Базисы и аппроксимация в пространствах функций, связанных с усиленными обобщенными условиями Гельдера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

О.В. Гробер

Базисы и аппроксимация в пространствах функций, связанных с усиленными обобщенными

Специальность 01.01.01 — "Математический анализ"

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

условиями Гельдера

Научный руководитель кандидат физико-математических наук доцент В. В. Каширин

Ростов-на-Дону 1999

Содержание

Введение..................................................3

Глава 1. Базисы и полные системы в

пространствах тг; 7г] и АС® ..............19

§1. Свойства пространств и АС® .................. 20

§2. О базисах в пространствах С^ и АС............. 35

§3. О полных системах в пространствах С£ и АС® ... 43

Глава 2. Базисы в пространствах функций, связанных

с интегральными условиями Гельдера........51

§1. Свойства пространств 1£>0[—7г; 7г] и .......... 52

§2. О базисах в пространствах 7г;7г] и 0.....65

§3. Базис в пространствах Ь^ 0(Ж) .................... 66

§4. Свойства пространств Гельдера на оси и

в верхней полуплоскости.......................... 76

§5. О базисах в пространствах

2£>0(К) и яг>о(/т*>0) ........................... 87

Глава 3. Проективные и индуктивные пределы

пространств Гельдера ........................ 91

§1. Пространства С-+а , , АС->а ,

и базисы в них .................................... 91

§2. Пространства , , , Н^

и базисы в них ................................... 108

Литература ........................................... 114

Введение

Настоящая диссертация продолжает тематику теории базисов в различных пространствах функций, связанных с условиями Гельдера.

Рассматриваются банаховы пространства 7г;7г] функ-

ций, удовлетворяющих на отрезке [—7г;7г] (на единичной окружности) обобщенному усиленному условию Гельдера и АС® — функций, аналитических внутри единичного круга, удовлетворяющих в замкнутом круге усиленному ш - условию Гельдера. Мы построим базисы в пространствах АС® , укажем связь базисов пространств и АС®, изучим некоторые другие вопросы в этих пространствах.

Кроме того, аналогичные проблемы решаются и в банаховых пространствах функций, связанных с обобщенными интегральными условиями Гельдера.

В завершение работы большинство полученных результатов распространяется на локально выпуклые пространства, представляющие собой проективный и индуктивный пределы рассматриваемых банаховых пространств.

Ниже мы дадим точные определения и приведем небольшой обзор результатов, касающихся интересующей нас тематики.

Обозначения и предварительные сведения

Как обычно, через N, Z, 1R, С будем обозначать соответственно множества натуральных, целых, действительных и комплексных чисел.

Кроме того, напомним определения следующих банаховых пространств:

С[—7г;7г] — пространство непрерывных на [—7г;7г], 2тг - периодических функций с нормой

||/||с = sup |/(я)|;

же[-тг;тг]

Lp[—7г; 7г] —пространство 27Г - периодических, суммируемых в степени р, 1 < р < оо, функций с нормой

1

2тг J - ' I

—it /

j\f{x)\*dx\

\ 1/р

ЬР(Ш) — пространство функций, суммируемых в р-ой степени, 1 < р < оо, на всей числовой оси с нормой

/ <х>

11/% = / ; \-оо )

АС — пространство функций, аналитических внутри единичного круга и непрерывных в замкнутом единичном круге, с нормой

\Ш\\АС = «ир 1/(201;

Нр — пространство Харди (1 < р < оо) функций, аналитических внутри единичного круга и таких, что

/ 2тг \

Ц/(Ге )11#р = SUP

0<г<1

/ I f(reie)\?d0

\о

< ОО ;

l0о — пространство ограниченных последовательностей действительных чисел £ = {£¿}¿Si с нормой

lleiU = sup l&l ;

со — подпространство 1Ж, стремящихся к нулю последовательностей;

тр — пространство последовательностей действительных чисел £ = ¿^1 таких, что (1 < р < оо)

2"Н-1 \

Е 16Г =о(1),

12'т + 1 /

с нормой

||f||m = sup

2

то+1

1/Р1

Ы, 161, Е 161*

\ 2m + l J

тр — подпространство тр последовательностей таких, что

2'"+' \ Vp

Е 161' =о(1)-

, 2"' + 1 /

Базисы в банаховых пространствах. Система векторов {ег}^1 банахова пространства Е называется базисом Е, если для всякого элемента х Е Е найдется единственная последовательность чисел {^¿(ж)}-^ такая, что

оо

(0.1)

¿=1

где ряд сходится по норме пространства Е. 1 Как показал С. Банах, [1], всякий базис в банаховом пространстве является бази-

главе 3 мы будем рассматривать базисы в локально выпуклых пространствах. Пусть Е — локально выпуклое пространство. Система {е,} - базис в Е, если ряд (0.1) сходится в топологии пространства Е.

сом Шаудера, т.е. все коэффициентные функционалы £?;(*ж) непрерывны, см. также [35, с. 9] и [59, упр. 6.15].

Последовательность {е,}?^ С Е называется базисной, если она является базисом в замыкании своей линейной оболочки, и называется полной, если span{en i G N} = E. Очевидно, что полная базисная система является базисом и наоборот.

Базис {е;}?^ банахова пространства называется безусловным, если для всякой перестановки 7г(г) натуральных чисел система {е^)}?^ также является базисом пространства Е.

Модули непрерывности. Модулем непрерывности функции / 6 С([а,6]) называется функция 0Jf(t) : [0; +оо) —> [0;+оо) следующего вида:

wf(t) = max |f(x) - f(y)\.

0<\x-y\<t x,ye[a,b]

Известно, что модуль непрерывности всякой непрерывной на отрезке функции равен нулю в нуле и является неубывающей, непрерывной и полу аддитивной функцией, т.е.

1° со(0) = 0 ;

2° uj^x) < uj{t2) , 0 < ¿1 < t2 ;

3° w(t) е С[0, +оо) ;

4° u(h + h) < ^(¿i) + oj(t2) , tut2>0]

Этими четырьмя свойствами модуль непрерывности полностью определяется [34, с.151] в том смысле, что всякая функция а;(£),

которая ими обладает, служит модулем непрерывности для некоторой непрерывной функции.2 В связи с этим, модулем непрерывности мы будем называть всякую функцию, удовлетворяющую условиям 1°-4°.

Известно, что для любого модуля непрерывности справедливо неравенство С.Б. Стечкина

ulto) (¿(ti) о

< 2 , где 0 < h < t2 .3 (0.2)

h ti

Отметим еще одно свойство модулей непрерывности. При любом натуральном п имеет место соотношение

u(nt)<nw(t), (0.3)

а при произвольном Л > 0 выполняется неравенство

(j(Xt) < (А + l)co(t). (0.4)

Подробнее о модулях непрерывности см. [34], [52] и [56]. Там же можно найти доказательства приведенных здесь фактов.

В дальнейшем нам понадобится налагать на модуль непрерывности to(t) различные ограничения.

Если Lo(t) удовлетворяет условию t = o(u>(t)) при t —» 0, то будем говорить, что иj(t) принадлежит классу Ф .

Кроме этого, мы будем использовать условия Зигмунда, рассмотренные в [2]:

(Z): ¡^P-dt = 0(u;(6)),6-> 0;

о 1 1

2Например, для самой себя.

3Таким образом, модуль непрерывности эквивалентен некоторой положительной вогнутой (выпуклой вверх) функции <р(х), т. е. существуют с, С > 0 такие, что си(х) < <р(х) < С ш(х) для всех х € [0,+оо), [42, с. 69].

Функцию и £ Ф, удовлетворяющую условиям и (£1), отнесем (следуя обозначениям статьи [46]) к классу Ф* и будем называть (придерживаясь терминологии работы [67]) допустимым модулем непрерывности.

Для модулей непрерывности можно ввести отношение порядка. Будем говорить, что ш^) -< и2{1) (ил(£) "меньше" или "лучше", чем о;2(£)) 4 , если ш^) = о(со2^)) при Ь —> 0.

В качестве наиболее простого примера возьмем ^(¿) = ^, ш2(г) = га, (3>а.

Ряд важных свойств допустимых модулей непрерывности приведен в диссертации Фурлана [67]. В частности, там содержится следующее утверждение:

(г) Если и^) >- £г для любого г Е (0; 1), то не удовлетворяет условию ;

(гг) Если -< для любого г £ (0; 1), то не удовле-

творяет условию (Яг).

Другими словами, любой допустимый модуль непрерывности лежит "между" двумя степенями Г , 0 < г < 1, т.е. найдутся числа а, (3 (0 < а < ¡3 < 1):

^ -< и{г) -< га.

Там же приведен довольно широкий класс допустимых модулей непрерывности. Введем следующие обознаения: 1п(1,£) = 11п и для п > 1 положим 1п(п, = |1п1п(п — 1,01- Пусть далее

4Это же означает,что >- , т.е. и>2^) "больше" или "хуже", чем ш\(£).

г , s G (0; 1), tt £ R. Тогда

f tre±[hU[ еФ*.

г=1

Если 27г — периодическая функция / принадлежит Lp[—7г; 7г], 1 < р < оо , то величину

\ 1 /р

и;р

/ 1

(5,/) = sup — / +

|Л|<* VZ7r-7T /

называют интегральным модулем непрерывности функции /. Для случая непериодических функций f £ Lp[0; l], 1 < р < оо, интегральный модуль непрерывности определяется так:

/1-Л Ч1/*»

u>p(6J)= sup / + .

0<h<S yJQ J

Если же / £ LP(R), 1 < р < оо, то интегральным модулем непрерывности5 функции / называется следующая величина:

/ оо

u;p(<5,/) = sup J \f{x + h)-f(x)\pdx

|h|<5

-оо

Банаховы пространства функций, связанные с условиями Гельдера

Определения. Пусть о;(£) — произвольный модуль непрерывности и пусть f(x) 6 С[—7г; 7г]. Будем говорить, что функция /(ж) принадлежит классу Сш[—7г; 7г], если она удовлетворяет на [—7г; 7г] обобщенному условию Гельдера, т.е.

5Мы не делаем различных обозначений для случаев конечного и бесконечного интервалов, т.к. из контекста всегда будет ясно о каком интегральном модуле непрерывности идет речь.

где xi, х2 G [—-7Г; 7г] : \xi - х2\ 0 .

Полунормой Гельдера функции /(ж) называется величина

1/1 - SUP Ifl*') -/(Жг)| IJ \ш — ,ч }

хих2е[-щп] Ш[\Х1—Х2\) х\фх 2

а нормой Гельдера — сумма

= ll/llc + i/|u.

Хорошо известно, что класс Си[—7г;7г], снабженный нормой Гельдера, является банаховым несепарабельным пространством.

Обозначим через С°[—7г;7г] сепарабельное подпространство пространства Сш[—7г;7г] функций, удовлетворяющих на [—7г;7г] обобщенному усиленному условию Гельдера:

1/(^1) - /(ж2)| = о(о;(|ж1 - ж2|)),

где Х\, ж2 6 [—7г; 7г] : |ж! - ж2| —> 0 .

В пространствах Сш[—7г;7г] и 7г; 7г] можно ввести эквивалентную норму (см. [42]) по формуле

= 1/Ы1 + 1/1

LO 1

где ж0 — произвольная точка из [—7г; 7г].

Наличие в норме || • двух слагаемых иногда создает некоторые неудобства, поэтому часто фиксируют точку жо £ [—тг; 7г] и рассматривают банаховы пространства Нш[—7г; 7г] и —7г; 7г] функций из Сш[—7г;7г] и 7г;7г] соответсвенно с условием

/(ж0) = 0.

Через АСо, обозначим пространство функций, аналитических в \г\ < 1 и удовлетворяющих в \г\ < 1 обобщенному уело-

вию Гельдера:

¡¡(г1)-Цг2)\=0(и(\г1-г2\)1 где , г2 € \г\ < I : ¡2! — г2\ —► 0, с нормой

Пусть далее, АС® — подпространство АСШ функций, удовлетворяющих в \г\ < 1 обобщенному усиленному условию Гельдера:

где \г\ < 1 : - г2\ 0.

Известно, что АСШ — банахово несепарабельное пространство, а АС® — его сепарабельное подпространство.

Если — , 0 < а < 1, то соотвествующие (классиче-

ские) пространства мы будем обозначать

Са[-7г;тг], СЦ-1г;тг], Яа[-7г;тг], Н®[-тг;тг], АСв , .

Пусть теперь /(х) Е Ьр[—7г; 7г], 1 < р < оо . Будем говорить, что функция f{x) принадлежит классу Ь^[—7Т] тт], если /(х) удовлетворяет на [—7г; 7г] обобщенному интегральному условию Гельдера:

шр(6,/) = 0(ш(6)) при <5 —> 0 .

Интегральной полунормой Гельдера функции f{x) называется величина

\f\pv = вир

II¡(х + И) - ¡(х)цр

0<|/г|<7г ЦН)

а интегральной нормой Гельдера — сумма

и = 11/||р + 1/и-

Класс Ьрш[—7г;7г], снабженный интегральной нормой Гельдера, является банаховым несепарабельным пространством.

7г;7г] — сепарабельное подпространство 7г;7г]

функций, удовлетворяющих на [—7г; 7г] обобщенному усиленному интегральному условию Гельдера:

шр(6, /) = о(и;(<$)) при 6 —> 0 .

Через Нр обозначим банахово несепарабельное пространство функций из Нр , 1 < р < оо , для которых

\ 1 /р

= вир / |/(ге^+л>) - /(ге")\г<ю) = 0(и>(6))

при 8 —> 0 равномерно по 0 < г < 1, с нормой

И/К")«*; = ||/(е'й)||№.

— сепарабельное подпространство Нр функций, для

которых

/г) = при <5 —> О

равномерно по 0 < г < 1.

В случае а/(£) = ¿а, 0 < а < 1, введенные пространства будем обозначать соответственно

Щ-тг;тг], ^0[-7г;тг], Щ, Н%.

Пусть функция /(ж) е ЬР(Ж), 1 < р < оо. Интегральной нормой Гельдера функции /(х) назовем величину

где

| ¡\р,ш = вир

||/(а +Л)-/(*)„„

0</г<оо ш(К)

Через Ь^Ж) обозначим пространство функций, удовлетворяющих на всей числовой оси обобщенному интегральному условию Гельдера, т.е.

Пусть далее, — подпространство функций,

удовлетворяющих на К усиленному обобщенному интегральному условию Гельдера:

= {/ е : /) = •

Пространство является несепарабельным банаховым

пространством, а его сепарабельным подпространством.

Наконец, введем в рассмотрение банаховы пространства аналитических в верхней полуплоскости функций, связанных с обобщенными интегральными условиями Гельдера.

Говорят, что Е(г) Е Нр(1тг > 0) 6, если

1. Р(г) аналитична в 1тг>0;

2. Зс Е М : || Е(х + гу)||р < с равномерно по у > 0 .

Будем говорить, что Е(г) Е Нр(1тг > 0), если

1. ад Е Нр(1тг > 0);

2. Зс 6 К.: \\Е(х + гу)\\Р,и < с равномерно по у > 0 .

И, наконец, Р(г) ;Е Нр 0(1тг > 0), если

1. ад Е Щ(1тг > 0);

6Заметим,что пространство нр(1тг > 0) не является образом пространства нр в < 1 при конформном отображении (см. [45]).

2. шр(6,Гу) = 8ир \\Р{х + Н + 1у)-Р{х + 1у)\\р = о(и{8)) \8 - О

равномерно по у > 0.

Норма в пространствах Щ(1тг > 0) и Щ 0(1тг > 0) вводится следующим образом:

^(-оо; оо), 1/а,0(-оо; оо), Щ(1т г > 0), Я£0(7т 2 > 0).

Сводка результатов. В 1960 году 3. Чисельский [63] с помощью функций Фабера-Шаудера указал в явном виде совместный изоморфизм пространств

В качестве следствия было получено, что система Фабера-Шаудера образует безусловный базис в С°[0; 1], 0 < а < 1. Там же отмечено, что результаты работы могут быть обобщены на пространства Нш[0; 1] и Н®[0; 1], если и;(£) удовлетворяет специальным ограничениям (см. также работу А.П. Горячева [21]). М.З. Берколайко доказал7, что система функций Фабера-Шаудера является базисом пространства С°[0; 1], если со еФ.8

Из результатов, полученных в другой известной работе 3. Чи-сельского [64], следует, что система Франклина образует безусловный базис в С®[0; 1], 0 < а < 1.

7В печати не опубликовано. Доказательство можно найти, например, в [67].

8Это ограничение очень естественно, т.к. если не выполняется условие f = о{ш(Ь))

при Ь —> 0, то пространство С® [0; 1] может состоять лишь из одних констант.

|Л|<£

Я«[0;1]~/оо, Я°[0;1]~сь, 0 < а < 1.

(0.5)

В 1969 году Боник, Фрамптон и Тромба построили оператор, реализующий изоморфизмы

loe ~ Ca(S) и со - C°a(S) , 0 < а < 1, (0.6)

где S — объединение конечного числа замкнутых симплексов в конечномерном евклидовом пространстве, [60]. Различные обобщения этого результата получены в статьях Фрамптона и Тромба [66], Рулля [79], Фурлана [67] и Мантлика [78].

Особо следует отметить работы Дж. Джонсона [69], [70], [71], [72], [73], [74], в которых развита данная тематика и сформулирован целый ряд нерешенных проблем.

Последние результаты по изоморфизмам и базисам в гельде-ровых пространствах на различных подмножествах вещественной оси принадлежат А.Б. Бычкову, [7], [8], [9], [10], [61] и собраны в диссертационной работе [11]. Там же дан довольно полный (и свежий) обзор результатов по данной тематике.

В.П. Кондаковым полученно обобщение результата (0.5) на случай локально выпуклых пространств, представляющих собой проективный и индуктивный пределы пространств Гельдера.

Теперь приведем наиболее известные результаты о базисах в интегральных пространствах Гельдера.

В 1966 году 3. Чисельский [65] с помощью функций Франклина указал в явном виде совместный изоморфизм пространств

L£[0; 1] ~ m„ , ¿Ji0[0; 1] ~ mj , 1 < р < оо , 0 < а < 1.

Как следствие — система Франклина является базисом в LJ)0[ 0; 1], 1 < р < оо , 0 < а < 1.

Вопрос о базисности в Lf, 0[—7г;7г] тригонометрической системы исследовал В.Г. Кротов. Он доказал [76], что тригонометри-

ческая система образует базис в 7г; 7г], 1 < р < оо тогда и

только тогда, когда ш G Ф.

Кротов же получил необходимые и достаточные условия на и , при которых система Хаара образует базис и (при более жестких ограничениях) безусловный базис в 0; 1], 1 < р < оо (см. [43] и [44]).

Выделем также статьи П.Л. Ульянова [53], [54], [55] и A.A. Ко-нюшкова [40], в которых изучены различные свойства пространств L£[-7r;7r] и ££>0[-7г;7г].

Переходя к пространствам аналитических функций, связанных с условиями Гельдера, следует отметить работы Я.Л. Геро-нимуса [19], Ю.А. Брудного и И.Е. Гопенгауза [5], Ю.И. Волкова [16], H.A. Широкова [58], В.Н. Русака [50], В.И. Гаврилова [17], Г.Д. Левшиной [46], [47] и И.Н. Бруя [6], в которых рассматриваются пространства АСШ , АС® , и .

В 1981 году Хилсманн [68] доказал изоморфизм пространств АС2 и со, если и G Ф*. Через три года Фурлан [67] получил необходимость этого условия. Тем самым, факт существования базиса (даже безусловного) в АС® , и) G Ф*, известен. Вместе с тем, крайне мала информация о конструкциях конкретных базисов в АС£ . Тоже можно сказать и о пространствах Н% 0 .

Что касается близких вопросов, то, конечно же, надо выделить знаменитые работы C.B. Бочкарева [3] о базисе в АС и Карлесона [62] о безусловном базисе в Я1.

В настоящей диссертации строятся базисы в пространствах АС® и Я£ о. При этом существенно используются конструкции, аналогичные тем, которые применялись Бочкаревым и Карле-соном.

В первой главе рассматриваются банаховы пространства С®[—7г;7г] и АС®, устанавливается ряд важных свойств этих пространств. В параграфе 2 строятся базисы в пространствах АС® , ш Е Ф* , а также находятся взаимосвязи между базисами пространств С®[—7г;7г] и АС®. Следующий параграф посвящен исследованию условий полноты в пространствах АС® , и Е Ф*, некоторых конкретных систем функций. При зтом мы опираемся на общий вид линейного функционала в пространствах АС® , ш Е Ф*, полученный Г.Д. Левшиной [46].

В первой части главы 2 рассмотрен аналогичный круг вопросов в пространствах 7г;7г] и 1 < р < оо. В параграфе 3 изучаются пространства 11шДМ), 1 < р < оо. При определенных условиях на ш мы построим базисы в этих пространствах из, так называемых, разнесенных функций Хаара. Именно, справедлива следующая

Теорема 2.11. "Разнесенная" система Хаара образует базис пространства Ь^ 0(Ж), 1 < р < оо, тогда и только тогда, когда ш удовлетворяет следующим условиям:

1 )3с = с(р,и) > 0 : ш(8)/81/р < сш{г])/7^1/р, при всех

О < ту < 8 < 1 ;

2) б1'* — о(си(8)) при 80 .

Далее изучаются свойства интегральных пространств Гель-дера на оси и в верхней полуплоскости, конструируются базисы в простр