О нелинейных абстрактных параболических дифференциальных включениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Гудович Анастасия Николаевна ^

О нелинейных абстрактных параболических дифференциальных включениях

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ-2004

Работа выполнена в Воронежском государственном педагогическом университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Каменский Михаил Игоревич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Обуховский Валерий Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор Ляхов Лев Николаевич

Ведущая организация: Тамбовский государственный университет

Защита состоится «28» сентября 2004 г. в 15 час. 40 мин. на заседании диссертационного совета К 212.038.05 в Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 314.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан «ЛЪ> августа 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Гликлих Ю.Е.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Начиная с 60-х годов 20 в. интенсивно развивается теория сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений и включений в банаховом пространстве. Дифференциальные уравнения и включения такого вида рассматривались в работах А. Б. Васильевой, В.Ф. Бу-тузова, А.Н. Тихонова, М.А. Красносельского, В.В. Стрыгина, Ю.Г. Борисовича, А. Дончева, Ц. Дончева, М.И. Каменского, П.Нистри. Поскольку решения различных задач для систем, описываемых дифференциальными уравнениями и включениями, зачастую полностью определяются неподвижными точками некоторого однозначного или многозначного отображения, вопрос о существовании решений таких задач эквивалентен вопросу о разрешимости нелинейных операторных уравнений или включений. М.А. Красносельским был сформулирован следующий общий принцип непрерывной зависимости решений операторных уравнений от параметра.

Пусть Е — банахово пространство, .Р : Е X [0,1] Е — вполне непрерывный оператор. Предположим, что существует единственное решение х* уравнения

х = Г(х,0),

(1)

причем Тогда при достаточно малых множество

решений уравнения непусто, причем многозначное отобра-

жение непрерывно

Данный принцип переносится на случай, когда решения уравнения (1) принадлежат некоторому открытому (или относительно открытому ) в ограниченному множеству и, такому что отображение / —^(-,0) имеет на границе и отличное от нуля вращение (относительное вращение), а также на случай, когда Ж — многозначное вполне непрерывное выпуклозначное отображение и на случай, когда Р — многозначный уплотняющий оператор с обобщенными . При этом имеет место полунепрерывность сверху отображения Аналогичные теоремы для слабо вполне непрерывных операторов были получены Ю.Г. Борисовичем.

Однако, в случае сингулярного вхождения параметра, после перехода к операторному уравнению (соответственно, включению), непрерывность соответствующего оператора по параметру, как правило, не имеет места и потому непустозначность и непрерывность ( с в

шшшш

БИБЛИОТЕКА СПоЫяг Г в Г * о». I

)

сверху) отображения не может быть получена как следствие одной

из таких теорем.

А. Дончевым и В. Велиовым для сингулярно возмущенных систем дифференциальных включений было показано, что отображение, ставящее в соответствие сингулярному параметру множество решений системы, вообще говоря, не является полунепрерывным сверху в метрике С[0,^] х С[8,с11 даже в конечномерном случае, т.е. для дифференциальных включений полный аналог классической теоремы Тихонова о зависимости от параметра решений начальной задачи для сингулярно возмущенной системы обыкновенных дифференциальных уравнений не может быть получен. Эта трудность может быть, однако, преодолена за счет удачного выбора топологии. А. Дончевым и И. Славовым была рассмотрена сходимость в С([0,с[\,Л.п) по медленной переменной и слабая сходимость в по быстрой переменной. В

работах М.И. Каменского и П. Нистри для случая бесконечномерных банаховых пространств рассматривалась равномерная сходимость по медленной переменной и слабая сходимость в по быстрой переменной. В работах А. Дончева, Ц. Дончева и И. Славова для сингулярно возмущенных систем дифференциальных включений в конечномерном пространстве была получена полунепрерывность сверху в метрике А.Н. Тихонова отображения, ставящего в соответствие каждому малому параметру возмущения некоторое специальное подмножество множества решений системы. Вопрос о равномерной сходимости быстрых переменных для случая бесконечномерных банаховых пространств оставался неизученным. В диссертации найдено подмножество множества решений Z{e) начальной задачи для сингулярно возмущенных систем полулинейных абстрактных параболических включений в бесконечномерных банаховых пространствах, такое что отображение непустозначно и полунепрерывно сверху в метрике

Проблема зависимости от параметра периодических по времени решений сингулярно возмущенной системы обыкновенных дифференциальных уравнений в конечномерном пространстве была исследована в работах Л.Флэтто и Н. Левинсона. Аналогичные результаты для бесконечномерных банаховых пространств были получены Ю.Г. Борисовичем . М.И. Каменским и П.Нистри для сингулярно возмущенных систем полулинейных дифференциальных включений в банаховых пространствах была доказана полунепрерывность сверху отображения е Z{£) в метрике Ст{Е\) X Ь\{Е¿). Вопрос о равномерной сходимости быстрых переменных до настоящей работы не был рассмотрен. В диссертационной работе найдено подмножество •^(е) множества решений периодической задачи для сингулярно возмущенных си-

стем полулинейных абстрактных параболических включений бесконечномерных гильбертовых пространствах, такое что отображение е Zl{e) непу-стозначно и полунепрерывно сверху в равномерной топологии.

Проблема зависимости от малого параметра периодических по времени решений дифференциальных уравнений с быстро осциллирующей по времени нелинейностью исследовалась в классических работах Н.Н. Боголюбова и Н.М. Крылова. В работах А.И. Булгакова принцип усреднения Крылова-Боголюбова был распространен на функционально - дифференциальные включения. Начальная задача для для обыкновенных дифференциальных уравнений в конечномерных пространствах с быстро осциллирующими по времени правыми частями и гистерезисными нелинейностями была рассмотрена МА Красносельским и А.В. Покровским. Обоснование принципа усреднения в задаче о периодических по времени решениях сингулярно возмущенных систем абстрактных параболических включений с быстро осциллирующей по времени нелинейностью в банаховых пространствах было проведено М.И. Каменским и П. Нистри. В настоящей работе для банаховых пространств впервые обоснован принцип усреднения в задаче о периодических по времени решениях сингулярно возмущенных систем абстрактных параболических включений с быстро осциллирующей по времени нелинейностью и обратной связью, реализуемой с помощью гистерезисного оператора.

Цель работы. Исследование вопросов существования и зависимости от малого параметра решений сингулярно возмущенных систем полулинейных абстрактных параболических включений в бесконечномерных банаховых пространствах.

Методика исследования. В диссертации использовались методы теории вращения вполне непрерывных многозначных векторных полей, методы теории полугрупп, метод дробных степеней операторов.

Научная новизна. Все полученные результаты являются новыми. Среди них отметим следующие:

1. Для случая бесконечномерных банаховых пространств при каждом малом значении сингулярного параметра найдено подмножество множества решений начальной задачи для сингулярно возмущенных систем полулинейных абстрактных параболических включений, такое что отображение, ставящее в соответствие каждому малому параметру возмущения соответствующее подмножество непустозначно и полунепрерывно сверху в метрике А.Н. Тихонова.

2. Для случая бесконечномерных гильбертовых пространств при каждом малом значении сингулярного параметра найдено подмножество множества

решений периодической задачи для сингулярно возмущенных систем полулинейных абстрактных параболических включений, такое что отображение, ставящее в соответствие каждому малому параметру возмущения соответствующее подмножество непустозначно и полунепрерывно сверху в равномерной топологии.

3. Для случая бесконечномерного банахового пространства впервые было проведено обоснование принципа усреднения в задаче о периодических по времени решениях сингулярно возмущенных систем полулинейных абстрактных параболических дифференциальных уравнений и включений с быстро осциллирующей по времени нелинейностью и обратной связью, реализуемой с помощью гистерезисного оператора.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при исследовании сингулярно возмущенных уравнений и включений с частными производными, а также при изучении различных задач управления, в частности, задач управления переносом тепла.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на международных конференциях "Математика. Компьютер. Образование"2001 и 2003 года (г.Пущино), 2004 года (г. Дубна), на международной конференции "Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы"2003 года (г. Воронеж).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[8], список которых приведен в конце автореферата. В совместные работы с М.И. Каменским и P. Nistгi [1],[8] вошли только принадлежащие автору диссертации результаты.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, двух глав, объединяющих в общей сложности 4 пункта и списка литературы. Общий объем диссертации 117 страниц. Библиография содержит 50 наименований. Текст иллюстрируют 4 рисунка. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе диссертации рассматриваются вопросы существования и зависимости от малого параметра решений начальной и периодической задач сингулярно возмущенных систем полулинейных абстрактных параболических включений с многозначными нелинейностями и однозначной линейной частью, порождающей аналитическую полугруппу. Предположение о подчиненности неограниченных многозначных нелинейностей дробным степеням линейной части позволяет применить для построения соответствующих операторов метод дробных степеней. Все встречающиеся ниже полугруппы пред-

полагаются аналитическими, а их производящие операторы — компактно обратимыми.

В п. 1 первой главы рассматривается задача Коши для сингулярно возмущенной системы полулинейных дифференциальных включений в банаховом пространстве

' х\г) + АхЦ) е Ф1Ц, хЦ)) + б!2(х(<))у(<) еу'(г) + Ву{1) е ®(0) + Ы* (*)М0 + ь22»(*), * е М ,

(2)

х(0) = х0, 2/(0) = Уо.

где е — малый положительный параметр,

-Л и -В

(3)

— производящие опера-

торы аналитических полугрупп действующих в сепарабельных

банаховых п р о с т р а£х и £5, пространство .Е^гворяет свойству Радона-Никодима.

В системе (2)-(3) то € £)(Л), уо € -О(В), — 1» 2, — многозначные отображения, ¿12,621,622— однозначные операторы. Операторы 6у действуют из в £(£*,£«), = 1,2, * ^ 3, Ьи 6 Ь(Е2,Е2). Через обозначено пространство линейных ограниченных операторов, действующих из Е2 в Е{.

Предполагается, что многозначные отображения = 1,2, подчинены дробным степеням оператора А, т.е. при некотором а € (0,1) отображения полунепрерывны сверху при почти всех

При £ = 0 рассматривается включение смешанного типа

(4)

(5)

Под решением задачи (2)-(3) на отрезке [0, понимается решение соответствующей системы интегральных включений. Под решением вырожденной задачи (4)-(5) на отрезке [0,с(], понимается пара (я0,?/0)., компоненты которой являются непрерывными функциями, заданными на [0, со значениями, соответственно в Е1 и Е2, такими, что х° — решение соответствующего интегрального включения, а

АОеЫО : Й,(*) = В-1[/Ь(0 + Ьн(«°(0)»°(0 + 622»о(0],

/о(<) € для п.в. 4 б [0, ¿1} , 4 € [(И .

Обозначим через Z(e), е > 0, множество решений системы (2)-(3), а через Z(0) — множество решений системы (4)-(5).

Мы предполагаем, что правая часть системы (2)-(3) удовлетворяет следующим условиям:

Ло) Существует положительная константа <¿2, такая что ||e-Sí|| < e~d,t при всех t > 0.

Обозначим х) = ip,(t, А~ах) , а £ (0,1) , » = 1,2. А\) Для в х £ Ei к для всех t £ [0,d] множество ipi(t, х) о , компактно и выпутаю. Отображения i/>,(í, •), i — 1,2, пвшунепрерывны сверху для почти всех t € [0,<f¡.

Лг) Существует положительная константа ру такая что ||V>,(í, х)|| < р(1+ ||i¡|) , г = 1,2, для всех х £ Е\ и для всех t G [0,d|.

Лз) Существует селектор f¡ : [0,d] X Е\ —^ E¡ отображения t/¡,(í,x), удовлетворяющий условию Липшица.

Л4) Существуют положительные константы сг, 7 , р такие что ||Ь12(Л-°х)|| < а, ||ЫЛ-а*)|| < 7, IM^sO - < р1\Х1 - х2\\

для всех х, Xi, х2е El , г, j — 1,2, i ф j.

А$) Существует константа /? > О, такая что Ц622Ц < /3 , причем /3 + 7 < с?г •

Обозначим через Hf\t\, ¿2] множество функций, удовлетворяющих условию Гельдера на [íi,<2] с показателей!и константой L.

Пусть £ > 0. Определим м н о ж е с твос едующим образом:

{(x,y)€Z{e) : х £ H9L{1~a)[0,d\, у £ Я^"^),**]},

где в £ (0,1), S[e) — некоторая функция, удовлетворяющая условиям:

5(e) 0 при г 0 и ¿(e) > iMM.

"2 — 7 — Р

Положим ZL(0)= {(i,!/)€Z(0) : х,у £ HeL{1'a)[0,d\}.

Основным результатом является следующая

Теорема 1.1. Пусть условия А$) — Л5) выполнены при некотором Ос £ (0,1) . Тогда для любого £о > 0 существует константа L > О, такая что отображение £ —^ Zi{¿) непустозначно для всех еб^ео] и полунепрерывно сверху в точке е = 0 относительно метрики С[0,й] X C[5,d\, где 6 — любое число из интервала (0, d]

В п.2 первой главы диссертации рассматривается задача о периодических по времени решениях для сингулярно возмущенной системы полулинейных дифференциальных включений в гильбертовом пространстве

x'(í) + Л!Х(*) е *(*)) + bi2(x(í))y(í)

ey\t) + A2y(t) £ *(<)) + 621(x(í))y(í) + hai{t) ,t> 0 . (7)

где —Ах и — Аъ — производящие операторы аналитических полугрупп е~А и е~А<1действующих в гильбертовых пространствах Е\ и Е2, Ау- самосопряженный оператор, е— малый положительный параметр. Многозначные отображения ^ (г = 1,2) являются Т-периодическими по времени, &12> ^21» ¿"22— однозначные операторы. Предполагается, что операторы-6^, г ф j действуют из Е\ в Ь(Е2, £,), г^ - 1,2, ¿22 € ¿(£2.

При 5 — 0 рассматривается включение смешанного типа

( х'(() + Агх{1) е ф^, *(*)) + М* (ОМ*)

1 А2уЦ) + + (8)

Под Т-периодическим решением системы (7) понимается Т-периодическое решение соответствующей системы интегральных включений. Под Т- периодическим решением системы (8) понимается пара ком-

поненты которой являются непрерывными Т-периодическими функциями, заданными на полуинтервале [0, оо) со значениями, соответственно, в Е\ и Е2, такими, что х0 — решение соответствующего интегрального включения, а

У°(0 6 { 5о(0 : 9о(г) = А?[Ш + М*°(«))»°(0 + ЬлУ0®],

Обозначим через 2(е) множество Т-периодических решений системы (7), а через 2"(0)- множество Т-периодических решений системы (8).

- На операторы А\, Лг, ф\, Ф2, ¿121 &21» ^22 накладываются следующие условия:

А)) Существуют положительные константы ¿1,^21 такие что <

*> 0, * = 1,2.

П у ае [1/2,1), ве (0,1 -а), примем За + 20 >2. т с я , что многозначные отображения ф{, г = 1,2, подчинены дробным степеням АН1-а-е) 0бозначим = ■ф^,А1{1~а~в)х), г = 1,2.

£>1) Для в х £ Е\ и для всех £ 6 [0,Т] множество ф^Ь, х) непусто,

компактно и выпукло. Отображения шнлуннцрерывны сверху для

почти всех < € [0,Т]

•Ог) Многозначные отображения ф* ограничены на каждом ограниченном в Е\ множестве.

2?з) Для любой функции д £ Ст(Е1) существует Т-периодический селектор Л е 4(^1), отображения Фх(*) = ф^А^дЦ)).

£>4) Существен Т-периодический селектор /2 : [0, оо) х Е\ Е2 отображения Фг(£, х) = удовлетворяющий условию Липшица.

Существуют положительные константы Л, А, такие что

< г,А\-а~вх >< -А||х||2, х 6 В{А\-а-в), ||х|| > Я, * € [0,Г], * € 4>№,х). Х>б) Существует константа о\ € (О, А), такая что

< Ь12(А;(1-а-в)х)у,А\-а-вх><а1К\\х\\, у € Ег, 1М1 < Д, х е

1>7) < г + г.21(лрх)у+ Ь22У,У >< о, уе е2, ||у|| > я, хеЕи ье [о,г],

г е

£>§) Существуют положительные' константы сгг, 7,р, такие что' НМ^Г^И < ||Ь21(ЛГах)|! < 7 , ИМАГхх) - М^Г"*») £ р||*1 - ®а|| при всех Х,Х1,Х2 е £а, г, з = 1,2, гф ].

Юд) Существует константа /3 > 0, такая что Ц622Ц < Р и 7 + /? < ¿2-Пусть е > 0. Определим множество ¿^(е) следующим образом:

= {(*,») 6 : х,у £ Н^'^Т]}.

Положим гф) = {(х,2/) € Я(0) :х,уе Н^-^Т]}.

Основным результатом является следующая Теорема 1.2. Пусть условия Д>) — 1)9) выполнены, при некоторых а £ [5,1), в 6 (0,1 — а). Тогда для любо го £о > 0 найдется константа Ь > О, такая что отображее —> ^¿(е) начно для всех е 6 [0, £о] и полунепрерывно сверху в точке е = 0+ относительно метрики Ст{Е\) X

Ст(-Ег)-

Во второй главе диссертации исследуется задача о периодических по времени решениях сингулярно возмущенных систем абстрактных параболических включений с быстро осциллирующей по времени нелинейностью и обратной связью, реализуемой с помощью гистерезисного оператора. В п.2.1 рассматривается система уравнений вида

= Г[0,Л(Р*(0),ЦО))]5(*(О)ХО), *)(«). (1°)

где е— малый положительный параметр, —А\ и —А2 - производящие операторы аналитических полугрупп е~Аи действующих в банаховых' пространствах Е\ и Е2 соответствен®о/¡-периодические по времени отображения, Р : Е\ —¥ Ео - линейный оператор, Г - гистерезисная нелинейность, состояние гистерона в момент времени принадлежащее декартовому произведению банаховых пространств

Под Т-периодическим решением системы (1°) понимается обобщенное Т-периодическое решение (хс, гие, уе), компоненты которого являются непрерывными Т-периодическими функциями, заданными на полуинтервале

[О, оо), со значениями, соответственно в Е\, Е$ и Е2, такими, что'хс и у£ — Т-периодические решения соответствующих интегральных уравнений, а

и>е(*) = Г[0>Л(Рхв(0),«?е(0))]г(ге(0)|«;е(0)1х,)(0> * > 0.

(11)

Операторы /,, ¿ = 1,2 предполагаются подчиненными дробным степеням операторов А\ и в следующем смысле

Рх) Операторы (Ь,х,у,ю) >-)■ /,(4, А^ах, действуют из Я+х^х

Еч X £3 в Е„ непрерывны и удовлетворяют локальному условию Липшица по переменным |

^2) Для любого Я > 0 выполнено неравенство

ШМрх, агу.чОИ < рд(1 + 1ЫЫ, (||х|| < я, 1Н < я, 4 е [о,т]).

£>1) Для всех гб^, V! £ Е3, А £ [0,1] существует единственное решение интегрального уравнения

Для в С Ех х Е3 положим у^'1' = У

£>2) Множество ограничено, если б С Е\ х £3 ограничено.

Пусть Ж - гистерон с областью П(И^) С Ео X Ец возможных состояний и определяющей его гистерезисной нелинейностью Г. При каждом фиксированном значении параметра ¿о > 0, при всех * > ¿0 будем считать оператор определенным на множестве

До (Г) = {(!., «о, «*) еЕ0хЕ3х С([<0, *], Ео) : (х.,гоо)бП(ИО, ®'(*о)=®«}.

(12)

Так как Ж - гистерон, гистерезисная нелинейность Г обладает следующими свойствами :

С\) При всех ¿о € [0,+оо) оператор Г[<о, •,•]• действует из Е0 х Ез х £"0) в С([<о,^,-Бз). < > *о> причем если х*(*) = х„ го

Г[«о,1„гио]г*(0 = Щ-

Сг) При, всех <о 6 [0,+оо), (х., и>о. х') е А0(Г) выполнено Г[*о,х„и)о]х*(*о) = Щ-

Сз) Оператор Г даддапеищряет полуирупповому тождеству

Г[*0| х„ 1оо]®*(«) = Г[П, ®*(«х), Г[«о, х„ ш0]х*(<1)]х*(4) (*„ < ¿1 < е).

С4) Пусть € [0, +оо), (х„щ,,х*) <5 А0(Г), «(*) = х*(г + <о - Ь) при * > ¿1. Тогда (х,,мо,у) € АДГ), причем

г., = х„ ги0]и(< — ¿о + ¿1) > ¿о)-

С5) Пусть *0 € [0, +оо), /3 > 0, 6 А0(Г), «(*) = ®*(#+(1-/3)*0)

при < > <о. Тогда (х,,№0,и) € А0(Г)> причем

Г[4о, х„ и/0]и(4) = Г[<о, х„ + (1 - /?)*о) (« > *о).

На отображение Г накладываются также следующие условия: Сб) При всех € [0, +оо) оператор Г[£о> •]" удовлетворяет условию Липшица.

С7) Существует непустое множество А С П(й^), такое что рг£3А — выпуклое компактное множество и если (х,,Юо) € А, ¿о € Л+, то Г^о,х«,1Уо]х*({) £ ргЕ3А при всех 4 > ¿о» ПРИ всех х* € таких что х*(<о) = х,.

Через ргЕзА обозначена проекция множества А на пространство £3.

Отображение Л предполагается удовлетворяющим условиям: Се) Отображение Л действует из .Ей X Е3 в А.,причем Л(х, т) = (х, тп) при (х,1у) е А, ргЕ3Л(х,ги) = и> при го € рге3А.

Сд) Отображение Л удовлетворяет условию Липшица по обеим переменным. Сю) Оператор РА[а ограничен.

Предполагается также, что д : Е\ х Ез х С([<о, Е\) С([4о, £о)> д(хо,ь}о,х)(з) = Рх(з) — Рхо+ргЕ0А(Рхо,хио), з 6 [¿о, £]■ Поскольку из определения функции д следует ^(хо, гио, х) (¿о) = Рх(<о)-Рхо+35Г£0Л(Рх0,гУо), то Г[£о,Л(Рхо,и>о)]<7(хо)«>о)х)(£) определено при всех t > ¿о, при всех (х0, адо, € Е\ х Ез х С([г0, *], £1), таких что х(*0) = хо-

Определим усредняющий оператор Ф : Е\хЕз —> Е\ хрг£3А следующим образом: Ф(х,ги) = (Р1(х,«;),Г(х,ш)), где

Рассмотрим систему

x(t) = e~eA,txo + A jf Aiay(s), w(s)) ds, (13)

y(t) = e-^yo + AZe-A«-*f2(s, A^ax(s), A;ay(s), W(s)) ds, (15)

Основным результатом п. 2.1 диссертации является следующая теорема

Теорема 2.1. Пусть при некотором а £ (ОД) выполнены условия Л), F\), F2), Ui),D2), Ci) — Сю). Пусть для каждого возможного решения (хЕ,щ,уе) системы (13)-(14)-(15) имеет место априорная оценка ||х£|| < С(е,Хо,уо), Цу^Ц < С(е, го, j/q). Пусть для любого ограниченного множества П С Ex X Е3 X Е^ решения зачи (13)-(14)-(15), соответствующие А = 1. (хп, Wn. t/n) £ П являются равномерно ограниченными (с константой, не зависящей от е), и существует открытое, ограниченное множество G С Е\Х Е3, такое что Fix4ff\dG = 0 и 7 (I - ф 0. Тогда, при достаточно малых е > 0, система (10) имеет по крайней лере одно Т-периодическоерешение (xE,we,ye) € Ст(Е{) X Ст(Е$) X такоечто

(А?хЕ(0},ги£(0)) € G. Более того, для любой последовательности £п —0 соответствующая последовательность {(x£n,w£n, уеп)} относительно компактна и ее предельными точками могут быть лишь (х,,w„y*), где (A%x„w,) 6 G — неподвижная точка отображения Ф, а А^у* =

Результаты, полученные в п.2.1 обобщаются в п.2.2 на случай систем полулинейных дифференциальных включений вида

' x'(t) + eA1x(t) е efi{t,x(t),y{t),w{t)) ,

_ y,{t)+A2y(t) 6 h(t,x(t),y(t),w(t)) .

где fi и /2 - Т-периодические по времени многозначные отображения, Г - ги-стерезисная нелинейность, (Рхо,щ)- состояние гистерона в момент времени t = fo, принадлежащее декартовому произведению банаховых пространств Eq и Еу. Предполагается также, что D(A\) = Е\.

На аналитические полугруппы e~Alt и е~Аг* накладывается условие А) из раздела 2.1, т.е. предполагается, что полугруппы являются сжимающими.

Пусть, как в разделе 2.1, Р : Е\ Eq — линейный оператор, W — гистерон с областью ft (IV) С ЕоХЕз возможных состояний и определяющей его гистерезисной нелинейностью Г с областью определения (12).

В п.2.2 указаны условия, обеспечивающие при малых е > 0 существование Т-периодических решений системы (5[). Доказана полунепрерывность сверху в равномерной топологии отображения е ^(е), ставящего в соответствие каждому малому параметру возмущения е > 0 множество обобщенных решений системы (5|). (Под 2(0) понимается множество обобщенных решений усредненной системы.)

Под Т-периодическим решением системы понимается обобщенное

решение (х£,и>е,з/£), компоненты которого являются непрерывными Т- периодическими функциями, заданными на полуинтервале [0, +оо), со значениями, соответственно, в Е\, и 2?г, такими, ч хт — Т-периодические решения соответствующих интегральных включений, а

На оператор Г накладываются условия С\) — Се), Сю) из раздела 2.1, а также условие

С£) Существуют непустое, выпуклое, компактное множество К С Ез, непустое, открытое множество <2 С Е\ х £¡3, такие что если

(хо.и'о) € ЯГ\{Е1ХК), £0 € Д+,то (РАхах0, «о) € П(^) и Г[<о,РАуахо,шо].РЛ^ах0(*) 6 К при всех х° € С([«0,*],£х) : х°(£0) = х0,

при всех £ > Ц.

Многозначные операторы /¿, i = 1,2 предполагаются подчиненными дробным степеням операторов Лх и А% в следующем смысле Г{) Операторы (¿,х,2/,ги) /¡(£,"Л7°х, Л^у.го) действуют из Д+ х Е\ х Е2 X Е3 в Кк(Е{) и ограничены на ограниченных множествах. Через К„(Е{) обозначена совокупность всех непустых, выпуклых, компактных подмножеств пространства

Для всех (х, у, ш) £ £1 X £2 х Ез существует измеримый селектор многозначного отображения

Для почти всех многозначные операторы

Е\ х Е2 х Е3 —Кк(Е{), г = 1,2, полунепрерывны сверху.

Для всех существует хотя бы одно решение

интегрального включения

ш£(£) = Г^.РЛрХе^.гу^О^РЛ!-^^), г > 0.

(16)

Ы5) £ /г(5, А\ах,А1ау{5),ы) при п.в. в <Е [0,Т]},£ > 0.

Множество решений включения (17) обозначим через Пусть — ограниченное множество. Обозначим

У^] = {У£СТ(Е2):У€ ' ^ *£„}.

(т,и>,А)еСх[0,1]

Множество ограничено, если ограничено.

Определение усредняющего оператора. Положим

У(х, ш) = {и : [0,Т] -> Еи V- измерима, г>(*) 6 А^х, ад)

Рассмотрим многозначный оператор

Ф : <? П (£1 х К) -+Е1хК, Ф(х,ад) = (Р(х,ад),Г(х, ш)),

где Р(х,ад) = £ у(з)<18, и € У(х,ад)},

Г(х, ю) = Г[0, РЛрх, ю]РА^ай, й б С([0, Т], Ег), й = х.

Основным результатом п. 2.2 диссертации является следующая теорема Теорема 2.3. Пусть при некотором а Е (0,1) выполнены условия А), Е^), Е£), Ез), С1) — Сб), С7), Сю), £>',), и пусть существует ограниченное, открытое множество й С <3, такое что 7(I — Ф,СГ) (2?! X ЯГ)) ф 0. Тогда при достаточно малых е > 0 система (5|) имеет по крайней мере одно Т-периодическое решение (хЕ,ш£,?/£) £ Ст(СП (Е1 X К)) X Ст{Еь), причем для любой последовательности £„., сходящейся к нулю, соответствующая последовательность (х£п, ш£п, у£„) С Ст(СП (Е\ х К)) X С^Е?) относительно компактна и ее предельными точками могут быть лишь функции (х»,го,,2/0), где (х,,ги,) 6 (7 П х К) — неподвижная точка отображения Ф, в у0 6 .

Публикации по теме диссертации.

1. Гудович, А.Н. Об аналоге теоремы А.Н. Тихонова для абстрактных параболических дифференциальных включений в банаховых пространствах / А.Н. Гудович, М.И. Каменский, П. Нистри // Математика. Компьютер. Образование: сб. науч. тр. - М., 2001. - Вып. 8, ч. 2. - С. 307-310.

2. Гудович, А.Н. О сходимости периодических решений сингулярно возмущенных систем дифференциальных включений в гильбертовых пространствах / А.Н. Гудович // Труды Российской ассоциации "Женщины-математики". Математика. Экономика. Образование. Ряды Фурье и их приложения. - Воронеж, 2002. - Т. 10, вып. 1. - С. 59-62.

3. Гудович, А.Н. О методе усреднения для сингулярно возмущенных систем полулинейных дифференциальных включений, содержащих гистерезисные нелинейности / А.Н. Гудович // Математика. Компьютер. Образование. Сб. науч. тр. - М.;Ижевск, 2003. - Вып. 10, ч. 2. - С. 141-145. «14. Гудович, А.H. О равномерной о г р а юности певис|жи|ео§^1хр н и й сингулярно возмущенных систем дифференшкиАнбх включений в гильбертовых пространствах / А.Н. Гудович // Труды Мссийской ассоциации "Женщины-математики". Математика. Математическое образование. - Воронеж, 2003. -Т. 11. - С. 32-34.

5. Гудович, А.Н. О применении теории вращения вполне непрерывных многозначных векторных полей к исследованию периодических решений сингулярно возмущенных систем дифференциальных включений, содержащих гистерезисные нелинейности / А.Н. Гудович // Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы: Материалы международ. конф., 26-30 мая 2003 г., Воронеж.- М., 2003. - Т.1. - С. 27-28.

6. Гудович, А.Н. О периодических решениях сингулярно возмущенных систем дифференциальных включений, содержащих гистерезисные нелинейности / А.Н. Гудович // Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы: Материалы международ. конф., 26-30 мая 2003 г., Воронеж.- М., 2003. - Т.2. - С. 33-39.

7. Гудович, А.Н. О применении топологических методов к исследованию дифференциальных включений, содержащих гистерезисные нелинейности / А.Н. Гудович // 11 Международ, конф., Дубна, 26-31 янв. 2004 г.: тез. докл. -М., 2004. -Вып. И. - С. 99.

8. Gudovlch, A. A Tikhonov type theorem for abstract parabolic differential inclusions in Banach spaces / A. Gudovich, M Kamenski., P Nistri // Discussiones Mathematical: differential inclusions : control and optimisation.- 2001. - Vol. 21, N.2, - P. 207-234.

Формат 60x84 1/16. Объем 1 п. л. Заказ № 520. Тираж 110 экз.

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Воронежского государственного университета 394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3

ВВЕДЕНИЕ

1 Сингулярно возмущенные включения параболического типа

1.1 Задача Коши для сингулярно возмущенных квазилинейных включений в банаховом пространстве

1.2 Задача о периодических по времени решениях сингулярно возмущенных квазилинейных включений в гильбертовом пространстве

2 Принцип усреднения для сингулярно возмущенных абстрактных параболических включений, содержащих гистерезисные нелинейности

2.1 Задача о периодических решениях сингулярно возмущенных абстрактных параболических уравнений с гистерезисными нелинейностями

2.2 Задача о периодических решениях сингулярно возмущенных абстрактных параболических включений с гистерезисными нелинейностями.

В последнее время интенсивно развивается теория полулинейных систем дифференциальных уравнений и включений в банаховом пространстве. Дифференциальные уравнения и включения такого вида естественным образом возникают в общей теории управляемых систем (см. [25], [26], [27], [28], [30], [4], [43], [44], [18], [46], [47], [48], [24]), в задачах управления переносом тепла ([30], [4], [34], [46]), теории препятствий ([33]), при изучении гибридных систем с проскальзыванием ([31]), в теории управления передаточными линиями ([32]), в общей теории уравнений в частных производных ([49]) и других областях.

Поскольку решения различных задач для систем, описываемых дифференциальными уравнениями и включениями, зачастую полностью определяются неподвижными точками некоторого однозначного или многозначного отображения, вопрос о существовании решений таких задач эквивалентен вопросу о разрешимости нелинейных операторных уравнений или включений. В зависимости от свойств соответствующего отображения, для доказательства теорем существования могут быть применены различные принципы неподвижной точки. Так, для случая операторных уравнений, самыми известными являются восходящий к С. Банаху принцип сжатых отображений, различные обобщения принципа Шаудера, А.Н. Тихонова и принцип ненулевого вращения, опирающийся на построенную Ж. Лере и Ю. Шаудером и развитую М.А. Красносельским (см.[21],[20]) теорию вращения (теорию топологической степени) . Эти методы могут быть использованы также для исследования зависимости решений операторных уравнений от параметра (см. [21],[20]).

Различные обобщения теории вращения на многозначный случай (теория вращения многозначных вполне непрерывных векторных полей с выпуклыми образами , теория относительной топологической степени многозначных векторных полей, теория вращения многозначных векторных полей с обобщенными Д;-образами ) были получены М.А. Красносельским [21], Ю.Г. Борисовичем, Б.Д. Гельманом, В.В. Обуховским, А.Д. Мышкисом [2](см. также [45]).

Топологические методы применялись при исследовании операторных ч уравнений и включений с параметрами в работах М.А. Красносельского, В.В. Обуховского, М.И. Каменского, П. Нистри, P. Zecca. Так, М.А. Красносельским был сформулирован следующий общий принцип непрерывной зависимости решений операторных уравнений от параметра.

Пусть Е — банахово пространство, F : Е X [0,1] —¥ Е — вполне непрерывный оператор. Предположим, что существует единственное решение х* уравнения x = F(x, 0), (1) причем ind(F(-,Q),x*) ф 0. Тогда при достаточно малых е > 0 множество решений Хе уравнения х = F(xy е) непусто, причем многозначное отображение £ Хе непрерывно при е = 0.

Данный принцип переносится на случай, когда решения уравнения (1) принадлежат некоторому открытому (или относительно открытому ) в Е ограниченному множеству U, такому что отображение I — F(-, 0) имеет на границе U отличное от нуля вращение (относительное вращение) (см. [2]), а также на случай, когда F — многозначное вполне непрерывное вы-пуклозначное отображение (см.[21]) и на случай, когда F — многозначный уплотняющий оператор с обобщенными -образами (см. [45]). При этом имеет место полу непрерывность сверху отображения е (-»• Х£. Аналогичные теоремы для слабо вполне непрерывных операторов были получены Ю.Г. Борисовичем.

Естественной областью для приложений данного принципа являются различные интегральные и дифференциальные уравнения (или включения) с параметрами. Однако, в некоторых случаях вхождения параметра, после перехода к операторному уравнению (соответственно, включению), непрерывность (соответственно, полунепрерывность сверху) соответствующего оператора по параметру не имеет места и потому непустозначность и непрерывность ( соответственно, полунепрерывность сверху) отображения е н-> Хе не может быть получена как следствие одной из таких теорем.

Основными примерами таких уравнений (включений) являются так называемые сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения (дифференциальные включения). В диссертации рассматриваются два вида систем дифференциальных уравнений (включений), в которые параметр е входит таким образом, что соответствующие интегральные операторы не будут непрерывными (полунепрерывными сверху) по этому параметру.

В первой главе диссертации рассматриваются вопросы существования и зависимости от малого параметра е решений начальной и периодической задач сингулярно возмущенных систем полулинейных абстрактных параболических включений с многозначными нелинейностями и однозначной линейной частью, порождающей аналитическую полугруппу. Предположение о подчиненности неограниченных однозначных и многозначных нелинейно-стей дробным степеням линейной части позволяет применить для построения соответствующих операторов метод дробных степеней, изложенный, например, в [22], [20].

В п. 1.1 рассматривается задача Коши для сингулярно возмущенной системы полулинейных дифференциальных включений в банаховом пространстве x'{t) + Ax{t) e ipi{t,x{t)) + bl2{x{t))y{t) < (2) ь ey'(t) +By(t) e Mt,x{t)) + b2l{x{t))y{t) + b22y(t) , t e , z(0) = s0, 2/(0) = 2/0, (3) где e — малый положительный параметр, —А и —В — производящие операторы аналитических полугрупп е~м и e~Bt, действующих в сепарабель-ных банаховых пространствах Е\ и Е2, пространство удовлетворяет свойству Радона-Никодима (см. [35]). Операторы А~1 и В~1 предполагаются вполне непрерывными. Такие условия на операторы Л и В позволяют установить компактность (при каждом фиксированном е) соответствующих интегральных операторов.

В системе (2)-(3) хо 6 D(A), уо € D(B), = 1,2, — многозначные отображения, bi2,b2i,b22— однозначные операторы. Операторы bij действуют из Ех в L(E2,Ei), i,j = 1,2, i ф j} b22 £ L(E2,E2). Через L(E2,Ei) обозначено пространство линейных ограниченных операторов, действующих из Е2 в Е{.

Предполагается, что многозначные отображения ф^, i = 1,2, подчинены дробным степеням оператора А, т.е. при некотором а G (0,1) отображения ф^Ь,А~а-) полунепрерывны сверху при почти всех t G [0, d\. При е = 0 рассматривается включение смешанного типа x'{t) + Ax(t) G x(t)) + b12{x(t))y(t)

4)

By(t) G ф2&x(t)) + b2i(x(t))y(t) + b22y(t) , х(0) - ж0 - (5)

Под решением задачи (2)-(3) на отрезке [0, d\, следуя [29], понимаются обобщенные решения (х£,у£), которые являются непрерывными функциями, заданными на [0, d\ со значениями, соответственно в Е\ и Е2, удовлетворяющими включениям

Xe(t)e{9l{t) : gi(t) = e-Atx0+ f e-A^-s\h(s) + bl2{x£{s))y£{s)] ds}, (6)

Jo

Ve(t)e { g2(t) : 52Й = е-^о+;Ге-'В(Н[/2(5) + Jo bn{x£(s))y£(s) + b22y£(s)] ds}, (7) где fi g L°°(Ei) fi{t) пе' Ф^,х£(ь)), t g [o,d\.

Под решением вырожденной задачи (4)-(5) на отрезке [0, d\, понимаются обобщенные решения которые являются непрерывными функциями, заданными на [0, d\ со значениями, соответственно в Е\ и Е2, удовлетворяющими включениям 9i(t) = e~At%o + f + M*°M)l/°M] ds ,

Jo h G L°°(£?i)f fi(s) G Для п.в. s G [0,<f]} , (8)

2/°W € toW : 9o(t) = B-'lMt) + b21(x°(t))y°(t) + W(f)] , /о G L°°(E2), f0{t) G Для п-в-« G M} , f € M . (9)

Обозначим через Z{e), е > 0, множество решений системы (б)-(7), а через Z{0) — множество решений системы (8)-(9).

В работе указаны условия, при которых для системы (2)-(3) мы можем получить аналог классической теоремы А.Н.Тихонова о предельном переходе (см., например, [7]). А.Н. Тихоновым было установлено существование и единственность при малых е решения сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений вида< dx р. ч л- = /{х'уЛ =. F(x,y,t), te[o,d]. (10) x{0) = x0, 2/(0) = г/о (11)

Кроме того, было показано, что для любого 5 € (0, с?] решение (х£, уе) системы (Ю)-(И) равномерно на [0, d\x[S,d\ сходится при е 0 к решению вырожденной системы.

Проблема получения аналогичных теорем для сингулярно возмущенных систем дифференциальных включений исследовалась в целом ряде работ (см. [10], [29], [40], [36], [37], [38]). В [38] для сингулярно возмущенных линейных управляемых систем с правой частью вида F(z,t) = A(t)z + B(t)Ur где A(t) и B{t) — матрицы, a t/ — компактное множество, был получен следующий интересный результат. При каждом фиксированном t Е (0, d\ существует множество Vt, такое что хаусдорфово расстояние между множествами {у = z(t),z 6 Z(e)} и Vt стремится к нулю при >е —> 0, причем множество Vt, как правило, шире множества {у = z(t),z £ Z{0)}. Данный результат показывает, что отображение е Z(e), вообще говоря, не является полунепрерывным сверху при е = 0 в метрике C[0,d\ х C[5,d\ : даже в линейном и конечномерном случае, т.е. полный аналог теоремы Тихонова для включений не может быть получен. Эта трудность может быть, однако, преодолена за счет удачного выбора топологии. В [37] была рассмотрена сходимость в С([0, d\, Rn) попеременной х и слабая сходимость в L2([0, d\i Rm) по переменной у. В [29] для случая бесконечномерных банаховых пространств рассматривалась равномерная сходимость по переменной х и слабая сходимость в L1([0,c(]) по переменной у.

А. Дончевым, Ц. Дончевым и И. Славовым [36] был предложен другой вариант теорем о предельном переходе для сингулярно возмущенных систем дифференциальных включений. В работе [36] было приведено подмножество Zl{s) множества Z(e), такое что отображение е —> Zl{s) непу-стозначно и полунепрерывно сверху при е = 0+ в метрике теорем А.Н. Тихонова.

В диссертационной работе найдено подмножество Zi,(e) для случая бесконечномерных банаховых пространств. Это множество определяется следующим образом: при е > О

Zl{s) = {(ж,у) 6 Z(e) : х,у удовлетворяют условию Гельдера на [0,d] и d\, соответственно, с показателем 0(1 — а) и константой L} , где 6(e) — некоторая функция, удовлетворяющая условиям:

6(e) Оприе Ои 6(e) > О а — степень оператора А, которой подчинены нелинейности, О — произвольное число из интервала (0,1), а С — некоторая константа, определяемая свойствами правой части системы (2)-(3); при £ = 0

Zl(0) = {(х, у) 6 Z(0) : х,у удовлетворяет условию Гельдера на [0, d\ с показателем 0(1 — а) и константой L} .

Сформулированы условия, при которых для достаточно больших L отображение е —> Zi(e) непустозначно и полунепрерывно сверху при е = 0 в C([0,d\,Ei) х C([8,d\, Е2)> где 5 — любое число из интервала (0, d\.

В п. 1.2 диссертации рассматривается задача о периодических по времени решениях для сингулярно возмущенной системы полулинейных дифференциальных включений в гильбертовом пространстве x'(t) + AlX(t) е фi(t, x(t)) + b12(x(t))y(t) k ey'(t) + A2y(t) £ x(t)) + b21(x(t))y(t) + b22y(t) , t £ [0, T] . где —А\ и —А2 - производящие операторы аналитических полугрупп e~Alt и e~A2t, действующих в гильбертовых пространствах Е\ и Е2, А\— самосопряженный оператор, е— малый положительный параметр. Операторы Aj"1 и А21 предполагаются вполне непрерывными, многозначные отображения фг (г = 1,2) являются Т-периодическими по времени, 612,621,622— однозначные операторы. Предполагается, что операторы Ъц действуют из Ег в L(E2,Ei), ij = 1,2, ъфз, 622 G Ь(ЕЪЕ2).

Предполагается, что при некотором /3 G (0,1/2) многозначные отображения фг , г = 1,2, подчинены дробным степеням .

При е = 0 рассматривается включение смешанного типа x'(t) + Aix(jt) G Ф1(г,х{1)) + b12(x(t))y(t)

A2y(t) G ф2(1, x(t)) + b21(x(t))y(t) + b22y(t) .

Под Т-периодическими решениями системы (12), следуя [41], понимаются обобщенные решения (х£, у£), которые являются непрерывными периодическими функциями, заданными на [0, оо) со значениями соответственно в Ei и Е2, удовлетворяющими включениям е {91 : 9i(t) = f e-A«~s\h{s) + bl2(x£(s))y£{s)]ds, t > 0,

J—00

1 G LqT(Ex), h(s) G Vi(s, x£(s)) для п.в. s G [0, Г]}, (14) y£e { 92: g2(t) = - f e--<A^-s\h(s) + b2l{x£(s))y£{s) + J-00 b22ye{s)]ds, t > 0,/2 G LlT(E2), f2(s) G ф2(з,х£(з)) для п.в. s G [0,T]}. (15)

Под T- периодическими решениями системы (13) понимаются обобщенные решения (х°,у°), которые являются непрерывными периодическими функциями, заданными на [0,оо) со значениями соответственно в Е\ и Е2, удовлетворяющими включениям

6 {дг : gi(t) = f e~A^[Ms) + 6i2(z0(s))<,°(s)]ds, t > 0,

J—00

1 e L\(Ei), fi(s) G для п.в. s G [0,T]}, (16)

У° е {до : 9o(t) = ^[/o W + b2i(x°(t))y°(t) + b22y°(t)], t > 0, о e LlT(E2), fo(s) £ ф2{s,x°(s)) для п.в. s € [0,T]}. (17)

Обозначим через Z(e) множество Т-периодических решений системы (12), а через Z(0) — множество Т-периодических решений системы (13).

В диссертации для полулинейных дифференциальных включений в бесконечномерных пространствах получен аналог теоремы о сходимости периодических по времени решений сингулярно возмущенной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, установленной в классической работе Л.Флэтто и Н. Левинсона ([39]). В этой работе были сформулированы условия, при которых периодическое решение системы вида dx . .

Ж = е^ = F(x,V,t), t> 0 (18) существует, единственно и равномерно на [0,Т] х [0, Т\ сходится к решению вырожденной задачи ( конечномерный случай). Аналогичный результат для бесконечномерных банаховых пространств был получен Ю.Г. Борисовичем (см. [1]). В [41] для сингулярно возмущенных систем полулинейных дифференциальных включений в банаховых пространствах была доказана полунепрерывность сверху отображения е ь-У в метрике Ст{Е\) х Lj*(E2). В настоящей работе прием, предложенный Ц. Дончевым для исследования зависимости решений начальной задачи от параметра, используется для установления сходимости решений периодической задачи в равномерной топологии. А именно, выделяется подмножество Zl{c) множества Z(e), такое что при достаточно больших L отображение е »-» Zl{e) полунепрерывно сверху в Ct(Ei) X Ст(Е2). Множество Zl(s) определяется следующим образом: при е > 0

Zl(s) = {(х,у) Е Z{e) : х} у удовлетворяют условию Гельдера на [0, Т] с показателем /3 и константой L}; при £ = О

Zl{0) = {(я>2/) €.'Z(0) : х,у удовлетворяют условию Гельдера на [О,Т] с показателем (3 и константой L}, где — /? — степень оператора Ai, которой подчинены нелинейности.

Во второй главе диссертации исследуется задача о периодических по времени решениях сингулярно возмущенных систем абстрактных параболических включений с быстро осциллирующей по времени нелинейностью и обратной связью, реализуемой с помощью гистерезисного оператора. Для таких систем проводится обоснование принципа усреднения, аналогичного второй теореме Н.Н. Боголюбова - Н.М. Крылова. Для случая конечномерного пространства принцип усреднения был установлен М.А Красносельским и А.В. Покровским в [24] при исследовании поведения решений начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими по времени правыми частями и гистерезисными нелиней-ностями. Обоснование принципа усреднения в задаче о периодических по времени решениях сингулярно возмущенных систем абстрактных параболических включений с быстро осциллирующей по времени нелинейностью -в банаховых пространствах было проведено в [42]. Все результаты настоящей работы устанавливаются для случая бесконечномерных банаховых пространств.

Рассматриваемая в п.2.1 главы 2 сингулярно возмущенная система полулинейных дифференциальных уравнений после замены переменных принимает вид xf(t) + eAiz(t) = £fi(t,x(t),y(t),w(t)) , w{t) = r[to,A{Px{to),w(t0))]g{x(t0)Mto),x)(t) , (Si) + A2y(t) = f2(t, x(t), y(t), w{t)) , где £— малый положительный параметр, —А\ и —А2 — производящие операторы аналитических полугрупп e~Alt и е~А2t, действующих в банаховых пространствах Е\ и Е2 соответственно, f\ и f2 - Т-периодические по времени отображения, Р : Е\ Eq - линейный оператор, Г - гистерезисная нелинейность, A(Px(to), w(to)) — состояние гистерона в момент времени t = to, принадлежащее декартовому произведению банаховых пространств Eq и Предполагается также, что операторы А±1 и А^1 вполне непрерывны.

Оператор Красносельского - Покровского Г (см. [23]) описывает взаимодействие физической системы, математическая модель которой представляет собой сингулярно возмущенную систему дифференциальных уравнений, и внешнего устройства, управляющее воздействие которого на систему зависит от изменения "медленной"переменой х.

Следуя [45], под Т-периодическим решением системы («Si) понимается обобщенное Т-периодическое решение (x£i w£, у£), компоненты которого являются непрерывными Т-периодическими функциями, заданными на полуинтервале [0, оо), со значениями, соответственно в Е\, Е$ и Е2, такими что fi(s,x£(s),y£(s),w£(s)) £ L^(Ei) и удовлетворяющими уравнениям x£(t) = е-£А^х£(0) + ■ /'e-^^e/i^^Wty.W^eWJde,. (19)

Jo w£{t) = r[0,A(P®e(0)lti;e(0))b(xe(0)lti;e(0)l®e)W, (20) y£(t) = е~л>*у£(0) + f e-A^f2(s,x£(s),y£(s),w£(s))ds, t > 0. (21)

Jo

В диссертации указаны условия, обеспечивающие при малых £ > 0 существование Т-периодических решений системы (Si). Проведено исследование сходимости этих решений при е —У 0. Построенный в [23] операторный подход описания: входо-выходных соответствий гистерезисных нели-нейностей позволил применить в задаче о периодических решениях предложенные в [21], [20] топологические методы исследования, связанные с понятием вращения вполне непрерывных векторных полей. Предположения о свойствах правой части системы позволяют при каждом £ > 0 определить операторы квазисдвига по траекториям системы (Si) за время Т Щ, неподвижные точки которых задают начальное условие Т- периодических решений системы (Si). Применение теории дробных степеней операторов (см. [22]) позволяет доказать полную непрерывность этих операторов. При £ = 0 вводится вполне непрерывный усредняющий оператор Ф. Предположение о существовании некоторого открытого множества G, такого что вращение поля I — Ф на границе G отлично от нуля, позволяет, используя гомотопическую инвариантность вращения и принцип сужения отображения, при малых е > 0 доказать отличие от нуля вращения поля I — t/f., а, следовательно, и существование неподвижных точек оператора Uj>.

Результаты, полученные в п.2.1 обобщаются в п.2.2 главы 2 диссертационной работы на случай сингулярно возмущенных систем полулинейных дифференциальных включений. После замены переменных рассматриваемая система принимает вид

Ix'(t) +£Alx(t) е £fl{t,x{t),y{t),w{t)) , w(t) = Г[*о, Рхо, w0]Px(t) , (Si) y'{t) + A2y{t) e f2(t,x(t),y{t),w(t) ,

В п.2.2 указаны условия, обеспечивающие при малых £ > 0 существование обобщенных Т-периодических решений системы (5{). Доказана полунепрерывность сверху в равномерной топологии отображения е н->• ставящего в соответствие каждому малому параметру возмущения £ > 0 множество обобщенных Т-периодических решений системы (£{). (Под Z(0) понимается множество обобщенных решений усредненной системы.)

В п.2.1 второй главы диссертации показано, что теоремы о существовании и зависимости от параметра периодических решений системы (SJ) могут быть получены путем исследования многозначных операторов квазисдвига. Поскольку, в условиях п.2.1 операторы квазисдвига оказываются компактными, полунепрерывными сверху, но не выпуклозначными, такой подход требует применения теории вращения вполне непрерывных многозначных векторных полей с обобщенными -образами (см. [45]). Кроме того, для корректной определенности операторов квазисдвига требуется выполнение технического условия об априорной оценке, которое обычно реализуется в виде подлинейной оценки на нелинейность. В п.2.2 теоремы о существовании и зависимости от параметра периодических решений системы (S[) получены путем исследования многозначного интегрального оператора, для доказательства существования неподвижных точек которого применяется теория относительного вращения вполне непрерывных многозначных векторных полей с выпуклыми образами. Такой подход, в отличие от приведенного в п.2.1, позволяет рассматривать системы дифференциальных включений с правой частью, удовлетворяющей более слабым условиям. В частности, удается опустить требование о наличии подлинейной оценки на многозначную нелинейность правой части системы

Приведем теперь некоторые примеры уравнений и включений, о которых речь шла выше.

В качестве первого примера рассмотрим сингулярно возмущенную систему квазилинейных параболических включений вида: dz d^z -Щ2 + <у - *). * е М, £ е [о, /], (22) z(t,0) = z(t,l) = и0, (23) ey'(t) = v(t) - y(t), (24) v(t)e S(z(t, 0)), (25)

0,O = y(O, (26)

2/(0) = 2/o, (27) где e — малый параметр, a — постоянная, щ G yo G R1, функции z и у определены на [0, d\ х [0,/] и [0, </j, соответственно, <р —заданная функция, принадлежащая пространству W|[0,/] и удовлетворяющая условию 9?(0) = <р(1) = щ.

Многозначное отображение S : R1 R1 задано следующим образом (см. Рис.1)

10 При Z > S2 , [0,1] при zG[sbs2], 1 при Z < Si , si, s2 — некоторые параметры.

Доказанная в п. 1.1 первой главы диссертации теорема 1.1 позволяет установить существование решений задачи (22)-(27), удовлетворяющих условию Гельдера по переменной t и исследовать поведение этих решений при стремлении параметра е к нулю. (Данный пример подробно рассмотрен в п. 1.1 главы 1.)

В качестве второго примера рассмотрим сингулярно возмущенную систему квазилинейных параболических уравнений следующего вида: dz d^z t

-^■ = -^-zf-z1zl-bbsm-) t> 0, £ £ [0,Z], (28) dz2 d2Z2 4 2 , . t /Л . dt=W~ 2~ lZ2 + 6sin? (29) с граничными условиями dzi dd t, 0) = 0, i = 1,2, (30) i^(M) + *i(M) ==</(*), (31)

М) + г2(М) = 0, (32) где 2/ определено следующим образом

VW = v(t)-y(t), (33) v(t) = r[0>Ai(z1(0,0)>«(0))>A2(«i(0l0),t;(0))]^i(.>0)-zi(0,0) +

A1(*1(0,0),<;(0)))(*), (34)

V > 0, > 0, b — некоторые константы. В этом примере Г — гистерезис-ная нелинейность, отвечающая гистерону W с областью возможных состояний, изображенной на рис. 2

W) = A U h U /2, где А = {(и,г;) G [-р, р] х [-р + h, р]\и < v < и + h}, li = {(w,v) : v = p,u > p — h}, I2 = {(w,i>) : v = —p + h,u < —p + h}.

S(z) 1 si 2

Отображение Л : R X R —> А определено следующим образом:

A(u,v) = <

Р> р) щр) p-h,p) V, v) u,v) v — h, v) -p, -p + h) 11, -p + h) при v > p, u> p, при v>p,p — h<u<p, при v> p, и < p — h, при — p + h < v < p, u> v, при — p + h < v < p, и < v < и + h, при — p + h < v < p, и <v — h, при v < —p + h, и < —p, при v < — p + h, — p < и < — p + h, p + h, —p + h) при v < —p +h, и > —p + h.

Доказанная в п.2.1 второй главы диссертации теорема 2.1 позволяет установить существование периодических решений системы (28)-(34) и исследовать поведение этих решений при стремлении параметра е к нулю. (Данный пример подробно рассмотрен в п.2.1 главы 2.)

1. Борисович, Ю.Г. О периодических решениях дифференциально операторных уравнений с малым параметром при производной / Ю.Г. Борисович // Докл. АН СССР. - 1963. - Т. 148, No 2. - С. 255-258.

2. Введение в теорию многозначных отображений / Ю.Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обуховский. Воронеж: Изд-во Воронеж. ун-та, 1986. - 104 с.

3. Топологические методы в теории неподвижных точек многозначных отображений / Ю.Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обуховский // Успехи мат. наук. 1980. - Т. 35, No 1. - С. 59-126.

4. Булгаков, А.И. Интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения к краевым задачам дифференциальных включений / А.И. Булгаков // Мат. сб. 1992. - Т. 183, No 10. - С. 63-86.

5. Булгаков, А.И. Усреднение функционально-дифференциальных включений / А.И. Булгаков // Дифференц. уравнения. 1990. - Т. 26, No 10. - С. 1678-1690.

6. Васильева, А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений /А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. М.: Наука, 1973. - 272 с.

7. Гельман, Б.Д. О новых результатах в теории многозначных отображений. II. Анализ и приложения / БД. Гельман, В.В. Обуховский // Математический анализ. М., 1991. - С. 107-159. - (Итоги науки и техники / ВИНИТИ ; т. 29).

8. Глушко, В.П. Об операторах типа потенциала и некоторых теоремах вложения / В.П. Глушко // Докл. АН СССР. 1959. - Т. 122, No 3. - С. 56-62.

9. Иосида, К. Функциональный анализ / К. Иосида. М.: Мир, 1967. -624с.

10. Каменский, М.И, Об операторе сдвига по траекториям полулинейных управляемых систем / М.И. Каменский, В.В. Обуховский // Дифферент уравнения. 1996. - Т. 32, No 6. - С. 747-754.

11. Крейн, С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн. М.: Наука, 1967. - 464 с.

12. Красносельский, М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский. М.: Наука, 1966. - 332 с.

13. Красносельский, М.А. Геометрические методы нелинейного анализа / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко. М.: Наука, 1975. - 512 с.

14. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций / М.А. Красносельский , П.П. Забрейко , Е.И. Пустыльник , П.Е. Соболевский . М.: Наука, 1966. -500с.

15. Красносельский, М.А. Системы с гистерезисом / М.А. Красносельский, А.В. Покровский. М.: Наука, 1983. -272с.

16. Красносельский, М.А. Принцип усреднения в системах с гистерезис-ными нелинейностями / М.А. Красносельский, А.В. Покровский // Асимптотические методы в математической физике. Киев, 1988. - С. 126-133.

17. Afanasiev, V. N. Mathematical theory of control systems design / V.N. Afanasiev, V.B. Kolmanovskii, V.R. Nosov // Math, and its Appl, Kluver Acad. Publ. 1995. - Vol. 341. - P. 341-347.

18. Ahmed, N.U. Optimisation and identification of systems governed by evolution equations on Banach spaces / N.U. Ahmed // Pitman Researh Notes in Math. Series. 1988. - Vol. 184. - P. 230-239.

19. Ahmed, N. Optimal control of distributed parameter systems / N. Ahmed, K. Teo. New York: North Holland, 1981. - 344 p.

20. Alegretto, W. Periodic solutions and optimisation problems for a class of semilinear parabolic control systems / W. Allegretto, P. Nistry // Topological Meth. in Nonlin. Anal. 1995. - Vol. 5. - P. 345-356.

21. Andreini, A. A result on the singular perturbation theory for differential inclusions in Banach spaces /А. Andreini, M. Kamenski, P. Nistri // Topol. Methods of Nonlinear Analysis. 2000. - Vol. 15. - P. 15-32.

22. Anichini, G. Multivalued differential equations in Banach spaces. An application to control theory / G. Anichini, P. Zecca // J. Optimiz. Theory and Appl. 1977. - Vol. 21. - P. 477 - 486.

23. Bothe, D. Semilinear differential inclusions with application to hybrid system / D. Bothe // Siam J. Math. Anal. 1998. Vol. 140. - P. 34-42.

24. Ceron, S.S. a-Contractions and attractors for dissipative semilinear hyperbolic equations and systems / S.S. Ceron // Ann. Math. Рига ed Appl. 1991. - Vol. 160. - P. 193-206.

25. Chang, K.C. Free boundary problems and the set-valued mappings / K.C. Chang // J. Diff. Equat. 1983. - Vol. 49. - P. 1-28.

26. Conti, G. On the topological structure of the solution set for a semilinear functional-differential inclusion in a Banach space / G. Conti // Topology in Nonlinear Analysis, Banach Center Publ. Warschawa, 1996. - Vol. 35. - P. 159-169.

27. Distel, J. Vector measures / J. Distel, Jr. Uhl // Mathematical Surveys American Mathematical Society. 1977. - No 15. - P. 137-145.

28. Dontchev, A. A Tikhonov-type theorem for singularly perturbed differential inclusions / A. Dontchev, T. Donchev, I. Slavov // Nonlinear Analysis TMA. 1996. - Vol. 26. - P. 1547-1554.

29. Dontchev, A. Singular perturbation in Mayer's problem for linear systems / A. Dontchev, V.M. Veliov // SIAM J Control Optim. 1983. - Vol. 21. -P. 566-581.

30. Flatto, L. Periodic solutions of singularly perturbed systems / L. Flatto, N. Levinson // J. Rat. Mech. and Analysis. 1955. - Vol. 4. - P. 943-950.

31. Kamenski, M. An averaging method for singularly perturbed systems of semilinear differential inclusions with analytic semigroups / M. Kamenski, P. Nistri // Nonlinear Analysis. 2003. - Vol. 37. - P. 274-282.

32. Kamenskii, M.I. Optimal feedback control for a semilinear evolution equation / M.I. Kamenskii, P. Nistri, V.V. Obukhovskii, P. Zecca //J. Optim. Theory Appl. 1984. - Vol. 82. - P. 503-517.

33. Kamenskii, M.I. On perionic solutions of differential inclusions with unbouded operators in Banach spaces / M.I. Kamenskii, V.V. Obukhovskii // Zb. Rad. Prirod.-Mat. Fak. ser Mat. 1991. - Vol. 29. - P. 173-191.

34. Kamenskii, M. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces / M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca. -S.I.] : Walter de Gruyter, 2001. 345 p.

35. Obukhovskii, V.V. Semilinear functional-differantial inclusions in a Banach space and controlled parabolic systems / V.V. Obukhovskii // Soviet J. Automat. Inform. 1991. - Vol. 24. - P. 71-79.

36. Papageorgiou, N.S. Optimal control of nonlinear evolution inclusions. / N.S. Papageorgiou //J. Optim. Theory Appl. 1990. - Vol. 67. - P. 321-354.

37. Papageorgiou, N.S. A minimax optimal control problem for evolution inclusions / N.S. Papageorgiou // Yokohama Math. J. 1991. - Vol. 39. - P. 1-19.

38. Pavel, N.H. Differential equations, flow invariance and applications / N.H. Pavel // Res. Notes Math. 1984. - Vol. 113. - P. 1-256.

39. Pazy, A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations / A. Pazy // Applied Mathematical Sciences. New York, 1983. - Vol. 44. - P. 76-83.