Асимптотика собственных значений оператора кратного дифференцирования на отрезке тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ кменя АЛЬ-«АРАБИ ** КЕХАКИКО-ШТЕМАТНЧВСКИЯ ФАКУЛЬТЕТ

о>

ьо «чс

гч.

а. г—

На правах, рукописи

УТЕПБЕРПЩОВ ВАЯМУРАТ МАХМУТОВИЧ

АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯ ОПЕРАТОРА КРАТНОГО ЛМ9ВРЕНЦНРОВАНИЯ НА ОТРЕЗКЕ

Специальность 01.01.02 Дифференциальное

уравнения >

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата фиаико-ыатенатических наук

АЛМП!

1995

Работа выполнена на кафедре математического анализа Казахского государственного национального университета имен и Адь-Сарабк.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

Официальный оппонентьс доктор физико-математических наук

Ведущая организация; Казахский химико-технологический инс-

Зацита состоится апреля 1995 г. в 13 часов на засе-

дании специализированного совета К14/А 01.05 в Казахском государственном национальном университете им. Аль-Фараби на механико-математическом факультете.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета.

Адрес факультета: 480012, г. Алматы, ул. Ыасанчи 39/47.

00

Автореферат разослан " марта 1995 г.

дсцент Б. Е. Кавгуанн.

и. Т. Ляевалиев (ШТЫ НА.К РК), кандидат физико-математических наук и.{{. кустафт.

титут.

Ученый секретарь специализированного совета доцент

огг-я хл?.,;;.тп:';л;г,:;;гл рлпягл

Спектральная теория самосопрягоцтсл операторов своим возникновением оОъязана нсследопа'.шпя ко-лоОлЕцейся струны, предпринятой Б. Тейлором з 1713 голу. Последующие стремитесь5«э развитие математики яызвало г. жизни теорию ортогональных раплог.еннй, которая бь-'ла горо~о известна в восемнадцатом рзг.а. Штурм з: Лиузилль заложили основы весьма иовдоЯ обпэГг теории таких разгэхэний. 3 1010 году была опубликована основополагающая работа Г. БэЛ.та. В первые десятилетия нашего столетия началась рззхм'.тне абстрактного линейного анализа в работах О. Еолътерра и И. па, Д. Гильберта и его пкслы з Геттингено, Витала, 5!азура, Шаудера и других математккоз п Польпэ. Затек оно прозолг.зпэ в трудах математиков з Польпе. Ззтзн оно продольно з трудах п. Н. Гель^анда, М. Г. КреЛиа, '1 Л. Насморка а Сог.этском Союзе, фон НэЛиана, Поли, Г;::::ора з СИ. В этот период вплоге-:ш основы теории саяосспрл:-?!:::?": спорлтороп :з л п -л уг.оз-лчтьорптельяо! :ор'*? регглу огкозпгэ про б л-:-га гзтоЛ тгорп::: структура сзгктрз, гво»'?тр:::г ссЗстгсшпгг годярозгр^га'.':-?, сбсслозлнпэ рап-^гз'::::: порок?:;::>": Гурьо ;з 'П':

3 протлпополот'.согт! г';ор"лн з ::зторо> г::;::: з^п:; г-л с:'."

гл/сс;-:;:е _. Л.

оголгтг.л е:л:> „о ас,"

р^сги углг-илалп гг. с;'г с;"-соЗстлечьии прнсс'чллл'г.-л:

леопр::гег::::'г л-о::::":'-." --.г отло :::•■■ • •■ """лторо:' г.-;л

•• • •:.:-

:л:лл;г л: -•

основопологающэй работе М. В. Келдыша, в которой он устанавливал теоремы о полноте собственных и присоединены* векторов и теоремы об асимптотических свойствах собсвэнных значений для широкого класса полиномиальных пучков несамосопряженных операторов.

Стало ясно, что опрделение асимптотического поведения собственных значений играет существенную роль в вопросах базисности, полноты, минимальности системы корнев'х векторов. Кроме того, асимптотика собственных значений самосопряженных операторов имеет самостоятельное значение в квантовой механике. Е. Ч. Титмарш был первым, кто строго установил формулу распределения числа собственны;: значений для одномерного оператора Штурма-Лиувилля на всей оси с потенциалом, растущим'на бесконечности.

К настоящему времени при-няго различать регулярные и сингулярные дифференциальные операторы. Дифференциальный оператор называется регулярным, если область его задания компактна и коэффициенты перерывны.

Асимптотика спектра регулярных дифференциальных операторов в случав классических граничных условий (Дирихле, Неймана, периодической и так далее) хорошо изучена, регулярный дифференциальный оператор в функциональном пространстве . зависит от двух факторов: от дифференциальной операции и от "граничных" условий. Если асимптотика спектра в зависимости от коэффициентов дифференциальной операции"при более-менее простых граничных условиях

. 1

изучена, то актуальной остается пролблемы о расположении спектра в зависимости от сложности "граничных" условий (многоточечные, интегральные, интегрсдифференциальные) в случае простой модельной дифференциальной операции. Проблему описания асимптотики спектра в терминах граничных условий поставил член-корреспондент НАН РК Ы. О. Отелбаев.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ СОСТОЯТ:

- в исследовании структуры спектра оператора трехкратного дифференцирования в функциональном пространстве

июЛ] •

- в идентификации операторов с конечным спектром,

- в построении асимптотик собственных значений операторов с нелокальными граничными условиями.

Общая методика исследования: исследования проводится методами терпя целых функции, операторы, порожденные кратным дифференцированием, изучается в рангах единого подхода, основанного на новых интегральных представлениях характеристических определителей.

Научная новизна. Разработан метод получения интегральных представлений характеристических определителей' для обыкновенных дифференциальных операторов с нелокальными граничными условиями. В случае линейного оператора третьего порядка получены принципиально новые окончательные результаты, к основным из которых относятся:

а) невозвожность существования только двух собственны! значений у оператора трехкратного дифференцирования,

б) существование . инвариантов для операторов с одинаковым спектром,

в) запись вышеуказанных инвариантов в явном виде через граничные функции в исходных терминах,

г) необходимые и достаточные условия конечности спектра,

д) указание асимптотики собственных значении оператора в зависимости от гладкости граничных функции.

ПРИЛОЖЕНИЯ. В диссертации приводятся применение методов теории целых функции в вопросах расположения спектра дифференциальных операторов в гильбертовых пространствах. Дзлнейшие приложения результатов диссертаций могут быть связаны с вопросами обоснования метода Фурье для уравнений в частных производных.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертации докладывались на следующих семинарах: С. И. Темирбулатова (де-

кабрь, 1394 г.), К. А. КасымоЕа (ноябрь, 1994 г.), Н. Т. Темир-гадиева (иарг, 1995 г.). кроме того автор выступил с докладом на кн£.2ренюш, посвяаанной 70-летио Аманова Т.К. (сентябрь, 1933 г.).

Р&гудьтати диосертьшш опубликованы- работав £1-4]. В совместных работах 11,21 (ссаьтор Какгуы:н Б. £,> «¿¿тору диссертации пркнзд^нкат дсксЕател^ства тезе;-».: г. сср-

-'„'ЛЛГО-ОК.

{'-ГУ у.'.-"-'"- Ц г.".чтДлссертацпп состоит иг зле-

Й5ниеу11 двух й-ь?" г две, равбитнх на иосеыь параграфов. Список лнтератури содержит 25 названий. 05ьем диссертации-?1;) страниц.

ССяоз сруоркаюм

Во введении описаны постановки! садач,приведены основ-нио результаты и указаны связи с исследованиями других авторов.

Парвая глава диссертации посвяцэна изложению метода получения интегральных представлений характеристического определителя для линейных обыкновенных дифференциальных опзратороБ с нелокальными граничными условиями.

3 гильбертовой пространстве Iо,3 при рассматри-

саатся опгратор Ь , порожденной дифференциальной операцией.

, & (о; С) (1)

-л областью опргдэлонкл

:',:;:? , 'с- 1..:-;:!:ц:т ¡;с 1г1е,ь1, !.'„'£ор спэ-

"•X Д. Д. и -О^.л. Гр:.:п;ч:;1:;: ;-,;„?,ач.

;н С."/ с! '>

область определения содержится в ^ [оД). Для того, чтобы резольвентное множество оператораЬ было не пусто, в частности, содержало точку необхадимо и достаточно существование набора функции С„Цб^м Лг!*) КЗ таких, что Ь(1)

задается согласно (2).

Таким образом, множество (г) определяет все "граничные" условия, у которых 3 ограниченный С' . В частности , когда ¡А

а) , = Х , при хе ,

б» {хЬ^М^фо при ,то

граничные условия (2) примут вид начальных условий Кош в точке , ^» 0,1, 2. •

в) (¿„Ы-а.хМ.х+Со, «1{*>=а.гг*^*+с1 Д'-мМи-^хсМ^ то граничные условия примут вид двухточечных условий

¡Ьъ/'ыум^Ь-° , г-мд- (3)

с) ^-ол-о^М^х +с,кпри ус гх*.., к- о,

Ху-. £ то граничные условия примут вид многоточечных условий ы 1Л.

22 21 л/у (х^-о ^ =0,1,2.

«-о 1*0 ^ "

Отсюда видим, что в случае а) спектр оператора Ь пуст. В тоже время в случае в) спектр оператора Ь может быть счетным множеством, например, когда (3) переходят в условиях Дирихле. Ив общих соображений следует, что спектр оператора Ь не более чем счетен. Тогда возникает вопрос: может ли спектр Сыть конечным множеством?. Получена следующая теоремз.

Теорема 1.2. 4 Если спектр оператора Ь конечное множество то он либо пуст, либо одноэлементен.

Итак, операция трехкратного дифференцирования с непустым резольвентным множеством не шэкет порождать оператор в функ-

щипальном пространстве ¿¿[б,И] имеющим конечный спектр, в котором не меньше двух собственных значений. Таким образом, дана оценка сверху числу собственных значений оператора [_, , когда это число ограничено. Подобных утверждений для дифференциальных операторов выпе второго порядка не было С13. Когда рассматривается линейная дифференциальная операция второго порядка, то в работе Еиярова Б. Н. "О спектральных свойствах корректных сужений и расширений одного класса дифференциальных операторов" - Алма-Ата, ЕазГУ, 1985. Дисс. канд. физ. -мат. наук доказан факт: либо спектр пуст, либо спектр счетец.

Теперь возникает вопрос: как идентифицировать операторы с киц^чным спектром? Пусть ; + ¿~ , ^ -

Введем функции по формулам

£ \

I

(оо0 -

I

и-х?

о

£ о

1- ^ ^

I

| и-л) е, иШ

1 (Й^Ы*

*

I

) сН

л

I

"6,14) <И

о

1 (W¿-£JP

, I

i I

бЛад fscttUi ! ( e. [bimí j

ï +(№) I ' . !-

íCríOcU Íg,«ÍJI| \Gr,U)cu «

rV->.f

-1

i

'У

(í/

,lenH)c!l Sol-I г)

i

few til ff.UiW

<jU e.th+t) fruí

JgíU.+Í) 5гиг + 4.) (n(4)

4>.U~L\cè (J.)

í I-W, ¡

- 10 - .

Следующая георема дает исчерпывающий ответ на поставленный вопрос.

Теорема: 1.2. 4 Оператор имеет конечный спектр тогда и только тогда, когда О почти всюду

на квадрате

Следствие. Пусть ,1г1 = 0 почти гсюду на квадрате

Тогда спектр и пуст, если

А = <>0 +

Впервые функций В/Ч, и числоАвведены в работе

С1]. Оказывается, введенные характеристики ?)(!, ,1г) и А однозначно определяются по спектру оператора ¿. . Точнее верна теорема..

Теорема: 1.2.3 Пусть наряду с оператором ¿. имеется другой оператор , который задается с помощью соотношений (1), (2) , причем в "(2) функции ,С%<х) б,(ас), 6г(ас) заменены на б^Сх), £Г,Сг>, б"а(х> Тогда спектры операторов и Т совпадают тогда и

только тогда, когда А = ?\ и , 12) = ) для почти

всех из квадрата .

Здесь и определяются по,«набору£б^(х)|

и аналогичны А ии(1|,12)

Вторая глава диссертации посвящена построению асимптотики собственных значений для оператора кратного дифференцирования в функциональном пространстве ¡--¿10',6] а

Еопрос: Когда ненулевая функция в ) ,

вычислить асимптотику собственных значений оператора . В с5щем случае, когда 60(чО , С^Сфункции из [0,Й

спектр оператора L может не иметь асимптотики, то есть не всегда возможно разбиение спектра на отдельные серии собственных значений, для которых выписывались бы формулы при некоторой нумерации. Поэтому накладывает дополнительные требования на функции GaL<x■), б|Сх) ^ 5%(Т.) . Следующие две

теоремы утверждают о локализации спектра оператора в

углах с вертикальными биссектрисами.

Теорема: 2.2. 2 Пусть ^сх") принадлежит ЬгГ0;В] . Допустим, что в окрестностях точек ж=0 существуют (х), <Зг'(х), которые абсолютно

непрерывны. Если ба(Ь)ЕГ|1о> - 6|С&)€0(о) ф. О , то в секторе 5 X 1 * - ¿~ оператор 1_ может иметь разве что конечное число собственных значений. Здесь еГ произвольное положительное число. .

Теорема: 2. 2.1 Пусть б^'Сх") принадлежить l_jl.1v»]. Предположим, что в окрестностях точек 0 , В существуют абсолютно непрерывные производные

Если выполнено неравенство

ф 6, в)

■Ф Ф^о)

е,С«> е,(о) 6,(1) €',«) 6,(0) ф &г(о)

то в секторе 1 Л < оператор "ыоветь иметь

только конечное число собственных значений. Причем 5 можно выбирать произвольно.

Отметим, что приведенные теоремы можно сформулировать при менее ограничительных требованиях на граничные функции 65 . , ^ из функционального пространства {_■£ .

Однако эти формулировки в терминах сопряженных.диаграмм для некоторых целых функции. Существуют формулировка в терминах точной нижней границы спектра некоторой почти-периодической функции. Наши формулировки указанных теорем через исходные данные оператора ¿. , то есть в терминах граничных Функций €Г0 , , €>£ .

В следующих теоремах даются асимптотические формулы для отдельных серий собственных значений оператора 1. Введем функцию

ГДЕ 8?_ =

6« (5)

ДО ш

^(Е) с0(?) с\И) Ф

\ -

(л>2

3

&0 (О $0(0)

Кавдстао /Садоышчий Е. Д.., ЛабипкиЕ Е. А., Вэлаббаси ¡2. О куляг целак функции одного класса, в книге : Груды семинара ишеи 5£ Р. Петровского. выпуск 8., издательство 1ТУ. , 1332, с. 211-217./, что у функции £ секторе|

при прокаеольеоц С накодктся счаткое числа кулэ!:, длп кэторих ьериь. еекматстсикс.

г,

Л

I {'¿гк+ЬВЬгк ~0а))/[:гд,г

ь-к'-

&

- ц:.~зс

"оорй» I Еусгь , (¿з^х). &,1х)ш:ою? сйсохсхко

г.?врис ссокагсдаг; пи охрлекй СО; ь 3 л'сг.лл прлильалглота иодогллголглюга 51 в сектор--

счстко^ чг.слз сооап^глнл

I

ГС*-С «.'С^Г*»; г-о

; Г ' ' " ■

I- г -..

г.си^гспгчгскгл ¿.гр:с."Л<

справедлива для всего множества собственных значение оператора [_ из сектора \] <1 . а лэ для некоторой последовательности.

Теорема: 2. 4. 2 Пусть т'эвт абсолютно не-

прерывна вторые, производные на отрезке £3 $ 31 Пусть 8|—0 , а числа 9 ^ и

не равны нулю. Тогда для собственных значений оператора из сектора | А о. а Л - 1 < 1 верна формула

Анологичные утверждения верны для собственных значений оператора L из сектора ) Л --»лт/г 1 < £

Подобные утверждения для регулярных усгогга с

интегральными возмущениями приведены з работе А. А. /О Сазисностк собственных фушдаи сСданогеааих ренциальннх операторов с иатегралья^я !1рае2!".'л услов::л-ми//Бестник ИГУ, сер. мат. г,-ех. , 1982., Л о/. *

2 нашем случае теорему с^ор^-дкрс^^з з пезодзиг граничных функциях С0(сс), (¿¡(-с), з ет могут яать нерегулярные по Еиркгозу кредо:» тстезгл.

3 приведенных теоремах найдена яскмптотит ссбстг:<?;1нкх значений когда граничные Зункикя звдястсз Д'-'Д^-Г^'Л-цируемыми на отрезке I 0 ,8 3. Однако эта трсбсггяк! л» эшюлняатся, когда оператор 0. ;п:ес? ггкоготопотаиэ гсрпззиэ условия. 3 елэзукглх теосгках приводятся ссгл.'птст'л:;'! -зсСс-тгзнич* значений оператора э еаучгэ ;с:оготс*:этап лрдевых условий. Удобно гестп сбсзЕзгедт

>

//>? ib Í, К

im n

Ш i

/

G* M 6мнг)

<¿nli>) С* (О

[e^,) (¿Л) [6,]Ii)

Ый Шм MW ¡¿Ж)

6(х-о)~б(х+о)

/м • n ]

GM) £ЛУ вА) К J 6^,) GtttJ

тщмл]

Пусть о "'Л'с < ас, < • >■ <г :с,м с гршитоше

г.ункции о^(х') дифференцируемы при и •

Пусть числа 9 | определится по ¿ормулам

1 ^ )

Р.,-([■},-!,),) С'!:;.' ; г!Л С Ц Н , , Р"^;

Нз р плоскости построим две криволинейные полосы

V, '. | р ) б С. , У г ■■ ¡КсГр-М^^^С,

Заметим, что при больших |р| полосы V] я \/гне имеют обеих точек, причем V« лежит правее . Т1ерез II ^ ,

и п > обозначим полосы, ксторие соответственно ле/.ат

V) , :."элду V/ и ЧЛ , лиавео Теорема: 2. б. 1 Пусть тшгалчонч условия Сукэствуют ::олол::толышэ яэстояшп» С| а С ^ , такие, -то ни один "уль 13 , ;:лл :-.отсрого )р| "е з

областях и , , и ^ , I.)- , л внутри оол:'сте:1 и( , V« , [)-,. , один член Суипцкп £.(>,) ,го>'1!п:туг:"и.м, зиепио

соотлйтст.чу;-'^'!!! то'.'Г,'? ::п. "г;1:: "кппрс телеш::.;, ле-л-л идчои ГЛ? :'Л'."Л1СП

(С-0, О , 0...

Г Ну:".:! ::--- —: пр' чт-г';

ц ,,, , г ; - ■ - ■■■■

в. Нули функции Л(я^) в полосе асимптотически сов-

падают с нулями функции

Результаты теорем 2.4.1, 2.5.1 справедливы для кусочно-дифференцируемых функции б„ , , бг(х) с

соответствующим видоизменением чисел р° , р'ц . -Числа { Ц Рк [ ' { шг Рк ^ являются нулями функции из последней теоремы.

Приведем пример, когда выбор узлов ОС. <

< X

упрощает задачу о нулях функции вида (4), Пусть хк =«Ь/

00* . 14 '

1 = , функцию (4) приведем к

Тогда, виду

сделав замену

й I*

-К=0 и

(5)

нулей с учетом кратности, ¿-г. , ... , tx. . Тогда нули для каждой серии

Многочлен (5) имеет (V-/) Обозначим эти корни черев Т-/ ; —* , функции (4) разбиваются' на ЗС. серии верна формула

Б®!,... ,«. , К = 0 , ...

Основные теоремы диссертации получен^ применением методов теории целых функции. В работе /Белман Р, Кук К. Дифференциально-разностные уравнения М., Мир, 1968, 548 с7/ опдеделение спектра обыкновенного дифференциального оператора сводилось к нахождению нулей квазиполиномов

ДбО -

Оказалось, что расположение нулей квазиполинома АС?) зависит от наименыпей выпуклой области, построенной по точкам^ . Также суцестввенное влияние показывает соизмеримость показателей В, , попадающих на прямолинейные

участки границы выпуклой области, построенной по точкамЦ^') В монографий /Б. Я Левин. Распределение нулей целых функции, М.: Гостехиздат. ,1956. 632 е. / вводится класс целых функции, имеющих регулярное расположение нулей. Оказалось, Что этот класс содержит голоморфные почти-периодические функции. В случае рассмотрения оператора возникает о расположении нулей целых функции, имеющие интегральное представление. Когда целая функция имеет вид преобразования Фурье финитной меры, нули ее изучались а работах /Е. Ч. Титчмарша к Картрайт М. /. В нашем случае возникают целые функции, имеющие интегральные представления содержащие дгойные интегралы от экспонент.

Поэтому для исследования нулей таких функции приходится модифицировать методы вытеотмеченных работ. Интересно, в нашем случае гладкостные свойства подинтегральной функций 'О Сэс^) играют роль соизмеримости показателей квазиполинома. Последний факт аналогичен тому, что коэффициенты Сурье гладких функции быстро убывают.

Основная трудность при исследовании нулей функции (6) заключается в выделении главной части при I г | —«»о Наибольший вклад дают члены, содержащие экспоненты с максимальными реальными частями. Последнее связано с носителем функции Т) у

11У0

сановные результаты диссертации опубликованы в работах:

Кангулип £. Ь, Ут*яборгевов П. О спектре оператора кратного дк£с*ренцироваашг. // ПртлгЕеюк.- »«годов теории функций и-функционального анализа ;; задача;.! математическая физики. Алыа-ти. 1953. с. 97-98.

2. Угепбйргеков П. М Спектр оператора кратного дифференцирования на отрезке. //Кал. ук-т.-Алпагы, 1993. -11с.- Бяблиогр. : 2 навв Рус.-Двп. в КазгосИНТК ОЗ. 10. 93, Н4422-Ка93.

3. Утепбергенов НУ., Каигуши Б. Е. Дифференциальные операторы на отрезке к операторы преобразования. //ЕазГУ. - Алмати, хС-34. -15с. - Библиограф. : 2 наов. - Рус. -Дгп. к Казгс :1ППИ 03. 34. 94,;М705-На91

¿. УтепОзргоиоЕ & Асимптотика собстгошшх значении окграто-ра краткого дкф-;эренц::роЕа:;пл.//К:сГУ Ляитц, 1835. -1вс. -БлЭлп-сграф. :2 нг.зз.-2;?л. з ЕьггозКВП: от 0. 02.1С35,К5312-ПГГ»

УтспОергеноз ¿зпиурзт Махиутули.

Ёсел:к д^и-реищшлдзу оперзторинвд neciiwijorí ucnz::::: исилорхнiií ас;-,!:лто'г;!каси.

Дкссортациялиц кужста va еозл: дк:рфаренцкалдау эпораторкни', ¿L»,(ü,€j фуккцкокалдып iceuicririiweri спсг.трплк чурил«мь; зорттзлгс*.

?сд»к «со гшкарзлип спвкт^ал-^двг, парттарк Ссг одеттсг: ди^озренииалдыц опораторлзр v^iir снпаттамалпц an!í};rayy~rEpai!!íi, иктсгралдыц тур:к табу c-.*ici зортте-лг.п dcpi.-го::» Yniuni porvi сизш&иц оператор гагдайи va i и 5ipi;vrap aiü ие&:язяер а.гчкпк, о.-срли'Ц Herisri.'spi

1. Er.i rara hchcíeití нем балуикиц >:yki::ii ecesriri.

2. Спсктрлсрх бхрдоЯ слоряторлар vriit 1::гззр::з!!?гпс!<!:!1.'Ц бар йол/íj-

3. Спектрдгц ацир-.ч болуш:ац ípserri гоне сет;:Ши?1л1к

4. Гохарэлш; фуккцаяпып езгш^игина бзйлакйсти kCü5ík?í

мсндзрх.'йИ ac::;:nTO'j:i¡:a.?spij цурилгап.

Utepbergenov Shaimurat makhmutovich Eigenvalue asymptotics of multiple differentation operator in the interval.

In this dissertation spestra structure of the triple differentation operator in functional space L^CO, bD was studied.

Method of getting integral representation of characteristic determinants for ordinary differential operators with nonlosa3 boundary conditions was worked out. In sase cf linear oppratrr of the third orde£. The following results were achieved

1. impossibility of exestence of only two eigenvalues;

2. existence of invariants for operators with similar spectras;

3. necessary and sufficient conditions of finiteness of spectra.

4. indication of eigenvalue asymptotics depending on smoothn. «s of boundary functions.