Математические методы анализа и синтеза систем стабилизации формы плазмы в токамаках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ г - ОД УНИВЕРСИТЕТ

2 7 ОКТ 1998

На правах рукописи

МИСЕНОВ Борис Анатольевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ ФОРМЫ ПЛАЗМЫ В ТОКАМАКАХ

Специальности: 01.01.09 - математическая кибернетика, 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (в отрасли физико-математических наук)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1998

Работа выполнена на факультете прикладной математики -

процессов управления Санкт-Петербургского государственного

университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Беремен Е.И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Квитко А.Н., кандидат технических наук, с. н. с. Митришкин Ю. В.

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт электрофизической аппаратуры им. Д. В. Ефремова, г. Санкт-Петербург.

Защита состоится « 2S » о<ггй Зоя 1998 года в А6 часов на заседании диссертационного совета К-063.57.16 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, Васильевский остров, 10-я линия, дом 33.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ имени A.M. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Саню-Петербург, Университетская набережная, дом 7/9.

Автореферат разослан 199& года.

Ученый секретарь диссертационного совета

д.ф.-м.н., профессор В. Ф. Горьковой

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из наиболее интенсивно развиваемых в настоящее время направлений автоматизации научных исследований, исследовательского и конструкторского проектирования сложных технических объектов является исключительно широкое применение разнообразных комплексов математических моделей, методов и алгоритмов, реализуемых с использованием современных средств вычислительной техники. Среди сложных технических объектов, привлекающих в последнее время внимание специалистов по автоматизации научных исследований, особое место занимают системы управления термоядерными реакторами на основе токамаков.

Одной из важнейших задач, решаемых системами управления токамаков, является стабилизация формы плазмы в вакуумной камере введением обратных связей, реализуемых с помощью специальной магнитной системы. Среди известных подходов, применимых при автоматизации анализа и синтеза систем стабилизации формы плазмы, могут быть использованы методы и алгоритмы теории аналитического синтеза законов управления (регуляторов) для динамических управляемых объектов. Основы этой теории были разработаны в трудах А. М. Лётова, В. И. Зубова, В. В. Солодовникова, Р. Калмана и многих других исследователей. В частности, могут быть использована методы синтеза среднеквадратичных оптимальных регуляторов для линейных динамических объектов со стационарными внешними возмущениями случайного характера. Большой вклад в развитие данного направления внесли такие известные ученые, как В.В. Солодовников, B.C. Пугачёв, A.A. Красовский , A.A. Первозванский, X. Квакернаак и многие другие.

Однако среди опубликованных работ сравнительно мало источников, связанных с адаптацией известных методов аналитического синтеза к решению конкретных задач стабилизации формы плазмы в токамаках. Это определяется относительной новизной сформированного в последние годы комплекса требований к качеству стабилизации плазмы, в отличие от широко известного ранее требования обеспечения ее устойчивости по вертикали с помощью обратных связей.

При реализации методов указанного направления для построения стабилизирующих управлешш в токамаках необходимо учитывать, что, как и все подходы в рамках теории оптимизации по норме Н2,

они служат сравнительно грубым математическим аппаратом в теории динамических систем, допускающих программную реализацию с использованием современных ПЭВМ средней мощности.

Тем не менее, известные методы квадратичного и среднеквадратичного оптимального синтеза не ориентированы на широкое применение в условиях вычислительной поддержки указанными средствами, что обусловлено присущими им определенными недостатками как в плане реализуемости расчетных схем на ПЭВМ, так и в плане реализуемости получаемых в результате расчетов решений.

В последние годы получен ряд новых результатов, направленных на преодоление указанных недостатков, однако они непосредственно не могут быть применены для решения задач стабилизации формы плазмы. В первую очередь, это связано с многомерностью вектора управляющих воздействий, обусловленной конструкцией полоидаль-ных управляющих магнитных систем. Это определяет актуальность темы исследований, направленных на соответствующее развитие теории и ее адаптации к решению комплекса прикладных задач по управлению формой плазмы.

Цель диссертационной работы состоит в проведении исследований, направленных на развитие математических методов оптимизации многосвязных линейных динамических систем по норме Н2 и их адаптацию к особенностям задач стабилизации формы плазмы в термоядерных реакторах-токамаках, а также на разработку алгоритмического и программного обеспечения для решения прикладных задач на базе полученных теоретических результатов.

Методы исследований. Для решения задач, рассматриваемых в диссертации, привлекаются классические и современные методы анализа и синтеза динамических систем управления. Построение и исследование математических моделей объектов управления и синтезируемых регуляторов осуществляется с использованием современного аппарата математического анализа, теории функций комплексной переменной, высшей алгебры, теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Содержание диссертационной работы определяется развитием нового частотного подхода к синтезу среднеквадратичных оптимальных регуляторов для многосвязных систем и его

адаптацией для решения прикладных задач управления формой плазмы.

В работе доказаны теоремы, определяющие новую форму представления передаточных матриц оптимальных замкнутых систем и оптимальных регуляторов и, соответственно, новую технику их поиска для MIMO-задачи среднеквадратичного синтеза.

Получены новые результаты, позволяющие оценить предельные возможности среднеквадратсгчной оптимизации для задачи в MIMO-постановке. Введены в рассмотрение новые количественные оценки степени управляемости рассматриваемых объектов.

Разработаны новые вычислительные схемы применения теоретических методов для решения прикладных задач, учитывающие специфику математической модели объекта управления — плазмы в тока-маке.

Создан пакет программного обеспечения, реализующий сформированные в работе алгоритмы на ПЭВМ. Работоспособность и эффективность принятого подхода и разработанного алгоритмического и программного обеспечения подтверждена решением конкретных задач.

Практическая значимость результатов диссертации определяется тем, что разработанные в ней методы, алгоритмы и рекомендации изначально ориентированы на решение проблем реализуемости математического аппарата на базе широкодоступных вычислительных средств типа ПЭВМ, а также реализуемости синтезируемых регуляторов в реальных условиях функционирования. Выполнена адаптация предлагаемого математического обеспечения к специфической динамике объекта управления для термоядерных реакторов-токама-ков. Получены новые решения для комплекса практических задач по анализу и синтезу систем стабилизации формы плазмы в токамаках с различными полоидальньши системами.

Апробация работы. Диссертация в целом, а также ее отдельные части и полученные результаты докладывались на 2-м Международном семинаре «Beam Dynamics and Optimization» (г. С.-Петербург, 1995), на 2-й Международной конференции «Дифференциальные, уравнения и их приложения» (г. Саранск, 1996), на XXVII научной конференции «Управление динамическими системами» факультета прикладной математики - процессов управления СПбГУ (г. С.-

Петербург, 1996 г.), на 3-м Международном семинаре «Beam Dynamics and Optimization» (г. С.-Петербург, 1996), на Международной конференции по информатике и управлению ICI&C97 (г. С.-Петербург, 1997), на семинарах кафедры математического моделирования энергетических систем СПбГУ.

Отдельные результаты диссертации использованы в НИИ ВМ и ПУ СПбГУ при выполнении работ в рамках международного проекта ITER по созданию рабочей версии термоядерного реактора на основе токамака.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 6 опубликованных печатных работах.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав с выводами по каждой из них, заключения по диссертации в целом, списка литературы, включающего 74 наименования и приложения.

Во введении приводится содержательная формулировка проблем управления формой плазмы, вводится и анализируется математическая модель процесса ее стабилизации, осуществляется общая постановка задач, решаемых в диссертационной работе, а также выполняется краткий обзор научных публикаций по теме исследований.

Первая глава диссертации посвящена исследованию различных вариантов задач оптимизации динамических систем по норме Н2.

В первом параграфе рассматривается наиболее общая постановка задачи оптимального синтеза как задачи минимизации нормы передаточной матрицы замкнутой системы. Математическая модель объекта управления в общем виде может быть представлена в изображениях по Лапласу следующей системой уравнений:

Здесь — внешнее входное возмущение, е — обобщенный выходной вектор замкнутой системы, у — вектор измерений, и — вектор управ-

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

(1)

лений. Задача состоит в войске регулятора вида и = К(л)у, обеспечивающего минимум функционала

/ = 7(К)=|]Н(5',К)||2, (2)

где Н(5,К) — передаточная матрица замкнутой системы, ||-|| — матричная норма пространства Н2, на множестве П передаточных матриц, обеспечивающих гурвицевосгь характеристического полинома замкнутой системы. Доказана следующая теорема.

Теорема 1.1. Задача о наилучшем подавлении входных возмущений

/ = /<К) = !?(*,К)|| -»и* (3)

" КеО

где '¿и, К) = -^ег(/)е(г) , эквивалентна задаче минимизации функционала (2).

Во втором параграфе главы рассматривается задача аналитического синтеза регуляторов в следующей постановке. Пусть математическая модель объекта имеет вид

х = Ах + ВГ(и)+Ср(0, у = N1+ !/(/),

где х еБ." — вектор состояния, и еКг — управляющее воздействие, (р(1) е Я " — возмущающее воздействие, у е11и — вектор измерений, (/(г) е Ит — вектор шумов в измерениях, (р п у/ — векторные стационарные эргодические случайные процессы типа белого шума, Г(и) — функция типа срезки, определяющая нелинейность в канале управления системой,

/» =

и,-о, ";>«/о. _

и,., -и,.0 <и, <г/(0> / = 1,г, о. <",о-

мю — заданные константы. Для объекта (2) необходимо построить регулятор вида

u = WOOy,

(5)

где p=d/dt, компоненты W(p) являются правильными дробно-рациональными функциями. Регулятор должен обеспечивать минимум среднеквадратичного функционала

1 = /(W) =< xrRx > +с0 <u7 Qu >, (6)

где R — неотрицательно определенная постоянная матрица, Q — положительно определенная постоянная матрица, с0 = const > 0, при условии гурвицсвости характеристического полинома замкнутой линейной системы (4), (5) при f (и) = и .

Для указанной нелинейной задачи предложено использование известного алгоритма LQG-оптимизации, позволяющего построить некоторое приближение к ее решению.

Существо предлагаемой методики заключается в рассмотрении составляющих функционала (6)

1х = 1х(у/,с0)=<хт1&х> и Iu = 7u(W,c0) =<urQu >,

определяющих точность стабилизации и мощность управления соответственно, и формируемых на их основе кривых оптимальной стабилизации 1 х (1и). Анализ указанных кривых для нелинейной и линейной замкнутых систем (4), (5) позволяет осуществить выбор параметра с0 , исходя из требований к качеству переходных процессов.

Третий параграф главы 1 посвящен исследованию задачи аналитического синтеза регуляторов для объекта с несколькими входами и выходами, заданного математической моделью вида

х = Ах + В u + C<p(t), (7)

где xeR" — вектор состояния, u eRr — управляющее воздействие, <p(t) eR" — возмущающее воздействие, v<n . Возмущение полагаем стационарным эргодическим случайным процессом с нулевым математическим ожиданием и заданной матрицей спектральных плотностей S^O). Введен в рассмотрение функционал вида (6) и

сформулирована задача о поиске регулятора вида

u = W(/;)x, (8)

где р - с} / ¿//, \>У (р) — передаточная матрица регулятора с дробно-рацпональными компонентами, = \У21 (/^УУ) {р), \У](>Х77),

W2 (г х. г) — полиномиальные матрицы. При этом указанный регулятор должен обеспечивать минимум введенного функционала на множестве О! матриц У\(р), удовлетворяющих условию гурвицевости характеристического полинома оптимальной замкнутой системы.

Для решения поставленной задачи в частотной области используется один из известных способов параметризации допустимого множества О,. Однако в приведенной постановке задача имеет существенные особенности, определяемые тем, что матрица спектральных плотностей возмущения (р*^) = С/р(г) является, в общем случае, матрицей неполного ранга. В научных публикациях подобный класс задач редко исследуется с привлечением частотных методов, хотя синтез в частотной области обладает радом несомненных преимуществ.

Доказана теорема 1.2, позволяющая аналитически найти оптимальную варьируемую функцию-параметр, и являющаяся результатом адаптации существующего подхода к решению поставленной задачи.

Также предложена модификация указанного подхода, позволяющая существенно упростить вычислительную схему решения задачи, что отражено в теореме 1.3, определяющей более простое выражение для оптимальной варьируемой матрицы-параметра, и следующей теореме 1.4, представляющей передаточные матрицы Е,. и оптимальной замкнутой системы от <р к х и и соответственно:

Теорема 1.4. Оптимальные передаточные матрицы ^ и мо-1утбыть определены по следующим формулам

<*) = (л- т. о-'в^в^хг1 х

X (^(В^-^С- Щ^Г1 (5» + ВГ8ОД,

где ^(s) = det(Es-A), B(s) = ^(s)(Eî-А) 'В,

C(s) = A(s)(Es-A)~' С, D(s) = det(Ei-A +^-BQ"1BrS),

B^Os) = D(s)(Es - A + BQ-1B rS)~' В, S —симметрическая матрица с постоянными компонентами, являющаяся решением матричного алгебраического уравнения Риккати SA + AJ и обеспечивающая гурвицевость полинома D(s),

1=1

Т*Т = c0Q , Sf,(s)^Sl(s)S!(-s), SjWbj^NV{S).

Показано, что передаточная матрица W(î) оптимального регулятора удовлетворяет матричному полиномиальному уравнению

W^-W.F^O

и может быть найдена известными методами его решения.

В случае построения обратной связи u = V(p) у по выходу у = Nx , dim у < dim х . передаточная матрица может быть определена из аналогичного уравнения

v2f„-v,nf, = o.

Показано, что в этом случае решение задачи оптимального синтеза является заведомо неединственным.

Во второй главе диссертации проведено исследование предельных характеристик среднеквадратичной оптимизации в MIMO-постановке.

В первом параграфе рассмотрены зависимости точности стабилизации Ix(c0) =<xrRx> и мощности управления /,Дс0) =<urQu > для оптимальной замкнутой системы от весового множителя с0 е (0, со). Доказано, что эти зависимости строго монотонны, т. е. их верхние и нижние точные границы могут быть найдены как предельные точки при с0 —> О и с0 -> 00 .

Во втором и третьем параграфах осуществляется вывод соответствующих предельных оценок при с0 со и с0 —> 0 соответственно. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.2. Для замкнутой системы (7), (8), оптимальной в смысле функционала (б), справедливы следующие соотношения.

1. Если полином Л (л) —гурвицев, то

/„«, - 1цп 1и(с0) =0.

С„-> СО

2. Если полином А («) — негурвицев, то, для случая г - 1, имеем

Г]а

fJ т

Sp(Fl(-s)mxxSp(s))ds,

"3 J— J<C

/дао

/„со = т- J'^SpCF^-^QFJS/i))*

где

1=1

/1И (.s) —негурвицева часть полинома А (s), at, i = l,k —ее корни.

Теорема 2.3. Для замкнутой системы (7), (8), оптимальной в смысле функционала (б), справедливы соотношения (для случая г - 1, v=l)

С -Z00

Ix0 = Hm/,(C()) =^-1 SpCF^-^RF^COH',

c0 ->0 J J-jco ^

Г У°°

/u0 = lim /„(c0) = £ I Sp^-^QF^ (/>)&,

„ s^-1 , , Br(-i)RC(i)

10 ~ M,(t)B'(-S)RB(S)

где

R (s)-

0, к = m,

m

b,-s A{bt)B0X-bt)> i=k+\

M(j) = Br (-â)RC(î) S Mp(-s)L(s), fc = degMp(,r) , Br (-î)RB(.v) = B(-s)B(s), m = deg£ (s) , B{-s) = /?И(А, -- - л-)... (/>„, - s) = Mp(-s)Bü(s), —

негурвицев полином, b{ bk — общие корни полиномов Ai (s) и £(-*), г (s) = Л"1 (*)№)*(-■*) - B(s)CX-s)).

Четвертый параграф посвящен обобщению исследования предельных характеристик оптимальных систем. Введено понятие кривой оптимальной стабилизации 1Х - 1X(JU) и на базе доказанных теорем отмечены ее особенности для объектов управления с различными динамическими свойствами.

Предложен способ количественной оценки степени управляемости динамического объекта с использованием предельных характеристик среднеквадратичной оптимизации, который непосредственно не связан с алгебраическими свойствами матрицы управляемости по Калману.

Третья глава диссертации посвящена рассмотрению комплекса прикладных задач анализа и синтеза систем стабилизации формы и тока плазмы на базе теории и алгоритмов среднеквадратичного подхода и LQG-оптимизации, полученных в предшествующих главах.

В первом параграфе осуществляется анализ особенностей Н2-оптимизации при синтезе управлений, стабилизирующих форму плазмы. Особое внимание при этом уделяется наличию неуправляемой части первого порядка с нулевым собственным значением. Рассматривается роль указанной части как в плане динамики замкнутой оптимальной системы в характерных переходных процессах, так и в плане численной реализации алгоритмов Н2 -оптимального синтеза.

Второй параграф посвящен решению задачи синтеза стабилизирующих управлений для плазмы в токамаке ITER с полоидальной магнитной системой ТАС4, содержащей шесть сверхпроводящих управляющих электромагнитов. При этом учитываются реально имеющие место нелинейные ограничения на величины управляющих

воздействий. С использованием вычислительной схемы, предложенной в главе 1, а также предельных оценок, полученных в главе 2, осуществлено построение регулятора

z= Az + Bu-H(z-Cy), u = Kz,

обеспечивающего минимум среднеквадратичного функционала I(H,K) = (/Ry)+c0(urQu)

и устойчивость замкнутой системы. При этом величина множителя с0 выбирается из условия экстремума кривой оптимальной стабилизации с одновременной ориентацией на требуемую длительность переходного процесса.

Основное содержание третьего параграфа составляет вопрос об исследовании эффективности отдельных катушек полоидальной системы FDR2 в токамаке ITER. Указанная система существенно отличается от рассмотренной выше системы ТАС4 как по количеству катушек (десять, включая центральный соленоид), так и по геометрии их расположения. В результате проведенного исследования с учетом рекомендаций по количественным характеристикам степени управляемости, полученной в главе 2, предложен способ оценки эффективности катушек в процессе Н2 -оптимальной стабилизации. Применение указанного способа для рассматриваемого здесь объекта приводит к заключению, что управляющие катушки PF5, PF8, PF9 и CS практически не влияют на качество процессов стабилизации, что подтверждено результатами моделирования в условиях воздействия на замкнутую оптимальную систему возмущений типа lf - и р -drops. Это позволяет говорить об избыточности системы FDR2 и целесообразности исключения указанных катушек из процесса стабилизации формы плазмы.

В четвертом параграфе предлагается способ использования исключенных катушек для стабилизации тока плазмы (катушка CS) и компенсации электрической мощности в системе питания (катушки PF5, PF8, PF9).

Пятый параграф посвящен решению задачи среднеквадратичной оптимальной стабилизации плазмы в токамаке MAST. При этом пред-

полагается, что объект управления подвержен воздействию аддитивных стационарных внешних скалярных возмущений с заданной спектральной плотностью, имеющей ярко выраженный экстремум на частоте, близкой к частотам собственных колебаний объекта. Показано, что применение методов, развитых в главе 1, позволяет построить оптимальный регулятор, обеспечивающий вполне приемлемую точность стабилизации в рамках допустимых ограничений на управляющие воздействия.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие.

1. Предложен новый способ представления решения MIMO-задачи среднеквадратичной оптимизации в частотной области. На его основе предложены новые алгоритмы поиска передаточных матриц оптимальных регуляторов.

2. Получено решение в частотной области MIMO-задачи среднеквадратичного синтеза с возмущениями неполного ранга как при наличии, так и при отсутствии полной информации о векторе состояния объекта управления. Отмечена возможность неединственности решения задачи при указанных условиях.

3. Исследованы предельные возможности среднеквадратичной оптимизации для задачи в MiMO-постановке. Получены формулы для вычисления верхних и нижних предельных значений этих характеристик без непосредственного решения задачи синтеза. Предложены оценки степени управляемости на базе среднеквадратичного подхода.

4. С использованием алгоритмов Н2 -оптимизации разработана вычислительная схема синтеза управлений, стабилизирующих форму плазмы, с учетом комплекса требований к динамическим характеристикам переходных процессов и нелинейных ограничений на величины управляющих напряжений. Полученная схема использована для решения задачи стабилизации плазмы в токамаке ITER с полоидаль-ной системой ТАС4 и токамака MAST.

5. С использованием теоретических результатов по предельным характеристикам, разработана схема оценки эффективности катушек полоидальной магнитной системы по отношению к оптимальной стабилизации формы плазмы. С помощью этой схемы выполнен анализ

полоидальной системы FDR2 токамака ITER. По результатам анализа выявлены три неэффективных катушки, практически не влияющие на качество стабилизации.

По теме дисссртацим опубликованы следующие работы:

1. Веремей Е. И., Мнсенов Б. А. О неединственности управлений в задаче среднеквадрапгчюй оптимизации // Тезисы докл. 2 Между-нар. конф. «Дифф. уравнения и их приложения».— Саранск, 1996.— С. 52.

2. Misetiov В. A. Computational aspects of plasma shape control synthesis problem // Proc. of 2nd Intern. Workshop «Beam Dynamics and Optimization».—St.-Petersburg, 1995,— P. 138-145.

3. Misenov B. A. On a mean-square MIMO optimization problem // Proc. of 3rd Intern. Workshop «Beam Dynamics and Optimization».— St.-Petersburg, 1997,—P. 210-213.

4. Мисенов Б. А. Вычислительные аспекты MIMO-задачи среднеквадратичного синтеза // Вестник Хакас, гос. ун.-та. Сер. 1. Математика и информатика.— 1996. — Вып. 1. — С. 27-29.

5. Misenov В. A., Ovsyannikov A. D„ Ovsyannikov D. A., Vere-meiE. I,, Zhabko A. P. Non-linear model of tokamak plasma shape stabilization // Proc. of Intern, conf. on Informatics and Control (ICI&C97).— St.-Petersburg, 1997,—P. 382-388.

6. Мисенов Б. А. О задаче среднеквадратичного синтеза с возмущениями неполного ранга // Дифф. уравнения и прикл. задачи: Сб. науч. тр. Тул. гос. ун-та.— Тула, 1997.— С. 79-84.

ЛР№ 040815 от 22.05.97

Подписано а печать 25.09.98. Усл. п.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 482. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ. 198904, Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Университетский пр., 2.

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

МИСЕНОВ Борис Анатольевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ ФОРМЫ ПЛАЗМЫ В ТОКАМАКАХ

01.01.09 - математическая кибернетика, 05.13.16- применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (в отрасли физико-математических наук)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Е.И.Веремей

Санкт-Петербург 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ....................................................................................................4

1. Актуальность темы работы, цели и основные результаты

исследований ..................................................................................4

2. Содержательные проблемы управления плазмой

в термоядерных реакторах-токамаках ........................................11

3. Математическая модель процесса стабилизации формы

плазмы...........................................................................................17

4. Общая постановка задач среднеквадратичной оптимизации.......23

5. Обзор литературы по теме исследований .....................................28

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОГО СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ПО НОРМЕ Н2 ..........................................................................33

1.1. Содержание задач оптимального синтеза..................................33

1.2. Методы и алгоритмы задачи LQG оптимизации .......................43

1.3. Многосвязная (MIMO) задача среднеквадратичного оптимального синтеза ........................................................................50

ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ Н2 ОПТИМИЗАЦИИ И ПРОБЛЕМА УПРАВЛЯЕМОСТИ...........................................................65

2.1. Точность и мощность управления в оптимальной

замкнутой системе......................................................................66

2.2. Предельные оценки качества оптимальных систем

при с0 оо .................................................................................69

2.3. Предельное поведение оптимальных систем при с0 —> 0 .........73

2.4. Предельные оценки и проблема управляемости........................76

ГЛАВА 3. АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СТАБИЛИЗИРУЮЩИХ УПРАВЛЕНИЙ В ТОКАМАКАХ...............................................................83

3.1. Анализ особенностей Н2оптимизации для математических моделей токамаков с нейтральной неуправляемой частью......83

3.2. Синтез Н2-оптимальных регуляторов для токамака ITER с полоидальной магнитной системой ТАС4................................96

3.3. Проблема избыточности катушек полоидальной системы FDR2 в токамаке ITER .............................................................104

3.4. Синтез Н2-оптимальных регуляторов с учетом ограничений

на мощность системы питания.................................................111

3.5. Среднеквадратичная оптимизация регуляторов формы плазмы для токамака MAST.....................................................115

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ..........................................................................................122

ЛИТЕРАТУРА............................................................................................124

ПРИЛОЖЕНИЕ ..........................................................................................130

ВВЕДЕНИЕ

В.1. Актуальность проблемы, цели и основные результаты исследований

Одним из наиболее интенсивно развиваемых в настоящее время направлений автоматизации научных исследований, исследовательского и конструкторского проектирования сложных технических объектов является исключительно широкое применение разнообразных комплексов математических моделей, методов и алгоритмов, реализуемых с использованием современных средств вычислительной техники. Особую значимость указанное направление приобретает при исследовании и разработке систем автоматического управления в силу их существенной сложности, широты круга решаемых задач, высоких требований, предъявляемых к качеству динамических процессов, к эффективности и надежности замкнутых систем в целом и их отдельных элементов.

При разработке математического обеспечения для реализации моделей и методов на ЭВМ особое внимание уделяется вопросам автоматизации анализа устойчивости и качества динамических процессов, аналитического поиска законов управления, технической реализации управляющих устройств на базе цифровых и аналоговых элементов. При этом решающую роль играют математические методы оптимизации характеристик качества систем управления, позволяющие существенно повысить эффективность научных исследований в указанной области с использованием современных формализованных подходов для решения практических задач.

Среди сложных технических объектов, привлекающих в последнее время внимание специалистов по автоматизации научных исследований, особое место занимают системы управления термоядерными реакторами на основе токамаков.

Среди известных подходов, применимых при автоматизации анализа и синтеза систем стабилизации формы плазмы, могут быть

использованы методы и алгоритмы теории аналитического синтеза законов управления (регуляторов) для динамических управляемых объектов. Основы соответствующих подходов были разработаны в трудах А. М. Летова, В. И. Зубова, В. В. Солодовникова, Р. Кал-мана и многих других исследователей. В частности, могут быть использована методы синтеза среднеквадратичных оптимальных регуляторов для линейных динамических объектов со стационарными внешними возмущениями случайного характера. Большой вклад в развитие данного направления внесли такие известные ученые, как В. В. Солодовников [52,53], В. С. Пугачев [50], А. А. Красовский [34,35], А. А. Первозванский [48], X. Квакернаак [31] и многие другие. Существенные результаты в рамках данной проблемы приведены в работах [1,36,37], [2,3], [22], [23], [42], [46], [47], [58].

Тем не менее необходимо отметить, что среди опубликованных работ сравнительно мало источников, связанных с адаптацией известных методов аналитического синтеза к решению конкретных задач стабилизации формы плазмы в токамаках. К ним следует отнести монографию [44], а также статьи [59], [60], [61], [63], [65], [67] и ряд других работ. Это связано с относительной новизной сформированного в последние годы комплекса требований к качеству стабилизации плазмы, в отличие от широко известного ранее требования обеспечения ее устойчивости в вертикальном направлении с помощью обратных связей.

При реализации методов оптимального квадратичного и среднеквадратичного синтеза стабилизирующих управлений в токамаках необходимо учитывать, что, как и все подходы, связанные с минимизацией нормы элементов пространства Н2, указанная оптимизация является сравнительно грубым математическим аппаратом в теории динамических систем. Однако даже в самых сложных случаях этот подход даёт определённую информацию о свойствах объекта, которая может быть полезной при использовании более тонких и глубоких методов теории управления.

В связи с относительной простотой методов и алгоритмов Н2-

оптимизации, их программная реализация в принципе возможна на базе современных ПЭВМ средней мощности.

Тем не менее, известные методы среднеквадратичного оптимального синтеза не ориентированы на широкое применение в условиях вычислительной поддержки указанными средствами, что обусловлено присущими им определенными недостатками как в плане реализуемости расчетных схем на ПЭВМ, так и в плане реализуемости получаемых в результате расчетов решений. Необходимо заметить, что известные способы модификации указанных методов, приведенные в работах [8-18], и направленные на преодоление их недостатков, непосредственно не могут быть применены для решения задач стабилизации формы плазмы. В первую очередь, это связано с многомерностью вектора управляющих воздействий, обусловленной конструкцией полоидальной управляющей магнитной системы.

Отмеченные недостатки известных подходов к решению проблем, связанных с оптимизацией по норме Н2, а также новизна их применения к решению вопросов стабилизации формы плазмы в токама-ках, определяют актуальность соответствующего развития теории и ее адаптации к решению комплекса конкретных прикладных задач с построением соответствующего алгоритмического и программного обеспечения.

В связи с изложенным, целью диссертационной работы

является проведение исследований, направленных на развитие математических методов оптимизации многосвязных динамических систем по норме Н2 и их адаптацию к особенностям задач стабилизации формы плазмы в термоядерных реакторах-токамаках.а также на разработку алгоритмического и программного обеспечения для решения прикладных задач на базе полученных теоретических результатов.

При этом основное внимание в работе уделяется следующим направлениям исследований:

— развитию новой техники поиска оптимального решения многосвязной (MIMO) задачи среднеквадратичного синтеза в классической постановке, позволяющей построить эффективные вычислительные

алгоритмы и представить решение в удобной для исследований форме;

— изучению (на базе принятого представления) особенностей и свойств оптимальных регуляторов для малоисследованных вариантов постановки задачи синтеза с возмущениями неполного ранга и разработке методов поиска этих регуляторов;

— построению верхних и нижних оценок экстремального значения среднеквадратичного функционала для М1М0-задач, позволяющих судить об эффективности оптимизации и степени управляемости объектом без непосредственного решения задачи синтеза, и принимать необходимые меры по их повышению;

— адаптации новых и известных методов оптимизации по норме Н2 для решения задач анализа и синтеза систем стабилизации формы плазмы в токамаках с учетом комплекса реальных требований, предъявляемых к качеству стабилизации, и реальных ограничений, налагаемых на полоидальную магнитную систему;

— применению теоретических методов и алгоритмов, полученных в работе, для оценки эффективности тех или иных полоидаль-ных магнитных систем по обеспечению заданных динамических характеристик процессов стабилизации тока и формы плазмы;

— решению конкретных прикладных задач анализа и синтеза систем управления токамаков различного типа с различными управляющими полоидальными магнитными системами.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав с выводами по каждой из них, заключения по диссертации в целом, списка литературы, включающего 74 наименования, и приложения.

Во введении приводится содержательная формулировка проблем управления формой плазмы, приводится и кратко анализируется математическая модель процесса ее стабилизации, осуществляется общая постановка задач, решаемых в диссертационной работе, а также выполняется краткий обзор опубликованных научных работ по теме исследований.

В первой главе рассматривается общая проблема оптимизации

линейных динамических систем по норме пространства Н2 с поиском решения на множестве передаточных матриц регуляторов, обеспечивающих гурвицевость характеристического полинома замкнутой системы.

Здесь приводится общая формулировка проблемы оптимального синтеза. Как ее частный вариант, рассматривается известная задача ЬС^С-оптимизации и разрабатывается вычислительная схема применения алгоритма ее решения при наличии нелинейных ограничений на величины управляющих воздействий.

Основное содержания главы составляет обоснование предлагаемого нового подхода к технике поиска оптимального решения М1МО-задачи среднеквадратичного оптимального синтеза и его конкретизация для различных вариантов ее постановок. Особое внимание уделяется задаче синтеза с возмущениями неполного ранга, в которой, в силу вырожденности матрицы спектральных плотностей, решение не является единственным. На основе полученных теоретических результатов и алгоритмов, реализующих разработанные методы синтеза, сформированы соответствующие вычислительные схемы и разработано программное обеспечение.

Во второй главе диссертации рассматриваются предельные возможности среднеквадратичной оптимизации для задачи в М1МО-постановке. Исследуется зависимость точности оптимальных замкнутых систем от величины энергетических затрат на управление (мощности управления). Выводятся формулы для оценок сверху и снизу на указанные характеристики, позволяющие без непосредственного решения задачи синтеза провести анализ динамических свойств системы. Уделяется внимание вопросам оценки степени управляемости линейного объекта с использованием полученных предельных характеристик среднеквадратичного оптимального синтеза.

Третья глава работы посвящена проведению исследований по применению полученных теоретических результатов а также алгоритмического и программного обеспечения для решения конкретных практических задач по анализу и синтезу систем стабилиза-

ции формы плазмы в токамаке ITER с различными полоидальны-ми магнитными системами и в токамаке MAST. Для токамака ITER с полоидальной системой ТАС4 выполнен полный цикл анализа и синтеза законов стабилизации формы плазмы на базе алгоритмов LQG-оптимизации. С этой целью сформирована и применена вычислительная схема, позволяющая учитывать нелинейные ограничения на величины управляющих напряжений и совокупность требований, предъявляемых к динамическим характеристикам процесса стабилизации.

Для этого же токамака, однако управляемого с помощью полоидальной магнитной системы FDR2, проведен анализ эффективности отдельных катушек в процессе стабилизации формы плазмы. С использованием результатов глав 1 и 2 показана избыточность данной полоидальной системы и выделены катушки с невысокой степенью эффективности. Показано, что те катушки, которые обладают низкой эффективностью в стабилизации формы, могут быть успешно применены для снижения электрической мощности, потребляемой системой питания управляющих электромагнитов.

На базе результатов главы 1 выполнена полная процедура среднеквадратичного синтеза стабилизирующих управлений для токамака MAST. Показано, что в рамках принятых ограничений на управления может быть достигнута вполне приемлемая точность стабилизации при воздействии на объект «цветных» внешних возмущений с заданным спектром.

Полученные в данной главе результаты подтверждают работоспособность и эффективность методов, алгоритмов и программного обеспечения, разработанных в диссертации.

Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие.

1. Предложен новый способ представления решения MIMO-задачи среднеквадратичной оптимизации в частотной области. На его основе предложены новые алгоритмы поиска передаточных ма-

триц оптимальных регуляторов.

2. Получено решение в частотной области MIMO-задачи среднеквадратичного синтеза с возмущениями неполного ранга как при наличии, так и при отсутствии полной информации о векторе состояния объекта управления. Рассмотрен вопрос о неединственности решения задачи в указанной постановке.

3. Исследованы предельные возможности среднеквадратичной оптимизации для задачи в MIMO-постановке. Получены формулы для вычисления верхних и нижних предельных значений этих характеристик без непосредственного решения задачи синтеза. Сформулированы критерии степени управляемости на базе среднеквадратичного подхода.

4. На базе алгоритмов Нг-оптимизации разработана вычислительная схема синтеза управлений, стабилизирующих форму плазмы, с учетом комплекса требований к динамическим характеристикам переходных процессов и нелинейных ограничений на величины управляющих напряжений. Полученная схема использована для решения задачи стабилизации плазмы в токамаке ITER с полоидальной системой ТАС4 и токамака MAST.

5. С использованием теоретических результатов по предельным характеристикам, разработана схема оценки эффективности катушек полоидальной магнитной системы по отношению к оптимальной стабилизации формы плазмы. С помощью этой схемы выполнен анализ полоидальной системы FDR2 токамака ITER. По результатам анализа выявлены три неэффективных катушки, практически не влияющие на качество стабилизации.

Практическая ценность результатов диссертации определяется тем, что разработанные в ней методы, алгоритмы и рекомендации изначально ориентированы на решение проблем реализуемости математического аппарата на базе широкодоступных вычислительных средств типа ПЭВМ, а также реализуемости синтезируемых регуляторов в реальных условиях функционирования. Выполнена адаптация предлагаемого математического обеспечения к специфи-

ческой динамике объекта управления для термоядерных реакторов-токамаков. Работоспособность и эффективность полученных результатов подтверждена решением практических задач по анализу и синтезу систем стабилизации формы плазмы в токамаках с различными полоидальными системами.

Апробация работы. Диссертация в целом, а также ее отдельные части и полученные результаты докладывались на 2-м Международном семинаре «Beam Dynamics and Optimization» (г. С.Петербург, 1995), на 2-й Международной конференц�