Турбулентное трение и теплообмен в гладких и шероховатых трубах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ПАСТУХОВА

Елена Владимировна

ТУРБУЛЕНТНОЕ ТРЕНИЕ И ТЕПЛООБМЕН В ГЛАДКИХ И ШЕРОХОВАТЫХ ТРУБАХ

Специалыюсть:01.02.05-механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Санкт- Петербург 2004

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном морском техническом университете на кафедре теплофизических основ судовой

энергетики.

Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Павловский В. А.

Официальные оппоненты: - д.т.н., проф. Исаев С.А.

- к.т.н. Чичерин И.А.

Ведущая организация: Институт проблем машиноведения РАН

заседании Диссертационного Совета Д.212.228.02 при Санкт-Петербургском Государственном морском техническом университете по адресу: 190008, Санкт-Петербург, ул. Лоцманская, 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского Государственного морского технического университета.

Автореферат разослан « /» /Ру^ 2004г.

Защита состоится

в на

Учёный секретарь

диссертационного совета к.т.н., доцент

С. Г. Кадыров

Общая характеристика работы.

Актуальность. В настоящее время актуальны исследования по изучению, теоретическому и экспериментальному, вопросов гидродинамики и теплообмена при турбулентном течении в трубах и каналах. Эти исследования имеют большое прикладное значение в различных областях энергетики и транспорта (тепло- и ядерная энергетика, судостроение, авиация, газо- и нефтедобыча и транспортировка и др.). Этим, конечно, не исчерпываются все проблемы исследования трения и теплообмена при течении в трубах и каналах. Тут можно указать на вопросы экологической безопасности эксплуатации судов, задачи, связанные с экономическими факторами и многие другие проблемы.

Разумеется, в теории теплообмена всегда играл и продолжает играть большую роль эксперимент. Однако в последние десятилетия заметно возросла роль теоретических, математических методов исследования. Эта тенденция, связанная в том числе и с развитием вычислительной техники, несомненно будет продолжаться и дальше.

Для ламинарного режима течения задача о трении и теплообмене при течении жидкости в трубе допускает строгую математическую постановку и сравнительно простое решение. При этом результаты теоретического расчета обладают высокой степенью достоверности. Иначе обстоит дело для турбулентных потоков, несмотря на то, что турбулентное течение представляет собой наиболее распространенную форму движения жидкости и газа, с которой приходится сталкиваться в подавляющем большинстве инженерных задач, связанных с расчетом трения и теплообмена.

За последнее столетие накопилось несколько десятков тысяч работ по этой тематике, начиная с классических работ Прандтля и Никурадзе. Большой вклад в развитие теории теплоотдачи при течении жидкости в трубах внесли также М.Д. Миллионщиков, А.В. Лыков, Б.А. Коловандин, С.С. Кутателадзе, А.А. Жукаускас, П.Л. Кириллов, В.А. Курганов, А.И. Гладунцов, В.Л. Лельчук, Б.В. Дедякин, Л.Г. Генин, В.Д. Виленский, С.А. Ковалев, В.Н. Попов, А.Н. Шерстюк. Из зарубежных ученых, кроме Нуссельта, Рейнольдса, Кармана, Прандтля, следует упомянуть таких известных исследователей как Дейслер, Рейхардт, Шлихтинг, Эккерт, Гольдман, Ричардсон, Ален, Тейлор. В настоящее время широко используются численные методы расчётов вязких и турбулентных течений жидкостей, в разработку которых

Г РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ i [ БИБЛИОТЕКА {

внесли свой вклад О.М. Белоцерковский, СМ. Белоцерковский, Ю.М. Давыдов, СИ. Исаев и др.

Однако, несмотря на большое количество работ в этом направлении до сих пор нельзя считать проблему расчета турбулентных течений в трубах окончательно решенной. Особенно это касается течений в каналах с шероховатыми стенками, адекватного описания трения и теплоотдачи для которых пока нет. Поэтому до настоящего времени не прекращаются попытки разработки новых теорий для описания течений в трубах. В русле этих усилий лежит и настоящая работа. Исходя из выше изложенного, данная работа является актуальной.

Целью работы является:

1) усовершенствование модели Кармана для турбулентного касательного напряжения с целью наилучшего описания турбулентного течения жидкости в трубах как в гидравлически гладких, так и шероховатых;

2) описание турбулентного- течения в шероховатых трубах как с естественной, так и равномерно-зернистой шероховатостями;

3) разработка модели теплообмена при турбулентном течении жидкости в трубах с различными видами шероховатости.

Научная новизна.

1) использована формула Кармана для турбулентного касательного напряжения с отказом от условия бесконечности производной скорости на стенке и формулировкой граничных условий, состоящих из условий прилипания и конечности этой производной;

2) найдены граничные условия для течения в трубах:

a) с равномерно-зернистой поверхностью;

b) с технической шероховатостью;

3) решена задача о турбулентном неизотермическом течении несжимаемой жидкости в гидравлически гладкой трубе с применением формулы Кармана для турбулентного трения на основе использования представления о турбулентном числе Прандтля как величины, переменной по сечению потока и зависящей от чисел Прандтля и Рейнольдса;

4) учтено влияние на теплообмен шероховатости:

a) равномерно-зернистой;

b) технической.

Достоверность основных положений диссертации базируется на использовании методов механики сплошных сред, гидромеханики, термодинамики и теплопередачи, математического анализа. Характеристики течений, изотермических и неизотермических,

рассчитанные по предложенным автором расчётным методикам, согласуются с экспериментальными данными.

Практическая ценность. Результаты работы развивают теорию турбулентных течений жидкости в трубах, позволяют эффективно описывать трение и теплообмен как в гидравлически гладких, так и шероховатых трубах, дают возможность оценить разницу для течений с равномерно-зернистой и технической шероховатостями. Эти результаты представляют интерес для энергетики.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались и обсуждались на международной конференции Моринтех, СПб, 2001г., НТК СПбГМТУ 2003г., а также на научных семинарах кафедры теплофизических основ судовой энергетики СПбГМТУ.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложены в трёх печатных работах. Перечень публикаций приведён в конце автореферата.

Объём н структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и содержит 119 страниц текста, 33 рисунка, 11 таблиц и список литературы, включающий 78 наименований.

Содержание работы.

Во введении показана актуальность темы и сформулирована основная цель диссертационной работы.

В первой главе выполняется постановка задачи о расчёте установившегося неизотермического течения жидкости с постоянными физическими свойствами в трубе, приводится схема расчёта трения и теплоотдачи и её приложение для ламинарных течений.

Используется система уравнений, описывающих установившиеся неизотермические течения несжимаемой жидкости, которая состоит из уравнений движения, неразрывности и энергии:

В этих уравнениях плотность жидкости, - изобарная

теплоёмкость, - скорость, Т - температура, р - давление, - вектор ковариантного дифференцирования (вектор Гамильтона - набла), тензор напряжений, - вектор плотности теплового потока. В случае турбулентного режима течения все физические величины, входящие в эти уравнения, понимаются как осреднённые (по Рейнольдсу).

Течение в трубе удобно рассматривать в цилиндрической системе координат (г,в,г), где координата z направлена вдоль оси трубы. Для

установившегося течения в прямой круговой трубе имеет место одна -продольная - компонента скорости, зависящая от одной - радиальной -координаты г, т.е. и=и(г). Аналогичным образом и поле температур будет характеризоваться лишь производными от этой координаты.

Тензор напряжений £ будет иметь только одну - касательную компоненту Т = Хп а вектор Ц - одну, радиальную компоненту Уравнение неразрывности для этого течения удовлетворяется автоматически, а уравнения движения и энергии дают:

(4)

В этих уравнениях величины dp/dz и дТ/дг являются, как известно, константами, если течение происходит под действием постоянного градиента давления вдоль оси трубы, а для поля температур используется граничное условие второго рода.

Во второй главе даётся краткий анализ современного состояния теории турбулентности и делается выбор реологической модели для описания турбулентного течения жидкости в трубе для широкого диапазона чисел Рейнольдса.

Рассмотрено установившееся турбулентное течение несжимаемой вязкой жидкости в прямой круговой трубе радиуса R под действием постоянного градиента давления вдоль оси dp/dz, = const < 0. Для данного течения имеет место лишь одна - продольная -компонента осредненной скорости и(г), зависящая от одной -радиальной - координаты г. Уравнение движения сплошной среды в напряжениях дает в этом случае линейный закон распределения касательных напряжений X по сечению трубы:

С другой стороны, реологическое соотношение для турбулентного потока по Карману имеет вид:

гдер - плотность, % = 0.4 - постоянная Кармана.

Сравнение правых частей выражений (5) и (6) даёт уравнение движения жидкости в трубе, которое удобно записать в безразмерном виде, если ввести безразмерные координа!у и скорость:

г и

17 = —, У = —' Л V.

(7)

Здесь V, - динамическая скорость, определяемая касательным напряжением на стенке:

Г~Г7 (8)

(9)

'Р " 2 ¿2

Тогда уравнение движения в безразмерной форме имеет вид:

Здесь штрихами, для краткости записи, помечены производные по //. Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка (9) будем решать, используя условие прилипания и полагая конечной первую производную скорости на стенке:

17 = 1. Г = 0, »" = -/'

(10)

где f - некоторая, пока неизвестная, безразмерная функция, с помощью которой необходимо наилучшим образом описать поле скоростей и закон сопротивления, опираясь на экспериментальные данные. Из соображений размерности следует, что f является функцией числа Рейнольдса Re вычисленного по динамической скорости, и параметра шероховатости т:

р У-К Л.

КС. =-, т = —

V к

(11)

Здесь v - кинематическая вязкость, к - высота бугорков шероховатости (реальная для равномерно-зернистой шероховатости и эффективная для технической). Это означает, что в общем случае Г = т).

Интегрирование уравнения (9), как известно, приводит к уравнению

Повторное интегрирование даёт следующее выражение для профиля скоростей

X

(13)

Постоянные интегрирования С1 и с2 ищутся из граничных условий (10). Условие прилипания даёт

С2 =—[с,1п(с,-1)-(с, -1)] X

(14)

а условие на производную скорости:

, 1 ' , '.25,

с. = 1 +--= 1 + -—

2Х/ /

(15)

Но функция f пока Ев определена, следовательно не определена и постоянная С^. Поэтому выражение дня профиля скоростей удобно записать через величину с( следующим образом, учитывая, что X = 0,4:

У = 2,5- [с, 1п ——- (1 - л/^)] *

(16)

Средняя скорость, отнесённая к динамической, определяется как

После подстановки в это соотношение формулы (16) можно получить выражение для средней скорости через с1

И_ = 2,5с,5- 2,5с,4 - 1,25с,' - |с,2 - 0,625с, - 0,5 (17) с. — I 6

Коэффициент сопротивления определяется формулой

= _М = _А. (18)

л =

ои'

Л7 и<7> Ч>

и является функцией с1 а это означает, согласно соотношении (16) и (19), что он является функцией Г и тем самым чисел Яе» и /я. Соответствующее число Рейнольдса, вычисленное по средней скорости и диаметру трубы, будет определяться формулой:

Используя данные опытов можно найти выражения для функции Г для случаев течений в гидравлически гладких трубах и трубах с технической шероховатостью.

В третьей главе находится и даётся на основе усовершенствованной автором модели Кармана решение задачи о турбулентном изотермическом течении несжимаемой жидкости в трубе с гидравлически гладкими стенками.

При течении в гидравлически гладких трубах весь диапазон чисел Рейнольдса при турбулентном течении охватывает эмпирическая формула Прандтля-Никурадзе для коэффициента сопротивления Я. Она обобщает все имеющиеся в настоящее время экспериментальные данные и имеет вид:

^= = 218(Яе-/Х)-0,8 (20)

На основе этой формулы, добиваясь равенства левой и правой частей, можно найти функцию Г = Г(Яе») для гидравлически гладких труб. Для этого необходимо при фиксированном значении Яе* задаться значением Г, вычислить С| согласно формулы (15), найти согласно выражения (17) среднюю скорость У1Р и затем коэффициент сопротивления Л и число Рейнольдса по соотношениям (18) и (19). Далее с помощью итерационной процедуры решается уравнение (20) и находится значение Г при заданном Яе». На рис. 1 показаны результаты расчета функции Г для различных значений Яе» на фоне экспериментальных точек Никурадзе.

3 18

2.0 3 0 4.0 5.0

Рис. 1. Зависимость Гот Ле.: сплошная линия - расчет, точки - опыт Никурадзе. Эту зависимость Г = Г(Ке.)можно аппроксимировать выражением: / = 23,05 Яе. (21)

Зная функцию Г с помощью формул (15) и (16) можно рассчитывать профили скоростей для течения в гидравлически гладких трубах для любых чисел Рейнольдса и далее находить соответствующие коэффициенты сопротивления. При этом, если известен перепад давления вдоль оси трубы, то сначала вычисляется динамическая скорость V* согласно формулы (8) и динамическое число Рейнольдса Яе». Затем по значению Г из формулы (21) находится величина С1 согласно выражения (15) и рассчитывается профиль скорости

где V определяется выражением (16). При этом максимальная скорость соответствует координате

После нахождения значения средней скорости по формуле (17) можно найти соответствующее данному Ле число Рейнольдса Ле согласно соотношения (19) и коэффициент сопротивления Я.

Если же при расчете течения в качестве исходного значения выступает не перепад давления, а число Рейнольдса Ле (или, что эквивалентно, расход в трубе радиуса Я,

поскольку то соответствующий профиль скорости и

коэффициент сопротивления можно получить с помощью итерационных процедур, перебирая значения Яе» и добиваясь совпадения вычисленного

согласно формулы (19) и заданного чисел Реннольдса Re. Динамическая скорость будет после этою определяться выражением

которое позволяет вычислить соответствующий перепад давления. На рис.2 рассчитанные профили скоростей представлены в сопоставлении с опытами Никурадзе. Видно, что согласование опыта и расчета вполне удовлетворительное, но полнота расчетных профилей несколько больше, чем в опыте, что вообще присуще формуле Кармана и при равенстве бесконечности производной скорости на стенке. Эту же особенность несет в себе и профиль скорости согласно формулы (16).

Рис.2. Профили скоростей;сшошныс линии-расчет: 1 -Ке=М*10'.2 - Ие = 1.05 * Ю',3 -Ке = 3,24 * 10*'; точки - опыты.

В четвёртой главе исследуется влияние на характеристики течения в трубе шероховатости, равномерно-зернистой и технической.

Как известно, шероховатость стенок трубы существенно влияет на гидродинамику потока. Различают равномерно-зернистую и техническую шероховатости. Равномерно-зернистая использовалась в классических опытах Никурадзе, когда стенки трубы покрывались тщательно калиброванными частицами песка. Тем самым создавалась эталонная, регулярная, структура на поверхности трубы. Техническая, реальная шероховатость является нерегулярной, зависящей от многих факторов, начиная от технологических при изготовлении трубы и кончая условиями эксплуатации. Оба вида шероховатости характеризуются относительной шероховатостью т согласно формулы (11). Для равномерно-зернистой шероховатости величина к - реальный размер бугорков шероховатости, для технической шероховатости это условная, эффективная величина, которая для трубы диаметром Б - 2Я находится по калибровочным гидродинамическим опытам. Она связана с коэффициентом сопротивления Я зависимостью

которую в литерат>ре называют формулой Прандтля для шероховатых труб.

Для обоих видов шероховатости на кривой сопротивления /¡(Яе,от) различают три характерных участка. При относительно малых числах Рейнольдса Яе имеет место режим - течения в гидравлически гладкой трубе. При больших числах Яе наблюдается режим квадратичного сопротивления. В промежуточной между этими режимами области чисел Рейнольдса, в переходной зоне, происходит сопряжение режимов течения в гидравлически гладкой трубе и течения в зоне квадратичного сопротивления. При этом характер переходной зоны, характер сопряжения зависят от типа шероховатости. Для равномерно-зернистой переходный участок мал, коэффициент сопротивления Я здесь меньше, нежели на участке квадратичного сопротивления. Для технической шероховатости имеет место обратная картина - протяженность переходного участка велика, а коэффициент сопротивления больше по сравнению с зоной квадратичного сопротивления. Таким образом, течения в трубах с равномерно-зернистой и технической шероховатостями отличаются лишь переходными зонами.

В зоне гидравлически гладкой трубы сопротивление описывается эмпирической формулой Прандтля (20), а в области квадратичного сопротивления формулой Прандтля (23), которую можно представить в несколько другом виде, учитывая соотношение (11):

-^ = 216(7,4т)- (24)

Путем объединения формул (20) и (23) Коулбрук получил интерполяционную формулу для описания сопротивления при турбулентном течении в трубах с технической шероховатостью:

1 _ 2^1 | 1 VI Яе-Уя 7,4т

(25)

Эта формула описывает сопротивление для труб с технической шероховатостью для всех чисел Рейнольдса, она охватывает все три характерные зоны, включая переходную. Последнее обстоятельство особенно ценно в связи с тем, что большинство технических трубопроводов "работают" в переходной зоне. Следует заметить, что для

равномерно-зернистой шероховатости переходная зона ло сих пор не подвергалась теоретическому анализу.

Для гидравлически гладкой трубы функция / -= /(Re,), не

зависящая от параметра т, найдена в виде выражения (21). С увеличением числа Рейнольдса, т.е. с увеличением Re», при достижении некоторого критического числа Re наступает

переходная зона, где которая затем плавно

переходит в область квадратичного сопротивления, где уже

не зависит от числа Рейнольдса (А = const, / = const)

Обработка экспериментальных данных Никурадзе с опорой на формулу Прандтля (24) дает следующую аппрокимацию для зоны квадратичного сопротивления:

f = (94m)0,983 (26)

В таблице 1 приведены расчетные значения f для зоны квадратичного сопротивления по формуле (26), а также соответствующие им расчетные значения коэффициента сопротивления на основе формул (15).(16),(18).

Таблица I.

m Igf ígiooa

15 3,085484 0,7764286

30,6 3,395622 0,6539903

60 3,686040 0,5523592

126 4,004611 0,4526138

252 4,301683 0,3687177

507 4,599818 0,2918968

1000 4,891878 0Д227396

10* 5,859232 0,0228392

Ю5 6,844509 -0,1183968

Формула (26) справедлива как для зернистой, так и для технической шероховатостей. Разница между этими видами

шероховатостей проявляется, как уже отмечалось, только в переходной зоне. На участке гидравлически гладкой трубы, где 1= 23,05 Re*, влияние шероховатости не проявляется вплоть до критического значения Re*i, после достижения которого начинается переходная зона и далее происходит выход на режим квадратичного сопротивления. На основе обработки данных Никурадзе можно получить следующую эмпирическую формулу для Re

Яе.1 = 8т (27)

Па рис.3 показаны результаты обработки данных опытов Никурадзе и построен график функции Г = т).

-- ---- .У* от» »ООО

л т-252

Рис. 3. Зависимость функции Г от Яе. для разных т при равномерно-зернистой шероховатости; кривая 1 соответствует ■ идравлически гладкой трубе.

Эти результаты можно аппроксимировать следующим образом 23,05Яе„ Яе. £ Яе

/ =

, (28)

[23,05 Ееп- (94т)°-ш]у/, + (94т)0''", Яе > Яе.,

где

С, ="

71_

70+<£>

(29)

Функция у/х обеспечивает переход ог течения в гидравлически гладкой трубе к течению с квадратичным сопротивлением. Видно, что

На рис.4 показаны результаты расчета коэффициента сопротивления на основании предложенной модели (28) на фоне экспериментальных точек Никурадзе:

Результаты расчета профилей скорости показывают, что в зоне квадратичного сопротивления они хорошо ложатся на одну кривую, соответствующую эмпирической формуле Шлихтинга. которую можно переписать в виде:

Для технической шероховатости экспериментальные данные полностью аппроксимируются формулой Коулбрука (25). На рис.5 показаны результаты обработки формулы Коулбрука с целью построения графика функции ДЯе«, т) для технической шероховатости.

Переход от режима течения, соответствующего гидравлически гладкой трубе, к режиму с проявлением шероховатости здесь наступает при критическом числе Яе«|, которое дается формулой:

Яе.,^

(30)

Кривые предлагается аппроксимировать в виде

где переходная функция у/2 равна

Из сравнения с формулой (28) видно, что для технической шероховатости существенно изменилась функция перехода, обеспечивающая выход от течения в трубе с гидравлически гладкими стенками к течению в режиме квадратичного сопротивления.

На основе формулы (31) можно рассчитывать профили скоростей и сопротивление для тр>б с технической шероховатостью. С увеличением числа Рейнольдса полнота профилей скорости увеличивается во всей переходной зоне вплоть до выхода на режим квадратичного

сопротивления, после чего форма профиля скорости уже далее не меняется.

Ма рис.6 приведен график сопрошвлсния для тр>б с 1ехнической шероховатостью, построенный на основе формулы (31).

1«100Л| 0.-5 ,

1- Ь. г-^-С; - \

\ V \ -- ' -

--1—--

----- — ш-ЮООО ^¿¡^моисн.

пг2<2 ш-1000

Рис. 6 Кривые сопротивления для течения с технической шероховатостью; кривая I соответствует гидравлически 1л<икоП1 р)бе, кривая 2 - ламинарном) режим), кривая иЬс -переходу от чачинарного режима к турбулентному.

В пятой главе рассмотрена теплоотдача при течении несжимаемой жидкости в гидравлически гладких и шероховатых трубах.

После расчёта скоростей решена вторая часть задачи - нахождение поля температур и числа Нуссельта. Уравнение для поля температур -уравнение энергии для турбулентного режима течения приводится к виду

(33)

с1г] XVср Яе. Рг

где величина Б(Л) определяется выражением:

с - [п пт,2~2

т=[с, у- -1+л+£^-мс, -Л)

«-6/ИС,

(34)

Интегрирование (34) с учётом граничного условия т/ = 1, Т = ТК даёт

распределение температур по сечению потока:

Используя определение средней массовой (среднекалорической) температуры можно найти её для рассматриваемого турбулентного течения:

Тогда теплоотдача будет определяться следующим значением числа Нуссельта:

(37)

Главной проблемой для рассматриваемой задачи является правильный выбор числа Прандтля турбулентного:

Рг, =Рг,(77Де,Рг) (38)

Опираясь на экспериментальные данные по числу Нуссельта, можно

предложить следующую формулу для числа Рг,:

Рг,=

и/ Рг\Рг>1

Ь: Р^,рг<1

(39)

где

а = (1——)/Рг Рг

Ъ = [0,652(1,138 - 0,046^.) -

0,29(61ё11е.-11) „ Т^ч ТСО^ + ОвРО2-22)-1 Яе.

1,076

с = (1 - Рг) Рг(0,7 ^Яе,- 3,1) - - 0,302) - (0,23 - 0,0271В 11е.)(18 Рг)](1 -

IgRe.-0.733 .......Яе.'

Это выражение числа Рг, используется при расчёте теплообмена. Тем самым паре значений Яе и Рг сопоставляется число №.

При расчёте теплообмена для турбулентного течения жидкости в трубе функция Г будет меняться в зависимости от шероховатости. При этом для гидравлически гладкой трубы эта функция определяется выражением (21). Для шероховатых поверхностей функция Г будет другая - она определяется или формулой (28), если шероховатость равномерно-зернистая, или формулой (31), если шероховатость техническая. Эти виды шероховатостей отличаются лишь переходными зонами от области гидравлически гладкой трубы до зоны квадратичного сопротивления, которые у них одинаковые. Именно в этих зонах по числам Рейнольдса проявляется различие в теплоотдаче. При достаточно больших Яе различие в числах Нуссельта невелико для разных видов шероховатости (разница менее 1%).

На рис.7 показаны результаты расчёта числа Нуссельта для течения в трубе с различной технической шероховатостью при различных числах Re для нескольких чисел Прандтля.

/VI/ .

штриховые - гидравлически гладкая труба

Видно, что шероховатость существенно повышает теплоотдачу по сравнению с гидравлически гладкой трубой в переходной зоне и в зоне квадратичного сопротивления.

Основные результаты работы.

1. Для описания турбулентного течения жидкости в трубе можно использовать модель Кармана для касательного напряжения, отказавшись от условия бесконечности производной скорости на стенке. Это позволяет, при надлежащем определении значения первой производной скорости на стенке трубы, удовлетворить и условию прилипания без введения гипотезы о вязком подслое.

2. На основе модифицированной модели Кармана можно выполнять расчёты скоростей и сопротивления для всего диапазона чисел Рейнольдса при турбулентном режиме течения.

3. В рамках предложенной модификации модели Кармана можно сформулировать граничные условия, позволяющие рассчитывать турбулентные течения вблизи шероховатых стенок.

4. Для течений вблизи шероховатых стенок можно описать поведение потока в переходной зоне между режимом течения в

»1 3 435

гидравлически гладкой трубе и областью квадратичного сопротивления. При этом характер течения и сопротивление в переходной зоне существенно разнятся для случаев равномерно-зернистой шероховатости и технической. Это различие можно описать на основе найденных в работе соотношений.

5. Решение задачи о турбулентном теплообмене при течении жидкости с постоянными физическими свойствами возможно с применением представления о турбулентном числе Прандтля как величины, переменной по сечению потока и зависящей от чисел Рейнольдса и Прандтля (молекулярного). Найдено выражение для этого турбулентного числа Прандтля, обеспечивающего хорошее согласование теории и эксперимента для широкого диапазона чисел Рейнольдса и Прандтля.

6. Показана возможность теоретического описания процессов теплообмена при течении жидкости в шероховатых трубах.

7. Установлена разница в теплоотдаче для переходных зон при равномерно-зернистой шероховатости и технической.

Публикации по теме диссертации.

1. Курбатова Г.И., Павловский В.А., Пастухова Е.В. О расчёте турбулентных течений в шероховатых трубах с равномерно-зернистой и технической шероховатостями// Физическая механика. Модели неоднородных сред. Вып.8. Изд-во СПбГУ, 2004, с.47-54.

2. Павловский В.А., Пастухова Е.В. Турбулентное установившееся неизотермическое течение жидкости с постоянными физическими свойствами в прямой круговой трубе// Труды СПбГМТУ: 2003, с.79-86.

3. Моисеев A.M., Павловский В.А., Пастухова Е.В., Шестов К.В. Течение вязкой несжимаемой жидкости в кольцевой трубе при произвольных числах Рейнольдса. Проблемы экономии топливно-энергетических ресурсов на промпредприятиях и ТЭС. Межвуз. сб. науч. тр./СПб. ГТУ РП. СПб., 2001, с.33-38.

Отпечатано в типографии ФГУП«ПО «Севмаш» Тираж 100 экз. Заказ

Введение.

Глава 1. Постановка задачи о расчёте установившегося неизотермического течения жидкости с постоянными физическими свойствами в трубе.

1.1.Система уравнений для описания не изотермических течений несжимаемой жидкости с постоя иными физическими свойствами.

1.2. Постановка задачи об установившемся течении в трубе.

1.3.Схема расчёта трения и теплоотдачи и её приложение для ламинарных течений.

Глава 2. Выбор определяющих уравнений.

2.1. Турбулентность.

2.2. Неизотермические турбулентные течения.

2.3. Модели турбулентности.

2.4. Выбор определяющих уравнений для описания неизотермических турбулентных течений.

Глава 3. Установившееся турбулентное изотермическое течение несжимаемой жидкости в трубопроводе круглого сечения с гидравлически гладкими стенками.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Определение профиля скоростей.

3.3. Определение сопротивления.

3.4. Анализ полученных результатов.

Глава 4. Установившееся изотермическое течение несжимаемой жидкости в трубе с шероховатыми стенками.

4.1. Обзор экспериментальных данных по турбулентным течениям в шероховатых трубах.

4.2. Расчёт течений в трубах с равномерно-зернистой шероховатостью.

4.3. Течение в трубе с технической шероховатостью.

В судовой энергетике в настоящее время актуальны исследования по изучению, теоретическому и экспериментальному, вопросов гидродинамики и теплообмена при турбулентном течении в трубах и каналах [1]. Эти исследования имеют большое прикладное значение при решении следующих технических проблем:

1) совершенствование теплообменных аппаратов и систем с целью повышения их эффективности и простоты эксплуатации;

2) изыскание путей и методов повышения теплосъема в активных зонах судовых ядерных энергетических установок;

3) исследование с этой целью сопротивления и теплообмена для однофазных теплоносителей при различных способах интенсификации теплообмена, в том числе и за счет изменения шероховатости стенок трубопроводов теплообменного оборудования судовых энергетических установок;

4) увеличение безопасности эксплуатации ядерных энергетических установок.

Этим, конечно, не исчерпываются все проблемы исследования теплообмена судовых энергетических установок. Тут можно указать на вопросы экологической безопасности эксплуатации судов, задачи, связанные с экономическими факторами и многие другие проблемы.

Разумеется, в теории теплообмена всегда играл и продолжает играть большую роль эксперимент. Однако в последние десятилетия заметно возросла роль теоретических, математических методов исследования. Эта тенденция, связанная в том числе и с развитием вычислительной техники, несомненно будет продолжаться и дальше.

Для ламинарного режима течения задача о трении и теплообмене при течении жидкости в трубе допускает строгую математическую постановку и сравнительно простое решение. При этом результаты теоретического расчета обладают высокой степенью достоверности. Иначе обстоит дело для турбулентных потоков, несмотря на то, что турбулентное течение представляет собой наиболее распространенную форму движения жидкости и газа, с которой приходится сталкиваться в подавляющем большинстве инженерных задач, связанных с расчетом трения и теплообмена. При этом течения в трубах, как в гидравлически гладких, так и шероховатых, привлекают особое внимание ученых и инженеров вследствие их широкого применения в различных областях энергетики и транспорта (тепло- и ядерная энергетика, судостроение, авиация, газо- и нефтедобыча и транспортировка и др.). Поэтому за последнее столетие накопилось несколько десятков тысяч работ по этой тематике, начиная с классических работ Прандтля [2] и Никурадзе [3]. Практика всегда требует и ждет простую и надежную теорию, хорошо согласующуюся с экспериментальными данными. Однако, несмотря на большое количество работ в этом направлении до сих пор нельзя считать проблему расчета турбулентных течений в трубах окончательно решенной. Особенно это касается течений в трубах с шероховатыми стенками, адекватного описания трения и теплоотдачи для этих течений. Поэтому до настоящего времени не прекращаются попытки разработки новых теорий для описания таких течений. В русле этих усилий лежит и настоящая работа.

Исследование теплообмена при турбулентном движении жидкости в трубах началось более семидесяти лет назад с работы Нуссельта [4]. В дальнейшем были проведены многочисленные экспериментальные исследования процессов теплообмена при турбулентном течении в трубах различных жидкостей и газов, включая жидкие металлы, что важно для ядерной энергетики. В результате этих исследований выявлена зависимость числа Нуссельта от чисел Рейнольдса и Прандтля в широком диапазоне изменения этих чисел.

Первая попытка теоретического рассмотрения вопроса о теплообмене при турбулентном течении в трубах принадлежит Рейнольдсу [5]. Полученное им соотношение, устанавливающее связь между тепловым потоком и касательным напряжением на стенке, известное как аналогия Рейнольдса, справедливо лишь при значении числа Рг =1. В дальнейшем анализ, проведенный Рейнольдсом, был усовершенствован. Прандтль [6] приближенно учел влияние на теплообмен особенности течения жидкости у стенки, рассматривая поток, состоящий из турбулентного ядра и вязкого подслоя. Карман улучшил эту модель на основе теории самоподобия [7]. Полученные Прандтлем и Карманом выражения для теплоотдачи в общих чертах справедливы для течения жидкости с постоянными физическими свойствами. В последующем эти выражения были уточнены Б.С. Петуховым [8] с учетом накопленных экспериментальных данных, во многом благодаря трудам М.А. Михеева [9,10].

Большой вклад в развитие теории теплоотдачи при течении жидкости в трубах внесли также М.Д. Миллионщиков, A.B. Лыков, Б.А. Коловандин, С.С. Кутателадзе, A.A. Жукаускас, П.Л. Кириллов, В.А. Курганов, А.И. Гладунцов, В.Л. Лельчук, Б.В. Дедякин, Л.Г. Гении, В.Д. Виленский, С.А. Ковалев, В.Н. Попов, А.Н. Шерстюк. Из зарубежных ученых, кроме упомянутых уже Нуссельта, Рейнольдса, Кармана, Прандтля, следует упомянуть таких известных исследователей как Дейслер, Рейхардт, Шлихт и н г, Эккерт, Гольдман, Ричардсон, Ален, Тейлор.

Как уже отмечалось, теоретическое описание процессов теплообмена при турбулентном режиме течения представляет собой, по сравнению с ламинарным режимом, гораздо более сложную задачу. Это связано с незамкнутостыо системы уравнений, описывающей такие течения. В настоящее время предложено много полуэмпирических моделей для описания турбулентного течения в трубах, которые хорошо согласуются с опытом. Однако эти модели в основном относятся к течениям в гидравлически гладких трубах. Течения в шероховатых трубах обследованы менее полно, особенно в переходной области от течения в гидравлически гладкой трубе к течению с квадратичным сопротивлением. Конечно, работы А.Д. Альтшуля [11] помогают решать неотложные задачи инженерных приложений для течений в шероховатых трубах, однако разработанная им модель имеет слабое теоретическое обоснование, на что указывал А.Н. Колмогоров. Кроме того, в работах Альтшуля не дано теоретического описания различия между переходными зонами равномерно-зернистой и технической шероховатостями.

Для расчета полей температуры и теплоотдачи необходимы данные о турбулентной температуропроводности а,. В настоящее время практически нет моделей а,? за редкими исключениями, среди которых следует указать на работу [12]. Поэтому приходится пользоваться понятием турбулентного числа Прандтля Ргь которое чаще всего полагают постоянным, считая справедливой гипотезу Прандтля о подобии турбулентных полей скоростей и температур. Это означает, что величина а1 пропорциональна турбулентной вязкости V,. Поэтому уточнение расчетов по турбулентному теплообмену в трубах связано с поиском таких модификаций у1г чтобы обеспечивалось наилучшее согласование с экспериментом.' Однако более правильным здесь являлся бы поиск такой структуры Р^ (а тем самым и турбулентной температуропроводности а/), чтобы обеспечивалось согласование с опытом. В настоящее время имеются опытные данные о числе Рг^ которые, к сожалению, часто противоречивы не только количественно, но и качественно. Однако они четко показывают зависимость Р^ от координат и от чисел Рейнольдса и Прандтля (молекулярного). Правильный подбор Р^ может существенно упростить расчет теплоотдачи и позволить эффективно проанализировать влияние шероховатости на теплообмене при течении жидкости в трубах.

В основу настоящего исследования положена формула Кармана для турбулентного касательного напряжения, но с отказом от условия бесконечности производной скорости на стенке. Это позволило построить достаточно простую однослойную модель турбулентного течения жидкости в трубе, эффективно учесть влияние шероховатости стенок на структуру потока и коэффициент сопротивления и далее проанализировать влияние шероховатости на теплоотдачу.

Исходя из вышеизложенного, тема диссертации является актуальной. Научной новизной данной работы является следующее:

1) использование формулы Кармана для турбулентного касательного напряжения с отказом от условия бесконечности производной скорости на стенке и формулировкой граничных условий, состоящих из условий прилипания и конечности этой производной;

2) нахождение граничных условий для течения в трубах: a) с равномерно-зернистой поверхностью; b) с технической шероховатостью;

3) решение задачи о турбулентном неизотермическом течении несжимаемой жидкости в гидравлически гладкой трубе с применением формулы Кармана для турбулентного трения на основе использования представления о турбулентном числе Прандтля как величины, переменной по сечению потока и зависящей от чисел Прандтля и Рейнольдса;

4) учет влияния на теплообмен шероховатости: a) равномерно-зернистой; b) технической.

В настоящей работе будет изложено усовершенствование модели Кармана с целью наилучшего описания турбулентного трения и теплообмена как в гидравлически гладких, так и в шероховатых трубах, а также построена модель теплообмена на основе правильного определения числа Рг I.

В главе 1 выполняется постановка задачи о расчёте установившегося неизотермического течения жидкости с постоянными физическими свойствами в трубе, приводится схема расчёта трения и теплоотдачи и её приложение для ламинарных течений.

В главе 2 даётся краткий анализ современного состояния теории турбулентности и делается выбор реологической модели для описания турбулентного течения жидкости в трубе для широкого диапазона чисел Рейнольдса.

В главе 3 находится и даётся на основе усовершенствованной автором модели Кармана решение задачи о турбулентном изотермическом течении несжимаемой жидкости в трубе с гидравлически гладкими стенками.

В главе 4 исследуется влияние на характеристики течения в трубе шероховатости, равномерно-зернистой и технической.

В главе 5 рассмотрена теплоотдача при течении несжимаемой жидкости в гидравлически гладких и шероховатых трубах.

Завершается работа выводами, формулирующими основные результаты данного исследования.

На защиту выносятся следующие положения:

1) модель турбулентного течения в трубе на основе формулы Кармана для касательного напряжения с отказом от условия бесконечности производной скорости на стенке;

2) математическая модель учета шероховатости стенки трубы для случаев равномерно-зернистой и технической шероховатостей;

3) модель турбулентного теплообмена в гидравлически гладких и шероховатых трубах на основе соответствующего подбора турбулентного числа Прандтля.

Данная диссертация представляет собой комплекс обоснованных инженерных методик для расчета турбулентного трения и теплообмена в гидравлически гладких и шероховатых трубах.

111 Выводы.

1. Для описания турбулентного течения жидкости в трубе можно использовать модель Кармана для касательного напряжения, отказавшись от условия бесконечности производной скорости на стенке. Это позволяет, при надлежащем определении значения первой производной скорости на стенке трубы, удовлетворить и условию прилипания без введения гипотезы о вязком подслое.

2. На основе модифицированной модели Кармана можно выполнять расчёты скоростей и сопротивления для всего диапазона чисел Рейнольдса для турбулентного режима течения.

3. В рамках предложенной модификации модели Кармана можно сформулировать граничные условия, позволяющие описывать турбулентные течения вблизи шероховатых стенок.

4. Для течений вблизи шероховатых стенок можно описать поведение потока в переходной зоне между режимом течения в гидравлически гладкой трубе и областью квадратичного сопротивления. При этом характер течения и сопротивление в переходной зоне существенно разняться для случаев равномерно-зернистой шероховатости и технической. Это различие можно описать на основе найденных в работе соотношений.

5. Решение задачи о турбулентном теплообмене при течении жидкости с постоянными физическими свойствами возможно с применением представления о турбулентном числе Прандтля как величины, переменной по сечению потока и зависящей от чисел Рейнольдса и Прандтля (молекулярного). Найдено выражение для этого турбулентного числа Прандтля, обеспечивающего хорошее согласование теории и эксперимента для широкого диапазона чисел Рейнольдса и Прандтля.

6. Показана возможность теоретического описания процессов теплообмена при течении жидкости в шероховатых трубах.

7. Установлена разница в теплоотдаче для переходных зон при равномерно-зернистой шероховатости и технической.

1. Артёмов Г.А., Волошин В.П., Захаров Ю.В., Шквар А.Я. Судовые энергетические установки.: JL: Судостроение, 1987.

2. Прандтль JI. Результаты работ последнего времени по изучению турбулентности// Проблемы турбулентности: Сб. переводов. M.-JL: ОНТИ СССР,1936.

3. Nikuradze J. Stromungsgesetze in rauhen Rohren// VDJ. Forschungshefit, 1933. № 361.

4. Nusselt W. Warmeubergang in Rohrleitungen// Mitt. Forsch.-Arb. Jng.-Wess.,1910,№89. s.1-38.

5. Reynolds O. On the dynamic theory of incompressible viscous fluids and the determination of the criterion// Scientific papers. Cambridge: Univ. press., 1901, vol.1, p.355.

6. Prandtl L. Bemerkung uber den Warmeubergang im Rohr// Jbid., 1928, Bd. 29, s.487-489.

7. Karman T. The analogy between fluid friction and heat transfer// Trans. ASME., 1939. Vol.61, p.705-710.

8. Петухов Б.С. Вопросы теплообмена (избранные труды). М.: Наука, 1987.

9. Михеев М.А. Теплоотдача при турбулентном движении жидкости в трубах// Изв. АН СССР. ОТН., 1952, №10, с. 1448-1454.

10. Михеев М.А. Основы теплопередачи. М.: ГЭИ, 1956.

11. П.Альтшуль А.Д. Гидравлические потери на трение в трубопроводах. M.-JL: Госэнергоиздат, 1963.

12. Новожилов В.В., Павловский В.А. Установившиеся турбулентные течения несжимаемой жидкости: Монография. СПб.: Изд. центр СПбГМ'ГУ, 1996.

13. Павловский В.А. Краткий курс механики сплошных сред. СПб.: Изд. СПбГМТУ РП, 1993.

14. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: ГИФМЛ., 1959.

15. Рейнольде О. Динамическая теория движения несжимаемой вязкой жидкости и определение критериев// Проблемы турбулентности: Сб. переводных статей. М.-Л.: ОНТИ СССР, 1936.

16. Таунсснд A.A. Структура турбулентного потока с поперечным сдвигом. М.: ИЛ, 1959.

17. Хинце И.О. Турбулентность. M.: ГИФМЛ, 1936.

18. Турбулентные течения// Сб. статей. М.: Наука, 1974, 1977.

19. Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. Т. Tl. M.: Наука, 1978.

20. Механика турбулентных потоков// Сб. статей. М.: Наука, 1980.

21. Турбулентность принципы и применение (под ред. Фроста У., Моулдена Т.). М.: Мир, 1974.

22. Вай Ши-И. Турбулентное течение жидкостей и газов. М.: ИЛ, 1962.

23. Брэдшоу П. Введение в турбулентность и её измерение. М.: Мир, 1974.

24. Турбулентность (под ред. П. Брэдшоу). М.: Машиностроение, 1980.

25. Рейнольде А.Дж. Турбулентные течения в инженерных приложениях. М.: Энергия, 1979.

26. Boussinesque J.V. Essai sur ia theorie des eaux courantes. Mémoires pres. Par div. savants. T.23, 1873.

27. Никурадзе И. Закономерности турбулентного движения жидкости в гладких трубах// Сб. Проблемы турбулентности (под ред. М.А. Великанова). М.: ОНТИ, 1936.

28. Reichardt H. Die Warmeubertragung in turbulenten Reibungsschichten// ZAMM, 1940. Bd.20, s.297.

29. Гуржиенко Г.А. Влияние вязкости жидкости на законы турбулентного течения в прямой цилиндрической трубе с гладкими стенками// Труды ЦАГИ, вып.ЗОЗ. М., 1936.

30. Laufer J. The structure of turbulence in fully developed pipe flow// NACA. Rep.№l 174, 1955.

31. Альтшуль А.Д. О турбулентном движении жидкости в гладких трубах// ДАН СССР, 1950. Т.75 №5, с.486-491.

32. Miller В. The laminar film hypothesis// Transaction ASME, 1949.

33. Карман Т. Некоторые вопросы турбулентности// Проблемы турбулентности: Сб. переводов. М.-Л.: ОНТИ СССР,1936.

34. Прандтль JI. Гидроаэромеханика. М.: ИЛ, 1949.

35. Deissler R.G. Heat transfer and fluid friction for fully developed turbulent flow of air and supercritical water with variable fluid properties// Trans. ASME, 1954. Vol. 76, №1, p.73-86.

36. Шевелев Ф.А. Исследование основных гидравлических закономерностей турбулентного течения в трубах. М.: Стройиздат, 1953.

37. Colebrook C.F. Turbulent flow in pipes with particular reference in the transition region between the smooth and rough pipe laws// Journal Jnst. Civil Engineers, 1938-1939. Febr., №4.

38. Гомелаури В.И. Влияние искусственной шероховатости на конвективный теплообмен//Тр. Инст. Физики АН Груз. ССР, 1963. Т.9, с.3-30.

39. Гомелаури В.И., Канделаки В.Д., Кипшидзе М.Е. Интенсификация конвективного теплообмена под воздействием искусственной шероховатости// В кн.: Вопросы конвективного теплообмена и чистоты водяного пара. Тбилиси. Мецниереба, 1970. С.98-131.

40. Калинин Э.К., Дрейцер Г.А., Ярхо С.А. Интенсификация теплообмена в каналах. JL: Машиностроение, 1972.

41. Нойз II. Законченное решение задачи о ламинарном и турбулентном течении в трубе для произвольного распределения теплового потока на стенке// Теплопередача, 1981. Т.83, №1.

42. Жидкометаллические теплоносители// Сб.статей под ред. Таранова Г.С. М.: 1970.

43. Таранов Г.С. О турбулентном числе Прандтля// ДАН СССР, 1968. Т.183, №5, с.1032-1034.

44. Прандтль JI. Результаты работ последнего времени по изучению турбулентности// Проблемы турбулентности: Сб. переводов. M.-JL: ОНТИ СССР,1936.

45. Прандтль JI. Гидромеханика. М.:ИЛ, 1949.

46. Конаков П.К. Новая формула для коэффициента сопротивления гладких труб// Доклады АН СССР, 1946. Т.51, №7.

47. Darcy H. et Bazin M. Recherches hydrauliques. Paris, 1865.

48. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. M.: Госэнергоиздат, 1960.

49. Павловский H.H. Гидравлический справочник. М.: ОНТИ, 1947.

50. Freman J.R. Flow of water in pipes. N.Y., 1941.

51. Harris C. An engineering Concept of flow in pipes// Proceedings ASCE, 1949. May. Vol. 57, №5.

52. Павловский B.A. Учёт шероховатости стенки в свете обобщённой теории Кармана// Судостроение, 1985, №6, с.51-58.

53. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969.

54. Зегжда А.П. Гидравлические потери на трение в каналах и трубопроводах. М.-Л.: Гос. изд-во лит-ры стр. и Арх., 1957.

55. Колмогоров А.Н. К вопросу о сопротивлении и профиле скорости при турбулентном течении//ДАН СССР, т.1, 1952, с.29-30.

56. Альтшуль А.Д. Гидравлические сопротивления. М.: Недра, 1970.

57. Тоунес, Гоу, Пау, Вебер. Турбулентный поток в гладких и шероховатых трубах// Труды амер. о-ва инж-мех. Теоретические основы инженерных расчётов. М.: Мир, 1972, №2, с. 108-119.

58. Миллионщиков М.Д. О турбулентном тепло- и массообмене// Атомная энергия, 1970, т.29, вып.6, с.411-416.

59. Шерстюк А.Н. Турбулентный пограничный слой. М.: Энергия, 1968.

60. Эккерт Э.Р., Дрейк P.M. Теория тепло- и массообмена. M.-JI. Госэнергоиздат, 1961.

61. Жукаускас А.А. Конвективный перенос в теплообменниках. М.: Наука, 1982.

62. Волков П.М., Иванова А.В. Изучение локальных и средних коэффициентов теплоотдачи длинных круглых труб// Теплообмен и гидродинамика в элементах энергооборудования. Труды ЦКТИ, вып. 73. JL: 1966, с.16-26.

63. Яковлев В.В. Местная и средняя теплоотдача при турбулентном течении некипящей воды в трубе и при высоких тепловых нагрузках// Атом, энергия, 1960. Т.8, №3, с.250-252.

64. Malina J.A., Sparrow Е.М. Variable property, constant property, and entrance region heat transfer result for turbulent flow of water and oil in a circular tube// Chem. Eng. Sci., 1964. Vol.19, p.953-962.

65. Hamilton R.H. Solid-liquid mass transfer in turbulent pipe flow// Ph. D. Thesis. Cornell Univ., 1963.

66. Петухов B.C., Ковалёва C.A., Генин JI.F. Теплообмен в ядерных энергетических установках. М.: Энергия, 1974.

67. Ибрагимов М.Х., Субботин В.И., Таранов Г.С. Пульсации скорости, температуры и их корреляционные связи при турбулентном течении воздуха в трубе//ИФЖ, 1970. Т. 19, №6, с. 1060-1069.

68. Reichardt H. Die Grundlagen des turbulenten Warmeubergangs// Arch. Ges. Warmetechn, 1951, №6/7, s.129-142.

69. Кутателадзе С.С. Пристенная турбулентность. Новосибирск: Наука, 1973.

70. Khabakpacheva Е.М., Perepelitsa B.V. About turbulent heat transport// Proc. 5th. Jntern. Heat Trasfer Conf. Tokyo, 1974. Vol.4, p.401-403.

71. Ибрагимов M.X. Структура турбулентного потока. M.: Наука, 1976.

72. Дорощук В.Е., Фрид Ф.И. Теплообмен при высоких тепловых нагрузках и других специальных условиях. М.: Госэнергоиздат, 1959.

73. Tyldessley J.R., Silvu R.S. Heat Transfer// Jntern. J. Heat Mass Transfer, 1968. Vol.ll, №9, p. 1325.

74. Кириллов П.Л. Обобщение опытных данных по переносу тепла в жидких металлах// Атом, энергия, 1962. Т.13, №5, с.481-484.

75. Себеси Т., Брэдшоу П. Конвективный теплообмен. М.: Мир, 1987.

76. Курбатова Г.И., Павловский В.А., Пастухова Е.В. О расчёте турбулентных течений в шероховатых трубах с равномерно-зернистой и технической шероховатостями// Физическая механика. Модели неоднородных сред. Выпуск 8. Изд-во СПбГУ, 2004, с.47-54.

77. Павловский В.А., Пастухова Е.В. Турбулентное установившееся неизотермическое течение жидкости с постоянными физическими свойствами в прямой круговой трубе//Труды СПбГМТУ: 2003, с.79-86.

78. Моисеев А.М., Павловский В.А., Пастухова Е.В., Шестов К.В. Течение вязкой несжимаемой жидкости в кольцевой трубе при произвольных числах

79. Рейнольдса. Проблемы экономии топливно-энергетических ресурсов на промпредприятиях и ТЭС. Межвуз. сб. науч. тр./СПб. ГТУ РП. СПб. 2001, с.33-38.