Приближение функций многих переменных комбинациями функций меньшего числа переменных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

■Г? ~ Я % •

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ИМ. В. И. РОМАНОВСКОГО

На правах рукописи

БАБАЕВ МЕЛИК-БАХЫШ АЛИ ИКРАМ оглы

УДК 517.51

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ КОМБИ НАЦИЯМИ ФУНКЦИЙ МЕНЬШЕГО ЧИСЛА ПЕРЕМЕННЫХ

(01.01.01 — математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ташкент —

1992

Работа выполнена в отделах теории функций и математического моделирования Института математики и механики АН Азербайджанской республики.

Официальные оппоненты:

член-корреспондент АН Узбекской республики, доктор физико-математических наук, профессор Садуллаев А. С.

доктор физико-математических наук, профессор Темляков В. Н.

доктор физико-математических наук, профессор Конягин С. В.

Ведущая организация: ИММ Уральского отделения Российской Академии наук.

Защита диссертации состоится «¿7/ » Иб&и^С 1992 года о

в _/ часов на заседании специализированного совета

Д. 015.17.02 при Институте математики АН Узбекской республики по адресу: 700125, Ташкент, ГСП, ул. Ф. Ходжаева, 29, Институт математики им. В. И. Романовского.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан «О/ » ¿¿^¿У-г^Х 1992 года.

Ученый секретарь специализированного совета,

доктор физико-математических наук ЛОГИНОВ Б. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТ!:

Актуальность тепы.Вопросы приближения функций многих переменных комбинациями функций меньшего числа переменных являются важными как в теоретической плане, так и с точка зрения приложений к конструктивной 'теории функций,общей теории приближенных методов и другим задачам анализа.Они и своим появлением обязаны теоретическим (Д.Гильберт (1902 Е.Шмидт (1907),А.Н.Колмогоров (1956)) и практическим- (И.Н.Денисюк (1939), ЛЯ />Ш ДО; £.&.Г'К-ЛЗ (1951),и.Р.Шура-Бура (1957)) интересам.

Приближение функций многих.переменных комбинациями функций меньшего числа переменных приценяется в планировании экспериментов,в распознавании образов,в синтезе алгебры логики,в номографии,в построении эмпирических формул,в области ядерной физики;конечные линейные супер-позвции функций меньшего числа'переменных могут быть применены в ку-батурных формулах,в построении методов решения уравнений математической физики.Простейшие комбинации функций меньшего числа переменных играют важную роль в теории дифференциальных уравнений в частных производных (метод разделения переменных Бе^нулли-Фурье),в теории вероятности (стохастическая независимость),в обработке экспериментальных данных и в решении многих других теоретических и прикладных вопросов. Квазиполиномы,представляющие собой конкретный вид комбинаций функций меньшего числа переменных в приближении, "углом" успешно применялись для получения теорем вложения.

В настоящей диссертационной работе решены ряд задач теории прибли жения функций многих переменных комбинациями функций меньшего числа переменных.

Цель рабО'хИ. Исследование порядка наилучшего приближения (н.п.) функций многих переменных билинейными формами,квазиполиномами и суммами функций меньшего числа переменных.Изучение возможностей оценки и вычисления н.и. и построения наилучшей приближающей функции (н.п.ф).

Научная новизна.Найдены порядки приближения Соболевских классов функций многих'переменных билинейными формами в .

Создана новая теория приближения функций многих переменных квазиполиномами ¡порядки н.п. находятся посредством точных аннуляторов классов приближающих функций в пространствах С Н ¿р > 0^-Р 00 •

- и -

Предложены $ориули для вычисления н.п.,в ряде случаев характеризуют класс приближавших функций.Предложены и реализованы ранее не икевдш аналогов способы построения и.п.ф.

Апробация работы.Результаты диссертации докладывались на семинарах акад.С.М.Никольского,акад.С.Л.Соболева л члеь-корр.АН СССР Л-Д.Кудрявцева (ПИАН, 1971 и 19М г.г.),акад.АН Азерб.ССР Й.И.Ибрагимова (И1Ш АН Азерб.ССР),проф.С.Б.Стечкина (МИАН,ИГУ,1960-1990 г.г проф.В.М.Тихомирова (МГУ,1982-1986 и 1988 г.г.),член-корр.АН СССР П.Л.Ульянова ()Л,У,19{^,19Бб и 19о8 г.г.),член-корр.АН СССР Н.С.Бах-валово (МГУ,1985 г.),проф.Ы.К.Потапова (МГУ,1985 г.),проф.С.АЛеля-конского - проф.К.И.Осколкова (Ш1АН.1986 и 1988 г.г.),про£.С.А. Брудного (г.Ярославль,ЯГУ,19Б6 г.),проф.Б.С.Кавика-про$.К.И.Оскол-кова (МГУ,19сб и 1968 г.г.)проф.В.Н.Субботина -проф.Н.И.Черныха (УрО АН СССР,1988 г.),член-корр.АН ГССР Л.В.Хижнаавили (ТГУ.1990 г во всесоюзных йколох по теории приближений под руководством С.Б. Стечкина: в 1980-1981,1983-1965,19Й7 и 1989 г.г. (Иль«еп),в 1986 1' (г.Душаибе), в 1990 г. (г.Свердлозск),во всесоюзной около,поевпцев пой 100-летию акадеиика Н.Н.Лузина (г.Кемерово, 1983 г.),во всесоог ной нколе-конференции "Современные проблемы теории функций (Загула ба,1989 г.),во всесоюзной аколе "Теория приближения функций" (Каш 1989 г.),во всесоюзных симпозиумах по теории аппроксимации в 1976 1980 г.г, (г.Уфа), в Саратовских зимних яколах по теории функций 1 приближений в 1982,198^,1986 и 1968 г.г.(г.Саратов),на расаиреани. заседаниях семинара института прикладной математики им.Н.Ы.Векуа ТГУ (г.Тбилиси,1985 и 1990 г,г.),в Донецких коллоквиумах в 1982 и 198^ г.г. (г.Допецк), в I межвузовской вколе-семмввре "Теория при лихекий и задачи вычислительной математики",организованной ЦГУ в 1986 г. (г.Москва),во всесоюзной «коле по теории функций в 1987 г (г.Ереван),на международных конференциях по теории аппроксимации в 1975 г. в г.Калуга, в 1983 г. в г.Киев, в Польае (Познань,1972 Гданьск,1979 г.), в Болгарии (Благоевград,1977 г..Варна,1981 и

198^ Г.Г.).

Публикации.Основные результаты диссертации опубликованы в рцботах 1-22 (без соавторов).

Структура диссертации.Диссертация состоит из шести глав с общим обьемом в 272 стр.мааинописного текста ¡библиография - 194 названий.

Приложения.Результата диссертации могут быть применены в виав-леречисленных приложениях приближения комбинациями функций ыеныаего числа переменных.В диссертации результаты о порядке н.п. билинейными формами в классе С приценяются для нахохдения порядка Колмо-горовских поперечников классов функций,ассоциированных с каждой приближаемой функцией и для получения теоремы типа Джексона -оценки скорости сходимости к нули.л,л.функции многих переменных кусочными билинейными формами .(§2,4).Результаты о порядке н.п. квазиполиномами посредством точных аннуллторов в конце главы 3 применены для установления оценки скорости сходимости к нулю н.п. кусочно-квазиполиномиальными функциями и кусочными суммами функций меаь-иего .числа переменных.В § 5.3 формулы для построения п.л.ф. приценяются для установления критерии разрешимости одной системы пеал-гебраических уравнений и нахождения ее ревеиий.Кроме того.резуль-таты о прголиаешш билинейными формами (§ 2,4) найдут применение в приближенном решении интегральных уравнений посредством сведения их ядер к вырокденному виду.Формулы для нахохдения н.п. и построения НсП.ф..естественно,найдут приложения и по прямому своему назначении - для замени сложных функций комбинациями менее сложных фушсциИ ые-нмего числа пероыениых.Извесгно,чю уменьшением количества переменных полно добиться значительного сокращения обьема памяти ЭВМ,необходимого для хранения информации, о Функциях.

Содеижание работы.Глава 0 носит вспомогательный характер,где приведено введение к диссертации и дан краткий обзор результатов по вопросам приближения функций многих переменных комбинациями функций меньшего числа переменных и их приложений.

Первая глава посвящена приближению соболевских классов функций многих переменных нелинейными формами - суммами произведений функций меньшего числа переменных.

Первый результат по приближении билинейными формата принадлежит Е.Шшдеу,которъ'Й насел н.п.периодической функции двух переменных .суммами произведений функций одной переменной в ¿а

Рассмотрим пространство ¿^ ¿^(^^ функций ^

- с -

. 1= Го,л

X (/< .<-, /f) определенных на кубе [<if ~ таких, что р

|Д!1Р = ( S Ц d/ ) ¿_ СО \ Р * 00

Дг

/|Л loo =

P = OO

Пусть r = w = , V = (Yw-;Xt).

Обозначим m

б-pir.U) =

Нз|з M; ¿/5С Дr,^

Назовем отклонением компакта Q от многообразия С- (г)ъ^р выражение

В.Н.Темляков в ряде работ исследовал приближение клас-

сов периодических функций многих переменных билинейными формами

ZT Vk С W .когда группы переменных Uni/ содержат оди-

наковое число переменвнх.Это классы w* t £ \ух fjr г ' У V p

я ■ А/Нр периодических функций,определяемые огравиченнями яа

соответстгущие чест/ше производвие или ограничениями ва соответ-

ствующие допредельные рааностн. Им найдеяы порядки приОлихешш этих классов функций для. Р и »соответствующих об- ,

ластям I - 1У» ^

Пусть 6, С ({ -куб" с ребрами,параллелгнкяй.яоор^ .'.

дикатнш осям, < - »еегри«' "

дательное число, >( ¿^¡¿г*» »

> 4

Обозначил через IV.г соболевский класс функций на А

у

удовлетворявши условия« .

II L, (и) - ^ И II ^^ iho) ~ ^ «где при целой V

а при нецелой f (")

МП* = Г П i&J^-Urf»;

ff] -целая часть f Q - ^ _ [у"} «а суммирование ведется по всей неотрицательный целочисленный векторам ,для которых

Irl * Г .

В §§ I.1—1.2 решена задача о порядке н.п. соболевских классов \л/7 функция нескольких переиеииих множеством билинейных форм. Далее порядковое равенство х »<»1 эквивалентно

двусторонним оценкам C'i £ &^t - е/)с константани

О ¿с2 со ,це зависящими от Ы.

ТЕОРЕМЫ I.I - 1.2. Имеет место соотноаения

^JSV < < , и * ^

' 1 ' I - — И Т тт !+—-- , I, г ъ , п, Г^. V ;> v

л * f* ^ ЛУ < <

L'M1 f 5 ''' 1У 2 ~ сч> , V

• Для доказательства этих теорем сначала с помощью метода дис кретизац.ш задача сводится к оценкам аппроксимации Р -октаэдра

\Ьбилинейными формами в пространстве К .Далее,задача

редуцируется к оценкаи для Колиогоровского и - поперечника.Применение известных оценок для И - поперечников и их оптимальное суммирование приводит к требуемому результату.

В задаче о порядке приблияения классов • W^ в непер» одической случае билинейными формами с произвольным разбиением I переменных i > - • » на две группы теоремы I.I -1.2 обе

лухлвают области II и III (метод доказательства этих теорем отл! ч'ас!сл от иетода,примснеиного В.Н.Темляковым в периодическом ел} Отметим,что в случае области II оптимальными билинейными $с ыами служат пространства сплайнов, а в случае области III -случг ные билинеГшыо формы,полученные с помощью оценок Б.С.Касина для аппроксимации конечно-мерных тел случаПными подпространствами.

Сравнение теоремы 1.2 с соответствующим результатом В.Н.Те» лякова по^аэывиег,что б случае области III специфика групп nepei

ных различной длины проявлнстся сце и в том,что порядок (w.

мг* f

явным образом зависит от г .

В § 1.3 решена задача о порядке непрерывного уклонения собс левских классов V/J функция нескольких переменных от многое

г**/ \ '

разия & С/ функций.представлящих собой суммы произведений ^ циЯ ыеньпего числа переменных в пространстве при \ й Р £ i

Пусть \), flj , ct = .■i.Jr -натуральные числа;

р "Z^i«', 2j.J некоторая совокупность подмножеств ^

множества переменных

(IjL 7 число элементов '.Рассмотрим многообразие ,

f11 5 = A, ^^ A,

Не нарусая обмости,положим . cj. ~ ci^ •==. Vv.ujrr/.

бозначим через I/ множество всех непрерывных отображений А омлакта Q С Lp в многообразие G-Mr .Назовем непрерывным клонением компакта Q от многообразия '& в Ьр величину

. <ГН (Q) = С Л С, up \\Х-№\\0 .

ТЕОРЕМА 1.3. При | с р ъ £. ± со .имеет место соотношение

У

С/ЧЧ •

В § 1Л изучен квазипоперечник по Колмогорову класса . в

ростраиствё ¿р и найден его порядок (теорема IA).

' Из утверждений теорем 1.3-1Л следует,что порядок н.п. классом

г

полилинейными формами из многообразия естественным образом за-

исит от М - "длины" полилинейной формы, от f - гладкости прибли-

аемого класса и от t - количества переменных функция класса W/

Р

этих результатах проявляется и качественная сторона : порядок н.п. ависит от (количества) переменных групл.содераавдх наибольшее число временных и не зависит ни от групп,содержащих меньшее число пере-енных и ни от количества групп переменных.Отсюда следует практичес-ая рекомендация : для получения хороиего порядка н.п. (в пределах озмокностей данного приближения) достаточно брать одну группу с ольвим числом переменных - все остальные группы переменных (для прощения вычислений и для использования меньшего обьема памяти ЭВМ вычислительных процессах) достаточно брать состоящимся из одной ереыенной.

Вторая глава посвящена вопросам н.п. билинейными формами. Первый результат о существовании н.п.ф. нелинейными комбинацией функций меньшего числа переменных - а именно,при приближении :ериодических функций двух переменных суммами произведений функций |дного переменного - был получен в '¿¿. Е.Шмидтом в 1907 году. В .964 г. А.Л.Браун в пространстве С получил отрицательный результат: !яя любого и существу»? яепрери>*-"' •г дня двух переменных < i z

7] G.. (?} , (.у,i •• ••sro? »5 i. , i ■" Г°»0 л С lift существу.-»

' "- yi

¡.п.; ; Г' (¡\Ц} . В далькейе«

установлен рад теорем существования длй приближения нелинейными к бкиациями функций менызего числа переиешшх с дополнительными огр ничонияыи на приближаемую функцию (С.А.Ыитчелли-А.Пинкус,1978 г.) или на класс приближасдих функций (С.А.Церетели{1968 г.),11.С.Генр Д.А.Браун{1973 г.),Ы-Б.А.Бабаев(1983 г.)).

В § 2.1 доказывается теорема существования в приближении &ш нейными формами в при | ¿. р * <х> , Рассмотрим н.1

М {

£ функции $ классом билинейных форм' ^ ~ ^р ^)

в пространстве V (задачу )

■ Е (!,£)р = М 1и-5Й / ,Л , \ £ 6 Сг Р ' '

ТЕОРШ 2.1. Для любой функции $ £ ¿р (-) в задаче

ьИ'б)? суцествует наилучвий приближающий элемент. •

В доказательстве этой теоремы используется понятие аппрока тивной компактности,введенное Н.В.Ефимовым и С.Б.Стечкилым,бази< Аузрбаха,теорема Эберлейна-Имульянца (критерий рефлексивности б; хова пространства),равномерная выпуклость пространства п|

о .Доказывается,что ынояеетво билинейных форм (

при •) с. р < >о . является аппроксимативно компактный.

м . ^

Поскольку множество билинейных форы £»р (Г,1 ) не пвляе

выпуклым к как устаиовшш К.В.Ефкиов и С.Б.Стечкин "для того.чт чебыаевскоо множество равномерно выпуклого и гладкого банахово транства было выпуклым ыеобходимо.и достаточно чтобы оно било г роксикатнвно компактным",то в простгансгве Ьр пра

цаилучсая приближаемая йилиноПная фориа длп некоторых элементе! ян единственна. •

Далее,в главе 2 вводится в рассмотрение следующая задача: . Рассмотрим сортированное пространство . )( .Построй семей

, непрерывных операторов У —> X. ;. «завйсяадх от яекогор

параметра О б Т с Х ' .Семе?.стгс Ч^а]^ ¿Т будем незкза

точным апнуляторои (ТА.)' вшохесгза'/ К.С У «если

I £ И <=> \/ £ = О е Г

Г ^ л

Примеры ТА : I) Семейство Кк С-|Я. ' ,где - г -я

разность функции одного переменного с пагои 1т ,является ТА множества алгебраических полииоиов степени ^ : 2) Семейство операторов

I ^Ч^СЫи)* «Где смененная

разность функции двух переменных с нагон 1м и (12 соот-

ветственно по перемени:-::; ^ У2 ,является ТА иночества функций

вида . ^

В случае,когда удается построить ТА \/сЗ масса " возникает прЬблеца установления двусторонних неравенств видаЛ ЦII ^ , У-

где полозитслышо постолшшв А и В но зависят'.от $ ,а норма НМ^П

берется относительно аргументов фу'д:цка ^ к параметра 0 »

В § 2.2 установлен критерий лрздставкности функций многих пе-реиешшх б виде билинейной формы.Строится ТА класса' билинейных форы. Пусть С(Т) пространство непрернвпш: функций на нкояестве

Т = У" * V , У С £ V" С . Рассмотри! класс билинейных форы

)1

Пусть ((З^» я'"'') .Взэдеи понятие ТА иноззстза О-

как параметрическое семейство с- О непрерывных опера-

торов из С(Т) а С( О ),общая часть мзодества нулей которых

совпадает с & _ м.<

ОПРЕЯЕЛЭДЕ.Точна.'»' аннулптором кнохвства О^Т) назшза-

■ется либое семейство непрерывных операторов {\7gjg ^ 0 113 С(Т) в С( & ),такое,что справедливо "оогпопеяие

Ч -е ¿""(г,-)

Задача состоит в тон,чтобы для характеризации класса (г = Сг (Г,Т, построить ТА достаточно простой структуры и такой,чтобы длп каждой функции ■fiv.rte С(Т) величину н.п. uosho было

достаточно хорошо охарактеризовать с помощью значений Эта задача реаается в §§ 2.2-2.3.

Возьмем Q • Т ,тако",что О 6 0<~> О - (У(,...,ХМ A^-.VVO

гдо X;£-У с: у. tVc и определим оператор ^ на С(Т) ш формуле м

Ясно,что это непрерывный оператор,отобракааций С(Т) в С($).

ТЕОРЕМА 2.2.При каждой оператор являете

точным аннуляторои множества билинейных форм Gc if.T)

В § 2.3 вводятся двусторонние оценки для н.п. бт

неНныии фориаиа в пространстве С через значения этого ТА ни элементе $ . Пусть X и У 'замкнутые ограниченные множества.Наряду с

введем еце ТА (практически отличавцийсн от

на .отличйус от нуля множитель) пол окна

cm

о

TEOftRM 2.3-.Для любЪИ Функции £ f С справедливы оцс

В f 2А приводится два приложения теоремы 2.3: Устапзвзнь'а! двусторонние оценки Колмогоровой»« поперечников классов функций,

соцкированаых с кахдоП''функцией J-£ С'- Т) .В качезаве гторо:

приложения теоремы 2.3 устанавливается оценка скорости сходимости к нулю н.п. функции многих переменных кусочными билиноШшми формами в

пространстве С (I ) - теорема типа Джексона Ст.2.5).

Глаза 3 посвящена установлению двусторонних оценок для н.п. ли-неЛшлми формами - интерноляцношшми квазиполиномаии,э частности сум-маш; функций меньаего числа перемешшх посредством семейства ТА классов приближающих функций.В этой главе 4' ~ вещественная или комплексная функция 1л действительных переменных. Пусть Т и -мерный куб

- I" ,1 , ^ -мерный тор ТИ , Т ЛИ

И -мерное еьклидозо пространство /Г ; У= У О) - линейное

пространство Фушсшй : ~Г —? 'Х- ,где = или С.

В § 3.1 установлен критерий представимости функции многих переценных суммами функций меньшего числа переменных в пространствах. С и Ьр (строится ТА класса 2Г -сумм функций меньпего числа переменных). Пусть х х*) £ Т ? ^¡7-? ,где X ~ ^ или С; О = ©„) с-Т^

е-1, (о,..., О0,...о) £ Ао/ = Д(-М>-

Обозначим через 2) некоторое множество подмножеств м -

Ъ - { £)>•-, , 5"; С и ,{ = <*£} ¿1 »= .

Для «аздого $ - I ¡¿¡1- (число элементов

множества $ )смесэнну» разнопть А о «)... (^(/«п)будем обозначат!

через Д^ = .Пусть О -множество' всех подмножеств И

не являющихся подмножеством ли одного из ¿ч*, :

о = ^ ¿-С1Й / (Г <£<Гг = }.

Пусть г или у" .Ннокеству 25 сопоставим совокуп-

ность линейных операторов:для функций 4 .изыершшх в ф ,

й г: Д^ , мб,

а. 2В Хс-о

д для функций 4 .измеримых в К,

■7^0 • - Л..4-

г

•г

- —

Рассмотрим группу переменных - XV ^ {I ^ 6 \ > ~ ^ ^

' I ' ^

и обозначим V - { Щ • • • • ,М«.1.Пусть 2Г ^ ((/;)^

мнокество сумм вещественных или комплексных функций.Рассмотрим клас функции

ТЕОРЕМ 2..1. I.Пусть ^ а ОСТ) .тогда

^ £ -о У/ е еТ

II. Если £ £ Ар 17),то | £ 27= О для почти всех £ Т

где Т2 означает 72* , -у ули ¡^^ .

В § 3.2 находится порядок н.п. функции многих переменных клас X при помощи ТА этого класса в пространствах С(Т) а ¿р(Т) ^

О^ Р ~ о° .Рассмотрим н.п. функции 4 классом

функциП <?(*) н Г $¿(110 *

где 'У(Т) одно из пространств С(Т) апн. ¿.р (7), 0 *1° £сх> ,

Определим ^ -модуль непрерывности функции ^ У на множестве следующим образом ,, т« м •

ТЕЙР^ Для любой. функции

X е У <т>

На самой доле доказано больаеустановлены двусторонние оцеш; вида (I) с коаффациентаШ1;когорно: «С2но оценить или вычислить.; '. В § 3.3 рассматривается задача н.п. с икторполяцпей,Пусть 2

некоторая совокупность пояинохоств <) множества И = {. />"•> ^ = V 5* % ^Зададимся вектором с

наг/ральнаии-кобрдййатавд"а", .Обозначим".

<Г У ; ,"'<*г> ^Г ' -Л"«"}'

(Ms f^-f ^

r = г = ntr ,

ot^o 0( Ilif о 0

.5; - (XNYl) - У;.!, ft*, >"'/„) )

аналогично определяется x^ - (X\ Xf).Пусть fj? (p) полином относительно группы переменных степени (т.е. сте-

пени относительно переменной ) с константами,

зависящими от остальных переменных:

^ (Ые Л of?

Выражение

'J //и ч '

будем называть квазиполиномом порядка (/-у— .Таким образом,

.квазиполином представляет собой конечную сумму,кахдое слагаемое которой является полиномом по некоторой группе переценных с коэффициентами, зависящим: от остальных переменных.

пусть 4 • к ,гдо 1--Ы ; fJ =

jb натуральные, ± ¡ч. ^¿-j^ .Обозначии через О совокуп- •

jttf) уЛ ---- —.Л»

иость сечений куба К с плоскостями Xj ~ } г Д- ,с(°

G = К .

Uhoecctbo квазиполиномов П* а) .совпадаюэдх на мноаестве &

•

с функцией будем называть классом С- -интерполяциойвых ква-

зиполиномов'« обозначать через

¡01 = Г&Ш) - / /j>) j &Г-

Яусть ,, ' и ' I? ч v/r

■ щНл ä (sitM/fa)

' i о

Обозначим через Zp-^(k), Р - (Й>.., пространство функций .Р - .f (*} »для которых существует и конечен интеграл

ЙМ^НЧ<ю = 11(11-11%,...//^ )це ,

I 1у 1 И-1 I и

а ¡ти, - Шес^ ' я ' '

Рассмотрим классы

. • ' 1&1С = 1&псш) i = ■

Находится критерий представимости функции многих переменных ь виде интерполяционного квазиполинома - строится ТА класса интерполяционных квазиполиномов с использованием разделенных разностей с произвольными узлами.Решается задача (I) - находится порядок н.п. функции многих переменных классом интерполяционных квазиполиномов с помощь» ТА отого класса в пространствах С и ¿р -со сиипанной корт

ТЕОРЕМА 3.3 .Пусть ^ С ¿р ( К > , где Р./ Ъ • • • ^ Рн > О

пли Р^ <> I , с - .Тогда

Здесь в правой части равенства стоят модулз/нелрершшости.определ яемый с помоцьи ТА класса интерполяционных квазиполиномов.

Б § ЗЛ приведены два приложения теоремы 3.3: Найдена скорость стремления к нулю н.п. шдаествоь: кусочных суй.; функций иеньаего чис ла переменных (теорема 3.4) и установлена оценка скорости стремления к нулю н.п. множеством кусочных квазиполиномов (теорема 3.5).

В случае функций одной переменной задача прибликешш кусочно-ш лнноыиалышыи функциями (составленными из интерполяционных полиномо; Лагранаа)впервые была исследована Ю.А.Бруднцн и И.Е.Гопенгаузом.

В заключение к результатам третьей главы отметим следующее.Первым результатом,относящимся к репению задачи (1),ло.видиноиу,можно отнести теорему Уитш:,давдую оценку сверху н.п, ограниченной цзмери функции одной переменной на отрезке 1*0,4] алгебраическими полино нами посредством конечных разностей приближаемой функции - фактичес ТА классом полиномов.Хотя была приведена лиыь оценка сверху,оценка снизу Очевидна.В дальнейоем этот -результат был установлен в прострг стве 1р при Р'/\ Ю.А.Брудшш -и при Э.А.Стороне!

В случае функций многих переменных первый результат об определении

порядка н.п, одним классом квазиполиномов (в случае ^ .= 1 ¿цц.-,

- , )в пространстве ¿ 0 , / юрпагл

хит ;0.Л.Брудному.Необходимо отметить,что отдельные случаи квазиполиномов впервые встречаются в работах Я.С.Бугрова,Л.П.Терехипа и в серии работ М.К.Потапова.

Посуроенны:! в § 3.1 ТЛ класса 2Г представляет собоН семейство лине"н1с: комбина-Ш смешанных конечных раэиостеЛ (первого порядка по ссответстз^адим переменным).Семейство конечных разностей с равнораспо- ' лощенными узлами мо:;:ет бить точным аннупятором также некоторых подклассов класса квазиполиномов,как,например,семс!'.ство | ... |

является ТА класса квазиполиномов рассмотренном Э.Л.Брудным.Однако, использование конечных разностей с равнорасполояенними узлами ограничивает возмонности реаения задачи (I) для кироких классов функции.Определение ТА при помощи разделенных разностей с произвольными узлами з § 3.3 дает возможность на.Чт;: порядок д.п. функции многих переменных классом произвольных квазиполиномов.Кроме того, появляется возмонность исследовать более обцую задачу - определение порядка н.п. множеством интерполяционных квазиполиномов.Эта задача новая и в случае функций одно:! переменно:!.Удастся такяе рассматривать эти задачи и в пространстве со смеганно.": цормоЛ ¿ 3 , р = (Р\ > • • • ,Я,) .причем Р^

могут Сыть и меньпе Х.Лрн установлении ТА класса интерполяционных квазиполиномов непользувтея элементы комбинаторного анализа.Кстати, для множества произвольных квазиполиномов ТА,используц;;и.1 конечные разности с равноудаленными узлами неизвестен,а для класса -интерполяционных квазиполиномов КЯ незозмохен,т.к.фиксирование одного . узла в конечно.'! разности $ автоматически приводит к. фиксации всех узлов.

Четвертая глава посвямона вопросам вычисления н.п.,определения характеристических свойств некоторых классов ФушсаиИ с помощью формул для вычисления н.п. Пусть

П - | У С 1Г/ с<; £ г~ о^'-ч , <'- *?] .

п -верный параллелепипед.Бмбрзз чкслэ О ко ^ К, «•• ¿. Ум -сюзлачнм СК - С к о,..-, к^) 5 Ы .Полони м

{ - , - СХк. ц . Ук- ) = ■

С 1-\ <

Лалеа,пусть

- 18 -

мнскество вераин ^ -черного единичного куба; обозначим

М* . -«« .nf?T)

Рассмотрим отображение Jи О ' " множества

во множество вергшн v* -морного параллелепипеда (HVJ

.....

Обозначим через ' = класс функций

l^--? & > X ( ПЮ,к) .удовлетворяющих для произвольного n¡ раллелепипеда П(й,10 условию

Пусть

означаем к,и. Функции мноке

твои л4 - ) tf = (т.е. сушами функций,зав»;

• i Нщих от Vv»--i групп переменных) на Р . .

=> Шч/.ш*,/.)]--^ «.пич).

Эта теорема является частно: случаем теорешг <t.I из § в : тсроИ приведена формула 'для вычисления и.п. для функций более обц

класса V^ ,чеы .В частности,при выясняется л

бопытвая ситуация:для вычисления л.п. функции и переменных из г. са суммами функций. И-'' переиенних на параллелепипед

níC,^) достаточно вычислить коикретну« линейную комбинации значен приблиг:аемой функций В вершках этого нарзллелепипода.В случае w теорема '».I содернит существенное усиление одного результата,сфо] лироваакого Л.Олагго без доказательства^ при vv г и - 2. случае приближения функции двух переменных сушами функций одной ременной представляет собой усиление одного результата С.Н.Хавин который в свою очередь является усиленней соответствующей теорем.' Т.2.Ри|лина и РД.Вйбяера, '.

Б § 4,2 рассматривается■приближение функции многих перемени функциями ценьвего числа переменных- на мнокествах,отличных от на лелепипеда и ковд в праблиаащец аппарате'некоторые переценные отсутствовать.Рассмотрены случаи,когда в таком приближении удае? вычислить н.п, н построить н.п.ф.

Основным результатом главы 4 является установление характеристического свойства класса М^ .используюцсе формулу для вычисления "и.п.:

теорегм 4и. $ е м \/ nils) с ПШ,и)

5 г с,лап! - а,п(?#т)) •

Пусть D -некоторый дифференциальный оператор.Совокупность

функций Vq = (£>4)(r) о} назовем классом D -выпуклых

функций,ядро оператора классом

D -линейных функций.Пусть Q С .Рассмотрим н.п.

■ (2)

В 1981 году В.JJ.Тихомировым была поставлена задача: Охарактеризовать

классы Чэ функций одной и многих переменных с использованием н.п. (2).вВ § ЬА приведены репешш этой задачи для некоторых классов. _

Приведем один характерный результат.Пусть Q . -класс

линейных функций & .Заменяя условно существова-•

йия Л" непрерывности) 4? »получим усиление этой задачи,реаениеи которой, служит '

ТЕОРЕМ Ь.5 .Лля того,чтобы непрерывная функция -f на отрезке r^.tj была выпуклой,необходимо и достаточно,чтобы ..

I/ ртг+юсгс.с:) , еуц^с^сrw\) •= ~ 2 \ V» ~ t? J'

Пятая глава посвящена исследования!! н.п. и н.п.ф. В 1956 г. А.Н.Колмогоров показал,что если ^ -непрерывная функция па един-чном квадрате со сторонами,параллельными координатным ос-пи, тогда в классе { <p(t)-t ^iy)} существует н.п.б. та;:ап,что каждая из функций </>* и V*" ккеех модуль непрерывности не хузе,чсм модуль непрерывности ^ .В § 5.1 установлена теорема типа А.Н.Колмогорова - доказана существование иаилучией приблинавцеЯ суммы функций ценьзого числа переменных,;/ которой модуль непрерывности каждой слагаемой функции по некоторой группе не хуке.модуля непрерывности щлблилсаеной функции по ото!! хс группе переменных.

В § 5.2 построена наилучшая приближающая суша функций меньаего числа переменных для произвольной функции из класса W,J< .Обозначим

^ => Н^*'-«^},«

с; - , - ^ я*+М;

где • \ __/ _ /

. >1РОЗ$~0 ;Р4 ¿о,*

Через ["(<3^ Лп1 йУдем обозначать значение функции

I £ в точках,координаты которых состоят из Р групп 0[ > 1с1р ,

групп ^ , 0 * ^ и Алл - групп ¿и > 1( 6 £1

ТЕО^ЗМА 5.3. Для каждой функции £ £ сумма

г;.

4 /^¡Н / —

является н.п.ф. в приближении Е Г4\ 1

Таким образом пользуясь теоремой 5.3 можно написать явшй вид наилучией приближающей суммы функций ыеньвего числа переменных для

всякой функции из класса

.При этом н.п.ф. представляв:

собой линейную комбинации проекций приближаемой функции на границы параллелепипеда ГКй,^) ,

В § 5.3 устанавливается связь между н.п.ф. и решением одной сис' темы,вообще говоря,неалгебраических у равнений.Пусть ^ £ М) •

Обозначим § = ,П(6/-й)) ,где

представляет собо параллелепипед ; б-*,/*! .Составим систему уравнений

£ № , -I .....Лу •■■> 'О ...>/*.)

? Г ') «-,->•• - ) (\T4-s) ; =

<)

ТЕОРЕМА 5Л.Пусть ] ? и система (3) имеет репение_.

1 - 1 .Тогда функция

Г° = .....А)

является н.п.ф. в рассматриваемом приближении.

Этот результат позволяет установить критерий разрешимости уравнений вида (3) с помощью формул для построение н.п.ф. (теорема 5.6). Результаты,полученные в §§ 5.2 и 5.3 аналогов не имеют. § 5.4 посвяцен установлению эффективных методов,при помощи которых для оценки н.п. достаточно произвести конечное число вычислений-обстоятельство,которое с точки зрения приложений представляется весьма вазныи.Некоторые из этих оценок (теоремы 5.7 и 5.8) определяет • . такке и порядок н.п. ' _ , .

ТЕОРЕМД £.7. Для любой функции + £ С (П(Ц,н)} имеют место точные неравенства

бир

п1\чкп<РЯ 7

Автор выражает благодарнозть'С.Б.Стечкииу и П.Л.Ульянову,на семинарах которис в течении многих лет апробировались -результаты диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в следуэдих работах (без соавторов).

1.0 пргблигении многочленов двух переменных суммами функций одной переменной.-Докл.АН СССР,1970.т.193,й 5,с.967-969.

2.С точных оценках приближения функций многих переменных суммами функций меньпего числа переменных.-Матем.заметки,1972.т.12,вып.I, с.105-115.

3.0 приближении многочленов двух переменных суммами функций одной переменной.-Лзв.АН Азерб.ССР.сер.фиэ.техп.и матем.наук,1971, . !:2,с.23-29.

4.0 си)йствах наилучшей приближающей функции.-Изв.АН АзерС.ССР, сер.фкз.техн. и матем.нау:с,1972,КЗ,с.20-25.

5.Приближение функций трех переданных сушами функций двух переменных.-СооОщ.АН ГССР, 1976,т.83,М,с.309-312.

6.Оценки и способы нахождения точного значения наилучшего приближения функции многих переменных суперпозициями функций неньпего чи ла переменншс.-В кн.:Спец.вопросы теории функций.Баку,1977,с.3-23.

7. /ррго кЛкц (о Иы^аI (у

а s(лиилёсг оЛ . ^(По^и^Л'ои

ьрсич>.~ о-^ {Ь сьь&иии КгеЛ

21-ъ\,

8.Прямые теореии для приближения функций многих переменных сушаии функций менызего числа переменных.-В кн. :Спец.вопросы теории функций.Вып.2,Баку,1980,с.3-30.

9.Экстремальные элементы и величина наилучпего приближения монотонной функции в ¡Яи суммами функций меньшего числа перемен-ных.-Докл.АН СССР,1962,т.265,К1,с.11-13.

' Ю.Характеристическое свойство одного класса функций нескольким переменных.-Теория функций и приближений Труды Саратовской зимней пколы,19&> г.,часть. 2,1983,Саратов,с.14-17.

II.Экстремальные свойства и двусторонние оценки в приближении суммами функций неньаего числа переиеннцх.-йатеи.заметки,1984,т.36, «?5, с.64 7-659.

12.Наилучшее приближение функциями меньшего числа переменных.-Докл.АН СССР, 1964,т.279,112,с.273-277.

13.Приближение соболевских классов функций]зушаш1 произведений функций менызего, числа переменных и квазилолеречники'.-Докл.АН Азер ССР,1986,т.42,ЙЗ,с.3-5,

14.Оценки наилучаего приближения квазиполиномами.-Теория функ1 и приближений.Труды Саратовской зимней школы 1984 г.,часть 1,1986, Саратову.31-33; ' ■

¡^.Приближение соболевских классов функций суммами произведений функций меньшего, числа переыенних.-Труды МИАК СССР, 1987,т. 180, с. 30-32

16.Наилучпее приближение билинейными формат?.-Деп.ВИНИТИ.2, 1967,!!? 8624-В87.16 с.

17.ХараКтеризация некоторых классов функций с помощью наилучи приближений.-Теория приближения функций.Труды международной конф; реншш,Киев,31 мая - 5 июня,г.Москва, 1987,с.23-25.

18.0 кзазипоперочнике по Колмогорову.Тезисы всесоюзного сшго-яума по теории приближения функций,Уфа,1987,с.12-13.

19.0ценка скорости стремления к нулп наилучаего приближения ку-очно-квазиполпномиальнюш функциями.-Теория функций и приближения, руды Саратовской зимней сколи,1986 г.«часть I,Саратов, 1987,С.132-Ш.

• 20.0 наилучпеа приближении билянейншш формами.-Нахец»заметки, 589,1.16,1131.2,0.21-33.

21.Приближение соболевскпх классов функций сумками произведения 1упхциЙ меньшего числа П9ременншс.-1!атои.заметлп,1990,т.<>8,вып,б, • ! Л 0-21. V

22.0 порядке ириблиаепия соболовского класса билиней-

!шш формами зз ¿/> при ^ £ Я - Р £2 ,-Цатеи,сб.,1991,тЛ82,

Я, с. 122-129.