Отслеживание движений стохастических систем с последействием тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

КОТЕЛЬНИКОВ А Анна Николаевна

ОТСЛЕЖИВАНИЕ ДВИЖЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 2005

Работа выполнена в Институте математики и механики УрО РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор А.Ф.Клейменов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Э.Г.Альбрехт

доктор физико-математических наук

А.В.Ким

Ведущая организация:

Московский государственный университет им. М.В .Ломоносова

Защита состоится « Г » 2005 г. в мин. на

заседании диссертационного совета Д 004.006.01 Института математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, г.Екатеринбург, ГСП-384, ул.С.Ковалевской, 16. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан « » сМГЛ^ил-2005

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, с.н.с. —-- А.А.Успенский

looG-A ,

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Предыстория и актуальность темы. Во многих моделях реальных эволюционных систем их будущие состояния определяются не только текущим состоянием, но также и историей процесса. К тому же реальные процессы часто оказываются вероятностными. Это характерно для моделей, имеющих приложения в физике, технике, биологии, медицине, экономике, автоматическом регулировании. Для систем, стохастических и с последействием, важна проблема устойчивости. Влияние прошлого и стохастические обстоятельства часто способствуют разбалансировке эволюции.

Первые примеры дифференциальных уравнений с последействием были уже у Бернулли, Эйлера, Лапласа. Новым шагом явились работы Вольтерра по исследованию модели «хищник и жертва»1 и по вязкоупругости. Надлежит также указать работу Минорского по стабилизации курса корабля2. Однако, исследование дифференциальных уравнений с последействием как раздела математики и ее специфического аппарата относится к началу 50-х годов. В книге Дж.Хейла3, где трактуется теория дифференциальных уравнений с последействием, построенная ко времени первого издания этой монографии (1971г.), автор выделяет исходные работы4,5'6'7'8'9'i0. Теория вероятностных процессов и в том числе -стохастических дифференциальных уравнений, развитая на базе классических исследований Ферма, Паскаля, Лапласа, Гаусса, Чебышева, Ляпунова, Маркова в работах А.Н.Колмогорова, Дж.Дуба, В.Феллера, Н.Винера, К.Ито, Е.Б.Дынкина, И.В.Гирсанова, И.И.Гихмана, А.М.Ильина, О.А.Олейник, A.B.Скорохода, А.Н.Ширяева, Р.Ш.Липцера, определила возможность построения стохастической теории устойчивости и управления. Одна из ветвей такой теории, определившая в значительной степени направление диссертации, связана с методом функций Ляпунова. В книге Г.Дж.Кушнера11 выделяются исходные работы12'13'14'15'16. В связи с тематикой

' Volterra V. Sur За theorie mathématique des phenomenes héréditaires. J. Math, Pures Appl. 7(1928), 249-198.

2 Minorsky N. Self-excited oscillations in dynamical systems possessing retarded actions. J. Appl. Mech. 9(1942), 65-71.

3 Дж.Хейл Теория функционально-дифференциальных уравнений: Пер. с англ. - М, : Мир, 1984. - 421с.

4 Мышкис А.Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. - УМН 4 (1949), вып.5, 99-141.

Bellman, R. and J.M.Danskin A survey of the mathematical theory of time lag, retarded control, and hereditary processes. The Rand Corporation, R-256,1954. Bellman, R. and K.Cooke Differential Difference Equations, Academic Press, 1963.

7 Разумихин Б.С. Об устойчивости систем с запаздыванием. - ПММ, 20 (1956), 500-512.

8 Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения -М.: Физматгиз, 1959.

9 Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с последействием. - Диффёренц. уравнения 1(1), 1965, 102-116.

Yoshizawa Т. Stability theory by Liapimov's Second Method. Math.Soc. Japan, 1966.

11 Harold J. Kushner Stochastic Stability and Control. New York-London, Academic Press, 1967.

12 Bertram J.E., Sarachik P.E. On the Stability of Systems with Random Parameters, Trans. IRE-PGCT, 5(1959).

13 Кац И.Я., Красовский Н.Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами, ПММ, 24 (1960), вып.5.

14 Bucy R.S. Stability and Positive Supermartmgales, J. Differential Eq., 1 (1965), №2, 151-155.

13 Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. - Москва, Главная редакция физико-матема ичвйрй J

yt tems, Prat

' Kushner H.J. On the Stability of Stochastic Dynamical Syi temsTi |1щЖщ'Г T'8"12"

3 C.ffei«pfypr/W {

9» тршф.р ;

диссертации надлежит выделить работу17, где исследуются системы, в которых объединяются наследственные и случайные свойства.

Исследования в диссертации существенно определены работами, выполненными в Свердловске - Екатеринбурге. Фундамент был заложен Е.А.Барбашиным и И.Г.Малкиным. Методы конструирования алгоритмов в

/- 9 18 19 20,21 22,23,24

диссертации во многом восходят к работам " ' ' .

Существенный вклад в теорию дифференциальных уравнений с приложением к проблемам устойчивости и управления, в том числе - для систем с последействием и стохастических, внесли многие исследователи: Н.В.Азбелев, Э.Г.Альбрехт, А.А.Андронов, А.В.Арутюнов, В.Н.Афанасьев, С.Н.Бернштейн, В.Г.Болтянский, Ю.Г.Борисович, С.А.Брыкалов, А.А.Витт, Р.Габасов, Р.В.Гамкрелидзе, И.И.Гихман, Ю.Ф.Долгий, Е.Б.Дынкин, Н.П.Еругин, А.М.Зверкин, А.М.Ильин, Г.А.Каменский, И.Я.Кац, Квон О Бок, А В.Ким, Ф.М.Кириллова, А.Ф.Клейменов, В .Б .Колмановский, А.Н.Колмогоров, Н.Н.Красовский, А.В.Кряжимский, А.Б.Куржанский, А.А.Леваков, Р.Ш.Липцер, Н.Ю.Лукоянов, В.И.Максимов, В.П.Максимов, М.Д.Марданов, А.А.Мартынюк, Г.И.Марчук, Г.Н.Мильштейн, Е.Ф.Мищенко, А.Д.Мышкис, М.Б.Невельсон, С.Б.Норкин, В.Р.Носов, Ю.С.Осипов, П.ВЛакшин, Н.АЛакшина, В.СЛацко, Л.АЛТетросян, В.Г.Пименов, Л.СЛонтрягин, В.П.Прокопьев, Н.Е.Ратанов, Ю.М.Репин, Т.Н.Решетова, Н.Х.Розов, Л.Б.Ряшко, A.B.Скороход, АЛ.Скубачевский, Р.Л.Стратонович,

A.И.Субботин, Н.Н.Субботина, Т.А.Тадумадзе, Г.А.Тимофеева,

B.Е.Третьяков, ВЛ.Ушаков, Г.Л.Харатишвили, В.Л.Харитонов, Р.З.Хасьминский, А.Г.Ченцов, Ф.Л.Черноусько, Чой Ен Сан, С.Н.Шиманов, А.Н.Ширяев, Л.Э.Эльсгольц, L.Arnold, C.H.T.Baker, H.T.Banks, R.H.Battin, T.Basar, R. Bellman, P.Bernhard, R.S.Bucy, J.A.Burns, T.A.Burton, J.Chen, K.L.Cooke, C.Corduneanu, J.M.Danskin, J.Doob, R.D.Driver, W.Fleming, K.Gu, A.Halanay, J.K.Hale, K.Ito, R.E.Kalman, P.V.Kokotovic, H.Kushner, Y.Lakshmikantham, J.H.Laning, Z.Mikolajska, N.Minorsky, C.Olech, H.M.Soner, V.Volterra, D.Williams, N.Wiener, T.Yoshizawa.

В диссертации рассматриваются задачи о стабилизации и лидировании объекта с последействием, детерминированного и стохастического. Управление осуществляется по обратной связи в дискретной по времени схеме на основе искаженного помехами информационного образа.

"Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. - М: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. - 448с.

18 Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. Наука, Москва, 1977.

19 Osipov Yu.S., Kiyazhimskii A.V. Inverse problem of ordinary differential équations. Dynamical solutions. Gordon and Beach, 1995.

20 Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. Наука, Москва, 1981

21 Третьяков В.Е. К теории стохастических дифференциальных игр// Доклады АН СССР, 1983. Т.269. №3. с.1049-1053.

22 Альбрехт Э.Г, Построение приближенных решений некоторых квазилинейных дифференциальных игр // Труды Института математики и механики УрО РАН, 2000. Т.б. №1. с.27-38. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН.

23 Клейменов А.Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры. Наука, Уральское отделение, Екатеринбург, 1993,

24 Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М,: Наука, 1974. 456с.

Управляющие воздействия являются, вообще говоря, стохастическими и определяются вероятностными испытаниями.

Цель работы. Изучение управляемых процессов в комбинированной системе, складывающейся из основного объекта с последействием и его модели - наблюдателя и поводыря. Выяснение влияния того или иного характера управляющих воздействий и помех. Развитие и обоснование аналитических и вычислительных методов решения.

Методы исследования опираются на теорию дифференциальных уравнений - обыкновенных, с последействием и стохастических. Важное место занимает модернизированная теория устойчивости, особенно - с опорой на функционалы Ляпунова. Используются элементы теории игр. Научная новизна.

® Дана формализация проблемы, отвечающая условиям неопределенности или конфликта.

• Решение дано в аналитической форме с указанием допустимых оценок для параметрических, динамических и информационных помех.

• Специальное внимание уделено объединению формируемых в дискретной вероятностной схеме управляющих воздействий со стохастическими помехами, развивающимися в непрерывном времени.

» Даны достаточные для устойчивости, убывающие со временем или с нормой фазовой истории, ограничения на помехи.

® Особенностью является изучение проявляющегося в текущий момент времени воздействия на объект, которое порождается непредсказуемым влиянием истории. А также - изучение стабилизации подобным, но уже управляемым воздействием.

® Развито подходящее обоснование решения. Введена специальная производная для условного математического ожидания направляющего функционала Ляпунова.

• Описаны алгоритмы управления с выходом к компьютерно-реализуемым схемам.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Ее результаты предлагаются для включения в теорию стабилизации стохастических систем с последействием. Результаты могут быть использованы при моделировании динамических систем с привлечением для формирования управляющих воздействий вероятностных испытаний по ходу процесса. В условиях неопределенности и конфликта применение результатов работы может способствовать стабилизации неустойчивой системы стохастическими контрдействиями.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах: отдела динамических систем Института математики и механики (ИММ) УрО РАН; кафедры теоретической механики УрГУ им. А.М.Горького. Результаты диссертации докладывались на конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург, 2004г.), на конференции «Математические модели и

недифференцируемая оптимизация» (Челябинск, 2003г.), на Международном семинаре ИФАК «Обобщенные решения в задачах управления» (г.Переславль-Залесский, 2004г.), на совместном семинаре МММ УрО РАН и УГТУ-УПИ по устойчивости и управлению в наследственных системах (Екатеринбург, 2005 г.), на Международном семинаре «Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби» (CGS'2005), посвященном 60-летию академика А.И.Субботина (Екатеринбург, 2005г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-7].

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, объединяющих 21 параграф, списка литературы. Общий объем диссертации составляет 199 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит обзор состояния исследуемой проблемы; приведен обзор работ российских и зарубежных авторов, изучавших близкие задачи; кратко изложено содержание работы.

В первой главе (§1, §2) формулируется задача об отслеживании управляемым jc-объектом z-модели, включенной в цепь обратной связи. Обсуждаются детерминированный и вероятностный варианты. В §1 приводятся уравнения движений х-объекта и z-модели:

= FIie,(i,*eM) + i5[jrI(0-«LwlW+ (1)

-+- «ir-"1^], vL^3^], (^-'^[i], +

+ J J/"'*1 (t, U[2'u\ Vм, (hM, *>,•]), (hM, *;&•])) • M(dttlz,"\dhUM\t) ■ T)(dvu'v], dhM; t)

t0+h£tl*\tlx]+h<t.-£t<aa,h>0~const.

\x\ <#w, \z\ £ й ад, |w| = (w,2+... + wn2)2, w = x,z, te[t0,oo). (3)

Здесь x, z - «-мерные векторы-столбцы. В стохастическом варианте индекс ф - элементарное событие; ц, г/ - вероятностные меры на множествах MUI,NU] допустимых значений и, v, h . Рассматривается и такое х-движение, когда добавляется помеха B{t,^[i],zra[/])• dWm(t), где Wm(t) -винеровский процесс. Тогда уравнение (1) записывается в форме Ито. В детерминированном варианте меры ц, ц определяют детерминированные реализации их аргументов.

Значения t0 и h > 0 фиксированы. Потенциальные истории движений изображаются в форме: w(/,«) = = (w(#)5 -А < 5 < 0), w-x,z. Если они реализуются как истории движений (1), (2), то изображаются в форме: w[t,*] ~ (wft + ¿»J, -Л<<0) = ><•) = (w(3), -h<&<0), w = x,z. Допустимые функции *(•), z(») непрерывны и оцениваются нормами:

-А

Операторы .Р[,] отражают свойства объекта и модели. Операторы /[*'*1 отражают влияние управляющих воздействий иш, им, у1г'"], /г[г,"], ¡1,7] и помех у1*-"1, Допустимые и1'\ V1'1, к1'] - элементы конечномерных компактов, может быть - конечноточечных. Переменные отражают влияние историй . Это могут быть запаздывания по времени V.

Выражения отражают стабилизацию. Воздействия

ц[хм]г\ формируются в органе управления и в дискретной схеме с малым шагом: (¡<г<ем по обратной связи на базе информационного образа:

У = {/(•),*(•)}; У[г] = [х\1 ,•],*[*,•]},и<1, (б)

где *'[/,•] - результат искаженного наблюдения истинной истории :

= *[/,•](7)

В момент г, по назначаются вероятности для испытаний,

определяющих и1х^,И1хм],ии,и],ум,ки'и],к[^]. В детерминированном варианте получается однозначный выбор. Воздействия и1'-*1 также определяются реализацией Помехи Vм, А, Ли1} В-(11¥ приходят извне.

Для уравнений оговариваются условия ограниченности, непрерывности, где надо - вполне, равностепенной, равномерной по совокупностям аргументов, а по переменным х, г - условия Липшица.

Основная задача означает, что х[*] должно отслеживать гИ, которое может быть поводырем для хЩ для достижения той или иной цели.

В §2 уточняется уравнение для рассогласования уаЩ = хаЩ-гаЩ в форме разложения с линейным членом - интегралом Стилтьеса:

= | с?1-1 . ^) • у . [ ^ + ^ 3 + л1'1 у. ]) + м (*. [*.•]) - 1ж1 С^ Г«.-])

-л1,1 (О •и!"1 м- (8)

м" 1лг<"

= £*<«>, й>0-сошг.

Параметры уравнения (8) представлены информационными образами: в1х](/,.9)-С[2](*,5); В[х](0 + (0; /1х'] + /,[х'], -И <3<0, <г<. (9)

В области (3) выполняются условия:

I/^C1'1, СУ1-const, l/11*'-/^*^^1,

-IkMIc kwM[iJ>

в предположении, что функция ya(t + 9) липшицева, г1'1 >0 - малы.

Обсуждается стабилизация решений уравнения:

М= )d,GM(i,&)-y[t + &] + Bll](.t)-uM[t] (П)

-h

Во второй - вспомогательной - главе обсуждаются функции и функционалы Ляпунова. Уточняются некоторые известные результаты.

В §§3-6 высвечивается связь функционалов Ляпунова,8,10,25 с развитием метода функций Ляпунова, восходящим к работам7-26. Рассмотрим уравнение: M = FQ, » ff) = $ » *0 ^ t < 00 » M < Я", я > 0 - const, (12)

где оператор F(t,y(*)) - вполне непрерывен, U={y(S>) = О, -А £ 5 <; 0}. Предположим, что для |у|<#,<Я, t0+h<t,<<x> оговорено множество М'»®)}. допустимых непрерывных начальных историй y(t„»). Рассмотрим какое-либо множество R(t.,S*\0, и >t0+k, S.>0, t>u непрерьшных историй у(г,*), t>t„ содержащее все истории y[t,»}, порождаемые на решениях уравнения (12) допустимыми историями Пусть выбрана совокупность

{Щ.Л 10.*} = {Щ-,5- U), 0<<5. <H, t0 + h<t., t. <г} таких множеств. Для непрерывной, определенно-положительной, допускающей бесконечно малый высший предел функции Ляпунова v(t,у), <H, H>0-const > скажем, что правая верхняя производная т>+(*,><(*,•)) в силу (12) «^неположительна (по Разумихину) на {R(t.,S. |г)>*Ь если т>+(г,•))<() при ||у(г,«)|с < я* < Я, Я*,*)е {R(t.,& Iг),*}> v(t + &>y(t + &))<v(t,y(t)), ~h<3<0.

Следующее утверждение восходит к Б.С.Разумихину7. Пусть непрерывная функция v(t,y), \у\<Н определенно-положительна. Если производная %(t,y(t,»)) в силу (12) dfcнеположительна на совокупности {R(t„ô, |г).*}» то невозмущенное движение ^[î]=t zt. устойчиво.

Скажем, что производная v+(t,y(t,»)) в силу (12) ^определенно отрицательна, если какова бы ни была непрерывная

история >>('»•)» такая, что v(r,y(T))<v(t,y[t]),t-h<T<t, y(t) = y[t]\ где w.(r)- непрерывна, ж (г) > о, г> 0. Производную ï>+(t,y(t,»)) в силу (12) будем называть ^-определенно отрицательной на {R(t,,S. 1?),•}, если при y(t,») е {R(t.,S.\t),*} она (^-неположительна и i>+(i,y(i,«))<-w.(|y[z]|) при условии7 + + -h<9<0, t. + T <t <СС, где Т> 0-canst, функции

w.(r) и р(г) непрерывный w.(/-)>0,r>0; p(r)>r, r> 0; p(r2)> p(rx\ r2>rv

25 Долгий Ю.Ф., Ким AB. К методу функционалов Ляпунова для систем с последействием // Дифф.

уравнения. 1991. Т.27, №8. Разумихин B.C. Устойчивость эредитарных систем. -М,: Наука, 1988. 108с.

Работы3,8,27,28 приводят к следующему утверждению. Пусть непрерывная функция v(t,y), \у\ < Н, определенно-положительна и допускает бесконечно малый высший предел. Если производная v¿t,y(t,«)), \у\<,Н" <Н в силу (12) ^■определенно-отрицательна на {Д!*)»•}» то движение равномерно асимптотически устойчиво.

В дополнение к примеру29 приводится уравнение (12), где при определенной отрицательности vt(t,y(t,»)) асимптотической устойчивости нет. В названных примерах оператор >>(•)) неограничен при ¿0¿t<со. Выясняются дополнительные условия на v(t,y) и уравнение (12), при которых из Ofeопределенной отрицательности v+(t,y(t,*)) вытекает ад-определенная отрицательность. В дополнение к известным результатам в диссертации даются три теоремы, обосновывающие достаточность ^■определенной отрицательности для асимптотической устойчивости в случаях стационарной v(y) и нестационарного F(t,y{*0) и нестационарной v(t,y) и нестационарного F(t,y(<>)).

Рассматривается стабилизированный образ линейной части (8):

-i, -h Базу для формирования управляющих воздействий в основной задаче составляют восходящие к работам3,8,10'17,27'30,31 функционалы Ляпунова:

V(t,y('))= V(t,(y(&), -h<3<0))=y'(G)-A(a)(t)-y(0)+

о оо о

+У(0)- | J/O)• А(2)(/,CT,S)-y{$)-da-dS+ jy'($)-А® (?,&)■ y(S)-dS (14)

-h -A-A -к

(ка,или (глу(?)\3),

которые строятся по фундаментальной матрице для (13) или на базе функции v(t,y) = y'-A(t)-y.

В третьей главе - основной - в §§13-18 описывается и обосновывается предлагаемый алгоритм управления. Его основа - восходящий к работе24 и развитый в исследованиях19,20,21,23,32 метод экстремального сдвига. При достаточных условиях стабилизации, например, в согласии с работами ^

27 Driver R.D. Existence and stability of solutions of delay-differential systems// Arch. Ration. Mech. Anal. 1962. V.10.

28 Ким A.B. i-Гладкий анализ и функционально-дифференциальные уравнения. - Екатеринбург, 1996.

29 Mikolajska Z. Une remarque sur des notes der Razumichin et Krasovskij sur la stabilité asimptotique// Ann. Polon. Math. 1969. V.22.

^Репин Ю.М. Квадратичные функционалы Ляпунова для систем с запаздыванием. - Прикладная математика и механика. Вып. 3, 1965.

31 Колмановский В.Б. Об устойчивости некоторых систем с произвольным последействием. - Доклады Академии наук, 1993, том 331, №4.

32 Лукоянов Н.Ю. Об экстремальном прицеливании в задачах управления системами с последействием // Изв. УрГУ: Математика и механика, 2003. Вып.5, №26. с. 115-123.

33 Осипов Ю.С. О стабилизации управляемых систем с запаздыванием, - Дифференц. уравнения 1, 605-618, 1965.

строится уравнение (13), где Kw[i] = t/.(/,<9). Выбирается функционал V{t,y(»)) (14).

Пусть к моменту t, реализовались истории: za[t,,»], xm[t,,») и x'D,,®]. Строится искаженный градиент:

5 = /(',,/[',.•])• (15)

Рассматриваются маленькие игры - задачи на минимакс-максимин.

min sup f f • :

(16)

max , inf . s%]- f f

=<%%s*itttfm (i7)

где M['], Nl'] - области в пространстве аргументов и['\ vw, h['], определенные ограничениями на них; //(•), т?(®) - вероятностные меры. Символы //0, щ будут обозначать решения задач (16), (17).

Предполагается, что справедливо неравенство:

а > 0-const. (18)

Однако, рассматриваются и случаи, когда в правой части (18) имеем: -a:-|,S,-.s'*'[y/]|) где матрица S - особая и даже нулевая. При известных условиях34 игры (16), (17) имеют цены Cl"J •

В момент на базе меры fi[x'](du,dh-,tt) совершается испытание - выбор

t,<t<tM. Стабилизирующие управления

определяются равенствами:

о

"Lw'i]M = \d3U.(t,&)• wjt, +3], t, <t< tM, w = x ,z. (19)

-Л

Помехи v^vl[f], hl™]\t] порождаются допустимой мерой r](dv,dh;t). Пары и v[^\t],h[^\t] независимы. Помехи Д[£М = *;[*]-*« М и Aa[t] независимы с другими обстоятельствами. Воздействия для z-модели - меры v(dull'u],dhl*'uht) И Tj^dv^Kdh^ht,); p(du[''u],dhM; t) назначается из соображений о желаемом качестве процесса {xJO^JOb например, из условия |z|<Hl2]. Допускаются управляющие добавки u%u][t], t,<t<tM> стесненные заданным ограничением и^-*1 eU1*-"1. Выбор ^{du^^lh^-j) и u[*-u][t) связан с методом экстремального сдвига19'21,23,24,32 для удержания z[t] в окрестности подходящих сопутствующих точек или - стабильного моста в согласии с теорией управления11'18,35'36,37-38-39-40'41'42,43.

34 Позиционные игры. Сборник статей. «Наука», 1967.

35 Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976.

Куржанский А.Б. Дифференциальные игры сближения в системах с запаздыванием, // Дифферент, уравнения, 1971. Т.7. №8.

На базе функционалов Ляпунова для стохастических систем с последействием8, 1,13,15,17 устанавливаются следующие утверждения.

Пусть к моменту t, реализовались истории О^р,,«], zj/,,*], *![*/.•]}■ Они вместе с управлениями M^'j),«], rj^dv^Kdh^u,), ju[duiZM\dhlz'"]\t,»] и

помехами v^vl[i,«]5 h[*iVi[t,»], Aa[z,«] определят совокупность реализаций {-У« ['»•]> 2Л1>ф]}> t,<,t<>tM и условное математическое ожидание E{V(t>yJt<9}) \»^.•]»-г^,[г,,•],л:*,•]} усреднением по названным величинам. Пусть E{V(t,ym[t,*})It„ya[tn']} = E{E{V{t,ym№)I WJ'/H^IVKM}IУ.М)• Изменение этой величины характеризуется ее производной */»;>«&>•]}» которая определяется13'14,15,16,17 бесконечно малым производящим оператором на рассматриваемом вероятностном процессе11,15,17.

Лемма 1 (в диссертации - лемма 16.1). Пусть функционал V(t,y(»)) (14) определенно-положителен по величине |у(0)| и допускает бесконечно малый высший предел по норме ¡Я*)^ • Пусть tM -t,=Sll](l), и пусть для величин

S['l(l) и 5М(1) в случае интервалов t.<t<T<oo или t.<t<» выполняются соответственно условия:

5[,] (/) = № > 0 - const, S[*] (/) = ÖM > 0 - const,

1 (20) öu\l) = S[,]-r , = Y>0, y"+y>l, t,<t<tM.

Пусть управлениями ¿i(du[z,u],dhlz'u];t) и и^в]|>] движение zjt] удерживается в области |zj < H[z], и при |><| < Н[у] выполняется неравенство

S^iD + C^-S^d), (21)

С"1 > 0, С1*1 > 0 - const, t,<t< tM. Тогда для £>0, е< Н[у\ ß < 1 существуют такие &, > 0, 5[,] > 0 и <5W > 0, что движение ya{t], формируемое описанным способом при

1кМ1с^> (22)

будет соответственно удовлетворять условиям:

Р<\у„т\ <s,t^t<T)>ß, P(\ya[t]\ <е, t.<t<oo)>ß. (23)

Теорема 1 (в диссертации - теорема 16.1). Пусть в стохастическом варианте ограничение на шаг tM -t, и на информационную помеху x"a[t}-xa[t]

37 Лукоянов Н.Ю., Решетова Т.Н. Задачи конфликтного управления функциональными системами высокой размерности//Прикладная математика и механика. 1998. T.62. Вып.4. с.586-597.

Черноусько Ф.Л., Меликян A.A. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука, 1978. 270с.

39 Ushakov V.N. Constructions of solutions in differential game of pursuit-evasion. Differential inclusions and

optimal control II Lecture Notes in Nonlinear Analysis, 1998. Vol.2, pp, 269-281. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. 508с.

41 Брыкалов С.А. Непрерывная обратная связь в задачах конфликтного управления // Доклады РАН, 2001. т.376. №4. с.442-444.

42 Максимов В.И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2000. 305с.

43 Пименов В.Г, К задаче о регулировании системой с запаздыванием в управлении. Некоторые методы позиционного и программного управления. Свердловск, I9S7.

имеют вид: tM-t,=Sl']g)> яфсЛ^-фф^М, где

Cw >0-const, причем выполняются условия (20). Пусть при оговоренных условиях на параметры уравнений (1), (2) и помехи, воздействия ^"W1 формируются испытаниями на базе решения игры (16). Мера r]Q(d^'v],dhiz-v]u,) формируется на базе решения игры (17), а мера fii(du[*'u\dhM-,t) и воздействие - из условия сохранения движения zjt] в области (3).

Тогда для г>0 и /3<\ можно указать такие малые положительные величины оценивающие рассогласования

параметров уравнений и помехи, что при ограничениях (18), (20), (22) будут выполнены неравенства (23).

Утверждения остаются справедливыми (в диссертации - лемма 17.1, теорема 17.1), если ограничения (20) заменить условиями: \хат-хш[4<См, ¿фДг,.]-*:^.^}<> six] >0» -const> h<t<tM■ (24)

Если добавляется помеха B(t,yJt],za[t])-dWa(t\ то приходим к утверждению теоремы 1 (в диссертации - лемма 18.1, теорема 18.1) при условии, что в области (3) справедливо неравенство:

ИСлМ.'.МЛг55^®» (25)

где в случае интервалов u<t<T или /,</<«> предполагается соответственно = Sm - const или 8{W\l) = Sw]rr\ | < / < 1, / + 2/, > 1, £ i < tM. (26)

И здесь утверждение об устойчивости трансформируется в такое утверждение, когда вместе с условием (24) предполагается, что матрица удовлетворяет условию:

\B{t>xJtUmm%^iyM* (27)

где в случае интервалов г. <,t<T или u<.t<оо предполагается

= = или 5['](/) = • Гг',SiW](ya[t]) = < у * 1 <28)

Кроме того, поскольку здесь реализации yjt] уже не являются липшицевыми, то должным образом усиливаются требования, предъявляемые к параметрам системы и используемому функционалу Ляпунова.

В детерминированном варианте рассматриваются задачи на минимакс-максимин, где минимумы и максимумы вычисляются по самим аргументам и, v, h. Формирование управляющих воздействий сводится тогда к их детерминированному выбору. Полагаем, что справедливо неравенство:

[/.•»¿О. (29)

Теорема 1 трансформируется в следующее утверждение.

Теорема 2 (в диссертации - теорема 14.1). Пусть решения и

ClzJ(*) маленьких игр удовлетворяют условию (29). Управляющие

воздействия и(*-и1[Г;][01, h^yf1, u[lM\t], h{zM][t], v^^p,]'01, hu'v][tif\ uM[t] определяются на базе решения этих игр и из условия \z\ < Н{2].

Тогда для любого е>0 можно указать оценивающие параметры уравнений и помехи малые положительные величины , ¿>[й], S[xi ,5т, SlR], S[Ai, S[,] ,S[F\ 5* такие, что при ограничении на временный шаг tM-ti<,Si,], информационную помеху и при

ограничении на исходные истории (22) будет выполнено неравенство:

Рассуждения и выкладки, используемые при доказательстве приведенных утверждений, соответствуют общепринятой методике11,14Д5'17, которая отвечает формализации, опирающейся на результаты из теории стохастических дифференциальных уравнений, в том числе - на дифференциально-интегральные формулы Е.Б.Дынкина44 и К.Ито45. В стохастическом варианте при переходе к бесконечному полуинтервалу t,<t< оо вводятся оценки, стремящиеся к нулю при t да или при \у\ -> 0. Это существенно. Проверяется, что при прочих оговоренных условиях и при сколь угодно малых постоянных оценках д{'\8[х] ,S[W] устойчивость на полуинтервале и <t< оо в смысле (23) не сохраняется.

В стохастическом варианте воздействия u[XM\t], hlx,u][t] определяются формально мерой fiixri{du{XM\dh[x'v] l^i^O,],*^,,*]), и роль управляющего воздействия надмодель играет сама мера rft*\dvU;t],dh[l'v] [/„•]). В

реализуемой интерпретации естественно строить эти управляющие воздействия на базе мер ц и rj, сконцентрированных на некоторых достаточно плотных конечных множествах.

Далее в §19 рассматривается такой случай, когда в детерминированном варианте не выполняется условие (29) и притом та или иная из соответствующих задач на минимакс и максимин не имеет седловой точки в чистых стратегиях {(и, hlu])[0],(v, hM)[a]}. Тем не менее, управляющие воздействия формируются теперь детерминировано, но уже кусочно-постоянными на интервале t,<t<tM. Каждый из полуинтервалов t,<,t<tl+] представляется как совокупность полуинтервалов второго ранга [г^1, r^Jc [tj, tM\ j = l,....jl'], уже на каждом из которых воздействия неизменны. Вероятностное усреднение на интервале (t,,tl+l) заменяется усреднением по совокупности {t[J], т^)}. Совокупности {(if1, т%)} и воздействия и, v и h на них определяются мерами ju и rj - решениями задач (16), (17) для (i,,i/+1). Эти меры конечномерно аппроксимируются. Каждому аппроксимирующему воздействию отвечает интервал (гуз, т]%) длины, пропорциональной соответствующей мере.

44 Дынюш Е.Б. Марковские процессы, Физматгиз, 1963.

45 Ito К. On a formula concerning stochastic differentials. Nagoja Math, Joum. 3, 1 (1951), 55-65.

13

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 3 (в диссертации - теорема 19.1). Пусть выполняются оговоренные выше условия на параметры уравнений (1), (2), выполнено условие (18) (хотя бы при а = 0), временной шаг и информационная помеха удовлетворяют ограничениям tM-t,£Sin, <<5"м, помехи А|7],

Aw[i], v[I'v]M, h{xA[t] являются детерминированными, причем функции vi^w, h[*M[t] равномерно непрерывны равностепенно по их допустимой совокупности. Пусть управляющие воздействия u{x,u][t]„ u[i,u\t], hu-u\t],

A[Z'V]D], h[I'u\t], формируются по описанной схеме. И возможно

удержание z[t] в области jz| < Hlz].

Тогда для любого е>0 можно указать положительные величины ¿to:,6ш,61п ,SlF]и такую аппроксимацию воздействий и мер ju, ц - решений игр (16), (17), что при исходных историях (22) будет выполнено неравенство (30).

В §20 рассматривается вычислительная схема формирования процесса. Вычисляются функционал Ляпунова и его градиент на базе формул

Vit',А*)) = \yitf-dt, М*>]=у(*) или V(t',y(*)) = At',*]=y(*)■ (31)

(■ r*

Здесь T - большое число. Затем формируется управление, причем по ходу дела задачи (16), (17) решаются вычислительно. Приводятся результаты вычислительного эксперимента на базе иллюстрирующей механической модели, включающей собственно неустойчивые элементы типа маятника с нижней точкой подвеса, причем элементы объекта подчинены запаздывающей связи. Лидирующей моделью является аналогичная система с той лишь разницей, что в ней отсутствуют помехи.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Котельникова А.Н. Одна задача об игровой стохастической стабилизации управляемого объекта. - Екатеринбург: Труды Института математики и механики УрО РАН, том 10, №2,2004, С.69-82.

2. Котельникова А.Н. Одна задача о стабильном отслеживании и лидировании объекта с последействием. - Екатеринбург: препринт ИММ УрО РАН, 2004, 41с.

3. Котельникова А,Н. Вычислительная схема стабильного отслеживания и лидирования объекта с последействием. Екатеринбург: препринт УрГУ им. А.М.Горького, 2004,61с.

4. Kotel'nikova A.N., Krasovski N.N. On a Problem of Stochastic Stabilization// Generalized solutions in control problems. Proceedings of the IF AC Workshop GSCP-2004 and satellite events, Pereslavl-Zalessky, 2004 -Moscow: Fizmatlit, 2004, pp. 149-157.

5. Котельникова А.Н., Красовский Н.Н. Отслеживание и лидирование движений симулирующим моделированием// Тезисы Всероссийской конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», Екатеринбург, 2004 г. С.177-178.

6. Красовский Н.Н., Котельникова А.Н. Стабилизирующий люфт в задаче об устойчивости процесса управления // Вестн. ГОУ ВПО УГТУ-УПИ. Информ.-мат. технологии в экономике, технике и образовании. 2005. № 9(61) : Тр. науч.-практ. конф., поев. 10-летию каф. АСиПР УГТУ-УПИ. С.16-24.

7. Котельникова А.Н. Об одной задаче о стабилизации // Тезисы Международного семинара «Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби» (С08'2005), посвященного 60-летию академика А.И.Субботина, Екатеринбург, 2005, С.92.

Подписано в печать 10.08.2005. Формат 60x80 /16. Объем 1 пл. Тираж 100 экз. Заказ № 37. Размножено с готового оригинал-макета в типографии УрО РАН 620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 18

РНБ Русский фонд

2006-4 15958

Введение.

Глава I. Постановка задачи.

§1. Уравнения движения х-объекта и z-модели.

§2. Уравнение движения для рассогласования.

Глава II. Второй метод Ляпунова для задач устойчивости наследственных систем.

§3. Функционалы Ляпунова для задач устойчивости систем с последействием.

§4. К методу функций Ляпунова для задач устойчивости в системах с последействием.

§5. Комментарий к параграфам 3,4.

§6. Комментарий к параграфам 3, 4 для одного нестационарного случая.

I • §7. Квадратичные функционалы Ляпунова 1.

§8. Квадратичные функционалы Ляпунова II. i

§9. Квадратичные функционалы Ляпунова III.

Стационарный случай.

§ 10. Квадратичные функционалы Ляпунова III.

Нестационарный случай.

§11. Один частный тип функционала Ляпунова в нелинейном случае.

§ 12. Функционалы Ляпунова на каскаде линеаризованных уравнений.

Глава III. Стабилизация отслеживания и лидирования движения х-объекта движением z-модели.

§ 13. Формирование процесса в детерминированном варианте.

§14. Устойчивая близость между х-движением и z-движением; детерминированный вариант.

§15. Функционалы Ляпунова на движениях в наследственных стохастических системах.

§ 16. Устойчивая близость между х-движением и z-движением; стохастический вариант 1.

§ 17. Устойчивая близость между х-движением и z-движением; стохастический вариант II.

§18. Устойчивая близость между х-движением и z-движением; стохастический вариант III.

§19. Отслеживание и лидирование х-движения z-движением, детерминированный вариант, смешанные воздействия, неограниченное время.

§20. Вычислительная схема формирования процесса.

§21. Одна модельная задача.

Предыстория и актуальность темы. В диссертации исследуется проблема устойчивого управления системой, складывающейся из управляемого объекта и лидирующей модели. Эволюция системы описывается дифференциальными уравнениями с последействием. Объект подвержен влиянию случайных обстоятельств. Система работает в условиях неопределенности или конфликта.

Во многих моделях реальных эволюционных систем будущие состояния определяются не только текущим состоянием, но также и историей процесса. К тому же реальные процессы часто оказываются вероятностными. Последействие и стохастический характер процесса может определяться природой самого объекта. Случайный характер эволюции может определяться и внешними динамическими помехами. Неопределенные случайные помехи могут погашаться стохастическими управляющими воздействиями. В управляемых системах информация о прошлом может вводиться через систему обратной связи, когда информация только о текущем мгновенном состоянии системы представляется недостаточной для полноценного результата управления. К тому же информация может быть искажена случайными помехами. И тогда результат может быть улучшен за счет рационального наблюдения истории процесса, сложившейся к текущему моменту времени. Вдобавок, информация о прошлом может быть \ существенной при оптимизации по критерию, который таков, что удовлетворительный выбор управления требует знания истории движения.

Для систем, стохастических и с последействием, важна проблема устойчивости. Влияние прошлого и стохастические обстоятельства часто способствуют разбалансировке эволюции. Важным является исследование устойчивости системы как таковой. А если система по своей природе неустойчива, возникает проблема стабилизации.

Актуальность тематики подкрепляется тем, что наследственные модели и модели стохастические, а также модели, в которых объединяются оба названные обстоятельства, имеют значительные приложения в физике, технике, движении судов, автоматическом регулировании, экономике, биологии, медицине.

Первые примеры дифференциальных уравнений с последействием были уже у Бернулли, Эйлера, Лапласа. Общепринято, что существенным шагом явились работы V.Volterra по исследованию модели «хищник и жертва» и по вязкоупру гости [148,149]. В этих исследованиях использовалась энергетическая функция - предтеча функционалов Ляпунова, которые получили развитие в исследованиях наследственных систем и, в частности, составляют основной аппарат в диссертации. Как ранний источник тематики предлагаемой работы, посвященной устойчивому управлению в нерегулярных условиях, надлежит указать работы N.Minorsky по стабилизации курса корабля и автоматическому управлению им [142]. Однако, принято считать, что исследование дифференциальных уравнений с последействием как раздела математики и ее специфического аппарата относится к началу 50-х годов. В книге Дж.Хейла [105], где трактуются вопросы построенной к тому времени (1971 г.) теории дифференциальных уравнений с последействием — дифференциально-функциональных уравнений - автор выделяет работы А.Д.Мышкиса [70], Bellman, R. and J.M.Danskin [118], Bellman, R. and K.Cooke [117], Н.Н.Красовского [43], которые появились в конце 40-х и начале 50-х годов и оказали, по его мнению, влияние на последующие исследования. Среди столь же важных исследований, выполненных и в 50-х и уже в 60-х годах, в монографии Дж.Хейла явно выделяются работы Б.С.Разумихина [88], С.Н.Шиманова [111] и YoshizawaT. [150].

В продолжение классической теории вероятностей Ферма, Паскаля, Лапласа, Гаусса, Чебышева, Ляпунова, Маркова фундаментальная теория вероятностных процессов и в том числе - теория диффузионных процессов и теория стохастических дифференциальных уравнений, основанные на исследованиях А.Н.Колмогорова, Дж.Дуба, М.Лоэва, В.Феллера, Н.Винера, К.Ито, Е.Б.Дынкина, И.И.Гихмана, А.М.Ильина, А.С.Калашникова, О.А.Олейник, А.В.Скорохода, А.Н.Ширяева, Р.Ш.Липцера, определили возможность построения стохастической теории устойчивости и управления. Одна из ветвей такой теории связана с методом функций Ляпунова и в существенной мере определяет характер предлагаемой диссертации. В книге H.J.Kushner [137], вышедшей в 1967 году, в которой трактуется метод функций Ляпунова в приложении к стохастическим системам, автор выделяет работы Bertram J.E., Sarachik Р.Е. [119], ИЛ.Каца и Н.Н.Красовского [31], Bucy R.S. [120], Р.З.Хасьминского [104], Kushner H.J. [138], как начальные шаги в названном направлении. В связи с тематикой диссертации надлежит выделить исследования В.Б.Колмановского [35], в том числе - совместную монографию с В.Р.Носовым [38], где исследуются задачи устойчивого управления системами, в которых объединяются наследственные и случайные свойства.

Исследования в диссертации существенно определены работами по устойчивости и управлению, выполненными в Свердловске — Екатеринбурге. Фундамент для этих работ был заложен Е.А.Барбашиным и И.Г.Малкиным. Методы конструирования алгоритмов в диссертации в большой мере восходят к работам [4,34,54,144,102,98,49,10,66] по устойчивости движения, по управлению и наблюдению в обыкновенных, наследственных и стохастических динамических системах, по дифференциальным играм.

Существенный вклад в развитие теории дифференциальных уравнений в приложении к проблемам устойчивости, стабилизации, управления и наблюдения, в том числе для систем с последействием и стохастических, внесли многие исследователи: Н.В.Азбелев, Э.Г.Альбрехт, А.А.Андронов, А.В.Арутюнов, В.Н.Афанасьев, С.Н.Бернштейн, В.Г.Болтянский, Ю.Г.Борисович, А.А.Витт, Р.Габасов, Р.В.Гамкрелидзе, И.И.Гихман, Ю.Ф.Долгий, Е.Б.Дынкин, Н.П.Еругин, А.М.Зверкин, А.М.Ильин,

Г.А.Каменский, И.Я.Кац, Квон О Бок, А.В.Ким, Ф.М.Кириллова, А.Ф.Клейменов, В.Б.Колмановский, А.Н.Колмогоров, Н.Н.Красовский, А.В.Кряжимский, А.Б.Куржанский, А. А. Леваков, Р.Ш.Липцер, Н.Ю.Лукоянов, В.И.Максимов, В.П.Максимов, М.Д.Марданов,

A.А.Мартынюк, Г.И.Марчук, Г.Н.Мильштейн, Е.Ф.Мищенко, А.Д.Мышкис, М.Б.Невельсон, С.Б.Норкин, В.Р.Носов, Ч.Олех, Ю.С.Осипов, П.В.Пакшин, Н.А.Пакшина, В.С.Пацко, Л.А.Петросян, В.Г.Пименов, Л.С.Понтрягин,

B.П.Прокопьев, Н.Е.Ратанов, Ю.М.Репин, Т.Н.Решетова, Н.Х.Розов, Л.Б.Ряшко, А.В.Скороход, А.Л.Скубачевский, Р.Л.Стратонович,

A.И.Субботин, Н.Н.Субботина, Т.А.Тадумадзе, Г.А.Тимофеева,

B.Е.Третьяков, В.Н.Ушаков, Г.Л.Харатишвили, Р.З.Хасьминский, А.Г.Ченцов, Ф.Л.Черноусько, Чой Ен Сан, С.Н.Шиманов, А.Н.Ширяев, Л.Э.Эльсгольц, L.Arnold, С.Н.Т. Baker, H.T.Banks, R.H.Battin, T.Bazar, R. Bellman, P.Bemhard, R.S.Bucy, J.A.Burns, T.A.Burton, K.L. Cooke,

C.Corduneanu, J.M.Danskin, J.Doob, RD.Driver, W.Fleming, A.Halanay, J.K.Hale, K.Ito, R.E.Kalman, P.V.Kokotovi'c, H.Kushner, Y.Lakshmikantham, J.H.Laning, Z.Mikolajska, N.Minorsky, H.M.Soner, V.Volterra, D.Williams, N.Winer, T.Yoshizawa.

В диссертации рассматриваются задачи о стабилизации и лидировании как детерминированного, так и стохастического объекта с последействием, подверженного динамическим помехам. Управление осуществляется по принципу обратной связи в дискретной по времени схеме на основе ^ информационного образа, искаженного помехами. Управляющие воздействия строятся как детерминированными, так и стохастическими, которые определяются вероятностными испытаниями.

Цель работы. Изучение управляемых процессов в комбинированной системе, складывающейся из основного объекта и из его модели. Развитие и обоснование аналитических и вычислительных методов стабилизации, в том числе игровой стабилизации в условиях неопределенности или конфликта. Выяснение влияния наследственных и вероятностных обстоятельств, в том числе влияние того или иного характера управляющих воздействий и помех на возможность стабилизации.

Методы исследования опираются на теорию дифференциальных уравнений - обыкновенных, с последействием и стохастических. Важное место занимает модернизированная теория устойчивости, особенно - с опорой на функционалы Ляпунова. Используются элементы теории игр. Научная новизна.

• Дана формализация проблемы, отвечающая условиям неопределенности или конфликта. Приведены и обоснованы условия, при которых корректен разработанный алгоритм управления.

• Решение дано в аналитической форме с указанием допустимых оценок для параметрических, динамических и информационных помех.

• Специальное внимание уделено объединению формируемых в дискретной вероятностной схеме управляющих воздействий со стохастическими помехами, развивающимися в непрерывном времени.

• В случае бесконечного интервала времени даны достаточные для устойчивости процесса асимптотические ограничения на помехи. Обсуждается необходимость подобных асимптотических оценок.

• Особенностью является изучение проявляющегося в текущий момент времени воздействия на объект, которое порождается непредсказуемым влиянием истории. А также - изучение стабилизации подобным, но уже управляемым воздействием.

• В стохастическом варианте ограничения на помехи включают условия на их математические ожидания. Однако, в идеале устанавливается близость движений объекта и модели, гарантируемая с наперед заданной вероятностью сколь угодно близкой к единице.

• Развито подходящее для рассматриваемых задач обоснование решения. Существенная особенность состоит в том, что используемый обычно в рассуждениях в подобных случаях обрыв реализаций процесса на замкнутой поверхности в фазовом пространстве трансформируется в подобный же обрыв реализаций, но уже в подходящей пограничной открытой области фазового пространства.

• Описаны алгоритмы управления с выходом к компьютерно-реализуемым схемам.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Ее результаты включаются в теорию стабилизации стохастических систем с последействием, в том числе в ней проясняются некоторые аспекты второго метода Ляпунова. Результаты могут быть использованы при моделировании сложных динамических систем с привлечением для формирования управляющих воздействий вероятностных испытаний по ходу процесса. В условиях неопределенности и конфликта применение результатов работы может способствовать стабилизации неустойчивой системы стохастическими контрдействиями.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах: отдела динамических систем Института математики и механики (ИММ) УрО РАН; кафедры теоретической механики УрГУ им. А.М.Горького. Результаты диссертации докладывались на конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург, 2004), на конференции «Математические модели и недифференцируемая оптимизация» (Челябинск, 2003), на Международном семинаре ИФАК «Обобщенные решения в задачах управления» (г.Переславль-Залесский, сентябрь 2004г.), на совместном семинаре ИММ УрО РАН и УГТУ-УПИ по устойчивости и управлению в наследственных системах (Екатеринбург, 2005), на Международном семинаре «Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби», посвященном 60-летию академика А.И.Субботина (Екатеринбург, июнь 2005).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [151-157].

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, объединяющих 21 параграф, списка литературы. Общий объем диссертации составляет 199 страниц, библиографический список включает 157 наименований. Нумерация параграфов сквозная. Нумерация формул двойная: в первой позиции указывается номер параграфа, в котором приведена формула, во второй — порядковый номер формулы в этом параграфе. Такая же нумерация принята для определений, утверждений, лемм, теорем, следствий, примечаний, примеров.

1. Азбелев, Н.В. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений / Н.В. Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина.- М.: Наука, 1991.280с.

2. Айзеке, Р. Дифференциальные игры / Р. Айзеке.- М.: Мир, 1967. 479с.

3. Алексеев, В.М. Оптимальное управление / В.М. Алексеев, В.М.Тихомиров, С.В. Фомин.- М.: Наука, 1979. 430с.

4. Альбрехт, Э.Г. Построение приближенных решений некоторых квазилинейных дифференциальных игр / Э.Г. Альбрехт // Тр. Института математики и механики УрО РАН, 2000. Т.6. №1. С.27-38.

5. Ананьев, Б.И. О двойственности задач оптимального наблюдения и управления для линейных систем с запаздыванием / Б.И. Ананьев // Дифференц. уравнения, 1974. Т. 10. №7. С. 1960-1967.

6. Андронов, А.А. Теория колебаний / А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин.-Изд-е 2-е. Физматгиз, 1959. 916с.

7. Арнольд, В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В.И. Арнольд.-М.: Наука, 1978. 304с.

8. Арутюнов, А.В. К теории принципа максимума в задачах с запаздыванием / А.В. Арутюнов, М.Дж. Марданов II Дифференц. уравнения, 1989. Т.25. №12. С.2048-2058.

9. Болтянский, В.Г. Достаточные условия оптимальности и обоснование метода динамического программирования / В.Г. Болтянский II Известия АН СССР, серия математическая. Т.28. №3. 1964.

10. Брыкалов, С.А. Непрерывная обратная связь в задачах конфликтного управления / С.А. Брыкалов II Доклады РАН, 2001. Т.376. №4. С.442-444.

11. Васильев, Ф.П. Методы оптимизации / Ф.П.Васильев. — М.: Факториал-Пресс, 2002. 823с.

12. Габасов, Р.Ф. Качественная теория оптимальных процессов / Р.Ф. Габасов, Ф.М. Кириллова.- М.: Наука, 1971. 508с.

13. Гихман, И.И. Введение в теорию случайных процессов / И.И. Гихман, А.В. Скороход.-М.: Физматгиз, 1965.

14. Гнеденко, Б.В. Курс теории вероятностей / Б.В. Гнеденко М.: Наука, 1965.400с.

15. Гурман, В.И. Вырожденные задачи оптимального управления / В.И.Гурман.-М.: Наука, 1977. 304с.

16. Гусев, М.И. О ситуациях равновесия в многокритериальных игровых задачах / М.И. Гусев, А.Б. Куржанский И ДАН СССР, 1976. №6.

17. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович.-М.: Наука, 1967. 472с.

18. Долгий, Ю.Ф. К методу функционалов Ляпунова для систем с последействием / Ю.Ф. Долгий, А.В. Ким // Дифференц. уравнения, 1991. Т.27. №8. С. 1313-1318.

19. Дынкин, Е.Б. Марковские процессы J Е.Б. Дынкин.- М.: Физматгиз, 1963.

20. Еругин, Н.П. Качественное исследование интегральных кривых системы дифференциальных уравнений / Н.П. Еругин // Прикладная математика и механика, 1950. Т.14. Вып.5.

21. Ильин, A.M. Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа / A.M. Ильин, А.С. Калашников, О.А. Олейник // Успехи матем. наук, 1962. Т.17. №3. С.3-146.

22. Камбулов, В.Ф., Существование и устойчивость быстроосциллирующих циклов у нелинейного телеграфного уравнения / В.Ф. Камбулов, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // Журн. вьгч. матем. и матем. физики, 1998. Т.38. №8. С.1287-1300.

23. Каменский, Г.А. Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений / Г.А. Каменский, А.Л. Скубачевский.- М.: МАИ, 1992.

24. Кац, И.Я. О стабилизации линейных систем со случайными свойствами / И .Я. Кац II Дифференц. уравнения, 1970. Т.6. №3. С.420-424.

25. Кац, И.Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры / И.Я. Кац.- Екатеринбург, Изд-во Уральской государственной академии путей сообщения, 1998. 222с.

26. Кац, И.Я. Об устойчивости систем со случайными параметрами / И.Я. Кац, Н.Н. Красовский // Прикладная математика и механика, 1960. Т.24. Вып.5.

27. Ким, А.В. i-Гладкий анализ и функционально-дифференциальные уравнения I А.В. Ким. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1996. 234с.

28. Кириллова, Ф.М. К задаче об аналитическом конструировании регуляторов / Ф.М. Кириллова // Прикладная математика и механика, 1961. Т.25. Вып.З.

29. Клейменов, А.Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры / А.Ф. Клейменов.- Екатеринбург: Наука, 1993. 185с.

30. Колмановский, В.Б. Об устойчивости стохастических систем с запаздыванием / В.Б. Колмановский И Пробл. передачи информ., 1969. Т.5. Вып.4. С.59-67

31. Колмановский, В.Б. Об устойчивости некоторых систем с произвольным последействием / В.Б. Колмановский // Доклады Академии наук, 1993. Т.331. №4.

32. Колмановский, В.Б. Оптимальное управление стохастическими системами с последействием / В.Б. Колмановский, Т.Д. Майзенберг // Автоматика и телемеханика, 1971. №1.

33. Колмановский, В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием / В.Б. Колмановский, В.Р. Носов.— М.: Наука, 1981.448с.

34. Колмогоров, А.Н. Об аналитических методах в теории вероятностей / А.Н. Колмогоров// Успехиматем. наук, 1938. Вып. 5. С.5-41

35. Короткий, А.И. Об аппроксимации задач позиционного управления / А.И. Короткий // Прикладная математика и механика, 1980. Т.44. Вып.6. С.1010-1018

36. Красовский, Н.Н. О применении метода функций Ляпунова для уравнений с запаздыванием / Н.Н. Красовский // Прикладная математика и механика, 1956. Т.20. Вып.2.

37. Красовский, Н.Н. Об асимптотической устойчивости систем с последействием / Н.Н. Красовский // Прикладная математика и механика, 1956. Т.20. №3.

38. Красовский, Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н.Н. Красовский.-М.: Физматгиз, 1959.

39. Красовский, Н.Н. Об аналитическом конструировании оптимального регулятора в системе с запаздыванием времени / Н.Н. Красовский // Прикладная математика и механика, 1962. Том XXVI.

40. Красовский, Н.Н. О стабилизации неустойчивого движения дополнительными силами при неполной обратной связи / Н.Н. Красовский // Прикладная математика и механика, 1963. Т.27. Вып.4.

41. Красовский, Н.Н. Об аппроксимации одной задачи об оптимальном управлении в системе с последействием / Н.Н. Красовский // Доклады Академии наук СССР, 1966. Т. 167. №3.

42. Красовский, Н.Н. Управление динамической системой / Н.Н. Красовский.-М.: Наука, 1985. 516с.

43. Красовский, Н.Н. К вопросу о наблюдаемости систем с запаздыванием / Н.Н. Красовский, А.Б. Куржанский // Дифференц. уравнения, 1966. Т.Н. №3. С.299-308.

44. Красовский, Н.Н. Позиционные дифференциальные игры / Н.Н. Красовский, А.И. Субботин.- М.: Наука, 1974. 456с. *

45. Кротов, В.Ф. Методы и задачи оптимального управления / В.Ф. Кротов, В.И. Гурман.- М.: Наука, 1973. 446с.

46. Кряжимский, А.В. К теории позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения / А.В. Кряжимский // Доклады АН СССР, 1978. Т.239. №4. С.779-782

47. Кряжимский, А.В. Об устойчивом позиционном управлении в дифференциальных играх / А.В. Кряжимский // Прикладная математика и механика, 1978. Т.42. №6.

48. Куржанский, А.Б. Дифференциальные игры сближения в системах с запаздыванием / А.Б. Куржанский Л Дифференц. уравнения, 1971. Т.7. №8.

49. Куржанский, А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности / А.Б. Куржанский.- М.: Наука, 1977. 392с.

50. Курцвейль, Я. К аналитическому конструированию регуляторов / Я. Курцвейль И Автоматика и телемеханика, 1961. Т.22. №6.

51. Леваков, А.А. Стохастические дифференциальные включения / А.А. Леваков // Вторые республиканские научные чтения по обыкновенным дифференциальным уравнения, посвящ. 75-летию Ю.С.Богданова: Тез. докл.- Минск, 1995. с.45.

52. Летов, A.M. Аналитическое конструирование регуляторов / A.M. Летов // Автоматика и телемеханика, 1960. Т.21. №4. №5. №6.

53. Лидский, Э.А. О стабилизации стохастических систем / Э.А. Лидский // Прикладная математика и механика, 1961. Т.25. №5. С.661-665.

54. Липцер, Р.Ш. Статистика случайных процессов / Р.Ш. Липцер, А.Н. Ширяев-М.: Наука, 1974.

55. Лоэв, М. Теория вероятностей / М. Лоэв.- М.: Иностранная литература, 1962.

56. Лукоянов, Н.Ю. Об экстремальном прицеливании в задачах управления системами с последействием / Н.Ю. Лукоянов // Изв. УрГУ: Математика и механика, 2003. Вып.5. №26. С.115-123.

57. Лукоянов, Н.Ю. Задачи конфликтного управления функциональными системами высокой размерности / Н.Ю. Лукоянов, Т.Н. Решетова // Прикладная математика и механика, 1998. Т.62. Вып.4. С.586-597.

58. Лэнинг, Дж.Х. Случайные процессы в задачах автоматического управления / Дж.Х. Лэнинг, Р.Г. Бэттин.- М.: Иностранная литература, 1958.

59. Ляпунов, A.M. Общая задача об устойчивости движения / A.M. Ляпунов.-М.-Л.: ОНТИ, 1935

60. Максимов, В.И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем / В.И. Максимов.- Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2000. 305с.

61. Малкин, И.Г. Теория устойчивости движения / И.Г. Малкин — М.: Наука, Изд-е второе, исправленное, 1966.

62. Мансуров, К. Об устойчивости линейных систем с запаздыванием / К. Мансуров // В кн.: Исследования по дифференциальным уравнениям и их применению.- Алма-Ата: Наука, 1965. С.190-199.

63. Марчук, Г.И. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты / Г.И.Марчук.- М.: Наука, 3-е изд., перераб. и доп., 1991.304 с.

64. Милыитейн, Г.Н. Оптимальная стабилизация линейных стохастических систем / Г.Н. Милыптейн, Л.Б. Ряшко // Прикладная математика и механика, 1976. Т.40. Вып.6. С.1034-1039

65. Мышкис, А.Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом / А.Д. Мышкис // Успехи матем. наук, 1949. Вып.5. С.99-141.

66. Мышкис, А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом / А.Д. Мышкис.- М.: Наука, 1972.

67. Натансон, И.П. Теория функций вещественной переменной / И.П. Натансон- М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957.

68. Невельсон, М.Б. Об устойчивости в целом траектории марковских процессов диффузионного типа / М.Б. Невельсон // Дифференц. уравнения, 1966. Т. И. №8.

69. Невельсон М.Б. Об устойчивости стохастических систем / М.Б. Невельсон, Р.З. Хасьминский // Проблемы передачи информации, 1966. Т.П. Вып. 3.75.фон Нейман Дж. Теория игр и экономическое поведение / Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн.- М.: Наука, 1970.

70. Никольский, М.С. Линейные дифференциальные игры преследования при наличии запаздывания / М.С. Никольский // Доклады АН СССР, 1971. Т.197. №5. С.1018-1021.

71. Норкин, С.Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом / С.Б. Норкин. — М.: Наука, 1965. 354с.

72. Пакшин, П.В. Устойчивость одного класса нелинейных стохастических систем / П.В. Пакшин И Автоматика и телемеханика, 1977. №4. С.27-36.

73. Петросян, Л.А. Дифференциальные игры преследования / Л.А. Петросян.-Л.: Изд-во Ленинградского госуниверситета, 1977. 222с.

74. Прокопьев, В.П. Об устойчивости в критическом случае двойного нулевого корня для систем с последействием / В.П. Прокопьев, С.Н. Шиманов //Дифференц. уравнения, 1966. Т.2. Вып.4. С.453-462.

75. Разумихин, Б.С. Об устойчивости систем с запаздыванием / Б.С. Разумихин // Прикладная математика и механика, 1956. Т.20. №3, С.500-512.

76. Разумихин, Б.С. Применение метода Ляпунова к задачам устойчивости систем с запаздыванием / Б.С. Разумихин // Автоматика и телемеханика, 1960. Т. XXI.

77. Разумихин, Б.С. Устойчивость эредитарных систем / Б.С. Разумихин.— М.: Наука, 1988. 108с.

78. Ратанов, Н.Е. Случайные блуждания частицы в неоднородной одномерной среде с отражением и поглощением / Н.Е. Ратанов // Теорет. матем. физика, 1997. Т.112. №1. С.81-91

79. Репин, Ю.М. Квадратичные функционалы Ляпунова для систем с запаздыванием / Ю.М. Репин // Прикладная математика и механика, 1965. Вып. 3.

80. Репин, Ю.М. Решение задачи об аналитическом конструировании регуляторов на электронных моделирующих устройствах / Ю.М. Репин, В.Е. Третьяков // Автоматика и телемеханика, 1963. Т.24. Вып.6.

81. Скороход, А.В. Исследования по теории случайных процессов / А.В. Скороход-Киев: Изд-во Киевск. ун-та, 1961. 216с.

82. Скороход, А.В. Асимптотические методы теории стохастических дифференциальных уравнений / А.В. Скороход — Киев: Наукова Думка, 1987.

83. Стратонович, Р.Л. Условные марковские процессы и их применение в теории оптимального управления / Р.Л. Стратонович.- М.: Изд-во МГУ, 1966.

84. Субботин, А.И. Обобгценные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации / А.И. Субботин.- Москва-Ижевск: Институт компьют. исслед., 2003. 336с.

85. Субботин, А.И. Необходимые и достаточные условия для кусочно-гладкой цены дифференциальной игры / А.И. Субботин, Н.Н. Субботина // Доклады АН СССР, 1978. Т.243. №4. С.862-865.

86. Субботин, А.И. Оптимизация гарантии в задачах управления I А.И. Субботин, А.Г. Ченцов.- М.: Наука, 1981. 288с.

87. Субботина, Н.Н. Сингулярные аппроксимации минимаксных и вязкостных решений уравнений Гамильтона-Якоби / Н.Н. Субботина // Труды Института математики и механики УрО РАН, 2000. Т.6. №1. С. 190-208.

88. Тарасьев, A.M. Аппроксимационные схемы и конечно-разностные операторы для построения обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби / A.M. Тарасьев, А.А. Успенский, В.Н. Ушаков И Изв. РАН: Техн. кибернетика, 1994. №3. С.173-185.

89. Тонков, Е.Л. Динамические задачи выживания / Е.Л. Тонков // Вестник Пермского гос. тех. ун-та. Функцион. — дифференц. уравнения (спец. вып.), 1997. №4. С.138-148.

90. Третьяков, В.Е. К теории стохастических дифференциальных игр / В.Е. Третьяков II Доклады АН СССР, 1983. Т.269. №3. С.1049-1053.

91. Ушаков, В.Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения / В.Н. Ушаков // Изв. АН СССР: Технич. кибернетика, 1980. №4. С.29-36.

92. Хасьминский, Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров / Р.З. Хасьминский.— Москва, Главная редакция физико-математической литературы, 1969. 368с.

93. Хейл, Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений: Пер. с англ. / Дж. Хейл М.: Мир, 1984. 421с.

94. Царьков, Е.Ф. Экспоненциальная р-устойчивость тривиального решения стохастических функционально-дифференциальных уравнений / Е.Ф. Царьков // Теория вероятностей и ее применения, 1978. Т.23. Вып.2. С.445-448.

95. Черноусько, Ф.Л. Игровые задачи управления и поиска / Ф.Л. Черноусько, А.А. Меликян.- М.: Наука, 1978. 270с.

96. Четаев, Н.Г. Устойчивость движения / Н.Г. Четаев.— М.: Гостехиздат, 1946.

97. Шиманов, С.Н. Об устойчивости в критическом случае одного нулевого корня для систем с последействием / С.Н. Шиманов // Прикладная математика и механика, 1960. Т.24. Вып. 3. С.447-457.

98. Шиманов, С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием времени / С.Н. Шиманов // Прикладная математика и механика, 1963. Т.27. Вып.З. С.450-458.

99. Шиманов, С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с последействием / С.Н. Шиманов // Дифференц. уравнения, 1965. Т.1. Вып.1. С. 102-116.

100. Эльсгольц, Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / Л.Э. Эльсгольц, С.Б. Норкин М.: Наука, 1971.269с.

101. Arnold, L. Stochastic Differential Equations. Theory and Applications / L. Arnold.- New York: J.Wiley, 1974.

102. Baker, C.T.H., Issues in the numerical solution of evolutionary delay differential equations / C.T.H. Baker, C.A.H. Paul, D.R. Wille // Advances in Comput. Math., 1995. V.3. P.171-196.

103. Banks, H.T. Control of functional differential equations with function space boundary conditions, 1-16. Delay and Functional Differential Equations / H.T. Banks.- New York: Academic Press, 1972.

104. Basar, Т. H- oo optimal control and related minimax design problems / T. Basar, P. Bernhard.- Boston: Birkhauser, 1991.

105. Bellman, R. Differential Difference Equations / R. Bellman, K. Cooke.-New York: Academic Press, 1963.

106. Bellman, R. A survey of the mathematical theory of time lag, retarded control, and hereditary processes / R. Bellman, J.M. Danskin.- The Rand Corporation, R-256,1954.

107. Bertram, J.E. On the Stability of Systems with Random Parameters / J.E. Bertram, P.E. Sarachik.- Trans. IRE-PGCT, 1959.

108. Bucy, R.S. Stability and Positive Supermartingales / R.S. Bucy // J. DifferentialEq., 1965. V.l. №2. P.151-155.

109. Burns, J.A. An application of adjoint semigroup theory for a functional differential equation with infinite delays to a Volterra integrodifferential equation / J.A. Burns, T.L. Herdman // SIAMJ. Math. An. to appear.

110. Burton, T.A. Stability and Periodic Solutions of Ordinary and Functional Differential Equations / T.A. Burton.- New York: Academic Press, 1985.

111. Corduneanu, С. Integral Equations and Stability of Feedback Systems / C. Corduneanu.- New York London: Academic Press, 1973.

112. Doob, J.L. Probability Processes / J.L. Doob.- Moscow: Inostrannaya Literatura, 1956.

113. Driver, R.D. Existence and stability of solutions of delay-differential systems /R.D. Driver H Arch. Ration. Mech. Anal., 1962. V.10.

114. Driver, R.D. Ordinary and delay differential equations / R.D. Driver.-New York: Springer-Verlag, 1977.

115. Fan, K. Minimax theorems / K. Fan // Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1953. V.39. №1. P. 42-47.

116. Fleming, W. Optimal Control of Determined and Stochastic Systems / W.Fleming, R. Rishel.- Moscow: Mir, 1978.

117. Friedman, A. Stochastic Differential Equations and Applications / A. Friedman.- New York: Academic Press, 1976.

118. Haddock, J. Liapunov-Razumikhin functions and an invariance principle for functional differential equations / J. Haddock, J. Terjeki // J. Diff. Equat., 1983. V.48.№1.

119. Halanay, A. Differential Equations: Stability, Oscillations, Time-lags / A. Halanay.- New York London, Academic Press, 1966.

120. Ito, K. On a formula concerning stochastic differentials / K. Ito // Nagoja Math. Journ., 1951. V.3. №1. P. 55-65

121. Kalman, R.E. New Results in Linear Filtering and Prediction Theory / R.E. Kalman, R.C. Bucy ii J.Basic Eng. (ASME), 1961. V.83. P. 95-108.

122. Kats, I.Ya. Stability and Stabilization of Nonlinear Systems with Random Structure / I.Ya. Kats, A.A.Martynyuk.- New York-London: Taylor and Francis Inc., 2002.

123. Kokotovic, P.V. Adaptive nonlinear control: a Lyapunov approach / P.V. Kokotovic, M.Krstic.- Boston: Berhauser, 1997.

124. Krasovskii, N.N. Game-Theoretical Control Problems / N.N. Krasovskii, A.I. Subbotin.-New York: Springer-Verlag, 1988.

125. Kushner, H.J. Stochastic Stability and Control / H.J. Kushner.- New York London: Academic Press, 1967.

126. Kushner, H.J. On the Stability of Stochastic Dynamical Systems / H.J. Kushner // Proc. Nat. Acad. Sci., 1965. V.53. P. 8-12.

127. Lakshmikantham, V. Differential and Integral Inequalities / V. Lakshmikantham, S. Leela.- New York London: Academic Press, 1969.

128. Lakshmikantham, V. Recent Advances in Liapunov Method for Delay Differential Equations, Differential Equations: Stability and Control (Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, Series/127) / V. Lakshmikantham.-Heidelberg: Springer-Verlag, 1990.

129. Mikolajska, Z. Une remarque sur des notes der Razumichin et Krasovskij sur la stabilite asimptotique / Z. Mikolajska I I Ann. Polon. Math., 1969. V.22.

130. Minorsky, N. Self-excited oscillations in dynamical systems possessing retarded actions / N. Minorsky ii J. Appl. Mech., 1942. V.9. P. 65-71.

131. Olech, C. Existence Theorems for Optimal Problems with Vector-valute Cost Function / C. Olech // Trans. Amer. Math. Soc., 1969. V. 136. P. 159-180.

132. Osipov, Yu.S. Inverse problem of ordinary differential equations. Dynamical solutions / Yu.S. Osipov, A.V. Kryazhimskii.- Amsterdam: Gordon and Beach, 1995.

133. Parthasarathy, T. Some Topics in Two-Person Games / T. Parthasarathy, T.Raghavan // Modern Analytic and Computational Methods in Science and Mathematics, American Elsevier, New York, 1971. V.22.

134. Soner, H.M. On the Hamilton-Jacobi-Bellman equations in banach spaces /Н.М. Soner ii J. Optim. Theory and Appl., 1988. V.57. №3. P.429-237.

135. Ushakov, V.N. Constructions of solutions in differential game of pursuit-evasion. Differential inclusions and optimal control / V.N. Ushakov // Lecture Notes in Nonlinear Analysis, 1998. V.2. P. 269-281.

136. Volterra, V. Sur la theorie mathematique des phenomenes hereditaires / V. Volterra // J. Math. Pures Appl., 1928. V.7. P.249-198.

137. Volterra, V. Theorie Mathematique de la Lutte pour la Vie / V. Volterra.-Paris: Gauthier-Villars, 1931.

138. Yoshizawa, T. Stability theory by Liapunov's Second Method / T. Yoshizawa // Math.Soc. Japan, 1966.Публикации по теме диссертации

139. Котельникова, A.H. Одна задача об игровой стохастической стабилизации управляемого объекта / А.Н. Котельникова // Труды Института математики и механики УрО РАН, 2004. Т. 10. №2. С.69-82

140. Котельникова, А.Н. Одна задача о стабильном отслеживании и лидировании объекта с последействием: препринт / А.Н. Котельникова ; РАН, УрО, ИММ.- Екатеринбург, 2004.- 40с.

141. Котельникова А.Н. Вычислительная схема стабильного отслеживания и лидирования объекта с последействием: препринт / УрГУ им. А.М.Горького.- Екатеринбург, 2004.- 60с.

142. Kotel'nikova, A.N. On a Problem of Stochastic Stabilization// Generalized solutions in control problems / A.N. Kotel'nikova, N.N. Krasovski // Proceedings of the IF AC Workshop GSCP-2004 and satellite events.-Moscow: Fizmatlit, 2004, P. 149-157.

143. Котельникова, А.Н. Отслеживание и лидирование движений симулирующим моделированием / А.Н. Котельникова, Н.Н. Красовский // Тезисы Всероссийской конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», 2004. С. 177-178

144. Котельникова, А.Н. Стабилизирующий люфт в задаче об устойчивости процесса управления / А.Н. Котельникова, Н.Н. Красовский // Вестн. ГОУ ВПО УГТУ-УПИ. Информ.-мат. технологии в экономике, технике и образовании, 2005. Т.61. №9. С. 16-24.

145. Котельникова, А.Н. Об одной задаче о стабилизации / А.Н. Котельникова // Тезисы Международного семинара «Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби», Екатеринбург, 2005. С.92.