Параметрическая идентификация математических моделей теплообмена в неразрушаемых теплозащитных и теплоизоляционных материалах

Титов, Дмитрий Михайлович

Параметрическая идентификация математических моделей теплообмена в неразрушаемых теплозащитных и теплоизоляционных материалах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

Титов, Дмитрий Михайлович АВТОР

кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.14 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Параметрическая идентификация математических моделей теплообмена в неразрушаемых теплозащитных и теплоизоляционных материалах»

Автореферат диссертации на тему "Параметрическая идентификация математических моделей теплообмена в неразрушаемых теплозащитных и теплоизоляционных материалах"

На правах рукописи

Титов Дмитрий Михайлович

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ

МОДЕЛЕЙ ТЕПЛООБМЕНА В НЕРАЗРУШАЕМЫХ ТЕПЛОЗАЩИТНЫХ И ТЕПЛОИЗОЛЯЦИОННЫХ МАТЕРИАЛАХ

Специальность: 01.04.14 - "Теплофизика и теоретическая теплотехника"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

3 1 иіДП 2012

005045206

На правах рукописи

Титов Дмитрий Михайлович

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ

МОДЕЛЕЙ ТЕПЛООБМЕНА В НЕРАЗРУШАЕМЫХ ТЕПЛОЗАЩИТНЫХ И ТЕПЛОИЗОЛЯЦИОННЫХ МАТЕРИАЛАХ

Специальность: 01.04.14 - "Теплофизика и теоретическая теплотехника"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Работа выполнена в Московском авиационном институте (национальном исследовательском университете)

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Ненарокомов Алексей Владимирович

Официальные оппоненты:

Ревизников Дмитрий Леонидович, доктор физико-математических наук, профессор, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет) (МАИ), профессор;

Просунцов Павел Викторович, кандидат технических наук, доцент, Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана, доцент.

Ведущая организация:

Федеральное государственное унитарное предприятие "Центральный аэрогидродинамический институт имени профессора Н.Е. Жуковского" (ЦАГИ)

Защита состоится « 18 » июня 2012 г. в 15.00 на заседании диссертационного совета Д 212.125.08, созданного на базе Московского авиационного института (национального исследовательского университета) по адресу 125993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д.4.

Отзывы на автореферат в 2-х экземплярах, заверенные печатью, просьба прислать по адресу: 125993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д.4, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет) «МАИ». Ученый совет МАИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института (национального исследовательского университета) «МАИ»

Автореферат разослан « /Г» мая 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.125.08

д.т.н., профессор fpfóUsS^T--- Зуев Ю.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Современное развитие ракетно-космической техники привело к значительному усложнению экспериментальных исследований тепловых процессов, протекающих в конструкциях космических аппаратов (КА), что привело к необходимости использования обоснованных математических моделей различных уровней детализации, позволяющих с требуемой точностью прогнозировать тепловое состояние теплозащитных и теплоизоляционных материалов и конструкций на различных стадиях разработки КА, что является важнейшим условием успешного решения задачи выбора оптимальных параметров системы тепловой защиты. Как показывает опыт, в основу методов решения подобных задач может быть положена методология обратных задач теплообмена (ОЗТ), а в ряде случаев обратные задачи являются практически единственным средством получения необходимых результатов. Общая методика исследования, принятая в диссертационной работе, базируется на использовании и обобщении опыта решения обратных задач теплопроводности, достижениях в области численных методов теплообмена, оптимизации, решения некорректных задач математической физики.

Цель работы.

Из всего комплекса проблем, возникающих и требующих своего решения при создании надежных теплонагруженных конструкций, в данной работе анализируется проблема отработки неразрушаемых теплозащитных покрытий (ТЗП) КА. Целью диссертации является разработка и применение экстремальных методов решения обратных задач математической физики для идентификации математических моделей теплопереноса в системах неразрушаемой теплозащиты и теплоизоляции.

Научная новизна.

Научная новизна работы определяется впервые реализованным подходом к проблеме применения методологии обратных задач при одновременном определении теплофизических и радиационных характеристик исследуемого материала и параметров экспериментальной установки (температурных зависимостей коэффициента теплопроводности х(т), объемной теплоемкости с(т) и интегральной степени черноты с(т) материала и интегральной степени черноты нагревателя ск (г)), а также определении теплофизических характеристик высокопористого хрупкого теплоизоляционного материала без установки внутренних термопар в исследуемых образцах.

Практическая ценность результатов.

Практическими результатами работы стал новый метод исследования теплофизических и радиационно-оптических характеристик теплозащитных материалов и многослойных покрытий КА, разработанный на основе методологии обратных задач, и реализованный в виде программного комплекса.

Достоверность полученных результатов.

Достоверность полученных результатов подтверждается

- использованием фундаментальных законов сохранения энергии и радиационного переноса, а также использованием апробированных численных методов решения многопараметрических задач;

- всесторонним тестированием разработанных алгоритмов и программ с целью обоснования достоверности получаемых результатов и сходимости решений; -сравнением результатов решения ОЗТ с реальными экспериментальными данными.

Личный вклад автора.

-Разработана однородная разностная схема для расчета теплопереноса в многослойной конструкции, в том числе для случая неидеальных контактов между слоями.

- Получено решение задачи идентификации математической модели радиационно-кондуктивного теплообмена в системе образец материала -радиационный нагреватель.

- Построена математическая модель процесса теплопереноса теплоизоляционного материала на основе вспененного углерода путем решения коэффициентной обратной задачи без установки внутренних термопар.

Апробация и внедрение результатов.

Основные положения работы и отдельные ее результаты докладывались, обсуждались и были одобрены на Минском международном форуме по тепло- и массообмену (2008), Международной конференции "Обратные задачи: Идентификация, Проектирование и Управление" (Казань, 2007; Самара, 2010), Международной конференции "Inverse Problems in Engineering: Theory and Practice" (Париж, 2008; Орландо, 2011) и ряде других.

Публикации по теме работы:

Основные положения работы и отдельные ее результаты были опубликованы в журналах, входящих в перечень рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ перечень изданий. По результатам выполненных исследований, посвященных теме диссертации, опубликовано более 20 печатных работ, выпущено более 10 научно-технических отчетов.

Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка использованных источников и приложения.

Основное содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, научная новизна и практическая значимость работы. Сформулированы цель и задачи исследований. Представлены основные научные положения.

Дается описание структуры и содержания диссертации. Дана общая характеристика тематики диссертационной работы.

В первой главе рассматриваются общие методические вопросы проблемы создания обоснованных математических моделей теплопереноса в элементах конструкции из неразрушаемых материалов. Базируясь на результатах проведенного анализа, предлагается общая процедура построения приближенных моделей теплопереноса; формулируются цели и задачи исследования; приводятся формализованные постановки задачи идентификации математических моделей теплообмена; анализируются общие закономерности используемых для этого математических моделей; обоснована необходимости достоверной идентификации этих моделей.

В работе математическая модель (ММ) рассматривается как абстрактное средство приближенного представления (отображения) реального процесса с целью его исследования и является математическим описанием существенных факторов процесса и взаимосвязей между ними. Для выбора, корректировки и проверки состоятельности математической модели широко используются экспериментальные исследования. Окончательное уточнение математической модели происходит во время натурных испытаний системы. В работе не ставилась задача законченного анализа используемых в настоящее время ММ теплопереноса в технических системах, поэтому были рассмотрены некоторые наиболее типичные формы представления математических моделей и выявлены наиболее существенные закономерности их структуры.

Для динамических систем с распределенными параметрами математическая модель имеет вид:

где х - пространственная координата, т - время, п - пространственная область, определяемая геометрическими размерами исследуемой системы, - время, в течение которого осуществляется моделирование поведения системы. Оператор ь(х,т,і) формируется в виде краевых задач для эволюционных уравнений в частных производных.

В случае одномерной постановки модель нестационарного теплообмена в многослойном теплозащитном покрытии конструкции может быть представлена в виде следующей краевой задачи:

Т(х,т) = І.(х,т,2)д{х,тІ X є П, т є [0,гт„ ],

(1)

(2) (3)

Т1(х,6) = Т01(х),х1_1 <х<х„

„ 1 этАх0,т)^пт(г

(4)

«А дТ' {х1>т) + (х,, г) = ?2(г) + Н(Т,,т\г) (7)

дх

где Т - температура, V - параметр, определяющий систему координат и равный О, 1 и 2 для декартовой, цилиндрической и сферической системы соответственно, I - количество слоев, А, - толщина /-ГО слоя, С,, Л,, £),, 5, -коэффициенты, определяющие тепловые характеристики материала / -го слоя, а,, /?,, а2, р2 - параметры, равные 0 или 1 и позволяющие получить на внешних поверхностях граничные условия первого, второго или третьего рода, RJ - контактное сопротивление на у-ой внутренней границе, Н - функции

теплового баланса на правой границе

Подобная модель позволяет за счет ее коэффициентов учесть различные механизмы теплопереноса в анализируемой системе: накопление тепла, теплопроводность, конвективный теплоперенос и поглощение или выделение тепла. Если какой-либо процесс отсутствует в конкретном слое, то соответствующий коэффициент следует задать равным нулю. Поэтому приведенная модель дает возможность анализировать температурные режимы конструкций из разнородных материалов с различным характером протекающих в них процессов теплопереноса.

Вторая глава посвящена разработке алгоритма решения ОЗТ на основе метода итерационной регуляризации, показавшего свою высокую эффективность при решении различных обратных задач теплопроводности. Обосновывается применение итерационных методов идентификации математических моделей. Обосновывается целесообразность предварительной параметризации искомых функций. Приводится постановка сопряженной задачи для вычисления градиента функционала невязки. Обосновывается применение сплайн-аппроксимации при решении ОЗТ. Определяются параметры градиентного метода минимизации.

В силу некорректности обратных задач для их решения необходимо использовать специальные регуляризирующие методы и алгоритмы, обеспечивающие устойчивые приближенные решения. В работе регуляризирующие алгоритмы строятся на основе метода итерационной регуляризации, показавшем свою высокую эффективность в практике решения различных обратных задач теплообмена. Так же важным вопросом является единственность решения соответствующей обратной задачи. В работе предлагается для обеспечения единственности решения одновременно обрабатывать данные нескольких экспериментов с различным внешним тепловым воздействием.

Анализируемую обратную задачу можно представить в виде операторного уравнения первого рода

Ай = /,Пе1Г,/еР, А-.и^Р (8)

где оператор А строится на основании модели исследуемого процесса (2) - (7), а правая часть / формируется с использованием экспериментальных данных, т.е. при решении обратных задач преобразование Аи в уравнении (8)

представляет собой функцию теплового состояния анализируемой системы, вычисленную в точках установки термопар. Формируется функционал невязки

4»)=И-4 (9)

и рассматривается задача его минимизации относительно й.

При использовании данного итерационного алгоритма регуляризирующее условие останова выбирается в соответствии с принципом обобщенной невязки

(Ю)

пропорциональной величине, обратной номеру последней итерации.

Важнейшей частью итерационных алгоритмов решения обратных задач теплообмена является вычисление градиента функционала невязки. Реализация этой процедуры во многом определяет общую эффективность вычислительных алгоритмов и расчетных методик.

Предположим внутри исследуемого образца установлены М термопар Те*р{х1,т>т)= /¡,т{Л т = 1,А/,, / = \,Ь (И)

Функционал невязки, характеризующий среднеквадратичное уклонение рассчитанных температур в точках установки термопар от экспериментально измеренных значений, имеет следующий вид:

Ас,х,е)=±^]х,МтІх,Л*)}*

М „=] о

(12)

Искомые зависимости в параметрической форме можно представить в следующем виде:

(13)

*>1 «=1 4-1

где в качестве базисных функций используется система кубических В-сплайнов.

Тогда выражения для составляющих градиента функционала невязки:

СІХСІТ +

+ 7 Уц , г) ' \ {ти , трт -

а т А^+ІГ»« ау _

а/

Вводится в рассмотрение сопряженная краевая задача

г(т^,т 1 д( ( (<И, 8Т1т 2у)ду,,„ (у ,

(15)

ЗГ

Ч>>„,г) = (*/...4 « = / = ]>/"

1 +

(16)

(17)

(18)

(19)

Л1

дх

(20)

а* ¿/г

Х1 л, л,

, (т /. .^У^+.С^.г) ( V / , л ВдХт^ЛХьЛг)

(21)

ат

где ¿¿(г), С^г) и ^(г) - искомые зависимости.

Если на границах образца установлены дополнительные термопары,

граничные условия следует переписать в следующем виде:

дх

П У 1т (V д^(Т>ЛХ0'т1^)

Р\ + «> -¿-\ТиУХо<т))--^-

Таким образом, приведенные соотношения позволяют построить алгоритмы определения градиента функционала невязки при произвольных граничных условиях и любой схеме расстановки термопар.

Третья глава посвящена рассмотрению вопросов разработки вычислительных алгоритмов, предназначенных для численного решения задач идентификации при наличии излучения с одной из поверхностей многослойной конструкции. Предлагаемый подход основывается на введении в рассмотрение обобщенной математической модели в виде краевой задачи для нелинейного параболического уравнения второго порядка в одномерной по пространственной переменной многослойной области с произвольными граничными условиями на внешних границах. Обосновывается использование метода конечных разностей при построении вычислительных алгоритмов. Приводится анализ вычислительных алгоритмов.

При решении сопряженных задач в местах установки термопар имеет место разрыв первого рода производной решения, а при решении прямых задач на границах слоев - разрыв в температуре, поэтому исследуемую многослойную пластину удобно представить в виде комбинации конечного числа многослойных пластин с разрывами в решении и производной решения на границах. Представление исходной системы в виде многослойной и введение в ее состав "фиктивных" слоев с границами, проходящими через точки установки термопар, позволяет рассматривать все три задачи в одной и той же многослойной области с достаточно общими условиями энергетического сопряжения между слоями в каждой задаче. Это также обеспечивает использование одной и той же разностной сетки для всех краевых задач.

Краевая задача для уравнения параболического типа, охватывающая все рассматриваемые случаи записывается следующим образом (для одного эксперимента):

С1{Т„х,т)^- = ^{Т„х,тА+

дт дх дх

(24)

т-т^ги^х,^,).

Т, (*£) = Г,0 (*), / = 1, Ь, X е , X, ]; / = 1.4г «= ((>.*_];

оь(7;(а,г),г)®^+А)(7;(0,г),т)7;(01г) = </в(г),гб(0,г111в];

дх

(25)

(26)

а^ТМ^Щ^+^т, г))г)Г,(1>г) = Я(71(1,г))г),

дх (27)

1-6(0,^];

а,{ Щ г), г) ^^+(7; (1, г), г)7; (1, г)+ ах

+^(7)+1(0,г),г)^11) + у;(7;+,(0>т),г)7;+|(0,г) = ЯтДг)> (28)

ох

й(т;(1,г);г)®^+л,(7;(1,г),г)7;аг)+ (29)

+^,(0, гХг^О.г) = и, (г),/ = и^Т,г 6 (0,г„х],

где Ь - полное число слоев в системе (с учетом «фиктивных»).

Построение конечно-разностного аналога дифференциальной задачи осуществляется по отдельным слоям, а сопряжение решений в соседних слоях проводится с использованием конечно-разностного представления условий энергетического сопряжения

Используется разностная сетка с постоянным шагом по пространственной переменной внутри каждого слоя и постоянным шагом по времени а>, = = Х,_х + (/' -1) Ах,, / = 1, п,, +1,

Длг = (Х,= уДг.у = 0, лг,Дг = т„/п,} Опуская индекс / конечно-разностный аналог уравнения (24) можно представить в виде:

' Дг 1 Дх 2 Дх 2 Дх I

II II (30)

еЧб/к-у ль+л/ ®+Щт>-т>А _0

2Я/ Дх 2 21/ Ах 2 '

где Л/ = —1—-,Яе/ = К* - конечно-разностное число Рейнольдса. 1+К с; 2я(

Используется четырехточечная чисто неявная схема. Для конечно-разностной аппроксимации граничных условий используется разностное представление первой производной функции Т(х,т) по пространственной переменной на трехточечном шаблоне.

Для получения конечно-разностного аналога условий сопряжения между слоями используется следующая аппроксимация:

—(1,7)1 =г4-»-47*-+37* (31)

Г—(0,г)1 =-т«« + 4Т*«-3Ч* (32)

что позволило получить однородную разностную схему для многослойной пластины.

В результате конечно-разностной аппроксимации дифференциального оператора (30) — (32) решение исходной краевой задачи сводится к решению на

каждом шаге интегрирования по времени системы алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей:

¿ли - О'Т/ + В/Т/., = / = 2, IV, -1, • (33)

Ф(Г£) = 0

Данная система алгебраических уравнений наиболее эффективно решается методом прогонки с итерациями по коэффициентам.

В четвертой главе анализируются свойства вычислительных алгоритмов путем математического моделирования (обработка данных вычислительного эксперимента).

Эффективное применение методов исследования теплообмена на основе решения обратных задач, требует тщательной отработки вычислительных алгоритмов, а также выбора числа одновременно обрабатываемых образцов, числа термодатчиков и т.д. Поэтому на этом этапе исследований наиболее эффективным методом исследований является вычислительный эксперимент. Анализируется вычислительная устойчивость предложенного алгоритма к различным погрешностям, а также влияние различных факторов на точность решения.

В данной работе эффективность предлагаемого алгоритма исследовалась путем обработки данных двух модельных экспериментов. Сначала решалась соответствующая прямая задача (с использованием неких исходных значений характеристик, определяемых в дальнейшем), затем полученные значения температур в предполагаемых точках установки термопар использовались для формирования «измеренных» данных и моделировалось решение соответствующей обратной задачи. В работе анализировалось влияние задаваемых значений начальных приближений определяемых функций, влияние числа параметров аппроксимации на точность получаемого решения, влияние погрешностей задания функций теплового потока и уровня погрешности измерений температур на результаты решения обратной задачи. Полученные результаты моделирования свидетельствуют о достаточно высокой вычислительной устойчивости предлагаемого алгоритма к случайным погрешностям, возникающим при решении коэффициентных обратных задач, а также слабое влияние значений начальных приближений на значение восстанавливаемых характеристик. Это подтверждает возможность получения единственного решения для подобного рода задач.

Важнейшим является вопрос о применимости принципа итерационной регуляризации для многопараметрической конечномерной обратной задачи (конечномерной в результате аппроксимации неизвестных характеристик). Результаты моделирования подтверждают возможность выбора числа параметров аппроксимации, исходя из принципа обобщенной невязки -необходимо выбирать минимальное число параметров аппроксимации, при котором достигается заданное значение уровня невязки (рисунок 1).

Номео итешшии

1 - число параметров аппроксимации для с(т), л{Т) и е(т) равно 1 (константы); 2 - число параметров аппроксимации для с(т), Л(г) and с{т) равно 2 (линейные функции); 3 - число параметров аппроксимации равно 3 для С(г) и е(т) и 5 для Я(7 ) ; 4 - число параметров аппроксимации равно 5 для с(т), А(г) и е(г); 5 - число параметров аппроксимации для с(т).

Л(т) и г(г) равно 7

Рисунок 1 - Влияние числа параметров аппроксимации на значения минимизируемого функционала [к1 sec] по итерациям

В пятой главе приводятся результаты экспериментально-расчетных исследований теплофизических и радиационных свойств теплозащитного материала, описывается экспериментальная установка, приведены физическая и математическая модели процесса теплопереноса в образце неразрушаемого теплозащитного материала, представлена математическая формулировка коэффициентной обратной задачи с учетом взаимного переизлучения в системе образец - нагреватель; сформулированы требования к образцам, условиям проведения и параметрам испытаний.

Целью исследования является определение теплофизических и радиационных свойств (коэффициента теплопроводности, объемной теплоемкости и интегральной степени черноты) керамического неразрушаемого теплозащитного материала в температурном диапазоне 300 - 1100 К.

Тепловые испытания образцов материала проводились с использованием специально разработанного и изготовленного экспериментального модуля ЭМ-1 для стенда тепловых испытаний (TBC) в Тепловой лаборатории кафедры 601 МАИ под руководством [В. А. Дорошина.

Экспериментальный образец представляет собой пластину из исследуемого материала с установленными в нем термопарами и размещенного в экспериментальном модуле ЭМ-1 (рисунок 2).

Математическая модель процесса теплообмена в образце материала (неограниченной пластине известной толщины) может быть представлена следующим образом:

> дт д г. ат

C(T)f = •¿(^(T)gj, х є(х0,х,), te(t.,T_], (38)

7(*,r_J-Te(xi x є [*„*,], (39)

1 - нагреватель, 2 - верхняя пластина токовода, 3 - подвижный токовод, 4 -изолятор, 5 - неподвижный токовод, 6 - стойка, 7 - пластина, 8 - рама, 9 -трубка охлаждения, 10 - направляющая, 11- пружина, 12 - образец, 13 -теплоизолирующее основание, 14 - керамическая пластина, 15 - управляющая

термопара.

Рисунок 2 - Схема экспериментального і

Т(Х0,т)=Т1(т\ гє^.г«],

) модуля

(40)

(41)

ГД6 е«{Г)= е(т)+ен{Т„)-е(Т>М

В модели (38)-(41) зависимости С(Т), л(Т), е(т) и ек(т) являются неизвестными. В качестве дополнительной информации, необходимой для решения обратной задачи, заданы результаты измерения температуры Т°*(хт, г) = /т(г), т = ¡7м, М = 3. (42)

В обратной задаче (38)-(42) прежде всего, необходимо указать область определения искомых функций в виде общего для всех экспериментов интервала температур [Т^.Т^], на котором анализируемая обратная задача имеет единственное решение. В качестве Т1пт используется минимальное значение начальной температуры, в качестве Гп1>х выбирается максимальное значение температуры, достигаемое на термопаре, размещаемой около нагреваемой поверхности.

Управление режимом нагрева образца осуществляется по температуре нагревателя в соответствии с заданным режимом.

Проведенные тепловые испытания позволили решить поставленные задачи по определению комплекса теплофизических и радиационных характеристик.

В шестой главе рассматриваются экспериментально-расчетные исследования теплофизических свойств теплоизоляционного материала без установки внутренних термопар; проведена апробация разрабатываемой методологии при определении теплофизических свойств (коэффициента теплопроводности и объемной теплоемкости) легковесного теплоизоляционного материала. Приведены физическая и математическая модели процесса теплообмена в образце, схема испытаний и методика их проведения.

- I

У /

'1 =Я

О 20 40 60 ао 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300

а)

100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300

б)

Г "

' 400

О 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300

в)

у .Л.,

/ Ґ7 /

ЄС 100 120 1« 1Б0 100 2ОТ 320 2*0 260 :

1 — экспериментальные значения, 2 - расчетные значения Рисунок 3 - Сравнение экспериментальных и расчетных значений температур в точках установки термопар в образцах: а) эксперимент 1а, б) эксперимент 2а, в) эксперимент 1Ь, г) эксперимент 2Ь

г)

—ж—2

******

т, к

-*-1 -•-2

т,к

в)

б)

1200 Т, К г)

1 - определение характеристик материала (эксперименты 1а, 2а); 2 - определение

характеристик материала (эксперименты 1Ь, 2Ь) Рисунок 4 - Полученные значения объемной теплоемкости (а), коэффициента теплопроводности (б), интегральной степени черноты материала (в) и интегральной степени черноты нагревателя (г)

Тепловые испытания образцов материала проводились с использованием специально разработанного и изготовленного экспериментального модуля ЭМ-

2 на тепловакуумном стенде ТВС-1 в Тепловой лаборатории кафедры 601 МАИ под руководством С.А.Будника.

Выбор схемы температурных измерений (схемы размещения термодатчиков в образце) для данных испытаний в значительной степени обусловлен особенностями исследуемого материала. Легковесный теплоизоляционный материал RVC является высокопористым, достаточно хрупким и электропроводным материалом. Все это значительно усложняет надежную установку термодатчиков внутри образца с требуемой точностью, и не позволяет обеспечить требуемую точность измерения температуры при такой установке. С учетом этих особенностей исследуемого материала устанавливать термопары внутри образца нецелесообразно. В качестве граничного условия с обратной поверхности образца использовался датчик теплового потока, а тепловой поток с нагреваемой стороны определялся по электрической мощности нагревателя. Образец представляет собой пластину известной толщины (рисунок 5), теплоизолированную с боковых сторон. В качестве изоляционного материала использовался материал с известными характеристиками (ТЗМК-10).

Рисунок 6 - Схема измерений

1 - нагревательный элемент модуля ЭМ-2; 2 -верхний образец (1о /2а) и нижний образец (16/26); 3 - теплоизоляционный материал (с известными теплофизическими свойствами) Рисунок 5 - Схема испытаний образцов la, lb материала ETTI-CF-ULT и образцов 2а, 2Ь материала ETTI-CF-ERG

Математическая модель процесса теплообмена в образце материала может быть представлена следующим образом:

Х,_, <х<Х,,1 = 1,2, Х0 = 0, ^^

0 <т<т

Т,(х,0) = Г(°(*), X,_t <х<Х,,1 = 1,2 ф0,т)=ТГ(т)

Д.СГ

ах дх

Т,{Х„г)=Т2(Х„т\

дх

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

В модели (45) - (50) зависимости Л2(т) и с2(г) являются неизвестными. В качестве дополнительной информации, необходимой для решения обратной

К основным научным положениям и выводам, которые сформулированы и доказаны в диссертации и позволили решить поставленные в работе задачи, следует отнести следующие:

1. На основе общего подхода к решению обратных задач математической физики был разработан алгоритм решения задач идентификации математических моделей теплообмена в многослойных элементах конструкции из неразрушаемых материалов методом итерационной регуляризации с использованием предварительной параметризации определяемых характеристик, с представлением искомых функций в виде B-сплайнов, с учетом априорной информации об определяемых характеристиках, с вычислением векторного параметра спуска при решении обратных задач по определению нескольких характеристик.

2. Проведен анализ существующих вычислительных алгоритмов при численной реализации итерационных методов решения обратных задач и разработан вычислительный алгоритм для численного решения задач идентификации для многослойной конструкции теплозащитного покрытия в одномерной постановке. Впервые была получена однородная разностная схема для многослойной конструкции, в том числе для случая неидеальных контактов между слоями. Разработаны принципы программной реализации разработанного вычислительного алгоритма.

3. Проведен анализ свойств вычислительных алгоритмов путем математического моделирования и сделаны выводы о влиянии различных факторов на точность решения обратной задачи.

4. Были проведены экспериментально-расчетные исследования теплофизических и радиационных свойств (коэффициента теплопроводности, объемной теплоемкости, интегральной степени черноты) теплозащитного материала и интегральной степени черноты нагревателя с учетом их взаимного влияния. Построены физическая и математическая модели процесса теплообмена в образце, разработана математическая формулировка коэффициентной обратной задачи. На основе экспериментальных данных были определены искомые зависимости С(г), я(г), е(т\ eh (т).

5. Были проведены экспериментально-расчетные исследования теплофизических свойств (коэффициента теплопроводности и объемной теплоемкости) теплоизоляционного материала на основе вспененного углерода RVC без установки внутренних термопар. Построены физическая и математическая модели процесса теплообмена в образце, разработана математическая формулировка коэффициентной обратной задачи.

В Приложении приведены принципы построения программного обеспечения.

Список публикаций. 1. Алифанов О.М., Ненарокомов A.B., Титов Д.М. и др. Автоматизированная система научных измерений для исследования перспективных теплотехнических материалов методами обратных задач теплообмена // Современные наукоемкие технологии. 2005. №5. С. 67-68.

2. Алифанов О.М., Ненарокомов А.В., Титов Д.М. Исследование радиационного и кондуктивного теплопереноса методом обратных задач // Сб. трудов V Минского международного форума по тепло- и массообмену (24-28 мая 2004г.).- - Минск: ИТМО, 2004. - Том I. С. 266-267.

3. Алифанов О.М., Ненарокомов А.В., Титов Д.М. и др. Определение теплофизических свойств легковесного теплоизоляционного материала на основе вспененного углерода методом обратных задач // Материалы XI Российской конференции по теплофизическим свойствам веществ (7-9 октября 2005 г.).- Санкт-Петербург: Изд-во СПГУНПТ. 2005. - Т.2. С. 124130.

4. Алифанов О.М., Ненарокомов А.В., Титов Д.М. и др. Оптимальное планирование эксперимента при изучении термодеструкции материала // Сб. трудов VI Минского международного форума по тепломассообмену (19 - 23 мая 2008, Минск, Беларусь).- Минск, ИТМО. 2008. - С. 278-280.

5. Алифанов О.М., Ненарокомов А.В., Титов Д.М. и др. Экспериментально-вычислительный комплекс для исследования теплофизических свойств теплотехнических материалов методами обратных задач // Сб. трудов V Международной конференции проблемы промышленной теплотехники (22-26 мая 2007 г. Киев, Украина). - Изд. ИТТФ, Киев, 2007. - С. 112-113.

6. Ненарокомов А.В., Титов Д.М., Гонсалес В.М. Автоматическое проектирование неразрушаемой тепловой защиты космических аппаратов // Вестник МАИ. 2010. Т.16. №4. С. 60-67.

7. Alifanov О.М., Ischuk А.А., Nenarokomov A.V., Titov D.M. и др. An experimental-computational system for the determination of thermal properties of materials. II. Conception and realization of computer code for experimental data processing // Сб. трудов Inverse Problems: Theory and Practice: 5-я международная конференция (11-15 июля 2005 г., Кембридж, Великобритания). - Leeds University Press, Leeds, UK, 2005. - Vol.III. PP.N04.1-N04.10.

8. Alifanov O.M., O.M., Nenarokomov A.V., Titov D.M. и др. A study of the aerospace systems thermal statements // Сб. трудов Recent Research and Design Progress in Aeronautical Engineering and its Influence on Education Proceedings: 6-й международный семинар (14-16 октября 2004 г., Рига, Латвия).- RTU Aviation Institute, 2004. - PP. 10-11.

9. Alifanov O.M., Nenarokomov A.V., Titov D.M. и др. A study of spacecraft structures materials thermal properties based on inverse problems technique // Сб. трудов 5th European Workshop on Thermal Protection Systems and Hot Structures (Noordwijk, the Netherlands, 17-19 May 2006. (ESA SP-631)).-Noordwijk: ESTEC Publ., 2006. 8 p.

10. Alifanov O.M., Nenarokomov A.V., Titov D.M. и др. An Experimental-Computational System For Materials Thermal Properties Determination And Its Application For Spacecraft Structures Testing // Сб. трудов 57th International Astronautical Congress (2-6 October 2006, Valencia, Spain).- Valencia, Spain: IAC-06-C2I.7.09,2006, Юр.

11. Alifanov O.M., Nenarokomov A.V., Titov D.M. и др. An Experimental-Computational System for Materials Thermal Properties Determination and its

Application for Spacecraft Structures Testing // Acta Astronáutica. 2007. Vol.61. PP.341-351.

12. Alifanov O.M., Nenarokomov A.V., Titov D.M. Space Structures Insulating Material's Thermophysical and Radiation Properties Estimation // Acta Astronáutica. 2007. Vol.61. PP.873-880.

13. Alifanov O.M., Nenarokomov A.V., Titov D.M. и др. Destructive Materials Thermal properties determination with application for spacecraft structures testing // Сб. трудов 61th International Astronautical Congress (27 September -1 October, Prague, Czech Republic).- Prague: IAC-10-C2.7.5,2010, 10 p.

14. Alifanov O.M., Nenarokomov A.V., Titov D.M. Estimating of Material's Thermal and Radiative Properties. In Proceedings of 7th International Conference on Inverse Problems in Engineering: Theory and Practice (May 4 -6, 2011, Orlando, Florida, USA).- Int. University of Florida Publ., 2011, 6p.

15. Alifanov O.M., Nenarokomov A.V., Titov D.M. и др. Inverse Problems Technique to Estimate the Thermal Properties of Spacecraft Matreials // Сб. трудов ISTC Thematic Workshop on Perspective materials, devices and structures for space application (May 26 - 28 2009, Yerevan, Armenian-Yerevan: 2009, 10р.

16. Alifanov O.M., Nenarokomov A.V., Titov D.M. и др. Mathematical and experimental simulation in thermo-loaded aerospace structures design and testing // Сб. трудов Seventh International Seminar on Recent Research and Design Progress in Aeronautical Engineering and its Influence on Education (11-12 October, 2006, Tallinn, Estonia).- Tartu: TAC. 2006. PP. 60-61.

17. Alifanov O.M., Nenarokomov A.V., Titov D.M. Material's thermophysical and radiative properties estimating // Сб. трудов Int. Conference on Materials Characterization and Inverse Problems (April 25-27, 2009 Sousse, Tunisia).-Sousse: Newtechenergy Publ., Tunisia, 2009, 6 pp.

18. Alifanov O.M., Nenarokomov A.V., Titov D.M. и др. Method for Estimating Parameters of Coupled Problem of Interaction of Gas Flows Loaded by Solid Particles with Solids // Сб. трудов Computational Methods for Coupled Problems in Science and Engineering: 4-я международная конференция (2022 июня 2011 г., Кос, Греция).- Barselona, CIMNE Publ., 2011, 12р.

19. Alifanov О.М., Nenarokomov A.V., Titov D.M. и др. Method for estimating parameters of gas flows loaded by solid particles interacted with solids // Сб. трудов Int. Symp. on Convective Heat and Mass Transfer in Sustainable Energy (April 26 - May 1, 2009, Tunisia).- Begell House Inc., Redding, USA, 2009, 16 p.

20. Alifanov O.M., Nenarokomov A.V., Titov D.M. и др. Optimal experiment design to estimate the thermal destruction parameters of materials // Сб. трудов Inverse Problems in Engineering: Theory and Practice: 6-я международная конференция (16-19 июня 2008 г., Дур дан, Франция).- Univ. Nancy Pabl., 2008. PP. 85.1-85.5.

21. Alifanov O.M., Nenarokomov A.V., Titov D.M. Space structures insulating material's thermophysical and radiation properties estimation. // Сб. трудов. 55th International Astronautical Congress (4-8 October 2004, Vancouver, Canada).- Vancouver: LA.C-04-IAF-I.6.09,2004, 10 p.

22. Alifanov O.M., Nenarokomov A.V., Titov D.M. Study of Radiative and Conductive Heat Transfer by Inverse Problems Methods // Heat Transfer Research. 2006. Vol.36. No.3. PP.189-198.

23. Nenarokomov A.V., Titov D.M. Estimating properties of materials interacted with high-enthalpy gas flow by inverse problems technique // Сб. трудов 6th European Workshop on Thermal Protection Systems and Hot Structures (March 31 - April 3,2009, Stuttgart, Germany). -Stuttgart: ESA/ESTEC Publ. Division. # 1546751,2009,12p.

24. Nenarokomov A.V., Titov D.M. Evaluation of thermophysical properties for materials interacted with gas flows // Сб. трудов Int.Conference on Materials Characterization and Inverse Problems (April 25-27, 2009 Sousse, Tunisia).-Sousse: Newtechenergy Publ., Tunisia, 2009, 6p.

25. Nenarokomov A.V., Titov D.M. Study of perspective materials interacted with high-enthalpy gas flow by inverse problems technique // Сб. трудов Inverse Problems: Identification, Design and Control: 6-я международная конференция (6-11 октября 2010 г., Самара, Россия).- Москва: Издательство МАИ, 2010, 9р.

26. Nenarokomov A.V., Titov D.M. Optimal experiment design to estimate the radiative properties of materials // Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 2005. Vol.93. PP.313-323.

27. Nenarokomov A.V., Titov D.M., Gonsales V.M. Parameter estimation of mathematical model of heat transfer at multilayer thermal insulation// Сб. трудов Inverse Problems: Identification, Design and Control: 6-я международная конференция (6-11 октября 2010 г., Самара, Россия).-Москва: Издательство МАИ, 2010, Юр.

28. Nenarokomov A.V., Titov D.M. Optimal experiment design to estimate the radiative properties of materials / M.P.Menguc, N.Selcuk ed // Сб. трудов Fourth International Symposium on Radiative Transfer. - New York, Wallingford (UK): Begell House, 2004.- P.357-364.

Множительный центр МАИ (НИУ) Заказ от ||. OS 201Z, г. Тираж Ю0 экз.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата технических наук, Титов, Дмитрий Михайлович

ВВЕДЕНИЕ

1 РАЗРАБОТКА И ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В СИСТЕМАХ НЕРАЗРУШАЕМОЙ ТЕПЛОЗАЩИТЫ И ТЕПЛОИЗОЛЯЦИИ.

1.1 Структура математических моделей и их характеристики

1.2 Построение приближенных математических моделей и определение характеристик математических моделей

1.3 Обратные задачи теплообмена как метод определения характеристик математических моделей

1.5 Идентификация математических моделей теплообмена

2 ИТЕРАЦИОННЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ТЕПЛООБМЕНА.

2.1 Метод итерационной регуляризации и структура алгоритмов решения обратных задач

2.2 Сопряженная краевая задача и вычисление градиента функционала невязки

2.3 Сплайн-аппроксимация искомых функций

2.4 Определение параметра спуска

3 ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РАЗРАБАТЫВАЕМОГО МЕТОДА.

3.1 Анализ вычислительных алгоритмов

3.2 Аппроксимация коэффициентов дифференциального оператора параболического типа

3.3 Конечно-разностная аппроксимация дифференциального оператора

3.4 Решение системы алгебраических уравнений

3.5 Решение уравнения теплового баланса на внешней границе

3.6 Вычисление функционалов от полученного решения и некоторые дополнительные операции

4 АНАЛИЗ СВОЙСТВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ ПУТЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ.

5 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-РАСЧЕТНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ И РАДИАЦИОННЫХ СВОЙСТВ ТЕПЛОИЗОЛЯЦИОННОГО МАТЕРИАЛА.

5.1 Постановка задачи исследования

5.2. Методика испытаний. Разработка и изготовление образцов

5.3 Проведение испытаний и их результаты

5.4 Обработка результатов испытаний

6 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-РАСЧЕТНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ТЕПЛОИЗОЛЯЦИОННОГО МАТЕРИАЛА БЕЗ УСТАНОВКИ ВНУТРЕННИХ ТЕРМОПАР.

6.1 Постановка задачи исследования [20,32]

6.2 Разработка и изготовление образцов [20]

6.3 Проведение испытаний и их результаты [20]

6.4 Обработка результатов испытаний [20]

6.6 Анализ результатов исследования [20]

Введение диссертация по физике, на тему "Параметрическая идентификация математических моделей теплообмена в неразрушаемых теплозащитных и теплоизоляционных материалах"

Одно из направлений исследований при проектировании новых образцов космических аппаратов (КА) является поиск инженерных решений для защиты корпуса и оборудования КА от тепловых воздействий на различных этапах полета. Определение оптимальных проектных параметров систем тепловой защиты и терморегулирования при проектировании КА определяется условиями теплового взаимодействия поверхности аппарата с внешней средой и внутренними процессами теплообмена, обусловленными различными режимами работы двигательных установок, режимами функционирования служебного и научного оборудования и приборов, а также наличием экипажа.

Современное развитие ракетнокосмической техники привело к значительному усложнению как теоретического анализа, так и экспериментальных исследований тепловых процессов, которым подвержены конструкция КА и его теплозащитные покрытия, что привело к повышению роли использования обоснованных математических моделей различных уровней детализации, позволяющих с требуемой точностью прогнозировать тепловое состояние теплозащитных и теплоизоляционных материалов и конструкций на различных стадиях эксплуатации КА, что является важнейшим условием успешного решения задачи выбора оптимальных параметров системы тепловой защиты. Эффективность решения подобной задачи во многом зависит от глубины и достоверности изучения явлений теплообмена и, следовательно, от адекватности математических моделей процессов теплопереноса, протекающих в теплонагруженных конструкциях аппарата и на его поверхности. При этом, в тепловом проектировании теплонагруженных систем и конструкций большое значение придается экспериментальным исследованиям, стендовой и летной отработке тепловых режимов и, как следствие, созданию эффективных методов идентификации математических моделей по результатам испытаний. Однако, необходимость проведения подобных испытаний в условиях, максимально приближенных к натурным, приводит к резкому повышению стоимости проведения экспериментальных работ. Сложность используемых математических моделей, высокая стоимость тепловых экспериментов и испытаний, а также известные недостатки традиционных методов обработки и анализа данных теплофизических исследований делают актуальной задачу разработки новых методов и средств получения максимального количества информации об анализируемой тепловой системе и ее характеристиках и теплофизических характеристиках используемых материалов, с использованием экспериментальных данных, обеспечения максимальной достоверности получаемых результатов и снижения необходимого объема экспериментальных работ. Как показывает опыт, в основу таких методов может быть положена методология обратных задач теплообмена (ОЗТ) [7], а в ряде случаев обратные задачи являются практически единственным средством получения необходимых результатов.

Методы обратных задач дают возможность исследовать сложные нестационарные процессы теплообмена в элементах конструкции, агрегатах и системах КА, обладают высокой информативностью, что позволяет, в конечном итоге, более обоснованно выбирать проектные решения. Поэтому в настоящее время в тепловом проектировании и экспериментальной отработке тепловых режимов КА методы исследований, основывающиеся на принципах обратных задач теплообмена, находят всё более широкое применение. Основываясь на фундаментальных принципах теории некорректных задач математической физики, разработанных академиком А.Н.Тихоновым, в разработке алгоритмов, математических положений и практическом использовании методов обратных задач теплообмена были достигнуты большие успехи во многих научных центрах и организациях различными группами исследователей как в России, так и зарубежных странах. Основное распространение методы обратных задач получили при экспериментальном изучении нестационарных, высокоинтенсивных тепловых процессов, сопровождающих работу различных агрегатов и систем ЛА. Таким образом, разработка единой методологии применения обратных задач для решения комплексных задач идентификации математических моделей теплопереноса является актуальным направлением исследований в проектировании теплонагруженных конструкций и экспериментальной отработке тепловых режимов летательных аппаратов.

В настоящей работе постановка задачи идентификации математических моделей теплопереноса рассматривается как тепловое взаимодействие систем КА и внешней среды, построенное на основе анализа причино-следственных связей. К причинным факторам процесса теплопереноса, в соответствии с используемыми математическими моделями, относятся: граничные условия и их параметры, начальные условия, теплофизические и радиационно-оптические свойства материалов, исходные геометрические характеристики, а также моменты времени начала, окончания и изменения характера процессов теплообмена. Тогда следствием будет то или иное тепловое состояние, определяемое полем температур. Подобная причинно-следственная связь определяет собой прямую задачу теплообмена. Если же по определенной информации о тепловом состоянии объекта требуется восстановить неизвестные причинные характеристики, то имеет место та или иная постановка обратной задачи теплообмена [7,11]. Одной из характерных черт обратных задач является наличие не полного задания причинных факторов (либо уравнений, либо краевых условий, либо геометрического описания) (т.е., по сути, является недоопределенной задачей), но, при этом, существует некая дополнительная информация о состоянии объекта исследования, которая используется для определения неизвестных причинных характеристик. В силу этого, как правило, обратные задачи и относятся к классу некорректно поставленных задач, в которых некорректность, чаще всего, обусловлена неустойчивостью решения обратной задачи по отношению к погрешностям входных данных [7,11,52,126]. Для решения некорректно поставленных обратных задач разработана как общая теория регуляризации, так и методы решения, основанные на данной теории, применительно к различным постановкам обратных задач [7,8,123-127]. Широкая применимость подобных методов при создании сложных технических систем, в том числе и теплонагруженных конструкций летательных аппаратов, и их способность повысить качество проводимых работ и быстроту и экономичность получения результатов, позволяет утверждать, что разработка новых и усовершенствование существующих методов решения некорректно поставленных ОЗТ является актуальным направлением в науке и технике, а в ряде случаев и единственно возможным инструментом для получения необходимых результатов [8].

Из всего спектра проблем, которые возникают и требующих своего решения при проектировании и создании надежных теплонагруженных конструкций, в данной работе анализируется проблема отработки неразрушаемого теплозащитного покрытия (ТЗП) КА. Целью диссертации является разработка и применение экстремальных методов решения обратных задач математической физики для идентификации математических моделей теплопереноса в системах неразрушаемой теплозащиты и теплоизоляции. Общая методика исследования, принятая в диссертационной работе, базируется на использовании и обобщении опыта решения обратных задач теплопроводности, достижениях в области вычислительной математики, численных методов теплообмена, методов оптимизации, методов решения некорректных задач математической физики.

Научная новизна работы определяется впервые реализованным подходом к проблеме применения методологии обратных задач при одновременном определении теплофизических характеристик исследуемого теплозащитного материала и параметров экспериментальной установки (температурных зависимостей коэффициента теплопроводности Я(г), объемной теплоемкости с{т) и интегральной степени черноты £-('/') материала и интегральной степени черноты нагревателя (г)), а также определении теплофизических характеристик высокопористого хрупкого теплозащитного материала без установки внутренних термопар в исследуемых образцах.

Практическими результатами работы стал новый метод исследования характеристик теплозащитных материалов и многослойных покрытий КА, с учетом их взаимного влияния, разработанный на основе решений обратных задач, и реализованный в виде программного комплекса.

Основные положения работы и отдельные ее результаты были опубликованы в журналах, входящих в перечень рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ перечень изданий [16, 107, 137, 138, 148], докладывались, обсуждались и были одобрены на Минском международном форуме по тепло- и массообмену (2008), Международной конференции "Обратные задачи: Идентификация, Проектирование и Управление" (Казань, 2007; Самара, 2010), Международной конференции "Conference on Inverse Problems in Engineering: Theory and Practice" (Париж, 2008; Орландо, 2011) и ряде других. По результатам выполненных исследований, посвященных теме диссертации, опубликовано более 20 печатных работ, выпущено более 10 научно-технических отчетов.

Диссертационная работа состоит из шести глав.

В первой главе рассматриваются общие методические вопросы проблемы создания обоснованных математических моделей теплопереноса в элементах конструкции из неразрушаемых материалов. Базируясь на результатах проведенного анализа, предлагается общая процедура построения приближенных моделей теплопереноса; формулируются цели и задачи исследования; приводятся формализованные постановки задачи идентификации математических моделей теплообмена; анализируются общие закономерности используемых для этого математических моделей; проанализировано влияние неопределенностей используемых математических моделей на результаты проектирования и обоснование необходимости достоверной идентификации этих моделей.

Вторая глава посвящена разработке алгоритма решения ОЗТ на основе метода итерационной регуляризации, показавшего свою высокую эффективность при решении различных обратных задач теплопроводности. Обосновывается применение итерационных методов идентификации математических моделей. Обосновывается целесообразность предварительной параметризации искомых функциональных зависимостей. Приводится постановка сопряженной задачи для вычисления градиента функционала невязки. Обосновывается применение сплайн-аппроксимации при решении ОЗТ. Определяются параметры градиентного метода минимизации.

В четвертой главе анализируются свойства вычислительных алгоритмов путем математического моделирования. Анализируется вычислительная устойчивость предложенного алгоритма к различным погрешностям. Анализируется влияние различных факторов на точность решения.

Заключение диссертации по теме "Теплофизика и теоретическая теплотехника"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. На основе общего подхода к решению обратных задач математической физики был разработан алгоритм решения задач идентификации математических моделей теплообмена в многослойных элементах конструкции из неразрушаемых материалов методом итерационной регуляризации с использованием предварительной параметризации определяемых характеристик, с представлением искомых функций в виде В-сплайнов, с учетом априорной информации об определяемых характеристиках, с вычислением векторного параметра спуска при решении обратных задач по определению нескольких характеристик.

2. Проведен анализ существующих вычислительных алгоритмов при численной реализации итерационных методов решения обратных задач и разработан вычислительный алгоритм для численного решения задач идентификации для многослойной конструкции теплозащитного покрытия в одномерной постановке. Впервые была получена однородная разностная схема для многослойной конструкции, в том числе ля случая неидеальных контактов между слоями. Разработаны принципы программной реализации разработанного вычислительного алгоритма.

5. Были проведены экспериментально-расчетные исследования теплофизических свойств (коэффициента теплопроводности и интегральной степени черноты) теплоизоляционного материала на основе вспененного углерода ЯУС без установки внутренних термопар. Построены физическая и математическая модели процесса теплообмена в образце, разработана математическая формулировка коэффициентной обратной задачи.

6. Разработанная методология может быть также использована для повышения эффективности и качества исследований в других отраслях науки и техники, в которых возникает необходимость исследования при разработке теплонагруженных конструкций и систем, а именно: в энергетике, металлургии, ядерной технике, химическом машиностроении, двигателестроении, медицине и т.д.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата технических наук, Титов, Дмитрий Михайлович, Москва

1. Абраменко Т.Н., Волохов Г.М., Козлов В.П., Шашков А.Г. Методы определения теплопроводности и температуропроводности. Под ред. А.В.Лыкова. М.: Энергия, 1973. 336 с.

2. Авдуевский B.C., Анфимов H.A., Антонов Б.М. и др. Основы теории полета космических аппаратов/ Под ред. Г.С.Нариманова и М.К.Тихонравова. М.: Машиностроение, 1972. 607 с.

3. Авдуевский B.C., Галицейский Б.М., Глебов Г.А. и др. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике,- М.: Машиностроение, 1975. 624 с.

4. Агабабов С.Г., Агабабов B.C. О калориметрическом методе экспериментального определения степени черноты твердых тел//Инженерно-физический журнал. 1977. Т.32, № 3. С.423-428.

5. Алифанов О.М. Решение обратной задачи теплопроводности итерационными методами //Инженерно-физический журнал,- 1974. Т. 26, № 4. С. 682-689.

6. Алифанов О.М. Определение тепловых нагрузок из решения нелинейной обратной задачи // Теплофизика высоких температур. 1977. 15, В 3, с. 598-605.

7. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов (введение в теорию обратных задач теплообмена). М.: Машиностроение, 1979. 216 с.

8. Алифанов О.М. 0 методах решения некорректных обратных задач // Инженерно-физический журнал. 1983. Т.45, № 5. С. 742-752.

9. Алифанов О.М. Об одном способе учета априорной информации при решении некорректных обратных задач //Инженерно-физический журнал. 1985. Т.49, N 6. С. 925-932.

10. Алифанов О.М. Об идентификации физических процессов и обратных задачах // Инженерно-физический журнал. 1985. Т. 49, N 6. С. 889-897.

11. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. 280 с.

12. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Ненарокомов A.B. Сплайн- аппроксимация решения обратной задачи теплопроводности, учитывающая гладкость искомой функции // Теплофизика высоких температур. 1987. Т. 25, № 4. С. 693-699.

13. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач и их приложения к обратным задачам теплообмена. М.: Наука, 1988.288 с.

14. Алифанов О.М., Михайлов B.B. Решение нелинейной обратной задачи теплопроводности итерационным методом /Инженерно-физический журнал. 1978. Т.35, № 6. С. II23-II29.

15. Алифанов О.М., Михайлов В.В. Определение тепловых нагрузок по данным измерений температуры в твердом теле.//Теплофизика высоких температур. 1983. Т. 21, 5. С.944-951.

16. Алифанов О.М., Ненарокомов A.B., Титов Д.М. "Исследование радиационного и кондуктивного теплопереноса методом обратных задач." В кн. Тепломассообмен. Труды V Минского международного форума. (24-28 мая 2004г.).- Минск: ИТМО, 2004, 9с.

17. МАИ, каф.601, 2005. С. 113.

18. Алифаиов О.М., Будник С.А., Иванов H.A., Клименко Б.М., Козедра П.А.,Колесник

19. С.А., Колесников В.А., Кузнецова E.JI., Меднов А.Г., Михайлов В.В., Ненарокомов

20. A.B., Нетелев A.B., Охапкин A.C., Пермяков П.П., Старостин Н.П., Титов Д.М.,

21. Алифанов О.М., Будник С.А., Иванов H.A., Клименко Б.М., Меднов А.Г., Ненарокомов

22. A.B., Нетелев A.B., Охапкин A.C., Титов Д.М., Филатова Е.В., Яроцкий В.Н.

23. Комплексные исследования процессов тепломассообмена, управления, динамики КА наоснове современных информационных технологий. Совершенствование методовразработки перспективных ракетно-космических систем НТО по теме N 40000-06010.

24. Этап 1.1. МАИ, каф.601, 2010. С. 109.

25. Алифанов О.М., Будник С.А., Михайлов В.В., Ненарокомов A.B., Нетелев A.B., Титов

26. Д.М., Филатова Е.В. Комплексные исследования процессов тепломассообмена,управления, динамики КА на основе современных информационных технологий.

27. Совершенствование методов проектирования и кадрового сопровожденияперспективных ракетно-космических систем НТО по теме N 32410-06010. Этап 1.1.

28. МАИ, каф.601, 2006. С. 76.

29. Алифанов О.М., Ненарокомов A.B., Нетелев A.B., Титов Д.М., Филатова Е.В.

30. Комплексные исследования процессов тепломассообмена, управления, динамики КА наоснове современных информационных технологий. Совершенствование методовразработки перспективных ракетно-космических систем. НТО по теме №304010-06010.

31. Этап 1.1. МАИ, каф.601, 2007.С. 60.

32. Алифанов О.М., Кулик Ю.П, Ненарокомов A.B., Нетелев A.B., Титов Д.М., Филатова

33. Е.В. Комплексные исследования процессов тепломассообмена, управления, динамики

34. КА на основе современных информационных технологий. Совершенствование методовразработки перспективных ракетно-космических систем НТО по теме N 37990-06010.

35. Этап 1.1. МАИ, каф.601, 2009. С. 139.

36. Алифанов О.М., Ненарокомов A.B., Нетелев A.B., Титов Д.М. , Филатова Е.В.

37. Алифанов О.М., Будник С.А., Иванов H.A., Клименко Б.М., Козедра П.А., Колесников

38. Алифанов О.М., Ненарокомов A.B., Нетелев A.B., Титов Д.М., Филатова Е.В., Черепанов В.В. Развитие методологии физического моделирования процессов в конструкциях космических аппаратов НТО по теме N 01.17.06. Этап 3. МАИ, каф.601, 2008. С. 99.

39. Алифанов О.М., Будник A.C., Евдокименков В.Н ., Красильщиков М.Н ., Малышев

40. B.В., Ненарокомов A.B., Розин П.Е., Усачева В.Е., Хохулин B.C., Янин A.A. Развитие методологии математического и физического моделирования функционирования космических аппаратов. НТО по теме N 01.16.06. Этап 4. МАИ, каф.601, 604, 704 2009.1. C. 184.

41. Алифанов О.М., Будник С.А., Иванов H.A., Клименко Б.М., Макарова С.М., Меднов

42. Алифанов О.М., Керов Н.В., Ненарокомов A.B., Титов Д.М., Филатова Е.В., Хохулин

43. Алифанов О.М., Румянцев C.B. Об устойчивости итерационных методов решения линейных некорректных задач // Доклады АН СССР. 1979. - Т. 248, № 6. - С. 1289-1291.

44. Алифанов О.М., Румянцев C.B. Регуляризующие итерационные алгоритмы для решения обратных задач теплопроводности//Инженерно-физический журнал. 1980. Т.39, № 2. С.253-258.

45. Алифанов О.М., Румянцев C.B. О выводе формул для градиента невязки при итерационном решении обратных задач теплопроводности. Определение градиентачерез сопряженную переменную // Инженерно-физический журнал. 1987. Т.52, № 4. С. 668-675.

46. Артюхин Е.А. Восстановление коэффициента теплопроводности из решения нелинейной обратной задачи // Инженерно-физический журнал. 1981. Т.41, № 4. С. 587592.

47. Артюхин Е.А. Восстановление температурной зависимости коэффициента теплопроводности из решения обратной задачи//Теплофизика высоких температур. 1981. Т.19, № 5. С.963-967.

48. Артюхин Е.А., Киллих В.Е., Охапкин A.C. Восстановление эффективного коэффициента теплопроводности асботекстолита из решения обратной задачи // Инженерно-физический журнал. 1983. Т. 45, № 5. С. 788-794.

49. Артюхин Е.А., Ненарокомов A.B. Комплекс программ для численного решения краевых задач нестационарной теплопроводности //Учебно-методическое пособие. М.: МАИ, каф. 601, 1984. 102 с.

50. Артюхин Е.А., Ненарокомов A.B. Решение обратной задачи по восстановлению интегральной степени черноты твердого тела //Теплофизика высоких температур. 1986. Т.24, № 5. С.957- 968.

51. Артюхин Е.А., Ненарокомов A.B. Численное решение коэффициентной обратной задачи теплопроводности // Инженерно-физический журнал. 1987. Т.53, № 3. С. 474480.

52. Артюхин Е.А., Охапкин A.C. Восстановление параметров в обобщенном уравнении теплопроводности по данным нестационарного эксперимента // Инженерно-физический журнал. 1982. Т.42, № 6. С. 1013 1020.

53. Артюхин Е.А., Охапкин A.C. Определение температурной зависимости коэффициента теплопроводности композиционного материала по данным нестационарного эксперимента//Инженерно-физический журнал. 1983. Т.44, № 2. С.274-281.

54. Артюхин Е.А., Охапкин A.C. Параметрический анализ точности решения нелинейной обратной задачи по восстановлению коэффициента теплопроводности композиционного материала//Инженерно-физический журнал. 1983. Т. 45, В5. С.781-788.

55. Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Градиентный метод нахождения гладких решений граничных обратных задач теплопроводности //Инженерно-физический журнал. 1980. Т.39, № 2. С.259-263.

56. Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Об оптимальном выборе шагов спуска в градиентных методах решения обратных задач теплопроводности //Инженерно-физический журнал. 1980. Т.39, № 2. С. 264-269.

57. Башарин А.Ю., Кириллин A.B., Шейндлин М.А. Методика экспериментального исследования оптических характеристик тугоплавких материалов при сверхвысоких температурах //Теплофизика высоких температур. 1984. Т.22, № 1. С. 131 -137.

58. Башарин АЛО., Кириллин A.B., Шейндлин М.А. и др. Исследование оптических характеристик углеграфитовых материалов при лазерном нагреве // Теплофизика высоких температур. 1986. Т. 24, № 1. С. 76-81.

59. Бахвалов Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Наука, 1973. 632 с.

60. Беляев Н.М., Рядно A.A. Методы теории теплопроводности, ч. 1,2. М.: Высшая школа, 1982. 327 с., 304 с.

61. Беркович Е.М., Голубева A.A. Численные эксперименты по решению некоторых экстремальных и обратных задач для уравнения теплопроводности // Решение задач оптимального управления и некоторых обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1974. С. 100108.

62. Беркович Е.М., Голубева А. А. О численном решении некоторых обратных коэффициентных задач для уравнения теплопроводности // Решение задач оптимального управления и некоторых обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1974. С. 59-75.

63. Бут E.H. Сплайн идентификация тепловых потоков//Инженерно-физический журнал. 1977. Т.ЗЗ, № 6. С.1085-1089.

64. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400 с.

65. Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1984. 112 с.

66. Гончарский A.B., Леонов A.C., Ягола А.Г. Обобщенный принцип невязки // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1973. Т. 13, №2. С. 294-303.

67. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. М.: Изд-во МГУ, 1983, 208 с.

68. Денисов A.M. Единственность решения некоторых обратных задач для уравнения теплопроводности // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1982. Т. 22, №4. С. 858-864.

69. Елисеев В.Н., Соловов В.А. Теоретическое и экспериментальное исследование погрешности измерения температур термопарами в теплоизоляционных материалах // Инженерно-физический журнал. 1983. Т. 45, № 5. С. 737 742.

70. Ермаков С.М., Жиглявский A.A. Математическая теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1987. 320 с.

71. Иванов В.РС., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. М.: Наука, 1978. 206с.

72. Иванов И.Т., Орлов В.К., Фролов И.И. Интегральная степень черноты цветных металлов и некоторых огнеупоров //Теплофизика высоких температур. 1976. Т. 14, №1. С. 38-41.

73. Излучательные свойства твердых материалов / Под ред. А.Е.Шейндлина. М.: Энергия, 1974.297 с.

74. Канторович JT.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.

75. Карпов В.Я., Корягин Д.А., Самарский A.A. Принципы разработки пакетов прикладных программ для задач математической физики // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1978. Т. 18, 2. С. 458 467.

76. Карри Д., Уильяме С. Применение нелинейного метода наименьших квадратов для определения теплофизических свойств// Ракетная техника и космонавтика. 1973. T.II, №5. С.118-124.

77. Клибанов М.В. Теорема единственности для одного класса коэффициентных обратных задач теплопроводности с измерениями температуры во внутренних точках тела // Инженерно-физический журнал . 1985. Т. 49, № 6. С. 1006-1009.

78. Клибанов М.В. "Об одном классе обратных задач для нелинейных параболических уравнений // Сибирский математический журнал. 1986. Т. 27, № 5. С. 83-94.

79. Коздоба JI.A., Круковский П.Г. Методы решения обратных задач теплопереноса. Киев: Наукова думка, 1982. 359 с.

80. Козлов Н.И. Организация вычислительных работ. М.: Наука, 1981. 240 с.

81. Колесников П.М., ПротоДьяконова Т.Г. Нелинейная обратная задача восстановления коэффициентов переноса //Инженерно-физический журнал. 1985. Т. 49, № 6. С. 909915.

82. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. 496 с.

83. Лаврентьев М.М., Романов В.Г. Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 288 с.

84. Лисиенко В.Г., Кулысин В.Б., Гущин B.C. и др. Интегральная степень черноты двух видов электротехнических сталей/Теплофизика высоких температур. 1980. Т. 18, № 6. С.1176-1179.

85. Лыков A.B. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 599 с.

86. Лыков A.B. Тепломассообмен: (Справочник). М.: Энергия, 1978. 480 с.

87. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. 536 с.

88. Мастрюков B.C., Кржваыдин В.А., Зубов В.В. Изменение степени черноты жаростойких сплавов при нагреве на воздухе//Теплофизика высоких температур. 1976. Т. 14, №4. С. 744-749.

89. Мацевитый Ю.М., Мултановский A.B. Идентификация в задачах теплопроводности. Киев : Наукова думка, 1982. 240 с.

90. Мишин В.П., Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена области применения при проектировании и испытаниях технических объектов // Инженерно-физический журнал. 1982. Т. 42, № 2. С. 181-192.

91. Мишин В.П., Алифанов О.М. Повышение качества отработки теплонагруженных конструкций и обратные задачи теплообмена. Общие вопросы теории // Машиноведение. 1986. № 5. С. 19-29.

92. Мишин В.П., Алифанов О.М. Повышение качества отработки теплонагруженных конструкций и обратные задачи теплообмена. Практические приложения. // Машиноведение. 1986. № 6. С. 11-21.

93. Морозов В.А. О принципе невязки при решении операторных уравнений методом регуляризации // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1968. Т. 8, № 2. С.295-309.

94. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.240 с.

95. Музылев Н.В. Теоремы единственности для некоторых обратных задач теплопроводности //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1980. Т.20, № 2. С.388-400.

96. Музылев Н.В. 0 единственности одновременного определения коэффициентов теплопроводности и объемной теплоемкости//Журнал вычислительной математики и математической физики. 1983. Т. 23, № 1. С. 102-108.

97. Ненарокомов A.B., Титов Д.М., Гонсалес В.М. Автоматическое проектирование неразрушаемой тепловой защиты космических аппаратов. Вестник МАИ, 2010, т. 16, №4. С.60-67.

98. Нарожный Ю.Г., Полежаев Ю.В., Кириллов В.И. Некоторые результаты исследования теплопроводности стеклопластиков //Инженерно-физический журнал. 1975. Т. 29, № 1. С. 77-80.

99. Омельченко К.Г., Пчелкина В.Г. Решение обратной задачи нелинейной теплопроводности по определению теплофизических характеристик //Инженерно-физический журнал. 1975. Т. 29, № 1. С. 95-98.

100. Охапкин А. С. Исследование характеристик теплопереноса композиционного теплозащитного материала //Инженерно-физический журнал. 1985. Т.49, № 6. С. 989994.

101. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. 152 с.

102. Полежаев Ю.В., Нарожный Ю.Г., Сафонов В.Е. Метод определения коэффициента теплопроводности высокотемпературных материалов // Теплофизика высоких температур. 1973. T. II, № 3. С. 609-615.

103. Просунцов П.В., Резник C.B. Определение теплофизических свойств полупрозрачных материалов // Инженерно-физический журнал. 1985. Т.49, № 6. С. 977-982.

104. Пфал Р., Митчел Б. Методы нелинейной регрессии для одновременного определения характеристик // Ракетная техника и космонавтика. 1970. Т.8, № 6. С. 70-78.

105. Румянцев C.B. Способы учета априорной информации в регуляризирующих градиентных алгоритмах//Инженерно-физический журнал. 1985. Т. 4-9, № 6. С. 932-936.

106. Самарский A.A. Пакеты прикладных программ как средство обеспечения сложных физических расчетов //Перспективы системного и теоретического программирования. Новосибирск: ВЦ ИТПМ АН СССР, 1975. С. 5-14.

107. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. 616 с.

108. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976.248 с.

109. Страхов B.JL, Леонова С.И., Гаращенко А.И. Некоторые результаты определения температурных зависимостей теплофизических характеристик композиционных полимерных материалов //Инженерно- физический журнал. 1977. Т.33, № 6. С. 10471051.

110. Тамм Б.Г., Тыуту Э.Х. О создании проблемно-ориентированного программного обеспечения//Кибернетика. 1975. №4. С. 76-85.

111. Темкин А.Г. Обратные методы теплопроводности. М.-Л.: Энергия, 1973. 464 с.

112. Температурные измерения. Справочник / Геращенко O.A., Гордов А.Н., Еремина А.К. и др. Киев : Наукова думка, 1989. 704 с.

113. Тихонов А.Н. О решении некорректно-поставленных задач и методе регуляризации // Докл. АН СССР. 1963. Т. 151, № 3. С. 501-504.

114. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Докл. АН СССР. 1963. Т. 153, №1. С. 49-52.

115. Тихонов А.Н. Обратные задачи теплопроводности //Инженерно-физический журнал. 1975. Т. 29, №1, С. 7-12.

116. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 288 с.

117. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983. 198 с.

118. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 735 с.

119. Шашков А.Г. Идентификация теплофизических свойств веществ // Инженерно-физический журнал. 1980. Т. 39, № 3. С. 416-427.

120. Шумаков Н.В. Метод последовательных интервалов в теплометрии нестационарных процессов. М.: Атомиздат, 1979. 210 с.

121. Щур Б.А., Пелецкий В.Э. Излучательная способность титана в диапазоне температур II00-I900 К//Теплофизика высоких температур. 1981. Т. 19, №6. С. 1172-1177.

122. Янкелев Л.Ф., Гусева Л.И. Метод одновременного определения коэффициента теплопроводности и объемной теплоемкости, зависящих от температуры. // Инженерно-физический журнал. 1975. Т. 28, № 4. С. 652-656.

123. Alifanov O.M., Nenarokomov A.V., Titov D.M. Space Structures Insulating Material's Thermphysical and Radiation Properties Estimation. Acta Astronáutica, 2007, Vol.61, pp.873880.

124. Methods for Coupled Problems in Science and Engineering (June 20 22, 2011, Kos, Greese).- Barselona, CIMNE Publ., 2011, 12p.

125. Alifanov O.M., Nenarokomov A.V., Titov D.M. Space structures insulating material's thermphysical and radiation properties estimation. Proc. 55th International Astronautical Congress (4-8 October 2004/Vancouver, Canada).- IAC-04-IAF-I.6.09, 2004, 10 p.

126. Alifanov O.M., Nenarokomov A.V., Titov D.M. Study of Radiative and Conductive Heat Transfer by Inverse Problems Methods. Heat Transfer Research, 2006, Vol.36, No.3, pp. 189198.

127. Beck J.V. Calculation of thermal diffusivity from temperature measurements // J. Heat Transfer. 1963. V. 85, N. 2. P. 181-182.

128. Beck J.V. Transient sensitivity coefficients for the thermal contact conductance // Int. J. Heat Mass Transfer. 1967. V. 10. pp. 1615-1617.

129. Beck J.V., Arnold K.I. Parameter Estimation in Engineering and Science. John Wiley and Sons, 1977. 501 p.

130. Beck J.V., Blackwell B., Clair C.R. Inverse heat conduction. Ill-posed problems. Wiley-Interscience Publications, 1985, 310 p.

131. Cannon J.R., DuChateau P. An inverse problem for a nonlinear diffusion equation // S1AM J. Appl. Math. 1980. V. 39, N. 2. P. 272-289.

132. Chavent G. Identification of functional parameters in partial differential equations // Proc. of Symposium of the American Automatic Control Council on Identification of Parameters in Distributed Systems. ASME, N.Y., 1974. P. 31-48.

133. Chavent G. Identification of distributed parameters // Identification and System Parameter Estimation, Part 2, Proc. of the 3 IPAG Symposium, The Hague / Delft, the Nethelands, 1973. North-Holland Publishing Go., 1973. P. 649-660.

134. Goodwin G.G., Payne R.L. Dynamic system identification: experimental design and data analysis. Academic Press, 1977. 291p.

135. Johnson P.E., Dewitt D.P., Taylor R.E. Method for measuring high temperature spectral emissivity of nonconducting materials//AIAA Journal. 1981. V. 19, N. 6. P. 113-120.

136. Kubrusly G.S. Distributed parameter system identification. A survey // Int. J. Control. 1977. V. 26, N. 4. P. 509-535.

137. Nenarokomov A.V., Titov D.M. Optimal experiment design to estimate the radiative properties of materials. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 2005, vol.93, pp.313-323.