Проблема Рауса-Гурвица для семейств полиномов и квазиполиномов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР

Ленинградский ощена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственный университет

/93

.л/

рукописи УДК 517.917

// С На правах рз

&<г 03. Ю.

Харитонов Влади?,яр Леонидович

ПРОШИЛ РАУСА-ГУРВШ ДЛЯ 0'Жй:СТВ полиномов и кллзшлкнсшз

01.01.II - системнш анализ и автоматическое управление

Автореферат диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ленинград - 1989

Работа выполнена на факультете прикладной математики -процессов управления Ленинградского государственного университета

Официальные оппоненты:

- доктор технических наук, профессор А.М.Воробьев /Ленинград/

- доктор физико-математических наук, профессор Е. А.Гребеников

/Москва/

- доктор, физико-математических наук, профессор Ф.М.Кириллова

/Минск/

Ведущая организация - Институт машиноведения АН СССР им. А. Л. Елагонравова

Защита диссертации состоится 19 г.

в часов на заседании специализированного совета

Ц-063.57.33 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Ленинградском государственном университете по адресу: Ленинград, Васильевский остров, 10 линия, дом 33, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ЛГУ им. А.М,Горького /Ленинград, Университетская наб. Д. 7/9/. ' .

Автореферат разослан 19 г.

Ученый секретарь ^ д.к. Бабадаанянц

специализированного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из основных требований, предъ-являеьмх к системам автоматического управления, является устойчивость расчетных режимов. Если система автоматического управления описывается дифференциальными или разностными уравнениями, то возникает задача анализа расположения на комплексной плоскости корней характеристического полинома. В случае дифференциально-разностных уравнений вместо полинома появляется квазиполином.

Известные классические результаты С. Н^ ГШ it С , А. И.

Ляпунова, Rouih , ü. Hurusitz , т. Fuji шаг а

У. Schu^4 дают полное решение задачи распределения корней полинома на .комплексной плоскости. Фундаментальные исследования Н.Г.Чеботарева, Л.С.Лонтрягина заложили основу для построения эффективных алгоритмов анализа расположения на комплексной плоскости корней квазиполиномов. Зти исследования получили развитие в работах Б.Я.Левина, Н.Н.Меймана и др. Для случая простейших квазиполиномов коэффициентные критерии расположения всех корней в левой полуплоскости плоскости комплексного переменного получены в работах А.А.Андронова, А.Г.Майера,

П. Hayes , Kl. Haha и др.

Дальнейшее развтиие теории связано с учетом в математических моделях систем автоматического управления параметров, точное значение которых неизвестно. Наличие таких параметров приводит к необходимости анализировать расположение корней не одного полинома (квазиполинохп),,а целого семейства полиномов (квазиполиномов), отвечающих всем допустимым значениям параметров. В случае небольшого числа параметров эффективными методами решения этой новой задачи являются'идейно близкие метод Д-разбиений Ю.И.Нейшрка и амплитудно-фазовый метод Я.З. Ццпкина.С"ростом числа параметров эффективность таких методов понижается. Большое распространение получили алгоритмы, основанные на методе функций Ляпунова. Новый метод матричных преобразований предложен В.И.Зубовым.

В диссертации развивается подход к анализу расположения корней семейств полиномов (квазиполиномов) в случае, когда в

качестве параметров взяты коэффициенты полинома(квазиполинот). Такая постановка задачи мотивируется появлением систем автоматического управления, содержащих большое число параметров, значения которых известны только в оценочном плане, и сложной зависимостью коэффициентов характеристического полинома от этих параметров.

Объект исследования и цель работы. Каждому полиному степени П

(а)-£ акх"~* (а„>0) (I)

к» с

с вещественными коэффициентами отвечает точка в (Г>+1) -мерном пространстве коэффициентов. Обозначим через Н множество точек пространства коэффициентов, отвечающих полиномам (I), все корни которых имеют отрицательные вещественные части. Через /У* обозначим множество, точки которого отвечают полиномам (I), имеющий все корни внутри единичного круга.

Пусть в пространстве коэффициентов задано компактное множество 5 • Каждая точка Э определяет полином вида (I), само множество 5 задает семейство (/(5) таких полиномов. Требуется найти условия, при выполнении которых ¿С Н (6 С ). Полиноцу с комплексными коэффициентами

Г (г)-21 (ак+1&к)гп~к . (2)

к=о

поставим в соответствие точку в 2(п+1) -мерном векторном пространстве параметров (ав,и„-, О» , (>е, Ья) • Область устойчивости в пространстве этих параметров.будем обозначать, как и прежде, через // (//,). Пусть К -компактное множество в этом пространстве. Множество /С определяет семейство полиномов вида (2). Требуется определить условия, при выполнении которых

К с Н ( К с Н< ).

С каждым квазиполиномом

к с € о)

свяжем точку в /ЩИ*1) -мерном пространстве коэффициентов. Через Т обозначим компактное множество в пространстве коэффици-

ентов. Ему отвечает семейство квазиполиномов U(T) . Обозначим, как и раньше, через H множество в пространстве коэффициентов, точки которого отвечают квазиполиномам (3), имеющим все корни в левой полуплоскости плоскости комплексного переменного. Необходимо указать условия, обеспечивающие включение ТС И .

. Обшие метода исследования. Решение указатшх задач опирается на классические исследования L. HcFfiliit ( П.Л.Чебышева, А.А.1£аркова, И.Г.Чеботарева, Л.С.Понтрягкна и др. о корнях полиномов и целых функций и их приложения к проблеме Рауса-Гур-вица.

Научная новизна. Одной из первых работ по определен™ условий того, что 5 С И , была работа итальянского математика

ГО СО0 . В ней рассмотрен случай, когда 5 является пря- . мым параллелепипедом. На основе анализа схемы Рауса получен алгоритм проверки включения 5 С H , состоящий в проведении вычислений по двум схемам, напоминающим схему Рауса. При этом вычисление каждой из схем на К -том шаге использует вычисление другой схемы на предыдущем шаге. Выдающийся по глубине результат получен при применении к проблеме Payса-Гурвица исследований П.Л.Чебышева и А.А.Маркова (см. "Теория матриц", Ф.Р. Гантмахер), С каждым полиномом связывают набор параметров Маркова. Показано, что прямой параллелепипед в пространстве параметров Маркова принадлежит области устойчивости тогда и только тогда, когда две его вержины лежат в области устойчивости. Существенный результат был получен в работах С A boh , С. S. ВСГдСГ' , К.Р. ÙObk? .Здесь был предложен алгоритм определения максимального радиуса кара с центром в заданной точке пространства коэффициентов, целиком расположенного в области устойчивости И ( Н, ).

В диссертации получены новые критерии принадлежности области устойчивости прямых параллелепипедов, шаров и более общих множеств пространства коэффициентов. Дан ряд достаточных условия. Предложены алгоритмы построения в пространстве коэффициентов множеств, целиком расположенных в области устойчивости. Проведена классификация линейных матричных уравнений и выделен новый класс матричных уравнений, обладающих свойствами классических уравнений Ляпунова, Это позволило распроетра-

нить метод матричных уравнений на задачу распределения корней семейств полиномов не только относительно классических областей комплексной плоскости, но и более сложных алгебраических облйстей.

Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты позволяют на начальной стадии проектирования системы автоматического управления обосновать ее параметры, учесть их разброс, провести оценку точности расчета этих параметров при решений задачи устойчивости и стабилизации. Это сократит время разработки системы и повысит ее надежность.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на III Всесоюзной конференции по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением (Иркутск,1977), на Всесоюзной конференции по устойчивости движения, колебаниям механических систем и аэродинамш э (Москва,1978), на IX Международной конференции по нелинейным колебаниям (Киев,1981), на 1У Международной конференции по качественной теории дифференциальных уравнений (Руссе-Д989), на республиканской конференции по математике и механике (Алма-Ата,1989).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в девяти работах.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 240 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 100 наименований. Первая глава состоит из семи параграфов, вторая из шести параграфов, а последняя содержит три параграфа.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ '

Во введении обосновывается постановка задачи, дается краткий обзор исследований по указанной тематике, излагаются основные результаты диссертации.

Первая глава посвящена задаче определения условий, при выполнении которых множество 5 С Н ( К £ Н ). Она состоит из семи параграфов (§§ 1-7). В §1 даны основные определения и сформулированы теоремы, которые являются основой для дальнейших исследований.

Второй параграф начинается с рассмотрения семейства по-

линимов (I) с вещественными коэффициентам

F- {i(U laK е [дк,ак],*-о.1.-.«}.

Семейство F определяет в пространстве коэффициентов прчмсй

параллелепипед

5= {(ав,а1,...,ап)1ак е [ал, ак], к-о.1...,п}.

Будем говорить, что семейство р устойчиво, если 5 С Н .

Теорема I. Семейство полиномов Г устойчиво тогда и только тогда, когда все корни полиномов 4 )

имеют отрицательные вещественные части. Полином ^ (X) имеет коэффициенты

ап.гк ( К -четно ^ > К ~четн0

} п к-нечетно, Uft-2K-1 ) п /С -нечетно.

Полином ^¿(Aj имеет коэффициенты

JSn-ZK, -Ч9ТН0 Jdn-M-t> * -rjeTH0

Wrt-2«f* ) а л (С -нечетно, Un-2K-1 -нечетко.

Полином /¿(А) имеет коэффициенты

i^n-U ' К -ЧеТН0 Q J^n-Zn-I > К "чеТН0 ак-1Кя1 а„.1к , К -нечетно, Н'2К'1 , * -нечетно.

Полином (X) имеет коэффициенты

л , * -четно п .Шл-2к-1, * -четно

Un-i/i") ~ и/г-2к-1 ¡я

[Q/f-ZK' к -нечетно, . л-ZK-i, < -нечетко.

Показано, что уменьшить количество полиномов, подлежащих проверке, а общем случае нельзя.

Далее рассмотрено семейство полиномов (2) с кокплесными коэффициентами

К" IFU) Iак е[дл, ак], 4e[iKt Ц K-o,i,......7/

Теорема 4. Для того чтобы семейство полиномов К было устойчивым необходимо и достаточно, чтобы восемь полиномов из

* Нумерация теорем соответствует их нумерации в диссертации.

этого семейства/5, , Гп (2) , Гг1(2) , (г) , />3 (?) , /34 (г) , (2) и (2) и^лл все корни в левой полуплоскости. Полином (2) имеет коэффициенты, определенные по правилу

а Гь ~'ктно / ' = 1 >К~тТ1Ю

( О ¿к , К -нечетно, I , К - нечетно,

д ^ К -четно ^ = ¡{п-2К, * -четно

Л-г»М ] а^^^ к -Нечетно, / Т>й~1к> ^ -нечетно.

Полином имеет коэффициенты

-четно -нечетно,

/т /йп~2к-1 • Л -четно , 1 К -четно

[йп-1К-1> *-нечетно, -нечетно.

Полином Рг1(ь) имеет коэффициенты

/Я*-« , «Г -четно . ^{Ъп-гк, * -нечетно, I ,-»

0 I ап-гк> к -четно 4 д- ' к "че'Г!Ю

«-¿А | К -нечетно, , £ -нечетно,

а „¡йц-гк-1> к ~четн0 ^-¿к" У/«-/1*:, /1 -четно

/г-,гк ; |, /с -нечетно, -нечетно.

Полином имеет коэффициенты

д /^«-¿л » ^ -четно ^ ^ к -четно

/ ^-¿/г, к -нечетно, ^¿а-гк-1, Л -нечетно,

Шп-гк-1, гС -четно ^ " ] , /С -нечетно, '

-четно / <£ -четно

V,?* =) , '

—п~2/С> -нечетно.

Поликсы Р35 имеет коэффициенты

/Дм,.* -четно ' *

( 5/г-^/с . * -нечетно, к -"счетно,

К -нечетно, * к -нечетно.

Полином Я34 имеет коэффициенты

п „/-л-г*/*-четно t , К -четно

In . W-fb

-нечетно» С £ -нечетно,

ß . Mi-u-i. * -че™° / . / 4-2^, *

n-2K-f I К -нечетно, " ^ Ъц-2к, И - нечетно.

Полином имеет коэффициенты

fl Ж fffn-2«f ^ -чета0 b m/in-iK-1,K -ОДТК0 (1-2К " | к; -нечетно, ^^ / , /С -нечетно,

д „/Я«-* к-1 > К -четно ^ aßn-2K,lC ~четно

1 Зц.2к-1 , К -нечетно, i Z ^ к -нечетно.

Полином F,, (ZJ имеет коэффициенты

/

л =» lan-lc, К -четно / = 1$п-гк~1 ) -£ -четно ./ ^-¿/Г-/ } 7

L Ч\л-1И, -нечетно, ^ °п-2и-1 > ^ -нечетно,

<-S«-Zic-1>K -нечатно, I /с -нечетно.

Указаны условия, позволяющие уменьшить количество полиномов, подлежащих проверке, до четырех.

Заканчивается этот параграф изложением результатов по построению в пространстве коэффициентов (параметров) шара максимального радиуса с центром в заданной точке, целиком лежащего в области устойчивости.

В § 3 рассмотрена задача построения семейств полиномов, имеющих корни только в левой полуплоскости плоскости комплексу ного переменного. Рассмотрено семейство

F(£)={tu)laK , c-o,i,...,nj.

Найдено максимальное £<» такое, что при всех 6 ^ 6д полиномы семейства F(£) имеют корни только в левей полуплоскости. Для этого необходимо, чтобы полином {i0)(X)"йд ).П+ имел корни только в левой полуплоскости. / /

Теорема I. Величина ¿0 - min. , ¿3 , , •

Здесь ¿у - наименьший положительный корень полинома

Матрицы и строятся по числам Ч^ и , УК2

,4 ) соответственно.

Аналогичная величина найдена для семейства поли -

номов (2), зависящего от параметра 6 :

К(&)т {Р(г) Iак с&)>„, а?'* е *кг],

■ Затем рассмотрен случай зависимости пределов изменения коэффициентов от нескольких параметров

Цс,,...,сту{£(ФАа<?- .....сЛа(°'+ %2(с,....,ст}],

], ч-о,1.....п).

Здесь (С,,...,СМ), {РК1 (С,,..., См)> (С!,..., Ст), ^¿(С,,-., С„)~ заданные, непрерывные, неотрицательные функции переменных

С1,...,СМ . В пространстве параметров выделено множество Се . точки которого отвечают устойчивым семействам полиномов

К (с,.....ст) ■

В заключении параграфа рассмотрена зг.дача определения условий, при выполнении которых выпуклый многогранник Л/ в пространства коэффициентов лежит в области Н . Исходя из многогранника М , построено параметрическое семейство выпуклых многогранников М(&} , совпадающее с /V при ¿"У , и обращающееся в точку С^ при <5 - 0 . Указан алгоритм построения такого £р , что при всех £ * 50 многогранник М(6)( //.

Теорема 10. Пусть все корни полинома $(1>>(\} имеют отрицательные вещественные части. Тогда

Здесь / ("(А) - полином, отвечающий точке

а®

, а Ш) совпадает с первым значением параметра € , при котором многогранник И (6) имеет общие точки с гиперплоскостью Р(и/)=1(11

(аЛМ-МвЛ^Ы > векторы Ъ(Ш)ш(0,Ш,0, -ш3, Ь,...) ■

Следствие I. Для того чтобы исходный многогранник г/ С г/

необходимо и достаточно, чтобы £0> 1 .

Рассмотрено обобщение теоремы 10 на случай, когда коэффициенты являются линейными функциями параметров, а многогран -ник задан в пространстве параметров.

Подробному изложению применения к проблеме Рауса-Гурвица замечательных теорем А.А.Маркова посвящен § 4. С каждым полиномом (I) связывают набор параметров Маркова Д.,, 5В,..., Ъ2т1 при Я*2пи1 или 5„, 5,,..,, $гп{ ^ при п- 1т . Рассмот-

рена задача определения наибольшего £0 такого, что при всех полиномы семейства

5(6)- 15; ( [ , ¿/^ «5 /- 0,..., 2т-}}

имеют корни только в левой полуплоскости.

Теорема б. Для того чтобы семейство полиномов 5(6) было устойчивым необходимо и достаточно, чтобы

£<<5, - теп б},

где да - ближайший к нулю корень поликома

а 2- . Матрицы Ар , Кр

построены по числам и ^ ( }=■-/,0,...,2т-1 ).

Рассмотрен случай, когда границы изменения параметров Маркова зависят от нескольких параметров

5СС„...,Ср)= {¡¡а) 15, 6 [¿?-\)(С„...,Ср), ¿¡%и^„...,ср)} .

Найдено множество Сц в пространстве параметров, точки которого отвечают устойчивым семействам полиномов 5(С,,..., Ср) .

В пятом параграфе с каждым полиномом -(I) связываем набор параметров Стильтьеса. По теореме Стильтьеса все корни полинома (I) имеют отрицательные вещественные части тогда и только тогда, когда все параметры Стильтьеса Л.} , ^ /, ■1,.,.,/П ), в случае П~2,т + 1 следует добавить параметр с/, о , положительны. Простая структура области устойчивости в пространстве параметров Стильтьеса позволяет сформулировать условия, при выполнении которых семейство полиномов

А- € . ,5}Л у- 0,'1,-м]

устойчиво.

Теорема I. Семейство полиномов Р является устойчивым тогда и только тогда, когда величины д^у , ¡Ь^ положительны, 1 2т-1 (при П-/2/и+ 1 следует добавить неравенство ¿е > 0 ).

В § б предложен ряд достаточных условий включения (5" С// £ К С Н ) для случая произвольного компактного множества 5 ( К ). Первая группа условий основана на результатах 5§ 2,4,5. Для каждого коэффициента определены крайние значе -ния '

ак-т1п{ак} , ак- тах [ак} ,

По этим значениям построено семейство полиномов

Теорема. I. Для того чтобы 5 С N достаточно, чтобы четыре полинома ^Л^ ( /- 1, Л., 3, 4 ), указанные в тео -реме I § 2, имели корни только в левой полуплоскости.

Аналогичное утверждение получено и для семейств полино -мов с комплексными коэффициентами. Вторая_ группа условий основана на построении множества^ 5" ( К __), удовлетворяющего условию: из включения 3 С И ( КС Н ) еле -дует включение 5 С // ( К С Н ).С этой целью свяжем с каждым полиномом (I) пару полиномов Иш) , СЦЫ) по форцуле

/ГА}- Ь(Хг) +Хус*2') . (4)

Обозначим через семейство полиномов Ь Ш) , от -

вечающих по формуле (4) полиномам семейства 1/(5) , а

через - аналогичное семейство полиномов Ц(У) . Для

каждого отрицательного. Ы0 выделим в семействе поли-по мы

, принимающие в точке Цц соответственно наименьшее и наибольшее значения. Аналогичные

полиномы в семействе обозначим через и

С( (и, иа) , Множество полиномов

£ (и, ие) и {с при всех ид£ 0 обозначим через , а'через ¿ч обоз-

1ачим множество полиномов (] (У, ио) и $ (и,и0) для всех И0 ^ 0 . Через 5 обозначим множество в пространстве коэффициентов, точки которого отвечают полиномам (I), порож -денным всевозможными парами (к (И) , й (и) ) , где п(И)

Теорема 3. Для того чтобы 5 С Н достаточно, чтобы

в с Н .

Аналогичные утверждения получены для семейств полиномов, заданных множествами в пространстве параметров Маркова.

Все результаты перенесены на полиномы с комплексными коэффициентами.

В последнем параграфе первой главы проведено системати -ческое обобщение результатов §§ 2-6 на общий случай - определение условий, при выполнении которых все полиномы семейства имеют одинаковое число корней с положительными вещественными частями.

Вторая глава содержит шесть параграфов (§§ в-13). Она посвящена задаче поиска условий, обеспечивающих отрицатель -ность вещественных частей всех корней квазиполиномов семейства \)( Т) ( и (ТС)). В § 8 даны необходимые определения и сформулированы основные теоремы о расположении корней квази -полиномов.

В § 9 рассмотрено семейство квазиполиномов вида (3)

К-[ 9(2)} а ка й[аг,,ЯК;],к»1.....щ в-0,1.....т)

С квазиполиномом (3) свяжем пару вещественных тригонометрических квазиполиномов Ь (и) , у (и) по формуле

'(-¿)а ?(№) - Н № + I • (5)

Семейство квазиполиномов К определяет в пространства коэффициентов прямой параллелепипед П • Введем вспомога -тельные функции вещественного переменного и1 :

т - тНг«2)1 , Гг (Ш) - тах {Ь($}, № тп{дЩ , % (из) - гпах ($№}.

Используя наличие у квазиполинома (3) главного члена, найдем величину (i + 2с>й) такую, что каждая пара вещественных тригонометрических квазиполиномов (fl (UXJ , ) , порожденная квазиполиномами семейства К , имеет на полуоси [1 простые, вещественные, чередующиеся корни. По числу <S6 определим целое число Кп=> Г С/ + Z Со) М 7 .

Теорема I. Чтобы все квазиполиномы семейства Л имели корни только в левой полуплоскости достаточно, чтобы

1) при четном п каждая из функций У1 (W) , f¿ (и?) имела на промежутке [0, ¿p¡ ] ровно простых корней; при нечетном п каждая из функций (<d) . V¿ (и}) имела на указанном промежутке ровно ) простых корней;

2) на промежутке [о, (К,-1) ^J корни каждой пары функций {У>-(Ш) , Y« (itf) (1,1; K-1,'¿ ) чередовались.

Для семейства квазиполиномов (3), зависящего от положи -тельного параметра

КШ- { у (Ю I QKs Ч0« - ; а'Л * ¿/W,

■ к- 1,1,..., п ; s- о, }

найдена величина £<? , такая, что при всех & г & с семейство К(&) устойчиво. Семейство К ~ К (i) , позтолу, если 6о>1 , то семейство К устойчиво.

Аналогичная задача рассмотрена для квазиполиномов с комплексными коэффициентами

Ф^-Л"1*- L £ (6)

_ И*1

Получены условия, аналогичные теореме I, обеспечивающие расположение в левой полуплоскости всех корней квазиполиномов семейства '

КС~{<Р(2)1ак5£[ак5,а

xs]> &KS ^[¿KS t >

Je« n ; s~ 1,2,...,m

В § 10 рассмотрены квазиполиномы типа

К — ТГс Л

Ш)- А"+ I аК5Х е (?)

К.-1 5-1

гдо^ ( 5= _ неотрицательные сдвиги. Рассмотрим се-

мейство квазиполиномов вида (7)

. Л", = IУ Ш\акз б[ак&, ал$], Кш .....я;

Ка основе принципа аргумента получены достаточные условия устойчивости семейства . Эти условия используют параметрическое семейство квазиполиномов

К, (£> {У(фК5 е[о«-¿Аз. «с-ч...,и; ¿-л...,/»],

где

..т.

По построен!« К1 (1) ■ Получена оценка ¿о параметра £

такая, что при всех ¿^ 6о семейство К1 (6) устойчиво.

Теорем;« I. Для того чтобы все квазиполиномы семейства К,(£) имели корни только в левой полуплоскости достаточно, чтобы были выполнены условия п Л т (0)

1) все корни квазиполинома У

имеют отрицательные вещественные части;

2) £<ё0'Шйт

04)4 5

Для разыскания положительных величин , &¿1 ( ¿"О, 1,..., 5 ) необходимо определить конечное число вещественных корней тригонометрических квазиполиномов ?1, ,

связанных с ^^СХ) соотношением

со)

в (0)

Замечание. Функция п (10) имеет конечное число вещественных корней.

Следствие. Если определенная в теореме I величина Ь„>1 , то исходное семейство квазиполиномов К^ устойчиво.

Аналогичные условия получены для квазиполиномов с комплексными коэффициентами

I ' К" 1 6*1

€.[АК5 АЗ] . ^

К5 I — Кб •

В § II рассмотрено параметрическое семейство квазиполиномов вида (7)

Н(г)-{ у (X) I ,

где О - вектор коэффициентов квазиполинома УЧА) ,а Дивектор коэффициентов квазиполинома Н'^Х) .Предложен алгоритм определения тех значений параметра Г* ,для которых семейства НСГ4) устойчивы.Обозначим через р^ расстояние в пространстве коэффициентов от точки до гиперплоскос-

ти

П„-{а 1У(Ш-о}.

Теорема I. Пусть все корни квазиполинома

имеют отрицательные вещественные части.Тогда для того,чтобы квазиполиномы из семейства Н К4) имели корни только в левой полуплоскости необходимо и достаточно,чтобы выполнялось неравенство

Г 4 г«/ { Риг} • С0>О

Далее здесь рассмотрено семейство квазиполиномов

Н1(г)-{ в (а-а"Ь<г<},

где 5 - квадратная симметрическая матрица,все главные миноры которой положительны.С использованием модифицированного понятия расстояния уш от точки 0 Д° гиперплоскости П из .найдены те значения Г* ,для которых семейства Н1 ( Г4) устойчивы.

Теорема 2. Пусть все корни квазиполинома V (0>(И) имеют отрицательные вещественные части.Для того,чтобы все кзази-пслиномы семейства /У» (I4) имели корни только з левой полуплоскости необходимо и достотачно,чтобы выполнялось неравенство

г - min {

U)>0

Аналогичные утверждения получены для квазиполиномов с комплексными коэффициентами.

Заканчивается параграф рассмотрением задачи построения в пространстве коэффициентов квазиполинома (6) выпуклых многогранников.Пусть М - выпуклый многогранник,его вершины обоз начиы через S(i{ iU>,..., ü сй) .Введем точку = ± ¿f и построим параметрическое семейство квазиполиномов5"*

МШ-ia ¡а-а"*±£ cjls\ сь >о,

1 5- f

<а

s- 4,l,...л ; 21 С5 - 6

5=1

По построению М = М (1) .Зададим IÜ > 0 и обозначим через 6 (М7) наименьшее положительное значение параметра 6, при котором многогранник М (£) имеет общие точки с гипер-плостостью Пи* •

Теорема 6. Пусть все корни квазиполинома Vх (X) имеют отрицательные вещественные части.Для того.чтобы многогранник М(£) располагался в области устойчивости необходимо и достаточно,чтобы выполнялось неравенство

6 < е0~ inj { ecufJ).

iaj^O l j Следствие. Если величина 6« > 1 ,то исходный многогранник М . лежит в области устойчивости.

Рассмотрен случай,когда коэффициенты зависят от параметров и многогранник задан в пространстве этих параметров.

В 5 12 результаты §§ 9-II распространены на общую задачу выяснения условий,при выполнении которых все квазиполиномы семейства имеют одинаковое число корней с положительными частями.

Последний параграф главы П посвящен задаче определения максимально допустимого запаздывания fl .сохраняющего все корни квазиполинома.

■

5-0

в левой полуплоскости.Здесьра (X) ( £ » 0,1,..., />/ )_ полиномы. Предложен алгоритм определения искомого значения величины Л.

Последняя глава состоит из трех параграфов (§§ 14-16).В 5 14 даны основные определения и сформулированы условия,обеспечивающие расположение всех корней полинома в единичном круге комплексной плоскости. Заканчивается параграф изложением основных этапов применения метода матричных уравнений к задаче распределения собственных чисел матрицы,элементы которой зависят от параметров.

В начале § 15 на основе результатов 5 2 получены условия достаточные для того,чтобы все корни полиномов семейства

Г' { I а) I ак 6 {ак,ак], к.ол,,«1

лежали внутри единичного круга комплексной плоскости.Такие условия получены и для полиномов с комплексными коэффициентами.

Пусть в пространстве коэффициентов полинома (I) задан выпуклый многогранник .Обозначим через ^

его вершины.Введем внутреннюю точку многогранника Требуется найти условия,при выполнении которых многогранник лежит в области устойчивости Н^ .Рассмотрим вспомогательное параметрическое семейство многогранников

у

3-1

Замечание. Исходный многогранник Ь Для каждого У £ [О, ¿У) определим наименьшее положительное значение параметра Ь ,при котором многогранник 5(1)

имеет общие точки с множеством .

п ( , п Ш-5) V }

3-0

■

Обозначим это значение параметра t через i(y)

Теорема 2. Пусть точка лежит в области устойчивос-

ти.Для того,чтобы S(t)C Н| необходимо и достаточно,чтобы выполнялось неравенство

inf {Ы9)1.

о¿у¿¿ж с и

Следстзие. Для того,чтобы исходный многогранник О <- П1

необходимо и достаточно,чтобы 1 .

Выделен класс выпуклых многогранников в пространстве коэффициентов,обладающий свойством:для включения многогранника в область устойчивости необходимо и достаточно.чтобы в области устойчивости лежали его вершины.Рассмотрим в пространстве коэффициентов полинома (2) выпуклый многогранник

Теорема 6. Чтобы многогранник

sc

лежал в области устойчивости 5С с Н, ) необходимо и достаточно,чтобы все вершины 5 С лежали в области устойчивости.

Рассмотрим в простаанстве коэффициентов выпуклый многогранник

* + s + <?os - as~ -Qn-ь «<£s+*ts

* ¡fos - fa (Cf 4 + ^ 5 ^* 4

где функции 5(С^...,Си) , X. Л5 1С,,..., С») , (Си...,С„) ,

КЗ ( С,,..•, С/<у) неотрицательные,непрерывные,за-

даны в А/ -мерном пространстве параметров С«,-"> сы• Выделено" множество Го пространства параметров,точки которого определяют многогранники 6 С .расположенные а области устойчивости Н1

Последний параграф посвящен применению метода матривдых уравнений к задаче анализа расположения собственныхх чисел матрицы,элементы которой зависят от параметров.С этой целью проведена предварительная классификация алгебраических областей комплексной плоскости вида

/" - { X I Г(2,?) >0 },

где ¿» Сз^Л -полином,

коэффициенты которого удовлетворяют условиям Скв - С&1С {£,5* 1,1,...,ГЦ ).с каждой областью Г связано линейное матри-чнсе уравнение ■• • .

££склА' X А - У, (8)

где Я -заданная квадратная.матрица с комплексными элементами, У - заданная,а Л" - искомая эрмитовы матрицы. №. Кй1М(Ш подробно рассмотрел класс областей Г ,для которыхх матрица С ~ 5—1 К0э!йи1*иеитсв имеет ранг 2 и сигнатуру 0.Км показано,что для этого класса областей матричное уравнение (8) обладает всеми свойствами матричного уравнения Ляпунова,и высказано предположение,что этот класс областей является наибольшим классом областей,для которых условия принадлежности всех корней полинома области Р можно записать в виде системы неравенств,включающих только рациональные функции вещественных и мнимых частей коэффициентов полиномов.В работе найден более широкий класс областей,обладающих этим свойством. Это области Г ,для которых инварианты матрицы С удовлетворяют условию

пщд(С)-аьдпс1Ыга(С)-2.. (9)

Теорема I. Пусть инварианты матрицы С удовлетворяют условию (9).Тогда следующие два утверждения эквивалентны:

а) все собственные числа матрицы Л лежат в области Г ;

б)для любой положительно определенной эрмитовой матрицы V решение уравнения (8) X -положительно определенная матрица.

Гассмотрим семейство матриц ^

Теорема 3. Пусть все собственные числа матрицы Л лежат в области Г .удовлетворяющей условию (9).Для того,чтобы все матрицы из семейства V имели собственные числа только в области Г" достаточно,чтобы параметр 3 не превосходил наименьшего положительного корня полинома ¿т-г с

Здесь коэффициенты <5") , \>5 ( 5 = <2т~1 ) определяют-

ся по матрицам Л, 61,..., В[ и матрицам X , У , удовлетворявшим уравнению (8).

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работа*:

1.Харитонов З.Л. Об одном обобщении критерия устойчивости // Изв. АН.Каз.ССР.-1978,- № I. - С.53-57.

2.Харитонов В.Л. Об асимптотической устойчивости положения равниовесия семейства систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения,- 1978.- № II.- С.2086-2088.

3.Харитоноп В.Л. Об асимптотической устойчивости решений линейных систем с периодическими коэффициентами // Некоторые вопросы теорйи управления движением /Под ред. Е.В, Воскресенского.- Саранск, 1979.- С. 105-108.

4.Харитонов В.Л. К проблема Рауса-Гурвица для семейств полиномов // Проблемы устойчивости движения, аналитической механики и управления движением/Под ред. В.М.Матросова, А.Н.Пан-ченкова,- Новосибирск, 1979.- С. 105-111.

5.Харитонов В.Л. Проблема Рауса-Гурвица для семейств полиномов и квазиполиномов //Математическая физика,- 1979.- Вып. 26.- С.69-79.

6.Харитонов В.Л. Задача распределения корней характериетичес-

кого полинома автономной системы // Автоматика и телемеханика.- 1981.- № 5.- С.42-47.

7. Харитонов В.Л. К определению максимально допустимого запаз давания в задаче стабилизации // Дифференциальные уравнения.-1982.-» 4.- С. 723-724.

8. Харитонов В.Л. Метод матричных уравнений при анализе локальных колебаний // IX Международная конференция по нелинейным колебаниям;- Киев, 1984.- С.387-391.

Э.Меличева Т.Л., Харитонов В.Л. К устойчивости систем с запаздывающим аргументом // Дифференциальные и интегральные уравнения /Под ред. Н.й.Отрокова.- Горький, -1988,- С.55-59.