Методы решения задачи гарантирующего оценивания для систем с запаздыванием тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Задача гарантирующего оценивания для динамических систем с запаздыванием.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Аппроксимирующая задача и ее решение.

1.3. Оценка уровня неоптимальности приближенного алгоритма фильтрации.

1.4. Схема вычисления величины Д°.

1.5. Простейший пример.

Во многих динамических процессах будущее состояние процесса зависит не только от текущего состояния, но и от состояния процесса в прошлом. В частности, модель процесса может содержать запаздывание (элемент задержки).

Математическое описание указанных процессов во многих случаях может быть осуществлено при помощи различных типов дифференциальных уравнений с запаздываниями. Такие уравнения также называются уравнениями с последействием или функционально-дифференциальными уравнениями [36, 58, 82, 88, 98, 99].

Дифференциальным уравнением с запаздыванием часто называется уравнение относительно некоторой функции х(Ь) связывающее скорость ее изменения в данный момент времени £ со значениями функции в момент времени £ и некоторый предшествующий момент Ь — Н, где Н > 0 - число, называемое запаздыванием. Простейший пример дифференциального уравнения с запаздыванием — скалярное уравнение ах{Ь) + Ьх(Ь — К).

Отметим, что запаздывание, даже достаточно малое, может существенно влиять на характер решения. Например, приводить к дестабилизации системы, к появлению колебаний, к "слипанию" решений (когда решения с различными начальными условиями после некоторого момента времени совпадают) и т.д.

Приведем несколько примеров физических явлений, для математических моделей которых используются системы с запаздыванием. Системы с запаздыванием появляются в задачах управления механическими объектами, в которых используются регуляторы, зависящие от предшествующей траектории (пропорционально-интегральные и пропорционально-интегрально-дифференциальные регуляторы) [4, 20]. Такие типы регуляторов используются в роботах-манипуляторах [80]. Уравнения с запаздыванием используются для описания процессов управления космонавтом космическим кораблем на орбите в состоянии невесомости.

Уравнения с запаздыванием возникают при изучении напряженно-деформированного состояния упругих тел с учетом их взаимодействия с внешней средой [16]. С помощью систем с запаздыванием моделируют работу типовых элементов химико-технологических процессов, содержащих пневматические и гидравлические контуры. Например, физические и химические технологические процессы в реакторах, где запаздывание вызвано конечной скоростью распространения жидкости по тонким трубкам, временем, необходимым для перемешивания жидкостей, временем транспортировки жидкостей и т.д. Системы с запаздыванием широко применяются в теории вязкоупругости для описания напряженно-деформированного состояния некоторых материалов, например, бетона, полимеров, пластмасс, древесины и др. [5]. Инженерные задачи, в которых для описания объекта требовалось учитывать запаздывание, появились еще в первой половине 20-го века. Это, например, задачи о работе турбины при действии на нее гидроудара, о регулировании мощности гидроэлектростанции по водостоку [17], о генераторах СВЧ, об управлении тепловыми процессами [21] и т.д. Запаздывание возникает при передаче на расстояние энергии или сигнала, например, при наблюдении и управлении удаленной динамической системой [4, 26]. Особенно явно запаздывание проявляется при управлении высокоскоростными объектами (самолетами, ракетами и т.д). Например, существенным в системе автоматического управления посадкой самолета является учет запаздывания в реакции тяги на отклонение рычага управления двигателем, а также запаздывание при обработке управляющих сигналов сервоприводами аэродинамических рулей [27]. Использование силовых следящих приводов с инерционными звеньями и зонами нечувствительности приводит к появлению запаздывания при управлении колебаниями деталей машин [28]. Часто запаздывание присутствует в моделях динамики атомного реактора (причины возникновения запаздывания различны: конечное время передачи тепла вдоль элементов циркуляционных контуров, время прогрева реактора, реакция систем управления) [31]. Уравнения с запаздыванием часто используются для описания различных систем живого организма. Например, модель функционирования щитовидной железы, модель системы для поддержания уровня сахара в крови (запаздывание вызвано конечным временем, необходимым для выработки инсулина), модель регулирования артериального давления (запаздывание в барорецепторах), модель процесса кроветворения, модель взаимодействия лекарств с клетками органов [48, 73]. Уравнения с запаздыванием используются в экологии для описание взаимодействия различных популяций [64]. При исследовании биологических систем, в которых передача управляющего сигнала связана с такими длительными процессами, как размножение, развитие, вымирание, введение запаздывания позволяет учесть различные факторы, например, неоднородность возраста популяции, конечную длительность времени взаимодействия и жизни, конечность времени, необходимого для принятия внешних сигналов и выработки ответной реакции и т.д. [9, 33]. Уравнениями с запаздыванием описывают процесс полимерной кристаллизации, где характеристики конечного продукта зависят от всей истории процесса изменения температуры и давления. Уравнения с запаздыванием часто применяются при управлении финансами, при описании экономических процессов, таких как колебания цен, колебания товарного предложения, циклов продаж и т.д.

Исследования систем с запаздыванием интенсивно проводятся в различных направлениях [4,9, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 43, 45, 46, 58, 81, 82, 85, 91,100,101,113]. Особо стоит отметить работу [109], посвященную обзору недавних исследований.

Одним из направлений исследований систем с запаздыванием является гарантирующее оценивание. Классические методы оценивания исходят из предположения, что статистические характеристики ошибок и возмущений известны [7, 52, 62]. Например, известно их вероятностное распределение или известны такие характеристики их распределения как математическое ожидание и матрица ковариаций. Если система описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями и возмущения в ней являются гауссовскими белыми шумами, то оптимальная оценка доставляется хорошо известным фильтром Калмана-Бьюси [52, 83, 84, 92, 93, 94]. Однако на практике для многих систем часто невозможно получить достаточно большое количество экспериментальных данных, которые позволили бы с нужной точностью определить необходимые статистические характеристики распределений. Поэтому в последние десятилетия стали развиваться методы гарантирующего (минимаксного, робастного) оценивания [39, 44, 47, 49, 50, 71, 72, 75, 76, 90, 91, 102, 106, 108, 110, 111, 112, 114]. Отметим, что гарантирующий подход для решения механических задач применен еще Б. В. Булгаковым [18].

Одно из направлений новых методов оценивания было инициировано работами П. Хьюбера [89, 90] . В этих работах исходят из предположения, что ошибки измерений являются независимыми, одинаково распределенными случайными величинами, однако в отличие от классического случая предполагается, что известен лишь класс распределений, которому принадлежит истинное распределение. Этот подход получил интенсивное развитие в исследованиях Я.З. Цыпкина, Б.Т. Поляка, С.А. Смоляка, Б.П. Титаренко [61, 65, 71].

Другое направление минимаксных методов оценивания возникло из работы М.Л. Лидова [49] при постановке задачи о "наихудшей" корреляции. В этой задаче границы амплитуд возмущений считаются заданными, а их спектральный состав предполагается полностью неизвестным. Основные результаты этого подхода изложены в работах М.Л. Лидова, П. Е. Эльясберга, В. А. Архангельского, Б. Ц. Бахшияна, Л. Ю. Белоусова, М. И. Войсковского, А. И. Матасова, P.P. Назирова, А.Р. Панкова, В.Н. Соловьева [6, 10, И, 12, 13, 14, 15, 19, 59, 60, 66, 67, 68, 69, 103].

Основополагающий вклад в развитие теории управления и наблюдения в условиях неопределенности внесли работы Н. Н. Красовского, А. Б. Куржанско-го, Б. И. Ананьева, М. И. Гусева, И. Я. Каца, Ф. Л. Черноусько [2, 3, 23, 24, 25, 30, 39, 40, 42, 44, 47, 72, 78, 79]. В них основное внимание уделяется общим вопросам гарантирующего оценивания и их связям с соответствующими разделами выпуклого и функционального анализа и теории управления.

В предлагаемой диссертации развивается направление, основанное на работах М.Л. Лидова [49], [50] и представленное в обзоре [51], которое непосредственно связано с разработкой конструктивных методов гарантирующего оценивания для исследования прикладных задач [22, 53, 54, 55, 56, 57, 86, 87, 96].

В основе многих классических постановок задач оценивания лежит предположение, что возмущения в системе и ошибки измерений являются гауссовскими белыми шумами. В большинстве приложений система содержит и некоторые дополнительные нестохастические сигналы. Предполагается, что эти детерминированные сигналы неизвестны, но принадлежат некоторой ограниченной области (set-membership model) [105, 107]. В этом случае система может быть описана более реалистичной по сравнению с классическим подходом моделью. А именно, возмущения в системе и ошибки измерений представляются суммами гаус-совских белых шумов и неопределенных, но ограниченных детерминированных функций. Ограничения для этих функций считаются заданными. Другими словами, возмущения в системе и ошибки измерений описываются процессами типа белого шума с неизвестными, но ограниченными статистическими характеристиками — математическими ожиданиями и интенсивностями. Аналогичные предположения делаются и для вектора начального состояния системы. Кроме того, предполагается, что все эти процессы взаимно независимы. Так как возмущения в системе и помехи в измерениях содержат неизвестные детерминированные составляющие, то для описания качества оценивания вводится гарантированное значение ошибки оценки, которое определяется как максимальное отклонение оценки контролируемого параметра от его точного значения при всех возможных возмущениях в системе, ошибках измерений и векторах начального состояния системы. Ставится задача оптимального гарантирующего оценивания, состоящая в выборе метода оценивания, минимизирующего гарантированное значение ошибки оценки контролируемого параметра.

Таким образом, задача оптимального гарантирующего оценивания сводится к минимаксной задаче. Однако в виду сложности, а часто невозможности нахождения точного решения соответствующей вариационной задачи, целесообразно отказаться от поиска оптимального оценивателя, а воспользоваться конструктивным приближенным алгоритмом фильтрации. При этом необходимо оценить (без нахождения оптимального алгоритма) насколько увеличится ошибка оценки при использовании такого приближенного алгоритма оценивания.

Работа имеет следующую структуру. Первая глава посвящена постановке минимаксной задачи фильтрации для линейных динамических систем с запаздыванием при неопределенных статистических характеристиках действующих на систему возмущений и ошибок измерений и нахождению ее приближенного решения. В этой главе построена оценка уровня неоптимальности некоторого базового приближенного алгоритма оценивания. Во второй главе, в предположении, что запаздывание мало по сравнению со временем наблюдения, для приближенного решения исходной задачи применяется метод малого параметра и строится оценка уровней неоптимальности для новых приближенных алгоритмов, соответствующие нулевому и первому приближению относительно малого параметра (запаздывания). В третьей главе предложенный в работе подход используется в решении задачи фильтрации для механической системы с одной степенью свободы при наличии запаздывания.

Разработанные в диссертации методы построения алгоритмов и их уровней неоптимальности являются полезным инструментом решения задачи фильтрации для систем с запаздыванием. С их помощью могут быть решены многие прикладные задачи фильтрации, возникающие при исследовании механических систем.

1 Основные результаты главы 3 изложены в статье [77] Ahmedova N. К., Kolmanovskii V. В., Matasov A. I. Constructive filtering algorithms for delayed systems with uncertain statistics. ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. Special Issue: Time Delayed Systems, 125 (2), June 2003, pp. 229-235 и докладе

104] Matasov A. I., Kolmanovskii V.B., Ahmedova N. K. Guaranteed filtering problem in delayed dynamic systems. Proceedings of the International Conference "Physics and Control" (PhysCon 2005), Russia, S.-Petersburg, August 2005.

Заключение

Рассмотрена задача минимаксной фильтрации для линейных динамических систем с запаздыванием при неопределенных статистических характеристиках действующих на систему возмущений и ошибок измерений. Оптимальный алгоритм фильтрации определяется из решения сложной негладкой экстремальной задачи.

Предложены алгоритмы фильтрации, полученные поэтапным упрощением исходной вариационной задачи. На первом этапе исходная негладкая задача заменялась гладкой задачей, имеющей известное решение. Затем, в предположении, что запаздывание мало по сравнению со временем наблюдения, были найдены приближенные решения гладкой задачи.

С помощью теории двойственности выпуклых вариационных задач построены уровни неоптимальности предложенных приближенных алгоритмов. Эти уровни неоптимальности вычислены без нахождения неизвестного точного решения исходной негладкой задачи.

Предложенные методы применены к исследованию механической колебательной системы с одной степенью свободы. Вычисления уровней неоптимальности показали, что точность приближенных алгоритмов фильтрации достаточно близка к оптимальной.

Таким образом, в диссертации разработаны новые эффективные методы решения задачи фильтрации для систем с запаздыванием.

1. Алексеев В. M., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

2. Ананьев Б. И. Минимаксные среднеквадратические оценки в стстистиче-ски неопределенных системах. Дифференциальные уравнения, 20 (8), 1984, С. 1291-1297.

3. Ананьев Б. И. Минимаксная линейная фильтрация многошаговых процессов с неопределенными распределениями возмущений. Автоматика и телемеханика, (10), 1993, С. 131-139.

4. Андреева Е. А., Колмановский В. В., Шайхет JI. Е. Управление системами с последействием. М.: Наука, 1992.

5. Арутюнян H. X., Колмановский В. Б. Теория ползучести неоднородных тел. М.: Наука, 1983.

6. Архангельский В. А.,Белоусов JI. Ю. Минимаксная оценка точности определения орбиты космического аппарата при учете немоделируемых ускорений. Космические исследования, 17 (3), 1979, С. 345-353.

7. Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998.

8. Бабский В. Г., Мышкис А. Д. Математические модели в биологии, связанные с учетом последействия. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. М.: Мир, 1983 (дополнение к книге).

9. Бахшиян Б. Ц. Гарантированные характеристики точности линейного оценивания, их свойства и применение. Препринт Института космических исследований № 1332, М.: АН СССР, 1987.

10. Бахшиян Б. Ц. Симплексный алгоритм решения оптимальной задачи гарантированного оценивания с немоделируемыми возмущениями. Космические исследования, 26 (1), 1988, С. 127-143;

11. Бахшиян Б. Ц., Назиров Р. Р., Эльясберг П. Е. Определение и коррекция движения. М.: Наука, 1980.

12. Бахшиян Б. Ц., Соловьев В. Н. Применение теоремы двойственности к задаче оптимального гарантирующего оценивания. Космические исследования, 28 (2), 1990, С. 163-169.

13. Белоусов Л. Ю. Определение оптимальных моментов измерений. Космические исследования, 7 (1), 1969, С. 28-34.

14. Белоусов Л. Ю. О многоцелевом планировании в рамках модели ошибок измерений с произвольной корреляцией. Космические исследования, 18 (5), 1980, С. 790-799.

15. Белоцерковский С.М., Кочетков Ю.А., Красовский A.A., Новицкий В.В. Введение в аэроупругость. М.: Наука, 1980.

16. Богомолов В. Л. Автоматическое регулирование мощности гидростанций по водостоку. Автоматика и телемеханика, 4, 5, 1941.

17. Булгаков Б. В. Прикладная теория гироскопов. М.-Л.: Гостехиздат, 1939.

18. Войсковский М.И., Меринов И. Е. Симплексный алгоритм для решения задачи минимаксного оценивания. Препринт Института космических исследований № 1697, М.: РАН, 1990.

19. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифферен-циальных уравнений. М.: Наука, 1982.

20. Герасимов В. Г. Теоретические основы автоматического регулирования тепловых процессов. М.: Госэнергоиздат, 1949.

21. Гусев М. И. О структуре оптимальных минимаксных оценок в задачах гарантированного оценивания. Доклады РАН, 322 (5), 1992, С. 832-835.

22. Гусев М. И. Об оптимизации измерений в задаче оценивания состояния динамической системы при геометрических ограничениях на помехи. Дифференциальные уравнения, 24 (11), 1988, С. 1862-1870.

23. Гусев М. И. Оптимальность линейных алгоритмов в задачах гарантированного оценивания. Техническая кибернетика, (3), 1994, С. 87-95.

24. Турецкий X. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием. М,: Наука, 1974.

25. Гуськов Ю.П. Дискретно-непрерывное управление программным выведением самолетов. М.: Машиностроение, 1987.

26. Егорова Г.Ф., Михелькевич В. Н., Чабанов Ю. А. Автоколебания при шлифовании. Изв. вузов, Машиностроение, (1), 1986.

27. Иоффе А. Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

28. Кац И.Я. Куржанский, A.B. Минимаксное оценивание в многошаговых системах. Доклады АН СССР, 221 (3), 1975, С. 535-538.

29. Кащенко С. А. Исследование системы дифференциально-разностных уравнений, описывающих работу ядерного реактора. Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика и техника ядерных реакторов, (2), 1985.

30. Ким А. В., Ложников А. Б. Линейно-квадратичная задача для систем с запаздыванием по состоянию. Точные решения уравнений Риккати. Автоматика и телемеханика, (70), 2000, С. 15-31.

31. Колмановский В. Б., Королева Н. И. Об оптимальном управлении некоторыми билинейными системами с последействием. Прикладная математика и механика, 53 (2), 1989.

32. Колмановский В. Б., Майзенберг Т. Л. Оптимальное управление стохастическими системами с запаздыванием. Автоматика и телемеханика, (1), 1973, С. 47-61.

33. Колмановский В. Б., Матасов А. И. Об одном подходе к решению минимаксных задач фильтрации в системах с последействием. Автоматика и телемеханика, (6), 1996, С. 125-147.

34. Колмановский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

35. Копылова Н. К. Конструктивные методы оценивания в динамических системах с запаздыванием. Труды конференции по теории колебаний и управлению, посвященной 100 летию со дня рождения Б. В. Булгакова, Москва, 2000, С. 88.

36. Копылова Н. К., Матасов А. И. Метод малого параметра для решения задачи оценивания в системах с запаздыванием. Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика, (2), 2002, С. 68-70.

37. Красовский Н. Н. К теории управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем. Прикладная математика и механика, 28 (1), 1964, С. 3-14.

38. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

39. Красовский Н. Н. О применении второго метода А.М.Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени. Прикладная математика и механика, 20 (3), 1956.

40. Красовский Н. Н. Об аналитическом конструировании оптимального регулятора в системе с запаздываниями времени. Прикладная математика и механика, 26 (1), 1962.

41. Красовский Н. Н. Об аппроксимации одной задачи аналитического конструирования регуляторов в системе с запаздыванием. Прикладная математика и механика, 28 (4), 1964.

42. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

43. Куржанский А. Б. К аппроксимации линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием. Дифференциальные уравнения, 3 (12), 1967, С. 2094-2107.

44. Куржанский А. Б. О существовании решения системы уравнений с последействием. Дифференциальные уравнения, 6 (10), 1970.

45. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

46. Лаугалис Р. В., Швитра Д. И. Управление производством белых клеток крови. Нелинейные колебания в задачах экологии, Изд-во ЯрГу, Ярославль, 1985.

47. Лидов М.Л. К априорным оценкам точности определения параметров по методу наименьших квадратов. Космические исследования, 2 (5), 1964, С. 713-718.

48. Лидов М. Л. К задаче гарантирующего оценивания. Космические исследования, 29 (6), 1991, С. 803-814.

49. Лидов М.Л., Бахшиян Б. Ц., Матасов А, И. Об одном направлении в проблеме гарантирующего оценивания (обзор). Космические исследования, 29 (5), 1991, С. 659-684.

50. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

51. Матасов А. И. Об оптимальности линейных алгоритмов гарантирующего оценивания. Часть I. Космические исследования, 26 (5), 1988, С. 643-653.

52. Матасов А. И. Об оптимальности линейных алгоритмов гарантирующего оценивания. Часть II. Космические исследования, 26 (6), 1988, С. 807-812.

53. Матасов А. И. Об априорной точности метода наименьших квадратов в задачах гарантирующего оценивания. Часть I. Космические исследования, 28 (1), 1990, С. 11-16.

54. Матасов А. И. Об априорной точности метода наименьших квадратов в задачах гарантированного оценивания. Часть II. Космические исследования, 28 (2), 1990, С. 170-185.

55. Матасов А. И. Об оценке чувствительности фильтра Калмана-Бьюси к априорным значениям ковариационных матриц. Автоматикаи телемеханика, (2), 1991, С. 78-87.

56. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, М.: Гостехиздат, 1951.

57. Панков А. Р., Семенихин К. В. Методы параметрической идентификации многомерных линейных моделей в условиях априорной неопределенности. Автоматика и телемеханика, (5), 2000, С. 76-92.

58. Панков А. Р., Семенихин К. В. О минимаксном оценивании в сингулярных неопределенно-стохастический моделях. Автоматика и телемеханика, (9), 2002, С. 40-57.

59. Поляк Б. Т., Цыпкин Я. 3. Помехоустойчивая идентификация. Идентификация и оценка параметров систем. Труды 4-го симпозиума ИФАК. Часть 1, Тбилиси, 1976, С. 190-213.

60. Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1992.

61. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

62. Смит Дж. М. Модели в экологии. М.: Мир, 1976.

63. Смоляк С. А., Титаренко Б. П. Устойчивые методы оценивания. М.: Статистика, 1980.

64. Соловьев В. Н. Двойственные алгоритмы гарантирующего оценивания. Космические исследования, 30 (1), 1992, С. 10-20.

65. Соловьев В.Н. Двойственные алгоритмы минимаксного оценивания параметров движения в непрерывной постановке. Космические исследования, 32 (2), 1994, С. 122-124.

66. Соловьев В. Н. Двойственные экстремальные задачи и их применение к задачам минимаксного оценивания. Успехи математических наук, 52 (4), 1997, С. 49-86.

67. Соловьев В.Н. Об оптимальности линейных алгоритмов в задаче гарантирующего оценивания при случайных ошибках измерений. Космические исследования, 29 (1), 1991, С. 127-132.

68. Тихомиров В. М. Выпуклый анализ. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Анализ 2. Т. 14, Москва, ВИНИТИ, 1987, С. 5-101.

69. Цыпкин Я. 3. Основы информационной теории идентификации. М.: Наука, 1984.

70. Черноусько Ф. JL Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988.

71. Штенгольд Е. Ш., Годин Е. А., Колмановский В. Б. Регулирование напряженно-деформированного состояния сосудов и гипертоническая болезнь. М.: Наука, 1990.

72. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979.

73. Эльясберг П. Е. Измерительная информация: Сколько ее нужно? Как ее обрабатывать? М.: Наука, 1983.

74. Эльясберг П. Е., Бахшиян Б. Ц. Определение траектории полета космического аппарата при отсутствии сведений о законе распределения ошибок измерений. Космические исследования, 7 (1), 1969.

75. Anan'ev В. I. On minimax state estimates for multistage statistically uncertain systems. Problems of Control and Information Theory, 18 (1), 1989, pp. 27-41.

76. Anan'ev B. I. Minimax estimation of statistically uncertain systems under the choice of a feedback parameter. Journal of Mathematical Systems, Estimation, and Control, 5 (2), 1995, pp. 263-266.

77. Austin J., Formalsky A. On the synthesis of a nominal trajectory for control law of a one-link flexible arm. The International Journal of Robotics Research, 16 (1), February 1997, pp. 36-46.

78. Basin M.V., Rodriguez-Gonzalez J., Martinez-Zuniga R. Optimal filtering for linear state delay systems. IEEE Transactions on Automatic Control, AC-50, (5), 2005, pp. 684-690.

79. Boukas E.-K., Lui Z.K. Deterministic and Stochastic Time-Delay Systems. Boston, MA: Birkhauser, 2002.

80. Bucy R. S., Joseph R D. Filtering for Stochastic Processes with Application to Guidance. Wiley Interscience, New York, 1968.

81. Davis M. H. A. Linear Estimation and Stochastic Control. Chapman and Hall, London, 1977.

82. Eller D. H., Aggarwal G. K., Banks H.T. Optimal control of linear time-delay systems. IEEE Transactions on Automatic Control, AC-14 (6), December 1969, pp. 678-687.

83. Golovan A.A., Matasov A.I. The Kalman-Bucy filter in the guaranteed estimation problem. IEEE Transactions on Automatic Control, AC-39 (6), 1994, pp. 1282-1286.

84. Golovan A.A., Matasov A.I. Efficiency of the Kalman-Bucy filter in the presence of uncertain disturbances. Proceedings of the 10th IFAC Symposium on System Identification, Copenhagen, Denmark, (3), 1994, pp. 481-486.

85. Hale J. K., Lunel S. M. V. Introduction to Functional Differential Equations. Springer, New York-Berlin, 1993.

86. Huber P. J. Robust estimation of a location parameter. Annals of Mathematical Statistics, (35), 1964, pp. 73-101.

87. Huber P.J. Robustness in Statistics. John Wiley and Sons, 1981.

88. Hsiao F.H., Pan S.T. Robust Kalman filter synthesis for uncertain multiple time-delay stochastic systems. Transactions of the ASME, Journal of Dynamic Systems, Measurements, Control, (118), 1996, pp. 803-807.

89. Jazwinski A.H. Stochastic Processes and Filtering Theory. Academic Press, New York, 1970.

90. Kalman R. E. A new approach to linear filtering and prediction problems. Transactions of the ASME, Journal of Basic Engineering, 82D, 1960, pp. 35-45,

91. Kalman R. E., Bucy R. S. New results in linear filtering and prediction theory. Transactions of the ASME, Journal of Basic Engineering, 83D, 1961, pp. 95-108.

92. Kolmanovskii V.B., Kopylova N.K., Matasov A.I. An approximate method for solving stochastic guaranteed estimation problem in hereditary systems. Dynamic Systems and Applications, 10 (3), 2001, pp. 305-325.

93. Kolmanovskii V.B., Mao X., Matasov A.I. On approximate solving the mean- square filtering problem in hereditary systems. Dynamic Systems and Applications, 7 (2), 1998, pp. 259-276.

94. Kolmanovskii V. B., Myshkis A. D. Applied Theory of Functional Differential Equations. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 1992.

95. Kolmanovskii V. B., Myshkis A. D. Introduction to the Theory and Applications of Functional Differential Equations. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 1999.

96. Kolmanovskii V. B., Shaikhet L. E. Control of Systems with Aftereffect. American Mathematical Society, Providence, RI, 1997.

97. Mahmoud M.S. Robust Control and Filtering for Time-Delay Systems. New York, Marcel Dekker, 2000.

98. Matasov A. I. The Kalman-Bucy filter accuracy in the guaranteed parameter estimation problem with uncertain statistics. IEEE Transactions on Automatic Control, AC-34, March 1994, pp. 635-639.

99. Matasov A.I. Estimators for Uncertain Dynamic Systems. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 1999.

100. Matasov A. I., Kolmanovskii V. B., Ahmedova N. K. Guaranteed filtering problem in delayed dynamic systems. Proceedings of the International Conference "Physics and Control" (PhysCon 2005), Russia, S.-Petersburg, August 2005.

101. Milanese M., Novara C. Set membership prediction of nonlinear time series. IEEE Transaction on automatic control, 50 (11), 2005, pp. 1655-1670.

102. Milanese M., Tempo R. Optimal algorithm theory for robust estimation and prediction. IEEE Transaction on automatic control, 30 (8), 1985, pp. 730-738.

103. Milanese M., Vicino A. Optimal estimation theory for dynamic system with set membership unsertainty: an overview. Automatica, 27 (6), 1991, pp. 997-1009.

104. Petersen I. R., Savkin A. V. Robust Kalman Filtering for Signals and Systems with Large Uncertainties. Boston, MA: Birkhauser, 1999.

105. Richard J.-P. Time-delay systems: an overview of some recent advances and open problems. Automatica, 39 (10), 2003, pp. 1667-1694.

106. Sacks J., Ylvisaker D. Linear estimation for approximately linear Models. Annals of Mathematical Statistics, 6 (5), 1978, pp. 1122-1137.

107. Schweppe F. C. Recursive state estimation: unknown but bounded error and system inputs. IEEE Transactions on Automatic Control, AC-13, 1968, pp. 22-28.

108. Schweppe F. C. Uncertain Dynamic Systems. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1973.

109. Uchida K., Shimemura E., Kubo T., Abe N. The linear-quadratic optimal control approach to feedback control design for systems with delay. Automatica, 24 (6), 1988, pp. 773-780.

110. Witsenhausen H. S. Sets of possible states of linear systems given perturbed observaitons. IEEE Transactions on Automatic Control, AC-13, 1968, pp. 556-558.