются методом наименьших квадратов при минимизации функционала:

*=о

где символ | • | означает евклидову норму в М".

Изложенный алгоритм позволяет определить обобщённый оператор Прони А* для аппроксимации вектор-функций по конечному набору её значений в узлах равномерной сетки с помощью вектор-функций из клас-

са En(d):

А* :Т£ En(d), A*(Te) = En(d), А (С) = Y(t), С G Те.

Для многих задач практики важен случай аппроксимации вектор-функциями класса Ёп(с1), состоящей из квазиполиномов, показатели экспонент которых имеют отрицательную вещественную часть. Модификация алгоритма Прони для этого случая аналогична изложенной. Следует лишь предполагать в пункте 3 алгоритма, что корни принадле-

жат 5~ = {г е С : \г\ < 1}\ [0,1). Соответствующая область допустимых параметров в пространстве ЕП+ЛГ х Еп обозначим через Т~ € М~ (см. теорему 3.6).

Устойчивость к малым колебаниям входных данных доказывает следующая

Теорема 3.8. Пусть Т > 0. Для любого е > 0 и любого вектора Р € Т€ € Т~) найдется расположенная вТе (соответственно в Т~) его окрестность V такая, что для всех векторов Н € V и для любого £ на отрезке [0,Т] С К (соответственно, на [0, оо) С К) справедливо неравенство

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ для ведущих научных школ НШ-1212.2003.1 и гранта РФФИ № 03-01-00460.

P*F](t) - [Л*Я](*)| < в Vt € [0,Г], (Vi 6 [0, оо)).

Список литературы

[1] Prony G.R. В. Essai experimental et analytique: sur les lois de la dilatabilité de fluides élastiques et sur celles de la force expansive de la vapeur de l'eau et de la vapeur de l'alkool, a différentes temperatures // J. de L'Ecole Polytechnique, 1795, V. 1, No 2, P. 24-76.

[2] Марпл-мл. С. JI. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. М.: Мир, 1990.

[3] Маергойз Л.С. Асимптотические характеристики целых функций и их приложения в математике и биофизике. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1991.

[4] Maergoiz L.S. Asymptotic Characteristics of Entire Functions and Their Applications in Mathematics and Biophysics. Kluwer academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 2003.

[5] Голубков В. В., Щербов С. Я. Экспоненциальная аппроксимация. Препринт. М.: ВНИИСИ, 1980.

[6] Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.

[7] Аниконов Ю.Е., Узаков М.М. Оценки устойчивости в многомерных задачах аналитического продолжения // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1985. С. 3-7.

[8] Bukhgeim A.L. Extension of solutions of elliptic equations from discrete sets // J. Ill-posed and Inverse Problems, 1993, V.l, N 1, P. 17-32.

[9] Маергойз Л. С., Захарова Л.Б., Егорушкин И.О., Кондратьева В.П. О математическом прогнозировании динамики ферментной активности в онтогенезе // Бюл. Сиб. отд-ния АМН СССР, 1984, № 1, С. 92-95.

[10] Маергойз Л.С. Многомерный вариант алгоритма Прони. Препринт. Красноярск, 1990.

Работы автора по теме диссертации

[11] Завьялов М.Н. Модификация алгоритма Прони для системы ОЛДУ с постоянными неизвестными коэффициентами // в сб. Многомерный комплексный анализ. Красноярск, 2002, С. 37-47.

[12] Завьялов М.Н. Модификация алгоритма Прони для неоднородных систем ОЛДУ // Вестник КГУ. Физ.-мат. науки, 2003, Вып.1, Красноярск, С. 73-79.

[13] Завьялов М.Н., Маергойз Л.С. Оператор экстраполяции с конечного множества вектор-функций из квазиполиномов и его приложения // J. of Ill-Posed and Inverse Problème, (принято в печать).

[14] Завьялов M.H., Чурилов Е.Д. Модификация алгоритма Прони решения обратной задачи для однородной системы ОЛДУ первого порядка с постоянными коэффициентами // В сб. Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: тезисы докладов межд. конф. 2001 года, Минск, Беларусь, С. 68-69.

[15] Завьялов М.Н. Восстановление вектор-функции из квазиполиномов по значениям на равномерной сетке // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского, Т.12, Казань, 2001, С. 35-36.

[16] Zavyalov M.N. Modification of Prony algorithm for systems of ordinary differential équations of the first order // В сб. Межд. конф. Некорректные и обратные задачи: тезисы докладов, Новосибирск, 2002, С. 178.

Подписано в печать 07.10.03, Формат 60 х 86/16

Бумага тип. Печать офсетная.

Тираж 100 экз. Заказ № 4 86.

Редакционно-издательский центр Красноярского государственного университета. 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79.

;

»1

59 6 9

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Завьялов, Максим Николаевич

Введение

Глава 1. Решение обратной задачи для однородной системы ОЛДУ

§1. Прямая задача.

§ 2. Обратная задача.

Глава 2. Решение обратной задачи для неоднородной системы ОЛДУ

Глава 3. Оператор Прони и его приложения

§ 1. Локально выпуклое пространство [1, Н(0))п.

§2. Выпуклые функции.

§ 3. Оператор Прони для однородных систем ОЛДУ

Введение диссертация по математике, на тему "Оператор экстраполяции с конечного множества вектор-функций из квазиполиномов и его приложения"

Актуальность темы. Одной из популярных задач комплексного анализа является проблема аналитического продолжения функций. Отчасти это связано с тем, что на практике динамика показателей многих процессов допускает математическое описание с помощью аналитических функций, причём входная информация задаётся в виде значений показателя в конечном числе узлов временной сетки.

Определение 1. Квазиполиномом называется конечная сумма г=1 экспонент с полиномиальными коэффициентами. Здесь показатели экспонент и коэффициенты полиномов - комплексные числа.

Определение 2. Порядком квазиполинома /(¿) назовем число п огсЦ/) := п +

1=1

Такое название объясняется тем, что квазиполином /(£) является решением обыкновенного линейного дифференциального уравнения (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами конечного порядка m = ord{f).

Вкратце опишем основную идею алгоритма Прони. Как известно, функция f(t) = eat является собственной функцией оператора дифференцирования £>= -¡h с собственным значением а. Но она же является собственной функцией и оператора сдвига [£/](£) = f(t -f 1) с собственным значением еа. Поэтому f(t) = eat есть решение некоторого разностного уравнения, которое можно восстановить, зная лишь значения функции в конечном наборе равноотстоящих друг от друга моментах времени. Решая это разностное уравнение, восстанавливаем функцию.

В настоящее время известно несколько модификаций алгоритма . Прони - их обзор приведён в [2, гл. 11], [3, гл. 2] и [4, гл. 2]. В частности, вопрос о корректности алгоритма Прони (существование, единственность, устойчивость к малым колебаниям входных данных) для решений ОЛДУ конечного порядка с неизвестными постоянными комплексными коэффициентами исследовал Маергойз Л.С. [3, гл. 2] (1991).

Алгоритм Прони имеет важное прикладное значение, в связи с тем, что математическое описание многих динамических процессов, встречающихся в природе, инженерной практике и т.д., часто осуществляется (хотя бы в первом приближении) с помощью системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с неизвестными постоянными коэффициентами. При этом известными являются значения решения этой системы в конечном числе узлов равномерной временной сетки. С математической точки зрения эта задача эквивалентна задаче экстраполяции системы квазиполиномов, являющихся решением одного ОЛДУ конечного порядка. Например, в биофизике и медицине это исследование релаксационных характеристик гомеостатических процессов, (см. [9], [10]). В инженерной практике он применяется в радиосвязи (см. [2]).

Диссертация посвящена пограничным вопросам комплексного анализа и теории обычных линейных дифференциальных уравнений.

Методика исследований. В диссертации применяются методы математического анализа, комплексного анализа (теория целых функций), функционального анализа, теории матриц, теории дифференциальных уравнений, и др.

Целью диссертации является:

1. Исследование условий, при которых корректно определён (существование, единственность, устойчивость к малым колебаниям входных данных) алгоритм Прони восстановления вектор-функции, являющейся решением некоторой однородной или неоднородной системы ОЛДУ первого порядка с неизвестными постоянными комплексными коэффициентами, по её значениям в конечном числе узлов равномерной временной сетки.

2. Построение обобщенного алгоритма Прони для аппроксимации конечной системы вещественных динамических характеристик по их значениям в конечном числе узлов равномерной временной сетки с помощью вектор-функции, являющейся решением некоторой однородной системы ОЛДУ. Исследование корректности этого алгоритма.

Основные результаты диссертации следующие:

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [21]-[26].

По материалам диссертации делались доклады:

- на международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений " (Минск, 2001);

- на международной молодёжной научной школе-конференции "Лобачевские чтения" (Казань, 2001);

- на международной конференции "Некорректные и обратные задачи" (Новосибирск, 2002),

- на научном семинаре "Обратные задачи" в ИМ СО РАН (Новосибирск, 2003),

- на городском научном семинаре по теории функций в Красноярском госуниверситете (Красноярск, 2000-2003).

Краткое содержание диссертации.

В первой главе исследуется вопрос о возможности экстраполяции вектор-функции из квазиполиномов, каждый из которых имеет один и тот же набор (с учётом кратности) входящих в него экспонент, по её значениям на конечном множестве, являющегося равномерной сеткой. Здесь под кратностью экспоненты понимается степень полиномиального коэффициента при ней, увеличенная на единицу, т.е. 1 + йед^Р^)) (см. определение 1).

В случае, когда мощность набора экспонент равна размерности вектор-функции, эта задача эквивалентна нахождению решения однородной системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОЛДУ) с постоянными неизвестными комплексными коэффициентами по его значениям в конечном числе узлов равномерной временной сетки.

Сформулируем точную постановку задачи в эквивалентном варианте. Пусть дана однородная система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОЛДУ) с постоянными комплексными коэффициентами: -4У(0, г е к,

1) где глМ ^

У(<) =

- неизвестная вектор-функция, Уп(Ь)

А = (а¿7) - неизвестная матрица размерности п х тг с постоянными комплексными коэффициентами.

Рассмотрим равномерную сетку на вещественной оси с заданным шагом времени й > 0. Значения решения системы (1) в узлах этой сетки назовём моментами:

Ук = У(Ь)=Ск, ^ = ¿0 + ^, к = 0,1,2,. где N ^ п. (2)

Начальное значение ¿о далее считаем равным 0, что не мешает общности рассуждений.

Ставится задача нахождения решения системы (1) с неизвестной матрицей А при условиях (2).

В §1 исследуется прямая задача для системы (1). В §2 приводится решение обратной задачи для этой системы. В итоге получены следующие условия существования и единственности для решения обратной задачи:

Теорема 1.9. Пусть дана система вида (1) с неизвестной матрицей А, собственные числа которой принадлежат полосе

Пусть также известны невырожденные краевые условия вида (2), где невырожденность означает, что у матрицы моментов Ум '= (Со, Си. , Сх) ранг равен п.

П(сО = {г в С : |1ш г\ < тг/^}.

Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) существует единственная вектор-функция являющаяся решением системы (1) и удовлетворяющая краевым условиям (2),

2) для моментов Со, С\,. , Сдг существует единственный вектор р = (РъР2»••• ,Рп) такой, что

Ск+п +Р1Ск+п-1 + • • • +рпСк = 0, У к = 0,1,. , N - п, причём корни ассоциированного с вектором р многочлена

Tn(z) = zn+p1zn~i + .+p лежат в С \ (—оо, 0].

В этом случае решение имеет вид

Y(t) = G шN Ш

М) где ait

Ф,СО = eaii, Mt) = Y\eaii, • • •,iM*) = (^-=1)!^ ' i{;ri+1(t) = ea2i, . , VnW = ^Vi)!^ai,. , a/ - различные собственные значения матрицы А. • , г/ - кратности соответствующих собственных значений матрицы А, при этом 7*1 + . • + ri = п, причём

In qi ai = —

Здесь берётся главное значение логарифма, {qi}[ - корни многочлена Tn(z) (см. (3)), и кратность аг- равна кратности qi.

Матрица С? определяется по формуле в = £>Р"\ где

1(0) . ф^пп(0) . фп((п-щ)

В = (Со, Сх,. , Спх)

- п х п-матрица, столбцами которой являются первые п моментов. Матрица А системы (1) равна

А = вЬв-1, где

Ь = и

- матрица пх п, составленная из блоков ; вида

Ьц= а» 1

1 а* ^ / причём размер Ь{ равен гг- х гг- (на незаполненных местах стоят нули).

Сформулируем точную постановку задачи:

Пусть дана неоднородная система ОЛДУ п-го порядка с постоянными комплексными коэффициентами: а dt

Y(t) = AY(t) + AF(t), teR,

4) где

2/1W

Y(t) =

Vn(t)

- неизвестная вектор-функция,

F(t) = fi(t) ^ nW вектор-функция из квазиполиномов /г-(£),

А - диагональная матрица размерности пхп, причём стоящие на главной диагонали коэффиценты {Aj}™ считаются неизвестными.

Рассмотрим значения решения системы (4) в узлах равномерной временной сетки (моменты):

Ck = Y(tk), tk = t0 + kd, к = 0,l,.,iV, N ^ п(т + 1), (5) где т - максимальный порядок квазиполиномов fi(t), являющихся координатными функциями в F(t).

Ставится задача нахождения решения Y(t) системы (4) с неизвестными матрицами А и А, для которого выполняются заданные краевые условия (5). Считаем, что to = 0.

Идея решения здесь заключается в следующем - преобразовать неоднородную систему так, чтобы получилась однородная система ОЛДУ. Для этого используются дифференциальные операторы специального вида, которые и преобразуют систему (4) однородному виду. Далее для новой системы применяются результаты из главы 1. Пусть щ

Mt) = Ylpv№ßijt, ¿ = i,.,n, j=1 где Pij(t) ~ полиномы с комплексными коэффициентами, а через щ обозначено количество экспонент в квазиполиноме fi(t). Приведём некоторые обозначения: hj := 1 + deg(Pij(t)), гщ := ord(/i(i)), m := max{m;}. l^n

Здесь 1 ^ i ^ n, 1 ^ j ^ щ.

Теорема 2.4. Пусть дана система вида (4) с неизвестными матрицами А и к, и известной вектор-функцией F(t), состоящей из квазиполиномов. Пусть при этом известно, что все собственные числа матрицы А принадлежат полосе

11(d) = {z G С : |Im z\ < тг/d}, и не равны показателям экспонент координатных функций вектор-функции F{t). Также пусть даны невырожденные краевые условия вида (5).

Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) существует единственная вектор-функция являющаяся решением системы (4), и удовлетворяющая краевым условиям (5),

2) существует единственный вектор р = (рь. ,рп(т+1)) такой, что выполняется соотношение

Сп(т+1)+к + Р\Сп(т+1)+к-1 + • • • +Рп(т+1)Ск = О, к = 0,1,. ,N — п(т + 1), причём уравнение

Тп{т+ф) = +р1*»<'п+1>-1 + . +рп{т+1) = О имеет своими корнями числа кратностей к^, г = 1,. , п, у = 1,. , щ, и число 1 кратности пт — т\ —. — тп, а оставшиеся корни лежат в С\(—оо,0].

В этом случае матрицы А и А определяются единственным образом.

Доказаная в § 2 первой главы теорема 1.9 о существовании и единственности решения обратной задачи для системы ОЛДУ вида (1) с краевыми условиями (2), позволяет говорить об операторе экстраполяции вектор-функций из квазиполиномов, заданных на конечном множестве, так называемом операторе Прони.

Третья глава посвящена описанию зоны устойчивости оператора Прони к малым колебаниям входных данных.

В §§1,2 приводятся необходимые сведения из топологии и теории выпуклых функций.

В §3, на основе теоремы 1.9 из главы 1, описывается алгоритм Про-ни восстановления вектор-функции, являющейся решением однородной системы ОЛДУ вида (1) с неизвестными постоянными комплексными коэффициентами, по известным невырожденным значениям вида (2) этой вектор-функции в конечном числе узлов равномерной временной сетки.

Класс однородных систем ОЛДУ предполагается таким, что собственные числа матрицы А принадлежат полосе

П(сО = {х е С : |1ш г\ < тг/с*} .

Алгоритм выглядит так:

1) Строим систему линейных уравнений

71,„ + Р1С11„1 + .+р„С1,о = 0 < . (6)

Сп,п + Р\Сп,п-\ + . . . + РпСп,0 = О где Су - г-ая координата момента

С её помощью определяем непрерывный оператор:

В : Мп —> С", В(С)=р где р = (рь. ,рп) - решение (6).

2) Далее, многочлен

ВД = гп + р!*?-.1 + . + Рп, определяет непрерывно зависящие от его коэффициентов корни {д{}[ и их кратности {п}^.

3) Числа {а{ = й~1 расположены в П(с?) и являются показателями экспонент искомой функции из Еп{6). Кратность щ полагаем равной гг- - кратности корня дг- многочлена Тп(г).

4) По известным {огг'}1 строим следующие функции

Л(<) = Фг® = • • • Ж« = (¿^

Фп+1({) = е°2', фг^У"', ■ ■ ■ , ФпМ = е

5) Дополнительно строим ещё 2 матрицы

Р =

1(0) . Ф1((п-1)с1^ п(О) . фп{(п-!)(!)) и

В — (Со, Сь • •. , Сп-{).

6) Матрицу С? определяем по формуле в =

7) Искомая вектор-функция будет иметь вид у И = с? Ш ^ Ш М*) у

На основе вышеприведённого алгоритма строится оператор Прони

Л : М„£„(<*), А(Мп) = Ёп{(1), Л(С) = У(0, СбМп, и даётся описание его области определения Мп и области значения Еп((Г). Затем доказывается непрерывность оператора Прони, что, с учётом теоремы 1.9, эквивалентно корректности алгоритма Прони (существование, единственность, устойчивость к малым колебаниям входных данных).

Теорема 3.6. Оператор Прони Л восстановления вектор-функции, являющейся решением системы вида (1) (собственные числа которой принадлежат полосе П(с?)и удовлетворяющей краевым условиям вида (2), непрерывен в относительной топологии класса Еп{й).

В §4 приводится модификация алгоритма Прони для аппроксимации конечной системы вещественных динамических характеристик с помощью вектор-функций, являющихся решением некоторой однородной системы ОЛДУ первого порядка, и выделяется зона устойчивости этой модификации алгоритма к малым колебаниям входных данных. Это также эквивалентно корректности данной модификации алгоритма Прони. Там же приводится пример вычислений по алгоритму Прони для однородной системы ОЛДУ специального вида.

Автор благодарен своему научному руководителю Маергойзу Л.С. за постоянное внимание и помощь при выполнении данной работы.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Завьялов, Максим Николаевич, Красноярск

1. Марпл-мл. С. JI. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. М.: Мир, 1990.

2. Маергойз Л.С. Асимптотические характеристики целых функций и их приложения в математике и биофизике. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1991.

3. Maergoiz L.S. Asymptotic Characteristics of Entire Functions and Their Applications in Mathematics and Biophysics. Kluwer academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 2003.

4. Голубков В. В., Щербов С. Я. Экспоненциальная аппроксимация. Препринт. М.: ВНИИСИ, 1980.

5. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.

6. Аниконов Ю.Е., Узаков М.М. Оценки устойчивости в многомерных задачах аналитического продолжения // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1985. С. 3-7.

7. Bukhgeim A.L. Extension of solutions of elliptic équations from discrète sets // J. Ill-posed and Inverse Problems, 1993, V.l, N 1, P. 17-32.

8. Маергойз JI. С., Захарова Л. Б., Егорушкин И. О., Кондратьева В. П. О математическом прогнозировании динамики ферментной активности в онтогенезе // Бюл. Сиб. отд-ния АМН СССР, 1984, № 1, С. 92-95.

9. Маергойз Л.С. Многомерный вариант алгоритма Прони. Препринт. Красноярск, 1990.

10. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. М., 1998.

11. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001.

12. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М., 1967.

13. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М., 1988.

14. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1 Основы алгебры. М.: Физико-математическая литература, 2000.

15. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Высш. шк., 1999.

16. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: Едиториал УРСС, 2003.

17. Канторович JI.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959.

18. Себаштьян-и-Сильва, Жозе. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // в сб. "Математика", 1957, № 1, С. 60-77.

19. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ, Ч. 1, М.: Наука, 1985.Работы автора по теме диссертации

20. Завьялов М.Н. Модификация алгоритма Прони для системы ОЛДУ с постоянными неизвестными коэффициентами // в сб. Многомерный комплексный анализ. Красноярск, 2002, С. 37-47.

21. Завьялов М.Н. Модификация алгоритма Прони для неоднородных систем ОЛДУ // Вестник КГУ. Физ.-мат. науки, 2003, Вып.1, Красноярск, С. 73-79.

22. Завьялов М.Н., Маергойз Л.С. Оператор экстраполяции с конечного множества вектор-функций из квазиполиномов и его приложения // J. Ill-Posed and Inverse Problems, (принято в печать).

23. Завьялов M.H. Восстановление вектор-функции из квазиполиномов по значениям на равномерной сетке // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского, Т.12, Казань, 2001, С. 35-36.

24. Zavyalov M.N. Modification of Prony algorithm for systems of ordinary differential equations of the first order // В сб. Межд. конф. Некорректные и обратные задачи: тезисы докладов, Новосибирск, 2002, С. 178.