Применение вариационного принципа Лагранжа для решения задач статики упругого параллелепипеда и цилиндра при согласованных краевых условиях на некоторых гранях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Р ' Г Р П

«^я и и и \>

БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

На правах рукописи

БОЙКО Инна Яковлевна

УДК 539.3

ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННОГО ПРИНЦИПА ЛАГРАНША ДЛЯ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ СТАТИКИ УПРУГОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА И ЦИЛИНДРА ПРИ СОГЛАСОВАННЫХ КРАЕВЫХ УСЛОВИЯХ НА НЕКОТОРЫХ ГРАНАХ

01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Минск 1992

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Белорусской государственной политехнической академии.

Научный руководитель - кандидат технических наук,профессор

Крушевский А.Е.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

И.А.Прусов,

кандидат физико- атематических наук, доцент В.П.Домашов

Ведущая организация - Институт прикладных физических проблем при БГУ имени В.И.Ленина

Защита состоится "" июня 1992 года в "часов на заседании специализированного совета К 056.02.04 в Белорусской политехнической академии по адресу: 220027, г. Минск, проспект Ф.Скорины, 65, ауд. 204.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белорусской государственной политехнической академии.

Автореферат разослан

Ученый секрэтарь специализированного совета, кандидат фиэи-ко-математических наук,доцент

мая 1992 года

Ту» Г.Л.Бахмат

(С) ъелорусская государственная политехническая академия, 199:.'.

•• Тл- JЛ

ОЦЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

ЧП?! туэльностъ . Для решения техничоских проблем существенное значение имеет вопрос построения решения прикладных краевых задач теории упругости в явном виде. В связи с этим очевидна целесообразность проведения работ в направлении дальнейшего развития и практической реализации методов, позволяющих строить приближенные решения некоторых частных задач теории упругости в виде, удобном для использования в инженерных расчетах.

Цель работы. Разработка и приложение модифициро -ванного варианта метода Канторовича-Власова, основанного на заблаговременном удовлетворении естественных для вариационного принципа Лаграялса условий равновесия внутри и на границе упругого параллелепипеда и цилиндра при согласованных условиях на некото -ркх гранях.

Научная новизна.1. Разработан модифицированный вариант метода Канторовича-Власова решэния трехмерных задач статики теории упругости для параллелепипеда и цилиндра при согласованных краевых условиях на некоторых гранях.

2. Решены задачи сжатия параллелепипеда, на плоских торцах, которого заданы нормальные перемещения клинообразной пирамидальной, параболической эпюр, равномерно распределенные перемещения.

3. Решены задачи изгиба параллелепипеда равномерной и треу -гольноЗ распределенными нагрузками, осесшметричнне задачи из -гиба цилиндра касательными перемещениями и нормальными напряже -ниями, неосесимтотричная задача изгиба сектора'касательными нап-ряиенияма.

Достоверность полученных результатов подтверждается непосредственной проверкой уравнений Ламе и краевых условий, а также сравнением результатов автора с известными аналитическими результата«™.

Практическая ценность. Результаты рас -чета, использующего итоги решения задачи изгиба упругого цилиндра, применены и с достаточной для практики точностью совпадают о результатами тензометрических исследований, проведенных на:

I) экспериментальных обра&цах элемента рукава высокого давления научно-исследовательской лабораторией тракторов и систем

У

управления (ЮН ТСУ) в соответствии о х/ц Л 929 от 21.09.79 г. между ПО "Гомсельмащ" и Белоруосхим политехническим институтом;

2) серийных образцах детали п/я научно-исследовательской лабораторией "Гидропривод и гидропневмэавтоматика" (НИЛ ГАГП) в соответствии о х/ц й 1504 от 24.04.82 г. мезду предприятием и/я Р-6194 и Белорусским политехническим институтом.

Апробация . Основные положения и результаты работы доложены и обсуждены на научно-технических конференциях Белорусского политехнического института (Минск, 1973, 1975, 1978, 1979, 1981, 1983, 1585, 1987 гг.); на научном семинаре кафедры "Теоретическая механика" Белорусского ордена Трудового Красного Знамени Государственного университета (Минск, 1985 г.); на семинаре по механике сплошной среды Донецкого Государственного университета (Донецк, 1986 г.).

Публикации .По тема диссертации опубликовано 9 работ.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, краткого обабра литературы, четырех глав, заключения, списка использованных формул оумм рядов, приложения, содержит 137 страниц машинописного текота, 24 рисунка и список литературы, включающий 141 наименование.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Ооохоянио вопроса. Краткий обзор ряда работ различных направлений, в тем числе и работ, поовященных обоснованию и развитию вариационных методов решения задач теории упругости, свидетельствует о том, что до настоящего времени недостаточно иоследована эффективность вариационных методов применительно к решению трехмерных задач теории упругости. Существенный вклад, в развитие вариационных методов внесли ученые Б.Г.Галеркин, Л.В. Канторович, И.М.Филоненко-Бсродич, С.Г.Михлин, В.Л.Рвачев, П.М. Огибалоэ, В.Н.Ионов, Б.Ф.Власов, В.Э.Влаоов, Л.Е.Мальцев и многие другие.

Здесь же сформулирована цель диссертации и приведена общая методика выполнения исследовании.

В первой главе даны теоретические основы предлагаемого метода: рассматривается вопрос выбора аппроксимирующих функций и общий метод построения решения задач о параллелепипеде и цилиндре.

Искомые перемещения произвольной точки упругого тела ищем в классе полных, ортогональных на замкнутом отрезке (-/0? , ¿^/[г ) функций координаты Z основной тригонометрической системы и полиномов Лежандра:

U.Vo.jf Vr +

сю , I

' £ I Uta sen (Z£j +Ute C0s(zi)j'f V- Voj- fVr '¿(/¿g-f) И *

Z (Vis s¿/z f^ij -f- ТЛс cosfzs.jj •

00 i

^ z: (Wis sin (zi) Же ¿üs(zi)) .

Зависимость обобщенных перемещений от координата У для па-раллелетшеда или от угловой координата ß для цилиндра представляем аналогично. Например: ^

Uic = U<xo ^Ute t + 'J/ г-

1 £ (UicKC COSfa) ' UicKS ¿¿.Ъ(УК)); (2)

' /г" > J/r~ ■

Общий метод построения решения задач состоит в заблаговременном выполнении кинематических и статических граничных условий на поверхностях Л - ± <'\ и у и условий равновесия внутри

тела.

Проследим последовательность построения решения. Ряды (I) удовлетворяем непосредственной подстановкой значения £& красным условиям на гранях ■■

а) для задачи растяжения (сжатия) - нормельннм перемещениям и касательным напряжениям Хт у~ ■ :

при * , Т„ = X? , Ту, ~ yj ; »>

б) для задачи изгиба - но]малышм напряжения?«! 2? и каса -телышм перемещениям U^ , ¿чг :

при a = ult tr=V* . w

В итога определяются дополнительные функции (шеоть функций при полиномах Ледаддра).

Как следует из структуры предлагаемых рядов (I) и характера удовлетворения краевых условий ка гранях в искомых ря-

дах осталось 9 функций координаты У (2), каадаая из которых содержит. по 5 неизвестных (функций координаты а- ). Для нахокде-кия этих 45 функций составляем уравнения равновесия внутри тела и на его поверхностях У-±

Во второй главо иллюстрируется применение предлагаемого метода для построения уравнений равновесия внутри тела и на границе У- ±.

Для обеснечекия удовлетворения рядов (I) уравнениям "внутренних сшзей" используется уравнение Лагранжа в форме уравнения равновесия элементарного столбика тела:

+ дяJ(j'T)&dz -Cr-S&dz

■i-

^iX-f^Sa-di+i

%

(5)

/?2 !S

В (5) приняты сладу паие обозначения:

а Ж--. j ■ й=т J >

L,_J - единичные векторы осей X и У ; Fn. - вектор поверхностной силы; J3 - плотность материала; /? - вектор объемной силы;

Т-Т= Z-(T1ii-7zf+ %Rj=f, ---ÖJCxItTxyj-tTxzK. iß)

T'Üt - бискалярное произведение тензора напряжений на тензор возможной деформации; ЬÜ. - вектор возможных перемещений.

&iL-8al+()vj-r-dw-R. (7)

,-v </'

DU., ¿¡¿f, $U/- возможные перемещения точек тела, прадстааяен-ные функциями

f, Un(Zi)f CüS(Zi). ^ w

В оилу независимости вариаций frtlM', Skr уравнение столбика распадается на три дифференциальные уравнения, раскрыв ко-

торыа для рядов (I) и возможных перемещений (8), А.В.Крушевским получены девять уравнений. Одно из них, з частности, имеет вид:

(ТА - (,Г-1)д$ио +(Г-1)д,д£Уо + =

/ъ

(9)

а/1

А^й+дй; ; Л - •

Где У - коэффициент Пуассона;'

0 - модуль сдвига;

Л? - проекция объемной силы на ось X ;

- температурные характеристики, для нашей работы К^Б-Т^-О-

Указанные выше девять уравнений решим методом ортогонализации о помощью возможных перемещений

// «Г¿П.(Ук), СО&(Ук). (10)

В итоге получаем 27 дифференциальных уравнений равновесия внутри тела по оставшейся переменной X, . .

Выполнение краевых условий на поверхностях У-± ^ выступает в роли уравнений связей, налагаемых на весь ряд.

Ряды (I) после введения переменной у согласно (2) удовлетворяем методом ортогонализации краевым условиям на гранях •

Для всех рассмотренных в работе частных задач краевыми условиями на гранях У-^^ могут быть или нормальные и касатольные напряжения

при У=>/ , -Сху^Ху, <п)

или нормальные перемещения и касательные напряжения

при - '¿м=Х% Т?у=2у- (12)

Так как возможных перемещений (8) три для каждого условия на гранях, то в итоге получим девять уравнений.

В частности: к

'Л А ' * (13)

л ъ

» вг У.^гШк, -

А, 4 /Г-/ /

/•— у.

'к а4)

В уравнении (14) содержатся два уравнения, вычитая и складывая которые получим уравнение, определяющее вид функции \fic2 ,в зоторое поверхностная нагрузка У у будет входить в виде суши, и уравнение, определяющее функции У1'су с поверхностной нагрузкой У^ в виде равноста. Уравнения, содержащие поЕорхностные нор -ыальные напряжения в виде еуммы, ошицут задачу изгиба, а уравнения, содержащие поверхностные нормальные напряжения в виде разности - задачу растяжения (сжатия).

Система уравнений раьновесия внутри и на поверхности тела распадается на восемь ^зависимых в математическом плане подгрупп, объединенных фигурирующими в них обобщенными перемещениями в четыре группы. Эги четыре группы уравнений соответствуют четырем част-шал задачам деформации щлкядричоского тела: растяжение (сжатие), изгиб в двух плоокоотях, кручение. Совместное решение уравнений равновесия внутри и на поверхности какдой группы приводит к рэз-рашаицим дифференциальным уравнениям четвертого или бесконечного порядка относительно некоторых функций. По атим решениям определяется вид остальных функций согласно' соответствующим уравнениям.

Каждая из восьми подгрупп имеет: свои представления компонент вектора перемещений; определенный характер краевых условий на гранях 2. - ± ф и У- ; свои операторы разрешащих уравне-

ний; свои собственные функции*

Тек, в частности, для задачи растяжения (сжатия), а) простейшая подгруппа (подгруппа 2):

компоненты вектора перемещений:

+ Е Uc?kc COS (Ух) ;

Н=1 i / ' _

fSLn(5df) f-Sdt) Vo7 =0 .

иг*

Оператор однородного разрешающего уравнения

^'.1.ГС. (и и,; г и и, Характеристическое уравнение

Собственные функции этой подгруппа уравнений

, С/2 (ЯтХ) ;

б) более общая подгруппа (подгруппа 5): компоненты Еектора перемещений:

и=1 № Т^ '1) ^ В; Ш

+ Ь'СсЛ ■+ ¿1, 'Осскс СМ(Ук)) ;

/-Г сюс&уфус* +

г Z V¿C*C S¿/i Mi г

К-1 ' .

+ COS (У/с).

Оператор однородного разрешающего уравнения

116)

Собственные функции этой подгруппы уравнений

Л

Третья глава посвящена использованию полученных уравнений равеновесия для решения конкретных задач сжатия и иаги-ба паратлелепипеда:

сжатие параллелепипеда, на плоских торцах которого 2г в _ „ заданы нормальные перемещения клинообразной, пирамидальной, параболической втор. Касательные напряжения при атом равны нулю. Грани У=~ находятся в жестких гладких направляющих, грани ¿г ~ свободны;

б) сжатие упругого параллелепипеде, находящегося о четырех сторон в жестких шероховатых направляющих, равномерно распреде -ленными нормальными перемещениями, действующими на плоские шероховатые торцы 2=± О- . Предполагается, что связь между параллелепипедом и абсолютно твердым телом в виде жестких направляющих двусторонняя т.е. в процессе нагружают не нарушается. Плиты пресса, осуществляющего перемещения, считаются абсолютно жесткими|

в) изгиб параллелепипеда действующей по одной граня равномерной или треугольной распределенными нагрузками. я Грани У---^ и -к!-- ¿г - овободны.

На торцах задано нулевое нормальное перемещение и нуле -

вое касательное напряжение в направлении, перпендикулярном нагрузке Другое касательное напряжение постоянно и параллельно нагрузке. Причем, решение нааванных задач изгиба нагрузкой по одной грани отроится как результат наложения решений задач сжатия и задач изгиба (по двум граням).

Результаты численного исследования решений задач сжатия параллелепипеда:

1. Сравнение результатов численного решения задачи сжатия параллелепипеда перемещениями параболической эпюры с результатами аналогичной задачи, решенной Г.М.Валовым, позволяет сделать вывод, что ряда быстро сходящиеся. Достаточно пяти членов ряда, чтобы получить совпадающие результаты для значений напряжений в соответствующих точках.

2. Численные исследования сходимости приближенных решений задач при различном числе координатных функций, удерживаемых

в решении, показали, что:

а) заблаговременное выполнение естественных для вариационного принципа Лагранзд условий равновесия внутри тела и- на границе, а также построение решения в полной ортогональной системе функций обеспечивает хорошую обусловленность решений л хорекуп относительную сходимость Приближенных решений в равномерной метрике для напряжений;

б) скорость сходимости рэиения в равномерной метрике для нал-ряжений более высокая внутри тела, чем на его поверхности (рис.1, рио. 2).

О степени точности решений, полученных предлагаемым методом.

Обоснованием степени точности полученных решений задач сжатия и изгиба параллелепипеда могут служить оледупцие положения: .

1. Каждый член искомого ряда удовлетворяет уравнениям Ламе.

2. Краевые условия на гранях 2= - „ выполняются точно.

3. Краевые условия на гранях У-^ выполняются за счет корней характеристических уравнений

Si.fl (¿Л т) / ¿Я/п = О,

4. Краевые условия на гранях У.-- £ выполняются в пределе за счет оходимости полученных рядов. При удержании конечного числа членов ряда краевые условия удовлетворяются интегрально.

Четвертая глава посвящена использованию полученных уравнений равновесия для решения конкретных задач о цилиндре: ооимметричные задачи изгиба касательными перемещениями и нормальными напряжениями & неосесимметричдая задача изгиба сектора касательными напряжениями;

Известно, что задача растяжения (сжатия) цилиндрического тела при заданных на торцах касательных напряжениях и нормальных перемещениях, а также задача изгиба тела при заданных на торцах нормальных напряжениях и касательных перемещениях сводится к решению дифференциальных уравнений четвертого порядка в частных производных по двум переменным.

Для полученного в данной работе разрешаицего уравнения задачи изгиба оператор однородной части в случае осесимметричного нагружения круга имеет вид:

(л

о

£г

\)>-1) Ч^А

х

а/'г

-20

20\&ио'г/11

-£3

/---/г К'10

г---/'А'*зо

3 -

а/г

Рис. I. Распределение напряжений дг в плоскости параллелепипеда ггои действии на тощи слотмаюших перемещений в 4орме полного клина при различном числе координатных функций, удерживаемых в решении: а) , на линии У - О, ц-п/я ; 6} ка линии У = 0,Н=А/2-/г/^г , в) на линии у = 0, £ = С '

а*о,2м

Я=2а.

¡1=3а.

0,1 0,075 0^ ЦСЖ

1о

л

Г

-та-

а/2

i 3

—¡-К"30 - /-ЛЧЛ7

\ч

г

^ „

X 10-

-/Л

9,81-7вф/7а

Р('о. ,2. Распределение напряжений на 1'рани У-£/2. параллелепипеда при действии на тощн сдлыащих перемещений в форме полного клина при различном число координатных 'Функций, удерживаемых в решении: а) на линии У; '■') на линик У-6/2, -А/га :

а) на линии у- 3/.1, -2.=Р

или то =0. (П,

Тогда Ш - С,1о (а) + Сг Ко(2г) ч- Мс +

+ ? (Сз 17 (21) ^ С* К?(7£)) ; . ав)

СС —

где

/I

То, Ко, К1 — модифицированные функции Бесоеля I и П рода; - частное решение неоднородного уравнения.

После этого находятся остальные функции рядов задачи изгиба, и определяется вид искомых перемещений. Ка основании этого общего решения строятся решения названных выше конкретных задач. .

вывода '

1. Разработан модифицированный вариант метода Канторовича-Власова, основанный на заблаговременном удовлетворении естественных для вариационного принципа Лагранжа условий равновесия внутри тела и на границе.

2. В качестве координатной система использованы ряды Фурье с дополнительными слагаемыми в виде полиномов Лежандра, что позволило заранее выполнить, требуемые краевые условия на некоторых поверхностях.

3. В результате суммирования получены операторы разрешающее, дифференциальных уравнений, совпадающие с некоторыми операторами символического метода А.И.Лурье.

• 4. На примерах решения трехмерных задач статики показано приложение этого метода, иллюстрирующее хорошую, относительную схо-димооть приближенных решерй в равномерной метрике для напряжений внутри области и устойчивость при их численной реализации. Дано обоснование степени точности полученных решений.

5. Решены задачи сжатия параллелепипеда, на плоских торцах которого заданы нормальные перемещения клинообразной, пирами -дальной, параболической эпюр, равномерно распределенные перемещения.

6. Решены задачи изгиба параллелепипеда равномерной и треугольной распределенными нагрузками.

7. Регаены осесшметричные задачи изгиба цилиндра касательными перемещениями и нормальными напряженижлн и яеосеошметрвчнал задача изгиба сектора касательными напряжениями.

6. Результаты решения задача изгиба упругого цилиндра применен!! для распота напрякенно-деформировенного состоячил элемента рукава высокого давления и детали серийной продукции п/я.

Основное содержание диосертацаи опубликовано а следующих работах:

1. Бойко Н.Я., Крушевский А.Е. К задаче изгиба упругого цилиндра при заданных на горцах нормальных напряжениях я касательных перемещениях. - В od.: Теорзтич. и прикл. механика. - Мн., 1973.-С.94-107.

2. Бойко Н.Я. Сжатие упругого параллелепипеда при действии на него полного и усеченного жесткого клинообразного штампа. -В сб.: Теоретич. и прикл. механика,-Мн.,1973.-Вып.5.-С.16-28.

3. Бойко Н.Я. Сжатие упругого параллелепипеда при действии на него полного и усеченного жесткого пирамидального штампа. -В сб.: Теоретич. н прикл. механика.-Мн.,1978.-Вин.5.-С.29-39.

4. Бойко Н.Я; К задаче изгиба упругого цилиндрического сектора. - В сб.: Теоретич. и прикл. механика.-Мн.,1979.-Вып.6.-G.30-43.

5.Бойко Н.Я. Сжатие жестким шероховатым плоским штампом упругого прямоугольного параллелепипеда, чотире грани которого находятся' в жестхих шероховатых направляюядах. - В сб.: 1аоретич. и прикл. механика. -Мн., 1980.-Вып.7.-С.46-51.

3. Бойко Н.Я. Равновесие упругого параллелепипеда с тремя свободными от нагрузки транши под дейстьием равномерно распределенной нагрузки на четвертой грани и имеющего нулевое нормальное перемещение и одно нулевое каоатольноз напряжение на оставшихся двух гранях. - В сб.: Теоретич. и прикл. механика.-Мн., I98T.-Bun.8.-C.II-I6.

7. Бойко Н.Я. Сжатие упругого прямоугольного параллелепипеда треугольной нагрузкой. - В со.: Теоретич. и прикл. механика -Мн., 1961. -Вып. I0.-C-.65-69.

8. Бойко Н.Я. О характера нормальных напряжений в прямоугольном параллелепипеде при сжатии его клинообразным жестким штампом. -В сб.: Теорегич. и прнкл. механика. -Ун.,1984.-Вып.II.-С.40-43._

9. Бойко Н.Я. Сжатие упругого параллелепипеда при заданной но его торцах параболической эпюре нормальных перемещений. - В сб.: Тоорэтич. и прикл. механика.-Мн.,Т.-Вм 1.15.-С.63-66.

/ \с..

I. -