Математические методы исследования устойчивости семейства систем дифференциальных уравнений с последействием тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

6/

/ ш

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

> ^

на правах рукописи

-у и и

КУПЦОВ Сергей Юрьевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СЕМЕЙСТВА СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

(01.01.09 — математическая кибернетика)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, профессор В. И. Зубов

Санкт-Петербург, 1998

Содержание.

Введение ................................................... 3

Обозначения ................................................... 11

Глава 1. Некоторые свойства матриц .................... 12

Глава 2. Оценка радиуса локальной устойчивости системы по параметрам........................... 18

Глава 3. Анализ устойчивости гироскопической системы с одним запаздыванием..................... 40

Глава 4. Абсолютная устойчивость линейной системы

у * и и

дифференциальных уравнении с последействием по запаздываниям............................ 65

Заключение ................................................... 85

Литература ................................................... 87

Введение.

За последние 45-50 лет теория систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом нашла многочисленные приложения в самых разнообразных областях механики, физики, биологии, технических и экономических наук. Особенно велики приложения к теории автоматического регулирования и к теории колебаний. В связи с быстрым развитием и расширением областей приложения уравнений с отклоняющимся аргументом естественно возрастает и интерес к ним. За этот период опубликовано, наверное, тысячи работ, в которых рассматривались данные объекты, создавался аппарат их исследования, вводились все новые и новые обобщения. Было бы бессмысленно перечислять все эти работы, так как в каждой из них имеется что-то такое, что не было освещено во всех предыдущих. Однако очевидно, что все вместе они как раз и образуют ту громадную теорию, на которой основано исследование данных математических объектов и их свойств, а также их применение в конкретных областях науки и техники. В данной работе нас, прежде всего, будет интересовать вопрос сохранения линейной системой свойства асимптотической устойчивости по Ляпунову при вариациях параметров данной системы, а именно, вариациях элементов матриц системы и ее запаздываний. Сразу заметим, что в главе 2 нами будут получены явные оценки на вариации этих величин, при выполнении которых данное свойство будет иметь место. Причем, процедуры, которые мы будем использовать, не будут требовать от нас проверки условий Эрмита-Билера (см., например, [12]) или

других известных условий, для проверки которых необходимо построение не только самой характеристической функции, соответствующей данной системе уравнений, но и ее производной.

Маленький экскурс в историю начнем с проблемы устойчивости.

В работах многих ученых, как наших современников, так и тех, кто стоял у истоков теории дифференциальных уравнений, можно найти проблему, связанную с таким важным для системы свойством как зависимость ее решений от начальных данных и параметров.

Ответ на вопрос о непрерывной и непрерывно-дифференцируемой зависимости решений системы дифференциальных уравнений

от значений начальных данных (¿(ьжо) и параметров у впервые был дан независимо друг от друга Пикаром (см. Дарбу [25]) и Бендик-соном [22]. Что вместе с теоремой, известной как теорема Гейне-Кантора, о равномерной непрерывности заданной и непрерывной на компактном множестве функции (см., например, [9]), по-видимому, подтолкнуло А. М. Ляпунова, введя естественное обобщение на тот случай, когда некоторое решение системы определено на всей полуоси £ ^ О, сформулировать для него понятия устойчивости и асимптотической устойчивости [11]. Самим Ляпуновым в этой работе было предложено несколько различных способов решения данной проблемы. В частности, один из методов опирается на понятие положительно определенных функций, которые в некотором смысле определяют "меру" или "степень" отклонения возмущенного движения системы от заданного невозмущенного движения той же системы. Теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости были обращены В. И. Зубовым [8], и, таким образом, предложенный А. М. Ляпуновым подход является критериальным.

В [11] была доказана и основная качественная теорема теории

устойчивости движений — теорема об исследовании устойчивости по линейному приближению.

Ясно, что работы Ляпунова появились не на пустом месте, а опирались на проблемы поставленные временем, наукой и техникой перед математиками, механиками, физиками и другими учеными.

Еще в 1868 году, то есть за 24 года до написания Ляпуновым [11], вышла работа Т. Максвелла [28], в которой исследовались вопросы, связанные с колебаниями в паровых машинах и, наверное, впервые была показана связь нелинейных колебаний данной системы в окрестности положения равновесия с расположением корней характеристического полинома системы линейного приближения.

Здесь сразу необходимо отметить, что все работы, опубликованные до 1892 года, то есть до защиты А. М. Ляпуновым своей докторской диссертации [11], не содержали решения проблемы законности линеаризации, а в силу этого были быстрее похожи на общие рассуждения, чем на строгие математические выводы (конечно, только в той их части, которая относилась к экстраполяции свойств линейной системы на свойства нелинейной системы).

Однако, работа Максвелла поставила важную для теории линейных дифференциальных уравнений проблему о расположении корней характеристического полинома относительно чисто мнимой оси комплексной плоскости. Надо сказать, что вопрос локализации корней полинома в той или иной области комплексной плоскости интересовал в тот момент многих ученых (Ш. Штурм, О. Коши и др.), и поэтому данная проблема не осталась без внимания. Ее решение было получено Э. Раусом [29], который предложил использовать конечную схему, получившую теперь его имя. Данный подход был с пониманием встречен А. Гурвицем, записавшим в [27] решение в виде известной системы детерминантных неравенств, после чего проблема расположения корней произвольной целой функции ком-

плексной переменной левее чисто мнимой оси получила название проблемы Рауса-Гурвица. Придерживаясь терминологии, которая появилась с того знаменательного момента, далее мы будем называть функции, удовлетворяющие этому свойству, устойчивыми.

Известные методы решения проблемы Рауса-Гурвица впоследствии появились благодаря работам в этой области Льенара, Ши-пара, Михайлова, Найквиста и других прославленных математиков.

Вместе с получением всех этих критериев возникла и новая проблема: сохранит ли функция свойство устойчивости при некоторых вариациях параметров, входящих в ее представление. Пожалуй, первой работой по этой тематике можно считать работу И. А. Выш-неградского по исследованию динамики регулятора Уатта [2].

Позднее исследования по построению областей устойчивости в пространстве параметров получили весьма серьезное развитие в работах многих ученых, отметим работы H.H. Меймана и Н. Г. Чеботарева [12], Ю. И. Неймарка [13] и [14].

Однако можно утверждать, что прорыв в этой области наметился лишь с доказательством В. Л. Харитоновым работы [17], в которой была рассмотрена задача устойчивости интервального полинома, а предложенный в этой работе критерий заключался в проверке устойчивости всего четырех полиномов специального вида, принадлежащих этому семейству. Далее появились более общие и не менее интересные результаты, полученные этим автором [18], [19].

В работе [21] коллективом авторов была доказана так называемая Реберная теорема, которая, дополненная результатами работ [5], [24], и [23], дает условия, позволяющие за конечное число шагов проверить устойчивость произвольного семейства полиномов с линейной зависимостью от неопределенных параметров.

Схожие с рассматриваемыми во второй главе нашего повествования проблемы, но для линейной системы обыкновенных диффе-

ренциальных уравнений с постоянными коэффициентами, некоторые из компонент матрицы которой являются независимыми интервальными параметрами, были затронуты в работе [6]. Помимо этого, весьма значительное число работ, среди них можно упомянуть [26], [20], [30] и [15], были посвящены созданию и всевозможным модификациям полных алгоритмов проверки устойчивости таких семейств. Отметим, что класс систем, рассматриваемых в данных работах, достаточно узок, а в предыдущих не совсем ясно прослеживается связь между вариациями коэффициентов характеристической функции и вариациями матриц системы, которым эта функция соответствует. Однако ясно, что при практическом применении результатов, когда речь идет о конкретной системе дифференциальных уравнений, именно, эта зависимость и представляет особый интерес. Ответы на все эти и другие схожие вопросы отражены во второй главе данной диссертации, и автор надеется, что полученные им результаты будут подкреплены дальнейшими исследованиями в этой области.

Заметим, что один из основных результатов, изложенных в диссертации, содержится в первой главе и является обобщением известной теоремы Руше (см., например, [16]) на случай квадратных матриц, коэффициентами которых являются аналитические в некоторой области функции комплексного переменного. На основании данного утверждения, в принципе, построено все дальнейшее изложение. В частности, в главе 3 на примере гироскопической системы рассмотрен критический для главы 2 случай и найдены необходимые и, отдельно, достаточные условия асимптотической устойчивости данной системы по Ляпунову при всех достаточно больших значениях параметра, входящего в ее представление, причем, класс систем, которые не подходят под эти условия обозримо узок.

Здесь необходимо отметить, что понятия устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову для решений линейной си-

стемы уравнений несколько более общего вида, чем рассматриваемые в главах 2, 3 и 4,

где h > О — параметр, а элементы п х n-матрицы G(s) имеют на отрезке s G [—/г, 0] ограниченные вариации, можно сформулировать следующим образом: решение (p(t) данной системы, определенное при всех i ) 0 и удовлетворяющее начальным условиям <¿>(0) = хо, ip(s) = (fo(s) при s £ [—h, 0), где Хо — некоторый вектор, a <^o(s) — некоторая заданная и непрерывная на отрезке [—/г, 0] функция, называется устойчивым по Ляпунову, если по любому достаточно малому значению величины £ > 0 найдется Д > 0, для которого неравенство x(t) — tp(t)| < г будет выполняться для всех t ^ 0 и всех решений x(t) данной системы, для которых функция x(s) непрерывна на отрезке s G [—/г, 0] и выполнено неравенство

Если кроме того, для всех таких х(^): — ¿_^+оо>0, то решение <£>(£) называется асимптотически устойчивым по Ляпунову.

Сразу подчеркнем, что в данной диссертации речь пойдет об устойчивости по Ляпунову, поэтому договоримся, что слово устойчивость в применении к системе дифференциальных уравнений с последействием для нас будет означать устойчивость по Ляпунову.

Известно (см., например, [8]), что устойчивость, асимптотическая устойчивость или неустойчивость по Ляпунову любого решения данной системы эквивалентна, соответственно, устойчивости, асимптотической устойчивости или неустойчивости по Ляпунову решения <£>(/) = 0. Таким образом, можно вести речь об устойчиво-

о

-h

х(0) — xq + max x(s) — <po(s) < A-

s€[-h,Q]

сти, асимптотической устойчивости или неустойчивости по Ляпунову системы в целом, а не ее отдельных решений.

В этой же работе В. И. Зубовым доказано, что данная система будет асимптотически устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда все корни характеристической функции g(A) = сЫ;Х(А), где

находятся на множестве Ле А < 0. При этом элементы матрицы Х(А) являются целыми функциями переменной А, а сама g(A), во-первых, в любой полосе вида а ^ ИеА ^ Ь будет иметь конечное число нулей и, во-вторых, все ее корни будут находиться левее некоторой прямой ЯеА = с. Кроме того, существование некоторого корня Ао у функции g(A), для которого Ие Ао > 0, влечет за собой неустойчивость данной системы по Ляпунову.

Всеми этими утверждениями мы будем пользоваться при доказательстве теорем в главах 2, 3 и 4. При этом не составляет особого труда обобщить результаты данных теорем и на случай систем общего вида, указанного выше. Автор не стал этого делать, поскольку, доказательства этих теорем, были бы полным повторением доказательств тех теорем, которые можно найти в этой диссертации.

В главе 2, вместе с прочими результатами, автором был получен алгоритм для поиска величины запаса устойчивости квазиполинома g(A), соответствующего некоторой асимптотически устойчивой по Ляпунову линейной системе дифференциальных уравнений с конечным числом запаздываний, то есть такого числа со > 0, для которого корни квазиполинома g(A) будут находиться левее и на самой прямой ЯеА = —со- При этом доказано, что построенный метод последовательных приближений будет сходиться, именно, к данному числу Со- Автор не стал углубляться в возможности применения

о

-к

данного алгоритма для решения других задач, но отметим, что, рассматривая практически тот же алгоритм для семейства функций /(А, ср) = сЫ, (—ХЕ + ег<рА), можно построить алгоритм для поиска сектора, которому принадлежат собственные числа матрицы Л, при условии, что все они находятся в открытой левой полуплоскости. Данная проблема для полиномов также широко исследуется в научной литературе и носит название секторной устойчивости.

Еще один из результатов второй главы дает новый критерий проверки устойчивости квазиполинома g(A) и может быть применен на практике, во всяком слз^чае, для систем, имеющих не очень большую размерность. К сожалению, автор не рассмотрел в рамках данной работы проблему, связанную с точностью вычислений, необходимой для получения правильных выводов при прохождении алгоритма, который использует данный критерий. Однако, здесь можно заметить, что все функции, рассматриваемые при прохождении алгоритма, будут вещественны и непрерывны по вещественному параметру и, следовательно, на любом отрезке будут являться равномерно непрерывными функциями. Это дает возможность оценить шаг дробления отрезка, на котором минимизируются данные функции, и получить оценку снизу для точной величины их минимума.

Наконец, в последней главе исследуется проблема сохранения свойства асимптотической устойчивости по Ляпунову некоторой линейной системой дифференциально-разностных уравнений с конечным числом запаздываний, когда данные запаздывания могут варьироваться произвольным образом в пределах множества (0, +оо). Автором доказана теорема, согласно которой решение данного вопроса сводится к исследованию устойчивости одного семейства полиномов специфического вида. Данная задача вырастает из результатов главы 3, в которой от системы потребовалось выполнение подобного свойства в одном из трех частных случаев исследования.

Список используемых обозначений.

Если А — некоторая матрица размерности п х т, то |(А|| — максимальный из модулей элементов А; А* — комплексно сопряженная матрица к матрице А; БрА для квадратной А — сумма элементов главной диагонали. Е — диагональная матрица, с единицами на диагонали.

Тп = \/пР.

Сп — евклидовы пространства размерности п над полем, соответственно, вещественных и комплексных чисел.

Если О — некоторое множество из В? или Сп, то В — его замыкание.

В Кп или Сп: Ке(го), Се(го) обозначают, соответственно, множества {г | \\г - 20|| < г}, {г | \\г - г0\\ = е}, где ||г|| =

х = г*, если г £ С1 и неоговорено противное.

С+ — множество точек А ЕС, для которых ИеЛ ^ 0.

Знак ■ по тексту — конец доказательства.

При нумерации формул и утверждений первая цифра обозначает номер главы, в которой они находятся.

Глава 1. Некоторые свойства матриц.

В этой главе мы рассмотрим некоторые утверждения относительно свойств матриц с комплексными коэффициентами. Данные утверждения помогут нам в дальнейших рассуждениях.

Вначале приведем известный факт из [1], доказательство которого принадлежит Коши.

Лемма 1.1. Если х8 ^ О, з = 1, 2,..., п, то

1

П 5=1

С использованием данной леммы мы без труда докажем другой вспомогательный результат.

Лемма 1.2. Пусть Лп — семейство матриц размерности п х п с комплексными элементами ард: \ард\ ^ 1 (р, д = 1,..., п), тогда

тах с1е1 А = тп

АеЛп

Действительно, пусть А £ Ап■ Рассмотрим матрицу Е = А*А. Если хо — некоторое собственное число матрицы Е, а Со — соответствующий ему собственный вектор, то

*оС0*Со - С^ЕСо = (АСоУ(АСо) ^ О,

и, следовательно, все собственные числа х\,..., хп матрицы Е будут неотрицательными вещественными числами, при этом

I I I \ п / т\\ п

х\ + х2 Н-----Ь хп \ ( ер Е \

/ Т. л + :То н-----\П

сЫ; Е = Х\Х<1 ■ ■ ■ хп ^

п \ п

Однако, диагональные элементы с1рр матрицы И для р = 1,2, ...п

можно записать в следующем виде в,рр = |а1Р|2 + \а,2Р\2 + • • • + |апр|2 ^ п,

и тогда 0 ^ эр!) ^ п2, что приводи�