Сопряженный теплообмен при турбулентном течении жидкости в трубах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ. Ь

1. РЕШЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ СОПРЯЖЕННЫХ ЗАДАЧ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ И ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ КАНАЛЕ ПРИ

ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ПЕРВОГО РОДА. Ю

1*1. Постановка задачи и описание метода решения

1*2* Особенности решения задачи для круглой трубы

1.3. Расчет характеристик процесса стационарного сопряженного теплообмена в круглой трубе

1.3.1. Теплообмен при постоянной температуре внешней поверхности стенки

1.3.2. Уравнения подобия для коэффициента теплопередачи

1.3.3. Теплообмен при наличии диссипации энергии в потоке

1.3.4. Экспоненциальный закон изменения температуры внешней поверхности стенки

1.4. Решение стационарной сопряженной задачи теплообмена для плоскопараллельного канала

2. РЕШЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ СОПРЯЖЕННЫХ ЗАДАЧ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ И ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ КАНАЛЕ ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ТРЕТЬЕГО РОДА.

2.1. Теплообмен в круглой трубе.

2.2. Температура окружающей среды - линеиная функция на конечном участке

2.3. Сравнение результатов расчета теплообмена в круглой трубе для различных моделей турбулентности . . . ЮЗ

2.4. Теплообмен в плоскопараллельном канале

3. РЕШЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ СОПРЯЖЕННЫХ ЗАДАЧ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ ПРИ НЕЛИНЕЙНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ . Ш

3.1. Методика решения

3.2. Теплотехнический расчет работы водоохлавдаемого дорна.

ЗАКЛКЧЕНИЕ.

ХХУ1 съезд отметил, что "определяющую роль в развитии народного хозяйства и получении высоких конечных результатов играют базовые отрасли индустрии - электроэнергетика, металлургия, химия, машиностроение"*, достижения которых в решающей мере зависят от энерговооруженности предприятий и энергооснащенности технологических процессов, т.е. от уровня развития энергетической базы.

Энергетическая база народного хозяйства нашей страны постоянно растет и совершенствуется: строятся новые гидро- и атомные электростанции, разрабатываются способы рационального использования энергии и получения новых ее источников. Все это выдвигает повышенные требования к энергетическим устройствам и разработке новых систем теплообменнои и технологической аппаратуры.

Одним из основных условий создания и успешной эксплуатации современных энергетических устройств является изучение механизмов протекающих в них процессов, разработка и внедрение методов и методик расчета их характеристик. Составной частью таких исследований стало изучение процессов переноса тепла при течении жидкостей в трубах и каналах, которые являются распространенными элементами энергетических устройств различной природы. Здесь достигнуты значительные успехи, особенно для каналов простои геометрической формы. Основные результаты теоретических и экспериментальных исследований обобщены в фундаментальных работах /31, 50, 51, 64, 65, 66 /. Н.А.Тихонов. Основные направления, экономического и социального развития СССР на 1981-1985 годы и на период до 1990 года.-М.: Политиздат, 1981, 45 с.

Характеристики конвективного теплообмена в каналах существенно зависят от граничных условий на стенках, которые в свою очередь, зависят от геометрических размеров и теплофизических свойств материала стенок и жидкости. Всю эту взаимосвязь позволяет учесть так называемая сопряженная постановка задач теплообмена, которая в отличие от традиционного подхода / 50, 51, 64 / предполагает определение температурного поля в стенке и жидкости в результате совместного решения уравнений энергии и теплопроводности вместе с уравнениями движения. При таком подходе важным является вопрос о граничных условиях на поверхности раздела жидкость-тело.

Первая попытка постановки внутренней сопряженной задачи теплообмена примерно в одно и то же время сделана в работах / 77, 88, 92 / и выглядит так: по каналу постоянного поперечного сечения протекает несжимаемая жидкость с постоянным расходом. Температура жидкости по поперечному сечению постоянна, температура стенки постоянна по толщине, теп логические характеристики жидкости и материала стенки постоянны, нет внутренних источников тепла, теплопередача вдоль жидкости и стенки за счет теплопроводности пренебрежимо мала по сравнению с теплопереда -чей от жидкости к стенке, теплопередача от жидкости к стенке пропорциональна разности температур жидкости и стенки, коэффициент теплоотдачи постоянен. Таким образом, на внутренней поверхности канала ставятся условия сопряжения по температуре в виде граничных условий Ш рода. Граничное условие на поверхности раздела стенка-жидкость включается в правые части уравнений энергии для жидкости и теплопроводности для стенки. Задача здесь считается сопряженной в том смысле, что температура жидкости и температура стенки определяются в результате совместного решения уравнений для жидкости и стенки.

Такой подход к сопряжению температурных полей использовался и авторами работ / 3, 2 /. Эта постановка приемлема, когда температура стенки может считаться постоянной по сечению, что возможно лишь в исключительном случае бесконечно большой теплопроводности твердого тела или бесконечно малой его толщины.

Реальной физической ситуации соответствуют вполне определенные теплопроводность и толщина стенки. Предварительное задание температуры стенки неудовлетворительно и в случае высокоинтенсивного теплообмена. Поэтому закон зависимости температуры стенки от координат и от времени должен быть получен путем совместного решения уравнений распространения теплоты в жидкости и твердом теле вместе с уравнениями движения, причем сшивание решений необходимо производить по равенству температур и тепловых потоков, т.е. ставить граничные условия 1У рода. При такой постановке учитывается взаимное тепловое влияние тела и жидкости, которое при прежней не учитывалось, в результате чего теплообмен оказывался^не зависящим от свойств тела, его теплофизичес-ких характеристик, размеров, распределения источников в теле.

К одним из первых работ, в которых для внутренней задачи теплообмена ставились граничные.условия 1У рода относятся работы Г«А*Остроумова по свободной конвекции / 47 /, Н*И.Булее -ва / 10 / и В.Р.Шеляга / 73 / по вынуаденному течению в каналах. Граничные условия 1У рода для внешнего обтекания тел потоком жидкости были поставлены в работах Т.Л.Перельмана и А.В.Лыкова / 36,48 /.

В настоящее время "сопряженными" принято называть задачи с граничными условиями 1У рода на границе раздела твердого тела и теплоносителей / 46 /. Сопряженная формулировка вызывает большие математические трудности, что вынуждает идти на упрощения, часто делающие решенную задачу далекой от поставленной. Поэтому разработка методов решения сопряженных задач является одним из направлений, обеспечивающих эффективность и надежность инженерных расчетов различных теплообменных систем.

В связи с этим, в последнее время появилось много работ, посвященных решению сопряженных задач, из которых можно вьще -лить / 14,16, 22, 27 /.

В создании методов решения сопряженных задач теплообмена можно выделить два направления:

I) численные методы; 2) аналитические методы.

Остановимся на работах, предлагающих численные методы решения внутренних сопряженных задач.

Появление быстродействующих ЭВМ, создание новых численных методов решения краевых задач для уравнений математической физики позволяет получить большой объем информации о рассматриваемых физических процессах путем математического эксперимента.

Прежде всего необходимо отметить работу / 24 /, в которой с позиций сопряженной постановки проведено численное исследование нестационарного теплообмена и гидродинамики при ламинарном течении сжимаемой и несжимаемой вязкой жидкости как с переменными, так и с постоянными теп логически ми свойствами в плоских каналах, определена расчетная формула, устанавливающая верхние границы необходимости постановки задач как сопряженных.

Авторы работы / 17 / рассматривают сопряженную задачу о теплообмене в кольцевом канале при неустановившемся ламинарном течении вязкой несжимаемой жидкости. Учтены осевая теплопроводность как в жидкости, так и в стенке. Решение задачи ищется с помощью применения преобразования Лапласа и решения конечно-разностных уравнений в пространстве изображений методом прогонки.

Разностный метод решения нестационарной сопряженной задачи теплообмена при течении несжимаемой жидкости с переменными свойствами в плоской, кольцевой и цилиндрической трубе используется ив работе / 4 /. Все названные работы посвящены изучению сопряженного теплообмена при ламинарном течении теплоносителя.

В случае ламинарных течений задачи о теплообмене допускают строгую математическую формулировку в виде замкнутой системы уравнений, начальных и граничных условий, поэтому теоретический расчет ламинарных течений в подавляющем большинстве случаев может быть проведен с достаточной степенью достоверности.

На практике же все чаще возникает необходимость расчета различных теплообменных систем, в которых турбулентная форма движения жидкости оказывается преобладающей / 53, 54 / ( в частности, для ядерных реакторов при нормальных режимах работы характерен стационарный конвективный теплообмен при турбулентном течении теплоносителя), однако, как известно / 54,55 /, исследование турбулентных течений и процесса теплообмена усложнено необходимостью замыкания системы уравнений, описывающей турбулентные течения.

Для расчета сопряженного теплообмена при турбулентном течении теплоносителя в трубах чаще всего используются численные методы. Впервые сопряженная задача стационарного теплообмена при турбулентном течении жидкости в круглой трубе на термическом начальном участке с учетом продольных перетечек тепла была решена в работе / 10 /, где использован метод матричной прогонки. На основе полученных результатов, авторами дан диализ зависимости величины продольных перетечек тепла по стенке трубы от различных параметров рассматриваемого процесса, длины термического начального участка от толщины и теплопроводности стенки, рас -считана длина интервала стабилизации локального числа Нуссельта.

В работе / 29 / получено решение задачи нестационарного теплообмена при ламинарном и турбулентном гидродинамически стабилизированном течении теплоносителя в круглой трубе методом конечных разностей.

Следует отметить и недавно опубликованные работы по численному исследованию сопряженного теплообмена при турбулентном течении вязкой жидкости во входном участке круглой трубы / 18 / и турбулентном течении газа и несжимаемой жидкости / 8 /.

В / 8 / использованы уравнения типа уравнений пограничного слоя и двумерное уравнение теплопроводности. Значения коэффициентов турбулентного переноса определялись на основе решения уравнения баланса турбулентной энергии. Для численного решения уравнений пограничного слоя использована 2-слошая неявная разностная схема. Уравнение теплопроводности решено методом расщепления с последующим применением прогонки.

Численные методы являются одним из мощных математических средств решения задач. Особенно они эффективны при выполнении большой серии однотипных расчетов. К ним приходится также обращаться в тех случаях, когда решение задач аналитическими способами чрезвычайно сложно или вообще невозможно. Но применение численных методов связано с известными трудностями / 23, 63 /. Численное решение дает возможность проследить влияние различных параметров на ф!зический процесс, в частности, на процесс теплообмена, но не всегда легко позволяет получить общие расчетные формулы, обобщающие результаты, удобные для практического использования.

Наряду с численными методами для решения задач теплообмена широко применяются методы моделирования. Использование моделей для исследования явлений переноса тепла основывается на формальной одинаковости математических систем уравнений, описывающих различные по своей физической сущности процессы.

Методы моделирования для решения сопряженной нестационарной задачи конвективного теплообмена при ламинарном течении жидкости в плоском симметричном канале использовали авторы рабо -ты / 7 /.

Значительные успехи в развитии методов численного интегрирования и моделирования не уменьшают важности точных и приближенных аналитических методов и создают благоприятные предпосылки для их совершенствования.

Решение, полученное в аналитической форме, позволяет не только оценить тепловой режим, но и дальнейшее его использование более удобно, например, для расчета температурных напряжений на основе полученного температурного поля. Кроме этого, реализация аналитического решения на ЭВМ часто более экономична, чем численного. Поэтому, при возможности получения точного или приближенного аналитического решения (если его форма не слишком громоздка), по-видимому, наиболее целесообразно решать исходные системы уравнений аналитическими методами.

Рассмотрим работы, предлагающие аналитическое решение сопряженных задач теплообмена при ламинарном режиме течения теплоносителя.

В работах /5, 37 / получено точное аналитическое решение довольно общей задачи стационарного сопряженного теплообмена для ламинарного течения жидкости при граничных условиях первого рода на поверхности стенки трубы. Граничное условие сшивания по тепловым потокам приводит к сингулярному интегральному уравнению с ядром Коши для температуры поверхности.

Однако, численный расчет в них не приводится, т.к. получение его затруднено сложными функциональными зависимостями, а метод нуждается в дальнейшем строгом математическом обосновании.

Автор работы / 20 / предложил метод ортогонализации собственных функций, позволяющий решать сопряженные задачи теплообмена, не сводя их к сингулярным интегральным уравнениям в области изображений. В последующей работе / 21 /этот метод применен для решения задачи сопряженного теплообмена при стержневом течении жидкости в плоском канале. Необходимо отметить, что метод позволяет получить точное аналитическое решение для ламинарных течений, но трудоемок и неудобен для реализации на ЭВМ.

Аналитическое решение сопряженной задачи конвективного теплообмена в плоских щелевых каналах при ламинарном течении получено и в / 73 /.

Сопряженный теплоперенос в ламинарном течении с внутренними источниками тепла в параллельном плоском канале изучен в / 90 /. В работах / 75, 89 / аналитически решается сопряженная задача теплообмена для ламинарного течения неньютоновских жидкостей. В / 89 / установлены основные критерии сопряженных задач, приведен анализ возможных упрощений,, которые могут быть использованы в математической формулировке сопряженной задачи в зависимости от соотношений между характеристиками жидкости и материала стенки канала.

Аналитическое решение в виде рядов получено в / 80 / для нестационарной одномерной задачи теплообмена при стабилизированном течении в трубе, на внешней поверхности которой происходит скачкообразное изменение плотности теплового потока или температуры стенки. Приводятся результаты расчетов профилей температуры жидкости и температуры внутренней поверхности трубы.

Автор работы / 57 / предложил метод, позволивший получить приближенное решение сопряженных стационарных задач при ламинарном режиме течения в круглой трубе. Метод заключается в совместном применении интегрального преобразования Лапласа и ортогонального метода Бубнова-Галеркина.

Исследования сопряженных задач теплообмена на основе аналитических решений при турбулентном течении жидкости менее многочисленны, т.к. возникают трудности, связанные с выбором модели турбулентности, пригодной для изучаемой задачи.

Сопряженная задача теплообмена при турбулентном течении жидкости в плоскопараллельном канале решена в работе / 91 /. В ней используется метод разделения переменных, который реализован численно. Применение метода разделения переменных ограничено линеиными задачами и необходимостью приведения к однородным граничным условиям.

Авторами работы / 30 / предложено решение сопряженной нестационарной задачи конвективного теплообмена при турбулентном течении в трубах с помощью функций Грина. Отыскание функции влияния для сопряженной задачи строится на основе сопряжения функций влияния для несопряженной нестационарной задачи теплопроводности в стенке и переноса тепла в жидкости.

В / 72 / получено приближенное аналитическое решение нестационарной сопряженной задачи теплообмена при одномерном течении газа в трубе. Температура раздела сред находится из решения уравнения теплопроводности для стенки совместно с уравнениями одномерной газовой динамики при условии непрерывного теплового потока на границе раздела сред. Для замыкания квазиодномерных уравнений газовой динамики вместо обычно используемых эмпирических зависимостей для коэффициентов сопротивления и теплоотдачи применяются локальные уравнения пограничного слоя, определяющие трение и тепловой поток на стенке через отыскиваемую в процессе решения температуру внутренней поверхности трубы.

Как показывает обзор литературы, авторы работ, предлагающих аналитические методы решения сопряженных задач теплообмена, либо рассматривают упрощенную постановку краевой задачи, либо не приводят анализа количественных результатов. Исследования, посвященные сопряженному теплообмену при турбулентном режиме течения малочисленны, а применяемые методы не охватывают разнообразия внешних граничных условий. Кроме этого, вид полученных решений не всегда удобен для практического использования. Поэтому разработка аналитических методов остается предметом исследования.

Целью настоящей работы является:

- разработка эффективной методики решения сопряженных задач конвективного теплообмена при турбулентном течении теплоносителя в круглой трубе и плоскопараллельном канале и ее реализация на ЭВМ в виде удобных для пользования алгоритмов и программ расчета характеристик сопряженного теплообмена;

- исследование влияния геометрических параметров, теплофи-зических свойств теплоносителя и материала стенки на процесс теплообмена при различных внешних граничных условиях, в том числе и нелинейных;

- обобщение результатов численных экспериментов в виде уравнений подобия и выработка рекомендаций по определению границ необходимости постановки задач теплообмена в трубах как сопряженных.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработана методика решения стационарных сопряженных задач конвективного теплообмена при турбулентном течении в круглой трубе и плоскопараллельном канале, основанная на ис -пользовании метода совместного применения интегрального преобразования Лапласа и ортогонального метода Бубнова-Галеркина» Форма полученного приближенного аналитического решения удобна для проведения практических расчетов и анализа характеристик теплообмена*

2. Решение стационарных сопряженных задач теплообмена в трубах получено для граничных условий I и Ш рода на внешней поверхности трубы. Проведенные численные эксперименты позволили сделать вывод, что координатные функции для метода Бубнова-Га-леркина целесообразно строить на основе выражения для профиля скорости течения теплоносителя. Расчеты и сравнение с известными результатами Б.С.Петухова, Хэберстроу, Боддуина показывают быструю практическую сходимость метода, что делает его полезным при проведении расчетов характеристик теплообмена в энергетических устройствах.

3. Разработаны алгоритм и программа расчета характеристик, которые позволяют учесть разнообразие граничных условий, профилей скорости, режимов течения теплоносителя. Приведенные в работе таблицы значений коэффициентов систем алгебраических уравнений для коэффициентов-изображений значительно упрощают процесс расчета.

Расчеты характеристик сопряженного теплообмена проведены для широкого диапазона чисел Рейнольдса (ю\ Rq< 5*10^), чисел Правдтля (0,5 4 Р^-С Ю^)» коэффициентов теплопроводности (2 ^ Кл < Ю4), толщины стенки (1,005 < К^ 3,0).

В случае заданной постоянной температуры внешней поверхности стенки получены уравнения подобия для расчета теплопередачи в круглой трубе с учетом влияния стенки:

-|-RePr(l- к4 кЛ~а) krk'

Uksoo= W, 2/3 Г- ' к1+кгЛ (Рг2/?-1) nuks00=0,021 Re08pr°'4,KRx(bQK;2) , которые представляют собой моди<|икацию известных уравнении подобия Б.С«Петухова и М.Н.Михеева для теплоотдачи.

5. Введен коэффициент сопряженности, позволяющий определить границы необходимости постановки задач теплообмена в трубах как сопряженных

Кс =

NUks

NUkoo б# Исследовано влияние различных граничных условий, геометрических параметров, теп логических свойств теплоносителя и материала стенки, диссипации механической энергии на характеристики сопряженного теплообмена.

7. Достоверность полученных данных показана сравнением с известными теоретическими и экспериментальными данными, а также с расчетами по методу конечных разностей.

8. Для решения стационарной сопряженной задачи конвективного теплообмена в круглой трубе с нелинейными граничными условиями на внешней поверхности стенки разработана методика, состоящая в применении метода возмущений, интегрального преобразования Лапласа и ортогонального метода Бубнова-Галеркина. Эффективность расчетов по предложенной методике показана на примере теплотехнического исследования работы водоохлаждаемого дорна трубопрокатного стана.

9. Результаты данной работы были использованы при расчетах температурного поля труб Днепропетровскими трубопрокатными заводами им.В.И.Ленина и К.Либкнехта, а также Всесоюзным научно-исследовательским и конструкторско-технологическим институтом трубной промышленности (г.Днепропетровск) в проектно-конструк-торских разработках.

Разработанные алгоритм и программа вошли в комплекс программ "Расчет задач металлургической теплофизики на основе решения сопряженных задач теплообмена", включенный в отраслевой фонд алгоритмов и программ Министерства черной металлургии УССР (Рядно А.А., Франко Н.В., Кочубей А.А. Расчет температурных полей при охлаждении проката, катанки и труб.- В кн.: Алгоритмы и программы отраслевого фовда.- Днепропетровск, ГИВЦ МЧМ УССР, 1982, вып.7, с.38) и рекомендованный Техническим советом Головного информационно-вычислительного центра Министерства черной металлургии УССР к широкому внедрению на металлургических заводах, имеющих ВЦ, в проектно-конструкторских и научно-исследовательских организациях отрасли.

Экономический эффект от внедрения разработок составил 155,271 тыс.рублей.

1. Аккуратов Ю.Н., Михайлов В.Н. Решение двумерной сопряженной задачи стабилизированного теплообмена при ламинарном течении жидкости в канале.- Инженерно-(|изический журнал, В83,1. I, с. 41-44.

2. Аддошин Г.Т., Жук В.И., Шляхтина К.М. Сопряженная задача теплообмена при течении жидкостей в канале.- В кн.: Тепло-и массоперенос.-М.: Энергия, В68, т.1, с. 577-589.

3. Аддошин Г.Т., Жук В.И., Кэрт Б.Э., Шляхтина К.М. Разностный метод решения сопряженной задачи теплообмена при течении газа в толстостенном канале между сообщающимися сосудами.-Инженерно-^ зически и журнал, В77, т.33, № б, с.1109-1116.

4. Алексашенко В.А., Алексашенко А.А.- Решение некоторых сопряженных задач теплообмена.- В кн.: Тепло- и массоперенос.-М.: Энергия, В68, т.1, с.595-600.

5. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы теории теплопроводности. В 2«х частях. ч.2.- М.: Высшая школа, В82.- 304 с.

6. Богатыренко К.И., Ильченко О.Т., Прокофьев В.Е. К решению со'пряженной задцчи теплообмена методами моделирования.- В кн.:

7. Тепло- и массоперенос, Минск, В72, т.8, с.325-331.

8. Бубенчиков A.M., Иванушкин С.Г. Исследование сопряженного теплообмена при нестационарном турбулентном течении сжимаемого газа и несжимаемой жидкости в трубе.- Материалы б-й Всесоюзной конференции по тепломассообмену, Минск, В80, т.1,ч.З, с. 32-42.

9. Булеев Н.И. Теоретическая модель механизма турбулентного обмена.- В сб.: Теплопередача.- Изд-во АН СССР, ©62, с.64.

10. Булеев Н.Й., Ельцова Л.Д., Бирюков Г.А.- Расчет температурного поля в турбулентном потоке жидкости в круглой трубе на термическом начальном участке.- Теплофизика высоких температур, В66, № с.540-551.

11. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости.- М.: Мир, В67.- 310с.

12. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ.- Киев: Наукова думка, В78,-290 с.

13. Гаврилов Ю.А., Дульнев Т.Н.- Приближенная оценка коэффициента теплообмена при ламинарном и турбулентном течении жидкостив плоских каналах.- Инженерно-физический журнал, В72, 23, 1Ь 4, с. 612-617.

14. Дорфяан А.Ш. Теплообмен при обтекании неизотермических тел.-М.: Машиностроение, 1982.- В2 с.

15. Жукаускас А., Шланчяускас А. Теплоотдача в турбулентном потоке жидкости.- Вильнюс: Минтис, В73.- 327 с.

16. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности.- М.: Энергоатомиздат, .983.- 328 с.

17. Иванушкин С.Г., Ковдрашов В.И. О расчете теплообмена при неустановившемся пульсирующем течении вязкой жидкости в канале.- Материалы У-й научной конференции по математике и механике. Томский университет, Томск, В75, т.2, с. 64-65.

18. Исаченко В.П., Осипова В.А., Оукомел А.С. Теплопередача.-М.: Энергия, В75.- 488 с.

19. Казаков Г.М.- Метод решения сопряженных задач теплообмена при движении в трубах.- Теплофизика высоких температур, 1981, т. В, № с.791-796.

20. Калинин Э.К., Дреицер Г.А., Костюк В.В., Берлин И.И. Методы расчета сопряженных задач теплообмена.- M.i Машиностроение, 1983.- 232 с.

21. Калиткин Н.Н. Численные методы.- М.: Наука, В78.- 512 с.

22. Ким Л.В. Исследование внутренних сопряженных задач нестационарного теплообмена: Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физ-мат.наук.- Томск, В81.-Г7с.

23. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности.- М.: Наука, В75. 227 с.

24. Колесников П.М. Методы теории переноса в нелинейных средах. Минск: Наука и техника, B8I.-336 с.

25. Купцова B.C. Сопряженный теплообмен при естественной конвекции: Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук.- Новосибирск, В83.- 37с.

26. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике.- М.:Мир, 1972.- 274с.

27. Кузнецов Ю.Н. Результаты численного решения сопряженных задач нестационарного теплообмена.- В кн.: Тепло- и массо-перенос, Минск, В 72, т.8, с. 347-355.

28. Кузнецов Ю.Н., Белоусов В.П.- Сопряженный нестационарный конвективный теплообмен при турбулентном течении в трубах.-Теплообмен, 1974. Советские исследования.- М.: Наука, В75, с. 147.

29. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. М.: Атомиздат, В79.-41бс.

30. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики.41.: Наука, 1973.- 407 с.

31. Лыков А.В. Теория теплопроводности.- М.: Высшая школа, В67,-599 с.

32. Лыков А.В. Тепломассообмен. Справочник.- М.: Энергия, В78.-478 с.

33. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса.-М.-Л.: Госэнергоиздат, 3963.- 535 с.

34. Лыков А.В., Перельман Т.Л. Вопросы нестационарного теплообмена между телом и обтекающим его потоком жидкости.- В сб.: Тепло- и массоперенос, Минск: Наука и техника, т.б, Вбб,с. 63-85.

35. Лыков А.В., Алексашенко А.А., Алексашенко В.А. Сопряженные задачи конвективного теплообмена. Минск, Изд.БГУ, В71.-346с.

36. Максин П.Л., Петухов Б.С., Поляков А.§. Расчет турбулентного стабилизированного течения в трубе.- Теплофизика высоких температур, 1975, т.13, № 4, с. 544.

37. Максин П.Л., Петухов Б.С., Поляков А.Ф. Расчет турбулентного переноса тепла при стабилизированном течении в трубах.

38. В кн.: Тепло- и массообмен, Минск, В76, т.1, ч.1, с.14.

39. ЦО. Миллионщиков М.Д. Основные закономерности турбулентного течения в; пристеночных слоях.- Атомная энергия, В70, т.28. вып.4, с. 317.

40. Миллионщиков М.Д. Турбулентные течения в пограничном слое и трубах.- М.: Наука, Вб9.~ 51 с.

41. Михеев М.А. Основы теплопередачи.- М.: Госэнергоиздат, В5б, 392 с.

42. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике.-М.: Наука, В70.- 512 с.

43. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных метод ов.-М.: Наука, В66, 432 с.

44. Мухин В.А., Сухомел А.С., Величко В.И.- Инженерно-физический журнал, В62, т.5, № II, с. 3-7.

45. Никитенко Н.И.- Основные виды сопряженных задач тепло- и массообмена.- Инженерно-физический журнал, В83, 44, № 4, с. 676-678.

46. Остроумов Г.А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи.- М.: Гостехиздат, В52,- 256 с.

47. Перельман Т.Л. 0 сопряженных задачах теплообмена.- В кн.: Тепло- и массоперенос, Минск, В63, т.5, с. 79-93.49. ^етухов Б.С., Кириллов В.В. Теплоэнергетика, В58, № 4.

48. Петухов Б.С. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости в трубах.- М.: Энергия, В67.- 411 с.

49. Петухов Б.С., Генин Л.Г., Ковалев С.А. Теплообмен в ядерных энергетических установках.- М.: Атомиздат, В74.- 403 с.

50. Петухов Б.С., Поляков А.Ф., Шехтер ЮЛ., Цыпулев Ю.В.- Статистические характеристики пульсаций температуры и турбулентный перенос.- В кн.: Пристенные турбулентные течения, Новосибирск, В75, ч.Ш, с. 162.

51. Петухов Б.С. Теплообмен при турбулентном течении жидкостей в трубах.- В кн.: Тепло- и массоперенос, Минск, В73, т.10, чЛ, с. 68-75.

52. Петухов Б.С. Турбулентность в теории теплообмена.- Тепломассообмен- 6. Пробл. докл. б-й Всесоюзной конференции по ТМО, Минск, B8I, ч.1, с. 21-51.

53. Петухов Б.С. Проблемы и перспективы развития теории теплообмена.- Теплоэнергетика, 3982, № 3, с. 2-6.

54. Рвачев B.JI., Слесаренко А.П. Алгебр о-логические и проекционные методы в задачах теплообмена. Киев: Наукова думка, 1978,138 с.

55. Рядно А.А., Франко Н.В. Сопряженная задача теплообмена при турбулентном течении газа в круглой трубе.- В кн.: Вычислительная математика и программирование. Днепропетровск, ДГУ, В76, с. I8I-I87.

56. Рядно А.А., Франко Н.В.- Результаты расчета характеристик процесса стационарного теплообмена при турбулентном течении жидкости в круглой трубе (сопряженная задача).- В кн.: Математические методы тепломассопереноса, Днепропетровск, ДГУ, В79, с. 109-118.

57. Рядно А.А., Франко Н.В.- Приближенное решение стационарной сопряженной задачи теплообмена при турбулентном течении жидкости в плоской щели.- В кн.: Теплопроводность и конвективный теплообмен.- Киев: Наукова думка, В80, с. 70-75.

58. Рядно А.А., Франко Н.В. Стационарная сопряженная задача теплообмена при турбулентном течении жидкости в плоской щели с учетом диссипации механической энергии.- Инженерно-физический журнал, 1983, т.45, № 3, с.392-398.

59. Рядно А.А., Франко Н.В. Стационарная сопряженная задача теплообмена при турбулентном течении жидкости в плоскопараллельном канале (граничные условия Ш рода).- В кн.: Вычислительная и прикладная математика.- Киев: Наукова думка, В82, № 47, с. 56-67.

60. Самарский А.А. Теория разностных схем.- М.: Наука, 1977.- 656с.

61. Структура турбулентного потока и механизм теплообмена в каналах / Ибрагимов М.Х., Субботин В.И., Бобков В.П., Сабе-лев Г.й/- М.: Атомиздат, 3978.- 296 с.

62. Теплообмен в энергетических установках космических аппаратов / Галицейский Б.М., Достов Ю.И., Дрейцер Г.А., Кошкин В.К.-М.: Машиностроение, 1975,- 211с.

63. Теория тепломассообмена / Исаев: С.И., Кожинов И.А., Кофа-нов В.И., Леонтьев А.И. и др/- М.: Высшая школа, 1979.-495с.

64. Франко Н.В. Стационарная сопряженная задача теплообмена при турбулентном течении жидкости в круглой трубе (граничные условия Ш рода).- В кн.: Математические методы тепломассопе-реноса, Днепропетровск, ДГУ, 1982, с. 120-128.

65. Франко Н.В. Влияние диссипации энергии на теплообмен при турбулентном течении жидкости в круглой трубе (сопряженная задача).- Промышленная теплотехника, 1984, 6, № 2, с.23-26.

66. Франко Н.В. Метод решения нелинейной сопряженной задачи теплообмена в круглом канале.- В кн.: Математические методы тепломассопереноса, Днепропетровск, ДГУ, В83, с.20-24.

67. Цой П.В. Методы расчета отдельных задач тепломассопереноса,-М.: Энергия, 1971.- 384 с.

68. Шабловский О.Н. Сопряженная задача теплообмена при одномерном течении газа в трубе.- Материалы У Всесоюзной конференции по математике и механике. Томский университет, Томск, В75, т.2, с. 63.

69. Шеляг В.Р. Расчет температурных полей в плоских щелевых каналах при ламинарном течении газа.- Инженерно-физический журнал, 1967, т.12, № 2, с. 227-233.

70. Швец Ю.И. и др. Сопряженный теплообмен при градиентном обтекании тонкой пластины.- Теплофизика и теплотехника.- Киев: Наукова думка, В78, вып.34, с. 23-27.

71. Шульман З.П., Зальцгендлер Э.А., Глеб В.К. Сопряженная задача конвективного теплообмена в рекуперативных теплообменниках с неньютоновским теплоносителем.- Теплообмен, В78, Советские исследования. - М., В80, с. 464-475.

72. Юдаев В.Н. Теплопередача. М.: Высшая школа, В73.- 360 с.

73. Abietius A.-ZAMM,1926,6,N4.

74. Geim-Wmi On and К.С. Cheng Viscous dissipation effects on thermal entance beat transfer in laminar and turbulentpipe flow with uniform wall temperature.-AIAA Paper , 1974 , Я 743 , p.7 .

75. ТЬ. Karmcm .~Vber laminar und turbulente Reibung . Zeitschr, f. angew. Math. und Mech. 1, 1921.

76. Krisban Bal.^On conjugated heat transfer гл fully developed flow.- In"L. 3. Heat ana Mass Transfer, 1982 , 25, X2 , p. 2S8 -289 .

77. Larson R.I. and Yerazunic S. Mass transfer in turbulent flow.-Int. J. Heat and Mass Transfer, 1973, 16, p. 121 .

78. Lat^ko H. Z.AMM , 1921 , Bd. 1, s. 268.

79. Notter> R.H. and Shetcher C.A.- A solution to the turbulent Graets problem- III, Putty developed and entry region "heat transfer rates.- СЪет. Eugn g1 , 1972 , Sex. 27, p. 2073.

80. Haberstrow R.D., Baldwin L.V. Application of a Simplified Velocity Profile to the Predication of pipe Flow Heat Transfer.-Trons. ASME , ser. C, 1968,X2? p. 11-2.0.

81. Pai $.1.1, Fran"kli"n Inst., 1953, 256 , p.337 .

82. Pai $1.3. Appl. Meek, 1953,20, p. 109 .

83. Reynolds A. J. The prediction of turbulent Prcmdtle and Schmidt nambers .- Intern. 3. Heat Mass Transfer , 1975,18 ,X9 ,p. 1055 .

84. S human T.J. Franklin Inst.,-1929 ,208,^3.

85. Shulman Z.P.,Khusid B.M.- Conjugated con-vective heat transfer problems for viscoplas-tic fluids in plane-parallel channels.-Int. J. Heat ana Mass Transfer, 1981 , 24, Jf6, p.1045- 1050.

86. Sbigeru Mori , Kawamura Vuhjl, Tanimoto Akxra.- Conjugated beat transfer to laminar flow with Internal beat source in a parallel plate Channel.-Co. S. Chem. Eug. 1979, 57, Xb, p. 698-705.

87. Sakakibara Mikio and Endou Kazuo. Effect of conduction in wall on heat -transfer with turbulent flow between parallel plates. -Int. J. Heat and Mass Transfer, 1977, voC. 20, p.507-516.

88. Nusselt V., D. , 1927 ,S.87.

89. Thomas Ь.С.,УЪгаЫтп M.B.-A model of the turbulent burst рЪепотлелоп predication for turbulent Prandtle nurnber.- Lett Heat and Mass Transfer, 1981, 8 , p.357-?69.

90. Tyldessley S.U., Silver R.S.-The prediction of the transport properties of a turbulent fluid.- Int. J. HeatMass Transfer, 1968,V.11, ЛГ9,р. 1525.