Методы построения характеристического уравнения в задаче устойчивости одного класса периодических систем с последействием тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ТАРАСЯН Владимир Сергеевич

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧЕ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОГО КЛАССА ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург — 2004

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Уральского государственного университета им. A.M. Горького

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Ю.Ф. Долгий

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

А.В.Ким

доктор физико-математических наук, профессор А.Н.Сесекин

Ведущая организация:

Пермский государственный университет

Защита состоится 19 января 2005 г. в _£|£_мин. на заседании

диссертационного советаД 002.07.01 Института математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, Екатеринбург, ГСП-384, ул.С.Ковалевской, 16. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан " _/f__n ____

г

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, с.н.с

А.А. Успенский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Динамические системы, описываемые дифференциальными уравнениями с последействием встречаются в различных областях современной науки и техники: в механике сплошных сред со сложной реологией, в биологии и медицине, в системах автоматического управления, в технологических процессах, связанных с переносом материалов и энергии.

Наличие последействия в математической модели динамической системы существенно влияет на её качественное поведение. Основы общей теории линейных периодических систем с последействием заложены в работах АМ.Зверкина, А.Стокса, А.Халаная, В Хана, ДжХейла и С.Н.Шиманова Она оказалась эффективной при разработке методов исследования квазигармонических систем. Для существенно нестационарных периодических систем с последействием рассматриваемая нами теория получила развитие только для отдельных классов уравнений.

Устойчивость линейных периодических систем с последействием описывается в терминах спектра оператора монодромии, действующего в пространстве непрерывных функций. Он является вполне непрерывным и его спектр состоит из собственных чисел с предельной точкой в нуле. Если оператор допускает непрерывное расширение с пространства непрерывных функций на сепарабельное гильбертово пространство, то построение характеристического уравнения, определяющего собственные числа, связано с его конечномерными аппроксимациями. Характеристические уравнения конечномерных аппроксимаций оператора задаются полиномами. Последовательность полиномов сходится, в любой ограниченной части комплексной плоскости, к целой функции, задающей характеристическое уравнение оператора, если этот оператор является ядерным. В работах Cooke K.L., Wiener J. был изучен специальный класс периодических систем дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными аргументами. Характеристические уравнения для таких систем задаются полиномами. Изучение таких систем было продолжено в работах Alonso A., Hong J., Rojo J., Liu P., Gopalsamy К. В своих исследованиях они не использовали понятие оператора монодромии. В основу их работ была положена связь периодических систем дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными аргументами и разностных уравнений с дискретным временем.

Автор настоящей работы установил, что линейные периодические системы дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными аргументами имеют конечномерные операторы монодромии. Дальнейший анализ показал, что существуют системы с последействием, отличные от систем с кусочно-

POC. Il.-»/.,!,.,■

З

постоянными аргументами, операторы монодромии которых конечномерны. Была поставлена задача описать класс периодических систем с последействием и конечномерными операторами монодромии.

Решение задачи существенно зависит от множества, на котором сосредоточено последействие системы. В первой главе получено решение поставленной задачи в случае, когда оно сосредоточено на отрезке [—и>,0], где ы — период системы. Условие конечномерности оператора монодромии формулируется в терминах вырожденности функции Г}, которая задаёт меру Стилтьеса в линейном дифференциальном уравнении с последействием. Для последействия, сосредоточенного на отрезке [—г,0] (г < ш) требования вырожденности функции г\ можно ослабить. Решение этой более сложной задачи приведено во второй главе. Для систем с конечномерными операторами монодромии характеристические уравнения задаются полиномами. Тем самым задача асимптотической устойчивости для таких систем сводится к проблеме Рауса-Гурвица для единичного круга, которая, в случае полинома, имеет алгебраическое решение. Задача нахождения коэффициентов характеристического уравнения связана с численным интегрированием системы дифференциальных уравнений с последействием. Системы линейных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными аргументами имеют конечномерное семейство решений. В третьей главе показано, что это свойство связано с конечномерностью вольтеррового оператора, определяемого векторным функционалом, задающим систему дифференциальных уравнений с последействием. Предложена конструктивная реализация представлений конечномерных вольтерровых операторов. Полученный класс систем дифференциальных уравнений с последействием содержит системы с кусочно-постоянными аргументами. Коэффициенты характеристического уравнения для таких систем могут быть найдены аналитически. Предложенная методика исследования устойчивости движения апробирована на математической модели фрезерования. Необходимость развития этого направления исследований стимулируется проблемами, которые возникают при решении задач устойчивости периодических решений в математических моделях популяционной динамики и экономики.

Цель работы. Описать класс периодических систем с последействием и конечномерными операторами монодромии; предложить конструктивные алгоритмы построения таких систем и нахождения для них характеристических уравнений; использовать эти алгоритмы при определении условий устойчивости периодических систем с последействием.

Методика исследования. Методы исследования данной работы основаны на результатах таких направлений науки, как теория устойчивости движения, функциональный анализ, теория функционально-дифференциальных

уравнений и теория обыкновенных дифференциальных уравнений. При исследовании линейных периодических систем дифференциальных уравнений с запаздыванием на устойчивость основным является понятие оператора моно-дромии, спектр которого определяет устойчивость или неустойчивость таких систем. Для конечномерных операторов монодромии рассматриваемая задача сводится к проблеме Рауса-Гурвица для полиномов (случай единичного круга).

Научная новизна. Результаты, представленные в диссертации являются новыми и позволяют находить эффективные условия асимптотической устойчивости исследуемого класса периодических систем с запаздыванием. Основные результаты диссертации, выносимые на защиту:

1. Найдены необходимые и достаточные условия конечномерности оператора монодромии.

2. Предложены конструктивные процедуры реализации матричной функции, обеспечивающей конечномерность оператора монодромии.

3. Описан специальный класс периодических систем дифференциальных уравнений с конечномерными вольтерровыми операторами.

4. Разработаны методы построения характеристического уравнения.

5. Получены условия устойчивости для периодических систем с последействием.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития качественной теории исследуемых систем, а также для аппроксимации оператора монодромии в случае его бесконечномерности. Практическая ценность результатов диссертации состоит в том, что они позволили исследовать задачи устойчивости для рассматриваемых классов периодических систем дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Апробация работы. Результаты, составляющие основу диссертации, были доложены на 30 и 31 Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики", X и XIII Понтрягинских чтениях "Современные методы в теории краевых задач", Международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" (Челябинск, 1999), Третьей международной конференции "Дифференциальные уравнения и их применения"(Санкт-Петербург, 2000), на семинаре кафедры теоретической механики УрГУ, на семинаре кафедры вычислительной математики Ур-ГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах

[1-И].

Структура и объем работы. Работа состоит из введения и трех глав,

которые содержат 17 параграфов. Общий объем диссертации составляет 127 страниц. В списке литературы 84 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, определяется цель исследований Даётся обзор литературы по исследуемой тематике и общая характеристика работы. Кратко изложено её содержание.

Первая глава состоит из пяти параграфов и посвящена построению характеристических уравнений для операторов монодромии.

Рассматривается линейная периодическая система дифференциальных уравнений с последействием

где х : [—ш, +оо) —> > 0. Матричная функция т] периодически зависит от первого аргумента с периодом ш и измерима по Лебегу по совокупности аргументов на множестве [0,ш] X [-и,0] При каждом фиксированном значении £ € [0,о>] элементы матричной функции 77^, •) имеют ограниченные вариации. Элементы матричной функции Уаг 77(4, в) измеримы и ограниче-

ны в существенном на отрезке

При указанных выше условиях система дифференциальных уравнений с последействием (1) для начального момента ?0 = 0 и произвольной начальной функции ¡р £ С ([—ш, 0], Л") имеет единственное решение х <р) при ? > — ш, т.е. х — Ц> (£) при —из < £ < 0, а при I > 0 функция х (р) является локально абсолютно непрерывной и удовлетворяет системе (1). Общий вид этого решения описывается формулой

В формуле (2) используется специальное продолжение матричной функции по второму аргументу на всю числовую ось: при каждом фиксированном значении t Е Г] 5) = 0 при s >0 и т? (г, s) = 77 (г, — и) прш < —и. Условия продолжения будем называть краевыми условиями для функции т]. Матричная функция V является решением матричного дифференциального уравнения

о

(1)

«е[-ы,о]

о

с начальными условиями: V (t, s) = 0 при s — ш < t < s, V (s, s) = In, где /—единичная матрица порядка п.

Оператор монодромии U : (Uip) (#) = х (w +1?, (р), £ [—ы, 0], является линейным вполне непрерывным оператором, действующим в пространстве С([- w,0], R"). Его область значений принадлежит пространству вектор-нозначных функций, абсолютно непрерывных на отрезке [-ш,0], имеющих ограниченные в существенном производные на этом отрезке. Бесконечномерность пространства состояний С([—ш, 0], Rn) создаёт серьёзные технические трудности при изучении качественных вопросов поведения решений систем дифференциальных уравнений с последействием. В этой главе показано, что существуют линейные периодические системы дифференциальных уравнений с последействием и конечномерными операторами монодромии. Для указанного класса систем можно получить эффективные условия устойчивости решений.

В первом параграфе получены условия существования линейных периодических систем с последействием и конечномерными операторами монодромии.

Теорема 1.1.1. Пусть матричная функция Т) периодически зависит от первого аргумента спериодом ш и измерима по Лебегу по совокупности аргументов на множестве [0,ш] X [—а/,0]. При каждом фиксированном значении t € [0,ш] элементы матричной функции Var T](t,s) измеримы и

ограничены в существенном на отрезке [0,w], Тогда для конечномерности операторамонодромии необходимо и достаточно,чтобы продолжениема-тричной функции Т] допускало представление

r,(a,ß-a) = ^\(a)rji{ß) (4)

при 0 < а < и и —(j < ß < 0; где элементы п х п матричных функций rj^ k = l,N, измеримы и ограничены в существенном на(0,ш), а элементы матричных функций rft., k=l,N, имеют ограниченные вариации на [—и, 0)

Функцию г], продолжение которой допускает представление (4), будем называть вырожденной. Используя обозначения

Wk {■&)=Jv(uj + д, а) nl (а) da, 4 € [-w, 0], (5)

опишем конечномерное представление оператора монодромии формулой

где Wk, к = О, N, — матричные функции, абсолютно непрерывные на отрезке [ f,k= — йрйрерывные векторные функционалы в пространстве С ([-w, 0], Ю-

Во втором параграфе построено характеристическое уравнение для конечномерного оператора монодромии.

Теорема 1.2.1. Пусть выполняются условия теоремы 1.1.1. Тогда ненулевые собственные числа оператора монодромии являются корнями харак-теристическогоуравнения

detllMHg-^nll^O, (8)

sdeSkm —символы Кронекера.

Формулы (5) неудобны для нахождения матричных функций Wk, k = 0, iV, т.к. они содержат матричную функцию V, которая определена неявно. Показано, что они являются решениями матричных дифференциальных уравне-

с начальными условиями

В третьем параграфе описана процедура построения функции щ, удовлетворяющей краевым условиям. Рассматривается произвольное разбиение

м

полуинтервала [-ш,0) = |J [0mi/3m+l)> где -о> = /?0 < А < ... < Рм < т=0

Рм+1 = 0. Функция Т)н определяется формулой

r)N (а, ¡3 - а) = £ И ¿j ¥>тк (<*) Фкт Ф),

где N = + ... + Км, Х(а,Ь) ~ индикатор интервала (а,Ь),т.е.Х(а,&)(а) = 1 при а € (а, Ь) и Х(о,Ь)(а) =0 при а ^ (а, 6), — измеримые матричные функции, ограниченные в существенном на интервале (0, о;), — матричные функции размерности п х п с ограниченным изменением на каждом полуинтервале [/?т, Ап+1), т = 1,М,к=1, Кт.

Для систем (1) с функциями Т] = щ в четвёртом параграфе предложены конструктивные процедуры построения характеристического уравнения. Указаны дополнительные условия, при выполнении которых собственные числа оператора монодромии могут быть найдены алгебраическими методами.

Вторая глава диссертации посвящена нахождению условий конечномерности операторов монодромии линейных периодических систем с последействием в пространстве С([—г,0],.Л'1), 0 < г < ш. Здесь не удаётся получить условия конечномерности этого оператора, выраженные непосредственно в терминах меры Стилтьеса Г].

В первом параграфе формулируются условия конечномерности оператора монодромии.

Определение 2.1.1. Матричная функция f : ^Ь] X [сф —> называется вырожденной, если существует натуральное число N и набор матричных функций £ : [а, Ь] => R"х", : [с, ф => R" х ", 1 <) таких, что справедливо представление:

Рассматривается матричная функция

где G является резольвентным ядром, определяющим решение интегрального уравнения Вольтерра 2 рода

х (а) = у (а) - j х (г) г) (т, а — т) <1т, 0 < а < ш - г.

Функция / определяется полностью заданием функции г].

Теорема 2.1.1. Пусть матричная функция г) является апериодической по первому аргументу, измеримой по Лебегу на множестве [0, м] X \—г, 0] (м>>г), ц (•, .у) = 0 при я > 0 и Г) (• ,х)= г] (•, -г) при я <-г. Для почти всех t 6 [0, м] существует конечная вариация V(t) Уот=(£, •) и

КО]

функция Vинтегрируема на [0, м]. Тогда для конечномерности оператора монодромии, действующего в пространстве С([-г, 0], Я"), необходимо и достаточно, чтобы матричная функция/, определяемая формулой (9), была вырожденной.

Во втором и третьем параграфах соответственно доказывается справедливость необходимых и достаточных условий теоремы 2.1.1.

Четвёртый параграф посвящен реализации условий конечномерности оператора монодромии и описанию процедуры построения таких операторов. Введём функцию г}\ : [0, иг] X [—г, ш — г]-} Д71*", с помощью формулы

Изучены два случая.

1) В первом случае вырожденность матричной функции (9) определяется вырожденностью сужения отображения щ на множество [0, — г] X [-г, 0).

2) Во втором случае вырожденность матричной функции (9) определяется вырожденностью сужения отображения Г)\ на множество [м — г, м] X [0,щ - г).

Для реализации конечномерных операторов монодромии требуется также выполнение краевых условий ц^,5) = 0 при 5 > 0 и 1] ^, s) = 7](1, -м) при 5 < --м. Предложены специальные конструкции функций щ, которые удовлетворяют краевым условиям и являются вырожденными. Для таких функций

оператор монодромии допускает представление (1/ <р) (1?) = % (1?) Д (<р),

$ 6 [—г, 0]. В полученном представлении линейные непрерывные функционалы /р ] = 0, N, определяются явным образом. Матричные функции Щ, ] = 0, ЛТ, являются решениями дифференциальных уравнений с последействием. Конкретный вид этих уравнений описан в пятом параграфе.

В третьей главе диссертации рассмотрены периодические системы дифференциальных уравнений с конечномерными вольтерровыми операторами.

Используется операторное описание системы дифференциальных уравнений

<1хН)

(10)

где х : Я Я", ^ : С(Я, Я") -> 1Ьс(Я, Я") - линейный оператор, С(Я, Я") — пространство непрерывных функций на Я со значениями в Я", Ь'°С(Я, Я")

— пространство функций, интегрируемых по Лебегу на любом компакте из R. Класс систем (10) достаточно широк. Для построения эффективных методов исследования таких систем целесообразно сузить класс операторов ¥

Определение 3.1.1. Линейный оператор ¥ : С(В,В') 1'°С(В,В1) называется периодическим, если для любой функции х £ В(¥) имеем

при всех г € R. Здесь В(¥) - область определения оператора Г.

Определение 3.1.2. Линейный оператор ¥ : С(В, В1) ¥°С(В, В1) называется вольтерровым, если для любого г £ В и любой функции х £ Щ¥), х(в) = 0 при 5 < t имеем (¥х)(г) = 0.

Определение 3.1.3. Линейный волътерровый оператор ¥:С(В, ВС) —> 1°С(В,К') называется оператором с ограниченным последействием, если существует положительное число г такое, что (¥х)(г) = 0 при всех х £

В(¥), х(в) = о, г - г < 5 < г, г £ к

Таким образом, изучение линейного периодического вольтеррова оператора с ограниченным последействием можно заменить изучением оператора Р : С([-г,Я") -> Ь([0,IV], К1), определяемого формулами (Рх)(1) = (¥х)(г), г £ [0, щ] для всех х £ Б(¥) их £ Б(удовлетворяющих условию х($) = х (У при 5 £ [—г, -щ]. В этой главе рассматриваются конечномерные операторы Р. Соответствующая линейная периодическая система (10) с вольтерровым конечномерным оператором полностью определяется своим сужением на отрезок [0, щ].

Во втором параграфе указана реализация системы дифференциальных уравнений (10) с вольтерровым конечномерным оператором. Рассмотрим разбиение отрезка [—щ щ]:

Пусть (- М + 1) — номер ближайшей справа точки разбиения к точке г = - г. Сужение системы дифференциальных уравнений (10) на отрезок [0, щ] определяется уравнением

где Хе(') — индикаторная функция множества Е, Ак — интегрируемые по Лебегу на отрезке [0, щ] матричные функции размерности п X п, Щ — матричные функции размерности п X п с ограниченной вариацией на отрезке

х{ы + ■) 6 и (Яг(и + .))(*) = + и)

(11)

Общее решение системы (11) представимо в виде конечной суммы

О

^^Д-л^МоН £ Щ,{Ш<р), (12)

где

р=-М+1 N-1

= I + £ М*) £

т=1 *=т

Здесь матрица ||£ы||Г является обратной для матрицы ||Ь^т ~ ЛСДл)!!?1-

В третьем параграфе построена: оператор монодромии и характеристическое уравнение исследуемой системы. Оператор монодромии представлен в виде конечной суммы

где матричные функции р = —М, 0, размерности п X п определяют-

ся формулами , а векторный функционал

9-м{ч>) = <р(0)

Если система матричных функций линейно независима, то ха-

рактеристическое уравнение для оператора монодромии имеет вид

п о

(13)

Введём обозначения = В™(и1 + в), т = — М. N-l.se Г—г. 01. Тогда

N N

9к(№-м) = 9к{1п) + £ 9к{Вт) £ к =

т=1 ]=т

N

N

т=1

В случае линейно зависимой системы матричных функций {^к}к°__м выбирается максимальная линейно независимая подсистема М' < М. Тогда функции к = —М + 1,0 можно записать в виде

т=-М'

где С'кт, (т = —М',0,) — некоторые постоянные. Вводятся обозначения

и характеристическое уравнение записывается в виде

В четвёртом параграфе рассмотрен частный случай системы с дискретной мерой Стилтьеса, когда функции а* определяются формулами а* (я) = 1(8 -1к),к= —М + 1, N — 1, где 1( • ) — функция Хевисайда, непрерывная справа. Тогда уравнение (11) на отрезке [0, м>] примет вид

(14)

Общее решение уравнения (14) запишется в виде

о

где

В этом случае также построены оператор монодромии и характеристическое уравнение.

Пятый параграф посвящен обобщению полученных ранее результатов на системы, которые описываются дифференциальными уравнениями следующего вида

(15)

где А — м-периодическая матричная функция размерности п х п, интегрируемая по Лебегу на отрезке [0, м], Г — м-периодический конечномерный вольтерров оператор с ограниченным последействием. Исследование решений системы дифференциальных уравнений (15) сводится к исследованию решений системы (11). Также рассмотрен дискретный случай системы (15).

В шестом параграфе на примере системы, состоящей из амплитудно-импульсного элемента и непрерывной части, описываемой дифференциальным уравнением, описано приложение полученных результатов к исследованию импульсных систем.

Седьмой параграф посвящен исследованию динамических процессов в одной модели линейного фрезерования, описываемой дифференциальным уравнением с кусочно-постоянным аргументом

где х — отклонение глубины резания от номинального значения в направлении подачи детали; V, /х, Д — положительные параметры, определяемые конструкцией системы, 0 < £ < 1, А = 2я"/п, п — число зубьев фрезы, п > 2; V — периодическая функция, с периодом равным 1, определяемая формулой V{Ь) = 1 — £cos(2Лt + S) при 0 < t < 1, где е и 6 — положительные параметры.

Построены проекции области асимптотической устойчивости на плоскость параметров. Проанализировано влияние различных параметров на устойчивость системы.

ПУБЛИКАЦИИ ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Долгий Ю.Ф., Тарасян B.C. Конечномерные операторы монодромии для периодических систем дифференциальных уравнений с последействием // Изв. Урал. гос. ун-та. 2000. №18. (Математика и механика. Вып. 3) С.67-83.

2 Долгий Ю.Ф., Тарасян B.C. Конечномерные операторы монодромии для периодических функционально-дифференциальных уравнений // Тез. докл.

^ = A(t)x(t) + (Fx)(t)

Воронежской весенней математической школы "Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения-Х". Воронеж. 1999. С.42.

3. Долгий Ю.Ф., Тарасян B.C. Об одном классе периодических систем с последействием с конечномерными операторами монодромии // Тез. докл. третьей международной конференции "Дифференциальные уравнения и их применения". Санкт-Петербург. 2000. С. 138-139.

4. Долгий Ю.Ф., Тарасян B.C. Связь непрерывных и дискретных полугрупп для уравнений с последействием //Урал. гос. ун-т. Екатеринбург. 2000. 28с. Деп. 06.05.00. № 1315-В00.

5. Долгий Ю.Ф., Тарасян B.C. Условия конечномерности оператора монодромии для периодических систем с последействием //Диференщальш р1в-няния i нелшШ коливания. Тези М1жнародны конференцш як супутня Украшського математичного конгресу. Кшв. 2001. С.50.

6. Долгий Ю.Ф., Тарасян B.C. Условия конечномерности оператора монодромии для периодических систем с последействием // Изв. вузов. Математика. 2003. N.4. С.27-39.

7. Долгий Ю.Ф., Тарасян B.C. Устойчивость периодических функционально-дифференциальных уравнений с дискретными мерами Стилтьеса // Тез. докл. международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения". Челябинск. 1999. С.43.

8. Тарасян B.C. Конечномерные операторы монодромии для систем с последействием и с дискретными мерами Стилтьеса // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 31-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. 2000. С.62-63.

9. Тарасян B.C. Об одном классе периодических систем с последействием // Современные методы в теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XIII". Воронеж. 2002. С.145.

10. Тарасян B.C. Периодические системы дифференциальных уравнений с конечномерными операторами // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2002. №4. С.67-91.

11. Тарасян B.C. Связь непрерывных и дискретных полугрупп для систем дифференциальных уравнений с запаздыванием // Тез. докл. 30-й Региональной молодёжной конференции. Екатеринбург. 1999. С.46-47.

Р--727.

ТАРАСЯН Владимир Сергеевич

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧЕ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОГО КЛАССА ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

01.02.01 —теоретическая механика

Лицензия на издательскую деятельность ИД 03581 от 19.12.2000

Подписано к печати 08.12.2004

Формат бумаги 60x80 1/16 Объем 1,0 п.л. Заказ 354_Тираж 100 экз

Типография УрГУПС, 620034, г. Екатеринбург, Колмогорова, 66

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Характеристические уравнения для операторов монодромии

§1.1. Условия конечномерности оператора монодромии

§1.2. Характеристическое уравнение.

§1.3. Реализация краевых условий для вырожденной функции

§1.4. Характеристические уравнения операторов монодромии, задаваемых специальными конструкциями функции

§1.5. Некоторые классы систем с последействием и конечномерными операторами монодромии

ГЛАВА 2. Условия конечномерности для операторов монодромии.

§2.1. Формулировка основного утверждения.

§2.2. Необходимые условия конечномерности

§2.3. Достаточные условия конечномерности

§2.4. Реализация условий конечномерности.

§2.5. Примеры периодических систем с последействием и конечномерными операторами монодромии

ГЛАВА 3. Периодические системы дифференциальных уравнений с конечномерными вольтерровыми операторами

§3.1. Конечномерные вольтерровые операторы

§3.2. Построение общего решения.

§3.3. Оператор монодромии

§3.4. Дискретный случай

§3.5. Обобщение результатов.

§3.6.Устойчивость систем с амплитудно-импульсными элементами

§3.7. Исследование динамических процессов в одной модели фрезерования

Динамические системы, описываемые дифференциальными уравнениями с последействием встречаются в различных областях современной науки и техники: в механике сплошных сред со сложной реологией [2, 15, 43], в биологии и медицине [3, 6, 7, 23, 26, 32, 39, 50], в системах автоматического управления [28, 44], в технологических процессах, связанных с переносом материалов и энергии[10, 33, 58, 64-66].

Наличие последействия в математической модели динамической системы существенно влияет на её качественное поведение [1, 4, 5, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 34, 37, 38, 46, 49]. Основы общей теории линейных периодических систем с последействием заложены в работах А.М.Зверкина, А.Стокса, А.Халаная, В.Хана, Дж.Хейла и С.Н.Шиманова [21, 35, 46, 52-54, 56, 63, 68]. Она оказалась эффективной при разработке методов исследования квазигармонических систем [55]. Для существенно нестационарных периодических систем с последействием рассматриваемая нами теория получила развитие только для отдельных классов уравнений [8, 21, 31, 63].

Устойчивость линейных периодических систем с последействием описывается в терминах спектра оператора монодромии, действующего в пространстве непрерывных функций. Он является вполне непрерывным и его спектр состоит из собственных чисел с предельной точкой в нуле. Если оператор допускает непрерывное расширение с пространства непрерывных функций на сепарабельное гильбертово пространство, то построение характеристического уравнения, определяющего собственные числа, связано с его конечномерными аппроксимациями. Характеристические уравнения конечномерных аппроксимаций оператора задаются полиномами. Последовательность полиномов сходится, в любой ограниченной части комплексной плоскости, к целой функции, задающей характеристическое уравнение оператора, если этот оператор является ядерным. Условия ядерности оператора монодромии получены в работах [12, 14]. В работе Cooke K.L., Wiener J. [62] был изучен специальный класс периодических систем дифференциальных уравнений с кусочно - постоянными аргументами. Характеристические уравнения для таких систем задаются полиномами. Изучение таких систем было продолжено в работах Alonso A., Hong J., Rojo J.[59], Grace S.R., Rulenovich M. R. S., El-Metwally H.[60], Cooke K.L., Turi J., Turner G.[61], Liu R, Gopalsamy K.[67], Meng Qiong, Zhao Aimin, Yan Jurag[66], Wang J.Y.[71], Wiener J., Lak-shmikantham V.[72], Yuan Rong[73]. Они не использовали понятие оператора монодромии. В основу их исследований была положена связь периодических систем дифференциальных уравнений с кусочно - постоянными аргументами и разностных уравнений с дискретным временем.

Автор настоящей работы установил, что линейные периодические системы дифференциальных уравнений с кусочно - постоянными аргументами имеют конечномерные операторы монодромии. Дальнейший анализ показал, что существуют системы с последействием, отличные от систем с кусочно -постоянными аргументами, операторы монодромии которых конечномерны. Была поставлена задача описать класс периодических систем с последействием и конечномерными операторами монодромии.

Решение задачи существенно зависит от множества, на котором сосредоточено последействие системы. В первой главе получено решение поставленной задачи в случае, когда оно сосредоточено на отрезке [—о;,0], где и - период системы. Условие конечномерности оператора монодромии формулируется в терминах вырожденности функции 77, которая задаёт меру Стил-тьеса в линейном дифференциальном уравнении. Для последействия, сосредоточенного на отрезке [—г, 0] (г < а;) требования вырожденности функции г] можно ослабить. Решение этой более сложной задачи приведёно во второй главе. Для систем с конечномерными операторами монодромии характеристические уравнения задаются полиномами. Тем самым задача асимптотической устойчивости для таких систем сводится к проблеме Раусса - Гурвица для единичного круга, которая, в случае полинома, имеет алгебраическое решение. Задача нахождения коэффициентов характеристического уравнения связана с численным интегрированием системы дифференциальных уравнений с последействием. Системы линейных дифференциальных уравнений с кусочно - постоянными аргументами имеют конечномерное семейство решений. В третьей главе показано, что это свойство связано с конечномерностью вольтеррового оператора, определяемого векторным функционалом, задающим систему дифференциальных уравнений с последействием. Предложена конструктивная реализация представлений конечномерных вольтерровых операторов. Полученный класс систем дифференциальных уравнений с последействием содержит системы с кусочно - постоянными аргументами. Коэффициенты характеристического уравнения для таких систем могут быть найдены аналитически. Предложенная методика исследования устойчивости движения апробирована на математической модели фрезерования. Необходимость развития этого направления исследований стимулируется проблемами, которые возникают при решении задач устойчивости периодических решений в математических моделях популяционной динамики [67] и экономики[40, 41].

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, определяется цель исследований. Даётся обзор литературы по исследуемой тематике и общая характеристика работы. Кратко изложено её содержание.

Первая глава состоит из пяти параграфов и посвящена построению и исследованию конечномерных операторов монодромии в пространстве

С([-и,0],Яп)

Рассматривается линейная периодическая система дифференциальных уравнений с последействием о у з)х(г + 5), I е = (о, +оо), (0.1) о/ где х : [—а;,+оо) —» ш > 0. Матричная функция г] периодически зависит от первого аргумента с периодом ш и измерима по Лебегу по совокупности аргументов на множестве [0,о;] х [—а;,0]. При каждом фиксированном значении Ь £ [0, а;] элементы матричной функции •) имеют ограниченные вариации. Элементы матричной функции Уаг б) измеримы и ограничены в существенном на отрезке [0,ш].

При указанных выше условиях система дифференциальных уравнений с последействием (0.1) для начального момента ¿о = 0 и произвольной начальной функции <р е С ([—и, 0], ВТ") имеет единственное решение х(Ь,(р) при

Ь > —ш, т.е. х (£, ср) = (р (£) при —ш < t < 0, а при I > О функция х ср) является локально абсолютно непрерывной и удовлетворяет системе (0.1). Общий вид этого решения описывается формулой

В формуле (0.2) используется специальное продолжение матричной функции 77 по второму аргументу на всю числовую ось: при каждом фиксированном значении £ Е т] (£, я) = 0 при я > 0 и г] я) = 7] (£, —и) при й < —и. Условия продолжения будем называть краевыми условиями для функции 77. Матричная функция V является решением матричного дифференциального уравнения о = + (о.з) и с начальными условиями: V (£, я) = 0 при б — и < t < в, V (з, в) = 1п, где /„-единичная матрица порядка п.

Оператор монодромии и : (и<р) (ч9) = х (си + (р), д Е [—о;, 0], является линейным вполне непрерывным оператором, действующим в пространстве С ([—а;, 0], К1) [46, с.228]. Его область значений принадлежит пространству векторнозначных функций, абсолютно непрерывных на отрезке [—о;,0], имеющих ограниченные в существенном производные на этом отрезке. Бесконечномерность пространства состояний С([—со, 0], В,п) создаёт серьёзные технические трудности при изучении качественных вопросов поведения решений систем дифференциальных уравнений с последействием. В этой главе показано, что существуют линейные периодические системы дифференциальных г

У&а)г1(а,Р-а)<1а\<р{Р). (0.2) уравнений с последействием и конечномерными операторами монодромии. Для указанного класса систем можно получить эффективные условия устойчивости решений.

В первом параграфе получены условия существования линейных периодических систем с последействием и конечномерными операторами монодромии.

Теорема 1.1.1. Пусть матричная функция 77 периодически зависит от первого аргумента с периодом ш и измерима по Лебегу по совокупности аргументов на множестве [0, а;] х [—ш, 0]. При каждом фиксированном значении £ € [0, а;] элементы матричной функции Уаг т]^, б) измеримы и ограничены в существенном на отрезке [0,а>]. Тогда для конечномерности оператора монодромии необходимо и достаточно, чтобы продолжение матричной функции г] допускало представление N

Ч(а,0 -а) = £|Й(ог)|Й(/3) (0.4) к=1 при 0 < а < си и —си < /3 < 0, где элементы п х п матричных функций к = 1, Ы, измеримы и ограничены в существенном на (0, а?), а элементы матричных функций г)\, к = 1, ./V, имеют ограниченные вариации на [—и, 0).

Функцию 7], продолжение которой допускает представление (0.4), будем называть вырожденной. Используя обозначения и>+д жк{д)= I У{и + #,а)г]1{а)с1а, -де[-си,0], (0.5) о о м = (р (0), л = I а0п2к (р) 09), к = 1, м, (0.6) опишем конечномерное представление оператора монодромии формулой иц>) (0) = ОТ Л Ы , 0 € 0], V € С ([-Ы, 0], В,п), (0.7) где У/к, к = 0, Л7", - матричные функции, абсолютно непрерывные на отрезке [—о;, 0], Д, к = 0, АГ, - непрерывные векторные функционалы в пространстве

Во втором параграфе построено характеристическое уравнение для конечномерного оператора монодромии.

Теорема 1.2.1. Пусть выполняются условия теоремы 1.1.1. Тогда непулевые собственные числа оператора монодромии являются корнями характеристического уравнения где 5символ Кронекера, 1п - единичная матрица размерности п X п.

Формулы (0.5) неудобны для нахождения матричных функций И^, к = 0, ЛГ, т.к. они содержат матричную функцию V, которая определена неявно, как матричное решение дифференциального уравнения (0.3). Показано, что они являются решениями матричных дифференциальных уравнений

С ([-07,0], л»). еЬЦЛ^-рЗьт/Х = 0,

0.8)

МГк (#) с начальными условиями И^о (—си) = 1п, Игк (—= 0, к = 1, N.

В третьем параграфе описана процедура построения функции т;дг, удовлетворяющей краевым условиям. Рассматривается произвольное разбиение м полуинтервала [-и,0) = У \Рт,Рт+1), где -ш = < & < . < /Зм < ш=О

Рм+1 — о. Функция определяется формулой м кт т (а, Р - а) = Х(0,ы+/Зт) (а) '

771=1 А)=1 и < Р < 0, 0 < а < ш, где N = Кг + . + Км, Х(а,ъ) ~ индикатор интервала (а, Ь), т.е.Х(а,ь)(а) = 1 при а в (а, 6) и Х(а,ь)(аО = 0 ПРИ а £ (а> Ь).

Для систем (0.1) с функциями 77 = щ в четвёртом параграфе предложены конструктивные процедуры построения характеристического уравнения. Указаны дополнительные условия, при выполнении которых собственные числа оператора монодромии могут быть найдены алгебраическими методами.

В пятом параграфе приведены примеры построения функции 77 для некоторых классов систем с последействием.

Вторая глава диссертации посвящена построению и исследованию конечномерных операторов монодромии для линейных периодических систем с последействием в пространстве С([—г, 0], 0 < г < ш. Здесь не удаётся получить условия конечномерности этого оператора, выраженные непосредственно в терминах меры Стилтьеса 77.

В первом параграфе формулируются условия конечномерности оператора монодромии.

Определение 2.1.1. Матричная функция / : [а, Ъ] X [с, с£) —> Л71*71 называется вырожденной, если существует натуральное число N и набор матричных функций : [а, 6] —В,пхп, /? : [с,д) Лпхп, 1 < j < А/", таких, что справедливо представление: N (0//М. ¿=1

Рассматривается матричная функция рю—г рт т](^т-1) в (г, а) 77 (а, /3 - а) ./о ./О пиз—г

- »7 (*, т - *)(т,/3 - т) <*т, ¿6 [си — г, а;], /3е[-г,0), (0.9) Уо где С является резольвентным ядром, определяющим решение интегрального уравнения Вольтерра 2 рода

ГШ —г х (а;) = у (а) — / х (т) г) (т, а — т) (1т, 0 < а < со — г. оа

Функция / определяется полностью заданием функции г}.

Теорема 2.1.1. Пусть матричная функция Т] является ш-периодической по первому аргументу, измеримой по Лебегу на множестве [0, со] X [—г, 0] (си > г), 77 (-, з) = 0 при в > 0 и г](-,з) = 77 (•, —г) при б < —г. Для почти всех £ € [0, со] существует конечная вариация У{€) = Уаг г](1, •) и

-г,0] функция V интегрируема на [0, а;]. Тогда для конечномерности оператора монодромии, действующего в пространстве С ([—г, 0], Яп) необходимо и достаточно, чтобы матричная функция /, определяемая формулой (0.9), была вырожденной.

Во втором и третьем параграфах соответственно доказывается справедливость необходимых и достаточных условий теоремы 2.1.1.

Четвёртый параграф посвящён реализации условий конечномерности оператора монодромии и описанию процедуры построения таких операторов. Введём функцию 771 : [0,о>] х [—г, со — г] —)■ с помощью формулы т т) = г) (г, г - г), г е [о, ш], те [-г, и-г].

Изучены два случая.

1) В первом случае вырожденность матричной функции (0.9) определяется вырожденностью сужения отображения щ на множество [0, ш — г] х [—г, 0).

2) Во втором случае вырожденность матричной функции (0.9) определяется вырожденностью сужения отображения щ на множество [а; — г, ш] х [0, ш — г).

Для реализации конечномерных операторов монодромии требуется также выполнение краевых условий 77 (£, в) = 0 при й > 0 и 77 (£, й) = 77 (¿, —си) при в < —си. Предложены специальные конструкции функций 771, которые удовлетворяют краевым условиям и являются вырожденными. Для таких функций N оператор монодромии допускает представление (С/\р) (г?) = И^ ($) Д (<£>), с=0 д Е [—г, 0]. В полученном представлении линейные непрерывные функционалы /,-, ] = 0, N, определяются явным образом. Матричные функции ] = 0, ./V, являются решениями дифференциальных уравнений с последействием. Конкретный вид этих уравнений описан в пятом параграфе.

В третьей главе диссертации рассмотрены периодические системы дифференциальных уравнений с конечномерными вольтерровыми операторами.

Рассматривается система дифференциальных уравнений = (*■*)(*), (0.10) где х : Я -> Яп, ^ : С(Д, Дп) -> Лп) - линейный оператор, С(Д, Яп) пространство непрерывных функций на Я со значениями в Яп, Ь1ос(Я, Яп) -пространство функций, интегрируемых по Лебегу на любом компакте из Я. Класс систем (0.10) достаточно широк. Для построения эффективных методов исследования таких систем целесообразно сузить класс операторов Р.

Определение 3.1.1. Линейный оператор Р : С(Я, Яп) Ь1ос(Я, Яп) называется периодическим, если для любой функции х £ -О(^) имеем х{и + •) € и (Рх(ш + •))(*) = + ш) при всех £ € Я. Здесь И(Р) - область определения оператора Р.

Определение 3.1.2. Линейный оператор Р : С(Я,Яп) Ь1ос(Я,Яп) называется волътерровым, если для любого £ Е Я и любой функции х 6 £>(-Р), х{э) = 0 при в < £ имеем (Рх)(Ь) = 0.

Определение 3.1.3. Линейный волътерровый оператор F : С(Я,Яп) —> Ь1ос(Я, Яп) называется оператором с ограниченным последействием, если существует положительное число г такое, что (Рх) (¿) = 0 при всех х е ж (в) = 0, * - г < в < £ е Я.

Таким образом, изучение линейного периодического вольтеррова оператора с ограниченным последействием можно заменить изучением оператора Р : С([—г,ш],Яп) —> Ь([0,си], Яп), определяемого формулами (Рх)(^) — (Рх)(Ь), £ е [0,ш], для всех х £ 0(Р) и х £ удовлетворяющих условию х(в) = х(в) при 5 € [—г,си]. Соответствующая линейная периодическая система (0.10) с вольтерровым конечномерным оператором полностью определяется своим сужением на отрезок [0,и>].

Во втором параграфе указана реализация системы дифференциальных уравнений (0.10) с вольтерровым конечномерным оператором. Рассмотрим разбиение отрезка [—си, а>]:

Ш = ¿дг < t-N+1 < ••• < ¿-1 < ¿0 = 0 < ¿1 < ••• < tN-1 < ¿ДГ = Ш

Пусть (—М + 1) - номер ближайшей справа точки разбиения к точке £ = —г. Сужение системы дифференциальных уравнений (0.10) на отрезок [0,а;] определяется уравнением

N-1 1к

1х(Ь) 23 М*)Х{иь-1+Г](0 I Лак{з)х{8), (0.11) к=-М+1 ^ где Хе(') ~ индикаторная функция множества Е, функции ось - матричные функции размерности п х п с ограниченной вариацией на отрезке к = -М + 1,ЛГ.

Общее решение системы (0.11) представимо в виде конечной суммы о я(^) = Ям(*М0)+ 23 ^ЫЛ (0.12) р=-М+1 где

ЛГ-1 ЛГ-1

Зтпк1к{1п), тп=1 &=т

ЛГ-1 ЛГ-1 т=1 &=т г вк{1) = J^Мхйа.^М^, к = -М + 1,^-1, * 6 [0,а;], о

Ьк

9к{Ф) — I ¿ак(з)<р(з), к = -М + 1,0,

А-1 л(®) = I с1ак(в)х(з), к = 1,^-1.

Здесь матрица Ц^тЦГ является обратной для матрицы — /¿(Д^Ц™.

В третьем параграфе построены оператор монодромии и характеристическое уравнение исследуемой системы. Оператор монодромии представлен в виде конечной суммы о и<р)(<&) = £ 0 е [—г,о], р=—М где матричные функции И^, р = —М, 0, размерности тг X п определяются формулами УУр^) = Др(ш + р = — М, 0, а векторный функционал

Если система матричных функций \У^кУк=-м линейно независима, тогда характеристическое уравнение для оператора монодромии имеет вид ае! \\9kiWp) - 5кр\\\°м = 0, (0.13) где 5кр, к, р = -М, 0, - символ Кронекера. Введём обозначения Вт(з) = Вт{ш + в), т = —М, N — 1, в е [-г, 0]. Тогда

N N дк(УУ-м) = 9к(1п) + ^ 9к(Вт) ^ ^М^п), к = ~М, 0,

ТП=1 ]=тп

N N

9к(№р) = дк(Вр) + 9к(Вт) Е ^ЫЪ), V = -М + 1,0, к = -М,0. т=1

В случае линейно зависимой системы матричных функций {У^кУ1=-м вы~ бирается максимальная линейно независимая подсистема {ИМ' <

4. Тогда функции Ик = —М + 1,0 можно записать в виде = о

X) ^'т(0)С'кт, к = —М, 0, где (т = —М', 0,) - некоторые постоянные. Вводятся обозначения о Е 771 = к=-М и характеристическое уравнение записывается в виде

ЫЮ - ^тЛ||°м, = 0, М т где 5кр, к, р = —М', 0, - символ Кронекера.

В четвёртом параграфе рассмотрен частный случай системы с дискретной мерой Стилтьеса, когда функции ак определяются формулами ак(в) = -1 (й — к = — М + 1, N — 1, где 1(-) - функция Хевисайда, непрерывная справа. Тогда уравнение (0.11) на отрезке [0,о;] примет вид /.ч N-1 Е (0.14) к=—М+1

Общее решение уравнения (0.14) запишется в виде о р=-М+1 где

ЛГ-1 лг-1 т=1

ЛГ-1 N-1

Ro(t) = (£<,(*) + In) + Y, Bmit) Smk{B0{tk) + In). m= 1 fc=m

В этом случае также построены оператор монодромии и характеристическое уравнение.

Пятый параграф посвящён обобщению полученных ранее результатов на системы, которые описываются дифференциальными уравнениями следующего вида

- = A(t)x(t) + (Fx)(t), (0.15) где А - ¿¿-периодическая матричная функция размерности пхп, интегрируемая по Лебегу на отрезке [0,о;], ^-о;-периодический конечномерный вольтер-ров оператор с ограниченным последействием, описанный в параграфе 3.1.

Исследование решений системы дифференциальных уравнений (0.15) сводится к исследованию решений системы (0.11). Также рассмотрен дискретный случай системы (0.15).

В шестом параграфе на примере системы, состоящей из амплитудно - импульсного элемента и непрерывной части, описываемой дифференциальным уравнением, описано приложение полученных результатов к исследованию импульсных систем.

Седьмой параграф посвящён исследованию динамических процессов в одной модели линейного фрезерования, описываемой дифференциальным уравнением с кусочно-постоянным аргументом

S (t) + ^х (t) + ^х (t) = ^-V (t) (х «i - 1]) - « (M)), (0.16) где х — отклонение глубины резания от номинального значения в направлении подачи детали; i/, /¿, А — положительные параметры, определяемые конструкцией системы, 0 < £ < 1, А = 27г/п, п — число зубьев фрезы, п > 2; V — периодическая функция, с периодом, равным 1, определяемая формулой V (t) = 1 — ecos (2 Ai + ó) при 0 < t < 1, где ей ó — положительные параметры.

Построены проекции области асимптотической устойчивости на плоскости параметров. Проанализировано влияние различных параметров на устойчивость системы.

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П, Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1991. 280с.

2. Арутюнян Н.Х., Колмановский В.Б. Теория ползучести неоднородных тел. М.: Наука. 1983. 336с.

3. Бабский В.Г., Мышкис А.Д. Математические модели в биологии, связанные с учетом последействия. В кн.: Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир. 1983. С.383-394.

4. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир. 1967. 548с.

5. Борисович Ю.Г., Субботин В.Ф. Оператор сдвига по траекториям эволюционных уравнений и периодические решения// ДАН СССР. 1967. Т. 175. С.9-12.

6. Бурд В.Ш. Анализ одной модели иммунной реакции// Исследование по устойчивости и теории колебаний. Ярославль. 1979. С.63-71.

7. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука. 1976. 288с.

8. Гасилов ГЛ. О характеристическом уравнении системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием// Изв. вузов. Математика. 1972. №4. С.60-66.

9. Гериг А.Х., Михеева H.H. Периодические решения функционально -дифференциальных уравнений, описывающих системы с широтно импульсной модуляцией // Вестник С.-Петербург, ун-та. Сер.1. 2000. №2. С.3-7.

10. Григорьев Е.В., Кащенко С.А. Релаксационные колебания в системе уравнений, описывающих работу твердотельного лазера с нелинейным элементом запаздывающего действия// Дифференц. уравнения. 1991. Т.27, №5. С.752-758.

11. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.:Мир, 1962. 896с.

12. Долгий Ю.Ф. Представление оператора монодромии в виде суммы конечномерного и вольтеррова операторов // Докл. РАН. 1994. Т.334, №8. С.138-141.

13. Долгий Ю.Ф. Устойчивость периодических дифференциально разностных уравнений. Свердловск: УрГУ. 1996. 84с.

14. Долгий Ю.Ф. Характеристическое уравнение в задаче устойчивости периодических систем с последействием // Изв. Урал. гос. ун-та. 1998. №10. (Математика и механика. Вып.1.) С.34-43.

15. Дэй У.А. Термодинамика простых сред с памятью. М.: Мир. 1974. 190с.

16. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский H.A., Михлин С.Г., Раковщик Л.С., Стеценко В.Я. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

17. Завалищин C.T., Сесекин А.Н., Дрозденко С.Е. Динамические системы с импульсной структурой. Свердловск. Сред.-Урал. кн. изд-во. 1993.

18. Завалищин С.Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.:Наука. 1991.

19. Заре B.B. Моделирование автоколебаний металлорежущих станков // Вопросы динамики и прочности. Рига: Зинатне. 1969. Вып.18. С.157-173.

20. Заре В.В. Результаты экспериментального исследования квазидинамических характеристик силы резания по скорости резания // Вопросы динамики и прочности. Рига: Зинатне. 1966. Вып. 12. С.39-57.

21. Зверкин A.M. Дифференциально-разностные уравнения с периодическими коэффициентами. В кн: Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир. 1967. С.498-535.

22. Зорев H.H. Вопросы механики процесса резания металлов. М.: Машгиз. 1956. 368 с.

23. Кащенко С.А. К вопросу об оценке в пространстве параметров области глобальной устойчивости уравнения Хатчиксона// Нелинейные колебания в задачах экологии. Ярославль. 1985. С.58-62.

24. Ким A.B. Ко второму методу Ляпунова для систем с последействием// Дифференц. уравнения . 1985. Т.21, №. С.385-391.

25. Ким A.B. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости систем с последействием. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та. 1992. 144с.

26. Колесов Ю.С. Математические модели экологии// Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль. 1984. С.93-98.

27. Колесов Ю.С., Швитра Д.И. Автоколебания в системах с запаздыванием. Вильнюс: Мокслас. 1979. 147с.

28. Колмановский В.В., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука. 1981. 448с.

29. Красносельский М.А. К вопросу о влиянии малых запаздываний на динамику нелинейных систем// Автоматика и телемеханика. 1979. №1. С.5-8.

30. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз. 1959. 221с.

31. Любич Ю.И., Ткаченко В.А. К теории Флоке для уравнений с запаздывающим аргументом// Дифференц. уравнения. 1969. Т.5, №4. С.648-656.

32. Майоров В.В., Мышкин И.Ю. Математическое моделирование нейронной сети на основе уравнений с запаздыванием// Математическое моделирование. 1990. Т.2, №11. С.64-76.

33. Матвеев B.H. Исследование колебаний резца при обработке металлов в рамках одной математической модели// Исследования по устойчивости и колебаниям. Ярославль. 1979. С.41-62.

34. Митропольский Ю.А., Швец А.Ю. О влиянии запаздывания на устойчивость маятника с вибрирующей точкой подвеса// Аналитические методы исследования нелинейных колебаний. Киев. 1980. С.115-120.

35. Мышкис А.Д., Шиманов С.Н., Эльсгольц Л.Э. Колебания и устойчивость систем с запаздыванием// Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. T.2. Киев. 1963. С.241-267.

36. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.:Мир, 1979. 588с.

37. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука. 1969. 287с.

38. Рябов Ю.А. Применение метода малого параметра Ляпунова Пуанкаре в теории систем с запаздыванием// Инженерный журнал АН СССР. 1961. Т.1, вып.2. С.3-21.

39. Свирежев Ю.М., Пасеков В.П. Основы математической генетики. М.: Наука. 1982. 512с.

40. Симонов П.М. О некоторых динамических моделях макроэкономики // Экономическая кибернетика: математические и инструментальные методы анализа, прогнозирования и управления. Пермь: Перм. ун-т. 2002. С.213-231.

41. Симонов П.М. О некоторых динамических моделях микроэкономики// Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. 2002. С.109-114. Т.21, №3. С.53-74.

42. Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применении к некоторым задачам математической физики // Бюл. МГУ. Сек. А. 1938. Т.1, №8. С.1-25.

43. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир. 1975. 592с.

44. Федотов Н.Б. О жестком режиме возбуждения автоколебаний в длинной линии с туннельным диодом// Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль. 1978. С.81-88.

45. Халанай Д., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир. 1971. 310с.

46. Хейл Дж. Теория функционально дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

47. Хижняк В.Н. О стесненной регенерации автоколебаний резца // Вопросы динамики и прочности. Рига. Зинатне. 1969. Вып. 18. С. 175-180.

48. Цыпкин Я.З. Теория импульсных систем. М.: Физматгиз, 1958.

49. Швец А.Ю. Влияние переменного запаздывания на устойчивость колебаний маятника с вибрирующим подвесом// Укр. мат. журнал. 1985. Т.37, N.1. С.127-129.

50. Швитра Д.И. Роль запаздывания в математических моделях физиологических систем организма// Литов. мат. сборник. 1987. Т.28, N.3. С.573-592.

51. Шильман C.B. Метод производящих функций в теории динамических систем. М.: Наука. 1973. 336с.

52. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием времени// Прикл. мат. и мех. 1963. Т.27, вып.З. С.450-458.

53. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с последействием.//Дифференциальные уравнения. 1965. Tl, JVfil. С.102-116.

54. Шиманов С.Н. Некоторые вопросы теории колебаний систем с запаздыванием. В кн: Пятая Летняя математическая школа. Киев: Ин-т математики АН УССР. 1968. С.473-549.

55. Шиманов С.Н. Об устойчивости квазигармонических систем с запаздыванием// Прикл. мат. и мех. 1961. Т.25, вып.6. С.992-1002.

56. Шиманов С.Н. Устойчивость линейных систем с периодическими коэффициентами и запаздыванием. Свердловск: Изд-во Уральского университета. 1983. 64с.

57. Эльясберг М.Е. Основы теории автоколебаний при резании металлов // Станки и инструменты. 1962. №10. С.3-8.

58. Grace S.R., Rulenovich M. R. S., El-Metwally H. On the stability of solutions of certain systems of differential equations with piecewise constant argument // Czehosl. Math. J. 2002. V.52, № 3. P. 449-461.

59. Cooke K.L., Turi J., Turner G. Stabilization of hybrid systems in the presence of feedback delays // USA Institute for Mathematics and Its Applications/ Preprint Series №906. 1991. 15p.

60. Cooke K.L., Wiener J. Retarded differential equations with piecewise constant delays // J. Math. Anal. Appl. 1984. V.93. P.265-297.

61. Hahn W. On difference differential equations with periodic coefficients// J. Math. Anal, and Appl. 1961. №3. P.70-101.

62. Hohn R.E., Long G.W., Sridhar R. A general formulation of the milling process equation. Contribution to machine tool chatter research. 5// J. Engineering Industry Trans. ASME. Ser.B. 1968. V.90, №2. P.102-110.

63. Hohn R.E., Long G.W., Sridhar R. A stability algorithm for the general milling process. Contribution to machine tool chatter research.7// J. Engineering Industry Trans. ASME. Ser.B. 1968. V.90, №2. P.116-120.

64. Hohn R.E., Long G.W. Sridhar R. A stability algorithm for a special case of the milling process. Contribution to machine tool chatter research.6// J. Engineering Industry Trans ASME. Ser.B. 1968. V.90, №. P.lll-116.

65. Liu P., Golpalsamy K. Global stability and chaos in a population model with piecewise constant arguments // Appl. Math, and Comput. 1999. V.101, №1. P. 63-88.

66. Meng Qiong, Zhao Aimin, Yan Jurag. Nonautonomous differential systems of alternately retarded and advanced type // Indian J. ???? and Appl. Math. 2001. V.32, №2. P. 289-298.

67. Stepan G. Stability investigation of retarded differential equations // Acta Technica Academial Scientarium Hungarical. 1980. V.90, №-1-2. P. 109-132.

68. Stokes B.A. A Floquet theory for functional differential equations// Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1962. V.48, №8. P. 1330-1334.

69. Wang J.Y. Oscillatory properties of neutral functional differential equations with piecewise constant arguments // Math. Theor. and Appl. 2001. V.21, №1. P. 57-61.

70. Wiener J., Lakshmikantham V. A Lamped oscillator with piecewise constant time delay // Nonlinear Stud. 2000. V.7, №1, P. 78-84.

71. Yuan Rong. On a class of singularly perturbed differential equations with piecewise constant argument // Sci. China. Ser.A. 2002. V.45, №4. P. 484-502.

72. Долгий Ю.Ф., Тарасян B.C. Конечномерные операторы монодромии для периодических систем дифференциальных уравнений с последействием // Изв. Урал. гос. ун-та. 2000. №18.(Математика и механика. Вып. 3) С.67-83.

73. Долгий Ю.Ф., Тарасян B.C. Об одном классе периодических систем с последействием с конечномерными операторами монодромии // Тез. Докл. третьей международной конференции "Дифференциальные уравнения и их применения". Санкт-Петербург. 2000. с. 138-139.

74. Долгий Ю.Ф., Тарасян B.C. Связь непрерывных и дискретных полугрупп для уравнений с последействием //Урал. гос. ун-т. Екатеринбург. 2000. 28с. Деп. 06.05.00. M315-BOO.

75. Долгий Ю.Ф., Тарасян B.C. Условия конечномерности оператора монодромии для периодических систем с последействием //Диференщальш piB-няния i нелшшш коливания. Тези М1жнародны конференцш як супутня Украшського математичного конгресу. Кшв. 2001. С.50.

76. Долгий Ю.Ф., Тарасян B.C. Условия конечномерности оператора монодромии для периодических систем с последействием // Изв. вузов. Математика. 2003. №4. С.27-39.

77. Долгий Ю.Ф., Тарасян B.C. Устойчивость периодических функционально дифференциальных уравнений с дискретными мерами Стилтьеса // Тез. Докл. международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения". Челябинск,1999, С.43.

78. Тарасян B.C. Конечномерные операторы монодромии для систем с последействием с дискретными мерами Стилтьеса // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 31-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2000, С.62-63.

79. Тарасян B.C. Об одном классе периодических систем с последействием // Современные методы в теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XIII". Воронеж, 2002. С.145.

80. Тарасян B.C. Периодические системы дифференциальных уравнений с конечномерными операторами // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2002, №4. С.67-91.

81. Тарасян B.C. Связь непрерывных и дискретных полугрупп для систем дифференциальных уравнений с запаздыванием // Тезисы докладов 30-й Региональной молодёжной конференции, Екатеринбург, 1999, С.46-47.