Разработка и обоснование методов для решения обратных граничных задач теплообмена тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

СИДИКОВА Анна Ивановна

РАЗРАБОТКА И ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛООБМЕНА

01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 2 ЛЕК М

ЕКАТЕРИНБУРГ - 2010

004614881

Работа выполнена в ГОУ ВПО "Южно-Уральский государственный университет "па кафедре вычислительной математики

доктор физико-математических наук, профессор ТАНАНА Виталий Павлович

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, ДАНИЛИН Алексей Руфимович;

доктор физико-математических наук, профессор ЛЕОНОВ Александр Сергеевич.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН , г. Новосибирск

Защита диссертации состоится 9 декабря 2010 года, в 13 ч., на заседании диссертационного совета Д 004.006.04 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620990, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан 8 ноября 2010 г.

Научный руководитель -

Официальные оппоненты:

Ведущая организация -

Ученый секретарь диссертационного совета,-доктор физико-математических наук, / старший научный сотрудник / ..

Л.Д. Попов.

Общая характеристика работы

Объект исследования. Диссертация посвящена разработке, обоснованию и тестированию численных методов решения обратных граничных задач теплопередачи .

Актуальность темы. При математическом моделировании многих процессов и явлений, происходящих в природе и обществе, приходится сталкиваться с задачами, не удовлетворяющими условиям корректности Адамара . Основной трудностью решения таких задач является то, что их математическая модель и метод должны быть увязаны друг с другом. Поэтому, для их решения совершенно необходима разработка новых численных методов. Задачи, не удовлетворяющие условиям корректности, получили название некорректно поставленными и основы теории моделирования и решения таких задач были заложены в трудах академиков А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева и член-корр. РАН В.К. Иванова.

Особенностью некорректно поставленных задач является низкая точность их решения, которая обусловлена не только математической моделью и методом, но и самим явлением.

Поэтому, главным критерием при разработке методов решения таких задач становится оценка их точности. Для этих целей в трудах известных математиков A.J1. Агеева, В.В. Арестова, А.Б. Бакушинского, Г.М. Вай-никко, В.В. Васина, А.Р. Данилина, В.В. Иванова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева, A.C. Леонова, В.А. Морозова, В.Н. Страхова, В.П. Таианы, А.Н. Тихонова, A.M. Федотова, Г.В. Хромовой, А.Г. Яголы и др. разработана теория оценивания методов решения таких задач. Особое место среди методов некорректно поставленных задач занимают оптимальные, как самые точные, и близкие к ним оптимальные по порядку методы. Заметим, что при решении практических задач даже оптимальные методы не всегда выявляют особенности исследуемого явления. В таких случаях возникает необходимость в привлечении дополнительной априорной информации и в переопределении математической модели. Для работы с переопределенными системами необходима разработка новых численных методов.

Настоящая работа представляет собой продолжение исследований в этом направлении.

Цель работы.

Разработка методов регуляризации , исследование вопросов повышения их эффективности с помощью получения точных по порядку оценок погрешности этих методов и приложение их для решения обратных граничных задач теплообмена .

Численная реализация решения обратных граничных задач для уравнения теплопроводности.

Методы исследования. В работе используются методы математической физики и теории некорректных задач.

Научная новизна. Проведено аналитическое исследование для обоснования метода проекционной регуляризации применительно к решению обратных граничных задач для уравнения теплопроводности. Разработаны и обоснованы новые численные методы решения обратных граничных задач тепловой диагностики. На основе этих методов разработаны и реализованы на ЭВМ комплексы программ для решения обратных задач тепловой диагностики.

Теоретическая значимость. Разработана новая технология получения оценки погрешности при решении обратных граничных задач теплообмена. Получены точные оценки погрешности для методов проекционной регуляризации.

Практическая значимость. Основные результаты диссертационной работы имеют значение для строгого обоснования методов, используемых для решения обратных задач теплообмена.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на первой молодежной международной научной школе-конференщ "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (Новосибирск, 10-20 августа 2009 года), на второй молодежной международной научной школе-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач"(Новосибирск, 21-29 сентября 2010

года), на восьмой молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2009"(Казань, 1-6 ноября 2009 года), на "Первой конференции аспирантов ЮУрГУ"(апрель 2009 года), а также на научных семинарах кафедры вычислительной математики ЮУрГУ , научном семинаре кафедры вычислительной математики ЧелГУ, в Институте Математики и Механики УРО РАН на семинаре член-корр. РАН В.В. Васина.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в par ботах [1-10], список которых приведен в конце автореферата. Статья [1] опубликована в научном журнале "Сибирский журнал индустриальной математики статья [2] опубликована в научном журнале "Труды Института Математики и Механики УрО РАН" , статья [3] опубликована в научном журнале "Системы управления и информационные технологии" •, включенных ВАК в перечень журналов, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата и доктора наук.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, изложена на 146 страницах. Библиографический список содержит 157 наименований.

Содержание работы

Во введении приводится обоснование актуальности выбранной области исследования, сделан краткий обзор результатов, полученных другими авторами в области некорректных задач. Излагаются основные результаты диссертации.

В главе 1 рассмотрена задача вычисления значений неограниченного оператора Т

Tf = и, (1)

где / € F, и € U, Т : F —> U, а U-и F гильбертовы пространства.

Определение 1. Множество М С U будем называть классом корректности для задачи (1) , если сужение оператора Т на множество Т~1(М) равномерно непрерывно.

Предположим, что при / = /о элемент щ = Г/о принадлежит множеству М, но точное значение /о нам не известно, а вместо него даны элемент /5 € F и уровень погрешности 5 > О такие,что Ц/j — /о|| < 5.

Требуется по исходным данным задачи М, fs и <5 определить приближенное значение щ е U оператора Т и оценить его уклонение - ио|| на множестве М.

В дальнейшем предполагается, что М = Мт,

Мг = {и:и 6 R(T) П D(L), ||Lu|| ^ г},

где L— инъективпый линейный неограниченный оператор, действующий из пространства U в гильбертово пространство V, D(L)— область определения оператора L, а R{T)~ множество значений оператора Т, г— известное число.

Определение 2. Семейство { Ts : 0 < <5 < ¿о } линейных ограниченных операторов Tj, отображающих пространство F в U, будем называть методом решения задачи (1), если

Д4Гг]-+0 при ¿-»О, где А5[Т6\ = sup{||Tsfs - Т/о|| : /о € Т~\МГ), ||/, - /0|| < S}.

Один из способов задания метода заключается в использовании регу-ляризующего семейства {Та : а > 0}.

Обозначим через B[F,U] пространство линейных ограниченных операторов, отображающих F в U, а через Д^' величину

= inf{A,[P] : Р G B[F,U]}, где ДЛР] = sup{||T/0 - P/s|| : /0 6 Т~\МГ), ||- /0|| < 6}.

Определение 3. Метод { Ts : 0 < 5 < ¿0 } будем называть оптимальным по порядку па классе Мт, если существует число с такое, что для любого <5 € (0, ¿о]

Д,(Т,1 < cAf.

В параграфе 1.3 дано аналитическое исследование модели, описываемой уравнением

du(x,t) cPu{x,t)

, 0 < х < 1, í > О,

(2)

дЬ дх2

решение и(х,Ь) которого определено и непрерывно в замкнутой полосе [0,1] х [0, оо) и удовлетворяет следующим начальному и граничным условиям

и{х,0) = 0; 0 < а; < 1,

u(0,t) = h(t); t> 0

<9и(М)

дх

+ Ku(l,t) = 0; к > 0, f > 0,

(3)

(4)

(5)

где

A(t) € С2[0,оо), h{0) = Л'(0) = 0 (6)

и существует число ¿о > 0 такое, что для любого í > to

A(i) = 0. (7)

Решение задачи (2)-(5) существует, единственно и для него справедлива теорема.

Теорема 1. Пусть Ф(£) € С[0, оо) и ограничена на этой полупрямой.

Тогда справедливы соотношения

roo я Г /■»

jf u'x(x,t)<t>(t)dt = — j и(х,ф№

U о

f°° д2 f°° 1

В параграфе 1.5 методом, предложенным в [1], дано решение задачи восстановления непрерывной функции, заданной со среднеквадратичной погрешностью.

Глава 2 посвящена решению обратных граничных задач для уравнения теплопроводности.

В параграфе 2.1 рассмотрена обратная граничная задача для уравнения теплопроводности (2)-(4), в которой функция h(t) не известна и подлежит определению, а вместо нее в точке xi € (0,1) измеряется температура f{t) стержня, соответствующая данному процессу.

u{x\,t) - fa{t); t> 0. (8)

Пусть множество Мг определено формулой

Мт = | h(t) : h(t) S L2[0,oo), jf° \h{t)\2dt + jT°\h'{t)\4t < r2J. (9)

Тогда предположим , что при f(t) — fo(t), участвующем в условии (8), существует функция ho{t), принадлежащая множеству Мт, но функция /о(£) нам не известна, а вместо нее даны некоторая приближенная функция fs(t) е L2[0, оо) (™| Li[0, оо) и число <5 > 0 такие, что

Ш*)-/о(*)||<£ (Ю)

Требуется, используя исходные данные задачи fs(t), S и Мг, определить приближенное значение /^(f) задачи (2)-(5), (8) и оценить уклонение \\h - Mj/yo.oo).

Пусть H = Z>2[0, оо)+'¿¿2(0, оо), a F оператор, отображающий 1,2[0,00) в Я, и определяемый формулой

1 Г°°

F[h{t)] « -= / h(t)e~ÎTtdt; г > 0. (И)

Vn Jo

1. Васин В.В. Регуляризация задачи численного дифференцирования // Математические записки. 1969. Т.7. № 2. С. 29-33.

Из теоремы Планшереля следует изометричиость оператора Р, а из теоремы 1 применимость его к решению задачи (2}-(5), (8).

Таким образом, задачу (2)-(5), (8) сведем к задаче вычисления значений неограниченного оператора Т

Tf[r) = h(r), т> 0. (12)

где /(г) = F[f{t)}, h(r) = F[h(t)), а

Т f(T) = ch^oVr + QWT^KshfWr î,\ Из (10) следует, что

II/î(t)-/oMII < s. (13)

Из (9) следует, что при /(т) = /0(т) существует точное решение ho (г) задачи (11), которое принадлежит множеству Мт, определяемому формулой

ГОО

Мг

Щт) : h(r) € H, / (l+T2)|Mr)i2dr<r2}. (14)

J о

Требуется, используя /Дт), б и Мг, определить приближенное решение Н^т) задачи (12), (13) и оценить уклонение — /10||. Для решения этой задачи используем регуляризующее семейство операторов {Т„}, а > 0

¡Т/(т) ; т < а, Та/(т) = { - (15)

0 ; т> а.

В качестве приближенного решения задачи (12), (13) возьмем элемент Щ{т) — Та/б(т), в котором параметр регуляризации а(£,г) определим из уравнения

. Г = ех^5 . (16)

л/ГТ^5

Заметим, что метод {Та(^>г) : 0 < <5 < ¿о}, определяемый формулами (15) и (16), является методом проекционной регуляризации, предложенным в [2].

В главе 2 доказаны теоремы.

Теорема 2. Для любого в > 0 существует 5е > 0 такое, что для любого 5 € (0, <5е) справедливы оценки

л/1+а2(6, г) " 1 -где метод {7^,.) : 0 < 5 < <5£} определен формулой (15), (16).

Теорема 3. Метод {Та^,г) '■ 0 < 5 < ¿£}, решения задачи (12), (13) и, определяемый формулами (15) , (16) оптимален по порядку на классе М,- и для него справедлива оценка погрешности

А{[Га(^)]<У/2(1 + е) Д^-

Получены асимптотические оценки.

Теорема 4. Для любого г > 0 существуют числа ci(r), ci{r) >0 и Si < 1 такие, что для любого 5 € (0,Si) справедливы оценки

ci{r) In2 6 < Vl -} а2(6, г) < c2{r) In2 5.

Рассмотрим пространство Но = /^(^[О.оо)], где Р преобразование Фурье, определяемое формулой (11), и через Ь¿(т) обозначим элемент, определяемый формулой

115(т) =рг[Аг(г);Я0].

2. Иванов В.К., Васин В.В., Таиана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения// М.: Наука, 1978. 208 с.

Окончательно, решение hs(t) обратной задачи (2)-(5), (8) определим формулой

[ О ; о < г, t > t0.

При достаточно малом значении 5 справедлива оценка

ИМ*) - < л/2(1 + е) Л , Г... (17)

v'l + а2(о, П

Используя метод, изложенный в параграфе 1.5, среднеквадратичное приближение hg{t) решения задачи (2)-(5), (8) преобразуем в равномерное zs(t) и получим равномерную оценку погрешности.

Для этого используем регуляризующее семейство операторов {Гц : Р > 0}, определяемое формулой

Pph{t) = / ° h{t)up{t - T)dr, h(t) e L2[0, t0], Jo

a

- '

где 7 = I e ^dt.

Равномерное приближение (t) задачи (2)—(5), (8) определим формулой

Ф) = Р0(бМ1У>

где

«fl-^Йй. a rtfl- 2Г

Справедлива равномерная оценка

\Us{t) - Ло(011с[оЛ] <

где а(5, г) является решением уравнения (16).

В параграфе 2.2 обобщенным методом проекционной регуляризации, разработанным и обоснованным в работе [3] решена переопределенная обратная граничная задача для уравнения теплопроводности.

Приведем постановку этой задачи.

Пусть тепловой процесс описывается соотношениями (2)-(5). Причем, в формуле (4) функция h(t) не известна и подлежит определению, а в (5) число к также не известно.

Рассмотрим множество Мг С Ьг[0, оо) и определяемое формулой

ГОО ЛОО

Mr = {h{t) : h(t) G L2[0,oo); / h\t)dt + / [fc'(t)]aA < r2}.

J 0 J0

Будем предполагать, что искомая функция /i(i), используемая в (4) удовлетворяет условию

h(t) 6 Мг. (18)

Предположим, что при fo(t) и go{t) существует функция ho{t), удовлетворяющая условиям (6), (7) и (18) и такая, что при h(t) = ho(t) существует решение u(x,t) задачи (2)-(5), удовлетворяющее условиям

и{хъЬ) - /0(£) и u(x2,t) = g0{t)\ 0 < ц < х2 < 1, t > 0, (19)

но эти функции нам пе известны, а вместо них даны некоторые функции /¿М> 9s(t) € и число S > 0 такие, что

ШО - /o(0lli2[0lOû) + Ш*) - лЮНЦ«,) < S2. (20)

Требуется, используя исходные данные задачи 6, г, /¿(i) и gs(t) определить приближенное значение hs(t) и оценить его уклонение \\hs{t) ~ /io(î)||l2[o,oo) от точного значения hQ{t).

3. Талана В.П., Сидикова А. И. Об оптимальности по порядку одного метода вычисления значений неограниченного оператора и его приложения // Сиб. жури, индустр. матем. 2009. Т.12. № 3(39). С.125-135.

Применяя преобразование Р, определяемое формулой (И), сведем задачу (2)-(5), (18)—(20) к задаче вычисления значений линейного неограниченного оператора Т, действующего из пространства Я х Н в Н

км тг /с \ а^м /~(т) в- д(т) эЬ К

Кг) = ПЯтЫт)} --ВЪМХ2-Х1)^-' <21)

где = -~(1 + г), /(г) = и д(т) =

Из (19) следует, что

11/г(г)-/о(г)1|2 + ||^(г)-до(т)||2<^, (22)

а из (18), что при /(г) = /о(г) и §(г) = <7о(т) существует точное решение /го(т) задачи (21), которое принадлежит множеству Мт, определяемому

(14).

Требуется, используя /¿(г), ¿¿(г), <5 и Мг определить приближенное решение Ы{т) задачи (21), (22) и оценить уклонение ||Л<5 - Ло||.

Для решения этой задачи используем регуляризующее семейство операторов {Та : а > 0}

чм/м-гм /П^).«; г<а,

= < (23)

^ 0 , т> а.

В качестве приближенного решения (21), (22) возьмем элемент Щ(т) — [/<5(т)15<5(т)]I с котором параметр регуляризации а(5,г) определим из уравнения

л/1 + Л-Л = —г, (24)

со

где с— некоторая константа.

Заметим, что метод \Та(&,т) '■ 0 < < <5о} является обобщенным методом проекционной регуляризации, предложенным в [3]. Для этого метода справедлива оценка

Д«Рвдг)] < с 1п~2 5.

где Яо определено ранее.

Окончательное решение обратной задачи (2)-(5), (18)-(20) определим формулой

Используя метод, изложенный в параграфе 1.5 среднеквадратичное приближение hs{t) решения задачи (2)-(5), (18)-(20) преобразуем в равномерное и получим равномерную оценку погрешности.

В главе 3 приведено численное решение обратных граничных задач для уравнения теплопроводности в среде программирования Borland С-Н-(Builder 6), описанных во второй главе работы.

На основе метода проекционной регуляризации разработан алгоритм для решения обратной граничной задачи (2)-(4), (8)-(10) Описание алгоритма Исходные данные:

1. По 6% вычисляем среднеквадратичную погрешность 5, используя формулу

Для приближенного решения hs(t) справедлива оценка \\h(t) - Mi)И < с 1п~2

г, xu Т, t0, к € (0,-1, 0 = t0,tut2,...,tn=T, ti+1-ti = M, li = fs(ti), Ш, хг€(0,1), tQ Е (0,Т).

1

2. Функцию /¿(£) продолжаем на всю прямую (—оо,оо), используя формулу

т)ЛЪх

( 0 ; г<0и *>Т.

3. Применяя преобразование Фурье преобразуем в

1 /-00

-7= / ; г > О,

/ ; т < 0.

, у27Г

Л(г) =

4. Решая уравнение (16) определяем a(S).

5. Определяем 1®, используя формулу

hf\r)

ftoy/rch цйу/т + к sh ßo^/т

:Л(т), 0 < т < а(6),

(Хоу/тсЬ.(го{1 - x{)i/r + nsh.ßo(l -хг)\/т

Дол/М chJIoVM + tshfoy'jTf ^ < т < 0

Дал/[г1сЬр-0(1 - а:1),/|г| + «sh/Z0(l - Zi)\/R

0 , |r| > ä(d),

6. Применяем обратное преобразование Фурье F-1, получаем

7. Получение приближенного решения h^(t) обратной граничной задачи (2)—(4), (8)—(10)

fti(t)f 0<t<ta, | о , t < о, t > t0,

Контрольный пример

Для проверки алгоритма численного решения обратной граничной задачи, описанного выше, исследуем его на модельном примере

ЛоЮН -20Н)2 + 5; "РИ^М, (25)

0; при ¿6(1, с»),

Решая прямую задачу (2) - (5) методом разделения переменных при Ч*) = М*)> к = 0.1, х\ = 0.1, То = 1| Т == 20 и г = 4 получим, что

где

К

= ь(х,1) + 1 —--а

1 + к

ОО П=1

где А„—положительные решения уравнения tgЛ = — а

Ао(0.

"•(0 =

8

¿о

2АЗ-Л23т2Ап

Полагая, что относительная погрешность 5 = 1%, вносимая в исходные данные /0(4) с помощью генератора случайных чисел, определяем /г(4). Затем, используя алгоритм, описанный выше, находим hs(t).

На рисунке изображен график точного и приближенного решения задачи

5 4.5 4 3.5 3

I 2.5 2 1.5 1

0.5 0

-[ 1 1 !

г

/

; ! \

/ I 1 |

| 1 ] [\

: : 1 ! \

: 1 1 1 \\

| : ; : \

! .. _ .....г 1 ! 1 \

О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

1

5 — 1%— погрешность исходных данных.

Аналогичным образом, на основе обобщенного метода проекционной регуляризации разработан алгоритм численного решения переопределенной обратной граничной задачи для уравнения теплопроводности, который опробован на том же модельном примере.

Основные результаты диссертационной работы

На защиту выносятся следующие новые научные результаты

1. Разработан и обоснован метод проекционной регуляризации применительно к решению обратной граничной задачи для уравнения теплопроводности. Получены точные оценки погрешности этого метода.

2. Разработан и обоснован обобщенный метод проекционной регуляризации применительно к решению переопределенной обратной граничной задачи для уравнения теплопроводности.

3. Разработан метод перехода от среднеквадратичного приближения решения обратных граничных задач к равномерному приближению.

4. Проведено тестирование методов, разработанных в данной работе на модельных примерах обратных граничных задач тепловой диагностики с применением ЭВМ.

Публикации по теме диссертации

Статьи, опубликованные в научных журналах из списка ВАК

1. Танаиа В.П., Сидикова А.И. Об оптимальности по порядку одного метода вычисления значений неограниченного оператора и его приложения // Сиб. журн. индустр. матем. 2009. Т. 12. № 3(39). С. 125-135.

2. Танаиа В.П., Сидикова А.И. О гарантированной оценке точности приближенного решения одной обратной задачи тепловой диагностики // Труды Института Математики и Механики УрО РАН. 2010. Т. 16. № 2. С. 1-15.

3. Сидикова А.И. О приближенном решении одной обратной задачи тепловой диагностики // Системы управления и информационные технологии. 2010. № 1.1(39). С. 187-190.

Другие публикации

4. Танаиа В.П., Сидикова А.И. О приближенном решении одной обратной задачи // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. 2008. Вып. 1. № 15(115). С. 81-88.

5. Танаиа В.П., Сидикова А.И. О гарантированной оценке точности приближенного решения одной обратной задачи тепловой диагностики в неоднородной среде // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. 2009. Вып. 1. № 17(150). С. 104-115.

6. Сидикова А.И. Об оценке точности приближенного решения одной обратной граничной задачи для параболического уравнения // Известия ЧНЦ УрО РАН. 2008. Вып. 3(41). URL: http://csc.ac.ru/ej/issue/ru.

7. Сидикова А.И. Об оптимальности по порядку метода проекционной регуляризации при решении обратной задачи тепловой диагностики // Известия ЧНЦ УрО РАН. 2009. Вып. 4(46). URL: http://csc.ac.ru/ej/issue/ru.

8. Сидикова А.И. Об оценке погрешности приближенного решения одной переопределенной задачи тепловой диагностики // Известия ЧНЦ УрО РАН. 2010. Вып. 1. URL: http://csc.ac.ru/ej/issue/ru.

9. Танаиа В.П., Сидикова А.И. Об оценке точности решения задачи тепловой диагностики в неоднородной среде // Тез. Межд. школы-конф. "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач". Новосибирск. 2009. С. 102.

10. Сидикова А.И. Об одном обобщении метода проекционной регуляризации // Тез. восьмой молодежной научной школы-конф. "Лобачевские чтения-2009". Казань. 2009. Т.39. С. 337.

Введение

1 Исследование основных математических моделей и методов

1.1 Постановка задачи вычисления значений неограниченного оператора и обобщенный метод проекционной регуляризации.

1.2 Исследование решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом

1.3 Исследование решения смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности с постоянным коэффициентом.

1.4 Изометричность преобразования Фурье на полупрямой [0, оо).

1.5 Решение задачи восстановления непрерывной функции, заданной со среднеквадратичной погрешностью

1.6 Введение в проблему

2 Обратные задачи теплообмена

2.1 Об оценке точности приближенного решения обратной смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности с постоянным коэффициентом.

2.2 Об оценке погрешности приближенного решения одной переопределенной обратной задачи тепловой диагностики

2.3 Об оценке точности приближенного решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом.

3 Численное решение обратных задач теплопроводности

3.1 Численное решение обратной смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности с постоянным коэффициентом.

3.2 Численное решение переопределенной обратной граничной задачи для уравнения теплопроводности

Многие задачи математической физики, возникающие в приложениях, не являются корректно поставленными по Адамару [138, 139], т.е. не удовлетворяют трем условиям корректности: существования решения, его единственности и непрерывной зависимости от исходных данных. Следствием этого является непригодность для их решения традиционных методов, сводящихся к обращению оператора задачи. Такие задачи получили название некорректно поставленные и математики ими долгое время мало интересовались, считая их непригодными для практики.

Впервые практическую ценность таких задач заметил А.Н. Тихонов в известной работе [124]. Кроме того, в данной работе была дана постановка условно-корректной (некорректной) задачи, сыгравшая значительную роль в развитии теории и приложений таких задач.

В вопросах постановки некорректных задач, а также разработке специальных методов для их решения, основополагающее место занимают работы Тихонова А.Н. [124]—[126], Лаврентьева М.М. [63]— [66] и Иванова В.К. [46]—[48], [53]. Дальнейшее развитие этой теории было связано с работами А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова, а также их учеников и последователей В.Я. Арсенина, А.Л. Агеева, A.B. Бакушинского, А.Л. Бухгейма, Г. М. Вайникко, Ф.П. Васильева, В.В. Васина, В.А. Винокурова, A.B. Гончарского,

В.Б. Гласко, А.Р. Данилина, A.M. Денисова, Е.В. Захарова, В.Е. Дмитриева, С. И. Кабанихина, A.C. Леонова, O.A. Лисковца, И. В. Мельниковой, Л.Д. Менихеса, В.А. Морозова, А. И. Прилеп-ко, В.Г. Романова, В.Н. Страхова, В.П. Тананы, A.M. Федотова, Г.В.Хромовой, A.B. Чечкина, А. Г. Яголы и многих других математиков [2]—[32], [34]—[42], [78]—[81], [84]-[88], [90], [97]-[101], [Ю2]-[129], [132] и [135].

К настоящему моменту, теория некорректно поставленных задач стала одним из основных направлений современной прикладной математики, которое, бурно развиваясь, находит все новые и новые приложения в естествознании и технике.

Современное состояние теории некорректных задач на сегодняшний день в какой-то степени отражено в известных монографиях М.М. Лаврентьева [63], А.Н. Тихонова и В. Я. Арсенина [127], Р. Латтеса и Ж.Л. Лионса [69], В. К. Иванова , В.В. Васина и В. П. Тананы [49], В.А. Морозова [85], М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова, С. П. Шишатского [67], О. А. Лисковца [74], В.П. Тананы [110], В.В. Васина и А. Л. Агеева [26], Г. М. Вайникко [17], A.M. Федотова [132], А.Н. Тихонова, A.B. Гончарского , В.В. Степанова и А. Г. Яголы [129], С.И. Кабанихина [58] и многих других. Большое количество монографий говорит о зрелости соответствующего направления математики. За рубежом значительный вклад в данную теорию внесли следующие математики : Franklin J.N. [136], Gullum J.[137], Miller К. [146], Phillips D.L. [147], Melkman A. , Micchelli C. [143].

При решении обратных и некорректно поставленных задач важное место занимает математическое моделирование, более адекватно отражающее суть изучаемого процесса или явления. Это приводит к необходимости использования более сложных моделей, учитывающих неоднородность изучаемого объекта, его взаимодействие с окружающей средой, нелинейность теплового процесса, а также многие другие моменты. Для численного решения некорректно поставленных обратных задач требуется разработка специальных методов , демонстрирующих высокую точность. Особое место, в связи с этим, занимает теория оценивания методов решения некорректно поставленных задач, а также получение точных и точных по порядку оценок погрешности приближенных решений.

Для окончательного решения той или иной некорректной задачи важное место занимает разработка комплекса программ на основе предложенных численных методов. Этот комплекс должен быть достаточно простым для использования. Стандартные программы, используемые в нем не должны портить точность методов. Этот комплекс должен быть опробован на достаточном числе модельных примеров.

В теории некорректно-поставленных задач можно выделить три основные направления:

1. Теория регуляризуемости, связанная с проблемой существования метода решения той или иной задачи. Решение этой проблемы позволяет отсеять тот класс задач "абсолютно некорректных за решение которых бесполезно браться, кроме того, данные исследования позволяют для некоторых "трудных"задач предложить новые, нетрадиционные методы их решения и тем самым еще глубже проникнуть в тайны этого явления, называемого некорректностью. В известной работе Винокурова В.А. [34] было замечено, что далеко не все задачи регуляризуемы, т. е. решаемы. Например, уравнение

Аи = /, А е {и даже в случае линейного непрерывного оператора А, отображающего банахово пространство II в банахово пространство .Р, и имеющего неограниченный обратный А~г, нерегуляризуемо, если U— несепарабельно, а F— сепарабельно. Общая постановка проблем, связанных с этим направлением и их решение принадлежит Винокурову В.А. и Менихесу Л.Д. [34]—[36].

2. Конечномерная аппроксимация регуляризующих алгоритмов.

Практическая реализация основных методов решения некорректных задач, таких как метод регуляризации Тихонова А.Н. [126], метод Лаврентьева М.М. [63], метод квазирешения Иванова В. К. [46] и метод невязки [48] невозможны без использования ЭВМ. Для этого требуется замена исходной (бесконечномерной) задачи некоторой конечномерной. При этом указанная замена не должна испортить сходимость регуляризованных решений к точному. Исследованию этого вопроса посвящено большое число работ. Среди этих работ отметим [2], [25], [26], [27], [49], [86], [88], [110], [115], [116] и многие другие.

3. Построение эффективных методов решения некорректных задач.

Основополагающие работы в этом направлении принадлежат Тихонову А.Н. [126], Лаврентьеву М.М. [63] и Иванову В.К. [46, 48]. В них были сформулированы основные принципы регуляризации и предложены некоторые методы, исследование которых продолжаются по настоящее время. Затем Бакушинским A.B. [13] был предложен один общий прием построения регуляризующих алгоритмов. Начиная с этой работы, в теории некорректных задач появилась некоторая неопределенность, которая заключалась в том, что для решения одной и той же задачи в арсенале имелось много методов для ее решения. Поэтому дальнейшие исследования в теории некорректных задач были связаны с созданием объективных количественных характеристик точности для методов регуляризации и на их основе сравнение методов. Здесь одним из основных являлся вопрос о выборе параметра регуляризации, решение которого Иванова В.К. [48] и Морозова В.А. [86] привело к созданию принципа невязки, сыгравшего большую роль в развитии теории некорректных задач. Затем в работах Иванова В.К. и других [49] появились исследования равномерной регуляризации на некоторых классах решений, которые дали возможность оценить погрешность различных методов регуляризации. Это позволило определить оптимальный метод, как самый точный среди всех . Исследования, связанные с построением оптимального метода и оценки его погрешности в общем случае принадлежит Страхову В. Н. [102] и МеПопап А., М1ссЬеШ С. [143]. На этом закончилась неопределенность в теории некорректных задач, и начались исследования, связанные с построением оптимальных и оптимальных по порядку методов, в которых приняли участие очень многие математики.

Настоящая работа относится к третьему направлению. В ней предложена математическая модель обратной задачи тепловой диагностики, учитывающая взаимодействие тела с окружающей средой [10]. Эта модель привела к необходимости решения обратной смешанной граничной задачи. Для ее решения разработаны оптимальные по порядку численные методы и получены точные по порядку оценки погрешности этих методов. Кроме того, в работе предложен и обоснован обобщенный метод проекционной регуляризации [150], позволяющий решать переопределенные задачи и имеющий, за счет переопределенности, высокую точность , получены точные по порядку оценки погрешности этих методов и на их основе составлены программы для численного решения обратных граничных задач на ЭВМ .

Работа состоит из введения, трех глав и библиографии, насчитывающей 157 наименований.

Во введении дан краткий экскурс в историю вопроса.

В главе 1 приводятся основные понятия и определения, связанные с решением условно-корректных задач. В этом разделе дано понятие метода решения условно-корректной задачи и определена количественная характеристика его точности на соответствующем классе. В этой же главе, для построенного метода проекционной регуляризации [49] была получена точная оценка погрешности и доказана его оптимальность по порядку.

Кроме того, предложен и обоснован обобщенный метод проекционной регуляризации [150], который в отличии от классического метода проекционной регуляризации [49], не связан технически со спектральной функцией оператора задачи и потому допускает постановку и решение некорректно поставленных задач в различных пространствах.

Этот факт оказывается очень важным при решении переопределенных обратных задач тепловой диагностики см. [10] стр.23, так как такие задачи принципиально не возможно погрузить в одно функциональное пространство.

Получены точные по порядку оценки погрешности обобщенного метода проекционной регуляризации и найдены условия, при выполнении которых используемый нами параметр регуляризации а(<5) является квазиоптимальным. Эти факты сформулированы в виде теорем 1.1.2 и 1.1.3.

Далее, рассмотрены прямые граничные задачи для уравнения теплопроводности и исследовано поведение решений этих задач при t —> оо.

Более точно, исследована гладкость решений и скорость убывания их при t —> оо.

На основе этих исследований, сформулированы теоремы о правомерности применения преобразования Фурье по t для решения этих задач.

Далее, в первой главе доказана изометричность в пространствах 1/2[0,оо) преобразования Фурье на полупрямой [0, оо) и, используя результаты работы Васина В.В. [24], решена задача восстановления непрерывной функции, заданной со среднеквадратичной погрешностью.

Глава 2 посвящена постановке и решению ряда обратных задач тепловой диагностики. В каждой из рассмотренных в этой главе задач, получены точные по порядку оценки погрешности.

Главным результатом этой главы является решение обратной смешанной граничной задачи для уравнения теплопроводности. В этой задаче учтено взаимодействие стенки двигателя с окружающей средой, что приводит к граничным условиям третьего рода и качественно усложняет эту модель.

Далее, используя преобразование Фурье по t на полупрямой [0, оо), дано приближенное решение этой задачи , получена точная по порядку оценка погрешности этого решения и доказана оптимальность по порядку используемого метода . Кроме того, используя методику, изложенную в параграфе 1.5 первой главы, задачу равномерного приближения граничного условия ho(t) в обратной смешанной граничной задаче свели к задаче восстановления непрерывной функции, заданной со среднеквадратичной погрешностью. Задача сведения среднеквадратичного приближения к равномерному актуальна, поскольку метод проекционной регуляризации дает среднеквадратичную оценку, недостатком которой является то, что при конкретных значениях t, приближенное решение может сильно уклоняться от точного и в каких именно точках неизвестно. Впервые, задача восстановления непрерывной функции была рассмотрена в работе Васина В.В. [24].

Во многих случаях возникает необходимость использования результатов измерений температуры в большем числе точек, чем это требуется для однозначного определения искомых характеристик. Переход к переопределенным постановкам обратных задач обычно позволяет получить более достоверные данные [10]. Поэтому, обобщенным методом проекционной регуляризации, изложенным в первой главе, решена переопределенная обратная смешанная граничная задача для уравнения теплопроводности.

В этой же главе решено параболическое уравнение с переменным коэффициентом и найдена точная по порядку оценка погрешности приближенного решения.

В главе 3 приведено численное решение обратной граничной задачи, а также переопределенной обратной граничной задачи методами проекционной регуляризации и обобщенной проекционной регуляризации в среде программирования Borland С++ (Builder 6).

Получено графическое изображение приближенного решения, проведен сравнительный анализ полученных результатов.

1. Авдуевский B.C., Галицейский Б.М., Глебов Г.А. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно - космической технике. М.: Машиностроение, 1975.

2. Агеев A.JT. Алгоритмы конечномерной аппроксимации стабилизирующих добавок // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1991. Т. 31. № 7. С. 943-952.

3. Агеев A.J1. Об одном свойстве оператора, обратного к замкнутому // Исследования по функциональному анализу. Свердловск: Изд-во Уральского ун-та. 1978. С.3-5.

4. Агеев A.JI. К вопросу о построении оптимального метода решения линейного уравнения 1 рода // Известия Вузов. Математика. 1983. т. С.61-68.

5. Агеев A.JI. Регуляризация нелинейных операторных уравнений на классе разрывных функций // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1980. Т. 20. № 4. С. 516-531.

6. Алифанов О.М., Зайцев В.К., Панкратов Б.М. Алгоритм диагностики тепловых нагрузок летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1983. 168 с.

7. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов. М. : Машиностроение, 1979. 216 с.

8. Алифанов О.М., Мишин В.П. Повышение качества обработки теплонагруженных конструкций и обратные задачи теплообмена. Ч. 1. Общии вопросы теории. М.: Машиностроение, 1986. № 5. С. 19 29.

9. Алифанов О.М., Артюхин Е.А. Определение граничных условий в процессе тепловых газодинамических испытаний // ТВТ. 1978. Т. 16. № 4. С. 819-825.

10. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.

11. Арестов В.В. О наилучшем приближении операторов дифференцирования // Математические заметки. 1967. I. Вып. 2. С. 149-154.

12. Арсенин В.Я. О разрывных решениях уравнений первого рода // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1965. Т. 5. № 5. С. 922-926.

13. Бакушинский A.B. Один общий прием построения регуляри-зующих алгоритмов для линейных некорректных уравнений в гильбертовом пространстве // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1967. Т. 7. № 3. С. 672-677.

14. Бакушинский A.B. Оптимальные и квазиоптимальные методы решения линейных задач, порожденные регуляризующими алгоритмами // Известия Вузов. Математика. 1978. № 11. С. 6-10.

15. Бакушинский А.Б. Замечание о выборе параметра регуляризации // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1984. Т. 24. № 8. С. 1253-1259.

16. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во МГУ, 1989. 199 с.

17. Вайникко Г.М. Методы решения линейных некорректно поставленных задач в гильбертовых пространствах. Тарту: ТГУ, 1982. 110 с.

18. Вайникко Г.М. Оценки погрешности метода последовательных приближений для некорректных задач // Автоматика и телемеханика. 1980. № 3. С. 84-92.

19. Вайникко Г.М. Оценки погрешности метода регуляризации для нормально разрешимых задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1985. Т. 25. № 10. С. 14431456.

20. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. Тарту: ТГУ, 1982. 110 с.

21. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400 с.

22. Васин В.В. Регуляризация нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных // Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4. № 12. С. 2268-2274.

23. Васин В.В. О связи некоторых вариационных методов приближенного решения некорректных задач // Математические заметки. 1970. Т. 7. № 3. С. 265-372.

24. Васин В.В. Регуляризация задачи численного дифференцирования // Математические записки. 1969. Т. 7. № 2. С. 29-33.

25. Васин В.В. Общая схема дискретизации регуляризующих алгоритмов в банаховых пространствах // ДАН СССР. 1981. Т. 256. № 2. С. 271-275.

26. Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993. 261 с.

27. Васин В.В., Танана В.П. Необходимые и достаточные условия сходимости проекционных методов для линейных неустойчивых задач // ДАН СССР. 1974. Т. 215. № 5. С. 1032-1034.

28. Васин В.В. Оптимальные методы вычисления значений неограниченных операторов./ Институт кибернетики АН УССР. Киев. 1977. 17 с.

29. Васин В.В. Дискретная сходимость и конечномерная аппроксимация регуляризующих алгоритмов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1979. Т. 19. № 1. С. 11-21.

30. Васин В.В. Методы итеративной регуляризации для некорректных задач // Известия Вузов. Математика. 1995. № 11. С. 402.

31. Васин В.В. Устойчивая аппроксимация негладких решений некорректно поставленных задач // Докл. РАН. 2005. Т. 402. № 5. С. 1-4.

32. Васин В.В., Танана В.П. Приближенное решение операторных уравнений первого рода. Математические записки. 1968. Т. 6. № 4. С. 27-37.

33. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. Часть первая. М.: Изд-во иностранной литературы, 1949. 748 с.

34. Винокуров В.А. Об одном необходимом условии регуляризуе-мости по Тихонову // ДАН СССР. 1981. Т. 256. № 2. С. 271-275.

35. Винокуров В.А., Петунии Ю.И., Пличко А.Н. Измеримость и регуляризуемость отображений, обратных к непрерывным линейным операторам // Математические заметки. 1973. Т. 26. № 4. С. 583-593.

36. Винокуров В.А., Менихес Л.Д. Необходимые и достаточные условия линейной регуляризуемости // ДАН СССР. 1976. Т. 229. № 6. С. 1292-1294.

37. Гольдман Н.Л. Обратные задачи Стефана. Теория и методы решения. М. : Изд-во МГУ, 1999. 294 с.

38. Гончарский A.B., Леонов A.C., Ягола А.Г. Об одном регуля-ризующем алгоритме для некорректно поставленных задач с приближенно заданным оператором // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1972. Т. 12. № 6. С. 1592-1596.

39. Гончарский A.B., Леонов A.C., Ягола А.Г. О регуляризуемости некорректно поставленных задач с приближенно заданным оператором // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1974. Т. 14. № 4. С. 1022-1027.

40. Данилин А.Р. Об оптимальных по порядку оценках конечномерных аппроксимаций решений некорректных задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1985. Т. 25. № 8. С. 1123-1130.

41. Данилин А.Р. Необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций метода невязки // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1982. Т. 22. № 4. С. 824-839.

42. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994. 208 с.

43. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1961. 524 с.

44. Дистель Д. Геометрия банаховых пространств. Киев: Головное издательство издательского объединения "Вища школа 1980.

45. Зорич В.А. Математический анализ. Часть вторая. М.: Наука, 1984. 640 с.

46. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах // Математический сборник. 1963. Т. 61. № 2. С. 211-213.

47. Иванов В.К. О равномерной регуляризации неустойчивых задач // Сибирский математический журнал. 1966. Т. 7. № 3. С. 546-558.

48. Иванов В.К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. Т. 6. № 6. С. 1089-1094.

49. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М. : Наука, 1978. 208 с.

50. Иванов В.К., Королюк Т.И. Об оценке погрешности при решении линейных некорректно поставленных задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. Т. 9. № 1. С. 30-41.

51. Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциально операторные уравнения и некорректные задачи. М. : Физматлит, 1995, 176 с.

52. Иванов В.К. Линейные неустойчивые задачи с многозначными операторами // Сибирский математический журнал. 1970. Т. И. № 5. С. 1009-1016.

53. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах // ДАН СССР. 1962. Т. 145, № 2. С. 270-272.

54. Иванов В.К. О применении метода Пикара к решению интегральных уравнений первого рода// Bui. Inst. Politehn. Iasi. 1968. V 4, № 3 4. P. 71-78.

55. Иванов В.К. О решении операторных уравнений, не удовлетворяющих условиям корректности // Тр. Матем. ин-та им. В.А. Стеклова 1971. Т.112. С. 232-240.

56. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск : Сибирское научное издательство, 2009.

57. Карслоу У., Бгер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964.

58. Колесникова Н.Ю. Об оценке погрешности приближенного решения одной обратной задачи //Известия ЧНЦ УрО РАН. 2008. Вып. 1(39). URL: http://csc.ac.ru/ej/issue/ru

59. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М. : Наука, 1972.

60. Кондратьев Г.М. Регулярный тепловой режим. М. : Гостехиз-дат, 1954.

61. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск : Сибирское отделение АН СССР, 1962. 92 с.

62. Лаврентьев М.М. К вопросу об улучшении точности решения системы линейных уравнений // ДАН СССР. 1953. T. XCII. № 5. С. 885-886.

63. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода // ДАН СССР. 1959. Т. 127. № 1. С. 31-33.

64. Лаврентьев М.М. Условно корректные задачи для дифференциальных уравнений. - Новосибирск. : Изд - во НГУ, 1973. 71 с.

65. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М. : Наука, 1980. 288 с.

66. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск. : Издательство института математики, 1999. 702 с.

67. Латтес Р., Лионе Ж.Л. Метод квазиобращения и его приложения. М. : Мир, 1970. 224 с.

68. Леонов A.C. Кусочно равномерная регуляризация некорректных задач с разрывными решениями // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1982. Т. 22. № 3. С. 516-531.

69. Леонов A.C. Решение некорректно поставленных обратных задач : Очерк теории, практические алгоритмы и демонстрация в МАТЛАБ. М. : Книжный дом "ЛИБРОКОМ 2010. 336 с.

70. Леонов A.C. О сходимости по полным вариациям регуляризую-щих алгоритмов решения некорректно поставленных задач // Журн. вычисл. матем. и мат. физ. 2007. № 47(5). С. 766-781.

71. Леонов A.C., Ягола А.Г. Можно ли решить некорректно поставленную задачу без знания погрешности данных? / / Вест. Моск.ун-та. Сер.З. Физика. Астрономия. 1995. № 50(4). С. 2833.

72. Лисковец O.A. Вариационные методы решения неустойчивых задач. Минск. : Наука и техника, 1981. 343 с.

73. Лыков A.B. Тепломассообмен // Справочник. М. : Энергия, 1972.

74. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М. : Наука, 1965. 520 с.

75. Мартыненко H.A., Пустыльников Л.М. Конечные интегральные преобразования и их применение к исследованию систем с распределенными параметрами. М. : Наука, 1986.

76. Менихес Л.Д., Танана В.П. Конечномерная аппроксимация в методе М.М. Лаврентьева // Сибирский журнал вычислительной математики. 1998. Т.1. № 1. С.56-66.

77. Менихес Л.Д. О регуляризуемости некоторых классов отображений, обратных к интегральным операторам // Математические заметки. 1999. Т. 65. № 2. С. 222-229.

78. Менихес Л.Д. Об одном достаточном условии регуляризуемости линейных обратных задач // Математические заметки. 2007. Т. 82. № 2. С. 242-247.

79. Менихес Л.Д. К теории регуляризации неустойчивых задач // Изв. Челяб. науч. центра УрО РАН. 2002. Вып.3(16) С. 1-5.

80. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М. : Наука, 1976.

81. Михлин С.Г. Курс математической физики. М. : Наука, 1968. 576 с.

82. Морозов В.А. Линейные и нелинейные некорректные задачи // Математический анализ (Итоги науки и техники). 1973. Т. 11. С. 129-178.

83. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М. : Изд-во МГУ, 1987. 216 с.

84. Морозов В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. Т. 6. № 1. С. 170-175.

85. Морозов В.А. О регуляризации некоторых классов экстремальных задач // Вычислительные методы и программирование. М. : Изд-во МГУ, 1969. Вып.12. С.24-37.

86. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. Т. 6. № 1. С. 170-175.

87. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 529 с.

88. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М. : МГУ, 1999. 238 с.

89. Платунов Е.С. Теплофизические измерения в монотонном режиме. J1. : Энергия, 1973.

90. Полежаев Ю.В., Киллих В.В., Нарожный Ю.Г. Проблемы нестационарного прогрева теплозащитных материалов // ИФЖ. 1975. Т.29, № 1. С. 39-44.

91. Полежаев Ю.В., Нарожиый Ю.Г., Сафонов В.Е. О методе определения теплопроводности высокотемпературных материалов при нестационарном нагреве // ТВТ. 1973. T.ll, № 3. С. 609-615.

92. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного // М.: Наука, 1984. 432 с.

93. Рид М. и Саймон Б. Методы современной математической физики Т. 1. Функциональный анализ / М.: Мир , 1977.

94. Рудин У. Функциональный анализ / пер. с англ. В.Я. Лина. 2-е изд., испр. и доп. СПб. : Издательство "Лань 2005. 448 с.

95. Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск : НГУ, 1973.

96. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М. : Наука, 1984.

97. Романов В.Г. Устойчивость в обратных задачах. М. : Научный мир, 2005.

98. Стечкин С.Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Математические заметки. 1967. Т. 1. № 2. С. 137-148.

99. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М. : Наука, 1976.

100. Страхов В.Н. О решении линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве // Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6. № 8. С. 1490-1495.

101. Страхов В.Н. Об алгоритмах приближенного решения линейных условно корректныхзадач // ДАН СССР. 1972. Т.207. № 5. С. 1057-1059.

102. Страхов В.Н. О построении оптимальных по порядку приближенных решений линейных условно-корректных задач // Дифференциальные уравнения. 1973. Т. 9. № 10. С. 1862-1874.

103. Табаринцева Е.В. Об оценке погрешности метода квазиобращения при решении задачи Коши для полулинейного дифференциального уравнения //Сиб. журн. вычислит, математики. 2005. Т. 8. № 3. С. 259-271.

104. Танана В.П. О классификации некорректно поставленных задач и оптимальных методах их решения // Изв. вузов. Математика. 1977, № 11, С. 106-112.

105. Танана В.П. Об оптимальных алгоритмах для операторных уравнений первого рода с возмущенным оператором // Математический сборник. 1977. Т.146. № 10. С. 314-333.

106. Танана В.П. Об одном проекционно итеративном алгоритме для операторных уравнений первого рода с возмущенным оператором// Докл. АН СССР. 1975. Т. 224. 5, С. 1028-1029.

107. Танана В.П. Об оптимальности по порядку метода проекционной регуляризации при решении обратных задач // Сибирский журнал индустриальной математики. 2004. Т. 7. № 2. С. 117-132.

108. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. М. : Наука, 1981.

109. Танана В.П. Об оптимальности методов регуляризации линейных операторных уравнений с приближенно заданным оператором при условии неединственности решения // ДАН СССР. 1985. Т. 238. № 5. С. 1092-1095.

110. Танана В.П. О сходимости регуляризованных решений нелинейных операторных уравнений // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. Т. 6. № 3. С. 119-133.

111. Танана В.П. О новом подходе к оценке погрешности методов решения некорректно поставленных задач // Сибирский журнал индустриальной математики. 2002. Т. 5. № 4. С. 150-163.

112. Танана В.П., Булатова М.Г. Оценка погрешности приближенного решения обратной задачи тепловой диагностики // Сиб. журн. вычисл. матем. 2010. Т. 13. № 1. С. 89-100.

113. Танана В.П., Данилин А.Р. Об оптимальности регуляризую-щих алгоритмов при решении некорректных задач // Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12. № 7. С. 1323-1326.

114. Танана В.П., Данилин А.Р. Необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций регуляризо-ванных решений // ДАН СССР. 1982. Т. 264. № 5. С. 1094-1096.

115. Танана В.П., Колесникова Н.Ю. Об оптимальном методе решения одной обратной задачи тепловой диагностики // Вестник ЮУрГУ. Серия "Математика,физика, химия". 2007. Выпуск 9. № 19(91). С. 48-54.

116. Танана В.П., Колесникова Н.Ю. Об оценке погрешности приближенного решения одной обратной задачи тепловой диагностики // Известия Уральского государственного университета. Серия "Математика. Механика. Информатика."2008. № 58. С. 155-162.

117. Танана В.П., Рекант М.А., Янченко С.И. Оптимизация методов решения операторных уравнений. Свердловск. : Уральск, ун-т, 1987.

118. Танана В.П., Табаринцева Е.В. О решении некорректной задачи для полулинейного дифференциального уравнения //Сиб. журн. вычислит, математики. 2002. Т. 5. № 2. С. 189-198.

119. Танана В.П., Япарова Н.М. Об оптимальных по порядку методах решения условно-корректных задач // Сиб. журн. вычисл. матем. 2006. Т. 9. № 4. С. 353-368.

120. Танана В.П. Об оптимальном по порядку методе решения одной обратной задачи для параболического уравнения // Докл. РАН. 2006, Т. 407, № 3, С. 316-318.

121. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР. 1943. Т. 39. № 5. С. 195-198.

122. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН СССР. 1963. Т. 151. № 3. С. 501-504.

123. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // ДАН СССР. 1963. Т. 153. № 1. С. 49-52.

124. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректно поставленных задач. М. : Наука, 1974. 223 с.

125. Тихонов А.Н., Леонов A.C., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М. : Наука, 1995. 311 с.

126. Тихонов А.Н., Гончаровский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректно поставленных задач. М. : Наука, 1990. 232 с.

127. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М. : Гостехиздат, 1953. 345 с.

128. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. М. : Мир, 1985. 384 с.

129. Федотов A.M. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск. : Наука, 1982. 190 с.

130. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М. : Физматлит, 2006. Т. 2. 863 с.

131. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М. : Мир, 1968. 427 с.

132. Хромова Г.В. О задаче восстановления функций, заданных с погрешностью // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1977. Т. 17. № 5. С. 1161-1171.

133. Franklin J. N. On Tikhonov's method for ill-posed problems // Math. Comput. 1974. vol. 28. № 128. C. 889-907.

134. Gullum J. Numerical differentiation and regularization // SIAM J. Numer. anal. 1967. vol. 8. № 2.

135. Hadamar J. Le problem de Cauchy et les equations aux derives partielles lineaires hyperboliques. Paris : Herman, 1932.

136. Hadamar J. Sur les problems aux derivees partielles et leur signification physique // Bull. Univ. Princeton. 1902. 13.

137. Kato T. Perturbation theory for linear operators. Springer -Verlag : New-York Jnk, 1966. 592 p.

138. Leonov A.S., Yagola A.G. Special regularizing methods for ill-posed problems with soursewise represented solutions // Inverse Problems. - 1998. - № 14. - P. 1539-1550.

139. Ky Fan. Some geometric properties of the spheres in a normed linear space / Ky Fan, J. Gliksberg // Duke Math. - 1958. - V. 25. - № 4. - P. 553-568.

140. Melkman A., Miccelli C. Optimal Estimation of Linear Operators in Hilbert Spaces from Inaccurate Data // SIAM J. Num. Anal. 1979. vol. 16. № 1. p. 87-105.

141. Menikhes L.D., Tanana V.P. A convergence criterion for approximations in the residual method in Banax spaces // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1997. Vol. 5. № 3. P. 255-264.

142. Menikhes L.D., Tanana V.P. A convergense for approximation in the regularization method and Tikhonov regularization method of n-th order // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1998. Vol. 6. № 3. P. 241-262.

143. Miller K. Three circle therems in parcial differential equations and applications to improperly posed problems // Arch. Ration. Mech. Anal. 1964. Vol. 16. № 2. P. 126-154.

144. Phillips D. L. A technique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind //J. Assoc. Comput. Mach. 1962. Vol. 9. № 1. P. 84-97.

145. Tanana V.P. A criterion of convergence of approximations // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1997. Vol. 5. № 2. P. 1-12.

146. Tanana V.P. Methods for solution of nonlinear operator equations // "VSP"Utrecht, The Netherland, 1997. 241 p.

147. Танана В.П., Сидикова А.И. Об оптимальности по порядку одного метода вычисления значений неограниченного оператора и его приложения // Сиб. журн. индустр. матем. 2009. Т. 12. № 3(39). С. 125-135.

148. Танана В.П., Сидикова А.И. О гарантированной оценке точности приближенного решения одной обратной задачи тепловой диагностики // Труды Института Математики и Механики УрО РАН. 2010. Т. 16. № 2. С. 1-15.

149. Сидикова А.И. О приближенном решении одной обратной задачи тепловой диагностики // Системы управления и информационные технологии. 2010. № 1.1(39). С. 187-190.

150. Танана В.П., Сидикова А.И. О приближенном решении одной обратной задачи // Вестник ЮУрГУ. Серия "Матем. моделирование и програм". 2008. Вып. 1. № 15(115). С. 81-88.

151. Танана В.П., Сидикова А.И. О гарантированной оценке точности приближенного решения одной обратной задачи тепловой диагностики в неоднородной среде // Вестник ЮУрГУ. Серия "Матем. моделирование и програм". 2009. Вып. 1. № 17(150). С. 104-115.

152. Сидикова А.И. Об оценке точности приближенного решения одной обратной граничной задачи для параболического уравнения // Известия ЧНЦ УрО РАН. 2008. Вып. 3(41). URL: http://csc.ac.ru/ej/issue/ru.

153. Сидикова А.И. Об оптимальности по порядку метода проекционной регуляризации при решении обратной задачи тепловой диагностики // Известия ЧНЦ УрО РАН. 2009. Вып. 4(46). URL: http://csc.ac.ru/ej/issue/ru.

154. Сидикова А.И. Об оценке погрешности приближенного решения одной переопределенной задачи тепловой диагностики // Известия ЧНЦ УрО РАН. 2010. Вып. 1. URL: http://csc.ac.ru/ej/issue / ri