Оптимизация проекционных методов решения линейных операторных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

На правах рукописи

АХМАДИШИНА Фарида Камиловна

ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЕКЦИОННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01. 01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1993

Диссертация выполнена на кафедре теории функций и приближений Казанского ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственного университета имени В.И.Ульянова-Ленина

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, цроф. ГАБДШАЕВ Б.Г.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, 30Л0ТАРЕВСКИЙ В. А.

кандидат физико-математических наук ХАЙРУЗШШ A.M.

Ведущая организация: Одесский государственный

университет

Защита состоится " Я5"" с^^рсил, 1992 г. в 14 часов на заседании специализированного Совета по математике В К 053.29.05 в Казанском ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственном университете имени В.И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г. Казань, ул. Ленина, 18, корпус 2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета г. Казань, ул. Ленина, 18 .

Автореферат разослан

"¿5"" JUxift^ju 1992, Г. "

Ученый секретарь

специализированного Совета^^- ~

профессор Б'Я«^11^03

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. К настоящему времени для щзиблияеиного решения различных математических задач созваны многочисленные штоды, среди них большое значение имэют проекционные. Они оказались эффективными для решения многих теоретических и прикладных задач механики, физики и техники. Особенно хорошо разработаны проекционные метода решения интегральных и дифференциальных уравнений.

Теоретическому обоснованию приближенных методов и их приложений посвящены многие рабом. Здесь исключительно ванна созданная в 1948 г. Л.В.Канторовичем ) общая теория приближенных ьвтодов. Развитие этой теории и другие основанные на функциональном анализе варианты общей теории имеются в работах С.Г.Мнхлина, М.А.Красносельского, Б.Г.Габдулхаева, Польского, И.К.Даугавета, Г.М.Вайникко, М.К.Тавурина, В.И. Лебедева, А .Ю.Лучки, С.Н.Слугина и др.

Задача сравнительного анализа имеющихся приближенных методов и поиск оптимальных в том или ином смысле приближенных методов привели к созданию различных концепций оптимальности. Первоначальная постановка проблема оптимизации принадлежит-А.Н.Колмогорову и А.Г.Витушкяну. В дальнейшей различншл вопросам оптимизации вычислительных мзтодоз посвящено значительное число исследований. Эти результаты содержатся в работах К.И.Бабенко, Н.С.Бахвалова, Е.Г.Дьяконова, В .В.Иванова, Я.П. Корнейчука, Н.М.Коробова, В.И.Лебедева, Г.И.Марчука, С.М.Еи-кольского, 0,1.Соболева, А.Г.Сухарева, В.Д.Чарушникова, СТ.В. Переверзева и др. В связи с созданием и разработкой общей теории оптимальных конечномерных аппроксимаций решений операторных уравнений следует особо отметить исследования к.г. Габдулхаева 2) и других представителей Казанской гаколы теории

Канторович Л.В., Ашов Г.П. Функциональный анализ. - : Наука, 1977, - 742. с.

Габдулхаез Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. - Казань:Изд-во Каз. ун-та, 1980, - о.

аппроксимации функций.

Представляются актуальными разработка теории уже введенных понятий оптимальности и создание новых методов получения оценок погрешности проекционных методов решения операторных уравнений. Эти воцросы находятся в основном русле развития совремэнной общей теории приближенных методов. Здесь возникают интересные к важные для приложений задачи.

Цель работы:

а) поиск новых критериев оптимальности проекционных методов и конкретных приложений этих критериев, в частности, исследование оптимальности некоторых классических проекционных методов;

б) создание новых мэтодов получения оценок погрешности и их применение к конкретным классам уравнений;

в) построение новых оптимальных проекционных мэтодов. особенно оптимальных по точности и асимптотически оптимальных, а также 'оптимальных по точности в смысле невязки и асимптотически оптимальных в смысле невязки.

Методика исследований. В работе систематически используются методы теории линейных операторов, конструктивной теории функций, общей теории приближенных методов и вариационного исчисления. № постоянно опираемся на полученные нами представления приближенного решения и нормы проектора.

Научная новизна.

а) получены формулы душ представления приближенного решения;

б) разработан новый метод получения оценки погрешности Приближенного решения проекционного метода. В связи с этим введены и изучены числа оптимальности и оптимальности в смысле невязки;

в) предложены ноше критерии оптимальности проекционных методов;

г) получен аналог принципа сжимшцих отображений для ме-

тода Галеркина в гильбертовом пространстве. Усилены ранее известные результаты об оптимальности по точности проекционного метода Галеркина для уравнений с положительным оператором и о монотонных операторах;

д) ослаблены предположения в известном достаточном критерии сходимости приближенного решения к точному^;

е) указаны способы построения оптимальных в различных смыслах проекционных методов.

Решенные в работе задачи входят в научные исследования кафедры теории функций и приближений № госрегистрации 01860120665.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты и методы диссертации могут найти применение в общей теории приближенных методов и при решении конкретных прикладных задач с помощью проекционных методов, для построения оптимальных по точности проекционных методов решения различных классов дифференциальных и интегральных уравнений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на итоговых научных конференциях КГУ 1989-1992 годов, на заседаниях семинара "Теория аппроксимации и ее приложения" при Казанском университете в 1969-1992 годах, на республиканской конференции "Интегральные уравнения в прикладном моделировании" в городе Одессе в 1989 году, на республиканской конференции "Экстремальные задачи теории приближе -ний и их приложения" в городе Киеве в 1990 году, на 6-ой Са -ратовской зимней школе по теории функций и приближений в 1992 году, на Международной Конференции, посвященной 200-ле -тию Н.И.Лобачевского, в городе Казани в августе 1992 года.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3 статьях автора.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых .на II параграфов, и списка литературы. ■ Общий объем работы - 77 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДОСЕРТА^Щ

Перейдем теперь к подробному описанию результатов диссертации .

Во введении обосновывается тема исследования, приводится обзор содержания диссертации и кратко излагаются основные результаты .

Первая глава (§§ 1-6) посвящена общей теории проекционных методов решения операторных уравнений в нормированных • пространствах.

В § I приводятся основные определения и формулировки задач.

Пусть и У - нормированные пространства, для Х^ и У^ - их п. -мерные подпространства соответственно, К - линейный инъективный оператор из ЭС в У , Р^ - линейный оператор в У с областью значений У^ . Рассмотрим уравнения:

равнение (I) называется точным, а его решение, если оно существует, точным решением и обозначается х*. Сравнение (2) называется приближенным, а его решение, если оно существует, приближенным и обозначается х* . Последовательность уравнений (2) называется проекционным методом решения уравнения (I) , заданным подпространствами ОСп и операторами Р^ (или просто проекционным методом).

1.1. Опре деле ние. Проекционный метод называется оптимальным по порядку, если уравнение (2) однозначно разрешимо для всех /ъ , начиная с некоторого п^ , для всех и существует ограниченная последовательность И^ такая, что

Кос = ^ (хьОС, у € У)г

(2)

(I)

II

<с М^ у£ЗпК). (я;

- я -

Гздеоь Е„„(х*)= {«х* гн|г

Если можно взять МЛ_= 1 , то проекционный метод называется оптимальным по точности.

Если можно взять последовательность Мп, . стремящуюся к 1, то проекционный метод называется асимптотически оптимальным.

1.2.0 пределение. Проекционный метод называется оптимальным по порядку в смысле невязки, если уравнение (2) однозначно разрешило для всех IV, начиная с некоторого ^ , для всех У и существует ограниченная числовая последовательность такая, что

ц- У/ (4)

(Здесь = * "Г Кгн| ^Х^}).

Если можно взять последовательность 4 , то проек-

.ционный метод называется оптимальным по точности в смысле невязки.

Если можно взять последовательность , стремящуюся к 1, то проекционный метод называется асимптотически оптимальным в сшсле невязки.

Представляет интерес нахождение наименьшей из констант ^ такой, что выполняется (3) , а также наименьшей из констант К-п, такой, что выполняется (4) . Эти наименьшие константы ш обозначим ¿л, и/Зп, взываем соответственно -ым числом оптимальности проекционного метода и л—ым числом оптимальности в смысле невязки проекционного метода).

В § 2, носящем вспомогательный характер, приводится простое необходимое и достаточное условие однозначной разрешимости приближенного уравнения.

2.1. Те о р е м а. Пусть . Тогда для однозначной

разрешимости уравнения (2) при любом у б "У" необходимо и достаточно выполнение условия

В § 3 представление приближенного решения, полученного в

§ 2, изучается более подробно и выводятся две формулы для приближенного решения.

3.1. Те о р е м а. Пусть п-е^/" и выполнено условие (5) . Тогда решение уравнения (I) и решение уравнения (2)

связаны формулой

^--КЧ^х* (уеЭгк. К), (9) где Q^ - проектор в Y такой, что

^Q^KX^, сто)

3.2. Те ope н.а. Пусть r^tj^ и выполняется условие (5). Тогда для любого у € CfnvK точное и црибдиженное решение

связаны формулой

где о„, - проектор в

X

такой, что

Obn.S^K-UTto.pj. ад

С использованием формул (9) и (XQ) доказываются следующие две теоремы.

3.5. Теорема. Пусть tbej/~ и выполнено условие (5Л

Тогда

* и ix - sj н.

Кроме того, если X - пространство со скалярным произведением, то

= иГх- S*\\.

3.6. Те ope,м а. Пусть tv&J/ и выполнено условие (5.).

Тогда

^ 4 "II Jy-(?„?//.

1фоме того, если У - пространство со скалярным произведением, то

IIТу - Q*i\.

Следующие результаты § 4 могут быть использованы для оценки погрешности.

4.1. Те о р е ма. Пусть Положим

^{uxiiJxtX^, РюКх€ f>,KUJ.J, (32)

где Ldi - единичный шар в -X . Тогда если f->n, + , то для любого 1У решение уравнения (2) существует, единственно и верна оценка погрешности

П X*- xjtn ¿(j4n.fi)' E^ix,*) <уб ЭпъХ). (33)

К£омэ того, проекционный мэтод будет- оптимальным по порядку тогда и только тогда, когда для некоторого натурального числа jbj

JUn* < + _ "-г п.1

4.2. Те op е ма. Пусть п, €_//". Положим

iufiiBKxIll.XtX^, Р^КхОР» UlJ, (35)

где Ы^, - единичный шар в V . Тогда,если < + <="° , то для любого ^ € У решение уравнения 0 существует, единственно и верна следующая оценка погрешности

ну - Кх£|/ ^ (fa + v- (36)

Кроме того, проекционный штод будет оптимальным по порядку в смысле невязки тогда и только тогда, когда для некоторого

натурального числа n-f

Приведем один из примеров применения Теоремы 4.1. 4.5. Пример. Пусть Х = У- гильбертовы пространства и HI- К Ii < i . Если- Х^ (скпъХ^=п.) - последовательность подпространств пространства X . то метод Галеркина , заданный подпространствами ЭС^, , будет оптимальным по порядку и верна следуодая оценка погрешности

•*!| i

1- lir-KII

В §5 получено обобщение одного результата монографии 3) . 5.2. Те о р е м а. Пусть rvej/" и выполнено условие

= "(I-P,JjKXJI < 1. Щ

Тогда уравнение (2) однозначно разрешимо для любого у € У и верна следующая оценка погрешности

uy-Kx*fi4 (1+ и PJL у

4 ^ и

//X*-- X * Ii i II Kll - . F^ix-*).

В § б изучается связь между применимостью и оптимальностью проекционного метода.

6.1.0 пределение. Проекционный метод называется применимым для решения уравнения (1) , если уравнение (2) однозначно разрешило для любого ^ е У и

1/х*"- ж*л—(п-»-»; (убУпьК).

6.5. Те о р е м а. Пусть У - банахово пространство,

- ГО -

иКХ„,=-У и каждый из операторов P^fi?^) является ограниченным. Тогда нримэнимостьпроекционного метода и его оптимальность по порядку в смысле невязки равносильны.

Во второй главе ( Я§ 7-II ) исследуются проекционные методы в пространствах со скалярным произведением.

В § 7 получена следующая формула для. нормы проектора.

7.1. Теорема. Пусть fi - пространство со скалярным произведением, Р - проектор в Ц такой, что Р*0 и . Тогда

II PH - _J_,

где j.= j u-p {| ( | х 6 От Р, ybOCwP, MXl l=liyil=iy.

В § 8 доказывается, что для пространств со скалярным произведением числа и ^ , определенные формулами 02) и (35); совпадают с п.-ым числом оптимальности п п--ым

числом оптимальности в сшсле невязки проекционного метода соответственно. Далее, в терминах чиселJ4„ и ^ получены необходимые и достаточные условия оптимальности в различных смыслах проекционного метода.

Приведем некоторые другие результант этого параграфа.

8.3. Теорема. Пусть X - пространство со скалярным произведением. Тогда для оптимальности по точности проекционного метода необходимо и достаточно, чтобы для некоторого натурального числа выполнялось условие

Х^±к-ЧэсииР„) m)

8.5. С л е дс твие. Пусть X = "У" - гильбертовы пространства, для n-ejy - ортопроектор на подпространство х„, , От. ц с ä(K*J и к* является инъективным оператором. Тогда проекционный метод, заданный следующей посыле дова тельное тью уравнений:

S^ К*К х^. = S». К^, (X.6XJ,

является оптимальным по точности в сшсле невязки. 8.7. Т е о р е м а. Пусть Положим

41ср { 1(Кх, 1 зс^Х«,, у £ ^д-Р^ нКх| 1*И#№}.

Тогда если ^ »то приближенное решение существует,

единственно и справедливо равенство 0«, =

г*»

В частности, цроекдаонный метод является оптимальным по порядку в сшсле невязки (по точности в сшсле невязки; асимптотически оптимальным в смысле невязки) тогда и только тогда, • когда для некоторого натурального числа п^ выполняются, соответственно, условия

п->

и,р < 1 ( С=<? (п-?^)', (.53)

В § 9 получено одно достаточное условие оптимальности в сшсле невязки проекционного метода. С его помощью предлагается следующий способ построения асимптотически оптимального в сшсле невязки цроекционного метода.

9.2. С л е д с т в и е. Пусть У - гильбертово пространство и выполняется условие

II -—О ( п. —*

Рассмотрим проекционный метод, задаваемый следующей последовательности) систем уравнений:

(здесь ^ - линейно независимые вектора в ¥„,). Тогда

этот проекционный метод будет асимптотически оптимальным в смысле невязки. .

В § 10 усилены результаты В.Д. Чарушникова / .

10.1. Т е о р е м а. Пусть X = У - гильбертовы пространства, К - положительный оператор в У с областью определения X . Тогда метод Галеркина решения уравнения (I) будет оптимальным по точности в пространстве (X, II ■Н1) , гдв

= (Кх,ЭС)Ь (X € X.).

Кроме того, если оператор К непрерывно обратим, то

Н х*-- х*ц • Е^х*) (уе7*ъК)

10.2. Теорема. Пусть - гильбертовы пространства, К и Т - положительные операторы в У с областью определения

X и существуют положительные константы С/ и ¿з такие, что

С<(Тх,х,) ¿(К^х; < (ссьХ).

Рассмотрим уравнение:

Гх = у (осех, у ¿у;

Тогда метод Галёркина решения уравнения (61) будет оптимальным по порядку в пространстве (Х; ¡1-!^ ) » при этом

«£*- < (чеУпьК);

ч

где X* - точное решение уравнения (6^ , а - Я'-ое приближенное решение метода Галеркина."

Чар,ушников В.Д. Опттнльныэ пргаблгтанные мгтода решения лпнейншс задаУ/Ддзйерегщ. уравнения. - 197Г. - Т. 7, й 2. - С. 344-35Г.

- ГЗ -

В § II приводится пример, показывающий, что из оптимальности метода Галеркина для двух уравнений, задаваемых соот -ветственно операторами £ и /гг, не следует его оптималь -ность для уравнения, задаваемого суммой К", + К^ , даже в случае, когда приближенное решение существует, единственно, и операторы fCt , и у- непрерывно обратимы.

Выделим осношые результаты диссертации, выносящиеся на защиту:

I. Получены формулы для представления приближенного решения.

П. Указаны новые методы нахождения оценки погрешности. Приведены примеры их применения для некоторых операторных уравнений.

Ш. Найдены новые необходимые и достаточные условия оптимальности в различных смыслах цроекционного метода. С их помощью указаны способы построения оптимальных по точности и асимптотически оптимальных в сшсле невязки проекционных методов.

IV. Ослаблена предположения в достаточном признаке ехо-дкмости Б.Г.Габдулхаева '.

V. Для. метода Галеркина получен аналог принципа сжимаю-, щнх отображений, а также усилены результаты В.Д.Чарушикова^:

Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю Билсуру Габдулхаепячу Габдулхаеву за постоянную поддержку и ценные обсуждения постановок задач и результатов диссертации.

РАБОТЫ АВТОРА, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

I. Ахмадишина Ф.К. Необходимое и достаточное условие оптимальности по точности проекционных методов решения операторных уравнений в пространствах со скалярным произведет:

ем//Экстр.задачи уеории приближения и их приложения. Тезисы докладов респуб.научной конференции,- Киев, 1990.

- С. II.

. Ахмадишина Ф.К. Необходимые и достаточные условия оптимальности проекционных методов реяения операторных уравнений и их приложения//Деп. в ВИНИТИ.- $ $491- В31т 09.У2.92.- 14 с. . Ахмадишина Ф.К. Об оптимальности'проекционных методов в пространствах со скалярным произведеннеы//Деп. в ВИНИТИ.

- Г2595-В92.- 11.06.92— 7 с.

Сдано в набор 13.01.93 г. Подписано в печать 12.01.93 г. Форм,бум. 60 х 84 1/16. Печ.л.1. Тираж 100. Заказ 8.

Лаборатория оперативной полиграфии КГУ 420008 Казань, Ленина, 4/5