Методы гарантирующего оценивания и их применение к задачам навигации тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

РГ 6 ОД ^еханико'математически" факультет

2 6 ДПР 1993 На правах рукописи

МАТАСОВ Александр Иванович

МЕТОДЫ

ГАРАНТИРУЮЩЕГО ОЦЕНИВАНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К ЗАДАЧАМ НАВИГАЦИИ

01.02.01 — теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1993 г.

Работа выполнена в лаборатории навигации и управления "Института механики МГУ им. М.В.Ломоносова

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор В.В.Александров

доктор технических наук профессор Л.А.Мироновский

доктор физико-математических наук профессор В.Б.Колмаиовский

Ведущая организация: Летно-исследовательский институт

им.М.М.Громова

Защита состоится "// " АчсЦ_ 1993 г. в часов

на заседании специализированного Совета Д 053.05.01 (Л I по механике) при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы. Главное-здание МГУ, зона "А", ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан " 1993 г.

Ученый секретарь специализированного Совета доктор физико-математических наук

Д.В.Трещев

Состояние вопроса я актуальность темы. Классические метода оценивания выводятся исходя из предположения о том» что вероятностное распределение ошибок измерений известно или, но крайней мере, известны такие характеристики этого распределения как математическое ожидание и матрица ковариаций. Однако это - не всегда так. Для многих информационных систем,., используемых, например, для обработки навигационных измерений, часто не удается получить достаточно большого количества экспериментальных данных, которые позволили бы с уверенность!) и необходимой точностью определить требуемые характеристики распределений помех.

В 60-тые года этого века независимо в СССР , и США в различных постановках начали развиваться методы оценивания, которые иногда называются жишжшсшяи. Их также называет методами гаратирухзщего и райастого (устойчивого) оценивания, подчеркивая определенные свойства таких оценок.

Одно из направлений новых методов оценивания выросло из работ П.Хьюбера (начиная с 1964 г.). В этих работах исходят из предположения, что ошибки измерений являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами. Однако,.в отличие от классического случая, предполагается, что априори известен лишь класс распределений, которому принадлежит истинное распределение. Этот подход получил интенсивное развитие в исследованиях Я.З.Ципкина и Б.Т.Поляка, С.А.Смоляка и Б.П.Титаренко.

Другое направление минимаксных методов оценивания было начато пионерской работой М.Л.Лидова в 1964 г. постановкой и анализом задачи о "наихудшей корреляции". В этой задаче границы амплитуд возмущений считаются заданными, а их спектральный состав (определяющий взаимные корреляции) предполагается полностьи неизвестным. В предлагаемой диссертации развивается это направление, аепосредсгвенно связанное с разработкой численных методов исследования прикладных задач. Основные результаты упомянутого выше направления изложены в работах М.Л.Лидова, П.Е.Эльясберга, Б.Ц.Вахшияна, Р.Р.Назировз, В. А;. Архангельского, Л.Ю.Белоусова, М.И.Войсковского, В.Н.Соловьева. Значительная часть этих работ посвящена применению гарантирующего подхода к задачам проектирования космических экспериментов.

■ Фундаментальные концепции теории наблюдения и управления в условиях неопределенности разработаны свердловской школой

Н.Н.Красовского. В работа! Н.Н.Красовского, А.Б.Куржанского, И.Я.Кацв, Б.И.Ананьева, М.И.Гусева основное внимание уделяется общим вопросам анализа задач гарантирующего оценивания, их связям с соответствующими разделами выпуклого и функционального анализа. Первые работы Н.Н.Красовского по минимаксному оцениванию такта появились в 1964 г.

Теория оптимального эллипсоидального (гарангарупцего) оценивания построена Ф'. Л .Чарноу сько.

Спектральным постановкам задач. гарантарущвго оценивания посвящена монография О.М.Куркина, Ю.Б.Коробочкииа и С.А.Шаталова. Состоятельность оценок, доставляем« гарантирущами алгоритмами при классических статистических гипотезах о помехах, рассматривалась в работах Б.Н.Пшеничного и. В.Г.Покотило. Прикладным статистическим задачам минимаксного оценивания посвящены монографии В.В.Малыаева, А.И.Кибзуна, М.Н.Красилыцикова и В.И.Карлова.

Различные фундаментальные и прикладные задачи гарантируицвго оценивания исследуются в работах зарубежных авторов: Т.Базара, С.Верду, Г.В.Пура, Д.П.Луза, М.Миланезе, Р.Темпо, К.М.Нагнала, П.П.Харгонвкара, Дх.П.Нортона, С.М.Вереша, С.Г.Мо, Т.Ниишмуры. .

Обширным полем для применения гарантирущего подхода является задачи оценивания параметров инерциальных навигационных систем. Теория инерциальных навигационных систем изложена в трудах А.Ю.Ишлянского» В.Д.Андреева, Е.А.Девянина, .И. В. Новожилова, Н.А.Парусникова, В.М.Морозова, И.Б.Челпанова, М.Ф.Броксмайера, П.Форэ. Основы целостной теории' корректируемых ^инерциальных навигационных систем созданы в работах .Н.А.Парусникова. В литературе подробно обсуждена задача коррекции инерциальной навигационной системы при предположении, что помехи являются процессами типа "белого шума" или линейно связанными с ними процессами с заданной корреляционной функцией. Однако данная гипотеза -далеко не всегда имеет достаточное обоснование. Поэтому представляет практический интерес рассмотрение задач коррекции при менее ограничительном предположении, что значения" погрешностей „(в каждый момент времени) могут изменяться в заданных пределах. В этом: случае к задаче оценивания следует применять гарантирущий подход. Некоторые варианты задачи выставки инерциальной навигационной системы, при . помощи гарантирущего подаода рассмотрены в диссертации Б.И.Ананьева.

Отметим, что гарантирупциа подход при ратании механических задач приманен еце Б.В.Булгаковым в 1939 г.

Цель исследования. Целью диссертации является разработка, обоснование и дальнейшее развитие точных и приближенных конструктивных методов исследования • задач гарантирулцего оценивания в условиях неопределенности и применение этих методов к задачам навигации.

Методы исследования. В основе полученных в диссертации результатов лежат общие концепции теории наблвдения в условиях неопределенности, метода функционального анализа, теории игр, выпуклого анализа, статистической теории фильтрации, линейного программирования, метода математической теории навигации.

Научная новизна.

1. Установлена оптимальность линейных алгоритмов в задаче оценивания с немоделируемыми возмущениями.

Получены достаточные условия существования седловой точки в игровой задаче, соответствующей задаче оценивания.

Доказано, что в стохастической задаче■ о "наихудаей корреляции" оптимальный алгоритм такав можно искать на классе линейных алгоритмов.

2. Дан оригинальный вывод необходимых и достаточных условий оптимальности оценивателя в задаче оценивания с немоделируемыми возмущениями, ранее указанных М.Л.Лядовым. Строгое доказательство необходимости этих условий дано впервые.

Показано, что фазовые ограничения в априорной задаче гарантирувдего оценивания эквивалентны наличии дополнительных измерений.

3. Получена оценка сверху для отношения априорных точностей фильтра Калмана-Бьоси (метода наименьших квадратов) и оптимального гарантирущего алгоритма. Эта оценка однозначно определяется характеристиками фильтра Кзлмана-Бьюси и может быть подсчитана без знания точного решения задачи оптимального гарантирущего оценивания. Представлены соответствующие расчетные, соотношения, реализованные на :вм рс ат. ,

4. Получена конструктивная оценка степени неоптимальности фильтра Калмана-Бьюси в стохастической задаче оценивания с комбинированными помехами (т.е. помехами типа белого шума с неопределенными первыми и вторыми моментами). Построен

соответствующий численный алгоритм, реализованный на хвм рс дт.

Для классической задачи линейной фильтрации получена оценка чувствительности фильтра Калмана-Быоси к- априорным значениям ковариационных матриц.

5. Предложена формализация задачи гарантирующего оценивания со сбоями, обобщающая "схему бортиков". Построены конструктивные алгоритмы ее численного решения, реализованные на 1вм рс ат.

е. С помощью разработанных в диссертации методов построены алгоритмы решедия задач определения местоположения (с гарантированной точностью), возникающих в проблеме топографической привязки.

Теоретическая и практическая ценность.

1. Оптимальность линейных алгоритмов существенно упрощает анализ задач априорного гарантирующего оценивания.

Наличие седловой точки уточняет структуру задачи оценивания.

2. Необходимые и достаточные условия оптимальности позволяют проводить аналитическое исследование задач гарантирующего оценивания.

Эквивалентность фазовых ограничений измерениям дает возможность сводить задачи гарантирующего оценивания с ограничениями на производные возмущений к задачам оценивания с немоделируемыми возмущениями.

3. С помощью оценок степени неоптимальности фильтра Калмана-Бьюси в задачах гарантирующего оценивания можно обосновывать практическую нецелесообразность решения соответствующих сложных задач математического программирования, не решая их. Эти задачи заменяются на существенно более простые.

4. Формализация задачи . оценивания со сбоями позволяет оптимальным образом и с оценкой точности определения параметров обрабатывать аномальные измерения (содержащие как резко выделяющиеся, так и небольшие сбои), ошибки которых могут быть произвольно коррелированными.

•5." Применение гарантирующего подхода обеспечивает высокую надежность- решения ответственных навигационных задач.

6. Разработанные .метода (с алгоритмами и пакетами программ) могут применяться для исследования широкого класса прикладных задач обработки измерительной информации, возникающих в аэрокосмической промышленности, экономике, статистике, медицине.

Обсуждение работа. Основные" результаты диссертации

докладывались на различных конференциях и семинарах:,

- на Ломоносовских чтениях в МГУ (1987 г.);

- на Всесоюзном совещании-семинаре "Проблемы оптимизации и управления динамическими системами в машино- и приборостроении" (Владивосток, 1987 г.);

- на- хит и XV Научных чтениях по космонавтике (Москва, 1989, 1991 гг.); '

- на vir Всесошной конференции "Управление "в ' механических системах" (Свердловск, 1990 г.);

- на ni Всесоюной школе по навигации и управлению движущимися объектами" (Феодосия, Г990 г.);

- на XVIII Международном съезде по теоретической и прикладной механике (Хайфа, Израиль, 1992 г.);

- на семинаре кафедры прикладной механики и управления механико-математического факультета * МГУ под рук. акад. А.Ю.Ишлинского и профессоров Е.Д.Девянина и И.В.Новожилова (1989, 1991, 1992 гг.);

- на семинаре механико-математического факультета МГУ "Управление в механических системах" под рук. профессоров Н.А.Парусникова, В.В.Александрова и А.М.Формальского (1987, 1989, 1991, 1992 гг.); -' на семинаре кафедры теоретической механики МЭИ под рук. профессоров Ю.Г.Мартыненко и А.И.Кобрина (1988, 1991 гг.)г

- на семинаре ИКИ РАН "Навигационная привязка и статистическая обработка космической информации" под рук. проф. П.Е.Эльясберга и д.т.н. Р.Р.Назирова (1987, 1989, 1990гг.);

- на семинаре МИЭМ "Управление и устойчивость" под рук. профессоров В.Н.Афанасьева и В.Б.Колмановского (1990 г.);

- яа семинаре ■ ИШ им.М.В.Келдыша РАН "Динамика- космического полета" под рук. профессоров Э.Л.Акима, М.Л.Лздова, В.А.Сэрычевэ и д.т.н. Р.Р.Назирова (Г992 г.);

- на семинаре кафедры математики и информатики университета Вен-Гуриона (Веер-Шева, Израиль, 1932 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 22 работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шеста глав, заключения и . списка литературы. Объем работы -312 страниц, напечатанных в текстовом редакторе сы writer.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Сформулируем постановку задачи оценивания с немоделируемыми возмущениями, вокруг которой группируются основные результаты диссертации.

Рассмотрим линейный динамический объект -

¿СО = АС ОхС О + BCO-uC О, £ <Е СО.Т]. (I.I)

_jc(TOJ = х ,

где хс о = гх(со,... ,х^сtjoT 6 кт - вектор состояния объекта,

/1СО е К"™*". ВСО е Rm*r, uCO = Cu С О. . . . , u f £JOT е Кг -

1 г

вектор немоделяруемых возмущений. Предполагается, что компоненты и( о ограничены на to, г;.- i-u.coi < у г о. > = ГГ7. где г et j - заданные фунзеции.

Пусть на интервале 'времени fo.rj проводятся п групп измерений компонент фазового вектора объекта:

zCO = «VoxCO + peo, £ € со,TI, zciy, pe o <= ¡R". (1.2)

Предполагается, что ошибки измерений peo = <гРал... .р/о/ удовлетворяют ограничениям ipfoi < «со, ¿ = ío.tj, i = ГГ?».

Элементы матриц лсо, seo, «со и величины uco. plco, г си, act) считаются кусочно-непрерывными на fo.r.? функциями. Пусть, raices, имеются измерения начального состояния

■ = р_, 2_, р_ е к", (1.3)

р_ = е(э_4. ... . . |p.dl s d = пй.

Принадлежность uco, peo, p_ указанным классам будем сокращенно обозначать: р <= о и и ~ и.

Требуется построить оценку скалярной величины атхсгз, где S «г к™ - заданный вектор.

Пусть z-множество всех измерений вида (1.2), (1.3) при различных *о е к", р « и, и и. Будем считать допустимыми всевозможные 'оцениватели величины г , то есть все функционалы s .Z —► к1.

Гарантированная погрешность оценки при заданном оценивате-ле s определяется величиной

,©CSJ> = . sup _ ISCíO - ! |.

x pèc. uéû

Задача оценивания с немоделируемыми возмущениями состоит в определении числа 2>о и оценивателя s°, удовлетворяющих соотношении

3) = in/ sup ISCzi - i. I = sup |s0(Tz; - 1,|.

О X ж

S х «áR™, peer, u<=U x e0?m, p&y, u<=U

о о

Эта задача является одной из важнейших задач оптимального гарантирующего оценивания; она имеет широкие приложения.

Рассмотрим класс линейных интегрально-импульсных оцеяивателей величины i. вида

* т

- + ФТСOzC tJdL. . (1.4)

# м |»

$СО = $ СО + 2 - t^, (1.5)

s - о

$ = <r$ .....i ->T <= R™, JCO = Ci СО,. . . CO;>T e Kn.

— -1 -m 1 n

Здесь ® со - кусочно-непрерывная векторная функция, <= к", s •= о.и - вэйторы, и произвольно, ¿со - дельта-функция Дирака.

Обозначим у множество всех -.функций вида (1.5). Пару (îco ,5_) также будем называть оценивателем.

Введем новые величины

ЛСО = ХТСОИСО е R™. ЪС О = Х~*СОВСО е Rm*r, а = ХТСТ}а,

где хсо е - фундаментальная матрица однородной системы

х = лсох, удовлетворяющая условию xcoj = е Ет - единичная л1хт?! матрица.

Нетрудно показать, что для того, чтобы гарантированная погрешность оценки была конечной, необходимо выполнение условий несмещенности

т

ï_ + J/*CO$COd£ = а. - (1.6)

о

Тогда с учетом (1.6) можно получить, что

я = = s up ,uj>, (1.7)

ТП Г» Г

.и! = тс л + т i с.со |$,со iс£( + лк .1 1 1.

о

Т г' Т

+ J ФтсЬСтОиСОЗтсП - | ЬСтЭ-иСтЗат. о • т о

Обозначим подмножество оценивателей, удовлетворяющих условиям несмещенности (1.6). Тогда задача оптимального гарантирующего оценивания сводится к решении следующей игровой задачи:

¿п/ ячр (1.8)

\ttiU

где «к«.задается. (1.7). Нетрудно убедиться, что

вир S_.IL> = = (1.9)

цег/

т т

т п р г Г

= То* | + Т (Г£^|сг£ + Т I у с о |г>Тс £.>:=:<: £,$,$ ;>|ег£,

"<1 1&, .1 ^ 1 А 1 1 *

о о

I

I

ЬС 0= <ГЬСО.....Ь <"£;>:>. -> = Г НСтЭ$Ст}<1т + $ .

о

Таким образом, поставленная задача оптимального гарантирующего оценивания на классе линейно - импульсных оценивателей сводится к следующей негладкой задаче математического программирования:

1 = 1П/ ;>. (1.10)

а,~

В первой главе диссертации исследуется вопрос об оптимальности линейных алгоритмов в линейных задачах априорного гарантирующего оценивания.

В разделе 1.1 формулируется задача оценивания с немоделируемыми возмущениями на классе интегрально-импульсных оценивателей.

В разделе 1.2 рассмотрена задача оптимального гарантирующего

оценивания на классе нелинейных алгоритмов и кратко' освещена история вопроса об оптимальности линейных алгоритмов оценивания.

В разделе 1.3 рассматривается общая задача оценивания значения линейного ' функционала от параметров системы по зашумленным линейным измерениям. Показано, что использование нелинейных алгоритмов не может улучшить точность оценивания, достижимую на классе всех линейных алгоритмов.

Пусть в линейных нормированных пространствах х.у с элементами х е х. у е у и нормами || ■ \\х . || ■ заданы выпуклые уравновешенные Области V с X, Е с у.

Рассмотрим задачу оценивания значения линейного непрерывного функционала ьсхз. х е у по линейным измерениям

г. <х.с2> = Кх} с,

где ¿-Схо '- линейный непрерывный оператор, отображающий х в у, се е, е - погрешность измерений. Пусть 5 - оцеииватель, т.е. г-.- у —> в?1. £сг. сх.сэу - оценка функционала кхэ.

Требуется . построить оптимальный оцениватель, минимизирущий гарантированную погрешность

хС5Э = вир ¡эсг. Сх, с» -хе1/, сеЕ

Те стрела 1.1. Пусть е содержит окрестность нуля, т.е. е -выпуклое тело в у. Тогда существует линейный непрерывный функционал у —► к1 такой, что

« ¿п/ мСЭ> = X) . где я » зчр 11СхЭ |.

3 ° хеУ, Кх^еЕ.

Этот результат обобщает результат Д.Г.Марчука и К.Ю.Осшвнко для случая У = кы, е = <е\ < и. Его доказательство основано на теореме об отделимости выпуклых множеств.

В разделе 1.4 задача оценивания с немоделируемыми возмущениями сводится к общей задаче раздела 1.3.

В разделе 1.5 показано, что привлечение нелинейных алгоритмов не может улучшить точность оценивания, определяемую линейными интегрально-импульсными оценивателями. Заметим, что этот результат не следует непосредственно из раздела 1.3, так как общий вид линейного оценивателя (в случае непрерывных измерений) не исчерпывается интегрально-импульсными оценивателями.

Iteopeja 1.2. Пусть o^CO > > £>. 1=ГГп. t e iO.TJ и в • игровое задаче (1.8) существует решение е л. тогда

определяет линейный оцениватель, оптимальный среди всех, в том числе и нелинейных, оценивателей. '

В разделе 1.6 указаны достаточные условия существования седловой точки в игровойзадаче (1.8).

Расширю! множество "Допустит управлений. Пусть и* -множество r-трша. ' ""ф^тс^йй, с измеримыми компонентами,

ПОДЧШЯВДНХСЯ ограничена |'й СЧ.>| i fCU, t e CO.T3, j=t ,r.:, Очевидно, г/ с i/*.

Теорела 1.3. Пусть в игровой задаче (1.8) существует решение t°j> е jr. Тогда при и if в задаче (1.8) существует седловая точка.

В разделе 1.7 исследован случай дискретного мноаества моментов измерений

z(T£ .> = «Vt _>хС£ .> + pet У, Ipct ->1 < ar,Ct.}, i=07R, l=T7n.

г t i t I v Iv

t =0, £ =r.

ON

Теорема 1.4. Пусть > i-tTn. ' Тогда

существует линейный оцениватель'

s°Cz ,zCt J>,...,zCt = $oT2 + 4<6°TzCL},

— О N —. — . ¿i V t

оптимальный среди всех, в том числе и нелинейных, ¡рценивателей.

' Будем говорить, что матрица ьсч аналитическая, если на

плоскости комплексного переменного г существует область,

содержащая действительный отрезок ю. п. в которой ь.^сгУ.

i « 77m, j =» 77? - аналитические функции а.

Теорема 1.5. Пусть о-^^э i=oTw, i=77n- и матрица ьсо является аналитической. Тогда в соответствующей игровой задаче с кусочно-депрерывными возмущениями vcw существует•седловая точка.

В разделе I.8 обсуждены модификации и обобщения, необходимые для дальнейшего изложений.

• В разделе 1.9 рассмотрена стохастическая задача о "наихудшей корреляции".

Пусть, имеются измерения неизвестного вектора * в к":

ю

г = Ьгх + р , i=0,N,

I I I

ь. « к™, р. е к1- случайные помехи измерения.

Предаолагается, что р = ср.....рзт е п, где

П = ^ р | Мр^- = О. Мр* 5 в/\ 1=0_,Ы

> о - заданные числа.

Задача состоит в построении оценки скалярной величины

= ах. а е К™ - ЗаДЭННЫЙ ВвКТОр.

Будем рассматривать всевозможные- оценки Т =» 5С2в>... величины Назовем отображение 5-, к"*1—»"к1 допустимым

оценивателем,' если ,,. - борелевская функция.

Поставим задачу нахождения оптимального гарантжрущвго оценивателя я" такого, что

злхр М 1а0Сз .... .я У - 1Л2 = Их/ зир 14 |5<Гг ,...', я > - ' 1.1*.

_т ~ О N * ¿Г _л»т г. ° ы *

где з - произвольный допустимый оцениватель.

Теорела 1.5. . Решение задачи о "наихудоей корреляции" достигается на классе линейных оценивателей.

Полученные в главе I результаты позволяет ограничить класс оцйнивателей лянейвыш алгоритмами, что существенно упроцаат исследование задач гарантирующего оценивания, сводя их к конструктивным задачам математического программирования.

Во второй глава выведаны необходимые и достаточные.; условия оптимальности в задаче оценивания с немоделируемыми возмущениями. Полученные результаты применяются для решения и анализа. некоторых прикладных задач гарантирующего оценивания.

2 в разделе 2.1 повторены необходимее элементы постановки задачи оценивания.

В разделе 2.2 с помощью бесконечномерной теорем* Лагранжа дан вывод необходишх и достаточных условий оптимальности в задаче оценивания с немоделируемми возмущениям«. Ранее эти условия были получены М.Л.Лидовым (при этом строгое доказательство было дано лишь для достаточных условий).

В разделе 2.3 с помощью полученных выше условий подробно изучены две относительно простые, но важные для дальнейшего

исследования, задачи: задача об оптимальной квадратурной формуле ' для функций с ограниченной производной ст.=г, т=1. и модельная задача скоростной коррекции шерциальной навигационной системы по непрерывным измерениям <т.=4, т=/, п=о. Заметим1, что ранее примеры решения Задач оценивания с помощью указанных достаточных условий были построены М.Л.Лядовым.

В первой задаче показано, что оптимальной квадратурной формулой является "формула "трапеций". Интересно отметить, что "наивный" оцениватель, соответствующий "формуле прямоугольников", вообще говоря, доставляет заметно худшие по гарантированной точности оценки. Определено наихудаее возмущение:

Во второй задаче получены необходимые и достаточные условия, налагаемые на границы неопределенных возмущений со_, о. при которых найденный непрерывный оцениватель является оптимальным. Интересно отметить, что при нарушении этих условий, в частности, в отсутствие погрешностей чувствительных элементов инерциальной навигационной системы, оптимальный оцениватель состоит из трех равноотстоящих друг от друга импульсов.

Интересно, также, что наихудшие возмущения в обеих задачах совпадают. •

Полученные при решении этих задач качественные выводы существенно использованы далее для решения одной из . задач топографической привязки.

В некоторых задачах гарантирующего оценивания возникают линейные фазовые ограничения. В частности, задачи оценивания, в которых ограничения накладываются не только на возмущения, а и на производные этих возмущений, сводятся к "обычным" задачам, но с фазовыми ограничениями.'

В разделе 2.4 доказано, что в априорной задаче, оптимального гарантирующего оценивания наличие фазовых ограничений эквивалентно дополнительным измерениям. .

. Н&обходимые и достаточные условия оптимальности в задачах невысокой размерности позволяют получить решение в аналитической форме, а также установить, является ли предложенный оцениватель оптимальным.

Для сложных прикладных задач полученные необходимые и достаточдае условия не позволяют непосредственно найти оптимальный оцениватель. Однако с их помощью .можно "нащупать" оцениватель, близкий к оптимальному, а потом оценить степень его близости (как-

это сделано в последней главе диссертация для одной задачи топографической привязки).

Нахождение оптимального оценивателя в задаче гарантирувдего оценивания является сложной численной задачей.

' В ряде случаев целесообразно (с точки зрения простоты реализации. надежности. быстродействия алгоритма и т. д. ) отказаться от поиска оптимального оценивателя. а использовать хорошо себя зарекомендовавший в инженерной практике алгоритм оценивания - фильтр Калмаяа-Бьюси (метод наименьших квадратов).

В этом случае важно конструктивно оценить степень неоптимальности фильтра Калмана-Бьюси. не ретя ошшкиъшзй завами, гарахтрухщэго оценивания.

В третьей главе такая оценка построена.

В разделе 3.1 представлена оценка степени неоптимальности фильтра Калмана-Быоси для простейшей статической задачи гарантирующего.оценивния - "схемы бортиков".

В разделе 3.2 дан ее вывод. Он основан на теории двойственности.задач математического прораммирования.

В разделе 3.3 рассмотрены простые примеры.

В разделе 3.4 сформулирована задача гарантирующего оценивания состояния динамической системы при детерминированных возмущениях.

В разделе 3.5 построена оценка степени неоптимальности для случая динамических систем. Остановимся подробнее на узловых моментах этого раздела.

Рассмотрим фильтр Калмаяа-Бьюси для оценки пзраметра

I = аТхСГ1. хС £-> = АС ихС'З + КС 11С ¿С !.) - НТС и'-С Ч ? , <Р

хсоу -- г , к с = рсчнсчя'^с^,

- р . о

Определим качество субоптимэльного оценивания величиной

А = sup |Г - I I У sxip |Т - I j

х eStm.p&.ueU * * / х ¿¡Г. pa,. u<=U ° *

о о

где л Го- соответственно оценка фильтра Калмана-Бьюск (метода

наиме'нышп: квадратов) и оптимальная оценка.

Нашей задачей является построение верхней оценки для д. Назовем весовую функцию <:*>,*>_:>, соответствующую фильтру Калмана-Бьюси, оценивателем Калмана-Бьюси. -

Теорела 3.1. Оцениватель Калмана-Бьюси является решением следующей экстремальной задачи

J = ¿п/ ;>. ".' (3.1)

2 —

_7С$.Ф .> = Р $ + | Ъ СсЭКСтСисН +

(3.3)

I*

о

при условии несмещенности (1.6)

+ I 2'С$,$ ЭсП

При

Р = .....о >, = р Мае<огС О.....сгСО>,

о ° -» 1 " 1 г,

схо = р <Иае<гг<1Э,.. ..,ггаэ>, (3.3)

2 1

функционалы ' -и -> имеют одинаковую структуру. Действительно, рассмотрим функционал

1 <ГФ.$ .> = | у \о » ,| + \ р" [ \р а,СОФ,СО I сИ +

I

|>1 •»

2 1 > - 1

При а = * /а= /, а при а = г ;а= J. это обстоятельство позволяет ожидать удовлетворительного качества субоптимального оценивания. Сформулируем основной результат главы 3.

Теореяа 3.3. Пусть '- оцениватель Калмана-Бьюси. Тогда-

i < а < д°, д° = N -N SN*,

1 CD 2

d=V J J

О О

т т

f т ту г 1

W2 = [Jf-d [KCt:>dt + j/C KCOdt } .

<3.4)

N = рйх

i ю sup 1 <t £ (. s-up |*<£.>|

I l<d<m " l<l<r, l<j<r

teio.ti

где

^-d ~ 0 d* ' d ~ 1

■P.CtJ = 0 crClipCt), l = i.n, 1 ' 1 l l

а ?сг:>=згг ,f>. pj> определяется уравнением

(Ct? = -CACtJ> - КС l}HTCt2>T?,Ci>>

или эквивалентным уравнением

fcrj = а

fCO = -A CO/fCO + HCtlpCtJ

(3.5)

(3.6)

с начальным условием = или конечным условием = а.

Доказательство теоремы 3.2 основано на теории двойственности задач математического программирования.

Величина л° однозначно определяется характеристиками фильтра Калмана-Быэси с<р_л- d=i , m. ^fo, i=77n. f cuj и поэтому может быть вычислена без знания .точного решения задачи оптимального гарантирующего оценивания. Если д° невелика (порядка единиц), то практическая необходимость в решении сложной негладкой задачи (1.6), (1.9), (Г.10) отпадает.

Особенно простой вид оценка (3.4) принимает ;в -простейшем статическом случае: лси=о, вси=о. n=i, o-_d= d=77m (см. раздел 3.1 диссертации).

Теореяа 3.3. Пусть pcti - оцениватель'Калмана-Бьюси (весовая функция метода наименьших квадратов). Тогда s < д < д°.

J «ЛгОеИ

|И2

где ||-|-|2. I' Ног нормы в пространствах ¿.^ ¿2.

В качестве важного примера укажем задачу оценивания коэффициентов конечного отрезка ряда Фурье, состоящего из т гармоник. Если время измерения кратно г-п, то независимо от т для оценивания любого коэффициента разложения д°= - ¡.га. Этот пример (из раздела 3.3) показывает, что построенная оценка может быть весьма эффективной.

Отметим, что задача оценки степени неоптимальности заданного алгоритма относительно оптимального ставилась еще Л.Й.Белоусовым (в связи с задачами многокритериального планирования).

В разделе 3.6 дан вывод оценки степени неоптимальности в случае динамических систем. Опишем идею получения этой оценки.

Нетрудно показать, что д = 7сР,^ = Для оценки а

сверху оценим величину /о снизу. Исходной задаче (1.6), (1.10) можно поставить в соответствие двойственную негладкую задачу вида

1°= эирах, Р « г.1", х .г к1" (3.7)

при условиях

Г

|>г[с£;> ^ ^Св^рСз.Чсгз | < 1,

ь

т

I =1 , п. г <£ 10.Т) :

ЪСзУрСзЭЛ* * \

< 1 , с! = ; (3.8)

в^ 'со.....1,0.....(единица стоит на месте с номером <*).

< / , 1 = ГГг, I « го. п.

При этом, согласно теории двойственности,

I о = 1°. (3.9)

Двойственную задачу (3.7), (3.-8) также тру дао решить, как и

о

исходную, но с ее помощью, учитывая равенство (3.9), можно оценить Iо снизу. Для этого надо подобрать "подходящую" допустимую пару двойственной задачи ср*,\*з, и тогда Iо= г аг\*.

Рассмотрим двойственную задачу, соответствующую аппроксимирующей задаче (1.6), (3.1)-(3.3). Она имеет такую я» структуру, что и задача (3.7), (3.8), но обладает гладкими квадратичными ограничениями. Ее решение ср0,\°э явно выражается через характеристики фильтра Калмана-Быоси и поэтому может быть легко подсчитано. В качестве ср*,х*:> возьмем решение задачи (3.7), (3.8) вдоль направления, задаваемого решением Реализация

этой идеи приводит к оценке (3.4).

В разделе 3.7 все основные результаты переформулированы на случай дискретных измерений, который наиболее часто встречается в прикладных задачах. Даны рекомендации по выбору параметров Г>1

В разделе 3.8 полученные результаты распространены на Задачу прогноза.

Для построенного в разделе 3.7 алгоритма вычисления величины д° 'А.А.Голованом был создан пакет программ, реализованный на 1вм

рс ат.

В раздела 3.9 с помощью этого пакета исследованы некоторые содержательные примеры: задача позиционной коррекции инерциальной навигационной системы сп=4. ,-=1. задача оценки параметров

возмущаемой колебательной системы ст=з, , г=ю и задача прогноза трэнсверсального смещения спутника ст=4. -п=<, г=о. Наиболее типичные значения д° для рассмотренных примеров располагались в интервале о. 5 + з. ох Особенно небольшими с 1.1 г. оъ значения оказались в задаче прогноза. При этом они тэкжэ были близкими к истинному значению л, которое в этой задаче в некоторых случаях удалось подсчитать, опираясь на численные расчеты, опубликованные М.Л.Лядовым и Л.Н.Бакумой. Численно исследована зависимость величины а" от параметров Рг. Показано, что теоретические рекомендации по выбору этих параметров оказались удачными. Время счета для всех рассмотренных примеров не превышало нескольких минут.

. I

Предложенный в диссертации метод построения верхних границ степени неоптимальности в задачах- оценивания является весьма общим. В частности он применим в случае, когда возмущения в объекте и помехи ? измеренных, кроме неопределенных ограниченных.

составляющих, содержат аддитивные "белые шумы". Другими

словами, в этом случае возмущения и помехи являются "белыми

шумами" с неопределенными первыми и вторыми моментами. Назовем такие помехи комбинированными.

В четвертой глава построена оценка степени неоптимальности фильтра Калмана-Бьюси в стохастической задаче гарантирующего оценивания с комбинированными помехами.

В разделе 4.1 сформулирована стохастическая задача оптимального гарантирующего оценивания.

Рассмотрим линейный динамический объект (I.I) и измерения (1.2). Но теперь, в отличив от предыдущих глав, примем следующие стохастические гипотезы.

Io. Вектор хсоу является случайной величиной, а векторы ufo и pfo являются случайными процессами типа белого шума:

xjxfOJ - Rx:COJ>j ^xfOi - HxfOJ>J =, diagCc', . . . ,c*:> , - Muf j s-> - .MufsJ>j = diagCcf^C О.....q^ClüSCt - s 3 ,

MjpftJ - mpcti^^pcsi - HofsJ>J = diagc^cti,. . . ,/(ГОЖ( - si.

где <5co - дельта-функция Дирака.

2°. Вектор xcoí и процессы чс ti. pf о взаимно независимы. 3°. Первые и вторые моменты xcoí, «го, рсо неизвестны, но принадлежат заданным множествам:

|Мx¿COi I < а , с* < с^, d = ГТл;

I Ни COI < Y С ti, ouf ti < qCti, I s 10,T) , j = T7 ■ 1 j 1 J 1 I , .

(Mp^t^l < o^Cti, t^Cti < aft J, £ e tO.Tl, I - T7ñ; где a_á, cd - известные положительные числа; г с ti > r° > о,

Q<ti > qi° > О, e^fo > a" > 0, i^Cti > ъ° > О - известныв

положительные функции. (Величины миси, м^с ti. ti, с?cu.

i^cty предполагаются кусочно-непрерывными на со.тз функциями.)

Как и ранее, требуется по измерениям (1.2) оценить скалярную величину г'А с помощью линейных о'ценивателей

= J sVozCOdt, $ в L^. (4.1)

где гильбертово пространство квадратично-интегрируемых

^-мерных функций со скалярным произведением

т

< > "= Г 8тС(ЖиЛ, е £.".

ь" J

При заданном оценивателе «<го определим качество оценивания 1к гарантированной величиной второго момента ошибки оценки

DjCH = sup мCICiJ- . (4.2)

где верхняя грань берется по всем допустимым случайным элементам хсоэ, uctj. peo. удовлетворяющим условиям Io - 3° (очевидно, £>а ($) зависит лишь от первых и вторых моментов распределений).

Назовем ф° оптимальным гарантирующим оценивателем, если

D = in/ D = D° . (4.3)

9 _ , г, . » * '

2

Введем обозначения

о = Са .... .а Зт е ir™, ссо = Са СИ.....a fo/e rn.

— -i -m 1 г>

yfü = Су СО, . . . Ir COJ>Te Кг, с = diagCc.....с б ¡Rm*m.

ir i m

Í-CO = d¿oífifO,...,tfOÍ <= ¡R""". 1 n

<?CO = diagCQC .....í^COJ s 0?r*r.

t T1 k

|w|=C|coJ. • ■ • . для произвольного вектора Uff»......ü>k-> e R .

Легко подсчитать, что

d съэ = / c$.$ ' (4.4)

9 9 — 1 '

где

г <гф.Ф

+ J °T<rtJ |*CO|dí + jJ* rTC O|bTCOSC¿,$,50|c

о о

(4.5)

Sl_c*_ * J «Vo/vCOSCOdt + J

а s_c$.> определяется условием (1.6).

Соответствующая (4.3) негладкая задача математического программирования имеет вид

о° = in/ 1 cs.s :> (4.6)

а я —

Sei". Ф eäRm 2 —

при условии (1.6).

Построение численного решения этой экстремальной задачи является серьезной проблемой. .

Замечание 4.1. Можно было построить полный аналог детерминированной задачи оценивания с немоделируемыми возмущениями, вводя измерения начального состояния (1.3), оцениватель типа (1.4) и рассматривая ограничения на первые и вторые моменты компонент р_, а не ограничения на хсоэ. При этом мы вновь получили бы задачу математического программирования (1.6), (4.5), (4.6). Выбранная нами модификация постановки задачи гарантирующего оценивания ближе к классической постановке задачи стохастической линейной фильтрации.

В разделе 4.2- вместо задачи (1.6), (4.5), (4.6) введена аппроксимирующая экстремальная задача (1.6), (3.1), (3.2), в которой, в отличие от (3.3),

Р = diagCP .....Р > = /3 diagi'c* ,

о Ol От о -1

рхи = ¿¿а^ск со.....ис^з = ().....°то; + «го,

К п ' I ° 1 г>

0<"0 = Ла^СС^СО.....= Аз<Иав<г*< О.....^<ГО-> + <7<ГО.

оа> о, Ро'Рс1** = соп

Она полена заменой негладкого члена в выражении для °9иагС$:> на соответствующий квадратичный член (аналогично тому, как это делалось в предыдущей главе).

В отличие от исходной оптимальной задачи (Г.6), (4.5), (4.6),

с

* с,

аппроксимирующая задача является гладкой и квадратичной. Ее решение г*>со.,о_> порождает, (неоптимальную) оценку (4.1) (при $ = р), которая.может быть относительно просто вычислена с помощью фильтра Калмана-Бьюси.

Определим мэру неоптимальности этой оценки отношением

O.f^/Í J . (4.7)

где £>ж<>;> и d° задаются формулами (4.2) ((4.4), (4.5)) и (4.3) ((4.6)); очевидно, д 2 1.

В разделе 4.3 представлена верхняя граница степени неоптимальности фильтра Калмана-Бьюси. для стохастической задачи гарантирующего оценивания. Введем вспомогательные величины

о-2 Р р

d cd d

*>_ = .....f.J^i

o?Cty RCtlpCti _

pflJ = O, . . . Г2СО QCtS)BTCtJI!Ctl _

Gfti = -!~rch--• J-*-*.

где ?<tíj>= определяется (3.5) или (3.6);

сш>= ^ |Sd|. ^ ^jGjfO| ].

l =1 .n j = 1 ,r

t sio.tj leio.ji

Рассмотрим трансцендентное уравнение относительно с«^1, С^О:

«<го = р. (4.8)

|О.ГО|>С

- С

Лелю'4.1. Функция *<ч ^непрерывна, строго монотонно убывает и уравнение (4.8) имеет единственный корень на отрезке [о,кпах1.

Из этой лемш следует, что корень (4.8) С0= С00_.*>. аффективно вычисляется, наарямэр, методом последовательного деления отрезка пополам.

Обозначим

х\ I --О5-! - <Г1

Ы

ОС(Р.р .>

1 ° * . (4.Э)

Теорела 4.1. Длл меры неоптимальноста в (4.7) справедлива оценка:

Г * • ]

г < д < д"\ д" - А—=-=-. (4.10)

где о задаются <4.5), (3.2). (4.9).

В разделе 4.4 дано доказательтво теоремы 4.1. Оно основано на той хе идее, что в доказательство теореш 3.2 (см. описание раздела 3-.6). Отличию состоит в том, что двойственная задача в стохастическом случав на может быть выписана явно (как задача на максимум).

В раздала 4.5 рассмотрены предельше случаи. Показано, что если помехи сколь угодно близка х белому шуму, то —> /. т.е. фильтр Калмана-Бьюсж оптимален при отсутствии неопределенности в первых моментах возмущений. Если же стохастические возмущения сколь угодно малы, то оценка (4.10) для стохастического случая переходит в оценку (3.4) для детерминированного варианта задачи гарантирующего оценивания.

В разделе 4.6 аналитически исследованы два одномерных

статических примера <т=п=1. АСИ=0. ваэ=0, а=а«/. о<;и=о, гСО=г;

и Мег (. Показано, что при сколь угодно большой неопределенности в априорной информации использование фильтра Калмана-Бьюси вместо оптимального алгоритма практически не сказывается на точности оценивания (для случая фильтр

Калмана-Бьюси асимптотически оптимален). Таким образом аналитически проверена, эффективность построенной оценки.

В разделе 4.7 проведены аналогичные построения для случая дискретных измерений. Для алгоритма вычисления д° в стохастическом случав А.А.Голованом также был разработан програкмвый модуль, дополнящий уже созданное ранее математическое обеспечение для вычисления д° в олучае детерминированных возмущений. С помощь» этого модуля были рассмотрены два примера (задача позиционной коррекции и колебательная система), уже исследованные в главе 3, но с тем отличием, что в помехах присутствовали и белые шумы. Иг расчет также занимал несколько минут (на 1вм рс ат).

Из численных результатов следует, что значения оценок степени неоптимальности невелики, а в ряде случаев наличие белого шума заметно их уменьшает (по сравнении с соответствующими детерминированными вариантами из главы 3). При больших относителышх уровнях белого шума оценки, естественно, приближаются к единице.

Метод построенияверхних границ неоптимальности можно применять и при анализе многих других экстремальных задач. В частности,, им можно воспользоваться в классической задаче линейной фильтрации для оценки чувствительности фильтра Калмана-Бьюсн к априорным значениям ковариационных матриц. *

В разделе 4.8 построена такая оценка.

Численные и аналитические примеры ' оценок степени неоптимальности показывают, что эти оценки могут быть весьма • эффективными при исследовании прикладных задач •оценивания, часто обосновывая практическую нецелесообразность решения сложных экстремальных задач.

пятой главе поставлена задача гарантирующего оценивания параметров при сбоях в измерениях. ' ■

ч В некоторых задачах оценивания (ряд измерений может содержать. ! аномальные ошибки - сбо

В разделе 5.1 предложена формализация этой задачи для случая единичного сбоя.

Пусть имеются измерения вектора параметров х е к":

z = ЖТх * р,

где z = Cz^... , е - ВвКТОр ИЗМврвНИЙ, ж = СНС1Э.....НС t^J)

- матрица порядка m « n, р = ср4.... >pn>t е kn - вектор помехи измерений. Требуется оценить величину ik= «тх. где a е заданный вектор.

Пусть ошибки измерений, кроме одного аномального, ограничены "бортиками":

р е кю, РСЮ = |р б Rm| |pL| < е\. i = 1777, t * fcj-,

тде л - номер измерения со сбоем, о\ - заданные числа. Будем считать, что номер сбоя неизвестен. Тогда модель ошибок измерений с одним неограниченным сбоем имеет вид

N

ре:р. 3> = и РСЮ.

к = 1

Отметим, что в отличие от классических постановок детерминированных задач гарантирующего оценивания множество р не являэтся выпуклым и ограниченным. . В пространстве ®N оно представляет собой объединение взаимно ортогональных "брусов".

Рассмотрим всевозможные оцениватели Г = scz}-. rn —► /?' величины = icxj. Введем множество параметров х е жт. совместимых с заданными измерениями г:

OCzJ = |х g Rm j ЗСТх = г - р, ' р> 6 У

.Следуя А.Б.Куржанскому, поставим задачу оптимального апостериорного гарантирующего оценивания: найти оцениватель такой, что для всех других оценивателей scz>

max [tC"xJ> - < пиах \1Сх> - sCz> |.

q€Q( z> Z>

Очевидно, s°cz} является оптимальным оценивателем и в априорной задаче оценивания, т.е. для всех возможных измерений z при всех х <= Rm, р « у. Максимальное и минимальное допустимые значения iА определяются решениями следующих экстремальных задач

i я max a x, 2 я mna x .

max mm

x€Q < Zi x€Ck < 2>

Тогда оптимальный оцениватель и оптимальная апостериорная

ошибка оценки sczj9 очевидно, имеют вид ' *

s°<Ts.> = Ul + l J>, ÖCzJ = Ui - i j>. (5.1)

£ max mir» , £ max min '

Основная трудность состоит в численной реализации соотношений (5.1). При прямом переборе надо решить гп задач линейного программирования (а для случая р сбоев - гс*).

В разделе 5.2 показано, что величины (5.1) могут быть конструктивно вычислены более экономным способом.

Лелла 5.1. Для определения оценивателя s°czi и ошибки оценки бсг> достаточно решить не более 2т- * 4 задач линейного программирования с т ограничениями тяпа равенств.

Доказательство леммы основано на том, что решение задачи линейного программирования с т. ограничениями типа равенств достигается на векторе с т отличными от нуля компонентами.

В разделе 5.3 рассмотрен вопрос о вычислении априорной

точности оптимального гарантирующего оценивания 6° = sup

2

Лелла 5.2. Априорная ошибка оптимального оценивания конечна и определяется неравенствами: &х s <5° < &2. где и являются оптимальными апостериорными ошибками sc ол (при нулевых измерениях 2=о) для случая одного и двух сбоев соответственно.

Отметим, что оцениватель является нелинейным. Легко

показать, что априорная ошибка оценки любого линейного оценивателя ' при р >= ? бесконечна.

В разделе 5.4 исследован общий случай, когда в ошибках измерений допускаются р > / сбоев.

Лелла 5.3. I. Для определения оценивателя s°csJ> и ошибки оценки в случае р сбоев достаточно решить не более

■"♦l.p '

задач линейного программирования с ™ ограничениями типа равенств.

2. Априорная точность оценивания конечна и определяется неравенствами: ¿>ip s <?° < ¿2р, где ¿Jp и ¿2р являются оптимальными апостериорными ошибками ¿со> (при нулевых измерениях z=o) . для .

2S

случая р и 2р сбоев соответственно.

Величина р резко растет с ростом р. Поэтому в этом же разделе предложен субоптимальный метод нелинейной фильтрации сбоев.

1елла: 5.4. При р сбоях для построения оценивателя с ограниченной априорной ошибкой оценки достаточно решить гсР+и задач линейного программирования с т ограничениями типа равенств.

В разделе 5.5 детально разобран пример оценки параметра сдвига Ст. — I , л = 1. I =ГГ7Ь.

Полученные результаты позволяют оптимальным образом и с оценкой точности определения параметров обрабатывать аномэльные измерения (содержащие как резко выделяющиеся, так и небольшие сбои), ошибки которых могут быть произвольно коррелированными.

В шестой главе разработанные в диссертации методы применены к задачам навигации.

Один из способов решения проблемы топографической привязки состоит в следующем. Из пункта, местоположение которого точно известно, вылетает вертолет и направляется на заданный объект, координаты которого требуется определить. По показаниям его бортовой инерциальной навигационной системы и определяется местоположение объекта. .Однако, инерциальная навигационная система обладает накапливающимися ошибками. В частности, существенное влияние на ее точность оказывают ограниченные неопределенные составляющие погрешностей акселерометров. Поэтому^ инерциальная навигационная система вертолета нуждается в коррекции с помощью дополнительных внешних измерений. Таким образом, задача коррекции может быть сформулирована как задача оценивания с немоделируемыми возмущениями.

В разделе 6.1 представлена система уравнений ошибок инерциальной навигационной системы (тринадцатого порядка).

В разделе 6.2 описаны уравнения для дополнительной информации: скоростной, получаемой при кратковременных "присадках" вертолета на маршруте, и позиционной, доставляемой измерениями дальностей до навигационных спутников, -координаты' которых хорошо известны.

В разделе 6.3 введены масштабы численных 'значений навигационных переменных и констант, а также исходные данные о

начальных ошибках инерциальной навигационной системы, о возмущениях, действующих на нее, и о помехах в измерительной информации.

В разделе 6.4 рассмотрена задача скоростной коррекции при движении вертолета по экватору. При этом уравнения "горизонтальных ошибок" разбиваются на две независимые подсистемы четвертого и шестого порядков. С помощью результатов главы 2 проведено полное аналитическое исследование для системы четвертого порядка (описывающей ошибки в продольном направлении движения) при непрерывных измерениях <гт=4. ,*•=/;>. Для случая реальных дискретных измерений предложен численный алгоритм решения оптимальной задзчи .оценивания, основанный на полученных в главе 2 результатах.

В разделе 6.5 описан способ определения близости найденного численного решения к оптимальному. Произведенные А.П.Горицким численные расчеты показали высокую эффективность алгоритма нахождения оптимального решения.

В разделе 6.6 рассмотрен общий случай скоростной коррекции инерциальной навигационоЯ системы "в горизонте" ст=ю. п=г, г=-?;>. Предложенный в разделе 6.4 численный алгоритм оптимального решения вновь показал высокую точность.

Согласно основной идее главы 3 и главы 4, при дальнейшем анализе задач коррекции ннерциальной навигационной системы поиск оптимальных оценивателей был заменен на задачу вычисления оценок степени неоптамальности д° и "подходящего" фильтра Калмана-Бьюси. . •

В разделэ 6.7 для задачи скоростной коррекция о.=г о. с =21 и для задачи коррекции по трем о.=г з. г=з> и четырем ст.=13, п=з. г=зэ спутникам вычислены оценки степени неоптимальности при различных наборах исходных' данных, как для детерминированных, так и для комбинированных возмущений. Значения оценок неоптимальности (на заданном отрезке йрехени и при лучших параметрах оа. 01 ■) для зэдачи скоростной коррекции находились в интервале с 1.05 -г ¡.зеэ, а для задач коррекции по спутникам - в интервалах а.п -г г. 54У и <í.oзi+ г. гзэ для п=е и соответственно.

Таким образом, в рассмотренных задачах коррекции инерциальных навигационных систем с помощью оценок неоптимальности можно, не решая задач оптимального гарантирующего оценивания, указать

численно эффективные алгоритмы, достаточно близкие к оптимальным: использование сложных оптимальных процедур не даст разительного улучшения точности.

В разделе 6.8 рассмотрена задача гарантированного определения местоположения неподвижного (относительно Земли) объекта по информации о дальностях до набора навигационных спутников Ст=зэ. в отличие от задач коррекции, допускалось, что небольшое количество измерений могло содержать аномальные ошибки - сбои. С помощью результатов главы 5 построены алгоритмы определения местоположения (с гарантированной оценкой точности) для случая одного, двух и пяти сбоев. Произведено сравнение оптимального гарантирующего алгоритма с методом наименьших квадратов ' и с гарантирующим алгоритмом, не учитывающим возможного сбоя. Численные эксперименты, проведенные В.Г.Самохваловым, показали преимущества предложенного в диссертации алгоритма в стабильности и точности.

Приложения к задачам навигации разработанных в диссертации 1

методов показали их высокую эффективность.

«

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты.

I. Показано, что оптимальный линейный алгоритм оценивания в задаче оценивания с немодалируемыми возмущениями является оптимальным на классе всех, в том числе и нелинейных, алгоритмов. Установлены достаточные условия существования седловой точки в игровой задаче, соответствующей задаче оценивания.

Доказано, что ■ в стохастической задаче о "наихудшей корреляции" оптимальный алгоритм также можно искать на классе линейных алгоритмов.

Эти' результаты позволяют ограничить класс оценивателей линейными алгоритмами, что существенно упрощает исследование задач гарантирующего оценивания.

2. Строго • доказана необходимость известных условий оптимальности оценивателя в задаче оценивания с немоделируемыми возмущениями. С помощью этих условий, в частности, получено решение двух задач скоростной коррекции инерциальной навигационной системы вертолета.

^ Показано также, что фазовые ограничения в априорной задаче гарантирующего оценивания эквивалентны наличию дополнительных измерений.

3. Получены оценки сверху для отношений априорных точностей фильтра Калмана-Быоси (метода наименьших квадратов) и оптимальных гарантирующих алгоритмов. Эти оценки однозначно определяются характеристиками фильтра Калмана-Бьюси и могут Сыть подсчитаны без знания точного решения задачи оптимального гарантирующего оценивания. Представлены соответствующие расчетные соотношения, реализованные на 1вм рс дт.

Рассмотренные примеры указывают, что пройгрыш в оптимальности относительно невелик, а в ряде случаев он близок к единице. Следовательно фильтр Калмана-Бьюси может быть эффективно использован и при гарантирующем подходе.

Для классической задачи линейной фильтрации также получена аналитическая оценка чувствительности фильтра Калмана-Бьюси к априорным значениям ковариационных матриц.

Построенные для фильтра Калмана-Бьюси оценки являются полезным инструментом анализа прикладных задач оценивания. Они показывают, что часто можно ограничиться простым алгоритмом оценивания без существенной потери точности.

4. Предложена формализация задачи гарантирующего оценивания со сбоями, обобщающая "схему бортиков". Построены конструктивные алгоритмы ее численного решения, реализованные на 1вм рс ат. Полученные результаты позволяют оптимальным образом и с оценкой точности определения параметров обрабатывать аномальные измерения (содержащие как резко выделющиеся, так и небольшие сбои), ошибки-которых могут быть произвольно коррелироваными.

5. С помощью разработанных в • диссертации новых методов 'гарантирующего оценивания получены алгоритмы решения трех навигационных задач, возникающих в проблеме топографической привязки. Проведенные аналитические и численные расчеты показали высокую эффективность предложенных методов.

6. Разработанные методы (с алгоритмами и пакетами программ) могут применяться для исследования широкого класса прикладных задач обработки измерительной информации, 'возникающих в аэрокосмической промышленности, экономике, статистике, медицине.

По .теме диссертации опубликованы 22 работы. Основные результаты содержатся в следующих публикациях. .

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ

1. Матасов А.И. Оптимальность линейных алгоритмов в задаче оценивания с немоделируемыми ускорениями. Тез. докл.

* Всесоюзного совещания-семинара "Проблемы отшиелзащт и управления динажическижи системами в машно- и приборостроении". Владивосток, 1967. С,62.

2. Матасов А.И. Об оптимальности линейных алгоритмов гарантированного оценивания, i. Косжические исследования. 1988, Т.26, * 5. С.643-653.

3. Матасов А.И. Об оптимальности линейных алгоритмов гарантированного оценивания, и. Косжические исследования. 1988, Т.26, № 6. С.807-812.

4. Биркун Г.И., Матасов А.И. Метод наименьших квадратов в задаче гарантированного оценивания. Сб.: Чшемашческое моделирование динамики упра&л.яеяых систем, яшш и механизмов. J» 217. 1989. Изд-во МЭИ. С.47-57.

5. Матасов А.И. Оптимальность линейных алгоритмов в задаче о "наихудшей корреляции". Вестник i(ГУ. Серия I. ■ Катемашка. Иехашша. 1989, Я I. С.61-64.

6. Матасов А.И. 0 необходимых и достаточных условиях оптимальности в задаче оценивания с немоделируемыми возмущениями. Космические исследования. 1989, Т.27. JE 5. С.652-659. . - '

7. Голован A.A., Матасов А.И. Метод наименьших квадратов в задаче оптимального гарантирующего оценивания. Тез. докл. vii Всесоюзной конференции "Управление В механических системах". Свердловск, I99Ó. С.26-27.

8. Матасов А.И. Об априорной точности метода наименьших квадратов в 'задачах гарантированного оценивания, i. Космические исследования. 1990, Т.28, % I. C.II-I6. .

9. Матасов А.И. Об априорной точности метода наименьших квадратов в задачах - гарантированного оценивания, и. Косжические исследования. 1990, Т.28, J6 2. С. 170-185.

10. Лидов М.Л., Бахшян Б.Ц., Матасов А.И. Об одном направлении в проблеме гарантирующего оценивания (обзор). Косжические исследования. 1991, Т.29, * 5. С.659-684.

11. Mataсов А.И. 0 чувствительности фильтра Калмана-Бьюси к априорным значениям ковариационных матриц. Авшзмсшка и телемеханика. 1991, Я I. С.78-87.

'зо

12. Матасов А.И. О гарантированном оценивании параметров при сбоях в измерениях. Косжинеские исследования. 1991, Т.29. Л 3. С.323-327.

13. Матасов А.И. Об априорной точности фильтра Калмана-Бьюси в задаче гарантируицего оценивания параметров с комбинированными помехами. Omen Института яехахшт ИГ? Jt 4059. 1991. 44 с. (инв-Ji 029.10 054455). ,

14. Матасов А.И. 0 фазовых ограничениях в задаче оценивания с немоделируемымя возмущениями. Кослимесиив исследования. 1992. Т.ЗО,. * I. С.3-9. (

15« Bobrick G.I.р Golovan А.А-, Matasov A.I. The Kalman-Bucy filter accuracy in 'the guaranteed parameter estimation problem. Proceedings of the 30lb IEEE Conference on Decision and Control. Brighton, UK. December, 1991. vol. Э. pp. 3066-3071. *

16. Golovan A. A. » Matasov A.I. The least-squares method -for guaranteed estimation in mechanical systems. Proceedings of the XV111Internat ionaI Congress of Theoretical and Appi i&d Mechanics. Haifa. Israel. August, 1992- p.64.

17. Matasov A.I. The Kalman-Bucy filter accuracy in the guaranteed parameter estimation problem with uncertain statistics. Submitted to the IEEE Transact ions on Automat ic Control in August. 1991.