Методы и алгоритмы среднеквадратичной оптимизации при учете запаздывания тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

РГБ ОД

о 1,4"'V V—Г|

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КОЛОМЕЕЦ Наталия Леонидовна

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ПРИ УЧЕТЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ

Специальности: 01.01.09- математическая кибернетика, 05.13.16- применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (в отрасли физико-математических наук)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1998

Работа выполнена на факультете прикладной математики -процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Веремей Е.И.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Нелепин P.A., кандидат физико-математических наук, доцент Дорофеев Б.В.

Ведущая организация: Научно-производственное объединение АВРОРА, г. Санкт-Петербург.

Защита состоится " 17' " COtCOCiAÄ 199S года в {т^~часов на заседании диссертационного совета К-063.57.16 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, Васильевский остров, 10-я линия, дом 33.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ имени A.M. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, дом 7/9.

Автореферат разослан " ¡3 " SlHibO^p.*_199$ года.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор

В.Ф. Горьковой

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время при проведении научных исследований, связанных с изучением, проектированием и практической реализацией систем автоматического управления техническими объектами исключительно широко применяются разнообразные комплексы математических моделей и методов. Это позволяет использовать современные средства вычислительной техники для автоматизации выполняемых работ, что существенно повышает эффективность научных исследований в указанной области.

При разработке соответствующего математического обеспечения особое внимание уделяется вопросам автоматизации анализа устойчивости и качества динамических процессов, аналитического поиска оптимальных законов управления, технической реализации управляющих устройств на базе цифровых и аналоговых элементов.

Исключительно широкое распространение в теоретических исследованиях и практических приложениях получила теория аналитического синтеза законов управления (регуляторов) для динамических управляемых объектов. Основы соответствующих подходов были разработаны в трудах А.М. Лётова, В.И. Зубова, A.A. Красов-ского, В.В. Солодовникова, B.C. Пугачёва, Н. Винера, Р. Калмана и многих других исследователей.

В частности, заслуженной популярностью пользуется теория синтеза оптимальных регуляторов, обеспечивающих минимум среднеквадратичных функционалов для линейных динамических объектов, подверженных воздействию стационарных внешних возмущений случайного характера. Большой вклад в становление и развитие математических методов по данному направлению внесли В.В. Солодовников, B.C. Пугачев, A.A. Красовский, A.A. Перво-званский, X. Квакернаак и другие исследователи.

Как и все подходы, находящиеся в рамках линейно-квадратичной гауссовой проблемы, среднеквадратичная оптимизация является сравнительно грубым, однако достаточно простым и исключительно эффективным математическим аппаратом анализа и синтеза динамических систем. При этом для реализации соответствующих методов и расчетных алгоритмов могут применяться вычислительные средства малой мощности. В частности, весьма уместно привлече-

ние ПЭВМ широко распространенных типов, что позволяет с максимальной эффективностью использовать среднеквадратичную оптимизацию в научных исследованиях и конструкторских разработках.

Тем не менее, известные методы среднеквадратичного оптимального синтеза не ориентированы на широкое применение в условиях вычислительной поддержки средствами малой мощности. Это обусловлено присущими им определенными недостатками как в плане реализуемости расчетных схем на ПЭВМ, так и в плане реализуемости получаемых в результате расчетов решений.

В настоящее время известны новые подходы к среднеквадратичной оптимизации, направленные на преодоление указанных недостатков. Однако до сих пор оставался открытым вопрос об их применимости к объектам, имеющим существенное транспортное запаздывание в канале управления. Это определяет актуальность рассмотрения вопросов по соответствующему развитию теории и алгоритмического обеспечения.

Цель диссертационной работы состоит в проведении исследований, направленных на развитие методов среднеквадратичной оптимизации динамических систем с учетом запаздывания в канапе управления и разработку алгоритмического и программного обеспечения для решения прикладных задач на базе полученных теоретических результатов.

Методы исследований. Для решения задач, рассматриваемых в диссертации, привлекаются классические и современные методы анализа и синтеза динамических систем управления. Построение и исследование математических моделей объектов управления и синтезируемых регуляторов осуществляется с использованием современного аппарата математического анализа, теории функций комплексной переменной, высшей алгебры, теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Содержание диссертационной работы определяется развитием нового частотного подхода к синтезу среднеквадратичных оптимальных регуляторов. Основное внимание удс-

ляется не рассматривавшейся ранее в рамках принятого подхода ситуации, при которой математическая модель управляемого объекта формируется с учетом транспортного запаздывания в канале управления.

В работе доказаны теоремы, определяющие новую форму представления передаточных матриц оптимальных замкнутых систем и оптимальных регуляторов при учете запаздывания и, соответственно, новую технику их поиска.

Получены новые результаты, позволяющие оценить предельные возможности среднеквадратичной оптимизации для задачи в БТЗО-постановке при наличии запаздывания.

Создан пакет программного обеспечения, реализующий сформированные в работе алгоритмы на ПЭВМ. Работоспособность и эффективность принятого подхода и разработанного алгоритмического и программного обеспечения подтверждена при решении рассмотренных в диссертации трех прикладных задач.

Практическая значимость результатов диссертации определяется тем, что разработанные в ней методы, алгоритмы и рекомендации изначально ориентированы на обеспечение реализуемости предлагаемого математического аппарата на широкодоступных вычислительных средствах невысокой мощности типа ПЭВМ. Применение этого аппарата на различных стадиях автоматизированных исследований при анализе, проектировании и реализации систем управления позволяет существенно повысить эффективность выполняемых работ.

Апробация работы. Диссертация в целом, а также ее отдельные части и полученные результаты докладывались на Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (г. Киев, май 1996 г.), на XXVII научной конференции "Управление динамическими системами" факультета прикладной математики и процессов управления (г. Санкт-Петербург, апрель 1996 г.), на I международном семинаре "Актуальные проблемы прочности" (г. Новгород, октябрь 1997 г.), на семинарах кафедры математического моделирования энергетических систем СПбГУ.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 4 печатных работах.

Структура работы. Диссертация состоит из введения с кратким обзором публикаций по теме исследований, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы, включающего 63 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность решаемой проблемы, сформулированы цель и основные направления исследований, приведено краткое содержание работы, сформулированы ее основные результаты, выносимые на защиту. Здесь же осуществлена общая постановка задач, решаемых в диссертации, и приведен краткий обзор научных работ по теме диссертации.

Первая глава посвящена исследованию задачи среднеквадратичной оптимизации при наличии запаздывания в канале управления в различных вариантах постановки.

В первом параграфе главы 1 рассматривается задача среднеквадратичной оптимизации в SISO-постановке. Здесь в качестве математической модели объекта управления принимается дифференциальное уравнение вида

A(p)x(t) = Bip)u(t-T)+ç>(0. (1)

где x(t) - регулируемая координата, u(t) - управление, /1(р) и В(р) - полиномы от оператора дифференцирования р = d / dt, <p(t) - возмущение - стационарный эргодический случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и заданной спектральной плотностью Sç (s) = [ N(s) / T(sj] [ N(-.<0 / 7Х-.У)], N и T- гурви-

цевы полиномы, г > 0 - постоянная запаздывания в канале управления. Существо задачи состоит в построении регулятора вида

и = W(p)x (2)

с передаточной функцией IV = W° = / IV®, где W®, W° - квазиполиномы, удовлетворяющей условию

(Vo = aigmin/OF).

ffeO

Здесь

/(IF) = Л2 < х2 > + < и2 > (3)

- среднеквадратичный функционал, Q - область гурвицевости характеристического квазиполинома замкнутой системы Л (s) = A(s)fV2(s) - е'^Щ (s)B(s) .

В основе принятого подхода к решению поставленной задачи в частотной области лежит способ специальной параметризации допустимого множества П, предложенный в работах В.Б. Ларина, К.И. Науменко и В.Н. Сунцева. Для данной постановки задачи доказана теорема 1.1, позволяющая аналитически найти оптимальную варьируемую функцию-параметр и выразить через нее искомую передаточную функцию регулятора. Кроме того, здесь применен способ модификации аналитического представления полученного решения, предложенный Е.И. Веремеем для г = 0. Это позволяет упростить вычислительную схему расчета оптимальной передаточной функции, исключив из нее операции выбора вспомогательных параметров, от которых не зависит результат решения, и выполнение сепарации дробных функций. Данный результат приводится в теореме 1.2. Искомая передаточная функция определяется выражениями

= M (s), W° --= (G(s)N(s) + e'nB(s)M(s)) / A(s).

Здесь G (s) - гурвицев полином - результат факторизации полинома G(-s)G(s) = Л2B(~s)B(s) + A(-s)A(s) ; полиномы А и Т имеют

вид A(s) = П(í + Oí), at*aJt T(s) = П О + d,),

di * ai i= 1 ,q0 ;

q0 p~dit r i

-т I

<Гв'М(д» ,

,-йо+1

5 + а,

Л)' '

|=?о+1

(4)

4 ск

>

при этом вьфажение (&У +■ е'^ВМ) / /4 является целой функцией.

Минимальное значение критерия качества определяется соотношениями

2

»ТО и)

ацо)Щ}<о)

и? О"®)

где 1Х0У°) и 1и{\1/0) - точность и мощность управления в оптимальной замкнутой системе. На основе теоремы 1.2 сформирован алгоритм синтеза оптимального регулятора. Приведены примеры.

Во втором параграфе решается задача синтеза оптимального регулятора для объекта с математической моделью

х = Ах + Ьм(г-г) + с(г>(/), (5)

где х еК" - вектор состояния, и €К' - управляющее воздействие, ^еИ1 - возмущающее воздействие, А , Ь, с - матрицы соответствующих размерностей, г > 0 - постоянная запаздывания. Как и в первом параграфе, возмущение полагаем стационарным эргодиче-ским случайным процессом с нулевым математическим ожиданием и заданной спектральной плотностью .

Регулятор для объекта (5) строится в виде

К=\У(»Х, (6)

где XV = \У2 , причем И^, IV, - квазиполиномы.

Передаточная матрица \\' должна принадлежать множеству Л, -области гурвицевости характеристического квазиполинома

АО?) = замкнутой системы (5), (6), где

А(з) = ¿еЦяЕ - А), В(5) = Л Су)($Е - А)"1 Ь .

В качестве минимизируемого рассматривается среднеквадратичный функционал вида

где К - симметричная положительно определённая матрица с постоянными компонентами, к - заданная константа.

Для решения поставленной задачи используется подход, аналогичный указанному выше. Однако здесь имеются существенные особенности, определяемые тем обстоятельством, что эквивалентное возмущение гр*(0 ~ арЦ) в (5) имеет матрицу спектральных плотностей неполного (единичного) ранга. Это значительно усложняет задачу и, в конечном итоге, приводит к неединственности оптимального регулятора.

Основной результат параграфа представлен в виде теоремы 1.4., определяющей аналитические выражения для передаточных матриц Р® и оптимальной замкнутой системы

зависящие только от исходных данных задачи. Соответствующие формулы имеют вид

го = C(s)G(s)N(s)+e-*B(s)M(s) ^о _ M(s)

G(s)N(s)A(s) ' " G(s)N(s) '

где G(s) - гурвицев полином - результат факторизации полинома G(-s)G(s) = Вг (-s)RB(s) + k2A(-s)A(s), С(s) = A(s)(sE - А)-1 с ,

I = /(W) =< xTRx > +к2 < и2 >,

(7)

x(í) = Ft (s)<p(s), u(s) = Fu(s)<p(s),

4o

1 = Щ-^) Вг(а,)КС(-а,.) 2 Вг(а,ЖС(-а,)

Т'М,) 0{а,)А'{-а,) ' '' А'(-а,)0(а,) '

з = АГ(-4) ВГ(^,)КСМ,.)

п и

при предположении А^) = + я,), а, Фа; Т(.ч) = ]"]($+</,),

1=1 /=1

4 * ; а, = <1,, /" = .

В соотношениях (8) вьфажение (СОЫ + е~вВМ) / А является вектором целых функций.

В лемме 1.1 и теореме 1.5 доказывается, что искомая передаточная матрица - \У,° / 1К2° может бьггь определена через решение квазиполиномиального уравнения

- И>2а(*)Ри (л) = 0 , (9)

где Рх = (СвМ+е~аВМ)/А , - М, (10)

удовлетворяющее условию гурвицевости характеристического квазиполинома замкнутой системы.

Одним из простейших решений уравнения (9) в случае существования хотя бы одной пары взаимно простых полиномов среди С^,

(/ = 1,я), является матрица М = XV, / 1Р2 > удовлетворяющая соотношениям \У,С= , ;'=Т7и - полиномы), 1Р2 ~ Ш+еА

при условии, что полиномы GN и М - взаимно просты (если нет, то нетрудно получить аналогичные соотношения). При этом Д(«) = в (5)^(5) — гурвицев полином.

На базе проведенных рассуждений сформирован алгоритм построения оптимальной передаточной матрицы. Приведены примеры.

Минимальное значение критерия качества вычисляется по формуле

J0=Hw°)f Kt?m(s)+k^-s)Faisy

2 jJja G(-S)G(S)N(-S№S)

где F, и Fu определяются соотношениями (10).

В третьем параграфе главы 1 рассматривается задача синтеза оптимального регулятора для объекта с математической моделью (5) при отсутствии полной информации о состоянии объекта. Пусть у е R* - вектор измеряемых координат,

у = Нх , rang Н = к < п, (12)

тогда в качестве допустимых будем рассматривать регуляторы вида

»=V(p)y (13)

с передаточной матрицей V - (Vn...VXK) IV2 (Уи , / = 1,лг, V2 - квазиполиномы), принадлежащей Ov - множеству гурвицевости характеристического квазиполинома замкнутой системы

А(s) = А(s)K2(i) - <TnV, (s)HB(j) . (14)

Пусть качество функционирования замкнутой системы (5), (12), (13) характеризуется одним из функционалов: или (7), или

I -< y7Ry >+kz < и2 >.

Показано, что задача среднеквадратичного синтеза с неполной информацией 1 = /(V) —» min может быть сведена к задаче синтеза с

полной информацией 1 - 7(W) —> min на подмножестве

WeQw

nw = {w|

W = VH, V e Dv J множества Q,. Отсутствие полной

информации в общем случае ухудшает минимальное значение критерия

min i(V) > min 7(W) = I0.

VeCv Wefi,

Величину /0 = min /(W), определяемую соотношениями (11),

Weß|

(10), будем называть глобальным минимумом среднеквадратичного

критерия качества. В работе доказана теорема 1.6, в которой утверждается, что глобальный минимум /0 среднеквадратичного критерия качества достигается на множестве Clv регуляторов с неполной информацией вида (13) в том и только в том случае, если найдется такое решение F,®,..., , квазиполиномиального уравнения V, (s)HFx (s) - V2 (л) Fu (я) = 0, где F, и í¡ определяются соотношениями (10), что регулятор вида (13) с передаточной матрицей V°(s) = (s) принадлежит Qv .

В случае, когда глобальный минимум не достигается, очевидным подходом к поиску решения задачи является исключение недоступного для формирования обратной связи вектора х из математической модели объекта и переход к модели "вход-выход".

Если мы можем распоряжаться законом измерения (12), тогда целесообразна постановка задачи о выборе такого закона измерения вида (12), чтобы глобальный минимум /0 достигался. Если же он недостижим ни при каких Н , то имеет смысл рассмотреть задачу о поиске Н, минимизирующей величину локального экстремума на Qv.

Во второй главе диссертации исследуется поведение зависимостей точности JX(IV°) =< х2 > и энергетических затрат на управление Iv(W°)-<u2 > оптимальной замкнутой системы (1), (2) от

весового множителя Я2 е[0,оо) . Доказано, что указанные зависимости являются строго монотонными функциями, а значит, их максимальные и минимальные значения достигаются на концах интервала определения Л2. Рассмотрено предельное поведение оптимальной замкнутой системы при Л -» 0 и Л -> оо. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.2. Для замкнутой системы (1), (2), которая оптимальна в смысле функционала (3), справедливо следующее: 1. Если полином A(s) - гурвицев, то

л да S.(m)diо

1*0= JimftWH0 "moÍF' 7«о = lim/Ц(Л) = 0. (15)

Я—>0 1 ^ Д—>0

2. Если полином Л - негурвицсв, то

'иО

,=1 О

00

=1

A„(~Ja>)N(]a)+rlюB(]al)TUal^)A*(}ш)\■

А'и°>)

йол,

^(р (о})ска.

где = Ая(4 - нсгурвицева часть

¡=;+1

полинома А (л), -а1, / = / +1 ,п - корни полинома .

Теорема 2.3. Для замкнутой системы (1), (2), которая оптимальна в смысле функционала (3) справедливы следующие соотношения

- |пп 1Х(1) = |

Л—>00

1иа> = 1Ш 1и (X) = |

АОа>)Вгиа>)Пи<»')

2

(17)

где = Вг (л) , Вг и Вп - гурвицева и нетурвицева части

полинома полином М° определяется соотношением (4), в котором

,.0 У(-</,)вг ) + ЛЧ-4(-4) #(-4)(-4)В'(-^,)

X,

»

Д2 (-</,. )ЛГ(-</,.)

Исследована зависимость /х = /х(/и), образующаяся исключением величины Я как параметра. Она является строго монотонно убывающей. График зависимости /г = 1х(1и) начинается в точке с

координатами (7„0, 1Х0), определяемыми формулами (15), (16) и завершается в точке с координатами (7Ц0О, ¡х,л), определяемыми соотношениями (17).

Доказанные теоремы позволяют оценить эффективность оптимальных регуляторов без непосредственного решения задачи синтеза.

Третья глава диссертации посвящена рассмотрению прикладных задач на базе теории и алгоритмов среднеквадратичного синтеза, полученных в предшествующих главах.

В первом параграфе рассматривается задача синтеза системы автоматического проветривания участка угольной шахты. Указанная задача по существу является одним из типичных примеров ситуаций, в которых запаздывание играет весьма существенную роль.

Второй и третий параграфы главы 3 посвящены исследованию проблемы анализа и синтеза систем управления движением морских судов по курсу при наличии запаздывания в гидроприводе рулей.

Как известно, одним из наиболее сложных режимов функционирования судов является процесс их стабилизации на заданном фиксированном курсе при постоянном воздействии возмущений случайного характера, определяемых морским волнением. Возможны два варианта стабилизации судна на заданном курсе:

• в режиме движения с высокой точностью;

• в экономичном режиме движения.

Первый вариант рассмотрен во втором параграфе. Он реализуется, как правило, при движении с большими скоростями хода, когда эффективность вертикального руля судна достаточно велика. При этом ставится и решается задача о минимизации среднеквадратичного отклонения от курса при заданных ограничениях на мощность управления.

Второй вариант исследуется в третьем параграфе. Экономичный режим стабилизации реализуется чаще всего при движении судов с малыми скоростями, когда эффективность руля недостаточна для борьбы с волнением. При этом существо решаемой задачи состоит в минимизации мощности управления на некотором множестве допустимых регуляторов, что обеспечивает экономию ресурса рулевых машин и других элементов привода рулей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие.

1. Предложен новый способ представления решения 51БО-за-дачи среднеквадратичной оптимизации при наличия запаздывания в частотной области. На его основе предложен новый алгоритм поиска передаточной функции оптимального регулятора.

2. Получено решение в частотной области БМО-задачи среднеквадратичного синтеза с запаздыванием и скалярным возмущением как при наличии, так и при отсутствии полной информации о векторе состояния объекта управления.

3. Исследован вопрос о неединственности решения задачи с запаздыванием при наличии скалярного возмущения. Сформирован алгоритм функционирования системы автоматизированного синтеза систем управления на базе полученных результатов.

4. Исследованы предельные возможности среднеквадратичной оптимизации при наличии запаздывания по достижимой точности и энергетическим затратам на управление. Получены формулы для вычисления верхних и нижних предельных значений этих характеристик без непосредственного решения задачи синтеза.

5. Проведен анализ особенностей и возможностей оптимизации и получены соответствующие оптимальные решения для прикладных задач исследования и синтеза систем управления проветриванием угольной шахты и управления движением морского судна.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

I. Коломеец Н. Л. Задача среднеквадратичного синтеза для Биообъекта с запаздыванием // Тезисы докладов конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (г. Киев, май 1996 г.). С. 69.

2. Коломеец Н. Л. Об одном алгоритме среднеквадратичной оптими-

зации при наличии запаздывания // Вестник Хакас, гос. ун.-та. Вып. 1, сер. 1. Математика и информатика. 1996. С. 20 - 23.

3. Веремей Е. И., Коломеец Н. Л. Оптимизация сложных технических систем с запаздыванием // Науч. тр. I Междунар. семинара "Актуальные проблемы прочности" им. В. А. Лихачёва и XXXIII семинара "Актуальные проблемы прочности". Т. 1, ч. 1 (г. Новгород, октябрь 1997 г.). С. 156 - 162.

4. Коломеец Н. Л. Задача среднеквадратичной оптимизации при наличии запаздывания // Сборник трудов Тульского гос. ун.-та "Дифференциальные уравнения и прикладные задачи". 1997. С. 12 - 17.