Оптимизация проекционных методов по емкости с приложениями к задачам идентификации и управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

РГ? од

^ СЕН

На правах рукописи

Лапин Сергей Владимирович

ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЕКЦИОННЫХ МЕТОДОВ ПО ЕМКОСТИ С ПРИЛОЖЕНИЯМИ К ЗАДАЧАМ ИДЕНТИФИКАЦИИ И УПРАВЛЕНИЯ

01.01.11 — системный анализ и автоматическое управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА — 1995

Работа выполнена на кафедре высшей математики Калужского филиала Московского государственного технического университета имени Н.Э.Баумана

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.Б.Бакушинский

доктор физико-математических наук, профессор П.К.Суетин

доктор технических наук, профессор Б.И.Шахтарин

Ведущая организация: Механико-математический факультет

Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова

Защита состоится октября 1995 г. в ___ час. ___ мин.

на заседании специализированного совета по защите докторских диссертаций Д.003.63.02 при Институте системного анализа Российской академии наук по адресу: 117312, Москва, проспект 60-летия Октября, 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института системного анализа Российской академии наук.

Автореферат разослав <(__1 сентября 1995 г.

Ученый секретарь

специализированного совета доктор фнзихо-математ. наук, профессор

В.С.Левченков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Один из возможных и популярных подходов к решению различных задач анализа, идентификации и управления для непрерывных нестационарных систем состоит в проектировании системы на некоторое конечномерное подпространство, исследовании и решении ап-проксимационной конечномерной задачи с использованием вычислительной техники, и переносе полученных результатов на исходную систему. Группу методов, реализующих данную схему, естественно назвать проекционными методами решения задач теории автоматического управления.

Проекционные методы решения различных математических и прикладных задач разрабатываются с начала века. Для численного решения экстремальных задач — с работы В. Ритца (1908 г.), а для решения интегральных и дифференциальных уравнений первые проекционные схемы появились в работах русских инженеров И.Г. Бубнова, Б.Г. Галеркина (1915 г.) и Г.И. Петрова. Первые теоремы, обосновывающие проек-цйонные методы, были опубликованы в работах H.H. Боголюбова и Н.М. Крылова, и М.В. Келдыша. Дальнейшее развитие проекционные методы получили в работах JI.B. Канторовича, М.А. Красносельского, Г.И. Марчука, В.И. Агошкова, Г.М. Вайпикко, М.К. Гавурина, И.К. Даугавета, С.Г. Мих-лина, Н.И. Польского, В.А. Треногина и других.

Систематическая разработка проекционных методов решения различных задач теории автоматического управления начала проводиться в МГТУ им.Н.Э.Баумана с конца 60-х годов В.В. Солодовниковым и его учениками А.Н. Дмитриевым, Н.Д. Егуповым, В.В. Семеновым и др. О 70-х годов это направление интенсивно разрабатывается за рубежом, и к настоящему времени наработано большое количество разнообразных методов и приемов. Однако, в выборе базиса, метода аппроксимации оператора и т.п., в подавляющем большинстве работ по проекционным методам решения задач идентификации и управления никаких обоснований нет и он зависит лишь от вкуса и пристрастий исследователя. Это привело к созданию большого числа нерациональных алгоритмов, требующих завышенных расходов энергии, памяти, времени и т.п.

В связи с этим представляется важным выделить те типы задач и те способы реализации проекционных методов, которые будут иметь несомненные преимущества перед другими известными методами решения рассматриваемых задач, и оптимизировать их при условии наличия априорной информации определенного вида.

Проблема оптимизации вычислительных алгоритмов является исключительно актуальной. Основополагающими в этом направлении считаются работы советских математиков А.Н. Колмогорова, Н.С. Бахвало-

ва, С.М. Никольского, К.И. Бабенко и др. Однако форму самостоятельной научной дисциплины теория оптимальных алгоритмов приняла в 70-е годы в работах западных ученых Дж. Трауба, X. Вожьняковского, Г.В. Ва-сильковского, А.Г. Вершульца, С.А. Миккели, а также в работах А.Г. Сухарева, A.C. Немировского, К.Ю. Осипенко, Д.Б. Юдина и др.

В связи с большой популярностью и эффективностью проекционных методов решения задач автоматического управления естественно возникает задача их оптимизации. Оптимизировать численные алгоритмы можно в различных смыслах: по точности, по размерности, по сложности и т.п. Большинство работ по данной тематике посвящено оптимизации либо по точности, либо по сложности. В данной работе рассматривается другое направление, связанное с оптимизацией по емкости. Под е-емкостью рассматриваемого проекционного метода решения непрерывной задачи понимается объем компьютерной памяти, необходимой для получения приближенного решения с точностью е в равномерной метрике с помощью данного метода.

Выбор такого критерия оптимальности связан с рядом причин:

— По своему характеру рассматриваемые в работе задачи предполагают лабораторные исследования, а не являются задачами, которые требуется решать в реальном времени. В процессе исследования и решения таких проблем приходится многократно решать какие-то типовые задачи (интегральные уравнения, задачи математического программирования и т.п.), и хранить исходные данные и результаты промежуточных вычислений в памяти компьютера. Таким образом, характер решаемых задач подвел к необходимости уменьшения объемов используемой памяти.

— Минимизация проекционных методов по емкости в основном производится за счет уменьшения размерностей обрабатываемых массивов, а это ведет к снижению влияния погрешностей округления. Таким образом, оптимизация по емкости позволяет повысить вычислительную устойчивость методов.

— Оптимальность по емкости тесно связана с оптимальностью по размерности, а она, в свою очередь, с оптимальностью по сложности и времени. Таким образом, оптимальный по емкости алгоритм в подавляющем большинстве случаев будет близок к оптимальному и в смысле других критериев. Поскольку для рассматриваемых в работе задач теории автоматического управления вопросы оптимизации проекционных методов ранее не изучались, за основу можно взять любой из критериев. В то же время для таких задач, как аппроксимация линейных систем, к которым сводятся многие содержательные задачи, именно оптимизация в смысле емкостного критерия оказалась наименее изученной и в этом направлении имеется большое поле деятельности.

г»

Приведенные аргументы свидетельствуют о несомненной актуальности емкостной оптимизации проекционных методов приближенного решения важных типовых задач теории автоматического управления.

о

Цель работы — нахождение оптимальных по порядку емкости проекционных методов аппроксимации некоторых классов функций, разработка методов проекционной аппроксимации систем, оптимальных по порядку емкости при наличии априорной информации о степени гладкости исследуемых систем и используемых входных воздействий, и оптимизация с их помощью проекционных методов решения некоторых важных задач анализа, идентификации и управления нестационарными системами.

Научная новизна. В рамках диссертационной работы установлены новые результаты и разработаны и обоснованы следующие методы:

1) Разработана методика оценивания еемкостей вычислительных алгоритмов и подходы к оптимизации проекционых алгоритмов по емкости.

2) Разработан и обоснован метод смешанной проекционной аппроксимации систем, описываёмых интегральными уравнениями 2 рода с неточно заданной информацией.

3) Найдены оптимальные по порядку емкости проекционные методы решения линейных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра 2 рода с ядрами и правыми частями из различных функциональных классов Гельдера и из классов аналитических функций, а также указаны подходы к снижению емкости проекционных методов решения нелинейных интегральных уравнений 2 рода.

4) Разработаны и обоснованы оптимальные по порядку емкости алгоритмы смешанной проекционной идентификации линейных систем с неизвестными переменными коэффициентами и смешанной обобщенной проекционной идентификации нелинейных систем с входящими в уравнения линейно неизвестными переменными параметрами.

5) Разработан метод гарантированной идентификации нестационарных систем.

6) Найдены приемы, позволяющие оптимизировать проекционные методы решения различных задач анализа и управления линейными нестационарными системами.

7) Решена задача об организации обратной связи и стабилизации вблизи программной траектории нелинейного объекта, работающего в проекционной области.

Практическая ценность диссертационной работы обусловлена ее прикладной ориентацией. Разработанные проекционные алгоритмы решения различных непрерывных задач, оптимальные в смысле порядка емкости, позволяют существенно сократить требуемую для их решения компьютер-

ную память. Это позволяет существенно расширить класс задач, которые можно решать с помощью имеющихся в наличии компьютеров, а также снизить влияние ошибок машинного округления, что крайне важно для многих практических задач. 4

Разработанный метод гарантированной идентификации нестационарных систем может найти большое применение в практике математического моделирования и решении ряда инженерных задач.

Построенная в работе обратная связь и стабилизирующий регулятор позволяют спроектировать эффективные системы управления, полностью работающие на основании обработки наборов коэффициентов разложения непрерывных сигналов по выбранному кусочно-постоянному базису, и использовать богатый программный и аппаратный материал, наработанный при проектировании отдельных узлов и блоков систем управления.

Применяя рекомендованные в работе методы выбора базисов, операторов проектирования, принципы смешанной аппроксимации и т.п., можно существенно повысить эффективность проекционных методов исследования и проектирования систем автоматического управления, которые хорошо зарекомендовали себя при решении некоторых важных практических задач. ...

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих Международных конференциях:

— на 33-м Международном научном коллоквиуме (Ильменау, ГДР, 1988 г.); на Международном симпозиуме по ортогональным полиномам и их приложениям (Гранада, Испания, 1991 г.); на Международной конференции по некорректно поставленным задачам в естественных науках (Москва, Россия, 1991 г.); на Международном симпозиуме по инновационным методам в численном анализе (Брезаноне, Италия, 1992 г.); нг 2-й Международной конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук" (Москва, Россия, 1994 г.); на Международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный ана лиз" (Москва, Россия, 1995 г.); на 4-й Международной конференции пс численному анализу (Москва, Россия, 1995 г.);

ка Всесоюзных конференциях и конференциях стран СНГ:

— на Всесоюзной конференции "Проблемы создания и использованш отраслевых информационно-диспетчерских систем на основе компьюте ризации и перспективных средств связи" (Москва, -1988 г.); н; 4-й Всесоюзной зимней школе-конференции по теории функций и при ближений (Саратов, 1988); на 7-м Всесоюзном семинаре "Конструирова ние алгоритмов и решение задач математической физики" (Кемерове 1988 г.); на Всесоюзной школе-конференции "Современные проблемы те

ории функций" (Баку, 1989); на Всесоюзной конференции "Автоматизация исследования, проектирования и испытаний сложных технических систем" (Калуга, 1989 г.); на 7-й Всесоюзной конференции "Управление в механических системах" (Свердловск, 199(^г.); на б-м Всесоюзном совещании "Управление многосвязными системами" (Суздаль, 1990 г.); на 4 Всесоюзном совещании "Динамика и прочность автомобиля" (Мо-. сква, 1990 г.); на 8-м Всесоюзном семинаре "Конструирование алгоритмов и решение задач математической физики" (Красновидово, 1991 г.); на 4-м Межгосударственном семинаре "Дискретная математика и ее приложения" (Москва, 1993 г.); на конференции с международным участием "Приборостроение-93 и новые информационные технологии" (Николаев, Украина, 1993 г.); на 7-м Симпозиуме по растровой микроскопии и аналитическим методам исследования твердых тел (Черноголовка, 1993 г.); на 2-й научно-технической конференции стран СНГ "Контроль и управление в технических системах" (Винница, Украина, 1993 г.);

на конференциях республиканского уровня:

— на 3-Й республиканской конференции "Теория аппроксимации и задачи вычислительной математики" (Новосибирск, 1991); на Российской конференции "Автоматизация исследования, проектирования и испытаний сложных технических систем" (Калуга, 1993); на 15-й Российской конференции по электронной микроскопии (Черноголовка, 1994 г.); на 1-й Украинской конференции по автоматическому управлению (Киев, Украина, 1994 г.); на Российской конференции "Автоматизация исследования, проектирования и испытаний сложных технических систем и технологических процессов" (Калуга, 1994);

на ряде конференций регионального уровня, на научно-исследовательских семинарах: кафедры теории функций и функционального анализа и кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, кафедры математической физики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В.Ломоносова, кафедры прикладной математики МГТУ им. Н.Э. Баумана, Института системных исследований РАН, Института проблем управления РАН и других.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 59 работ, основные из которых, включая некоторые тезисы конференций не ниже республиканского уровня, приведены в списке литературы. В работах, написанных в соавторстве, диссертанту принадлежит математическое обоснование используемых методов, разработка вычислительных алгоритмов и, в ряде случаев, написание и отладка программ и получение численных результатов. Соавторам принадлежит техническая постановка рассматриваемых задач, организация и проведение экспериментов и, в некоторых случаях,

написание и отладка программ и получение численных результатов.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, 4-х глав, заключения, списка литературы, содержащего 217 наименований и оглавления. Полный обем работы — 292 страницы. Параграфы и формулы нумеруются с помощью двух цифр, первая из которых означает номер главы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава посвящена нахождению оптимальных по емкости методов аппроксимации некоторых распространенных классов функций. Емкостная оптимизация аппроксимаций функциональных классов тесно связана с аппроксимацией, оптимальной по размерности, которая изучалась в работах К.И.Вабенко и ряда других исследователей: если оптимальный по размерности алгоритм аппроксимации некоторого компактного класса функций К не требует дополнительной памяти на этапах переработки исходной информации и восстановления, то он будет оптимальным и по емкости. Поэтому, задача сводится к исследованию алгортитмов, оптимальных по порядку размерности, которые известны в теории приближений. При этом в работе учитывается влияние погрешностей в исходных данных, что необходимо для решения прикладных задач, рассматриваемых в .последующих гдавах.

В §1.1, который имеет вспомогательный характер, вводятся рассматриваемые в работе классы функций, приводятся некоторые сведения из теории поперечников Колмогорова и теории оптимальных алгоритмов, а также рассматриваются эффективные способы вычисления коэффициентов Фурье-Чебышёва и оценки их погрешностей при использовании приближенной информации.

В качестве основных функциональных пространств вводятся пространство непрерывных функций на отрезке С[<о, ¿/], а также пространства непрерывных вектор-функций и пространства непрерывных функций двух переменных. В качестве основных компактных в C[io<i/] классов функций рассматриваются классы Гельдера WrH°(M, S), г = 0,1,..., О < а < 1, М > 0, состоящие из функций, имеющих на отрезке S = [¿о, ¿/] непрерывные производные до r-го порядка включительно и с r-й производной, удовлетворяющей условию Липшица порядка о с постоянной М, а также классы А(Ет, М) функций, аналитически продолжаемых с отрезка [¿о,'/] на эллипс с фокусами в концах отрезка и с суммой полуосей г > 1, ограниченных по абсолютной величине постоянной М на этом эллипсе.

Наряду с приведенными классами рассматриваются соответствующие некомпактные классы WrHa(S) и А(Ег), а также более грубая шкала

классов Wr(M, S) и Wr(S). Классы гладких вектор-функций не вводятся, т.к. в дальнейшем условия гладкости будут накладываться на вектор-функции покомпонентно. Для функций двух переменных вводятся анизотропные классы Гсльдера Wri'r2H°baj(R), которые определяются через соответствующие классы Гельдера по каждой из компонент.

Далее в параграфе вводятся основные понятия теории оптимальных вычислительных алгоритмов. Отметим, что понятие информации и информационного оператора в работе несколько уточнено по сравнению с традиционными определениями с помощью введения понятий исходной информации и используемой информации, и представлении информационного оператора в виде композиции оператора съема информации и оператора преобразования информации. В задачах аппроксимации в качестве исходной информации будет рассматриваться набор приближенных значений исследуемой функции в некоторых дискретных точках, что наиболее важно для технических приложений.

Проекционным алгоритмом приближения размерности п класса К с заданной исходной информацией будем называть набор An = (L„, /«, 6, Рп, /?п), состоящий из лилейного многообразия размерности п, оператора исходной информации 1ц кардинальности N, величины максимально возможной погрешности исходной информации 6, оператора проектирования (оператора сужения или сноса в другой терминологии) Р„, который является линейным но не обязательно проектором, и линейного оператора восстановления (оператора восполнения) Rn. При фиксированном уровне помех информации 6 проекционным алгоритмом приближения класса К называется совокупность проекционных алгоритмов приближения размерности п: А = {А„}, для которых при различных п выполнены определенные условия согласования.

На классе всех проекционных алгоритмов приближения компакта К по ¿-приближенной информации, который будем обозначать через Л(К, 6), вводятся понятия оптимальности и порядковой оптимальности по точности, размерности и по емкости.. Приведем нестрогое определение оптимальности по порядку емкости для случая, когда погрешностью информации можно пренебречь (в противном случае нужно согласовывать величины е и 6).

Если некоторый алгоритм аппроксимации А фиксирован, то его е-емкостью на классе К называется величина сар(е, А, К), равная сумме объемов памяти, требуемых для хранения исходной информации кардинальности N = N(e), процесса ее переработки в используемую информацию кардинальности п = п(е), которая представляет собой набор коэффициентов разложения элемента хп = Р„х по выбранному базису, и процесса

восстановления, который гарантирует требуемую точность приближения ||х - Я„Яп|| < е Для любогох & К.

Для каждого е > 0 обозначим с(е) = ттл6лсар(е; А, К), т.е. с(е) — последовательность оптимальных емкостей для различных величин í (в общем случае эта последовательность оптимальных емкостей достигается на различных алгоритмах, т.е. среди реализуемых алгоритмов такого алгоритма нет). Проекционный алгоритм аппроксимации Л класса К называется оптимальным по порядку емкости, если при е —> 0 выполняются соотношения

саР(.;Л,К)<м<оо с—,0 с(е)

В §1.2 рассматривается приближение классов функций невысокой степени гладкости, а именно, классов Гельдера WrHa(M, S) при 0 < г < 3. Хорошо известно, что оптимальным по точности аппаратом приближения классов функций невысокой гладкости является сплайн-интерполяция. С точки зрения емкостных характеристик самыми эффективными являются приближения локальными сплайнами. В работе вводятся локальные сплайны нулевого, первого и третьего порядков, которые доставляют оптимальные по порядку точности (а в некоторых случаях и оптимальные) гппроксимации классов Гельдера при г равном, соответственно, 0, 1 и 3. В технической литературе первые два типа локальных сплайнов получили название блочно-импульсных функций (БИФ) и кусочно-линейных функций (КЛФ), а локальные сплайны 3-й степени часто называют кусочно-кубическими функциями (ККФ). Доказывается оптимальность по порядку емкости (в некоторых случаях она будет асимптотической или даже точной) алгоритмов аппроксимации локальными сплайнами. Приведем один из результатов.

Теорема 1.2.3. Для приближений функций из классов Гельдера W3Ha(M, S), 0 < a < 1, М > 0, по ó-приближенной информации, оптимальным по порядку емкости является алгоритм приближения суммами по ККФ. При этом €-емкости метод а для е > ~6 оцениваются формулой

cap(<r;A|p,W3H«(M,S)) = 2

Параграф 1.3 посвящен оптимальным методам приближения классов кусочно-непрерывных функций PC([ío, í/], T¡), состоящих из функций, непрерывных на отрезке [to,tj] за исключением конечного числа фиксированных точек разрыва Tí = {то, tj,... ,tj}, и наделенных равномерной

(0,05249М\3+0 j4

Г7Т-И ("-fo)

+ 8.

метрикой. Заметим, что такие классы функций часто встречаются в теории автоматического управления и соответствуют процессам, протекающим в режимах с релейными переключениями в фиксированные моменты времени. Введем класс функций РК([<0, </],!}), состоящий из функций РС([<о, ¿/],Т/), которые на каждом отрезке непрерывности [т,_ь т,-],* г = 1,...,/ + 1 (мы положили ть = <о, г/+1 = </), принадлежат некоторому классу К,-.

Доказывается теорема о связи поперечника класса РК([*о, с

поперечниками классов К,-. Затем вводится система обобщенных блочно-импульсных функций (ОБИФ), которая отличается от БИФ неравномерностью расположения узлов. Включая в узлы точки разрыва Т/, можно сконструировать систему ОБИФ так, что если на отрезках непрерывности функции из рассматриваемого класса принадлежат классу Липшица (т.е. классу Гельдера с г = 0), то приближения разложениями по ОБИФ будут оптимальными по порядку точности и емкости. Доказывается, что при е > 6 е-емкость такого алгоритма равна

В §1.4 рассматриваются полиномиальные приближения классов гладких функций: классов Гельдера при г > 3 и классов аналитических функций А(Ег, М). В качестве методов аппроксимации рассматриваются ненасыщаемые методы приближения суммами Фурье по ортогональным многочленам Чебышева 1 рода и интерполяционными многочленами Ла-гранжа с чебышевскими узлами, а также аналогичные алгоритмы с обобщенным суммированием по методу Рагозинского порядка г, которые в работе называются методом приближения суммами Фурье-Рагозинского и интерполяционным многочленом Лагранжа-Рагозинского.

Отметим, что в отличие от сплайновой аппроксимации при приближении полиномами нельзя при исходной ¿-приближенной информации добиться точности аппроксимации е по порядку равной 5. Поэтому, необходим учет уровня погрешностей в исходных данных и его влияние на точность полиномиальной аппроксимации. Приведем два результата.

Теорема 1.4.6. Если требуется аппроксимировать класс Гельдера т — 4,5,..., 0 < с* < 1, и допустима точность приближения е, связанная с погрешностью информации 6 условием е ж 5 1п( 1 /<5), то оптимальным по порядку емкости является алгоритм аппроксимации интерполяционными многочленами Лагранжа-Рагозинского порядка г с е-емкостью, задаваемой соотношением

2 Зак.82 к.

сар(е;АГг,\\'-гНа(8)) * 9

Теорема 1.4.7. Если требуется аппроксимировать класс аналитических функций А{ЕГ), г > 1, с точностью приближения е, связанной с 8 соотношением с ж 6 1§г(1/(5), то оптимальным по порядку емкости является алгоритм аппроксимации интерполяционными многочленами Лагранжа с чебышевскими узлами с сар(е; Л/, А(£'г)) х 1цг(1 /е).

Последний параграф 1-й главы посвящен приложению результатов по оптимизации методов аппроксимации функциональных классов. Разработанные методы применяются для выработки правильной методики снятия спектров интенсивности монохроматической катодолюминесцен-ции прямозонных полупроводников, вызванной облучением электронным пучком. Спектры катодолюминесцентного излучения эффективно используются для определения электрофизических параметров полупроводниковых материалов. Было установлено, что общепринятая стандартная методика проведения экспериментов для ряда полупроводниковых материалов приводит к значительному завышению длительности экспериментов (до 20-кратного !), что помимо излишних энергетических затрат приводит к нежелательному разогреванию материала, которое может повлечь за собой изменение его электрофизических свойств. С помощью результатов главы 1 была определена новая оптимальная по продолжительности методика проведения экспериментов.

Глава 2 посвящена вопросам оптимизации по емкости проекционных аппроксимаций систем, описываемых интегральными уравнениями 2 рода или системами таких уравнений. За исключением §2.6, рассматриваются линейные системы. В зависимости от классов, к которым принадлежат входящие в уравнения системы коэффициенты и входные воздействия, решаются задачи поиска оптимальных по порядку емкости проекционных методов приближения непрерывных систем конечномерными.

Вопросам оптимизации по точности проекционных методов решения линейных интегральных уравнений 2 рода посвящены работы многих авторов: Б. Г. Габдулхаева, В. К. Дзядыка, С. В. Переверзева, В. Н. Темля-кова, С. Хайнриха и других. Однако, оптимизация по емкости имеет свои особенности, и многие алгоритмы, оптимальные по порядку точности и размерности будут иметь существенно большую емкость по сравнению со специально сконструированными алгоритмами, оптимальными по порядку емкости. Кроме того, в известных работах по оптимизации проекционных методов по точности рассматривался только случай точной информации, что существенно сужает область применения разработанных методов в приложениях.

Отметим, что проекционные методы трактуются не как методы приближенного решения уравнений, а как методы аппроксимации непрерыв-

ных систем конечномерными, что более удобно для последующих приложений. То есть операторное уравнение х + Ах — у,хе С[<о, */] трактуется как система с оператором А из некоторого класса операторов КА и с входными воздействиями у е Ку с С[<о,</]- Пара К = (Кл,Ку) определяет рассматриваемый класс систем.

В отличие от главы 1, все получаемые в данной и последующих главах оценки являются порядковыми. Это связано как с трудностью (а в некоторых случаях и с невозможностью) проведения таких оценок, так и с их невысокой практической значимостью, поскольку окончательные оценки многоэтапных задач оказываются слишком завышенными. Кроме того, поскольку поиск оптимальных по емкости алгоритмов производится с целью установления правильных рекомендаций по выбору метода аппроксимации для класса систем определенной гладкости, знание точных постоянных в оценках в малой степени влияет на характеристику алгоритма.

В §2.1 обсуждаются различные постановки задачи оптимизации проекционных аппроксимаций систем, описываемых линейными операторными уравнениями 2 рода по точности. В качестве основной постановки оптимизационной задачи выбирается постановка с фиксацией проекционного метода на всем классе рассматриваемых задач, и с заданием исходной информации в виде приближенных значепий ядра и входных воздействий (именно такого рода информация наиболее часто дается в реальных технических задачах), которая наиболее важна с точки зрения последующих приложений. В этом параграфе вводятся некоторые нетрадиционные определения, которые, на наш взгляд, являются более удобными с точки зрения исследования влияпия погрешностей в исходных данных на точность и емкость аппроксимации, и формулируется аналог известной теоремы Л. В. Канторовича об условиях сходимости проекционных методов решения операторных уравнений второго рода.

Приводится отличная от общепринятой классификация проекционных методов аппроксимации, в основе которой лежит введенная в главе 1 детализация процесса аппроксимации функциональных классов и способ аппроксимации интегрального оператора. При исследовании на точность и емкость аппроксимации такая классификация несомненно важнее традиционного деления методов по подходу к получению приближенного уравнения.

Помимо стандартного метода проекционной аппроксимации вводится метод смешанной проекционной аппроксимации, при котором для аппроксимации ядра интегрального оператора используется второй проекционный метод, отличный от метода проектирования вектора состояния системы и входного воздействия.

2*

11

В §2.2 вводится понятие оптимальности проекционного алгоритма по емкости и устанавливаются некоторые результаты об оценках снизу емкости проекционных аппроксимаций систем, описываемых линейными интегральными уравнениями. Отметим, что установление оценок снизу является обычно наиболее трудным в теории оптимальных алгоритмов.

Приведем один из результатов, полученных в данном направлении, в котором хорошо прослеживается отличие двух понятий оптимальности: гладкость ядра оператора по второй переменной в рассматриваемой постановке задачи с фиксацией единого подпространства для всего класса систем не оказывает влияния на порядок точности аппроксимации оператора Фредгольма, но существенно влияет на порядок его емкости.

Следствие 2.2.1. Пусть А - интегральный оператор Фредгольма с ядром K(t, s), принадлежащим анизотропному классу Гельдера Wr,'r2Hai,<>2(R), a v2 = г2 4- £*г — его гладкость по второй переменной. Предположим, что для аппроксимации интегрального уравнения с оператором А с точностью е необходимо использовать значения ядра в некоторых п точках с различными абсциссами <,-. Тогда полное количество требуемой для достижения заданной точности аппроксимации информации будет иметь порядок N х ne~llV2.

В параграфе 2.3 решается задача о нахождении оптимальных по порядку емкости алгоритмов для классов систем невысокой гладкости. Приведем здесь результат для случая оператора Фредгольма, отметив, что аналогичное утверждение справедливо и для оператора Вольтерра.

Теорема 2.3.1. Пусть для интегрального оператора Фредгольма ядро K(t,s) принадлежит классу Гельдера Wr,,r,H0l'0,(R.) (rbr2 = 0,1,2,3; 0 < «i,a2 < 1), а входные воздействия принадлежат классу Гельдера WfH'(S), р = 0,1,2,3; 0 < /3 < 1, и информация является 6-приближенной. Положим р = min{rx аг,р + /3} и v2 — г2 + а2. Тогда при условии е > §<5 оптимальными по порядку емкости стандартными алгоритмами проекционной аппроксимации являются:

1. При v2 > р — метод Галеркина с базисом из локальных сплайнов q-й степени, где q = [р]; порядок е-емкости этого метода будет равен

сар(е;А,К)ж б-2/р, (1)

2. При г>2 < р оптимальным по порядку емкости будет тот же метод,

но с

сар(е-, \,К)ж е-1'"-1^. (2)

В дальнейшем часто будет рассматриваться случай уравнений Вольтерра с ядрами, не зависящими от внешней переменной t, к которым при-

водятся линейные системы с исходной дифференциальной формой описания при наличии начальных условий. Для них порядок емкости аппроксимации существенно уменьшается.

Теорема 2.3.2. Пусть для интегрального оператора Вольтерра ядро зависит только от внутренней переменной .ч: «) = и принадлежит классу Гельдера \УгНа(3) (г = О,1,2,3; 0 < о < 1). Далее, предположим, что входные воздействия принадлежат классу Гельдера "УУН^Б), р = 0,1,2,3; 0 < /3 < 1, и информация является ¿-приближенной. Положим р = пйп{г+а+1,р+/3}, р = пнп{г+а,р+/3}. Тогда при условии е > §<5 оптимальными по порядку точности алгоритмами проекционной аппроксимации являются: метод Галеркина с базисом из локальных сплайнов д-й степени, где д = [/>], или метод с базисом из локальных сплайнов степени д = [/?], и аппроксимацией ядра по внутренней переменной с помощью базиса из этих сплайнов; порядок е-емкости этого метода будет равен

сар(е;А,К)х Г1'". (3)

Заметим, что резкое уменьшение емкости оценки (3) по сравнению с оценками (1) и (2) произошло за счет свойств локальных сплайнов. Для полиномиальных методов аппроксимации нзменепия емкости по порядку при переходе к уравнениям Вольтерра с ядрами, не зависящими от внешней переменной, не будет. Показывается, что помимо указанных в теореме 2.3.1 методов, оптимальным по порядку будет и некоторый метод со смешанной аппроксимацией. Аналогичные результаты устанавливаются и для векторно-матричных уравнений Фредгольма и Вольтерра 2 рода.

В §2.4 рассматриваются проекционные аппроксимации гладких систем, а именно, систем, для которых порядок гладкости ядра по внешней переменной и порядок гладкости входных воздействий не ниже 4-х. В этом случае оптимальные по емкости алгоритмы естественно искать среди полиномиальных методов. В отличие от сплайновых алгоритмов, при низкой гладкости ядра по внутренней переменной стандартные проекционные методы с полиномиальными базисами уже не позволяют достичь оптимального порядка емкости.

Теорема 2.4.1. Пусть для линейного интегрального уравнения Фредгольма или Вольтерра 2 рода КА = \¥ГьГ2Н°1'а'г(Й.), п > 4, г2 > О, О < аь а2 < 1, и Ку = Ш'Н^в), р> 4, 0 < /3 < 1. Положим р = т!п{г1 + а\,р + /3} и «2 = г2 + а2- Тогда оптимальным по порядку емкости стандартным алгоритмом проекционной аппроксимации по 6-приближенной информации при еж ¿1п(1/<5) является метод с базисом из многочленов Чебышева 1 рода, операторами проектирования Лагранжа-Рагозинского порядка д = [р] и аппроксимацией ядра по внутренней переменной в с по-

мощью интерполяционного многочлена Лагранжа-Рагозинского порядка порядок е-емкости этого метода будет равен

сар(е;А,К) ж (4)

Если же требования на точность являются менее ограничительными: е ж то при г>2 < р - 1 оптимальным по порядку емкости стандарт-

ным алгоритмом проекционной аппроксимации будет метод Галеркина с использованием к ж узловых точек на оси в и порядком емко-

сти сар(€; а, К) ж

Оказывается, при р > и-/&птималыюсть по порядку емкости достигается на алгоритмах со смешанной аппроксимацией.

Теорема 2.4.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.4.1 и у2 < р. Тогда оптимальным по порядку е'мкости является следующий метод со смешанной аппроксимещией: состояние системы аппроксимируется разложениями по базису из п многочленов Чебышева 1 рода с операторами проектирования Лагранжа-Рагозинского порядка д, а ядро аппроксимируется по внутренней переменной з с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа-Рагозинского порядка т^ст — п9^'1 узлами; порядок (-емкости этого метода будет равен

сар(€;А,К)х (5)

Сравнение оценок (4) и (5) показывает, что выигрыш при применении смешанной проекционной аппроксимации может быть очень существенным: например, при р = 5 и VI = 1 емкость любого стандартного метода, среди которых будут и оптимальны/; по точности и по размерности методы, будет иметь порядок е~2, в то время как приведенный метод со смешанной аппроксимацией, имеет емкость порядка е-6/5. В то же время, с алгоритмической точки зрения метод, указанный в теореме 2.4.2, ненамного сложнее стандартных методов. Таким образом, метод со смешанной проекционной аппроксимацией позволяет полнее учитывать степень гладкости ядра по внутренней переменной и в ряде случаев существенно сократить емкость метода.

Если на точность наложить менее ограничительные условия е ж то> как следует из приведенных теорем, порядок оптимального алгоритма (со смешанной проекционной аппроксимацией) будет в е-1/^) раз менее емким, чем у стандартных оптимальных по точности алгоритмов.

В случае, когда и ядро системы и входные воздействия являются аналитическими функциями, соответственно, двух и одного переменного.

оптимальными по порядку емкости алгоритмами аппроксимации являются методы с базисом из многочленов Чебышева и операторами проектирования Лагранжа, причем при е х <5 порядок е-емкости таких методов будет равен сар(е;А, К) х (%г(1/с))2,- где величина г > 1 определяется шириной зоны возможного аналитического продолжения ядра и входных сигналов.

В §2.5 рассматриваются вопросы оптимизации по емкости проекционных аппроксимаций разрывных систем. Используя установленные в §1.3 результаты об оптимальности аппроксимаций кусочно-непрерывных систем с помощью разложений по ОБИФ, сконструированных определенным образом, устанавливаются аналоги теоремы 2.3.1 для классов систем с разрывами в фиксированных точках. Рассматриваются также вопросы оптимизации проекционных методов аппроксимации систем, описываемых дифференциальными уравнениями с разрывными коэффициентами.

В §2.6 рассматриваются системы, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями с известными начальными условиями, которые можно свести к интегральным уравнениям Вольтерра-Урысона 2 рода. Прежде всего отметим, что в прежней формулировке задача оптимизации проекционных методов вряд ли имеет большой смысл для нелинейных систем, поскольку наименее емкая проекционная схема аппроксимации может оказаться совершенно неработоспособной. Поэтому, целесообразно как-то сузить класс рассматриваемых проекционных алгоритмов аппроксимации, и рассматривать вопросы оптимизации по емкости на таком суженном классе.

Выделяется несколько типов аппроксимационных алгоритмов, существенно упрощающих аппроксимирующую систему. Наиболее простыми и наименее емкими являются алгоритмы подстановочного типа (типа Рунге-Кутта). Поскольку такие алгоритмы не являются проекционными, вводится понятие обобщенных проекционных алгоритмов аппроксимации, которые состоят из произвольного алгоритма, позволяющего получить набор дискретных значений искомых неизвестных, дополненное го некоторым алгоритмом восстановления, позволяющим по полученным данным построить элемент из некоторого заранее выбранного линейного подпространства Ьп.

Для систем нелинейных дифференциальных уравнений с известными начальными условиями и для интегральных уравнений Вольтерра-Урысона 2 рода применяются методы Рунге-Кутта д-го порядка и оценивается их е-емкость. При малых д в качестве операторов Я„ рассматриваются операторы перехода к локальным сплайнам, а при д > 4 — операторы Лагранжа-Рагозинского.

Теорема '2.6.1. Пусть ядро интегрального уравнения

I

*(«)=//(в, *(*))<Ь + у(*)

н

г раз непрерывно дифференцируемо в области К, правая часть у(1) — р раз непрерывно дифференцируема на отрезке [¿о, </], и уравнение имеет единственное решение ■£*(<), определенное на всем отрезке [<о,</]- Положим д = пип{р,г + 1} я предположим д < 4. Тогда, если значения входного сигнала уЦ) известны с максимально допустимой погрешностью 6, то для заданной точности е при условии, что 6 < £1+1/\ аппроксимируя полученные с помощью метода Рунге-Кутта д-го порядка значения с помощью локального сплайна (<? - 1)-го порядка, получим аппроксимацию системы порядка точности е, оптимальную по порядку емкости на классе обобщенных проекционных аппроксимаций, с «-емкостью метода

сар(е; Л, К) х £-,/?.

В главе 3 рассматриваются проекционные методы численной идентификации нестационарных систем и вопросы их оптимизации. Под идентификацией понимается идентификация в "узком смысле", т.е. процесс приближенного нахождения коэффициентов уравнения математической модели системы, структура которой известна.

Теория идентификации является обширной научной дисциплиной, в которой выделается несколько направлений. Всюду, за исключением §3.5. рассматривается одно из них, ставшее особенно популярным в последние годы, и основанное на детерминистском минимаксном подходе. В его разработке активное участие принимали Н.Н.Красовский, А.Б.Куржанский, Ф.Л.Черноусько, М.Миланезе, Дж.Белфорте, А.Хелмики и другие. В этом направлении, которое имеет несколько названий — теория гарантированных оценок, робастная идентификация, идентификация наихудшего случая — считается, что помехи могут быть произвольными (без известных статистических характеристик), но ограниченными сверху известной величиной. Задача же идентификации сводится к определению границ, в которых лежат неизвестные коэффициенты уравнения.

В работе рассматривается наиболее сложный и содержательный случай, когда неизвестные коэффициенты являются функциями независимого переменного. Именно для идентификации таких классов систем наиболее целесообразно применять проекционные методы.

В §3.1 рассматриваются проекционные методы идентификации линейных систем, математические модели которых на отрезке [<о, </] описыва-

ются системами линейных дифференциальных уравнений

= t ау(<)®/(«) + Е ba(t)u,{t) + №, (6)

M 1=1

г — 1,... ,п,

но коэффициенты а,_,(<) и £>,/(*), г, j = 1,..., п,1 = 1,..., к, в уравнениях (6) (все или часть из них) подлежат определению. Функции fi будем считать неизвестными непрерывными на отрезке функциями (шумами), с

известной максимальной величиной ||/,|| < 6\, г = 1,...,п. Далее, предполагаем, что имеется информация о принадлежности всех неизвестных коэффициентов a,y(i) некоторому компактному в С[<о, </] классу К а, а всех коэффициентов bu(t) — компактному классу К в-

Пусть проведено L экспериментов, в каждом г-м из которых на вход системы при известных начальных условиях подается некоторый вектор U('\ а на выходе в некоторых точках tj, t^,..., t^ из отрезка [<0, </] измеряются соответствующие зашумленные выходные сигналы Y^(t), удовлетворяющие уравнениям вида

Y®{t) = C(t)X®{t) + V(t), ' (7)

где для вектора помех справедлива оценка ¡¡Т7!) < ¿2, а размерность вектора наблюдений Y(t) равна q,q < п.

В §3.1 ищется точечная оценка вектора неизвестных параметров. В качестве основного критерия рассматривается функционал

1(а(-), Ь(.)) = max max тах \yf (tj, a(tj), b(tj)) - $>(<,•)|, (8)

где — измеренные значения компонент выходного сигнала, а

yW(tj,a(tj),b(tj)) — полученные по формулам (7) при V(t) = 0 теоретические значения компонент вектора выхода, вычисленные по решениям задачи Коши при фиксированном наборе коэффициентов

а(() = [ац(0, • • ■, a„„(i)J, Ь(<) = [6И(<),..., bnk(t)J.

Отметим, что чаще используют аналогичный квадратичный функционал, который легче минимизировать. Однако, получив минимизирующую последовательность для функционала (8), проще оценить области, в которых будут лежать точные искомые коэффициенты. Идентифицируемость системы при рассматриваемой схеме испытаний предполагается, но указываются условия, при которой эта идентифицируемость будет наследоваться аппроксимационной системой.

Рассмотрим задачу поиска оценок параметров а(<) и Ь(<). В отличие от стандартного подхода, при котором используется проектирование на один класс подпространств, будем осуществлять аппроксимацию неизвестных функций до аппроксимации системы в целом. Такой подход позволит полнее учесть степень гладкости классов Кд и К в и уменьшить размерности получаемых задач математического программирования.

После перехода от системы (6) к системе линейных интегральных уравнений Вольтерра 2 рода выбираются два способа проекционной аппроксимации, т.е. два набора линейных подпространств, операторов проектирования на эти подпространства и операторов восстановления. Все неизвестные элементы из класса Кд аппроксимируются первым способом, а из класса Кд — вторым. В результате исходная система заменяется на аппроксимационную систему, которую мы называем промежуточной, в которой все искомые функции заменяются на их разложения. Затем полученная система аппроксимируется с помощью третьего проекционного метода. Доказывается корректность такого подхода для случая, когда все три способа аппроксимации являются сходящимися.

Функционалы, получаемые из (8) с помощью замены точного решения проекционным приближением, являются недифференцируемыми. Однако, информация о принадлежности неизвестных функций классам Кд и Кд позволяет существенно сузить область, в которой могут лежать коэффициенты разложений неизвестных функций. В результате, применяя один из наименее емких методов минимизации (метод случайного поиска с повтором удачного направления, метод Хука-Дживса и т.п.), и варьируя в случае необходимости начальные точки, получаем проекционный алгоритм существенно меньшей емкости по сравнению со стандартными алгоритмами.

Теорема 3.1.2. Предположим, что компоненты вектора выхода измеряются с максимально возможной погрешностью ¿>2, помехи в системе ограничены величиной 61, и производится аппроксимация системы и функционала (8) изложенным выше методом. Тогда, если г? — точность вычисления полученного приближенного функционала, то для найденных приближенных коэффициентов £*„(<) будет справедлива оценка

|1»(2т(-))1 ^ ¿2 + Т) + С (Я1«(т,) + + Кф(т2) + А'3етз(Кх, ® + •

где а(т1) и /?(т2) — точности аппроксимации функций из классов Кд и К в выбранными проекционными методами, а етз(К^, (¿Щ) — точность аппроксимации промежуточной системы с помощью третьего проекционного метода.

Полученная теорема утверждает возможность получения приближенных неизвестных коэффициентов, доставляющих достаточно малое значение функционалу, но никоим образом не характеризует степень близости получаемых приближенных коэффициентов к точным. Вопросы точности получаемых оценок подробно обсуждаются в §3.3.

В §3.2 рассматриваются системы, нелинейные относительно переменных состояния, но линейные относительно неизвестных коэффициентов. Предположим, что математическая модель рассматриваемого объекта описывается на отрезке [<о,</] системой дифференциальных уравнений

*!•(*) = ¿в(/(0/«(«. •••.»»(*), «i(0.....«*(*))+ &('). (9)

i=i

i = 1,..., n.

Функции fi(t, xi, ■.., x„, щ,..., Uk) предполагаются известными и лежащими в некотором классе К г функций (п + к + 1)-го переменного. Кроме того, предполагаем, что имеется информация о принадлежности всех неизвестных коэффициентов а,-j некоторому компактному в C[i0, tf] классу Кл. Функции £,(i) — аддитивные помехи, ограниченные по абсолютной величине некоторой известной константой <5i.

Предполагается, что задано начальное состояние системы (9) и что для любого входного вектора U(t) = [wj(<). ..гц(1)]т из рассматриваемого класса К у задача Коши при отсутствии помех имеет единственное решение и оно продолжаемо на весь отрезок [i0, tj\. Уравнение наблюдения, в отличие от (7), предполагается нелинейным.

В параграфе 2.6 были изложены аргументы, обосновывающие целесообразность использования обобщенных проекционных алгоритмов подстановочного типа для нелинейных систем. Их применение еще более обосновано для задач идентификации, поскольку, как уже отмечалось выше, гладкость входных воздействий в реальных задачах идентификации невелика. Однако, в связи с невысокой степенью аппроксимации таких методов для случая, когда искомые коэффициенты принадлежат классам функций высокой гладкости, для существенного сокращения размерности получаемых задач математического программирования следует применять тот же прием, что и в линейном случае: сначала осуществлять аппроксимацию неизвестных функций, а затем уже к полученной системе, которую также будем называть промежуточной, применять обобщенный проекционный метод подстановочного типа. Имея информацию о принадлежности элементов матрицы некоторому компактному классу Кд, мы можем осуществить аппроксимацию оптимальным в смысле размерности методом, существенно упростив последующие этапы процесса идентификации. Для поставленной задачи доказан следующий результат.

Теорема 3.2.2. Предположим, что все элементы матрицы A(t) непрерывны на отрезке [i0, £/], а все элементы матрицы F(t, X, U) и их частные производные по xi,...,xn непрерывны в области [<о,*/] * Rn+*. Предположим, кроме того, что для некоторого фиксированного U(t) система (9) имеет единственное решение X*(t) на всем отрезке [io, tj], компоненты непрерывно дифференцируемого вектора выхода измеряются с максимально возможной погрешностью ¿2, помехи в системе ограничены величиной 61, и производится аппроксимация задачи системы и функционала (8) изложенным выше смешанным обобщенным проекционным методом. Тогда, если г] — точность вычисления аппроксимирующего функционала, то на полученных приближенных коэффициентах критерий идентификации примет значение, удовлетворяющее неравенству

|I™(Zm(-)l < ¿2 + »7 + Кia(m) + + А*3ЛГ2.

В §3.3 рассматриваются вопросы о степени достоверности получаемых приближенных оценок неизвестных функций, а в случае непосредственного измерения всех компонент вектора состояния находится область, в которой гарантированно лежат искомые коэффициенты.

Прежде всего осуществляются преобразования аппроксимационных систем для задач из параграфов 3.1 и 3.2, в результате которых столбец коэффициентов разложения неизвестных функций Z выделяется в виде множителя. В обоих случаях получаем системы вида

Xbpfn = H{XLN U)Z + Xо,

где Xif{n — столбец длины LNn из значений компонент вектора состояния во всех точках измерения для всех испытаний, а H(Xinn, U) —некоторая матрица размера (LNn х ц), где ц — число неизвестных коэффициентов (в линейном случае, например, \i = n(nm\ + Ьп2)). Далее устанавливается, что необходимыми условиями для корректной разрешимости задач идентификации являются условия q > п/2 и L > 2fj/((2q~ h)N + n).

В теории робастной идентификации центральное место занимают оценки границы области, которой гарантированно принадлежат неизвестные параметры. Однако, известные методы применимы лишь для оценивания областей принадлежности постоянных параметров. Так как в получаемой аппроксимационной системе неизвестные коэффициенты являются постоянными, некоторые из этих методов можно применять и к рассматриваемой задаче, но прямолинейное их применение приводит к областям с большим диаметром, т.е. дает малоинформативные результаты.

Для линейных систем излагается способ оценки области принадлежности искомых функций, основанный на выделении базисного минора с

наименьшей мерой обусловленности у матрицы Н{Хц^П' Щ, масштабированием столбца 2 на основе оценок скоростей убывания коэффициентов разложений функций из классов Кд К/?, и применении известных оценок влияния возмущений в операторных уравнениях на решения. В результате такого подхода удается получить оценки вида < а,;(<) < а-"ах(/), I & [¿о, '/]> для всех неизвестных элементов а,;(<) матрицы А{1), и аналогичные оценки элементов матрицы В(<), причем при удачно организованной схеме проведения экспериментов величины Ца,™** - а"""|| оказываются небольшими. В нелинейном случае оценки такого типа могут проводиться при наличии некоторых дополнительных условий.

Параграф 3.4 посвящен оптимизации по емкости методов получения точечных оценок неизвестных параметров на классе методов, использующих аппроксимацию неизвестных функций, для задач, изложенных в параграфах 3.1 и 3.2 Назовем е-емкостью алгоритма идентификации заданной системы на данном множестве входных воздействий объем памяти, необходимый для получения приближенных коэффициентов, при которых критерий идентификации примет значение, отличающееся от значения функционала на точных коэффициентах не более, чем на е. Приведем один из результатов.

Теорема 3.4.1. Пусть КА = Кв = А(ЕГ,М), г > 1, М > 0, а КР г \\ГрНа(8), г ~ 0,1,..., 3, 0 < а < 1, или является классом кусочно-непрерывных ограниченных функций. Тогда, если уровни помех в системе и в измерительном устройстве 61,62 меньше величины е, а метод минимизации конечномерного функционала позволяет получать приближения точности г] с г] < е, то метод смешанной. проекционной идентификации является оптимальным по порядку емкости среди всевозможных алгоритмов идентификации, использующих аппроксимацию неизвестных коэффициентов и основанного на минимизации функционала (8) проекционным методом, причем его е-емкость имеет порядок

сар(Атьтз) х 1ЛГ9 + п(п + к) 1о£г(1/е) + е"1/^1).

если К[/ — класс Гельдера, а в случае, когда К у — множество кусочно-непрерывных, ограниченных некоторой постоянной функций, оценка справедлива с заменой последнего слагаемого на е-1.

Аналогичные результаты установлены для случая, когда неизвестные коэффициенты принадлежат классам Гельдера, более узким, чем класс К и- Для нелинейных систем, рассмотренных в §3.2, доказана оптимальность метода смешанной обобщенной проекционной идентификации при аналогичных условиях на коэффициенты и входные воздействия.

В предыдущих параграфах рассматривались задачи идентификации

в минимаксной постановке (в условиях неопределенности). Однако, для широкого класса систем и измерительных устройств помехи можно считать независимыми случайными процессами с нулевым математическим ожиданием и известной ковариационной матрицей. Наличие информации такого рода позволяет получать более точные оценки математических ожиданий идентифицируемых параметров, особенно в случаях, когда дисперсии случайных помех велики.

В §3.5 обсуждаются вопросы о применимости статистических методов идентификации к проекционным аппроксимациям систем. Такое сочетание позволило бы, с одной стороны, за счет оптимизации процесса аппроксимации получать дискретные системы наименьших порядков, а, с другой стороны, использовать эффективные статистические методы. Отмечено, что некоторые методы переносятся на проекционные аппроксимации тривиальным образом, в то время как другие статистические методы, разработанные для конечно-разностных аппроксимаций, для проекционных аппроксимаций не проходят (например, различные адаптивные методы идентификации).

Рассматривается один из наиболее популярных и эффективных статистических методов идентификации — метод фильтрации Калмана. Он не применим к стандартным проекционным аппроксимациям на подпространства с традиционно используемыми базисами, но метод смешанной обобщенной проекционной аппроксимации подстановочного типа позволяют реализовать калмановскую фильтрацию в полном объеме. Приведен алгоритм определения неизвестных функций, основанный на одновременном оценивании вектора состояния и параметров с помощью калманов-ской фильтрации, примененных к смешанной проекционной аппроксимации линейной системы, которая выбирается так, чтобы размерность вектора параметров была минимальной.

Глава 4 посвящена проекционным методам решения некоторых задач теории автоматического управления и вопросам их оптимизации.

На этапе реализации проекционных методов исследования систем управления возможны разные подходы. В последние годы популярной стала исключительно удобная техника матричных операторов. Матричные операторы интегрирования и умножения вводились в работах зарубежных исследователей для конкретных, как правило, ортогональных ба-. зисов. Однако, возможность применения техники матричных операторов вытекает из определения базиса в банаховом пространстве. В §4.1 излагается теория матричных операторов интегрирования и умножения для произвольного базиса и доказываются теоремы о порядковых оценках погрешностей, возникающих при применении матричных операторов для ба-

зисов из многочленов Чебьгшева и ОБИФ.

В §4.2 излагается схема применения матричных операторов при проекционной аппроксимации линейных нестационарных систем. Вводится понятие спектральной характеристики линейной системы, которая в теории проекционных методов является аналогом переходной характеристики системы, и приводятся некоторые известные приемы проекционных методов анализа линейных нестационарных систем. Далее показывается, как указанные характеристики и приемы распространяются на смешанные проекционные аппроксимации систем. Так как с помощью смешанных проекционных аппроксимаций можно вущественно уменьшить размерность аппроксимационной системы и емкость алгоритма аппроксимации, это позволяет повысить эффективность известных спектральных методов исследования нестационарных систем, а в ряде случаев решить задачу оптимизации этих методов.

В §4.3 рассматривается задача нахождения программного управления, которая сводится к задаче оптимального управлепия с фиксированным временем и закрепленным левым концом следующего вида: задана система линейных дифференциальных уравнений вида (6), некоторые ограничения на векторы управления и состояния

£/(*) е Х(0 € Ях(0. t € [<0,</], (10)

где Би(1) и Ду(*) — некоторые непустые выпуклые замкнутые ограниченные множества в [¿о, </] х Б.* и [¿о, </] х Я", соответственно, начальное состояние Х(1а) = и некоторый интегральный функционал

ЦХ(.),Щ-)) = ] (11)

и

в котором /(¿, А', и) — неотрицательная непрерывная функция в области [<о,</] х Н.п+1. Будем считать также, что задан класс Кц, определяемый степенью гладкости входных воздействий. Таким образом, на входные воздействия накладываются условия Е/(*)€ £>{/(<)ПКу.

Требуется найти вектор управления (/*(*) е £>с/(4) ПКу, который при заданном начальном условии вырабатывает в силу (6) вектор состояния Х'(1) такой, что пара ([/*(<), Х*(<)) доставляет наименьшее значение функционалу (11) при условии выполнения ограничений (10). Вопросы существования и единственности решения поставленной задачи оптимального управления не рассматриваются: предполагается, что задача имеет, по меньшей мере, одно решение.

Излагает :я и обосновывается метод решения данной задачи, основанный на смешанной проекционной аппроксимации системы, когда эле-

менты матриц Л(<) и 5(2) аппроксимируются одним (высокоточным) проекционным способом, а входные сигналы н состояние системы — другим способом, а также некотором расширении области (10). Такой подход естественно назвать внешней смешанной проекционной аппроксимацией задачи оптимального управления. Доказываются теоремы о сходимости и об оценке скорости сходимости по функционалу решений задачи оптимизации внешней смешанной проекционной аппроксимации к точному наименьшему значению функционала (11).

Далее проводится сравнение разработанного метода со стандартными конечно-разностными методами. Оказывается, что методы решения задач оптимального управления, основанные на внешней смешанной проекционной аппроксимации, имеют ощутимое преимущество перед конечно-разностными лишь при нетрадиционной постановке задачи, когда оптимальные управления ищутся не на классах ограниченных функций или на подмножествах пространств Лебега, а на некотором множестве достаточно гладких функций.

Начиная с 70-х годов, осуществлялись попытки спроектировать системы управления, работающие на основании обработки наборов коэффициентов разложения непрерывных сигналов по выбранному базису, т.е. в прекционной области. К настоящему времени имеются аппаратные реализации отдельных блоков, узлов, корректирующих устройств, работающих в проекционной области, в частности, с использованием базиса функций Уолша. Однако, работоспособную систему управления нельзя создать без обратной связи. Реализовать же обратную связь в проекционной области не удавалось, поскольку для корректировки коэффициентов разложения сигнала по традиционно используемым базисам необходимо иметь информацию, распределенную по всему отрезку времени протекания процесса [<о,</], что возможно лишь по окончании процесса. Данный факт служил главным препятствием в создании эффективных систем управления, работающих со спектрами сигналов.

В силу локальных свойств рассматриваемых в работе сплайнов, коэффициенты разложения по базисам из них можно вычислять по мере поступления информации о значениях разлагаемого сигнала в различные моменты времени, что позволяет организовать эффективную обратную связь. В §4.4 обратная связь такого типа строится для наиболее простого из базисов локальных сплайнов — базиса ОБИФ, и на ее основе конструируется регулятор, стабилизирующий нелинейный объект вблизи его программной траектории, который отличается по форме от разнообразных стабилизирующих регуляторов, применяемых в теории автоматического управления. Эти результаты позволяют принципиально решить задачу о проектировании замкнутой системы управления, работающей в проекци-

онной области с базисом из легко реализуемых аппаратно ОБИФ.

Отметим, что хотя в данном параграфе не рассматриваются вопросы оптимизации по емкости, его включение в диссертацию связано с тем, что изложение основано на использовании некоторых положений и результатов, разработанных в предыдущих главах с целыо снижения емкости проекционных методов.

Рассматривается объект, описываемый уравнением

X\t) = F(t, X(t)) + B(t)U(t) + I/(f), (12)

где X(t) e R", U(t) € R*, к < n, B(t) e Rn+t — матрица полного ранга с непрерывными на [¿о, </] элементами, вектор-функция F(t, Л') непрерывна в области [toi*/] х Rn, V(t) — гг-мерный непрерывный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием.

Пусть U*(t) и X'(t), соответственно, векторы программного управления и состояния. Компоненты вектора U*(t) будем считать кусочно-непрерывными функциями с конечным числом известных точек разрыва первого рода, причем класс допустимых векторов управления предполагаем ограниченным некоторым числом Ми: ||[/|| < Мч.

Рассмотрим задачу стабилизации движения объекта вблизи программной траектории при наличии аддитивных неконтролируемых, но ограниченных по величине помех: || V(t)|| < а. Под стабилизацией понимается подача таких управляющих сигналов, что под их воздействием объект будет двигаться по траектории X(t), удовлетворяющей условию - A"ü < е.

Корректирующие управляющие сигналы должны формироваться на основании наблюдений за истинной траекторией объекта в некоторые моменты времени. Пусть т,- = [ti-\ + <i)/2, где {<,-} — точки разрыва системы ОБИФ ранга m, вектор состояния измеряется в точках т,- и ДХ(т,) = X(ri) - Х*(т{) — отклонения обекта от программной траектории. Будем считать, что наблюдения производятся с некоторой погрешностью 6. Тогда для п = к предлагаемый стабилизирующий регулятор состоит в коррекции управления по формуле U(t) = U*(t) -f ДU(t), где

m 1 ¡-1

AU(t) = 2 £ + (-1)''дад)], (13)

i=i щ j=1

h{ — длина г'-го интервала разбиения, a ¿>,(i) — i-я ОБИФ из рассматриваемого базиса.

Теорема 4.4.2. Если величины аддитивных помех в системе, аппроксимирующей систему (12), ограничены сверху величиной о, вектор-функция F(t,X) удовлетворяет условию Липшица по векторной переменной X с некоторой постоянной L, а аппроксимационная система строится так.

что для максимального шага разбиения Лтах < 2/L, то под воздействием векторов управления, формируемых по формулам (13) на основе 6-приближенаой информации, векторы состояния аппроксимационной системы будут находится в е-окрестностях программных траекторий при е = (^Лтах + 2(2т - 1)6)/(2 - Lhmax).

При k < п в формулах (13) вместо fif1 = В'1 (п) следует использовать псевдообратные матрицы (BjBi)~lBj. Учитывая минимальные свойства обобщенных решений, получаемых с помощью псевдообратных матриц, можно ожидать достаточно эффективной работы такого регулятора. Обсуждается также возможность применения построенного регулятора непосредственно к непрерывной системе, что возможно лишь при некоторых дополнительных ограничениях на систему.

Заключение

В работе разработана методика подсчета е-емкостей проекционных методов решения широкого класса прикладных задач и установлены приемы, позволяющие уменьшать емкость проекционных алгоритмов. Основным приемом является смешанная аппроксимация многоэтапных задач, основанная на оптимизации процесса прохождения каждого этапа с помощью установленных оптимальных по порядку емкости алгоритмов решения более простых задач. Разработаны новые подходы к решению некоторых важных задач теории идентификации. Оптимизированы спектральные методы анализа, синтеза и идентификации нестационарных линейных систем управления.

Основными результатами работы являются:

— Методика оценивания б-емкостей вычислительных алгоритмов и подходы к оптимизации проекционых алгоритмов по емкости.

— Разработка и обоснование методов смешанной проекционной аппроксимации систем, описываемых интегральными уравнениями 2 рода с неточно заданной информацией.

— Разработка и обоснование методов гарантированной идентификации нестационарных систем.

— Разработка и обоснование методов смешанной проекционной и смешанной обобщенной проекционной идентификации нестационарных систем.

— Подходы к оптимизации проекционных методов решения различных задач теории автоматического управления для линейных нестационарных систем.

Основные публикации по теме диссертации:

1. Лапин C.B. Соотношения между модулями непрерывности в различных симметричных пространствах и некоторые теоремы вложения // Докл. АН СССР. - 1981. - Т.257. - N5. - С.1060-1064.

2. Lapin S.V. Imbedding theorems for generalised Holder classes of one variable // Analysis mathematica. - 1985. - V.U. - N1. - P.29-54.

3. Лапин C.B. Обобщенный спектральный метод сжатия информации в нелинейных нестационарных системах / Проблемы создания и использ. отраслевых информац. -диспетчерских систем на основе компьютеризации и перспект. средств связи. Тезисы докладов Всесоюзной НТК. - М., 1988. - С.34-35.

4. Лапин C.B., Твердов Б.И., Николаенко С.И. Спектральные методы описания и исследования непрерывно-цифровых нелинейных систем / 33 Intern. Wissenschaftliches Kolloquium. Posterbeitrage Cl. - Ilmenau, DDR, 1989. - P.55-58.

5. Егупов Н.Д., Лапин C.B., Николаенко С.И. Описание и статистическое исследование одного класса дискретно-непрерывных нелинейных нестационарных систем / Математич. алгоритмич. и технич. обеспечение АСУ ТП. Тезисы докладов IY Всесоюзн. НТК. - Ташкент, 1988. -С.45-46.

6. Егупов Н.Д., Лапин C.B. Об оценках погрешности приближенного метода решения дифференциальных уравнений с помощью матриц интегрирования и умножения в некоторых ортонормярованных базисах / Современные проблемы теории функций. Тезисы докл. Всесоюзн. школы-конференции. - Баку, 1989. - С.45.

7. Лапин C.B. Об особенностях выбора базиса при спектральном методе исследования систем с аналитическими нелинейностями / Автоматизация исследования, проектир. и испытаний сложных технич. систем. Тезисы докл. Всесоюзн. НТК. - Калуга, 1989. - С.145-146.

8. Егупов Н.Д., Лапин C.B. Численный метод решения систем нелинейных дифференциальных уравнений с помощью разложения в ряды по системе Уолша // Конструирование алгоритмов и решение задач математической физики. - М.: ИПМ АН СССР. - 1989. - С.174-178.

9. Егупов Н.Д., Лапин C.B., Николаенко С.И. Спектральные методы построения моделей и исследования одного класса нелинейных систем с переменными параметрами // Автоматическое управление объектами с переменными характеристиками. - Новосибирск, 1989. - С.41-47.

10. Егупов Н.Д., Лапин C.B. Нахождение оптимальных управлений многосвязных непрерывных нелинейных систем с помощью разложений по кусочно-постоянным функциям / Управление многосвязными системами. Тезисы докл. YI Всесоюзн. совещания. - М., 1990. - С.69-70.

11. Иванов В.В., Карунин A.JL, Кретов А.В., Лапин С.В. Совершенствование элементов конструкций автомобиля с использованием метода Бубнова / Динамика и прочность автомобиля. Тезисы докл. IY Всесо-юзн. научнно-технич. совещания. - М., 1990. - С.101.

12. Егупов Н.Д., Лапин С.В. Синтез приближенных оптимальных управлений сложных механических систем с использованием ортогональных систем кусочно-постоянных функций / Управление в механических системах. Тезисы докладов Седьмой Всесоюзн. конференции. - Свердловск, 1990. - С.39.

13. Карунин А.Л., Кретов А.В., Лапин С.В., Жаров В.Н. Идентификация машиностроительных конструкций в процессе математического моделирования с использованием многочленов Чебышева // Совершенствование эксплуатационных свойств автомобиля. Межвузовск. сб. научных трудов. - М: МАМИ. - 1990. - С.110-117.

14. Лапин С.В. Синтез приближенных оптимальных управлений системами с полиномиальными нелинейностями с помощью разложений по блочно-импульсным функциям // Математич. моделирование. - 1991. -Т.З. - No 2. - С.92-107.

15. Лапин С.В. Спектральный метод расчета квазиоптимальных управлений системами гиперболического типа // Известия ВУЗов. Электромеханика. - 1991. - No 5. - С.47-51.

16. Егупов Н.Д., Лапин С.В., Белов А.А. Приближенное решение обратных задач математической физики с помощью разложений по ортогональным многочленам / Некорректно поставл. задачи в естественных науках. Тезисы докл. междунар. конф. - М., 1991. - С.132.

17. Lapin S.V. Computer-aided process of identification of continuous non-linear systems / Computer Aided Design in Control Systems. Book of Abstracts of 5th IFAC/IMACS Symposium - Swansea, UK. - 1991- P.63.

18. Egupov N.D. and Lapin S.V. Application of orthogonal polynomials to problems of automatic control / Book of Abstracts of 7 Simposium Sobre Polinomios Ortogonales y Applicaciones. - Granada, Spain, 1991. - P.17.

19. Lapin S.V. Identification of time-varying non-linear systems using Chebyshev polynomials / Book of Abstracts of 7 Simposium Sobre Polinomios Ortogonales y Aplicaciones. - Granada, Spain, 1991. - P.35.

20. Лапин С.В. Оценки погрешности приближенного решения задач оптимального управления по методу Ритца-Галеркина // Конструирование алгоритмов и решение задач математич. физики, - М.: ИПМ АН СССР. - 1991.- С. 131-135.

21. Egupov N.D. and Lapin S.V. Determinant and statistical analysis of linear time-varying systems via block-pulse functions // Int. J. Systems Sci. -1992. - V.23. - No.7. - P.1213-1227.

22. Lapin S.V. and Egupov N.D. Analysis of continuous time-varying nonlinear systems using block-pulse expansions // Int. J. Systems Sei. - 1992. -V.23. - No.7. - P.1201-1212.

23. Егупов Н.Д., Лапин C.B. Идентификация нестационарных систем управления с помощью разложений по блочно-импульсным функциям // Труды МГТУ. - 1992. - No.558. - С.55-73.

24. Егупов Н.Д., Лапин C.B. Анализ непрерывных нестационарных систем с помощью разложений по блочно-импульсным функциям // Труды МГТУ. -1992. - No.560. - С.53-72.

25. Лапин C.B. Кусочно-постоянная стабилизация систем, линейных относительно управления // Автоматика и телемех. - 1992. - No.6. -С.37-45.

26. Lapin S.V. Numerical solving of some inverse problems for distributed parameter systems / Innovative Methods in Numerical Analysis. Book of Abstracts of Int. Conf. - Bressanone, Italy, 1992. -P.24-25.

27. Лапин C.B., Степанов C.E., Степович M. А. Разработка устойчивых методов идентификации применительно к задаче определения электрофизических параметров полупроводников по спектрам катодолюминесцен-цнн / Тезисы докл. YII Симпоз. по растровой микроскопии и аналитич. методам исследования твердых тел. - Черноголовка, 1993. - С.92.

28. Егупов Н.Д., Лапин C.B., Степович М.А., Степанов С.Е. Проверка корректности математических моделей, описывающих зависимость интенсивности катодолюминесценции полупроводников от энергии электронов пучка / Приборостроение-93 и новые информационные технологии. Материалы научно-технич. конф. с международным участием. - Николаев, Украина, 1993. - С. 18.

29. Лапин C.B. Восстановление сигналов и их производных по дискретным измерениям с помехами / Приборостроение-93 и новые информационные технологии. Материалы научно-технич. конф. с международным участием. - Николаев, Украина, 1993. - С. 19.

30. Егупов Н.Д., Лапин C.B., Степович М.А. Разработка некоторых численных методов идентификации, устойчивых к малым возмущениям / Контроль и управление в технических системах. Тезисы 2:й научно-техн. конф. стран СНГ. - Винница, Украина, 1993. - С.25-26.

31. Лапин C.B. Применение кусочно-постоянных разложений к задачам анализа, идентификации и синтеза систем управления / Контроль и управление в технических системах. Тезисы 2-й научно-техн. конф. стран СНГ. - Винница, Украина, 1993. - C.27-2S.

32. Лапин C.B. О применении матричных операторов в спектральных методах исследования линейных систем // Труды МГТУ. - 1993. -No.564. - С.3-15.

33. Lapin S.V. Identification of time-varying nonlinear systems using Chebyshev polynomials // J. Computat. and Applied Mathematics. - 1993. -V.49. - P.121-126.

34. Лапин C.B. Рациональные подходы к численной идентификации гладких систем с распределенными параметрами / Автоматика-94. Те-зи допов1дей 1-й Украшська конф. з автоматичного керувапня. - Кшв, Украина, 1994. - Частина 1. - С.153.

35. Егупов Н.Д., Лапин C.B., Степович М.А. Спектральные методы идентификации гладких нелинейных элементов и их приложение к задачам полупроводниковой оптоэлектроники / Автоматика-94. Тези до-повдай 1-й Украшська конф. з автоматичного керування. - Кшв, Украина, 1994. - Частина 1. - С. 137.

36. Лапин C.B. Оптимальные по емкости способы аппроксимации, хранения и восстановления гладких сигналов, полученных по дискретным измерениям с помехами // Труды МГТУ. - 1994. - No.565. - С.23-31.

37. Lapin S.V. Application of piecewise-constant orthogonal functions to problems of analysis, identification and control for nonlinear system / Proceedings of the First Asian Control Conf. - Tokyo, Japan. - 1994.- V.l. -P.41-44.

38. Лапин C.B., Степанов C.E., Степович М.А. Оптимизация методов обработки, хранения и восстановления экспериментальных данных и их использование в некоторых задачах электронного материаловедения / Актуальные проблемы электронного приборостроения. Труды 2-й Ме-ждунар. НТК, - Новосибирск, Россия, 1994. - С.144-146.

39. Лапин C.B. Оптимизация проекционных методов численного решения некоторых задач оптимального управления / Приборостроение-94. Материалы научно-технич. конф. с международным участием. - Симферополь, Украина, 1994. - С.102.

40. Ладин C.B. Емкость проекционных алгоритмов и некоторые подходы к ее снижению / Автоматизация исследования, проектирования и испытаний сложных технических систем и технологических процессов. Тезисы докладов Российской научно-техн. конф. - Калуга, 1994. - С.109.

41. Лапин C.B. Идентификация нестационарных элементов математических моделей с использованием регуляризованного метода наименьших квадратов // Труды МГТУ. - 1995. - No.566. - С.110-121.

42. Лапин C.B. Оптимизация по емкости проекционных методов решения интегральных уравнений / Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ. Тезисы докладов международной конференции. - Москва, Россия, 1995 г. - С.172-174.