Методы анализа устойчивости систем автоматического регулирования с последействием тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ К 'л'ЕШЧЕСГ.ОП

ПОЛИТИКИ ГСССИЛСКОЙ ■ФЕДЕРАШ'И САНКТ-ПЕ'^РБУРГШЙ ГОСУДАРСТВЕННЫ.*! ^ЖВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517¿91?

Еабко Алексей Петрович

МЕТОДЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИГОВАНИЯ С ПОСЛЕДЕЙСТБКШ

01.01.11 - снстеьшый анализ я вагсмаглческое управление

Автореферат

диссертации на соксканяз ученой степени доктора физико-иатеиатическйх наук

Санкт-Петербург - 1951

У

/

чтаго гаеуд.'.рсГ'П'.-гнлого

о;

консультант:

ч ' .и; С'^ОР, доктор 1;здиио-гагаитжгосхю: наук,

профессор В.л.З/б-лч

- доктс-р .¡¿у;;, с с с эр

.-г ".о г л", с . - Н:;.::;: с.р--.де;.>:;: гс-гуг^рстго.тий

Ззз^ состоится £2 ию/С* 1Э&.П-

v. .часов ::а аасспеи^адизипоЕлИшого созс-та

Д-С.о3.5".33 "о з;.-;:;;тс д:;соор . на со::с:;а-:;:е стопок:!

доктора наук пр;: Санкт-Потероургскок

государственном унатс-лпугето по адресу: Сыт-Петербург, Ва-сильовски:; остров, 10 линия, до:.; 33, ауд,

С дисссртаиитЛ полно ознакомиться в фундаментальной библиотеке СГ16ГУ ум. А.М.Горького -/Санкт-Петербург, -Университетская наб., д.7/9 /.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного соьета

Д.А.Овсйннико

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

'"'-•-Лк?7Плы-;ос2.ь_те!.к. При исследовании ns; зходккх процессоь в системах автоматического управления и синтезе ст-1билиэируга-сих управлений воз^икгют задачи построения решений системы и определениь условий, обеспечивающих расположение всех корней характеристического полинока в заданной области комплексного переменного. Если система автоматического управления, описывается дифференциально-разкостньч.® уравнениям*, то st/есто полинома возникает квазиполином.

Классические результаты A.M. Ляпунова, И.А.Лаппо-Данилевского создали основу теории построения реле-кий, программных и ста&илизпруветх управлений для систем объ'н-новенкь*х дифференциальных уравнений. Дальнейшее развитие для систем дифференциально-разностных уравнений эти вопросы получили в работах R. Ьо€£м&п , В.И.Зубова, К.Н.Красовского. Были значительно продвинуты проблемы построения решений в интегральном виде и" в виде функциональных рядов, применение :.:е-года Ляпунова для исследования устойчивое».•. программного дви-кения. В ото ;ке время появляются работы Б.С.РаЭумихина по ис-зльзованио сгункций для исследования устойчивости диффг ;е;Гци-2льно-разностнмх систем, и работы й.М.Репина о конструкции сг дратичного функционала Ляпунова. В работах Ф.М.Кирилловой, Габасоза и др. для некоторых классов систем диф$еренцп^.ль-ю-раэкостннх уравнений были реиены до конца задачи полной и 'тносительной управляемости

Другой метод исследования устойчивости линейных систем снован на фундаментальных результатах С- Ис'uru.ig, , E.do.tctk, , \MiVlWoiZ , 7 Skuz , И. f U.ji\,\ja.rCL , которьч дают полнее егзенио задачи распределения корней полинома на комплексной лоскости. Осноьиполагагаие работы Н.Г.,т"ботарева, Л.^.Понтря-ика привели к оффективнь-м лгоритмам анализа {.асполокения на омплексной плоскости корней квазиполиномов. Эти исследования элучили ^эвитпе в работах Н.К.Мзймана, А.А. Андропова и др. альнейшее развитие теерки связано с наличием в ¡датематичес-IX моделях систем автоматического упрг->ления пэрг\:етров, точ )и значение которых неизвестно. Учат таких параметров приветит

I. необходимости анализировать расположение корней целого семейства киазиполингыса, отсечасгшх всем допустимы', значениям параметров. Б случае небольпого числа параметров реактивными метода?.«; рэхе.чкя &то? задачи являются идейно близкие методу ¿-аазбиекиб :3.К.Нежарка и ампдитудно-фазогкй метод Н.З.Ць'ПКИ-на. С ростом числа парг^етро^ ¡эффективность откх методов падает, и на г:ерг:ь::( план выступают другие подходы, основанное ::а сабстах В.Л.Харитонова, Н. Ри. , А- ОИ'се{ М. Робе9 , /5 Мси-.Ш-г.

В диссертации раэвкваотся методк анализа и построения ре;яекий управляемых и неуправляемых систем диффйронциально--зазпостнг'Х уравнений, а такко подход к проблеме распределения к&снс:? семо:/с;в кьазпгюлиномоп я случае, когда в качестве параметров взять; коэф£иц;;енть' квазиполинома. Такая постановка задачи мотивируется появление],! систем автоматического управления, соцерчг.дкх болюсе число пг.р-;мстров, значения которых кз-востни только в оценочном плане, и слоуэи зависимостью коэффициентов характеристического квазиполинома от этих параметров.

Сб ъе к с следования и пель_работы. Кандому квазиполиному степей: № с ведествеик.- и коэффициентами

¡-(г) = 11 -¿'е (атп *о)} о

■ ■■ < к*

отвечает точка в -мерном "гаостранстве коэффициентов.

Обозначим через /У множество точек пространства коэффициентов, отве':азаих квазиполиномам (I), все корни которых имеют от-ру.дательнь'е весественные части.

Пусть в пространстве коэффициентов задано компактное множество $ . Каждая точка о определяет квазиполином вида (I), само множество В задает семейство таких квази-

полиномов. Требуется найти условия, при выполнении которых

3 с Н •

Рассмотрим систему дифференциально-разностных уравнений порядка П,

т -г!

Существует един ^венное решение этой система 1

^.(Ьо*-), И(1*')) при £ ^ t^> , определяете начальной условия!,м и управлением иС^") . Требуемся найти условия полной управляемости системы (2) я построить векторную функцию { , которая доставляет

равенство %(1)-0 при Ь и некотором Т ''¿о

Б задаче стабилизации системы (21 требуется определить матрицы , £/' таким образом, .гобы характерис-

тический квазиполином системы (2) и системы

имел все корни с отрицательными вещественными частями. Для системы разностных уравнений порядка

С4)

г" * г*

определяется единственным образом при 6 £о решение началь- ■

задачи (¿(¿*0) . Требуется найти ус-

ловия полно": управляемости системы (4), а такке построить ;та- ■ билизируюц^ управление (3).

. Оборе метов,ы__иссле50ваимя. Решение указанных задач опирается на классические исследования С.Н&ЪмСбе. , К.Г.Чеботарева, Л.С.Понтрягина и др. о ра^.пределг *ии корней квазиполинома на комплексной плоскости, и на фундаментальные результаты к• К&1бп&К. Е.И.Зубова, Н.Н.Красовского в теории управ.-'лемых систем.

Ручная новизна. Однс из первых работ по определению того, что $С-Н * была работа В.Л.Харитонова. В ней рассмотрен случай, к о.'да £ является прямим параллелепипедом, и для этого семейства полиномов полечен сильный результат. Показано, что $ С И тогда и только тогда, когда че чре периш • параллеле-

гмпед_ принадлежат И . Существенный результат был -получен в работе-. , который нашел точную оценку фазовой ско-

рости на классе устойчивых полиномов. Для квазиполиномов .в случае, когда £ - выпуклый многогранник, А, А. % Н- Ро&Я доказали теорему о том, что тогда и только тогда, когда все ребра'многогранника £ содержатся в Н . Дл' дифференциально -разностных систем (2) Н.Н.Красовский, один из первых, получил условия полной управляемости и построил программные и стабилизируете управления в случь_ систем малого порядка. Затем в работах Р. Г'абасова, Ф.М.Кирилловой буля изучены различные классы управляемых систем и получены алгебраические условия управляемости.

Ь диссертации получена точная оценка фазовой скорости на классе квазиполиномов нейтрального к запаздывающего типов. Получену новые критерии принадлежности области устойчивости многогранников сбсего вида. Дан ряд достаточных условий. Разработан метод разностных преобразований, позволивший реаить проблему сведения для систем разностных и дифЬеренциально-разпост-нкх уравнений запаздываюагго типа. На основе метода разностных преобразований предложен новмй подход к решению задач управления, .нчблишения и стабилизации дифференциально-разностных систем. Получено новое представление фундаментальной матрицы системы дифференциально-разностных уравнений.

Прагт1{исскя.я_це.нность. Полученные в диссертации результаты позволяв? на начальной стадии проектирования система автоматического управления обосновать ее параметры, учесть их разброс, провести оценку точности расчета о"их параметров при реиении задачи устойчивости к стабилизации. Это сокращает время разработки система и повышает ее надежность.

Апробация «аооте^. Результаты диссертации были представлены на УП Всесоюзной конференции го управлении в механических системах (Свердловск, ^900), на I семинаре по моделированию и исследованию устойчивости физических процессов (Киев, 1990), на I Всесоюзной конференции по математическому моделирование} в машиностроении (Самара, 1990), на республиканской конференции, по современным методам качественной теории дифференциальных

б

ург^нений (Боронен, 1990), на П Международном коллоквиуме по дифференциальным уравнениям (НРБ, Пловдив, 1591), на Международном Соч1К>С , (Швейцария, Аскона, 1992).

Публикации^ Основное содержание диссертации опубликовано в семи работах.

Структура и объем даботы^ Диссертация изложена на 2йО страницах мапиногшсного-текста и состоит иг введения, трех глав, заключения,.приложения и списка литературы, включающего 66 наименований. Каждая глава состоит из пяти параграфов.

СОДЕРЖАНИЕ Д1ССЕРТАЩИ .

Во введении обосновывается постановка задачи, дается краткий обзор исследований по'указанной тематике, излагаются основные результат« диссертации.

Б первой главе, состояаей из пяти параграфов (§§1-5), разрабатывается операторный метод построения фундаментальной матрицы системы дифференциально-разностных уравнений. .

В §1 даны определения и сформулировали теоремы, которые являются основой для дальНейкмх исследований.

Определение 9я. Назовем оператором сдвига, соот-

ветствующим функции , и будем понимать под этим следу»-

-А. -А.

Считаем, что 1^(6) - непрерывная при 6*0 функция, а при & 6 О} -функция йгранй" энной вариант.'Тогда образом функции <Р(I) является определенная » непрерывная при 6 к. функция (¿>(4) .

Затем на ¡. ожестве операторов сдвига '

—¡ь.

К ' ' ---1—1-

Нумерация определений и теорем соответствует пх нумерации в писсертации.

вводятся операции + и • и проверяется, что мнокество Л является коммутативным кольцом с единицей. Эти операции распространяются со скалярного, на матричный олучрй.

Во втором пграграфе рассматривается система разностных ¿равнеий - • '

'к,

и алгоритм отыскания фундаментальной матрица К (О . Фундаментальная матрица является решением системы

Обозначим через @у(Р) (¿-¿Л, ~ коэффициенты тли-

кома

(5)

Те2Рема 2. Пусть функция а & при 6 < О , а

при Ь 9 О удовлетворяет уравнению

Тогда при I > справедливо райенство

(6)

* ♦ 4 * *

№

Обсувдены 'другие возможные алгоритмы построения функций В §3 выведено представление фундаментальной матрицы диф-

ференциально-разностной системы. Рассмотрим систе»я/

о

ха)--А(р)>хЮ , А(р)4гр&с1Щ. (7)

Фундаментальной матрицей является непрерывное при Ь О матричное решение системы уравнений с начальные условиями Щ)-Ол 1<О; К (о) = £ . Как и ранее ^(р) обозначают коэффициент« полинома (5).

Теорема 2. Пусть — раз непрерывно-дифферен-

цируемое при Ь ? О решение уравнения

с начальник условиями

y(t)= = • • • = ,

¥с"-%)--03 i<0(¡^(о) = i.

Тогда матрица K(i) представляется равенством (6), где функции ft-О определяется при 6 ?-<*=> ' эрез

функцию ) и ее производные равенствами

({ afo ... 1у(>-<)\

l - ■ ■ аЩо\ yw

f<

о

Ю.

Затем рассматривается система дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа

к(рУН)~~£(р>х!*) ]■ ~ > ЦРУ-/Лш

¿~-' -к

Фундаментальной матрицей называется кусочно непрерывно дифференцируемое при с , матричное решение сис.^мы уравнений с начальны!;';? условиями К[£) - О * Ь< О ; К(0)~ £ , которое при 6 >0 доставляет непрерывность матрице

Пусть ^(р) - присоединенная к А(р) матрица>[(р)-ха'г1(А(р))' " (¿¿(р) - ко^фицкенты полинома

с!и(Х В - &(р)Аф ■ ■ • V ¿?Л (р)..

^емма I» ¡'.мечт место равенства

^сорам^ 4. Пусть _ (¿/(¿) - '(#-/) раз кусочно непрерывно д/.ффиреицируемсе при Ь О решение уравнения

■¡(р)о * олру/^ф - •

с начальными условиям

которое доставляет при 6 5 О■ непрерывность функции

Тогда при ¿>—сО кьиот место равенство

где функции -'-рП-1) связаны с функцией

равенствами

Xщ

¡?о | // о,(р) ,.. аир) <<?< I.. [О I ... а^(р)

с о

/ (р)-г'ю уЩ

Доказаны утверждения, позволяйте■ сократить количество слагаемых в представлении (8) в случае, когда известен аннулиру вшш матрицу В А полином Менысей степени, чем /2 .

Применению , операторного мотода для-построения кк иратич-ного функционала, удовлетворяющего уравнению Ляпунова, посэявен §4. Поставим задачу отыскания функционала ,

который является решением Уравнения

Л

= - х*(£)

(?)

Теорема Функционал Ляпунова моянэ представить в виде

0 0

0 0 0 о -к. 6

В сбою очередь, спрагедлива

Теорема 3. Зункциопальная матрице. определя-

ется равенство!.!

ПЧ П-1

¿'О ¡--о ' V "

-о, ч ^ -/>А

гд сдби™ • ' относится к переменной , а сдвиг £.

относится к переменной

Далее выводится система уравнений для функций. 15

ра ссма триЕается пример.

Ь заключении параграфа обсуждается вопрос о возможности кспсльзуганпя квадратичных фор;.; при исследовании устойчивости сис;е-,:." »'7). Предлагается модификация метода В.С.Резумихина, когсрая позволяет сформулировать необходимые и достаточнее условия экспоненциальной устойчивости..

В последнем параграфе первой главы изучается возможность построения ядра ¡9) для ч-слних классов систем;; (7). Матрица Ы обладает свойствами

Матрица |/ есть селение следующей граничной задачи.

Теорема 2. Матрица ■ ■ляется при ре-

шением системы уравнений

о -г

щ = 111

-г - -а..

удовлетворяющим начгльнам условиям (\ф)=

В случае (\(р)~ 6- ^А{ система уравнений для матрицы У принимает гид

к ее ре;пега° ыо-лно свести к системе алгебраических уравнений. Б конце параграфа выясняется вопрос о существовании этого гонения.

Вторая главя содержит пять параграфов (§§6-10) посня-еена задаче поиска .условий, обеспечиваете отрицательность вещественных частей веек корней квазиполиномов X/() . В §6 приводятся необходимые понятия и основные теоремы о расположении корней квазиполиномов.

Рассмотрим квазиполином

г* 2

¡т-

а - полиномы, удовлетворлвлие ус..о-

бию

п. - о!г^(р^(2)) ъ , 11,.. V т-1.

Если корни квазиполинома 4(2) находятся в левой о-»уплоскост! то функция /(с(о) Является определенной и строго .¡онотонно возраставшей пси 0)>-. Пусть Ц(и>)~ С/Л-М(Ц-(С.

Теорема 4. Если ¡г(2) - квазиполином нейтрального типа, ¡меюккй корни только п левой г^луплосости комплексной ллос-:ости, и р}С2) Рг>,(2) О , то для всех веаестненкых С0£0 мест место неравенство ) э случае веЕес"веннь:х коэффициентов

б) в г-.уч^е комплексных коэффициентов

Доказываете.;, что приведенная в теореме 4 оценка фазовой скорости и на классе устойчивых квазиполиномов нейтрального типа, и на класса устойчивых квазиполиномов запаздывагаего типа яв;:.-ется очной и недостижимой.

Рассмотри:.', одь'опараметрнческое семейство к> озиполппомов с иеДес; коэффициента).:!!

■ О

и Оп,.г, V- > О , а . .. < . Обозначим

через ррэпссть ¡(2,1)-¡(2,0) . „ .

Лемма 4. Пусть квазиполиномы 1(2,0)^ и 1(2,1) устойчивы. Если при всех СО >О таких, что ^(Си>)О , выпол-

няется неравенство Р

'с/со ^ Яь>

то Бее квазиполинома , устойчивы.

Предположим, что £ представляет из себя выпуклый многогранник в пространстве коэффициентов

Л/Л-

Пусть Е. множество ребер этого многогранника. Известна теорема, что £ С- Н тогда й только тогда, когда £ С Н . Лемма 4 позволяет уменьшить проверяемое множество £

Теорема 6. Бее квазиполиномы семейства с ве-

щественными коэффициентами устойчивы тогда и только тогда, когда устойчивы квазиполиномы ¡ок(2)-^(2) , ^, отвечающие вершинам многогранника £ , и те однопараметри-

ческие семейства , отвечг.ыже ребрам множества

Е , дл° которых нарушаете;- условие лег.гмы 4.

Ггнзэдятся примори квазиполиномов, удовлетворяет« услс виям лем'« 4, и рассматривается случаи помплексиух коэффициентов.

Теорема 9. При всех велестпенимх СО для устойчивых квазиполиномов с комплексными коиф!:нцно\ттми справедливо равен-

¡Л ^

¡еф 1 ) 2 '

3 $7 особое внимание уделено постр• згаю семейств квазиполиномов, коеффиниенть; которых сорапугз? выпуклый многогранник в пространстве кг->ффиционтов, а устойчивость их следует ис устойчивости квазиполиномов, ссотвотствуйцих зери:нам этого мне-" гогранни. а.

Рассмотрим интервальный квазиполином с Ее^ествснньлгл коэффициентами

и. <*! :

' I

Теорема I. Все квазиполином:.! семейства !] устойчивы тогда и только тогда, когда устойчивы квазиполиномы

отвечающие вершинам (обозначение { ' > ' $ используется для записи множества, состоящего из элементов, заключенных-в скобки) и однопараметрические семейства вида

о т

. Ц *>*(№>

отвечавшие тек ^ , для которых л! > ^ , > •

¿«.мечанг.е Дополнительней анализ показывает, что достаточно ограничиться проверкой устойчивости квазиполиномов

{р?(Ю,р?(г)Жр1Щег' г,

отвечавших вершинам, и соответственно уменьшить количество од-1тпараметр;'|Ческкх семейств квазиполиномов, отвечавших ребрам. Здесь - вспомогательные поли;-: мы следующего вида

¡>%}(г)= а„ + а(;2* а^-г1* а^-г^... .

Далее ь этом параграфе изучены другие семейства квазиполиномов у с вслественш/ми коэффициентам«, образуете в пространств^ коэффициентов выпуклые многогранники, устойчивость которых, при определенных условиях,такке будет следовать из устойчивости вераин ято1 многогранника.

Затем исследуются семейства 0$ и квазипо-

линомов с комплексными коэффициентами, для которых доказаны соответствуете теоремн.

Введем семейство квазиполиномов с комплексными коэффициентами

к I

Теорема В. Квззиполиногм семейства устойчивы, если

т -

устойчивы квазиполиномы семс,;ства ^ г . л/

и выполнены условия

A>l) Г ^ Т.

fr. 1 2 .А/

(J to -2

В §8 изучаются семейства квазиполиномов, у которых неопределенными являзтся сами t ¡пзздупания. Определим семейство кгазиполкномоь

~ , „ м г п ~

L ' S=f S4 '

При фкксировак'алс значения:: rw получаем ccí.'.ei:c:'..?a

квазиполиномов, которые исследовались canee, поэтому к ни:.! применимы полученные результаты.

Рассмотрим теорем-/ сб абсолютной устойчивости семейства

^ 9г

Теорема. 2. Квазиполиномы семейства устоГ.чкгы при лз-

бых T¡<Ztn У) тогда и только тогда, когд^ вы-

полняются условия гг> ~ -J

1. Квазиполиномы ссы-зйстей Р '^Р5- уето."чкгь':

2. Для проверяемых квазиполиномов при зсех вещественных Со

споавед.:ипо неравенство v

У" 1

Е заключении параграфа изучается ссыейстгэ с oru;v.:; ¡>чо.-.~ р едел е н í пел з а па здыв а ни ем

w J . r» 1 ' ' ' '•

и формулируются достаточные условия, заключавшиеся в проверке 16 специально выбранных квазиполиномов, из устойчивости кото_^ . рых будет следовать абсолютная устойчивость всего семейства 7.

В §9 рассматривается задача Д-устойчивости. Пусть <р(и) параметризация границы на комплексной плоскости исследуемой области -Я. " ,. Предположим, что ^г - семейство полиномов, все корни которых расположены в Л- . Поставим задачу: найти

пЫ-а

Для этой задачи в параграфе развивается метод огибающих, позволяющий при построении функции УУ1 идти от полиномов первого порядка в случае комплексных коэффициентов, и полиномов первого к; л второго порядка в случае вещественных ^коэффициентов. - Предположим, что для полинома 2 ~ 2 построена оценка ГП^С^ и) , определенная то Ц на множестве , За-

дадимся некоторым г построим два множества

Шф I = ,

= ! и--£ и^ , ¿МгЦ, и>), ц 6

Определим нижнао огибаоцую второго множества

" т(и,ь>)- Ц.

Теорема I. Пусть

-й. - некоторое множество из С, а Г~ {-2 I , } - некоторая кривая на

С без самопересечений.

Для-любого полинома Н. -ой степени £(2) с комплексными коэффициенты^, все корни которого распо;. .-сны в -О. , и для тех и> , для которых функция (дифференцируема, справедлива оценка фазовой скорости

> „ (ац^))), со).

Доказано аналогичное утверждение и для случая полинома с вещественными коэффициента;.«!.

В »10 изложенный вьае метод применяется для оценки- фазовой скорости полиномов, если

л-{г | Ш<0,

а Г

ость .мчнмал ось. ¿огда для поли..омов с ксмлдекСяллт коэффициентами, старшим положительным коэффициентом и корнями в -л1- верна

Теорема йуккцгл

¿(г)е

определена на множество

Щ ' I и & . и

[и

равенством ,

[ (и + \ ^ X ¿и

Оценка №{'(■, ¿¿) найдена также и для случал лолиио.мсз с вещественными коэффициентами.

Третья глава состоит из пяти параграфов ¿11-15) и по^-зяцена разработке метод! разяссттгс ггееСразозччнй и <--:-■• тени» для решения задач теории управления. В Л1 исследуется зопрос обратимости разностной замени относительно пространств

решенийдифференциально-разностных систем уравнений.

Пусть ]/1 и Мх линейные подпространства вектор-функциЧ, заданных при . / ? О

Определение 3. Будем говорить, что отображение

$(р)--1ёрк%+кр0{Г(э)о1д (Ю) _ Г0 <

обратимо относительно ]/\ , если существует Н о- такое, что из условия д{р)° Ш) ъ 0 при ЬъО следует.

и(6) £ О при С ¿К, " Далее в этом параграфе изучаются замены переменных с матрицей 2 , удовлетворясаей токдестсу

А(р)Я{р)*£(р)Р(р)}

и.вопроо об эквивалентности систем разностных уравнений

х(0=А(рШ)> Р(р)*. (п)..

или дифференциально-разностных систем

хаУ-А(р>х(1). ¿¡Ю--Р(р>у(1). (12)

Теорема 2. Для любого реаения системы (II) сг-

поствует решение У^ системы (И), если при всех комплексных р справедливо условие,

чапу (£-А(р), &(р)) = П ,

и преобразование (10) невыроищеьо.

Те^реиа 4. Преобразование (10) невырождено и обратимо относительно систем (12) тогда и только тогда, когда

при всех комплексных р .

Доказательства проводятся для случае соизмеримых сосредоточенных запаздываний. Доказываете», что есхи преобразование (10) невырождено и необратимо, то следует.в мчестве преобразованной системы уравнений рассматривать скстеиаг

$(<:--'

где некоторое реэение система

Приводится алгоритм проверки условия (13), и алгорятапсстрое-ния пространства функций в случае наругення условия

(13).

Замечание 2. Алгоритм проверки условия (13) для случая соизмеримых запаздываний может быть представлен з хонечнси ви-

1). Каем 1.орни А^-. уравнения

которое в рассматриваемом случав являете? голкксызи относительно Л = . _

2). При ¿' = 4 Л • • ^ и сем стриг /V/'" > ^ уравнения

3). Выделяем те пары (РЦ, * которых имеет место равенство

4). Для выделенных пар проверяем условие

рс/Е - Р(руЛ и

Если это условие нарушается хотя бы для одной пары, тс преобразование (10) необратимо для систем (12).

Б 512 разрешается вопрос о сведений системы разностных

утзабйенкй при помочи разностной зашны" переданных.' Считаем-,'- 'то запаздывания являптся целыми ' uiicTiaïffi'. ' - ' 'V. -

Пусть е^1'4"-'«¿нулевой /¿'-мерный вектор с полиномиальными относительно Q'f ••» есть коэффициенты характеристического полинома (5) матрицы А

Теорема Если преобразование (10) с матрицей <14) невы-рсвденэ и црн всех комплексных р

то для лпбого релеккя Oi(i) системы (И) существует реаенио ~ уравнения

<7 * aflp)t •. • а«(р))> 2(è)

связанное с равенства!.« i с

I.

■ Разностную систему уравнений всегда можно свести к одному или нескольким уравнениям. Для дифференциально-разностных систем ситуация сьтляднт с ложнее.

Теорема Если преобразование <10) с матрицей (14) вырождено для всех векторов ¿(р) , то систему (12) можно равност-дац преобразованием свести к системе

[^■Лафу^-Л^,

¿ =/Л ; л,; ■г = с • /х ... ■'/

<-5 *у > х-л>-~> }

У

где N ^ £; А/^ (? - некотооке целые числа.

Завершается параграф рассмотрением примеров.

В §13 метод разностных преобразований применяется, для ре-—¡гения задач управляемости и наблюдаемости разности»,тс и диффе-ренциально-разност!шх систем уравнений. Система уравнений

%(£) = А(р)°х$) * В(р)°и(б) (15)

невырожденной заменой разбивается ыа управляемо и неуправляемую части. Тогда условия полной .управляемости есть совокупность условий управляемости ее частей» Утверждения, сформулированные в этом параграфе, доказаны для случая скалярной функции Ы (6) , однако теоремы могут быть распространены на обгай случай, как показано в следующем параграфе на примере задачи стабилизации.

Теорема 3. Пусть (А - скалярная функция и. преобразование (10) с матрицей (14) невырогдено.

Для того, чтобы система (15) была полностью управляемой при любых начальных условиях, необходимо и достаточно, чтобы

ъшу (£-А(р),&(р))=

п.

при зеех комплексных р

Далее поставлена и репена задача нчблицаемости системы '15) по функции « приведены прилеты,

иллюстрирующие различие понятий полкой и относительной угхавля-емостн для разностных систем.

Для дифференппально-разностн'.лс систем

- А(р)°х&) * В(р)°и(1) (:-;)

в параграфе рассмотрены понятия полной и относительной управляемости, доказаны алгебраические и геометрические критерии полной управляемости.

Хе£Р£"ь Задача полной управляемости системы (16) имеет .решение для любих начальных условий тогда и только тогда, когда преобразование (10) с матрицей (14) кевыроадено и обратимо относительно системы (12).

Замечание 5. Условия теоремы 5 равносильны условию:

• при любых комплексных р

В конце параграфа рассматривается задача наблюдаемости

вия наблюдаемости.

Замечание 6. Критерием наблюдаемости является условие

при всех комплексных р

В свою очередь алгоритм замечания 2 §11 мокет быть применен для проверки критериев наблюдаемости и управляемости.

' В §14 метод разностных преобразований применяется для решения ' задачи стабилизации системы разностных и дифференциально- • -разностных уравнений. "Сначала рассматривается случай одного входа- и формулируются условия стабилизируемое™ системы. В общем случае системы (Г5) или (16), на основе прямоугольной матрицы

строится матрица порядка И.* Н разностного преобразования

и^(р£ ~А(р), В(р))^г

системы (16) по функции

Выводятся уело-

£(р)=(Ь(р), А(р)В(р),.,. , Ап'(р)В(р))

.».выводятся достаточные условия стабилизируемостк.

24

Теорема 4. Предположим, что old Sc # О и корни квазиполинома ~сШ. (¿>* * ¿>(р)) находятся в левой полугтлссксс Тогда мт-г.но выбрать коэффициенты С у в^(i° I 2)

управления и матрицы так, что систо-

ма (15) совместно с системой

U(i)-C,(p)°y(i) + Cz(p)cZ(i),

является экспоненциально устойчивой.

Дл; системы до^ференциально-рвоиостт-пг уравнений (IG) условия стабилизируемое™ предлагается в еледу;'::'.ем вило.

Теорема С. Предпслсзг.;:.:, что &((,£ О и корни квазиполинома + находятся в лепоп полуплоскости. Тогда мокно выбрать коэффициенты е(р)т£С ¿Р/ <£щ , #

_ л гу

управления u(t) и матрицы Рз(р) ц(р) , &х(р) таким

образом, что совместная система (16) и

2(0-Рг^уЮ+Рч^г®*

будет экспоненциально устойчивой.

Последний параграф третьей главы поспякен задаче стабилизации систем уравнений с неопределенными параметрами

где h & Д и является вектором неизвестных погрепнсстеп. Считаем, что А - компакт, а матри;;:-.' А и Ь зависят от О непрерывным образом. Требуется построить управлений -

о

так,-чтобы С ко зависело от о , а управление

доставляло исходной системе экспоненциальную устойчивость при

лобых 6 . 5 нзчале параграфа обсуздается другие подходы к

стабилизации таких систем, к выводится предложение о еозмокнос-

ти стабилизации, если существует постоянный вектор С такой,

/ ! />" 1\

что полином

, (17)

устойчив при любых сЬо . Исследуется возможность выбора такого С

Теорема 3. Если матрица £>1 (с) является невырожденной

^ "" ~~ , О?

при I £- Л и треугольной, то ыокно бь!б£ ть вектор С > доставляющий устойчивость полиному (17).

Пусть для некоторой невырожденной матрицы £>0 выполняемся неравенство Ц ^(Я) ~Е Ц £ £ при с £ Д . Определим полином г

Теорема. 5. Если число £ удовлетворяет условию

-¡/иац,

л-

то существует вектор С , обеспечивавший устойчивость поди' номов (17).

Ь приложении рассматриваемся применение результатов диссертации к исследований устойчивости динамики процесса в экстру Дере - расплаЕИтеде химических волокон.

Основные результаты опубликованы в работах:

1. Нлбко А.П. О представлении решений системы линей, ах дифференциальных уравнений с запаздыванием /УЫатеиа.ическая теория управления техническими объектами Л1од ред. Ю.З.Аксакова.-Ленинград, 1962. - с. 12-16.

2. Яябко Л.П. Рсзностше преобразования систем линейных диффе-