Рост субгармонических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

1 ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ, ВЫБОР НАПРАВЛЕНИЙ ИССЛЕДОВАНИЯ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1.1. Обзор литературы.

1.2. Выбор направлений исследования и основные результаты

2 ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ

2.1. Полуаддитивные функции.

2.2. Теорема о равномерности

2.3. Свойства /э-полуаддитивных функций.

2.4. Свойства функций плотности.

2.5. Примеры функций /(г) и их функций плотности

2.6. Оценки интегралов Стилтьеса специального вида

Актуальность темы. «Одной из самых красивых глав классического анализа является теория суб- и супергармонических функций». Это слова из предисловия Е. Б. Дынкина к переводу книги Дж. А. Ханта. Субгармонические функции были введены в анализ Ф. Гартогсом [31] и Ф. Риссом [36], [37]. В одной из первых монографий по теории субгармонических функций И. И. Привалов [18] писал следующее: «После того, как теория субгармонических функций достаточно развилась, естественно возникает вопрос о приложении их как общего класса фукций к теории функций одного комплексного переменного. Этот новый методологический подход к проблемам теории функций комплексного переменного, с одной стороны дает упрощение доказательств и объясняет ряд положений, на первый взгляд не связанных друг с другом; с другой стороны позволяет сформулировать ряд принципов в наиболее общем виде для широкого класса субгармонических функций».

Теория субгармонических функций является активно развивающейся областью современной математики. Исследованиям в этой области посвящены многочисленные работы. Она находит свои приложения в теории функций комплексного переменного, в теории потенциала, в теории случайных процессов, в геометрии. Поэтому получение любого нового результата в этой области является актуальной задачей как для самой математики, так и для её приложений.

Связь работы с научными программами, планами, темами. Направления исследований, выбранные в диссертации, предусмотрены планами научной работы Украинской академии банковского дела и Харьковского государственного университета. Большая часть результатов получена в процессе выполнения темы "Некоторые вопросы математического анализа", номер государственной регистрации №019711015783.

Цель и задачи исследования.

1) Изучение свойств р-полуаддитивных функций и их применение к теории роста субгармонических функций.

2) Изучение специальных интегралов от субгармонических функций, их связи с индикаторами.

3) Получение асимптотических формул для некоторых интегралов. Построение нерегулярно растущих субгармонических функций с известной асимптотикой.

Научная новизна полученных результатов. Все результаты диссертации являются новыми. В диссертации получен ответ на ряд актуальных вопросов теории роста целых и субгармонических функций.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

1. Теорема о свойствах р-полуаддитивных функций (теорема 2.6 диссертации).

2. Исследование порядка убывания функции (1+а)г w(a) = lim —-г [ \v(teie)-HV(t)\dt, r—юэ ry (r\ J 7 4/1 утверждение 3 теоремы 3.7 и подраздел 3.5 диссертации).

3) Исследование асимптотического поведения интегралов ь

J f(t) ехр (г| lnr£|°") dt. а

раздел 4 диссертации).

Методы исследования. В диссертации используются методы теории целых и субгармонических функций, теории полуаддитивных функций, теории меры и измеримости.

Практическое значение полученных результатов. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут быть использованы для дальнейшего развития теории целых и субгармонических функций, а также могут быть включены в специальные курсы по теории целых и субгармонических функций.

Личный вклад соискателя. Результаты раздела 4 получены автором лично. Результаты разделов 2, 3 получены в соавторстве с

А. Ф. Гришиным. В совместных работах вклад каждого из соавторов одинаков. А. Ф. Гришин не возражает против внесения общих результатов в диссертацию. Раздел 1 не содержит новых результатов.

Апробация результатов диссертации. По теме диссертации делались доклады на международной конференции "Целые функции в современном анализе" (Тель - Авив, 1997), на международном коллоквиуме памяти В. И. Белого (Донецк, 1998), на международной конференции по теории аппроксимации и ее приложениям, посвященной памяти В. К. Дзядыка (Киев, 1999), на международном симпозиуме "Ряды Фурье и их приложения" в рамках VII международной конференции "Математика. Экономика. Экология. Образование" (Новороссийск, 1999), на международной конференции "Математический анализ и экономика" (Сумы, 1999). Все результаты диссертации докладывались на городском семинаре по теории функций в г. Харькове.

Публикации. По результатам диссертации опубликованы 7 работ (6 без соавторов), из которых 5 — в журналах из перечня, утвержденного ВАК Украины.

выводы

Диссертация, в принципе, посвящена исследованию свойств субгармонических функций конечного порядка. Этому посвящен центральный третий раздел диссертации. Основной результат можно выразить такими словами: если v(z) - субгармоническая функция уточненного порядка p(r), V(r) = rp^r\ то функция v(ret9)/V(r) как функция переменной г при фиксированном в является медленно меняющейся. Утверждения такого типа были известны и раньше. Так если v(z) функция со свойствами указанными выше, то вне множества верхней линейной плотности т] справедливо неравенство ф + hz) - v(z) \< М /in (l + Щ dtV(\z\) (1) о V

Это результат А.Ф.Гришина приведенный нами в теореме 3.1. Мы изучаем интегральные оценки и рассматриваем функцию (1+а)г w(a) = lim ——- / I v(teid) - HV(t) I dt r^oo rV{r) ■{. для вещественных H E [h(6), h(0)]. Новым, принципиально важным моментом является то, что функция iv(a) стремится к нулю при а —> 0 быстрее чем а, в то время как правая часть (1) стремится к нулю медленнее чем |/г|. Кроме того при Н Е (h(0): h(9)] для w(a) получается глобальная оценка в классе всех субгармоничеч-скпх функций полуформального порядка р{г), w(a) < Ma

Ins1 z a In1 '

О тонкости результата свидетельствует то, что при Н = Ыв) такая оценка не верна. Пример, построенный нами показывает, что в этом случае нельзя сказать ничего больше, чем lim«)(a)/a = 0. Среди других результатов, на которые опираются доказательства третьего раздела, важную роль играют функции плотности. Функции плотности функций порядка р обычно являются /9-полуаддитивными функциями. Результаты по функциям плотности и />-полуаддитивным функциям изложены во втором разделе. Теория р-полуадцитивных функций параллельна теории полуаддитивных функций, которая достаточно подробно изложена в книге Хилле и Филлипса "Функциональный анализ и полугруппы". Некоторые наши результаты новы и для теории полуаддитивных функций. Это прежде всего касается условия существования в нуле производной полуаддитивной функции, теорема 2.6, утверждение 3. Самостоятельный интерес представляют результаты второго раздела об оценках интегра6 лов f f(t)dv{tr). Стоит подчеркнуть такую особенность. В рассмаа триваемом интеграле функция v не обязательно имеет ограниченную вариацию, т.е. она не обязательно функция распределения меры, и написанный выше интеграл не всегда можно рассматривать как интеграл Лебега по мере. В четвертом разделе дисертации мы рассматриваем частный случай написанных выше интегралов, а именно Ь f f(t) ехр(г| Intr^dt. В этом частном случае мы получаем более полную информацию об асимптотическом поведении интегралов. Оказывается, что способы получения асимптотических разложений и само асимптотическое поведение существенно различаются в случаях a £ (0,1), о = 1, о > 1. В случае а > 1 мы доказываем аналог леммы Римана-Лебега для тригонометрических интегралов, которая играет существенную роль в оценке остатков для асимптотических формул. Как приложение мы получаем широкий класс нерегулярно растущих субгармонических функций с известным асимптотическим поведением. Раньше асимптотические формулы выписывались, в основном, для функций вполне регулярного роста.

Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут быть использованы для дальнейшего развития теории целых и субгармонических функций, а также могут быть включены в специальные курсы по теории целых и субгармонических функций.

В диссертации используются методы общей теории целых и субгармонических функций, а также различные методы вещественного анализа в том числе теория меры и измеримости.

1. Азарин В. С. Об асимптотическом поведении субгармонических функций // Матем. сб. 1979. - Т. 108, №.- С. 147-167.

2. Говоров Н. В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом. М.: Наука, 1986. - 240 с.

3. Гольдберг А. А., Островский И. В. Индикаторы целых функций конечного порядка, представимых рядом Дирихле // Алгебра и анализ. 1990. - Т.2, №3. - С. 144 - 170.

4. Гольдберг А. А., Островский И. В. Распределение значений ме-роморфных функций. М.: Наука, 1972. - 592 с.

5. Гришин А. Ф. О регулярности роста субгармонических функций // Респ. сб. "Теория функций, функциональный анализ и их приложения". 1968. - Вып. 6. - С. 3-29.

6. Гришин А. Ф. О регулярности роста субгармонических функций II Респ. сб. "Теория функций, функциональный анализ и их приложения". 1968. - Вып. 7. - С. 59-84.

7. Гришин А. Ф. О регулярности роста субгармонических функций // Респ. сб. "Теория функций, функциональный анализ и их приложения". 1969. - Вып. 8. - С. 126-135.

8. Гришин А. Ф. Непрерывность и асимтотическая непрерывность субгармонических функций // Матем. физика, анализ, геом. 1994. - Т. 1, №2. - С. 193-215.

9. Гришин А. Ф. Непрерывность и асимтотическая непрерывность субгармонических функций // Матем. физика, анализ, геом. 1995. - Т. 2, №. - С. 177-193.

10. Гришин А. Ф., Малютина Т. И. Об уточнённом порядке // Комплексный анализ и математическая физика. Красноярск: Издательский центр Красноярского госуниверситета. - 1998. -С. 10-24.

11. Гришин А. Ф., Содин М. JI. Рост по лучу, распределение корней по аргументам и одна теорема единственности // Респ. сб. "Теория функций, функциональный анализ и их приложения". 1988. - Вып. 50. - С. 47-61.

12. Дынкин Е. Б. Марковские процессы-М.: ГИФМЛ,1984.-830 с.

13. Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции. -М.: Наука, 1979. 320 с.

14. Кондратюк А. А. Целые функции с положительными нулями, имеющими конечную максимальную плотность // Респ. сб.

15. Теория функций, функциональный анализ и их приложения.- 1968. Вып. 7. - С. 37-52.

16. Кусис П. Введение в теорию пространств Нр. М.: Мир, 1984.- 368 с.

17. Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966. - 516 с.

18. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М. : Гостех-теоретиздат, 1956.- 632 с.

19. Привалов И. И. Субгармонические функции. Москва-Ленинград: ГИТТЛ, 1937. - 199 с.

20. Риекстыныи Э. Я. Асимптотические разложения интегралов. Т.1.- Рига: Зинатне, 1974. 390 с.

21. Риекстынын Э. Я. Асимптотические разложения интегралов. Т.2- Рига: Зинатне, 1977.-463 с.

22. Риекстынын Э. Я. Асимптотические разложения интегралов. Г.З.- Рига: Зинатне, 1981.-370 с.

23. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. М.: Наука, 1985.- 142 с.

24. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир, 1980. - 304 с.

25. Хант Дж. А. Марковские процессы и потенциалы. М.: Изд. иностр. литер., 1962. - 278 с.

26. Хилле Е., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: Изд. иностр. литер., 1962. 256 с.

27. Bernstein V. Sopra una proposizione relativa alia crescenza delle funzioni holomorfe // Ann. Scuola norm sup. Pisa. 1933. - Vol 2, No 2. - P. 381- 399.

28. Bingham N. H., Goldie С. M., Tengels J. L. Regular Variation. -Cambridge University Press, 1985. 224 p.

29. Doob J. L. Classical Potential Theory and Its Probabiliste Counterpart. New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo: Springer-Verlag, 1984. - 830 p.

30. Fedorov M. A., Grishin A. F., Some Questions of the Nevanlin-na Theory for the Complex Half-Plane // Mathematical Physics, Analysis and Geometry. 1998. - Vol 1, No 3. - P. 1-49.

31. Haan L. On Regular Variation and its Application to the Weak Convergence of Sample Extremes // Math.Centre Tracts.-1970.-No. 32.

32. Hartogs F. Zur Theory der analytischen Functionen mehrerer un-abhangig Verdndlichen //Mat. Ann.-1923 No. 62.-P. 67-98 .

33. Hengartner W., Theodorescu R. Concentration functions. Academic Press, 1973. - 374 p.

34. Huber A. On subharmonic functions and differntial geometry in the large Comm // Math. Helv. 1957. - No. 32. - P. 1-2, 13-72.

35. Korevaar H., van Aardenne-Ehrenfest Т., de Breijn N. G. A note on slowly oscillating functions // Niew. Arch. Wisk. 1949. - No 23. - P. 77-86.

36. Polya G. TJntersuchungen iiber Liicken und Singularitaten von Potenzreihen // Math. Zeit. 1929. - Num. 29. - S. 549-640.

37. Riesz F. Sur les functions subharmoniques et leur rapport a la theorie du potential // Acta Mat. 1926. - No. 48. - P. 329-343 .

38. Riesz F. Sur les functions subharmoniques et leur rapport a la theorie du potential // Acta Mat. 1930. - No. 54. - P. 321-360 .

39. Steinhaus H. Sur les distances des points de mesure positive // Fund. Math. 1920. - No 1. - P. 93-104.

40. Tsuji M. Potential Theory in Modern Funktion Theory. Tokyo: Maruzen, 1959. - 590 p.

41. Valiron G. Lectures on the genaral theory of integral functions. -Toulouse: Privat, 1923. 257 p.

42. Гришин А. Ф., Малютина Т. И. Об утверждениях типа теоремы Владимира Бернштейна // Труды института прикладной математики и механики НАН Украины, ТЗ. Теория приближения функций. Донецк: Издательский центр Донецкого госуниверситета. - 1998. - С. 44-55.

43. Малютина Т. И. Асимптотические разложения нерегулярно растущих интегралов // Вкник Харювського ушверситету.

44. Сер.: матем., прикл. матем. i мехашка. 1999. - №458. - С.177 -184.

45. Малютина Т. И. Асимптотические формулы для нерегулярно растущих целых функций // ЕИсник Кшвського ушверситету. Сер.: ф1зико-матем. науки. 1999. - Випуск 4. - С. 50-54.

46. Malyutina Т. I. Some Estimates of Special Classes of Integrals // Thesises of Intern. Conf. on Approximation Theory and its Applications Dedic. to Memory of V. K. Dzjadyk. Kyiv. - 1999. - P. 55.

47. Малютина Т. И. Аналог теоремы Римана о коэффициентах Фурье и асимптотическое поведение некоторых интегралов // Тезисы межд. конф. Ряды Фурье и их приложения. Ростов-на-Дону. - 1999. - С. 333 - 334.

48. Malyutina Т. I. Some Estimates of Special Classes of Integrals // Mathematical Modelling and Analysis. 2000. - Vol. 5. - P. 127 -132.

49. Малютина Т. И. Асимптотическое поведение некоторых интегралов // Доповщ1 НАН Украши. 2000. - Математика, №4. - С. 25 - 30.российгяля . государств. 1: 'ш бив jiио'tiillti