Равномерное приближение сплайнами: свойства, алгоритмы, приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ
|
Попов, Богдан Александрович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Дубна
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1988
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.07
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССВДСВАНИЙ ЛАБОРАТОРИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ И АВТОМАТИЗАЦИИ
РАВНОМЕРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ СПЛАЙНАМИ: СВОЙСТВА, АЛГОРИТМ, ПРИЛОЖЕНИЯ
Автореферат
диссертаций н& соискание ученой стеааяа доктора фязако-матвыатическюс наук
Специальность: OÎ.OÎ.O? - вычислительная математика
На правах рукошса
УЛК 5£7.5*518.&+51&.62+5£9.5
П0Ш& Богдан Александрович
Дубна - Ï98&
I I
I
1.-ТДЭ
.^ссертаций | ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ ЛАБОРАТОРИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ И АВТОМАТИЗАЦИИ
На правах рукописи
УДК 5Г7.5+518.5+518.62+519.5
ПОПОВ Богдан Александрович
РАВНОМЕРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ СПЛАЙНАМ: СВОЙСТВА, АЛГОРИТМЫ, ПРИЛОЖЕНИЯ
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Специальность: 01.01.07 - вычислительная математика
Дубна - 1988
Работа выполнена к Фазико-механмческюм институте им.Г.В.Карпенко Академия наук УССР (г.Львов) .
Официальные оппоненты:
-член-корреспондент АИ УССР, доктор физико-математических наук, лрсфессор Пшеничный Б.Н.;
-доктор физако-математических наук, профессор Маханьков В.Г.; -доктор физико-математических наук, доцент Малозеыов В.Н, Ведущее предприятие - Институт проблем информатика АН СССР, г.Москва. .
Защита состоитоя "_"_;_1988 г. в
часов на заседании Специализированного совета Д.047.01,04 по защите докторских диссертаций при Лаборатории вычислительной техники и автоматизации Объединенного института ядерных исследова-' ний (141980, г.Дубна, ОИЯИ, ЛВТА)
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований.
. Автореферат разослан _" __1988 г.
Ученый секретарь специализированного совета,
. кандидат физико-математических наук
З.М.Иванченко
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
1. Актуальность проблеш. Эффективные метода обработки ин-. формации, включающие ее простое представление, находят все более широкое применение в различных областях техники. Без них немыслимо развитие кибернетических систем, систем автоматизированного управления технологическими процессами и слогинма объектами, систем автоматизации научных экспериментов. Это связано с необходимостью воспроизведения функций сложных видов; уменьшения объема дачных с целью удобств передачи, обработка, хранения и интерпретации; формирования нелинейных управляющих воздействий; линеаризации передаточных характеристик; подготовки приближенных выражений !ункций для вычисления их на ЭВМ или с помощью специальных устройств и др.
Необходимое нелинейное преобразование часто сводится к реализации функциональных зависимостей. Лля повышения точности преобразования используют различные виды приближения: наилучшие чебышевские приближения, метод наименьших квадратов, приближение сплайнами различных видов и др. Во многих технических задачам (построение высокоточных функциональных преобразователей и их наборов, построение табличных процессоров, систем передача сигналов и др.) используют кусочную аппроксимацию однозначных {ункций.
Б системах автоматического управления, контроля я регистрации часто необходимо чтобы абсолютная либо относительная погрешность ни в одной точке не превосходила наперед заданной величины. Это приводит к задаче нахождения параметров наилучшего чебы-шевского приближения. Применение в этой задача нелинейных выражений в качестве приближающих затруднялось ранее отсутствием эффективных алгоритмов для определения параметров этих выражений. Получение нелинейных выражений может осуществляться как о помощью универсальных ЭВМ, так а с помощью спецпроцессоров илг функциональных преобразователей информация. Во всех случаях полезны методы нахождения параметров в некотором смисле наилучших приближений ибо это уменьшает необходимое количество, параметров. Часто удобны кусочные приближения (сплайн-приблигеная). Бели на , катщом интервале (звене сплайна) максимальная погрешность Приближения одинакова, го такое приближение называем равномерным сплайн-приближением. В известных случаях равномерное приближение сплайном является и оптимальным в том смысле, что при выбора уз-
лоз из условия равномерности приближения при заданном количестве звеньев Г получаем минимальную погрешность , а при заданной погрешности - минимальное г .
Актуальна задача разработки и исследования новых элективных методов равномерного приближения функций сплайнами, ибо с помощью таких методов можно уменьшать объем данных или увеличивать точность.
2. Состояние проблемы и основные цели иеследовалия. Разработке теории и методов численного решения задач аппроксимации, а также приложениям этих методов при преобразованиях, передаче, интерпретации сигналов и создании устройств новой техники посвящено большое количество работ советских и зарубежных ученых. В .этих работах рассматриваются преимущественно наилучшие в некотором смысле приближения одним выражением и легко строящиеся интерполяционные приближения многочленными сплайнами. ; Достаточно, полный перечень работ по наилучшим чебишевским приближениям многочленами, рациональными многочленами и нелинейными выражениями содержится в монографиях и статьях К.И.Ахиеэе-■ра, К.И.Еабенко, Е.Я.Ремеза, В.К.Дзядыка, А.А.Гончара, В.Ф.Де-. мьянова, В.И.Малоземова, Б.Н.Пшеничного, Л.И.Лорана, Е.В.Чини, Ч.Т.Файка, Г.Мейнардуса, Дк.Р.Райса, Т.Й.Ривлина, Р.Б.Варрара, Г.Л.Яоэба, Ч.Б.Дунхама, Я.Х.Роуланда. Теоретическим вопросам сплайн-приближений и методам приближения с помощью сплайн-функций, посвящены работы Дж.Альберга, НЛ.Корнейчука, ¡О.С.Завьялова, В.Л.Мирошниченко, С.К.Стечкина, Ю.Н.Субботина, А.И.Гребенникова,
A.А.Лигуна, В.М.Тихомирова, Л.Л.Шумойкера, Д.Д.Браесса, Л.В.Джонсона, Х.Шомберга и др.
Методы приближения используются во многих работах, посвя-• щенных решении те)шических задач. В частности, в работах
B.Б.Смолова, В.И.Угртоова, Б.Д.Байкова, В.И.Герасимова, Г.Е.Пухова Г.И.Алексеева, Е.Н.Браго, Э.И.Гитиса, А.В.Шилейко, Г.Мейера, А.В.Палагина, Л.Я.Ильницкого и др. они используются при создании устройств новой техники; в работах Ф.Е.Темникова, А.П.Манов-цева, А.Н.Свенсона, Л.Д.Дазидсона, Д.Хофмака, Д.Ю.Вебера и др. они используются при создании систем передачи и преобразования сигналов; в работах Н.В.Белицкой, Ю.С.Завьялова и др. - при создании математического обеспечения для станков с числовым программным управлением.
Методы наилучшего чебышевского приближения и методы сплайн-приближений развиваются, в основном, независимо. С помощью каж-
дого из них махно получить приближение непрерывной функции с любой степенью точностью. Однако датсе процесс получения коэффл-циентов наилучшего чебыиевского многочленного приближения а большим количеством параметров может бить численно неустойчив, а для получения сплайн-приближения часто трзбуется слизком кно-го параметров. Задачи получения равномерных приближений многочленными сплайнами с заданным количеством звеньев я минимальной погрешностью развивались во многих работах лишь в теоретическом плане. Трудности численного решения таких задач связали с тем, что в общем случав не имеет места свойство альтерналса, и поэтому не могут быть построены алгоритмы, обобщающие алгоритм E.H.Ремеза. Некоторые авторы (С.Картин, Р.Е.Эш, В.Л.Истман, У.Л.Марсден, Л.Л.ШумеЗкер и др.) предлагают переходить к дискретным задачам и решать их методами линейного программирования. Однако получающиеся при этом задета имеют большую размерность я могут бить численно неустойчивы. Еа:е более сложны задачи получения равномерных приближении рациональными сплайнами. В работах К-.С.Завьялога, А.А.Ллгуна, И.Гребенникова рассматра-вазтея методы получения приблихенгл близкого :t равномерному с помощью многочленных сплайнов. Приближаете ¿ушщш дояаш иметь производные высоких порядков.
Существуют многочисленные технические задатг (аппаратурная реализация математических функций, пряблгшенке fyaiatsui преобра-'. зования термопреобразователей и др.), в которых приближающая функция не долина быть обязательно гладко!:. Иногда она мояег быть и разрывной - лишь бы погрешность приближения бала досга- . точно мала. Приближения такого рода ранее в общем виде подробно не изучались. Имеются лишь подхода для реиения некоторых частных технических задач (Л.П.Афиногенов, Ю.А.Кетков, Н.Рим, А.1'.Кургаев, А.П.,7лйка, Д.Д.Браесс, М.Г.Кох я др.). Соответствующие алгоритмы работоспособны в частных случаях. Эффективно решать перечисленные технические задачи на основе существовавших ранее методов затруднительно. Поэтому возникла необходимость' рассмотреть равномерное приближение негладкими рациональными сплайнами и построить конструктивные вычислительные олгорятАЫ для нахождения их параметров. Такие сплайны долям соединять положительные свойства наилучших чебышёвскях приближений одним выражением (небольшое количество параметров) я приближений классическими -сплайнами (численная устойчивость, зависимость от свойств приближаемой функция'лишь в "малом"). Напбслео удобны
при этом сплайны со званьями, являющимися наилучшими чебышевскими приближениями (чебышевркие сплайны).
При построении различных технических устройств и представлены физических процессов применяются также и нелинейные приближения (Ъ.Е.Смолоа, Г.Я.ШтеЙнберг, В.Кобаяши, Д.В.Каммер, Б.Н.Малиновский и др.).Так как таблицы физических величин описывается почти любыми возможными аналитическими зависимостями (Дж.Р.Райс), то параметры нелинейных зависимостей часто имеют определенный физический с.та сл. В связи с этим ..свойства нелинейных приближений различных видов в настоящее время интенсивно изучаются' (Дж.Р.Райс, Д.Шведт, В.Н.Малозеков, А.Ф.Леснгьев, Ч.Б.Дунхам, Р.И.Мак-Глинн, Э.Шмидт и др,)« Еае в iSSO-гохл параметры наилучших чебышевс1шх .приближений стремились находить методами, применимыми для нахождений функций многих переменных. Б 1970-е года в работах Дк.Р.Рай-са„ Г.Мейнардуса, Д.Шмидта, Р.Б.Баррара и Т.Л.Лоэба, В. Юалоз виола и др. построена теория наилучших чебышевских приближений нелинейными выражениями. Однако эффективного алгоритма общего вида не существует, так как в процессе нахождения параметров наилучших чебышевских нелинейных приближений необходимо решать систему нелинейных уравнений, о которой неизвестно имеет ли она решение. Поэтому v."сальна задача изучения свойств наилучших чебышевских при-блигеньа конкретных видов к построение конструктивных вычислительных алгоритмов для нахождения их параметров.
К оОщай '.'еориа нелинейных сплайнов намечаются лишь начальные подходы (С.Прусо, П.Рентроп, Х.Спат, И.Б.Киоустелидис, Л.Л.Шумей-кер и др.), общие алгоритма отсутствуют. Логическим продолжением теории равномерного приближения многочисленными а рациональным сплайнами является теория равномерного приближения нелинейными сплайнами. Такая теория должка использовать достижения теории наилучших чебышевских нелинейных приближений и может иметь как те.о-■ ретичеексе, так и практическое значение. Таким образом дзучение равномерного приближения нелинейными чебышевскими сплайнами представляет значительный интерес, так как является завершением общей теории, моает быть применено для выявления аналитических зависимостей различных видов, а также для упрощения ряда технических устройств.
Различные технические применения теории приближений имеют, как правило, и сбои математические особенности. Часто изменяется и сама постановка задачи приближения. Иногда, например, длины звеньев сплайнов связаны определенными зависимостями; возникают
задачи приближения набора функций набором сплайнов со звеньяма одинаковой длины; количество значащих цифр в параметрах звеньев может быть ограничено, звенья сплайнов могут иметь разив вид а др. Поэтому, для эффективного применения теории в конкретных устройствах новой техники необходимо исследование технических задач с точки зрения необходимых методов преобразования сигналов я модификация методов и алгоритмов для построения устройств оптимальных по точности, быстродействию или сложности.
Вопросы эффективной прогряммной реализация любых численных методов имеют свои особенности. Так, при программной реализации построения звеньев равномерного приближения сплайнами необходимо учитывать тот факт, что звенья сплайнов являются, как правило, ш-ражениями с небольшим количество?* параметров, и для их построения обпшэ методы могут быть малоэффективными. Комплексы и пакеты про-грам?л' для равномерного приближения сплайнами кроме приближения одним выражением (сплайном) определенного вида должны также решать задачи выбора приближения (сплайна) с наименьшей погрешностью из набора возможных; ЕЫбора приближения (сплайна) данного вида с напуеньшим количеством параметров ара заданной величина погрешности; выбора (по определенным критериям) вида звана сплайна из набора возможных и т.д. Для исключения простого перебора в задачах выбора я более эффективной программной реллазащш нахождения параметров сплкшон необходимо разработать метода программной реализация рассмотренных задач с помощью различной вычислительной техники.
3. Цель работы. Целью настоящей работы является разработка, элективных методов обработки информации на основе использования равномерного приближения сплайнами для создания оптимальных по точности, быстродействию или сложности кибернетических устройств, а также систем для уменьшения обьема данных. Эта цель включает изучение сеойсте равномерного приближения сплайнами различных видов; построение вычислительных алгоритмов для нахождения их параметров, использующих установленные сеойстеэ; разработку инженерных методик решения задач преобразования сигналов, использующих равномерное приближение сплайнами; решение конкретных технических и вычислительных задач с помощью разработанных методик.
Для достижения поставленной цели в диссертационной работа резались следующее задачи:.
- исследование свойств и построение вычислительных алгоритмов для нахождения параметров равномерного приближения рациональными сплайнами;
- исследование свойств и построение вычислителышх алгоритмов для нахождения параметров нелинейных чебышевских приближений различными выражениями;
- исследование равномерных приближений нелинейными чебышев-скнмд сплайнами и построение вычислительных алгоритмов для нахождения параметров таких приближений;
- нахождение приближенных аналитических выражений для точности н границ звеньев при равномерном приближении ряда элементарных и специальных функций и построение на их основа таблиц параметров равномерного приближения этк>: функций чебышевскша! сплалпами;
- разработка а исеяедош:де методов решения технических задач преобразования 'сигналов« сскошшшс на равномерном и неравномерном •приближении чебышевскими сгт-Шамя;
- разработка методов программной реализации равно,-/арного приближений чебыаевскямд саяайнадя;
; - -внедрение' полученных результатов в виде разработки инженерных методик решения различных задач, создание комплексов и пакетов прикладных программ,'отдельных модулей и вычислительных устройств, включаемых в проектируемые и находявдеся в эксплуатации технические системы для повышения их эффективности.
•!■- Методы исследования. Основу методологии исследования составляв' предлояенные и разработанные в диссертации методы установления свойств нелинейных чебышевских приближений и метода нахождения погрешностей равномерного приближения сплайнами. Используются таккз общие метода математического анализа, теории функций, шчис-" лительисй математики я теории аппроксимаций.
5. Научная номзна. Разработала научные осыош построения вычислительных алгоритмов для равномерного приближения функций сплайнами различная видов, показана, эффективность применения равномерного приближения сплайнами для решения различных задач.
Детально исследованы свойства.равномерных приближений чебы-шевишш еплайвачи. Вларше найдено общее приближенное выражение ЕЯя погрешности приближения такими сплайнами и построены методики каховдешш выражений для погрешностей в конкретных случаях.
Впервые исследованы свойства конкретных нелинейных чебышевских приближений (экспоненциально-степенных, функций от многочленов, сумм многочленов а нелинейных функций), могущих быть звеньями чебишавских сплайнов. Построены зачислит елыше алгоритмы для нахоадапия их параметров.
Впервые обоснованы и построены алгоритм! для нахождения пара- •
метров раЕвомерных приближенна сплайнами различных видов. Разные группы алгоритмов предназначены для построения сплайнов, приближающих аналитически заданные или табличные Функции; приближающие функции с заданной погрешностью или с заданным количеством звеньев.
Найдены общие выражения для погрешности равномерного приближения ряда элементарных и специальных функций, обобщающие известные ранее результата ГГ.Л.ЧебышеЕа, Г.Кейнардуса, Д.И.Ньюмена, А.Р.Редди. На основе этих выражений находятся границы згеньев при асимптотически равномерном приближении.
Вперше проведено исследование технических задач преобразования сигналов, сводящиеся к приближению чебыщевскими сплайнами. Разработаны алгоритма нахождения параметров чебышевскнх сплайнов, употребляемых при расчете устройств ноеой техники.
Вперше обоснованы методы построения и составы пакетов программ для равномерного приближения чебншевскшш сплайнами, которые существенно сокращают простой перебор при выборе сплайнов конкретных видов.
С. Достоверность основных научных положений г. полученных результатов обеспечивается строгостью постановки задачи к матема-тичестшх методов, применяемых при доказательства основных утверждений; совпадением результатов, полученных '.'йслешшма и аналитическими метода*« (в том числе результатов,полученных другим! об-. торами); получением результатов, обобдазээдх ранее известные; подготовкой на основе полученных результатов комплексов я пакетов программ, которые успешно используются в сотнях организаций, страны; успешным использованием полученгшх результатов при создании устройств новой техники.
7. Практическая ценность. Совокупность полученных в диссертации результатов позволяет ставить я решать в едином вычислительном процессе комплексные задачи уменьшения объема данных с целью более эффективной ах интерпретаций, пзредача,- хранения члп упрощения технлческих устройств. .
Значительная часть, предложенных методов л' алгоритмов относится к параллельно-последовательному типу, что обеспечивает возможность широкого распараллеливаний процесса при нахождения параметров приближений. Развиты методологические осйоеы решения рассматриваемых задач на машинах следующих поколеййй, базарушахся на многопроцессорных ЭВМ. Предусмотрена такие возможность реализация эффективных алгоритмов пря возможности проведения символьных ере-
образований на ЭВМ» '
. Прадлоаднныв методы,повышают качество цатемотического обеспечения, информационно-измерительной и вычислительной техники, систец передачи и преобразования информации.
Разработанное программное и математическое обеспечение может использоваться при проектировании и создании новых систем преобразования и передачи сигналов, приборов и устройств вычислительной и информационно-измерительной техники.
Некоторые результаты диссертационной работы получили дальнейшее развитие и применение з работах учеников, которые в диссертацию . не зоамш,.
8. Реализация и внедрение сезультатов работы.Теоротическио •и прикладные.результаты диссертации использовались в научно-исследовательских работвх» выполняемых в течение 3971-1985 гг. в физико-механической институте им.Г.В.Карпанко АН УССР и во многих Других научно-исследовательских, промыадошшх, проектных и учебных организациях. Разработанные комплексы программ в 1978 -1585 гг. внедрены через Украинский республиканский фонд алгоритмов и программ в 143 организациях страны. Они использоввлиь при
• проектировании ряда устройств новой техники, систои автоматического проакаи'рования,контроля. В'частности, автор и ого ученики принимали участие в разработка:
- спецпроцессора для вычисления функций;
- автоматизированной системы неразрушаюцого контроля;
- цифровых линеаризующих устройств агрегатных комплексов стационарных и пэреносвых пирометров частичного излучения АПИР'-С и АПИР-П; : . , \ : ■ у
" цифровых-иаиврвгелей высоких температур, входящих в состав системы Узиаредая «випардтуры раодлавленного чугуна в линейном цехе Одесского, завода поршневых колец.
От созданных устройств новой техшшп и систем математическо-
• го обеспечения получай значительный экономический эффект,
В наозояодв вреш в ряде организаций ведутся работы по внед-, рению результатов автора при проектировании-устройств новой техники и создания/систем сокращения объема данных. В частности:
- на Побукском вике ловом, заводе и ПО "Магнит"- г. Новочзркао-.' ска при разработке технологии, переработки никеля и кобальтовых
. отходов; ■ ';•
- при выполнении работ-по созданию системы математического мо-
дэлйрованяя технологических процессов;
- в ГлавНИИ ВЦ Госплана УССР для создания бэз динамически отображенных данных.
9. На защиту выносятся:
- предложенные п обоснованные метода решения оптимизационных задач техники, сводящихся к разномерному приближению чебишав-скима сплайнами; ■
- разработанные методы исследования свойств нелинейных че-бышевских прм5лияеш1й различных видов;
- предложенные я разработанные численные методы решения за- . дач наилучшего нелинейного чебышевского- приближения;
- предложенные и обоснованные метода исследования свойств равномерного и неравномерного приближения сплайнами; ' •
- предложенные и разработанные численные мзтода решения задач нахождения параметров равномерного приближения сплайнами различных видов;
- выведенные формулы для погрешностей я границ звеньев сплайнов при равномерном приближения ряда алаь/антарпих а специальных Функций с помотаа чебиаевсках рацаоиалъгах сплайнов. fop-мулы во много раз убыстряют время нахозкондо п-1 птгроп прзбля-яений; ■
-предложенные и разработанные чяскошша - -¿-.'еда рэвояая технических задач, сводящихся к нахоядзшда nc-\:v -:-юя чебыяовсках сплайнов различных гидов;
-разработанные и рзаяпзоваяше на созрзгстшх ЭВМ различных типов алгоритмов репвдия указанных задач. Работоспособность и зФ1?ективность алгоритмов постЕорздазтс* на примерах рзшаипи реальных технических задач.
10. Аппообация работы.-Отдельные результаты, излогзшша в . диссертационной работе, докладавались на 33 семинарах а г.очфорсн-циях. Диссертационная работа в полном объема докладывалась, в частности, на семинарах: ЗЩ, АН УССР под руководством д.ф,-м.н. Скоробагат-ько В.Я.,ИПМЭ -АН.УССР под руководством екадзиака Ali УССР - Пухова Г.Е., ИЛИ'АН. СССР под руководством шшдовика Пугачева B.C., ТОМ им. В.М.Келдыша АН СССР под руководством академика Самарского A.A. и под руководством чл.-Корр. АН СССР Бабенко К.И., ЛВГА ОИЯИ под руководством чл.-корр. АН СССР Говорупа H.H., факультета ВМиК МГУ под руководством д.ф.-У.п, Васильева Ф.П.,
ШВЦ МГУ под руководством д.ф.-м.н. Морозова В.Л., ИЯ ям.В.М.Глуш-
кова АН УССР под руководством чл.-корр. АН УССР Пшеничного Б.Н., лаборатория методов вычислений ЛГУ под руководством д.ф.-м.н. Мишина С.Г,, ИГОС АН СССР под руководством д.ф.-м.н. Кармано-ва В.Г.,.мех.-мат, факультета МП* под руководством чл.-корр. АН СССР Бахвалова Н.С., ИММ У О АН СССР под руководством д.ф.-м.н. Субботина Ю.Н.
Рецензии на работы,автора опубликованы в журналах: Вестник АН УССР £985), УСйМ (й5, 1985), 35ВМ и № (№9, 1987).
И. Публикации, по рабоге. По теме диссертации опубликовано .42 работы,В том числе справочник, 2 монографии, 3 броншры и 4 сборника алгоритмов, програ;.'.:,! н методических материалов. В Украинском республиканском фонде алгоритмов и программ зарегистри-. ровано более 200'подготовленных автором программ, реализующих предложенные в дасрертатм метода.
12. Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, восьми глав, заключения, приложений и списка литературы.Она содержи?'266 страниц основного машшописного текста, 50 страниц иллюстраций, 32 страницы литературы (325 наименований), прилояе-' ния.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Зо введении дана характеристика актуальности проблемы, составляющей предмет исследования, выполнен обзор свойств наилучших чзбыаевоких приближений различными выражениями а алгоритмов их построения; обзор свойств равномерных приближений сплайнами и ал-•горатмоз нахождения параметров таких приближений; обзор возможностей прикладного использования теории равномерного приближения сплайнами; Поставлена цель диссертационной работы, сформулированы основные научные положения, которые выносятся на защиту, дана краткая аннотация диссертации по главам.
В первой' главе устанавливаются свойства равномерного приближения аналитических функций рациональными сплайнами. В теореме 1.1. устанавливается выражение для погрешности равномерного приближения с помощби чебыиевского разрывного сплайна (звенья - наеду птип т»ег5ятй-птгай япй<1лижйнй(( п'ттппм «.мч*»^
нал погрешностьу*- равномерного праолааения функции у: на промежутке £«•,€] с помощью чебысеЕСкого рационального разрыв-
пшолааения функции ф на
о заданным количеством звеньев г-у оо
, - гп-I
2 сш»о! ^о где звенья сплайна имеют вид:
^р/игсЦ^Ъ + О^)]^
(1)
а ядро приближения функции -^(Ж) с помощью рацио-
нального выражения Ек.есхэ равно
^(О) ¿^¿"(Я/АъгСИ . (2)
где | 1 «ри ¿-О
^-з -...
1
¡с.
с
с.
••• ->»¿-1 при 6>0,
I о лог/ т> О (У-СтоЧ р(Ь)'
И (.яу/Ъ! при д = О,/.г,...
Формула (I) обобщается на случай равномерного приближения произвольным рациональным сплайном. •
Теорема 1.4. Пусть ¡(Х)е С ""шЖ, еС Ю-,61,-
IV(X) ¥ С\ ^ ? 0 'при и максимальная погрев-
ность ■ '
S¿ - moa. I hoa - S, e (
приближения рапаональшм сплайном £>c,((X) на каздом звене [ 2¡.i, 2« 3 монет быть представлена б виде
e¿.- константы не зависящие от /(ХЬ
Тогда погрешность /" гавиомешого приближения рациональ-
с' ""
ним сплайном Ъ - ( Í '£0 с гзвеньями равна " • У (3)
А» ^
•где о » ¿i c¡,'
' • J'1 \
Формула (3) обобщает многочисленные результаты (Н.Рим, Л.П-,Афиногенов, А.Ф.Кургаев, А.А.Лигун и др.) по точности равномерного приближения многочисленными сплайнами разных видов.
"Лоаведено ряд численных примеров, подтверждающих точность формул (I) и (3). Проиллюстрирована возможность экспериментального определения параметров с(; , ¿'= Í^F • Проведено сравнение с ранее полученными численными результатами автора, а также с чис- • леншми результатами Р.Е.Эша и В.Л.Истмана.
Исходя из формул-(I) л (3) получены выражения 'для погрешности приближения рациональными сплайнами, если промежуток í<3,¿] чазбдт"на. рардае части. Проведено сравнение с ранее использовавшимися для втой цели'выражениями. Сравнение показало большую точность полученных формул.-Проведено сравнение погрешности приближе-ная со звеньями равной длины й погрешности равномерного приближения, показавшее,' что существуют случаи, когда отношения этих погрешностей я.отуи возрастать неограниченно.
Проведено сравнение равномерного приближения разрывными чебы-шевскима сплайнами, с равномерным приближением отрезками ряда Тейлора, эрмитовых сплайнов, Пада-сплайнов и др. Полученные числен-ше значения выигрыша па точности пря использовании чебышевских сплайнов с тем же количеством звеньев, а также выигрыша в количе-
ствз звеньев при ТОЙ ЕЗ точности приближения.
Вторая глава посвяшена разработке алгоритмов для определения параметров равномерного приближения сплайнами. Для аналитически заданных функций такие алгоритм строятся при асимптотически равномерном приближении, то есть таком приближения, для которого при с <*=> и заданной максимальной погрешности J* для максимально:; погрешности J>i на с -м звене справедливо
/г V^OC*®].
а при заданном количестве звеньев г-><>=>
Ъ .
Основной при этом является следующая теорема.
Теорема 2Л. В условиях теорема 1.1 расположение узлов
{ асимптотически равномерного приближения функция /Л®)
сплайном г.'О с заданной "погрешностью у* определяется
из равенств
. ' х. ' _
й
а с заданным количеством г звеньев - из равенств
I / % , _ .
Iиф/щхт^х. -2>„5, (5)
Равенство (5). пра '<!*Q, г* ->л для некоторых кон-
кретных видов.сплайнов встречалось ранее в работах Н.Рима.А.А.Ли-гуна и др.
Предложены и исследованы итерацаоннне формулы для нахождения узлов из уравнений (4) и (5). В связи со сложность» решения
уравнений (4) и (5) по итерациошшм формулам достроен класс вычислительных алгоритмов, давдих приближенные решения. Алгоритмы отличаются по близости получаемых решений к решения« уравнений, (4) я (5) и по времени получения результата. Частные случая некоторых разработанных алгоритмов получаются такке из 'результатов А.И.Гребенникова, Ю.С.Завьялова, Г.Мейнардуса. Приведена примеры использования разработанных алгоритмов.
Установлена свойства приближения функций ^"(íC) .заданных в дискретных точках Cü6с по-
' мбщыо чебышевских сплайнов. Границы звеньев ¿ ' ) j с-о с X , Xt = ХX* íCr.n] , где г,- - se.,..
Для табличных функций строится таблично-равномерное приближение сплайном '¿(Я) » то, есть такое приближение, для которого при заданной погрешности для максимальной погрешности у; на ¡ -и звене справедливо
'ГД5 <■-£•-£_} -звено сплайна , построенное на множестве X¿.
Таблично-равномерное приближение при заданном количестве звеньев Г - это такое приближений„ для которого справедливы неравенства '(6) для Ji- ¿rltú , где м .- множество величин, для которих удовлетворяются неравенства (6) при.заданном у .
На основании установленных свойств таблично-равномерных приближений рациональными чебышевекиш сплайнами построены вычисли-телт/-.но алгоритма для определения параметров таких сплайнов.
Звенья таблично-равномерного приближения с заданной погрешностью находятся последовательно слова направо. При нахождении параметров i -го звена используются лишь точки множеств X¿ и XtN¿ • -Это дает возможность использовать алгоритм для сокраще-. ния объема данных в реальном масштаба времени, В некоторое случаях нахождение параметров рзвиокзрного приближения непрерывных . функций чабышевскимя сплайнами о заданной погрешностью может быть . существенно упрочено < 14 = Ojí).
Основная. идея- алгоритш для таблично-равномерного приближе-■ . пая чебашевокищ спяайпашх о заданным количеством г звеньев со' стоит в следующем: сначала дай некоторой погрешности JJ' строится • таблично^рашомераоэ приближение о заданной погрешностью. При атом количество звеньев оказывается равным ^ , Если f>ir .то погрешность увеличивается, в противном случае уменьшается. При максимальная погрешность уменьшается за счет увеличения погрешности на последам эвене. В ряде случаев доказана сходимость такого процесса. Алгоритм также попользуется для получения равномерного приближения непрерывных функций чебыщевскими сплайнами. "■''•.'.-''''..''.:
В заключения главы проведено сравнение равномерных и асимпто-
тически равномерных приближений чебышевскими сплайнами. Получена формула для главного члена относительной ошибки выражения (3). Приведены численные примеры, подтверждающие справедливость выражений для погрешностей я их относительных ошибок.
В третьей главе' исследованы общие свойства наилучших чебы-шевских нелинейных приближений.
аО (?)
с ь ( 6 = 0,1,2,...) закрепленными точками, построены соответствующие вычислительные алгорти. Ранее такие приближения исследовались в предположении, что они удовлетворяют условиям Хаара. Однако ряд практически ванных выражений отому условию не удолет-воряюг. В общем случае доказана теорема.
Теорема 3.1. Пусть приближающее выражение (7) непрерывно по А при А^Р (Р - открытое множество т+1 мерного пространства), по се при Се. е Г <2, в) и весовая функция непрерывна а
не обращается в нуль при ЖеМ^ .. Пусть, кроме того, система уравнений
^ра.ио-о, с- о
^ - -¿»«¿а-... = с-о™" ра^.о, (*)
где £С, ¿¿^'¿^ ...< ^ ^ , -[¡СЮ-*)]/ШСО имеет единственное решение для любого подмножества точек
ТсХ, са.6(111-0,
Тогда справедливы следующие утверждения:
1. Наилучшее чебышевское взвешенное приближение функция ^¿Х, на множестве X с интерполированием в точках Uiz.il, (.'=!,£
с помощью выражения (7) существует и единственно.
2. Указанное приближение полностью характеризуется системой уравнений (8) и равенством | |Р£»01.
3. Если начальное приближение зсе>;
а?> ^^о
к точкам чебышевского альтернавса Т выбрано так, что ) 40
то алгорит" Валле-Пуссена сходится за конечное число шагов,
Теорема 3.1. обобщена также и на наилучшее чебышевское при-
блаженно непрерывной функций. Для нахозденяя такого приближения можно использовать значения непрерывной функции в достаточно густой сетке.
Далее изучены'свойства конкретных нелинейных приближений. В частности, для функции от .многочлена
О)
при некоторых ограничениях на заданные функции и
доказана теорема типа Вейерптрасса и характеристическая теорема. Призерами функций ^(и.) , удовлетворяющих при определенных условиях'указанным'теоремам являются: 6па., с", и.*,
Построен общий вычислительный алгоритм для нахождения наилучшего чебыиевского приближения функцией от многочлена (9), сводящийся к решению системы { 4)-го линейного уравнения и одного трансцендентного уравнения..Б ряде вакных конкретных случаев все параметра приближения (9) находятся как решения линейных ураЕне- ' ниц. Иногда нахождение наилучшего чебышеЕского приближения жением (9) с весом к функция {(ЯЭ сводится к нахож-
дению наилучшего приближения многочленом с еесом IV^(х) к другой функции. В основе та1сого сведения лежат доказанные в работе обменные теоремы.
Для экспоненциально-степенного приближения
"'я' Л,
л наг
№
\ X/ Л ^«я'"1 ¿(¡ос' Д л (10)
W,(' (X) = Ая* е.-' , н>и '
доказаны две теоремы типа Вейерштрасса и характеристическая теорема. Построен общий вычислительный алгоритм-.дня нахождения параметров наилучшего чебышевского приближения выражением вида (10), включающий решение одного трансцендентного уравнения. При =
я построен алгоритм, сводящийся к решению систем линейных
алгебраических уравнений. В:частных случаях получены дальнейшие упрощения. V' ; ^ ' '."•■.'.
V Изучены свойства наилучших чебааевских абсолютных приближений с помощью сумш многочлена и нелинейной функции
Л|Л, ¿яэ * А фсх, ь* щ®; -'-
Наилучшее чебышевское приближение в зтсм случае существует не всегда. Доказана общая теорема, устанавливавшая условия существования. Примерами функции. 1Р(ХЛ ю , 'удовлетворяющих у слоеиям теорем являются : е"х, ЬктгЯ. .
В четвертой главе ЕЕвдено равномерное приближение нелинейными сплайнами различных видов, построены вычислительные алгоритма для нахоаденяя их параметров, исследовш1а точность приближения,
Рассмотрены равномерные я асимптотически равномерные приближения нелинейными сплайнами по т? -й производной в норма аСр . Установлены свойства таких приближений обобЕшодае теоремы '1.2 и 2.1. В частности, для равномерного приближения чебышевским разрывным сплайном справедлива теорема.
Теорема 4.2. Пусть ЮЛ], ШС^&С^а,
РСД,х)ьСа'г{0,63 , и/139 Ф О ..я при
X € I <э, , Тогда при погрешность ^ равномерного
приближения чебышевским разрывши сплайном с г звеньями вида (8) выражается формулой
где
¡>с/, Р> ¿>с/м>, О -Г^'Р (1Ъ)
Установлены свойства ядер приближений /, О функции
{■(X.) с помощью приближающего выражения вида (7). Некоторые свойства перечислены ниже.
2. Если СГ ГС/?, Ж) /с(х - Фс!., &,.... С, > ДТ) -то
О- Г)(р[4/с1х\ ё'РМш'У {(¿^М^ОР),
2. Если ^(Х) е ССг,8], ^(Х}/О при [а,
то
3. Если ^№>>0 при ссе[а,ёз , то
21 £ е<х^> с
Построена методика определения аналитических выражений ядер приближений с помощью конкретных нелинейных шранений. В основу методики положены свойства наилучших чебышевских приближений и установленные общие свойства ядер. С помощью построенной методики найдены аналитические выражения ядер приближений для всех рассмотренных в работе нелинейных приближающих шраяений, а также для многих других выражений (всего около сорока выражений). Ниже приведены примеры аналитических выражений для ядер приближений.
1. Рб„ (X) = (¿а-х'Х ¿¿0, т = /, /ъ = « I ¡с*?] ^Пг'
3. Экспоненциально-степенное приближение (10)/ 0*
4. Многочлен степени т по четным степеням
Т^-, где. зе.ф -><Я),
Для сложных.ядер погрешности приведены аналитические выражения при малых /// , £ ,1 . Они получены .на ЭВМ с помощью систем символьных преобразований "Аналитик" и
Установленные свойства равномерного приближения чебышевски-ми сплайнами применены в главе пятой для получения алгоритмов ш-. числения некоторых элементарных и спошфльнвд Функций. Получены конкретные, выражения Для точности рад1рмерн050 ..п1шближения разрыЕ-ными чебшиевскимд рациональными сплайнами, ^ -погрешности этих . выражений," а также для границ звеньев пра асимптотически равномзр-
ном приближения разрывными чебышевскям сплайнами с /* звеньями.. Так, для показательной функция (с* ¿0,сО,
имеем на промежутке £ О, б Л при 10(8$ £
Для ^(Ю-С."131 при
И тцтгО! г
а узлы 2; делят промежуток на равные части.
Частные случаи формулы для £х,?СС-ыа1Э при Г = I встречались в работах Д.И.Ньюмена , Г.Мейнардуса и Д.Браосса. Оценки для этой величины имеются также в работах Д.Я.Ньюмена а А.Т.Редди. Частный случай выражения для (С.с'х) при Г I, & =
О. = -I, = 1 получается из формулы Г.Нематха. Другой частный случай этого выражения получил также Д.Й.Ньюмен.
Получены также общие выражения для погрешностей к границ звеньев при равномерном приближении степенных и логарифмических Функций, а также ряд формул для этих величин при приближении гиперболических, тригонометрических функций и функций Бесселя.
Приведены одоленные результаты сравнения погрешностей, палу-чешшх по приведенным формулам с величинами погрешностей наилучших чебылеЕСких приближений, приведенных в литературе ( Л » !). Результаты подтверждают применимость полученных формул.
Формулы для границ звеньев использованы для построения таблиц параметров асимптотически равномерного приближения функций чебышев-скимл сплаГшами. Результаты практически не отличаются от равномерного приближения.
В конце главы приведены сравнения точности равномерного приближения чебышевскимя рациональными п многочленными сплайнами.
Глава шестая посвящена перспективам применения равномерных приближений чебышевскими сплайнами при расчетах технических устройств. Приведены также конкретные результаты реализации этих приближений в -устройствах новой техника, показаны преимущества по сравнению с ранее известными 'методами.
В § I показана возможность применения равномерного приближения сплайнами при адаптивной дискретизации сигналов. Проведен анализ методов и алгоритмов, используемых для этой цели, показаны преимущества использования равномерного приближения сплайнами.
Во втором параграфе рассмотрен способ построения специализированных табличных процессоров с неравными интервалами, предназначенных для вычисления аналитических функций в высокопроизводительных процессорах. В спецпроцессорах используется распараллеливание вычислений и вычисления с помощью равномерного приближения рациональными или многочисленными чебыщевскими сплайнами. Показаны преимущества использования таких приближений по сравнению с ранее использовавшимися приемами.
Далее обоснована полезность использования равномерного приближения нелинейными чебышевскимя сплайнами для построения термопреобразователей.- Кратко описаны способы построония устройств степенного и логарифмического преобразования числоимпульсных сигналов на основе применения икпульсно-разрядных делителей. На их основе строятся аппроксиматоры, реализующие равномерное приближение нелинейными чебытевскими сплайнами. ■
Известно, что техническая реализация аппроксиматоров на основе рациональных многочленов наиболее проста, если все полюса выражения tfr/fz.) действительны к лежат вне промежутка приближения [О, 6] , Таким свойством обладают наилучшие чебыиевские приближения многочленом, деленным «а 'линайну» Функции, Показаны преимущества построения аппроксдматорохз на основе равномерного приближения чебышевскими сплайнами со звеньями такого вида.
Седьмая глава посвящена посгрсснаа -чзбышевских сплайнов специальных видов, использование которых упрощает реализацию технических устройств. Приведены такте, результаты, использования чебы-. шевских сплайнов специальных видов в конкретных технических устройствах,, показаны преимущества по сравненио; с использованием ранее известных методов.
При практической реализации шч роаналоговой. линеаризации удобно сянтезирсвать аппрсдссимирующие выражения, минимизируя количество звеньев сплайна и обеспечивая отношение соседних длин звеньев, кратное 2К (к-целое число). Выполнение последнего условия позволяет использовать :дврячные элементы вычислительной техники,' упростить схему управления, задаздую длину звеньев .аппроксимирующего выражения и сократить аппаратурные' затраты. Такой 'подход приводит к чебышевским сплайнам с кшзиравными звеньями. Разрабо-
тал вычислительный алгоритм для построения оптимального (с минимальным количеством звеньев) чес&тевского сплайна с квазиравны-гла звеньями а с заданной погрешностью ^ . Суть алгоритма состоит в предварительном'нахоздении минимального количества звеньев Г1 при приближении чебышэвокш сплайном о равными звеньями. Потом длина первого звана остается неизменной а при атом условия выбирается длины всех других звеньев прд соблюдении соотношения
А ее,41 = <2 л £г ' 0,1,г, „, С «6, лг . Далее получаем минимальное количество звеньев.за счет оптимизации длины первого звена. '..■'.' ■ .
Определены разшо вида непрерывных чебыиевских сплайнов с квазиравными звеньями, построена алгоритмы для нахождения их параметров. Для стандартных термодатчаков (ГОСТ 3044-77) найдены параметра непрерывных оптимальных чабыщевскях многочленных сплайнов с квазиравными звеньями ( П = 1,2,3) с различными приведенными по-грзсиостякя <Г о При 8 . г 0,05 % по 'сравнению с литературными данными количество звеиьов сокращается в два-три раза. Результаты пепальзолзны при разработке цифровых измерителей температур.
Эффективность равномерного.приближения возрастает при воз-¡.югдости выбора вида сплайна па каядом звена из 3 возможных
; (14)
При этом приходим к равномерному приближенно Р-спяаЙнама, которое вводится аналогично равномерному- приближении нелнаейныка сплайна- . га и отличается от последнего тем, что на каждом зЕене используется то из выражений (14) (называемое составляющим приближением), которое дает наименьшую погрешность.
Исследованы свойства равномерных приближений Р-еплайнами различных видов, построены соответствующие вычислительные алгоритмы. Если для функции ^(¿с) , веса ' Ш(Х-) я выражений (14) справедливы свойства, перечисленные в теорема 1.2, то погрешность приближения ^ при заданном количестве Г звеньев, представляется форму-лей
да,
где
у Руе р^о во»
С Т» л и J J . (1б)
~Ь -количество точек е (С1, , в которых меняются приближающие выражения набора (14) в равенстве (16).
Введено асимптотически равномерное приближение Р~сплайнами, построены вычислительные алгоритмы для нахождения его параметров. Проведено сравнение численных результатов при равномерном и асимптотически равномерном приближении Р-сплайнами, а также при приближении сплайнами со звеньями одинакового вида. Сравнение подтверждает эффективность применения Р-спл айнов! Указаны возможные технические реализации приближения Р-сплайнами. ^
Введено равномерное приближение набора функций чебышевскими сплайнами со звеньями одинаковой длины для какдой функции. В частности, приближение с заданной погрешностью характеризуется тем, что незначительное увеличение длины любого г-го звена [* приводит к тому, что максимальная по-
грешность ^ I на этом ЗЕене
/С; • тао! тая ¡1 ¡¡(Югб(X)] / и'(Ю\ ° у./71 1 ' 1
станет больше заданной величины : >уг .
Исследовшш свойства равномерного приближения-набора функций. На исследования этих свойств построены вычислительные алгоритмы, которые использованы для определения параметров набора термоиреобразователей агрегатного кодадзкеа Ш'Р-П.
В заключении главы рассмотрзи метод последовательна'; Ьп-.са-ции параметров, предназначенный для уменьшения влияния ограниченной разрядности параметров технических устройств на Тактическую точность представления функций с помощью равномерного приближения сплайнами. Построенный вычислительный алгоритм позволяет свести это влияние к минимуму. На примере показано, что не учитывание фактора использования ограниченной разрядности может привести к значительному увеличению погрешности по сравнений с теоретически достижимой. За счет использования метода последовательной {икса-ции параметров появляется-возможность упрощать технические устройства, так как можно использовать меньшую разрядность представления чисел.
Глава восьмая дссвяздейа вопросам программной. реализация приближений с помоют чсбысевских сплайнов. Описано разработанное программное обеспечение. : . .
)
Выделены общие этапы построения программ для равномерного и • не равномерного приближения чебышевскиш сплайнами. Обоснована необходимость разработки конкретных программных модулей при создании пакетов и автоматизации программирования. Б связи с тем,что наиболее часто используются сплайны, звенья которых имеют не более пяти - шести параметров, предложено использовать для построения такта сплайнов упрощенные алгоритмы. Показана больная эффективность таких алгоритмов. Построены упрощенные алгоритма для рациональных чебшевских сплайнов с малин количеством параметров.
Описано функциональное наполнение пакетов программ для при— ближения чебыаевеними сплайнами, Пакеты включают решете следующих задач: приближение выбранный выражением, приближение выбранным сиралешшц с заданной точностью при подборе необходимого та ела параметров, равномерное приближение чебышевским сплайном заданного вида с заданной точностью (или с заданны« количеством звеньев); приближение одним из выражений (пли сплайнов! с заданным количество;? параметров ¡1 минимальной погрешностью и др. Часть задач возможно ракать п режима реального времени.
Показана эффективность решения перечисленных задач п пакет-па;! режиме при использовании приближенных выражений для погрешностей. Выражения особенно удобны при приближении аналитически задан-лих функций на ЭВМ с аналитическими преобразованиями.
В конце главы описано программное обеспечение для ЭВМ серий ?ЛР и СМ, построенное по результатам работы.
В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертационной работа н указаны конкретные варианта использования этих результатов на практике.
В приложениях приведены документы о внедрении и использовании результатов диссертационной работы.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
В диссертации предложено и развито новое научное направление в вычислительной и прикладной математике, состоящее во введении равномерного приближения сплайнами различной природы, построение на этой основе вычислительных алгоритмов, разработке методов решения широкого круга прикладных задач.
Основные результаты диссертационной работы можно классифици- . ровать по и" теоретической, вычислительной и прикладной значимое-
ти. В теоретическом плана осноенш результаты следующие:
1. Установлены общие свойства равномерных приближений рациональными и нелинейными чебышевсками сплайнами. Выведены общие формулы для погрешностей приближений аналитических Функций такими сплайнами и уравнения для границ звеньев при асимптотически равномерном приближении.
2. Получены общие выражения для погрешности равномерного приближения чебышевсками сплайнами ряда элементарных и специальных функций, которые обобщают многочисленные публикации, посвященные оценкам величин погрешностей наилучшего чебышевского и других приближений конкретных элементарных Функций. Для асимптотически равномерного приближения этих Функций получены общие формулы для границ звеньев.
3. Изучены свойства равномерных и некоторых неравномерных приближений чебышевскими сплайнами специальных видов, применяемых при построении технических устройств.
На основании перечисленных теоретических результатов получены основные результаты в плане создания новых вычислительных методов, алгоритмов, программ.
•I. Разработаны и реализованы вычислительные алгоритмы для нахождения параметров наилучшего чебышевского приближения с помощью ряда нелинейных выражений. Доказана сходимость алгоритмов,
2. Разработаны и реализованы алгоритмы для равномерного приближения аналитически заданных и табличных функций чебышевскими сплайнами с заданной погрешностью и минимальным количеством звеньев, а также с заданным количоством звеньев и минимально;'! погрешностью.
3. Разработаны и реализованы алгоритмы для приближения с помощью чебышевских сплайнов специальных видов, употребляемых при расчете устройств новой-техники. . .
4. Разработанные алгоритма реализованы в комплексах программ, внедренных в 143 организациях страны. Они реализованы также в пакете программ для СМ-4, разработанном в ВЦ Института прикладных проблем механики и математики АН УССР. -
Прикладные результаты работ состоят в показаний возможности и полезности использования равномерного приближения сплайнами для обработки данных, при расчете технических устройств, а также е решении ряда конкретных технических задач. Основные результаты в этом направлении следующие:
1. Показана эффективностьприменения равномерного приближения чебышевскими сплайнами с заданной погрешностью для уменьшения объема сигнала. Соответствующие алгоритмы я программы используются в ГлавНИИ ВЦ Госплана УССР для создания баз динамических отображенных данных и при создании автоматизированной системы
неразрушающего контроля.
2. Исследованы различные способы реализации табличных процессоров с неравными интервалами. Показаны преимущества использования равномерного приближения чебышевскими сплайнами при расчете параметров таких процессоров. Результаты использованы при разработке спецпроцессора для вычисления функций. Часть таблиц параметров равномерного приближения чебышевскими сплайнами элементарных функций опубликована также в справочнике [ 2].
3. Разные вада равномерного и неравномерного приближения чебышэвскими сплайнами с заданным количеством звеньев применялись при расчете параметров цифровых измерителей высоких температур, термопреобразоватслей для бтандартннх геркодатчиков, наборов преобразователей и др. Пра этом достигалось упрощение технических устройств.
4. Показана эффективность применения равномерного приближения чебншевскими сплайнами со звеньями разного вида. Результаты использоганы пра выполнении работ по создании системы математического моделирования технологических процессов.
Таким образом в работе создан новый аппарат для эффективного решения задач преобразования сигналов, возникающих при проектировании ряда устройств новой техника; подготовлено соответствующее математическое обеспечение; решен ряд конкретных задач.
Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:
Монографии, справочник, сборники программ, брошюры
Г. Попов Б.А., Теслер Г.С. Приближение функций для технических приложений. - Киев: Наук, думка, 1980. - 352 с.
2. Попов Б.Л., Теслер Г.С. Вычисление функций на ЭВМ. Справочник - Киев: . Наук.думка, 1984. - 600 с.
3. Попов Б.Л. Алгоритмы и программы для вычисления функций на ЭЦВМ. - Киев: Ин-т кибернетики, 1972. - дап. 2, 168 с.
4. Монцибович Б.Р., Попов Б.А. Наилучшие приближения табличных функций (алгоритмы и программы): Алгоритмы для малых ЦВМ. -Киев: №•-т кибернетики, 1973. - Ч.Т, 214 с.
5. Монцибович Б.Р., Попов Б.А. Наилучше приближения табличных функций (алгоритмы и программы): - Программы для ЦВМ КИР. -Киев: Ин-т кибернетики, 5973. - 4.2 , 238 с.
6. Попов Б.А., Монцибович Б.Р. Решение задач на машинах для инженерных расчетов. - Киев: Наук, думка, 1978. - 348 с. (на укр. языке).
7. Алгоритмы и программы для вычисления Функций на ЭЦВМ. Выпуск 5. Часть 2 (Программы)/Б.А.Попов, Л.И.Кужий, А.И.Берегуляк и др, - Киев: Ин-т кибернетики, 1980. - 212 с.
8. Попов Б.А. Точность приближения равномерными сплайнами (абсолютная погрешность). - Львов, 1983. 50 с. - (Препринт/АН УССР. Физико-мех. ин-т, № 73),
9. Попов Б.Л. Точность приближения равномерными сплайнами (взвешенная погрешность). - Львов, 1983, 50 с. - (Препринт/АН УССР. Физико-мех. ин-т, № 74),
10. Попов Б.А., Малачивский П.С. Наилучшие чебыиевские приближения суммой многочлена и нелинейных Тушений. - Львов, 19Я4, 70 с. - (Препринт/АН УССР. Физико-мех. ин-т. Я- 85). Статьи и авторские свидетельства
11. Попов Б.А. Метод вычисления Гунгауш, обратной интегралу веро-ятности/'/Отбор к передача инФорм. - 1971 .-Вып. 30. - С.24-20.
12. Попов Б.А. Наилучшее приближение выпуклой функции с помощью ломанной/Алгоритмы и программы для вычисления функций на ЭЦВМ. - Киев: Ин-т кибернетик/. - 1972. - Вып. 1. - С.78-87.
13. Монцибович Б.Р., Попов Б.Л. Особенности наилучшей аппроксимации многочленами-на малых ЦВМ//Киб-зрюгика. - 1974. - № 2. -С.44-48.
14. МонцибоЕйч Б.Р., Попов Б.А., Сергиенко И.В. Особенности наилучшей чебышевской аппроксимации функций некоторыми рациональными
. выражениями на малых ЦВМ//Кибернетика;-1974.-.»М.- С.39-44.
!5. Попов Б.А. Некоторые способы наилучшего приближения функции// Отбор и передача информ. - 1974. - Вып. 39. - С.49-57.
16. Попов Б.А. Приближение с помощью функций от многочленов//На#-
чиая конференция. Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе. Вычислительные методы в алгебре, ярикладной математике, в системе обработки данных и АО'. -Киев: Ин-т кибернетики. - 1974. - С.454-465.
17. Попов Б.А. Специальных функций способы вычисления//Энциклопе-дия кибернетики. - Киев: Укр. сов. энциклопедия. - 1974. -
Том 2. - С.392-393.
18. Благовещенский J0.B., Попов Б.А., Теслер Г.С. Метода вычисления взаимно-обратных функций/Дибериетика. - 1975. - Ii 2. - С,69-72.
19. Попон Б.А. Алгоритмы для наилучшего чебышевского приближения с помощью экспоненциально-степенного выражения//Огбор и передача информ. - 1975. - Вып. 43. - С.21-26.
20. Монцибович Б.Р., Попов Б.А., Сергиенко И.В. Некоторые вопроси построения пакетов программ для малых ЦВЭД//Управл. систем»! и машины. - 1975. - № 5. - С.39-42.
21. Попов Б.А. Упрощенные алгоритш для наилучшего чебышевского приближения с помощью экспоненциально-степенного выражения// Отбор и передача информ. - 1975. - Вып. 44. - С.25-32.
22. Попов Б.А. Свойства наилучших чебышевских приближений с помо-
щью функций от многочленон//Отбор и передача информ. - 1975.-Вып. 46. - С.14-22.
23. Воробель P.A., Попов Б.А. A.c. 632094 (СССР). Делитель частоты с дробным переменным коэффициентом деленин//0публ. в Б.И.-1978. - № 48. - С. 223.
24. Воробель P.A., Попов Б.А. A.c. 741263 (СССР). Устройство для вычисления логарифмов чисел//Опубл. в Б.И,- 1980 - № 22, -С. 263.
25. Попов Б.А. Аппроксимирующие сплайны с заданной ошибкой//Отбор и передача информ. - 1980, - Вып. 60. - С.56-67.
26. Воробель P.A., Малачивский П.С., Попов Б.А. Функциональный преобразователь на основе приближения суммой линейной функции и экопоненты//Отбор и передача информ. - 1980. - Вып. 61. -С. 61-75.
27. Попов Б.А. Равномерные сплайны для приближения непрерывных функций//0тбор и передача информ. - 1980. - Вып. 62. - С.55-62.
28. Кужий Л.И., Попов Б.А., Фет Я.И. Табличные процессора с неравномерными интервалами//Вычислительные системы. - Новосибирск: Ин-т математики. - 1981. - Вып. 90. - С.132-144.
29. Воробель P.A., Дудыкевич В.Б., Попов Б.А. A.c. 834698 (СССР). Устройство для извлечения квадратного корня//ипубл. в Б.И., 1931. - JS 20. - С.213.
30. Попов Б.А. Параллельный алгоритм для приближения равномерными сплайнами// 1У Всесоюзная икола-семяяар "Распараллеливание обработки информации". Тезисы докладов и сообщений. - Львов: Физико-мех. ин-т. - 1983.' - Ч.З. - C.1I&-I2I.
31. Зорйй В.И., Попов Б.А. Кусочно-нелинейная аппроксимация функций с различным видом аппроксимирующих выражений на поддиапа-зонах/Аонгрольно-измэрительная техника. - 1983. - Вып. 35. -С.16-20.
32. Попов Б.А. Точность приближения аналитических функций при разбиении промежутка на равные отрезки//Модели и системы обработ-
• ки информ. - 1984. - Вып.З. - С.83-88.
33. Кужий Л.И., Попов Б.А. Приближение нескольких функций сплайнами со звеньями одинаковой длины//Отбор и передача информ. -1985. - Вып. 71. - С.48-53.
34. Попов Б.А. Выбор вида приближения Функции//У Всесоюзная школа-семинар "Распараллеливание обработки информации".Тезисы докладов и сообщения. - Львов: Физико-мех. ин-т. - 4.4 - 1985. -
С.131-134.
35. Зорий В.И., Пасичник Т.В., Попов Б.А. Нахождение параметров кусочно-многочленных выражений для приближения функций преобразования термопреобразователей//Изв. вузов СССР. Приборостроение. - 1985. - 28. - № 6. С.91-95.
36. Попов Б.А. Аналитические вычисления в пакетах программ по приближению функций//Труды международного совещания по системам аналитических вычислений на ЭВМ я их применению в теоретической физике. - Дубна: ОИЙИ.- 1985. - ДН-85-791. - С.149-153.
37. Попов Б.А. Выбор узлов при равномерном приближении сплайнами// Доклада АН УССР, сер. А. - 1986.; - № 3. - С.21-24.
38л Попов Б.А. Определение погрешности равномерного приближения экспоненциально-степенными сплайнами. - Доклады АН УССР, сер. А. -1986. - Л 7. - С.18-21. ,
39. Попов Б.А. Погрешность равномерного приближения чебьшевсш:мг нелинейными сплайн&ми//Отбор и передача информ. - 1^37. - Вып. 75. - С.8-13. . , V '
40. Попов Б.А. Определение, максимальной погрешности наилучших че-бышевских -приближений некоторых элементарных функций//Алгорит-ш и программы для решения некоторых задач физики. - Будапешт: ЦИФИ-ОйЯИ. - 1987. - Вып. 5, - 1987-Г7/М. - С.27-50.
41." Попов Б.А. Равномерное- приближение четннх и-нечетных -ТункплЯ . сплайиами//Электрон. моделирование. .- 1987.;- 9, .'? 0. -
С.8-13. - ' .
42. Попов Б.А. Организация параллельных вычислений математических Функций с использованием равномерного приближения сплвйнами//У1 Всесоюзная школа-семинар "Распараллеливание обработки информации". Тезисы докладов.- Львов: Физико-мех. ин-Т.- ЧЛ- *987.- С.178-181.
Подписано в печать 21.01 .Ш р. № БГ-03701 Формат 60x84/16.Бумага писчая ?>елая, печатных листов 2,0 Тираж 100 зкз. Заказ // ... Бесплатно.
Физико-механический институт им.Г.В.Карпенко АН УССР 290601,-г.Львов, ГСП, ул.Научная, 5
Ротапринт Львовской научной библиотеки им.В.Стефаника АН УССР,'г.Львов, ул.Стефанина, 2.
